连续型分布随机数的产生

连续型随机变量的分布及其数字特征一、基本概念设随机变量X 的分布函数为F (x )，若存在非负函数f (x )，使对任意实数x ，有X x F {P )(=≤⎰∞-=xx x f x d )(}则称X 为连续型随机变量，并称 f (x )为X 的概率密度，它满足以下性质：① f (x )≥0，-∞＜x ＜+∞; ② ⎰+∞∞-=1d )(x x f ; ③ P{a <x ≤b }=F (b )-F (a )=⎰ba x x f d )(; ④ P{x =a }=0．二、常见的三种连续型随机变量的概率分布常用的三种连续型随机变量的概率分布是均匀分布、指数分布和正态分布． （1） 均匀分布若连续型随机变量X 的概率密度为 ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0;,1)(b x a ab x f MATLAB 提供的有关均匀分布的函数如下：unifpdf(X ,A ,B ) 均匀分布的密度函数 unifcdf(X ,A ,B ) 均匀分布的累积分布函数unifinv(P ,A ,B ) 均匀分布的逆累积分布函数 unirnd(A ,B ,m ,n ) 均匀分布的随机数发生器 unifstat(A ,B ) 均匀分布的数学期望与方差其中X 为随机变量，P 为概率值，A ，B 为均匀分布参数，m 和n 为生成随机数矩阵的行数和列数．（2） 指数分布如果随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<≥-=0,0;0),exp()(x x x x f λλ其中λ为常数，则称X 服从参数为λ的指数分布，记作X ～e (λ)． MATLAB 提供的有关指数分布的函数如下：exppdf(X ,L ) 指数分布的密度函数 expcdf(X ,L ) 指数分布的累积分布函数 expinv(P ,L ) 指数分布的逆累积分布函数 exprnd(X ,L ,m ,n ) 产生服从指数分布的随机数 expstat(L ) 求指数分布的数学期望与方差其中X 为随机变量，L 为参数λ，P 为显著概率，m 和n 为随机数矩阵的行数和列数． 绘制指数分布密度函数和累积分布函数图形的程序如下x=-0.1:0.001:0.4;subplot(1,2,1);plot(x,y,'k'); axis([-0.1,0.4,-0.1,21]);subplot(1,2,2);plot(x,z,'k'); axis([-0.1,0.4,-0.1,1.1]);指数分布的密度函数及累积分布函数图（3） 标准正态分布如果随机变量X 的概率密度为：,,2)(exp 21)(22+∞<<∞-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=x x x f σμσπ 其中μ和σ均为常数，且σ>0，则称X 服从参数为μ和σ2的正态分布，记作X ～N(μ,σ2)．当μ=0，σ=1时，称X 服从标准正态分布，记作X ～N(0,1)． MATLAB 提供的有关正态分布的函数如下：normpdf(X ,M ,C ) 正态分布的密度函数 normcdf(X ,M ,C ) 正态分布的累积分布函数 norminv(P ,M ,C ) 正态分布的逆累积分布函数 normrnd(M ,C ,m ,n ) 产生服从正态分布的随机数 normstat(M ,C ) 求正态分布的数学期望和方差其中X 为随机变量，M 为正态分布参数μ，C 为参数σ，P 为显著概率，m 和n 为随机矩阵的行数和列数．绘制标准正态分布的密度函数及累积分布函数图和一般正态分布的密度函数及累积分布函数图的程序如下：x=-4:0.01:4;subplot(2,2,1);plot(x,y,'k');axis([-4,4,-0.1,0.5]);subplot(2,2,2);plot(x,z,'k');axis([-4,4,-0.1,1.1]);x=-4:0.01:16;y1=normpdf(x,6,1);z1=normcdf(x,6,1);y2=normpdf(x,6,4);z2=normcdf(x,6,4);y3=normpdf(x,6,0.6);z3=normcdf(x,6,0.6);subplot(2,2,3);plot(x,y1,'k',x,y2,'k',x,y3,'k');axis([-4,16,-0.1,0.8]);subplot(2,2,4);plot(x,z1,'k',x,z2,'k',x,z3,'k');axis([-4,16,-0.1,1.1]);三、求解方法（1）通用函数介绍.Pdf 计算已选函数的概率密度函数,调用格式为:Y=Pdf(name, X,A)Y=Pdf(name, X,A,B)Y=Pdf(name, X, A,B,C)Name为上表中取stat后的字符，如beta、 bino 、chiz、exp等。

