电磁感应中双杆模型问题答案

电磁感应中的双杆单杆模型试题及答案1.（多选）(2019·桂林高三模拟)如图，有两根与水平方向成α角的光滑平行的金属轨道，上端接有可变电阻R ，下端足够长．空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感应强度为B ，一根质量为m 的金属杆从轨道上由静止滑下．经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度v m ，则( )A ．如果B 增大，v m 将变大 B ．如果α变大，v m 将变大C ．如果R 变大，v m 将变大D ．如果m 变小，v m 将变大2．(多选)如图所示，两足够长平行金属导轨固定在水平面上，匀强磁场方向垂直导轨平面向下，金属棒ab 、cd 与导轨构成闭合回路且都可沿导轨无摩擦滑动，两金属棒ab 、cd 的质量之比为2∶1.用一沿导轨方向的恒力F 水平向右拉金属棒cd ，经过足够长时间以后( )A ．金属棒ab 、cd 都做匀速运动B ．金属棒ab 上的电流方向是由b 向aC ．金属棒cd 所受安培力的大小等于2F 3D ．两金属棒间距离保持不变 3．(2019·江西名校联盟检测)如图所示，水平面上固定着两根相距L 且电阻不计的足够长的光滑金属导轨，导轨处于方向竖直向下、磁感应强度为B 的匀强磁场中，铜棒a 、b 的长度均等于两导轨的间距、电阻均为R 、质量均为m ，铜棒平行地静止在导轨上且与导轨接触良好．现给铜棒a 一个平行导轨向右的瞬时冲量I ，关于此后的过程，下列说法正确的是( )A ．回路中的最大电流为BLI mRB ．铜棒b 的最大加速度为B 2L 2I 2m 2RC ．铜棒b 获得的最大速度为I mD ．回路中产生的总焦耳热为I 22m4．（多选）(2020·湖南长沙一中月考)如图所示，两根等高光滑的14圆弧轨道半径为r 、间距为L ，轨道的电阻不计．在轨道的顶端连有阻值为R 的电阻，整个装置处在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B .现有一根长度稍大于L 、电阻不计的金属棒从轨道的最低位置cd 开始，在拉力作用下以速率v 0沿轨道向上做匀速圆周运动至ab 处，则该过程中( )A ．通过R 的电流方向为f →R →eB ．通过R 的电流方向为e →R →fC ．R 上产生的热量为πrB 2L 2v 04RD ．通过R 的电荷量为πBLr 2R5．(2020·河北八校联考)如图所示，相距L 的两平行光滑金属导轨MN 、PQ 间接有两定值电阻R 1和R 2，它们的阻值均为R .导轨间存在垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B .现有一根质量为m 、电阻也为R 的金属棒在恒力F 的作用下由静止开始运动，运动距离x 时恰好达到稳定速度v .运动过程中金属棒与导轨始终接触良好，则在金属棒由静止开始运动到速度达到稳定的过程中( )A ．电阻R 1上产生的焦耳热为16Fx －112m v 2B ．电阻R 1上产生的焦耳热为14Fx －18m v 2 C ．通过电阻R 1的电荷量为BLx R D ．通过电阻R 1的电荷量为BLx 3R6．如图所示，间距L ＝1 m 的两根足够长的固定水平平行导轨间存在着匀强磁场，其磁感应强度大小B ＝1 T 、方向垂直于纸面向里，导轨上有一金属棒MN 与导轨垂直且在水平拉力F 作用下以v ＝2 m/s 的速度水平向左匀速运动．R 1＝8 Ω，R 2＝12 Ω，C ＝6 μF ，导轨和棒的电阻及一切摩擦均不计．开关S 1、S 2闭合，电路稳定后，求：(1)通过R 2的电流I 的大小和方向．(2)拉力F 的大小．(3)开关S 1断开后通过R 2的电荷量Q .7.(2019·湖南长沙四县模拟)足够长的平行金属轨道M 、N ，相距L ＝0.5 m ，且水平放置；M 、N 左端与半径R ＝0.4 m 的光滑竖直半圆轨道相连，金属棒b 和c 可在轨道上无摩擦地滑动，两金属棒的质量m b ＝m c ＝0.1 kg ，电阻R b ＝R c ＝1 Ω，轨道的电阻不计．平行水平金属轨道M 、N 处于磁感应强度B ＝1 T 的匀强磁场中，磁场方向与轨道平面垂直，光滑竖直半圆轨道在磁场外，如图所示，若使b 棒以初速度v 0＝10 m /s 开始向左运动．g 取10 m/s 2.求：(1)c 棒的最大速度；(2)c 棒中产生的焦耳热；1解析：金属杆在下滑过程中先做加速度减小的加速运动，速度达到最大后做匀速运动．所以当F安＝mg sin α时速度最大，F 安＝BIl ＝B 2l 2v m R ，所以v m ＝mgR sin αB 2l 2，分析各选项知B 、C 正确． 答案：BC2解析：对两金属棒ab 、cd 进行受力和运动分析可知，两金属棒最终将做加速度相同的匀加速直线运动，且金属棒ab 速度小于金属棒cd 速度，所以两金属棒间距离是变大的，由楞次定律判断金属棒ab 上的电流方向是由b 到a ，A 、D 错误，B 正确；以两金属棒整体为研究对象有F ＝3ma ，隔离金属棒cd 分析，有F －F 安＝ma ，可求得金属棒cd 所受安培力的大小F 安＝23F ，C 正确． 答案：BC3解析：给铜棒a 一个平行导轨的瞬时冲量I ，此时铜棒a 的速度最大，产生的感应电动势最大，回路中电流最大，每个棒受到的安培力最大，其加速度最大，I ＝m v 0，v 0＝I m，铜棒a 产生的电动势E ＝BL v 0，回路电流I 0＝E 2R ＝BLI 2mR ，选项A 错误；此时铜棒b 受到安培力F ＝BI 0L ，其加速度a ＝F m ＝IB 2L 22Rm 2，选项B 正确；此后铜棒a 做变减速运动，铜棒b 做变加速运动，当二者达到共同速度时，铜棒b 速度最大，此过程动量守恒，m v 0＝2m v ，铜棒b 最大速度v ＝I 2m ，选项C 错误；回路中产生的焦耳热Q ＝12m v 20－12·2m v 2＝I 24m，选项D 错误． 答案：B4解析：由右手定则可知，电流方向为逆时针方向，即通过R 的电流方向为e →R →f ，A 错误，B 正确；通过R 的电荷量q ＝ΔΦR ＝BLr R ，D 错误；金属棒产生的瞬时感应电动势E ＝BL v 0cos v 0t r ，有效值E 有＝BL v 02，R 上产生的热量Q ＝E 2有R t ＝B 2L 2v 202R ·πr 2v 0＝πrB 2L 2v 04R，C 正确． 答案：BC5解析：金属棒由静止运动到速度达到稳定的过程中，利用功能关系得，Fx ＋W 安＝12m v 2，－W 安＝Q 总，所以Q 总＝Fx －12m v 2，金属棒上的电流是R 1的两倍，由Q ＝I 2Rt 可知，金属棒消耗的焦耳热是每个定值电阻消耗的焦耳热的4倍，即Q R 1＝16Q 总，所以A 正确，B 错误；又由电荷量q ＝ΔΦR 总，ΔΦ＝BLx ，R 总＝32R ，q R 1＝12q 可知，q R 1＝BLx 3R，C 错误，D 正确． 答案：AD6解析：(1)开关S 1、S 2闭合后，根据右手定则知棒中的感应电流方向是M →N ，所以通过R 2的电流方向是b →aMN 中产生的感应电动势的大小E ＝BL v通过R 2的电流I ＝E R 1＋R 2代入数据解得I ＝0.1 A.(2)由棒受力平衡有F ＝F 安F 安＝BIL代入数据解得F ＝0.1 N.(3)开关S 1、S 2闭合，电路稳定后，电容器所带电荷量Q 1＝CIR 2S 1断开后，流过R 2的电荷量Q 等于电容器所带电荷量的减少量，即Q ＝Q 1－0代入数据解得Q ＝7.2×10－6 C.答案：(1)0.1 A 方向是b →a (2)0.1 N (3)7.2×10－6 C7[解析] (1)在磁场力作用下，b 棒做减速运动，c 棒做加速运动，当两棒速度相等时，c 棒达最大速度．选两棒为研究对象，根据动量守恒定律有m b v 0＝(m b ＋m c )v解得c 棒的最大速度为v ＝m b m b ＋m cv 0＝12v 0＝5 m/s. (2)从b 棒开始运动到两棒速度相等的过程中，系统减少的动能转化为电能，两棒中产生的总热量为Q ＝12m b v 20－12(m b ＋m c )v 2＝2.5 J 因为R b ＝R c ，所以c 棒中产生的焦耳热为Q c ＝Q 2＝1.25 J. [答案] (1)5 m/s (2)1.25 J。

