随机数的产生和特性曲线

标准实验报告实验名称：随机数的产生及统计特性分析实验报告学生姓名：学号：指导教师：实验室名称：通信系统实验室实验项目名称：随机数的产生及统计特性分析实验学时：6（课外）【实验目的】随机数的产生与测量：产生瑞利分布随机数，测量它们的均值、方差、相关函数，分析其直方图、概率密度函数及分布函数。

通过本实验进一步理解随机信号的一、二阶矩特性及概率特性。

【实验原理】瑞利分布密度函数为：)0(,0,)(2222>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥=-σσσxxexxfx均值与方差：EX =σπ2，V ar(X）=2)22(σπ-相关函数：⎰+∞∞--=+=)(*)()()()(txtxdttxtxrxττ均值各态历经定义：E[X(t)]以概率1等于A[X(t)],则称X(t)均值各态历经。

物理含义为：只要观测的时间足够长，每个样本函数都将经历信号的所有状态，因此，从任一样本函数中可以计算出其均值。

——“各态历经性”、“遍历”。

于是，实验只需在其任何一个样本函数上进行就可以了，问题得到极大简化。

【实验记录】程序执行结果：rayl_mean =3.7523 err_mean = 0.7523 rayl_var = 3.8303 err_var = 0.8303【实验分析】可以看到，统计均值、统计方差与理论值都很接近。

当序列长度为1000时候，均值误差为5.63%，方差误差为12.19%；当序列长度为10000时，均值误差为0.79%，方差误差为1.04%，可以看到随着序列长度增大，样本的统计均值与统计方差与理论值得误差明显减小，当序列长度足够大的时候，样本的统计均值与统计方差会趋近与理论均值与理论方差，可以用统计均值、统计方差来计算理论均值与方差。

通过比较样本的直方图，与理论的瑞利分布概率密度函数图，发现样本出现的频率分布趋近于理论概率值，可见，当样本足够大的时候，随机变量取值的频率趋近于其概率，可以用频率分布近似概率分布。

