产生正态分布随机数及M序列
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1. 编制两种方法产生正态分布随机数的程序并进行验证分析； 编程思路：产生正态分布随机数的两种方法：
（1） 统计近似抽样法：
a.设{i y }是（0,1）均匀分布的随机数序列，则
{}1
()0.5y i i i i E y y p y dy μ===⎰
1
220
()()1/12y i y i i y p y dy σμ=-=⎰
b.根据中心极限定理，当N →∞时，
1
1
2
()2
()~(0,1)/12
N
N
i y
i i i y
N
y k N y x k N N N μ
σ==--=
=
∑∑
c.如需产生均值为x μ，方差为2x σ的正态分布随机变量x ，只需如下计算：
212
~(,)/12
N
i i x x x x N y x N N μσμσ=-
=+∑，试验证明12N =时，x 的统计性质就
比较理想了。
（2） 变换抽样法：
设12,y y 是两个相互独立的（0,1）均匀分布的随机变量，则新变量
1/21121/2
212(2log )cos(2)
(2log )sin(2)
x y y x y y ππ⎧=-⎨=-⎩ 是相互独立的，服从(0,1)N 分布的随机变量。
利用统计近似抽样法和变换抽样法的定义及之前产生（0,1）均匀分布的随机数的基本方法如乘同余法、混合同余法等产生正态分布随机数。
调试过程遇到的问题：（1）在用统计近似抽样法产生正态分布随机数时，给定,μσ，然后用
Matlab 自带函数检验结果，感觉数据老对不上？
解决方法：自己设定的,μσ分别是均值，标准差，利用Matlab 自带函
数mean(),var()计算出来的分别是均值，方差，总觉得方差老对不上，其实是自己理解问题，var()计算出来的方差数值肯定是自己设定的标准差的平方大小左右。
（2）Matlab 下标从1开始；做运算两个矩阵的尺寸大小得对应上，还有
调用的值一定得有值。
程序运行结果分析得到的结论：
（1）统计近似抽样法：
50010001500200025003000350040004500
-50
5
10
统计近似抽样法（1）
-4
-202468050100150
200 0
50
100
150200250300
350
-4-2
024
6统计近似抽样法（2）
-3
-2-101234567
010203040
统计近似抽样法中要用产生的（0,1）序列的12个数的和，但具体哪12个，不太清楚，图（1）是：z(1)用的是x(1)~x(12),z(2)用的是x(2)~x(13),以此类推。
图（2）是把原来的（0,1）序列x 矩阵重新排列，成12的倍数，12行或者12列都行，按列和或者行和相加代入运算。
设定的2, 1.5μσ==，Matlab 计算结果：图一 1.9430, 1.5039μσ==；图二 1.9361, 1.4854μσ== 相比之下，第一种方法更接近理论值，当然这也与样本的大小多少脱离不了关系，图一正态分布随机数序列矩阵大小1*4096，图二正态分布随机数序列矩阵大小1*343.当然，不管哪种方法，计算出来的均值方差都与理论值接近，也少不了误差。
可见，利用统计近似抽样方法可以产生正态分布随机数。
（2）变换抽样法：
50010001500200025003000350040004500
-6-4-20
24变换抽样法（1）
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
050100150200
250050010001500200025003000350040004500
-4-20
2
4变换抽样法（2）
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
050100150200250
利用课本上给的参考数值，得出(0,1)N 正态分布随机数。
图一0.00028113,0.9924μσ=-=；图二0.010419,0.9955μσ=-=，可见均值，标准差计算数值与给定理论值还是比较接近的。
所以，变换抽样法也可以产生正态分布随机数。
当然，以上方法都采用了混合同余法生成（0,1）均匀分布的随机数序列，误差大小也与所取的M ，A ，C 有关。
2.用下式产生伪随机数
1((21))(mod2)n p i i x x c +=++，21,n p ≤≤-c 为奇数。
编程思路：混合同余法：
混合同余法产生伪随机数的递推同余式为：
1()(mod )i i y Ay C M -=+ 其中2,2,21k n M k A =>=+，
C 为正整数，初值0y 为非负数，则/i i x y M =是周期为2k
的随机数。
利用混合同余法定义，选取合适参数，来产生随机数。
程序运行结果分析得到的结论：
050010001500200025003000350040004500
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
伪随机序列
并计算得0.4959,0.2891μσ==。
均值理论值为0.5,很接近，均方差理论值为0.3333,相对于均值来讲误差大些。
3. （1）用49i i i x x x --=⊕产生M 序列；
（2）以此M 序列为基础产生逆M 序列； （3）并将逆M 序列的幅值变为-a ，+a 。
编程思路：一段无限长二元序列121,,
,,
p p x x x x +各元素之间满足
1122i i i p i p x a x a x a x ---=⊕⊕⊕ ，121,,,p a a a -取0或1，p a =1，适当选择
121,,
,p a a a -可以使序列以(21)p -bit 的最长周期循环。
可以用线性反馈移位
寄存器产生M 序列，然后与周期为2bit 的序列相异或得到逆M 序列，再改变幅值即可。
调试过程遇到的问题：（1）因为给的式子是49i i i x x x --=⊕，所以写for 循环时得从10开始； （2）M 序列应赋9个初值，且算0,1个数时得写到循环里面。
程序运行结果分析得到的结论：
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
00.20.40.60.8
1M 序列
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
00.20.40.60.8
1
0102030405060708090100
-4
-202
4逆M 序列
0102030405060708090100
-4
-202
4
程序中检验了一个周期((21)p p N =-)M 序列中逻辑“0”和“1”出现的次数，一个周期（2p N ）逆M 序列中逻辑“0”和“1”出现的次数。
结果为M 序列中count0=255，count1=256，满足M 序列的性质：一个循环周期中逻辑“1”出现的次数比逻辑“0”出现的次数多一次；逆M 序列中c0=511，c1=511，满足逆M 序列的性质：一个循环周期中逻辑“1”和逻辑“0”出现的几率均等。
说明移位寄存器产生的M 序列是正确的。