电磁感应中“滑轨”问题归类例析一、“单杆”滑切割磁感线型 1、杆与电阻连接组成回路例1、如图所示，MN 、PQ 是间距为L 的平行金属导轨，置于磁感强度为B 、方向垂直导轨所在平面向里的匀强磁场中，M 、P 间接有一阻值为R 的电阻．一根与导轨接触良好、阻值为R ／2的金属导线ab 垂直导轨放置 （1）若在外力作用下以速度v 向右匀速滑动，试求ab 两点间的电势差。

（2）若无外力作用，以初速度v 向右滑动，试求运动过程中产生的热量、通过ab 电量以及ab 发生的位移x 。

例2、如右图所示，一平面框架与水平面成37°角，宽L=0.4 m ，上、下两端各有一个电阻R 0＝1 Ω，框架的其他部分电阻不计，框架足够长.垂直于框平面的方向存在向上的匀强磁场，磁感应强度B ＝2T.ab 为金属杆，其长度为L ＝0.4 m ，质量m ＝0.8 kg ，电阻r ＝0.5Ω，棒与框架的动摩擦因数μ＝0.5.由静止开始下滑，直到速度达到最大的过程中，上端电阻R 0产生的热量Q 0＝0.375J(已知sin37°＝0.6，cos37°=0.8；g 取10m ／s2)求： (1)杆ab 的最大速度；(2)从开始到速度最大的过程中ab 杆沿斜面下滑的距离；在该过程中通过ab 的电荷量.关键：在于能量观，通过做功求位移。

2、杆与电容器连接组成回路例3、如图所示, 竖直放置的光滑平行金属导轨, 相距L , 导轨一端接有一个电容器, 电容量为C, 匀强磁场垂直纸面向里, 磁感应强度为B, 质量为m 的金属棒ab 可紧贴导轨自由滑动. 现让ab 从高h 处由静止下滑, 不考虑空气阻力, 也不考虑任何部分的电阻和自感作用.求金属棒下落的时间？ 问金属棒的做什么运动？棒落地时的速度为多大？例4、光滑U 型金属框架宽为L ，足够长，其上放一质量为m 的金属棒ab ，左端连接有一电容为C 的电容器，现给棒一个初速v 0，使棒始终垂直框架并沿框架运动，如图所示。