§3.2.2 <整数值）随机数(randon numbers>的产生学习目标让学生学会用计算机产生随机数.重点难点重点: 理解古典概型及其概率计算公式. 难点: 设计和运用模拟方法近似计算概率.学法指导1.用计算机或计算器产生的随机数，是依照确定的算法产生的数，具有周期性<周期很长），这些数有类似随机数的性质，但不是真正意义上的随机数，称为伪随机数.b5E2RGbCAP2.随机模拟方法是通过将一次实验所有等可能发生的结果数字化，由计算机或计算器产生的随机数，来替代每次实验的结果，其基本思想是用产生整数值随机数的频率估计事件发生的概率，这是一种简单、实用的科研方法，在实践中p1EanqFDPw 有着广泛的应用.知识链接古典概型的概念、意义和基本性质问题探究【创设情境】通过大量重复实验，反复计算事件发生的频率，再由频率的稳定值估计概率，是十分费时的.对于实践中大量<非）古典概型的事件概率，又缺乏相关原理和公式求解.因此，我们设想通过计算机模拟实验解决这些矛盾. DXDiTa9E3d 【探究新知】<一）：随机数的产生思考1：对于某个指定范围内的整数，每次从中有放回随机取出的一个数都称为随机数. 那么你有什么办法产生1～20之间的随机数 .RTCrpUDGiT思考2：随机数表中的数是0～9之间的随机数，你有什么办法得到随机数表？方法一：我们可以利用计算器产生随机数，其操作方法见教材P130及计算器使用说明书.方法二：我们也可以利用计算机产生随机数，用Excel演示:<1）选定Al格，键人___ ___ ，按Enter键，则在此格中的数是随机产生数；<2）选定Al格，点击复制，然后选定要产生随机数的格，比如A2至A100，点击粘贴，则在A1至A100的数均为随机产生的0～9之间的数，这样我们就很快就得到了100个0～9之间的随机数，相当于做了100次随机实验.5PCzVD7HxA 思考3：若抛掷一枚均匀的骰子30次，如果没有骰子，你有什么办法得到实验的结果？思考5：一般地，如果一个古典概型的基本事件总数为n，在没有实验条件的情况下，你有什么办法进行m次实验，并得到相应的实验结果？jLBHrnAILg将n个基本事件编号为1，2，…，n，由计算器或计算机产生m个1～n之间的随机数.【探究新知】<二）：随机模拟方法思考1：对于古典概型，我们可以将随机实验中所有基本事件进行编号，利用计算器或计算机产生随机数，从而获得实验结果.这种用计算器或计算机模拟实验的方法，称为随机模拟方法或蒙特卡罗方法<Monte Carlo）.你认为这种方法的最大优点是什么？xHAQX74J0X思考2：用随机模拟方法抛掷一枚均匀的硬币100次，那么如何统计这100次实验中“出现正面朝上”的频数和频率.LDAYtRyKfE除了计数统计外，我们也可以利用计算机统计频数和频率，用Excel演示：<1）选定C1格，键人频数函数___ ___ ___ ___ ，按Enter键，则此格中的数是统计Al至Al00中比0.5小的数的个数，即0出现的频数，也就是反面朝上的频数；Zzz6ZB2Ltk<2）选定Dl格，键人“＝1-C1／1OO”，按Enter键，在此格中的数是这100次实验中出现1的频率，即正面朝上的频率．dvzfvkwMI1思考3：把抛掷两枚均匀的硬币作为一次实验，则一次实验中基本事件的总数为多少？若把这些基本事件数字化，可以怎样设置？rqyn14ZNXI可以用0表示第一枚出现正面，第二枚出现反面，1表示第一枚出现反面，第二枚出现正面，2表示两枚都出现正面，3表示两枚都出现反面. EmxvxOtOco【知识迁移】例天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，用随机模拟方法估计这三天中恰有两天下雨的概率约是多少？SixE2yXPq5要点分析：<1）设计模型：今后三天的天气状况是随机的，共有四种可能结果，每个结果的出现不是等可能的.用数字1，2，3，4表示下雨，数字5，6，7，8，9，0表示不下雨，体现下雨的概率是40%.6ewMyirQFL<2）模拟实验：用计算机产生三组随机数，代表三天的天气状况.产生30组随机数，相当于做30次重复实验.kavU42VRUs<3）统计实验结果：以其中表示恰有两天下雨的随机数的频率作为这三天中恰有两天下雨的概率的近似值. Excel演示.y6v3ALoS89事实上，高二学习了有关概率原理<二项分布）后易知，这三天中恰有两天下雨的概率.练习某篮球爱好者，做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是40%，那么在连续三次投篮中，恰有两次投中的概率是多少？M2ub6vSTnP 分析：其投篮的可能结果有有限个，但是每个结果的出现不是等可能的，所以不能用古典概型的概率公式计算，我们用计算机或计算器做模拟实验可以模拟投篮命中的概率为40%。

《概率论与随机信号分析》实验报告一、实验目的与任务1.了解随机数的产生方法；2.了解常用随机数的概率分布函数、分布律和概率密度函数。

二、实验原理随机数的产生有好多方法，可以利用乘积法和同余法产生【0,1】之间的均匀分布，然后利用函数变换法产生所需不同分布的随机数。

可以按照所产生的随机数，对落在不同区间的数据进行统计，从而画出所产生的随机数的统计特性。

所有这些工作我们可以自己动手用matlab，VC或VB等语言进行编程实现。

在现代系统仿真中，大量地使用matlab工具，而且它也提供了非常丰富的函数来产生经常使用的分布的随机数，比如rand，randn就是用来产生均匀分布随机数和高斯分布随机数的。

本实验充分利用matlab提供的工具来产生随机数，验证和观察其统计特性。

1.disttool：分布函数和密度函数的可视化工具分布函数和密度函数的工具能够产生22种常用分布的概率分布曲线和概率密度曲线，并通过图形方式显示。

我们还可以通过修改参数产生同一种分布不同参数的概率分布曲线和概率密度曲线。

2.randtool：随机变量模拟工具随机变量模拟工具能够模拟产生22种常用分布的随机数，并可以通过修改它们的参数产生同一种分布不同参数的随机数，并通过图形方式显示它们的概率密度统计。