高中物理-电磁感应中的“双杆模型”“双杆”模型分为两类：一类是“一动一静”，甲杆静止不动，乙杆运动，其实质是单杆问题，不过要注意问题包含着一个条件：甲杆静止、受力平衡．另一种情况是两杆都在运动，对于这种情况，要注意两杆切割磁感线产生的感应电动势是相加还是相减．一、平行导轨：不受其他外力作用光滑平行导轨光滑不等距导轨示意图质量m1＝m2 电阻r1＝r2 长度L1＝L2质量m1＝m2电阻r1＝r2长度L1＝2L2规律分析杆MN做变减速运动，杆PQ做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，以相等的速度匀速运动稳定时，两杆的加速度均为零，两杆的速度之比为1∶2(2015·高考四川卷)如图所示，金属导轨MNC和PQD，MN与PQ平行且间距为L，所在平面与水平面夹角为α，N、Q连线与MN垂直，M、P间接有阻值为R的电阻；光滑直导轨NC和QD在同一水平面内，与NQ的夹角都为锐角θ.均匀金属棒ab和ef质量均为m，长均为L，ab棒初始位置在水平导轨上与NQ重合；ef 棒垂直放在倾斜导轨上，与导轨间的动摩擦因数为μ(μ较小)，由导轨上的小立柱1和2阻挡而静止．空间有方向竖直的匀强磁场(图中未画出)．两金属棒与导轨保持良好接触，不计所有导轨和ab棒的电阻，ef棒的阻值为R，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，忽略感应电流产生的磁场，重力加速度为g.(1)若磁感应强度大小为B，给ab棒一个垂直于NQ、水平向右的速度v1，在水平导轨上沿运动方向滑行一段距离后停止，ef棒始终静止，求此过程ef棒上产生的热量；(2)在(1)问过程中，ab棒滑行距离为d，求通过ab棒某横截面的电量；(3)若ab棒以垂直于NQ的速度v2在水平导轨上向右匀速运动，并在NQ位置时取走小立柱1和2，且运动过程中ef棒始终静止．求此状态下最强磁场的磁感应强度及此磁场下ab棒运动的最大距离．[解析](1)设ab棒的初动能为E k，ef棒和电阻R在此过程产生的热量分别为W和W1，有W＋W1＝E k①且W＝W1②由题意有E k＝12m v21③得W＝14m v21.④(2)设在题设过程中，ab棒滑行时间为Δt，扫过的导轨间的面积为ΔS，通过ΔS的磁通量为ΔΦ，ab棒产生的电动势平均值为E，ab棒中的电流为I，通过ab棒某横截面的电荷量为q，则甲E＝ΔΦΔt⑤且ΔΦ＝BΔS⑥I＝qΔt⑦又有I＝2ER⑧由图甲所示ΔS＝d(L－d cot θ)⑨联立⑤～⑨，解得q＝2Bd(L－d cot θ)R.⑩(3)ab棒滑行距离为x时，ab棒在导轨间的棒长L x为L x＝L－2x cot θ⑪此时，ab棒产生的电动势E x为E x＝B v2L x⑫流过ef棒的电流I x为I x＝E xR⑬ef棒所受安培力F x为F x＝BI x L⑭联立⑪～⑭，解得F x＝B2v2LR(L－2x cot θ)⑮由⑮式可得，F x在x＝0和B为最大值B m时有最大值F1.由题知，ab棒所受安培力方向必水平向左，ef棒所受安培力方向必水平向右，使F1为最大值的受力分析如图乙所示，图中f m为最大静摩擦力，有F1cos α＝mg sin α＋μ(mg cos α＋F1sin α)⑯联立⑮⑯，得B m＝1Lmg(sin α＋μcos α)R(cos α－μsin α)v2⑰⑰式就是题目所求最强磁场的磁感应强度大小，该磁场方向可竖直向上，也可竖直向下．乙丙由⑮式可知，B为B m时，F x随x增大而减小，x为最大x m时，F x为最小值F2，如图丙可知F2cos α＋μ(mg cos α＋F2sin α)＝mg sin α⑱联立⑮⑰⑱，得x m ＝μL tan θ(1＋μ2)sin αcos α＋μ.[答案]见解析二、平行导轨：一杆受恒定水平外力作用光滑平行导轨不光滑平行导轨示意图质量m1＝m2电阻r1＝r2长度L1＝L2摩擦力F f1＝F f2＝F f 质量m1＝m2电阻r1＝r2长度L1＝L2规律分析开始时，两杆做变加速运动；稳定时，两杆以相同的加速度做匀变速运动开始时，若F f<F≤2F f，则PQ杆先变加速后匀速，MN杆一直静止；若F>2F f，PQ杆先变加速，MN后做变加速最后两杆做匀速运动如图所示，两条平行的金属导轨相距L＝1 m，水平部分处在竖直向下的匀强磁场B1中，倾斜部分与水平方向的夹角为37°，处于垂直于斜面的匀强磁场B1中，B1＝B2＝0.5 T．金属棒MN和PQ的质量均为m＝0.2 kg，电阻R MN＝0.5 Ω、R PQ＝1.5 Ω.MN置于水平导轨上，PQ置于倾斜导轨上，刚好不下滑．两根金属棒均与导轨垂直且接触良好．从t＝0时刻起，MN棒在水平外力F的作用下由静止开始向右运动，MN棒的速度v与位移x满足关系v＝0.4x.不计导轨的电阻，MN始终在水平导轨上运动，MN与水平导轨间的动摩擦因数μ＝0.5.(1)问当MN棒运动的位移为多少时PQ刚要滑动？(2)求从t＝0到PQ刚要滑动的过程中通过PQ棒的电荷量；(3)定性画出MN受的安培力随位移变化的图象，并求出MN从开始到位移x1＝5 m的过程中外力F做的功．[解析](1)开始PQ刚好不下滑时，PQ受沿倾斜导轨向上的最大静摩擦力F fm，则F fm＝mg sin 37°设PQ刚好要向上滑动时，MN棒的感应电动势为E，由法拉第电磁感应定律E＝B1L v设电路中的感应电流为I，由闭合电路的欧姆定律得I＝ER MN＋R PQ设PQ所受安培力为F A，有F A＝B2IL此时PQ受沿倾斜导轨向下的最大静摩擦力，由力的平衡条件有：F A＝F fm＋mg sin 37°又由v＝0.4x，联立解得x＝48 m.(2)在从t＝0到PQ刚要滑动的过程中，穿过回路MNQP的磁通量的变化量ΔΦ＝B1Lx＝0.5×1×48 Wb＝24 Wb通过PQ棒的电荷量q＝I·t＝ER MN＋R PQ·t＝ΔΦR MN＋R PQ＝240.5＋1.5C＝12 C.(3)回路中的电流I＝B1L vR MN＋R PQ，MN受到的安培力F A＝B1IL，又v＝0.4x，故推出F A＝0.4xB21L2R MN＋R PQ因此MN受的安培力与位移x成正比，故画出如图所示的安培力—位移图象.考虑到MN受的安培力与位移方向相反，故安培力与位移图象包围的面积等于克服安培力做的功，故安培力对MN做功W A＝－12·0.4x1B21L2R MN＋R PQx1＝－0.625 J当x1＝5 m时，速度v1＝0.4x1＝0.4×5 m/s＝2 m/s对MN棒由动能定理：W F－μmgx1＋W A＝12m v21－0故W F＝12m v21＋μmgx1－W A＝⎝⎛⎭⎫12×0.2×22＋0.5×0.2×10×5＋0.625J＝6.025 J.[答案](1)48 m(2)12 C(3)6.025 J三、倾斜导轨：两杆不受外力作用注意双杆之间的制约关系，即“主动杆”与“被动杆”之间的关系，因为两杆都有可能产生感应电动势，相当于两个电源，并且最终两杆的收尾状态的确定是分析问题的关键．(2014·高考天津卷)如图所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角θ＝30°的斜面上，导轨电阻不计，间距L ＝0.4 m ．