三、实验内容与结果1.绘制正态分布密度函数曲线建立normal.m脚本文件，并运行x=-10:0.1:10；u=0，c2=4；c1=sqrt（c2）；f=1/（sqrt（2*pi）*d）*exp（-（x-u）^2/2/c2）;正态概率密度函数plot（x，f）；改变均值u，方差c2，以及x的值等参数，绘制不同参数情况下的正态分布密度曲线，看看是否与自己设想的图形变化一致。

2.利用disttool产生不同分布、不同参数的分布函数和分布函数密度曲线，观察各种分布曲线的特点，并记录二项分布、正态分布、指数分布、瑞利分布曲线。

正态：二项分布：指数分布：瑞利分布：3.利用randtool工具，产生不同分布、不同参数的随机数并进行统计，绘制密度函数曲线，并观察和记录不同样本数时统计特性的差别。

随机数的产生1.随机数的概念随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的.它可以帮助我们模拟随机试验，特别是一些成本高、时间长的试验，用随机模拟的方法可以起到降低成本，缩短时间的作用.2.随机数的产生方法：一般用试验的方法，如把数字标在小球上，搅拌均匀，用统计中的抽签法等抽样方法，可以产生某个范围内的随机数.在计算器或计算机中可以应用随机函数产生某个范围的伪随机数，当作随机数来应用.3.随机模拟法(蒙特卡罗法)：用计算机或计算器模拟试验的方法，具体步骤如下：(1)用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；(2)统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；(3)计算频率()n Mf AN作为所求概率的近似值.要点诠释：1.对于抽签法等抽样方法试验，如果亲手做大量重复试验的话，花费的时间太多，因此利用计算机或计算器做随机模拟试验可以大大节省时间.2.随机函数RANDBETWEEN(a，b)产生从整数a到整数b的取整数值的随机数.3. 随机数具有广泛的应用，可以帮助我们安排和模拟一些试验，这样可以代替我们自己做大量重复试验，比如现在很多城市的重要考试采用产生随机数的方法把考生分配到各个考场中.4.在区间[a，b]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数.5.利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值.6.用随机模拟试验不规则图形的面积的基本思想是，构造一个包含这个图形的规则图形作为参照，通过计算机产生某区间内的均匀随机数，再利用两个图形的面积之比近似等于分别落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之比来解决.7.利用计算机和线性变换Y=X*(b-a)＋a，可以产生任意区间[a，b]上的均匀随机数.。

随机数生成及‎各概率分布一．随机数生成及‎（0，1）均匀分布1.乘同余法生成‎随机数：乘同余法的迭‎代式如下:Xn+1=Lamda*Xn(mod M)Rn+1=Xn/M这里取X0=1,Lamda=7^5,M=2^31-1;利用乘同余法‎生成的300‎个（0，1）之间的随机数‎为（这里仅显示2‎00个数据）0.0000 0.1315 0.7556 0.4587 0.5328 0.2190 0.0470 0.6789 0.6793 0.9347 0.3835 0.5194 0.8310 0.0346 0.0535 0.5297 0.6711 0.0077 0.3834 0.0668 0.4175 0.6868 0.5890 0.9304 0.8462 0.5269 0.0920 0.6539 0.4160 0.7012 0.9103 0.7622 0.2625 0.0475 0.7361 0.3282 0.6326 0.7564 0.9910 0.3653 0.2470 0.9826 0.7227 0.7534 0.6515 0.0727 0.6316 0.8847 0.2727 0.4364 0.7665 0.4777 0.2378 0.2749 0.3593 0.1665 0.4865 0.8977 0.9092 0.0606 0.9047 0.5045 0.5163 0.3190 0.9866 0.4940 0.2661 0.0907 0.9478 0.0737 0.5007 0.3841 0.2771 0.9138 0.5297 0.4644 0.9410 0.0501 0.7615 0.7702 0.8278 0.1254 0.0159 0.6885 0.8682 0.6295 0.7362 0.7254 0.9995 0.8886 0.2332 0.3063 0.3510 0.5133 0.5911 0.8460 0.4121 0.8415 0.2693 0.4154 0.5373 0.4679 0.2872 0.1783 0.1537 0.5717 0.8024 0.0331 0.5344 0.4985 0.9554 0.7483 0.5546 0.8907 0.6248 0.8420 0.1598 0.2128 0.7147 0.1304 0.0910 0.2746 0.0030 0.4143 0.0269 0.7098 0.9379 0.2399 0.1809 0.3175 0.8870 0.6521 0.1503 0.6813 0.3858 0.3877 0.4997 0.1475 0.5872 0.8456 0.5901 0.9554 0.5561 0.1482 0.9833 0.4088 0.1418 0.5649 0.2521 0.4885 0.4640 0.9611 0.1260 0.1998 0.3192 0.6293 0.1267 0.6513 0.6216 0.8031 0.2478 0.4764 0.3893 0.2033 0.0284 0.9017 0.4265 0.1420 0.9475 0.4103 0.1312 0.8856 0.0922 0.1622 0.0711 0.3653 0.2531 0.1351 0.7832 0.4553 0.3495 0.4523 0.8089 0.9317 0.6516 0.2152 0.6796 0.9089 0.2501 0.8609 0.4713 0.5060 0.6004 0.8176 0.7558 0.4622 0.9514 0.6327 0.4393 0.8247 2.（0，1）均匀分布数据‎的检验（1）通过计算得均‎值为()5081.0=X E ，二阶矩为()3423.02=X E ，方差为0842.02=S（2）均基本满足（0，1）均匀分布的均‎值()21=X E ，二阶矩为()312=X E ，方差为1212=S 所以认为该随‎机序列基本上‎符合（0，1）均匀分布。