导轨所在空间被分成区域Ⅰ和Ⅱ，两区域的边界与斜面的交线为MN ，Ⅰ中的匀强磁场方向垂直斜面向下，Ⅱ中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁感应强度大小均为B ＝0.5 T ．在区域Ⅰ中，将质量m 1＝0.1 kg ，电阻R 1＝0.1 Ω的金属条ab 放在导轨上，ab 刚好不下滑．然后，在区域Ⅱ中将质量m 2＝0.4 kg ，电阻R 2＝0.1 Ω的光滑导体棒cd 置于导轨上，由静止开始下滑．cd 在滑动过程中始终处于区域Ⅱ的磁场中，ab 、cd 始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，取g ＝10 m/s 2.问：(1)cd 下滑的过程中，ab 中的电流方向；(2)ab 刚要向上滑动时，cd 的速度v 多大；(3)从cd 开始下滑到ab 刚要向上滑动的过程中，cd 滑动的距离x ＝3.8 m ，此过程中ab 上产生的热量Q 是多少．[审题点睛] (1)ab 刚好不下滑，隐含F fm ＝mg sin θ，方向沿斜面向上，ab 刚要向上滑动时，隐含F 安＝F fm ＋mg sin θ，摩擦力方向沿斜面向下．(2)由于ab 中的电流变化，产生的热量要用功能关系(能量守恒)结合电路知识求解．[解析] (1)由右手定则可判断出cd 中的电流方向为由d 到c ，则ab 中电流方向为由a 流向b . (2)开始放置ab 刚好不下滑时，ab 所受摩擦力为最大静摩擦力，设其为F max ，有F max ＝m 1g sin θ① 设ab 刚要上滑时，cd 棒的感应电动势为E ，由法拉第电磁感应定律有E ＝BL v ② 设电路中的感应电流为I ，由闭合电路欧姆定律有 I ＝ER 1＋R 2③ 设ab 所受安培力为F 安，有F 安＝BIL ④此时ab 受到的最大静摩擦力方向沿斜面向下，由平衡条件有F 安＝m 1g sin θ＋F max ⑤ 综合①②③④⑤式，代入数据解得v ＝5 m/s.(3)设cd 棒运动过程中在电路中产生的总热量为Q 总，由能量守恒定律有m 2gx sin θ＝Q 总＋12m 2v 2又Q ＝R 1R 1＋R 2Q 总解得Q ＝1.3 J.[答案] (1)由a 流向b (2)5 m/s (3)1.3 J 四、倾斜导轨：一杆受到外力作用(2016·浙江金华高三质检)如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨MN 、PQ 间距为l ＝0.5 m ，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成30°角．完全相同的两金属棒ab 、cd 分别垂直导轨放置，每棒两端都与导轨始终有良好接触，已知两棒质量均为m ＝0.02 kg ，电阻均为R ＝0.1 Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度B ＝0.2 T ，棒ab 在平行于导轨向上的力F 作用下，沿导轨向上匀速运动，而棒cd 恰好能够保持静止，取g ＝10 m/s 2，问：(1)通过棒cd 的电流I 是多少，方向如何？ (2)棒ab 受到的力F 多大？(3)棒cd 每产生Q ＝0.1 J 的热量，力F 做的功W 是多少？[解析] (1)棒cd 受到的安培力F cd ＝IlB棒cd 在共点力作用下受力平衡，则F cd ＝mg sin 30° 代入数据解得I ＝1 A根据楞次定律可知，棒cd 中的电流方向由d 至c . (2)棒ab 与棒cd 受到的安培力大小相等，F ab ＝F cd 对棒ab ，由受力平衡知F ＝mg sin 30°＋IlB 代入数据解得F ＝0.2 N.(3)设在时间t 内棒cd 产生Q ＝0.1 J 的热量，由焦耳定律知Q ＝I 2Rt设棒ab 匀速运动的速度大小为v ，其产生的感应电动势E ＝Bl v ，由闭合电路欧姆定律知，I ＝E2R由运动学公式知在时间t 内，棒ab 沿导轨的位移 x ＝v t力F 做的功W ＝Fx综合上述各式，代入数据解得W ＝0.4 J. [答案] (1)1 A 方向由d 至c (2)0.2 N (3)0.4 J 五、竖直导轨如图是一种电磁驱动电梯的原理图，竖直平面上有两根很长的平行竖直轨道，轨道间有垂直轨道平面的匀强磁场B 1和B 2，B 1＝B 2＝1 T ，且B 1和B 2的方向相反，两磁场始终竖直向上做匀速运动．电梯桥厢(未在图中画出)固定在一个用超导材料制成的金属框abdc 内，并且与之绝缘．电梯载人时的总质量为5×103 kg ，所受阻力f ＝500 N ，金属框垂直轨道的边长L cd ＝2m ，两磁场沿轨道的宽度均与金属框的竖直边长L ac 相同，金属框整个回路的电阻R ＝9.5×10－4Ω，若设计要求电梯以v 1＝10 m/s 的速度向上匀速运动，取g ＝10 m/s 2，那么 (1)磁场向上运动速度v 0应该为多大？(2)在电梯向上做匀速运动时，为维持它的运动，外界对系统提供的总功率为多少？(保留三位有效数字)[解析] (1)当电梯向上做匀速运动时，安培力等于重力和阻力之和，所以 F A ＝mg ＋f ＝50 500 N金属框中感应电流大小为 I ＝2B 1L cd (v 0－v 1)R金属框所受安培力F A ＝2B 1IL cd 解得v 0＝13 m/s.(2)当电梯向上做匀速运动时，由第(1)问中的I ＝2B 1L cd (v 0－v 1)R ，求出金属框中感应电流I ＝1.263×104 A金属框中的焦耳热功率P 1＝I 2R ＝1.51×105 W 有用功率为克服电梯重力的功率 P 2＝mg v 1＝5×105 W阻力的功率为P 3＝f v 1＝5×103W电梯向上运动时，外界提供的能量，一部分转变为金属框内的焦耳热，另一部分克服电梯的重力和阻力做功．因而外界对系统提供的总功率P 总＝P 1＋P 2＋P 3＝6.56×105W. [答案] (1)13 m/s (2)6.56×105 W1．(多选)如图所示，两足够长平行金属导轨固定在水平面上，匀强磁场方向垂直导轨平面向下，金属棒ab 、cd 与导轨构成闭合回路且都可沿导轨无摩擦滑动，两金属棒ab 、cd 的质量之比为2∶1.用一沿导轨方向的恒力F 水平向右拉金属棒cd ，经过足够长时间以后( )A ．金属棒ab 、cd 都做匀速运动B ．金属棒ab 上的电流方向是由b 向aC ．金属棒cd 所受安培力的大小等于2F /3D ．两金属棒间距离保持不变解析：选BC.对两金属棒ab 、cd 进行受力分析和运动分析可知，两金属棒最终将做加速度相同的匀加速直线运动，且金属棒ab 速度小于金属棒cd 速度，所以两金属棒间距离是变大的，由楞次定律判断金属棒ab 上的电流方向由b 到a ，A 、D 错误，B 正确；以两金属棒整体为研究对象有：F ＝3ma ，隔离金属棒cd 分析其受力，则有：F －F 安＝ma ，可求得金属棒cd 所受安培力的大小F 安＝23F ，C 正确．2.(多选)(2016·唐山模拟)如图所示，水平传送带带动两金属杆a 、b 匀速向右运动，传送带右侧与两光滑平行金属导轨平滑连接，导轨与水平面间夹角为30°，两虚线EF 、GH 之间有垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度为B ，磁场宽度为L ，两金属杆的长度和两导轨的间距均为d ，两金属杆质量均为m ，两杆与导轨接触良好．当金属杆a 进入磁场后恰好做匀速直线运动，当金属杆a 离开磁场时，金属杆b 恰好进入磁场，则( )A ．金属杆b 进入磁场后做加速运动B ．金属杆b 进入磁场后做匀速运动C ．两杆在穿过磁场的过程中，回路中产生的总热量为mgLD ．两杆在穿过磁场的过程中，回路中产生的总热量为mgL2解析：选BC.两杆从导轨顶端进入磁场过程中，均只有重力做功，故进入磁场时速度大小相等，金属杆a 进入磁场后匀速运动，b 进入磁场后，a 离开磁场，金属杆b 受力与金属杆a 受力情况相同，故也做匀速运动，A 项错，B 项正确；两杆匀速穿过磁场，减少的重力势能转化为回路的电热，即Q ＝2mgL sin 30°＝mgL ，C 项正确，D 项错．3．(多选)如图所示，光滑平行的金属导轨宽度为L ，与水平方向成θ角倾斜固定，导轨之间充满了垂直于导轨平面的足够大的匀强磁场，磁感应强度为B ，在导轨上垂直导轨放置着质量均为m 、电阻均为R 的金属棒a 、b ，二者都被垂直于导轨的挡板挡住保持静止，金属导轨电阻不计，现对b 棒施加一垂直于棒且平行于导轨平面向上的牵引力F ，并在极短的时间内将牵引力的功率从零调为恒定的功率P .为了使a 棒沿导轨向上运动，P 的取值可能为(重力加速度为g )( )A.2m 2g 2RB 2L 2·sin 2θB ．3m 2g 2RB 2L 2·sin 2θC.7m 2g 2RB 2L2·sin 2θ D ．5m 2g 2RB 2L2·sin 2θ解析：选CD.以b 棒为研究对象，由牛顿第二定律可知F －mg sin θ－BL v2R BL ＝ma ，以a 棒为研究对象，由牛顿第二定律可知BL v 2R BL －mg sin θ＝ma ′，则F >2mg sin θ，v >2Rmg sin θB 2L 2，故P ＝F v >4m 2g 2R B 2L 2sin 2θ，由此可得选项C 、D 正确，选项A 、B 错误．4.如图所示，竖直平面内有平行放置的光滑导轨，导轨间距为l ＝0.2 m ，电阻不计，导轨间有水平方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B ＝2 T ，方向如图所示，有两根质量均为m ＝0.1 kg ，长度均为l ＝0.2 m ，电阻均为R ＝0.4 Ω的导体棒ab 和cd 与导轨接触良好，当用竖直向上的力F 使ab 棒向上做匀速运动时，cd 棒刚好能静止不动，则下列说法正确的是(g 取10m/s 2)( )A ．ab 棒运动的速度是5 m/sB ．力F 的大小为1 NC ．在1 s 内，力F 做的功为5 JD ．在1 s 内，cd 棒产生的电热为5 J解析：选A.对导体棒cd 由B Bl v2R l ＝mg ，得到v ＝5 m/s ，选项A 正确；再由F ＝mg ＋F 安＝2 N 知选项B 错误；在1 s 内，力F 做的功W ＝F v t ＝10 J ，选项C 错误；在1 s 内，cd 棒产生的电热Q ＝⎝⎛⎭⎫Bl v2R 2Rt ＝2.5 J ，选项D 错误．5．(2016·合肥一中高三检测)如图所示，间距l ＝0.3 m 的平行金属导轨a 1b 1c 1和a 2b 2c 2分别固定在两个竖直面内．在水平面a 1b 1b 2a 2区域内和倾角θ＝37°的斜面c 1b 1b 2c 2区域内分别有磁感应强度B 1＝0.4 T 、方向竖直向上和B 2＝1 T 、方向垂直于斜面向上的匀强磁场．电阻R ＝0.3 Ω、质量m 1＝0.1 kg 、长为l 的相同导体杆K 、S 、Q 分别放置在导轨上，S 杆的两端固定在b 1、b 2点，K 、Q 杆可沿导轨无摩擦滑动且始终接触良好．一端系于K 杆中点的轻绳平行于导轨绕过轻质定滑轮自然下垂，绳上穿有质量m 2＝0.05 kg 的小环．已知小环以a ＝6 m/s 2的加速度沿绳下滑．K 杆保持静止，Q 杆在垂直于杆且沿斜面向下的拉力F 作用下匀速运动．不计导轨电阻和滑轮摩擦，绳不可伸长．取g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：(1)小环所受摩擦力的大小； (2)Q 杆所受拉力的瞬时功率．解析：(1)设小环受到的摩擦力大小为F f ，由牛顿第二定律，有m 2g －F f ＝m 2a 代入数据，得F f ＝0.2 N.(2)设通过K 杆的电流为I 1，K 杆受力平衡， 有F f ＝B 1I 1l设回路总电流为I ，总电阻为R 总，有I ＝2I 1 R 总＝32R设Q 杆下滑速度大小为v ，产生的感应电动势为E ，有I ＝ER 总E ＝B 2l vF ＋m 1g sin θ＝B 2Il拉力的瞬时功率为P ＝F v联立以上方程，代入数据得P ＝2 W. 答案：(1)0.2 N (2)2 W6.如图所示，两根足够长且平行的光滑金属导轨与水平面成53°角固定放置，导轨间连接一阻值为6 Ω的电阻R ，导轨电阻忽略不计．在两平行虚线m 、n 间有一方向垂直于导轨所在平面向下、磁感应强度为B 的匀强磁场．导体棒a 的质量为m a ＝0.4 kg ，电阻R a ＝3 Ω；导体棒b 的质量为m b ＝0.1 kg ，电阻R b ＝6 Ω.导体棒a 、b 分别垂直导轨放置并始终与导轨接触良好．a 、b从开始相距L 0＝0.5 m 处同时由静止释放，运动过程中它们都能匀速穿过磁场区域，当b 刚穿出磁场时，a 正好进入磁场，g 取10 m/s 2，不计a 、b 之间电流的相互作用，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6.求：(1)在a 、b 分别穿越磁场的过程中，通过R 的电荷量之比；(2)在穿越磁场的过程中，a 、b 两导体棒匀速运动的速度大小之比； (3)磁场区域沿导轨方向的宽度d ； (4)在整个运动过程中，产生的总焦耳热． 解析：(1)由q 总＝I Δt ，I ＝E R 总，E ＝ΔΦΔt ，得q 总＝ΔΦR 总在b 穿越磁场的过程中，b 是电源，a 与R 是外电路，电路的总电阻R 总1＝8 Ω 通过R 的电荷量为q Rb ＝13q 总1＝13·ΔΦR 总1同理，a 在磁场中匀速运动时，R 总2＝6 Ω，通过R 的电荷量为q Ra ＝12q 总2＝12·ΔΦR 总2，可得q Ra ∶q Rb ＝2∶1.(2)设a 、b 穿越磁场的过程中的速度分别为v a 和v b ，则b 中的电流I b ＝BL v bR 总1由平衡条件得B 2L 2v bR 总1＝m b g sin 53°同理，a 在磁场中匀速运动时有 B 2L 2v aR 总2＝m a g sin 53°， 解得v a ∶v b ＝3∶1.(3)设b 在磁场中穿越的时间为t ，由题意得： v a ＝v b ＋gt sin 53°，d ＝v b t因为v 2a －v 2b ＝2gL 0sin 53°，v a ∶v b ＝3∶1所以d ＝0.25 m.(4)a 穿越磁场时所受安培力F 安＝m a g sin 53° 克服安培力所做的功W a ＝m a gd sin 53°＝0.8 J 同理，b 穿越磁场时克服安培力所做的功 W b ＝m b gd sin 53°＝0.2 J由功能关系得，在整个过程中，电路中产生的总焦耳热Q ＝W a ＋W b ＝1 J. 答案：(1)2∶1 (2)3∶1 (3)0.25 m (4)1 J。