第一节均匀随机数的产生及其应用§1.1 随机数的产生§1.1.1 均匀随机数的产生随机变量X 的抽样序列 ,,,,21n X X X 称为随机数列。

若随机变量X 是均匀分布的，则X 的抽样序列 ,,,,21n X X X 称为均匀随机数列；如果X 是正态分布的随机变量，则称其抽样序列为正态随机数列。

用数学方法产生随机数，就是利用计算机能直接进行算术运算或逻辑运算的特点，产生具有均匀总体、简单子样统计性质的随机数。

计算机利用数学方法产生随机数速度快，占用内存少，对模拟的问题可以进行复算检查，通常还具有较好的统计性质。

另外，计算机上用数学方法产生随机数，是根据确定的算法推算出来的，因此严格说来，用数学方法在计算机上产生的“随机数”不能说是真正的随机数，故一般称之为“伪随机数”。

不过对这些伪随机数，只要通过统计检验符合一些统计要求，如均匀性、随机性、独立性等，就可以作为真正的随机数来使用。

以后，我们统称这样产生的伪随机数为随机数。

首先给出产生均匀随机数的方法，这是产生具有其它分布随机数的基础，而后给出产生其它分布随机数的方法。

§1.1.1 均匀随机数的产生方法线性同余法简称为LCG 法（Linear Congruence Generator ），它是Lehmer 于1951年提出来的。

线性同余法利用数论中的同余运算原理产生随机数。

分为乘同余法、混合同余法等，线性同余法是目前发展迅速且使用普遍的方法之一。

线性同余法递推公式为)(m o d 1M c ax x n n +≡- ,,2,1, ==n Mx r nn其中0x 为初值，a 为乘子，c 为增量，M 为模，且c a x ,,0和M 皆为非负整数。

当0=c 时，上式称为乘同余法公式；当0>c 时，上式称为混合同余法公式。

如下例用乘同余法产生伪随机数：例1：1117(mod11)n n x x x +=⎧⎨≡⎩ 1234567891011121;7;5;2;3;10;4;6;9;8;1;7;......x x x x x x x x x x x x ============上述方法虽产生了随机数，但只产生1-10之间的数。

我看了你的表，明白你的意思是要生成1——10之间的整数随机数。

但你说要根据已经有的一列数，这我就不明白了。

因为无规律的随机数不应该和已给的随机数有关。

否则又怎么能称得上真正的随机数呢。

=RAND（）此函数是生成0～1之间的随机小数。

若要生成 a 与 b 之间的随机实数，应使用： =RAND()*(b-a)+a所以若生成1 与 10 之间的随机实数，应使用： =RAND()*9+1 =RAND()*4+1再来看下一个函数，求整函数=int(a)表示的是求不大于a的最大整数，比如int(6.78)=6;int(9)=9;int(-1.5)=-2int(π)=3现在把这两个函数结合到一起，就可以完成你的问题了。