电磁感应中“滑轨”问题归类例析一、“单杆”滑切割磁感线型 1、杆与电阻连接组成回路例1、如图所示，MN 、PQ 是间距为L 的平行金属导轨，置于磁感强度为B 、方向垂直导轨所在平面向里的匀强磁场中，M 、P 间接有一阻值为R 的电阻．一根与导轨接触良好、阻值为R ／2的金属导线ab 垂直导轨放置 （1）若在外力作用下以速度v 向右匀速滑动，试求ab 两点间的电势差。

（2）若无外力作用，以初速度v 向右滑动，试求运动过程中产生的热量、通过ab 电量以及ab 发生的位移x 。

例2、如右图所示，一平面框架与水平面成37°角，宽L=0.4 m ，上、下两端各有一个电阻R 0＝1 Ω，框架的其他部分电阻不计，框架足够长.垂直于框平面的方向存在向上的匀强磁场，磁感应强度B ＝2T.ab 为金属杆，其长度为L ＝0.4 m ，质量m ＝0.8 kg ，电阻r ＝0.5Ω，棒与框架的动摩擦因数μ＝0.5.由静止开始下滑，直到速度达到最大的过程中，上端电阻R 0产生的热量Q 0＝0.375J(已知sin37°＝0.6，cos37°=0.8；g 取10m ／s2)求： (1)杆ab 的最大速度；(2)从开始到速度最大的过程中ab 杆沿斜面下滑的距离；在该过程中通过ab 的电荷量.关键：在于能量观，通过做功求位移。

2、杆与电容器连接组成回路例3、如图所示, 竖直放置的光滑平行金属导轨, 相距L , 导轨一端接有一个电容器, 电容量为C, 匀强磁场垂直纸面向里, 磁感应强度为B, 质量为m 的金属棒ab 可紧贴导轨自由滑动. 现让ab 从高h 处由静止下滑, 不考虑空气阻力, 也不考虑任何部分的电阻和自感作用.求金属棒下落的时间？ 问金属棒的做什么运动？棒落地时的速度为多大？例4、光滑U 型金属框架宽为L ，足够长，其上放一质量为m 的金属棒ab ，左端连接有一电容为C 的电容器，现给棒一个初速v 0，使棒始终垂直框架并沿框架运动，如图所示。

电磁感应中的双杆模型问题与强化训练（附详细参考答案）一、双杆模型问题分析及例题讲解：1．模型分类：双杆类题目可分为两种情况：一类是“一动一静”，即“假双杆”，甲杆静止不动，乙杆运动，其实质是单杆问题，不过要注意问题包含着一个条件：甲杆静止，受力平衡。

另一种情况是两杆都在运动，对于这种情况，要注意两杆切割磁感线产生的感应电动势是相加还是相减。

2．分析方法：通过受力分析，确定运动状态，一般会有收尾状态。

对于收尾状态则有恒定的速度或者加速度等，再结合运动学规律、牛顿运动定律和能量观点分析求解。

题型一:一杆静止，一杆运动【题1】如图所示，电阻不计的平行金属导轨固定在一绝缘斜面上，两相同的金属导体棒a、b垂直于导轨静止放置，且与导轨接触良好，匀强磁场垂直穿过导轨平面。

现用一平行于导轨的恒力F作用在a的中点，使其向上运动。

若b始终保持静止，则它所受摩擦力可能A．变为0 B．先减小后不变C．等于F D．先增大再减小【答案】AB【题2】如图所示，两条平行的金属导轨相距L ＝1 m ，金属导轨的倾斜部分与水平方向的夹角为37°，整个装置处在竖直向下的匀强磁场中。

金属棒MN 和PQ 的质量均为m ＝0.2 kg ，电阻分别为R MN ＝1 Ω和R PQ ＝2 Ω。

MN 置于水平导轨上，与水平导轨间的动摩擦因数μ＝0.5，PQ 置于光滑的倾斜导轨上，两根金属棒均与导轨垂直且接触良好。

从t ＝0时刻起，MN 棒在水平外力F 1的作用下由静止开始以a ＝1 m/s 2的加速度向右做匀加速直线运动，PQ 则在平行于斜面方向的力F 2作用下保持静止状态。

t ＝3 s 时，PQ 棒消耗的电功率为8 W ，不计导轨的电阻，水平导轨足够长，MN 始终在水平导轨上运动。

求：（1）磁感应强度B 的大小；（2）t ＝0～3 s 时间内通过MN 棒的电荷量；（3）求t ＝6 s 时F 2的大小和方向；（4）若改变F 1的作用规律，使MN 棒的运动速度v 与位移 x 满足关系：v ＝0.4x ，PQ 棒仍然静止在倾斜轨道上。

微讲座(九)——电磁感应中的“双杆模型”一、“单杆切割”类常见情况是一杆静止、另一杆做切割磁感线运动，其实质是单杆问题．解决该问题的思路是：对静止的杆用平衡条件列方程，对运动杆用E ＝Bl v 求感应电动势，进而求电流、安培力等．(2014·高考天津卷)如图所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角θ＝30°的斜面上，导轨电阻不计，间距L ＝0.4 m ．导轨所在空间被分成区域Ⅰ和Ⅱ，两区域的边界与斜面的交线为MN ，Ⅰ中的匀强磁场方向垂直斜面向下，Ⅱ中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁感应强度大小均为B ＝0.5 T ．在区域Ⅰ中，将质量m 1＝0.1 kg ，电阻R 1＝0.1 Ω的金属条ab 放在导轨上，ab 刚好不下滑．然后，在区域Ⅱ中将质量m 2＝0.4 kg ，电阻R 2＝0.1 Ω的光滑导体棒cd 置于导轨上，由静止开始下滑．cd 在滑动过程中始终处于区域Ⅱ的磁场中，ab 、cd 始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，取g ＝10 m/s 2.问：(1)cd 下滑的过程中，ab 中的电流方向； (2)ab 刚要向上滑动时，cd 的速度v 多大；(3)从cd 开始下滑到ab 刚要向上滑动的过程中，cd 滑动的距离x ＝3.8 m ，此过程中ab 上产生的热量Q 是多少．[审题突破] (1)ab 刚好不下滑，隐含F fm ＝mg sin θ，方向沿斜面向上，ab 刚要向上滑动时，隐含F 安＝F fm ＋mg sin θ，摩擦力方向沿斜面向下．(2)由于ab 中的电流变化，产生的热量要用功能关系(能量守恒)结合电路知识求解． [解析] (1)由右手定则可知cd 中的电流方向由d 到c ，故ab 中的电流由a 流向b . (2)开始放置ab 刚好不下滑时，ab 所受摩擦力为最大静摩擦力，设其为F fm ，有F fm ＝m 1g sin θ①设ab 刚要上滑时，cd 棒的感应电动势为E ，由法拉第电磁感应定律有E ＝BL v ② 设电路中的感应电流为I ，由闭合电路欧姆定律有I ＝E R 1＋R 2③ 设ab 所受安培力为F 安，有F 安＝BIL ④此时ab 受到的最大静摩擦力方向沿斜面向下，由平衡条件有F 安＝m 1g sin θ＋F fm 综合①②③④式，代入数据解得v ＝5 m/s.(3)设cd 棒运动过程中在电路中产生的总热量为Q 总，由能量守恒定律有m 2gx sin θ＝Q总＋12m 2v 2 又Q ＝R 1R 1＋R 2Q 总解得Q ＝1.3 J.[答案](1)由a流向b(2)5 m/s(3)1.3 J二、“双杆切割”类1．初速度不为零，不受其他水平外力的作用光滑的平行导轨光滑不等距导轨装置图运动规律杆MN做变减速运动，杆PQ做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，以相等的速度匀速运动杆MN做变减速运动，杆PQ做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，两杆以不同的速度做匀速运动2.初速度为零，一杆受到恒定水平外力的作用光滑的平行导轨不光滑平行导轨装置图运动规律开始时，两杆做变加速运动；稳定时，两杆以相同的加速度做匀加速运动开始时，若f QP<F≤f QP＋f MN，则PQ杆先做变加速运动后做匀速运动；MN杆静止．若F>f QP＋F MN，PQ杆先做变加速运动后做匀加速运动，MN杆先静止后做变加速运动最后和PQ杆同时做匀加速运动，且加速度相同如图，ab和cd是两条竖直放置的光滑金属导轨，MN和M′N′是两根用细线连接的金属杆，其质量分别为m和2m.竖直向上的外力F作用在杆MN上，使两杆水平静止，两杆的总电阻为R，导轨间距为l.整个装置处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与两导轨所在平面垂直．导轨电阻可忽略，重力加速度为g.在t＝0时刻将细线烧断，保持F不变，金属杆和导轨始终接触良好，且两金属杆始终水平．求：(1)细线烧断后，任意时刻两杆运动的速度之比；(2)两杆分别达到的最大速度．[解析](1)设某时刻MN和M′N′速度分别为v1、v2细线烧断前，对整体有F＝3mg细线烧断后，对MN有F－mg－F安＝ma1对M′N′有2mg－F安＝2ma2得a 1a 2＝2，又v ＝a Δt 得v 1∶v 2＝2∶1.①(2)当MN 和M ′N ′的加速度为零时，速度最大 对M ′N ′受力平衡：BIl ＝2mg ② 又I ＝E R ③E ＝Bl v 1＋Bl v 2④由①②③④得v 1＝4mgR 3B 2l 2，v 2＝2mgR3B 2l 2.[答案] (1)2∶1 (2)4mgR 3B 2l 2 2mgR3B 2l 2两杆同时做切割磁感线运动时，产生两个感应电动势，回路中的电流是由这两个电动势共同决定．因此弄清回路中的总电动势是等于两电势之和，还是等于两电动势之差，是解决问题的关键.1．(多选)(2016·唐山模拟)如图所示，水平传送带带动两金属杆a 、b 匀速向右运动，传送带右侧与两光滑平行金属导轨平滑连接，导轨与水平面间夹角为30°，两虚线EF 、GH 之间有垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度为B ，磁场宽度为L ，两金属杆的长度和两导轨的间距均为d ，两金属杆质量均为m ，两杆与导轨接触良好．当金属杆a 进入磁场后恰好做匀速直线运动，当金属杆a 离开磁场时，金属杆b 恰好进入磁场，则( )A ．金属杆b 进入磁场后做加速运动B ．金属杆b 进入磁场后做匀速运动C ．两杆在穿过磁场的过程中，回路中产生的总热量为mgLD ．两杆在穿过磁场的过程中，回路中产生的总热量为mgL2解析：选BC.两杆从导轨顶端进入磁场过程中，均只有重力做功，故进入磁场时速度大小相等，金属杆a 进入磁场后做匀速运动，b 进入磁场后，a 离开磁场，金属杆b 受力与金属杆a 受力情况相同，故也做匀速运动，A 项错误、B 项正确；两杆匀速穿过磁场，减少的重力势能转化为回路的电热，即Q ＝2mgL sin 30°＝mgL ，C 项正确、D 项错误．2．(多选)如图所示，两足够长平行金属导轨固定在水平面上，匀强磁场方向垂直导轨平面向下，金属棒ab 、cd 与导轨构成闭合回路且都可沿导轨无摩擦滑动，两金属棒ab 、cd 的质量之比为2∶1.用一沿导轨方向的恒力F 水平向右拉金属棒cd ，经过足够长时间以后( )A ．金属棒ab 、cd 都做匀速运动B ．金属棒ab 上的电流方向是由b 向aC ．金属棒cd 所受安培力的大小等于2F3D ．两金属棒间距离保持不变解析：选BC.对两金属棒ab 、cd 进行受力分析和运动分析可知，两金属棒最终将做加速度相同的匀加速直线运动，且金属棒ab 速度小于金属棒cd 速度，所以两金属棒间距离是变大的，由楞次定律判断金属棒ab 上的电流方向由b 到a ，A 、D 错误，B 正确；以两金属棒整体为研究对象有：F ＝3ma ，隔离金属棒cd 分析其受力，则有：F －F 安＝ma ，可求得金属棒cd 所受安培力的大小F 安＝23F ，C 正确．3.(2016·泸州模拟)如图所示，两条足够长的平行金属导轨相距L ，与水平面的夹角为θ，整个空间存在垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度大小均为B ，虚线上方轨道光滑且磁场方向向上，虚线下方轨道粗糙且磁场方向向下．在导体棒EF 以初速度v 0沿导轨上滑至最大高度的过程中，导体棒MN 一直静止在导轨上．若两导体棒质量均为m 、电阻均为R ，导轨电阻不计，重力加速度为g ，在此过程中导体棒EF 上产生的焦耳热为Q ，求：(1)导体棒MN 受到的最大摩擦力； (2)导体棒EF 上升的最大高度．解析：(1)EF 获得向上的初速度v 0时，感应电动势 E ＝BL v 0电路中电流为I ，由闭合电路欧姆定律得I ＝E 2R此时对导体棒MN 进行受力分析，由平衡条件得 F A ＋mg sin θ＝F f F A ＝BIL解得F f ＝B 2L 2v 02R＋mg sin θ.(2)导体棒EF 上升过程中MN 一直静止，对系统，由能的转化和守恒定律，有 12m v 2＝mgh ＋2Q ， 解得h ＝m v 20－4Q2mg.答案：(1)B 2L 2v 02R ＋mg sin θ (2)m v 20－4Q2mg4．(2016·德阳市二诊)如图所示，质量均为m 的物体A 、B 之间用劲度系数为k 的轻弹簧连接，静止于倾角为θ的光滑斜面上，物体A 与挡板接触而不粘连．物体B 用平行于斜面的轻质细线绕过光滑的滑轮与水平导轨上的金属杆ab 连接．金属杆ab 、cd 的质量都为m 0，电阻都为R .金属杆长度及导轨的宽度均为d ，金属杆与导轨的接触良好，水平导轨足够长且光滑，电阻不计，导轨间有垂直于导轨平面向上的匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度为B .开始时整个系统处于静止状态，与杆连接的细线水平，细线刚好拉直而无作用力．现用恒定的水平力作用于cd 杆的中点，使杆cd 由静止开始向右运动，当杆cd 开始匀速运动时，物体A 恰好与挡板间无弹力．求：(1)从杆cd 开始运动到匀速运动过程中物体B 运动的距离L ； (2)cd 杆匀速运动的速度大小v ；(3)从cd 杆开始运动到匀速运动过程中，cd 杆产生的焦耳热为Q ，水平恒力做的功W 为多大？解析：(1)弹簧开始压缩量x 1＝mg sin θk挡板对物体A 恰无弹力时弹簧伸长量x 2＝mg sin θkB 移动距离L ＝x 1＋x 2＝2mg sin θk .(2)cd 杆匀速运动时有F ＝F A ＝2mg sin θ F A ＝BIL I ＝BL v2R得v ＝4mgR sin θB 2L 2.(3)由功能关系得W ＝12m 0v 2＋mgL sin θ＋Q 热Q 热＝2QW ＝8m 0m 2g 2R 2sin 2 θB 4L 4＋2m 2g 2sin 2θk ＋2Q .答案：(1)2mg sin θk (2)4mgR sin θB 2L 2(3)8m 0m 2g 2R 2sin 2 θB 4L 4＋2m 2g 2sin 2θk＋2Q5．如图甲，电阻不计的轨道MON 与PRQ 平行放置，ON 及RQ 与水平面的倾角θ＝53°，MO 及PR 部分的匀强磁场竖直向下，ON 及RQ 部分的磁场平行轨道向下，磁场的磁感应强度大小相同，两根相同的导体棒ab 和cd 分别放置在导轨上，与导轨垂直并始终接触良好．棒的质量m ＝1.0 kg ，R ＝1.0 Ω，长度L ＝1.0 m 与导轨间距相同，棒与导轨间动摩擦因数μ＝0.5，现对ab 棒施加一个方向水平向右，按图乙规律变化的力F ，同时由静止释放cd 棒，则ab 棒做初速度为零的匀加速直线运动，g 取10 m/s 2.(1)求ab 棒的加速度大小； (2)求磁感应强度B 的大小；(3)若已知在前2 s 内F 做功W ＝30 J ，求前2 s 内电路产生的焦耳热； (4)求cd 棒达到最大速度所需的时间． 解析：(1)对ab 棒：F f ＝μmg v ＝atF －BIL －F f ＝ma F ＝m (μg ＋a )＋B 2L 2at2R由题图信息，代入数据解得：a ＝1 m/s 2. (2)当t 1＝2 s 时，F ＝10 N ，由(1)知 B 2L 2at2R＝F －m (μg ＋a )，得B ＝2 T. (3)0～2 s 过程中，对ab 棒，x ＝12at 21＝2 mv 2＝at 1＝2 m/s由动能定理知：W －μmgx －Q ＝12m v 22代入数据解得Q ＝18 J.(4)设当时间为t ′时，cd 棒达到最大速度， F N ′＝BIL ＋mg cos 53° F f ′＝μF N ′mg sin 53°＝F f ′mg sin 53°＝μ⎝⎛⎭⎫B 2L 2at ′2R ＋mg cos 53° 解得t ′＝5 s.答案：(1)1 m/s 2 (2)2 T (3)18 J (4)5 s 6．(2016·安徽蚌埠三县联谊校联考)如图所示，两根足够长且平行的光滑金属导轨所在平面与水平面成α＝53°角，导轨间接一阻值为3 Ω的电阻R ，导轨电阻忽略不计．在两平行虚线间有一与导轨所在平面垂直的匀强磁场，磁场区域的宽度为d ＝0.5 m ．导体棒a 的质量为m 1＝0.1 kg 、电阻为R 1＝6 Ω；导体棒b 的质量为m 2＝0.2 kg 、电阻为R 2＝3 Ω，它们分别垂直导轨放置并始终与导轨接触良好．现从图中的M 、N 处同时将a 、b 由静止释放，运动过程中它们都能匀速穿过磁场区域，且当a 刚出磁场时b 正好进入磁场．(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，g 取10 m/s 2，a 、b 电流间的相互作用不计)，求：(1)在b 穿越磁场的过程中a 、b 两导体棒上产生的热量之比；(2)在a 、b 两导体棒穿过磁场区域的整个过程中，装置上产生的热量； (3)M 、N 两点之间的距离．解析：(1)在b 穿越磁场的过程中，b 相当于电源，a 与R 是外电路，则有I b ＝I a ＋I R . a 与R 是并联关系，则有I a R 1＝I R R ，a 产生的热量为Q a ＝I 2a R 1t ，b 产生的热量为Q b ＝I 2b R 2t . 则Q a ∶Q b ＝I 2a R 1∶I 2b R 2，代入数据可解得Q a ∶Q b ＝2∶9. (2)a 、b 穿过磁场区域的整个过程中，由能量守恒可得， Q ＝m 1g sin α·d ＋m 2g sin α·d ，代入数据解得Q ＝1.2 J. (3)设a 进入磁场的速度大小为v 1，此时电路中的总电阻R 总1＝R 1＋RR 2R ＋R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋3×33＋3 Ω＝7.5 Ω设b 进入磁场的速度大小为v 2，此时电路中的总电阻R 总2＝R 2＋R 1R R 1＋R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋6×36＋3 Ω＝5 Ω由m 1g sin α＝B 2L 2v 1R 总1和m 2g sin α＝B 2L 2v 2R 总2，可得v 1v 2＝m 1R 总1m 2R 总2＝34.设a 匀速运动时，m 2g sin α＝m 2a 0，v 2＝v 1＋a 0d v 1，联立并代入数据解得v 21＝12 m 2/s 2，则v 22＝169v 21. M 、N 两点之间的距离Δs ＝v 222a 0－v 212a 0＝712 m.答案：(1)2∶9 (2)1.2 J (3)712 m。