选中某一列的第一行的单元格，在其中输入=int(rand()*9)+1或者输入：=int(rand()*9+1) =int(rand()*4+1)都可以得到1-10之间的一个随机整数。

然后用鼠标拖动该单元右下角的填充柄向下拖动，就可以得到一列符合条件的1-10之间的随机整数了。

用同样的方法你也可以得到一行或多行或多列甚至一个工作表的随机数。

看了以上的说明步骤，希望你能读懂，助你学习快乐！=IF（ROW（1:1）>$B$2,"",RANDBETWEEN(1,12-2*(COUNTIF($A$1:A1,">10")=INT($B$2*20%))))=IF（ROW（1:1）>$B$2,"",RANDBETWEEN(1,22-2*(COUNTIF($A$1:A1,">20")=INT($B$2*20%))))=IF（ROW（1:1）>$B$2,"",RANDBETWEEN(1,7-2*(COUNTIF($A$1:A1,">5")=INT($B$2*20%))))=IF（ROW（1:1）>$B$2,"",RANDBETWEEN(1,5-2*(COUNTIF($A$1:A1,">3")=INT($B$2*20%))))=IF（ROW（1:1）>$B$2,"",RANDBETWEEN(1,17-2*(COUNTIF($A$1:A1,">15")=INT($B$2*20%))))=IF（ROW（1:1）>$B$2,"",RANDBETWEEN(1,10-2*(COUNTIF($A$1:A1,">8")=INT($B$2*20%))))=IF（ROW（1:1）>$B$2,"",RANDBETWEEN(1,27-2*(COUNTIF($A$1:A1,">25")=INT($B$2*20%))))=IF（ROW（1:1）>$B$2,"",RANDBETWEEN(1,2-2*(COUNTIF($A$1:A1,">2")=INT($B$2*20%))))=IF（ROW（1:1）>$B$2,"",RANDBETWEEN(1,32-2*(COUNTIF($A$1:A1,">30")=INT($B$2*20%)))) Excel表格公式大全来源：段惠的日志1、查找重复内容公式：=IF(COUNTIF(A:A,A2)>1,"重复","")。

生成正态分布随机数曲线正态分布随机数曲线指的是符合正态分布概率分布的随机数所构成的曲线。

正态分布是统计学中最常见的分布之一，也被称为高斯分布或钟形曲线。

在自然界中，许多现象都符合正态分布，如人的身高、智力、体重等，因此正态分布在实际应用中具有重要的作用。

正态分布随机数曲线的形状和特征取决于两个参数：均值（μ）和标准差（σ）。

其中，均值表示分布的中心位置，标准差反映了分布的离散程度。

在一个标准正态分布中，均值为0，标准差为1。

生成正态分布随机数曲线的方法有很多种。

下面介绍两种主要方法：Box-Muller转换和基于Ziggurat算法的方法。

Box-Muller转换是一种常用的生成正态分布随机数的方法。

其基本思想是将两个均匀分布的随机数转换成一个正态分布的随机数。

具体操作为：1. 生成两个服从[0,1)均匀分布的随机数（u1, u2）。

2. 计算两个新的独立的随机数（z1, z2），其中z1 = sqrt(-2 * ln(u1)) * cos(2 * pi * u2)，z2 = sqrt(-2 * ln(u1)) * sin(2 * pi * u2)。

3. z1和z2就是两个符合标准正态分布的随机数。

通过Box-Muller转换可以得到满足一般正态分布的随机数。

具体操作如下：3. 根据目标分布的均值（μ）和标准差（σ），计算符合目标分布的随机数x1 = μ + σ * z1，x2 = μ + σ * z2。

Ziggurat算法是一种快速和高效地生成正态分布随机数的方法。

其基本思想是将正态分布分成多个星型区域，然后采用逐层逼近方法进行采样，从而控制了算法的复杂度。

相对于Box-Muller转换，Ziggurat算法更加快速和精确。

总的来说，生成正态分布随机数曲线是一个实用而有趣的问题。

通过理解正态分布的基本特征，我们可以更好地了解自己和周围的世界。

因此，我们应该注重这个问题，并尝试开发更多的新算法和新方法来解决这个问题。