电磁感应中的双杆模型问题与强化训练（附详细参考答案）一、双杆模型问题分析及例题讲解：1．模型分类：双杆类题目可分为两种情况：一类是“一动一静”，即“假双杆”，甲杆静止不动，乙杆运动，其实质是单杆问题，不过要注意问题包含着一个条件：甲杆静止，受力平衡。

另一种情况是两杆都在运动，对于这种情况，要注意两杆切割磁感线产生的感应电动势是相加还是相减。

2．分析方法：通过受力分析，确定运动状态，一般会有收尾状态。

对于收尾状态则有恒定的速度或者加速度等，再结合运动学规律、牛顿运动定律和能量观点分析求解。

题型一:一杆静止，一杆运动【题1】如图所示，电阻不计的平行金属导轨固定在一绝缘斜面上，两相同的金属导体棒a、b垂直于导轨静止放置，且与导轨接触良好，匀强磁场垂直穿过导轨平面。

现用一平行于导轨的恒力F作用在a的中点，使其向上运动。

若b始终保持静止，则它所受摩擦力可能A．变为0 B．先减小后不变C．等于F D．先增大再减小【答案】AB【题2】如图所示，两条平行的金属导轨相距L ＝1 m ，金属导轨的倾斜部分与水平方向的夹角为37°，整个装置处在竖直向下的匀强磁场中。

金属棒MN 和PQ 的质量均为m ＝0.2 kg ，电阻分别为R MN ＝1 Ω和R PQ ＝2 Ω。

MN 置于水平导轨上，与水平导轨间的动摩擦因数μ＝0.5，PQ 置于光滑的倾斜导轨上，两根金属棒均与导轨垂直且接触良好。

从t ＝0时刻起，MN 棒在水平外力F 1的作用下由静止开始以a ＝1 m/s 2的加速度向右做匀加速直线运动，PQ 则在平行于斜面方向的力F 2作用下保持静止状态。

t ＝3 s 时，PQ 棒消耗的电功率为8 W ，不计导轨的电阻，水平导轨足够长，MN 始终在水平导轨上运动。

求：（1）磁感应强度B 的大小；（2）t ＝0～3 s 时间内通过MN 棒的电荷量；（3）求t ＝6 s 时F 2的大小和方向；（4）若改变F 1的作用规律，使MN 棒的运动速度v 与位移 x 满足关系：v ＝0.4x ，PQ 棒仍然静止在倾斜轨道上。

题型专练四电磁感应中的单、双杆模型这部分知识单独考查一个知识点的试题非常少，大多数情况都是同时涉及到几个知识点，而且都是牛顿运动定律、功和能、法拉第电磁感应定律、楞次定律、左手定则、右手定则、动量守恒定律、动量定理、能量守恒定律等内容结合起来考查，考查时注重物理思维与物理能力的考核.例题1.（多选）如图所示，一个水平放置的“∠”形光滑金属导轨固定在方向竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场中，ab是粗细、材料与导轨完全相同的导体棒，导体棒与导轨接触良好。

在外力作用下，导体棒以恒定速度v向右平动，导体棒与导轨一边垂直，以导体棒在图中所示位置的时刻作为计时起点，则下列关于回路中感应电动势E、感应电流I、导体棒所受外力的功率P和回路中产生的焦耳热Q随时间变化的图像正确的是（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】A．设“∠”形导轨的夹角为θ，经过时间t，导体棒的水平位移为x=vt导体棒切割磁感线的有效长度L = vt ·tan θ所以回路中感应电动势E = BLv = Bv 2t ·tan θ感应电动势与时间t 成正比，A 正确；B ．相似三角形的三边长之比为定值，故组成回路的三角形导轨总长度与时间成正比，而感应电动势与时间也成正比，故感应电流大小与时间无关，为定值，B 错误；C ．导体棒匀速移动，外力F 与导体棒所受安培力为一对平衡力，故外力的功率P = Fv = BILv = BIv 2t ·tan θ与时间t 成正比，C 正确；D ．回路中产生的焦耳热Q = I 2Rt ，回路电阻R 与t 成正比，故焦耳热Q 与t 2成正比，D 错误。

故选AC 。

例题2. （多选）如图所示，两条间距为L 足够长的平行金属导轨固定，所在平面与水平面的夹角为30°，两导轨所在的平面内存在着垂直于导轨所在平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B 。

将两根导体棒ab ，cd 相隔一定距离放在导轨上，同时由静止释放，两导体棒始终与导轨垂直且接触良好，两导体棒的质量均为m ，两棒接入的电阻均为R ，其他电阻不计。

专题33 电磁感觉中的“双杆”模型1．一空间有垂直纸面向里的匀强磁场B，两条电阻不计的平行圆滑导轨竖直搁置在磁场内，如下图，磁感觉强度B＝0.5 T，导体棒ab、cd长度均为0.2 m，电阻均为0.1 Ω，重力均为0.1 N，现使劲向上拉动导体棒ab，使之匀速上涨（导体棒ab、cd与导轨接触优秀），此时cd静止不动，则ab上涨时，以下说法正确的选项是A．ab遇到的拉力大小为2 NB．ab向上运动的速度为2 m/sC．在2 s内，拉力做功，有0.4 J的机械能转变为电能D．在2 s内，拉力做功为0.6 J【答案】BC2．粗细平均的电阻丝围成的正方形线框原来整个置于有界匀强磁场内，磁场方向垂直于线框平面，其界限与正方形线框的边平行，现使线框沿四个不一样方向以同样速率v匀速平移出磁场，如下图，线框移出磁场的整个过程A．四种状况下ab两头的电势差都同样B．①图中流过线框的电荷量与v的大小没关C．②图中线框的电功率与v的大小成正比D．③图中磁场力对线框做的功与v2成正比【答案】B【分析】由法拉第电磁感觉定律E＝ΔΦ/Δt，闭合电路欧姆定律I＝E/R，电流定义式I＝q/Δt可得q＝ΔΦ/R，线框沿四个不一样方向移出磁场，流过线框的电荷量与v的大小没关，选项B正确。

四种状况下ab两头的电势差不同样，选项A错误。

②图中线框的电功率P＝E2/R，E＝BLv，P与v的二次方大小成正比，选项C错误；③图中磁场力F＝BIL，I＝E/R，E＝BLv，磁场力对线框做功W＝FL，磁场力对线框做的功与v成正比，选项D错误。

7．（多项选择）在如下图的倾角为θ的圆滑斜面上，存在着两个磁感觉强度大小均为B 的匀强磁场，地区Ⅰ的磁场方向垂直斜面向上，地区Ⅱ的磁场方向垂直斜面向下，磁场的宽度均为L，一个质量为m、电阻为R、边长也为L的正方形导线框，由静止开始沿斜面下滑，当ab边刚超出GH进入磁场Ⅰ区时，恰巧以速度v1做匀速直线运动；当ab边下滑到JP与MN 的中间地点时，线框又恰巧以速度v2做匀速直线运动，从ab边超出GH到抵达MN与JP的中间地点的过程中，线框的动能变化量为ΔE k，重力对线框做功大小为W1，安培力对线框做功大小为W2，以下说法中正确的有A．在下滑过程中，因为重力做正功，所以有v2>v1B．从ab边超出GH到抵达MN与JP的中间地点的过程中，线框的机械能守恒C．从ab边超出GH到抵达MN与JP的中间地点的过程中，有W1－ΔE k的机械能转变为电能D．从ab边超出GH到抵达MN与JP的中间地点的过程中，线框动能的变化量大小ΔE k ＝W1－W2【答案】CD8．（多项选择）如图甲所示，圆滑绝缘水平面上，虚线MN的右边存在磁感觉强度B＝2 T的匀强磁场，MN的左边有一质量m＝0.1 kg的矩形线圈abcd，bc边长L1＝0.2 m，电阻R ＝2 Ω。