随机数的生成方法
一、随机数的定义
随机数是指一组无规律的数字组合，每一次随机出来的结果都完全不同。

随机数是在一定范围内取出一个完全随机的数，用于计算机系统中一
些需要给定一组随机数、模拟实际环境的应用场合。

随机数可以实现一定
的不可预测性，是计算机安全性的重要保障，在数据传输安全、加密技术
中有着重要的作用。

1、基于数学模型的方法
a)均匀分布的随机数生成
均匀分布的随机数是在给定的[A,B](A<B)之间取出一个完全随机的数，即数学上的均匀分布。

一种常用的均匀随机数生成方法是线性同余法，它
的实现步骤如下：
①确定一个循环移位寄存器R，其状态位数为n，状态序列的周期为
2^n，即从0到2^n-1；
②确定一个模数运算法则，用于对R进行变换；
③设置初值R0，在此基础上,依次计算R1，R2，R3，…，Rn；
④通过将状态序列Ri映射为[A,B]区间内的均匀分布随机数。

b)指数分布的随机数生成
指数分布的随机数生成可以利用指数函数的特性，其核心思想是：以
一些概率将一个离散型随机变量转换为连续性随机变量，再根据指数函数
求出该随机变量的概率分布，从而产生均匀分布的概率分布。

指数分布随机数生成的实现步骤如下：。

随机数的产生青岛理工大学精品课程《概率论与数理统计科学实验》(实验三)35 实验三随机数的生成一、实验问题1. 问题背景多次重复地抛掷一枚匀质的硬币是一个古老而现实的实验问题, 通过分析“正面向上”出现的频率, 我们可以从中得出许多结论. 但要做这个简单而重复的试验, 很多人没有多余的时间或耐心来完成它, 现在借助于计算机的帮助，人人都可以在很短的时间内完成它. 因此，借助于计算机进行模拟随机试验, 产生服从各类分布的随机数, 通过数据处理和分析, 我们可以从中发现许多有用的规律, 或者来验证我们理论推导的结论是否正确. 本实验的主要目的是产生服从某种分布的随机数.2. 实验目的与要求(1) 熟悉常见分布的随机数产生的有关命令;(2) 掌握随机模拟的方法;(3) 提高读者观察实验现象或处理数据方面的能力.二、实验操作过程随机数生成的基本原理生成服从给定分布的随机数, 需要首先生成服从均匀分布的随机数. 常用的生成均匀分布随机数的方法是同余法, 其递推公式为xi = (axi-1+c) modm.给定初值x0, 可以迭代出均匀随机数x1, x2, …, xn, 将它们进行标准化(此时随机数界于0和1之间)或极差标准化(此时随机数界于-1和1之间), 可以得到均匀分布的随机数.获得均匀分布的随机数以后, 可以用多种方法构造基于该随机数的随机变量, 常用的方法是反函数法, 即利用随机变量x 的分布函数F(x)的反函数F -1 (x)来推求随机变量. 基本算法是:(1) 产生均匀分布随机数ri;(2) 令xi = F -1 (ri), 然后返回.下面结合正态分布随机变量的生成进行具体介绍:正态分布的分布函数为2 11()exp[()]d2 2 x x.青岛理工大学精品课程《概率论与数理统计科学实验》(实验三) 36 式中μ 为期望, σ 2 为方差. 由中心极限定理, 有1 12()2niixnr n,当n = 12 时, 可达到较好精度, 故121 (6) ii xr,x 就是基于均匀分布随机数ri 的服从正态分布的随机数.1. 二项分布的随机数的产生基本数学原理: 设X 服从参数为n, p 的二项分布, 具体概率分布见第18页实验二, 二, 1.在MATLAB 中用函数binornd产生参数为n, p 的二项分布的随机数，其基本的调用格式如下：·R = binornd(N, P) % N, P为二项分布的两个参数, 返回服从参数为N, P 的二项分布的一个随机数;·R = binornd(N, P, m, n) % m, n分别表示随机数产生的行数和列数. 例3-1 产生参数为10, 概率为0.5 的二项分布的随机数.(1) 产生1 个随机数;(2) 产生10 个随机数;(3) 产生6(要求2 行3 列)个随机数.解只需在命令窗口中依次输入下列命令:R1=binornd(10,0.5), %产生一个随机数5.R2=binornd(10,0.5,1,10), %产生1 行10 列共10 个随机R3=binornd(10,0.5,[2,3]). %同命令binornd(10,0.5,2,3).2．均匀分布的随机数的产生基本数学原理:设X在区间(a,b)上服从均匀分布, 具体概率密度见第23页实验二, 二, 5.在MATLAB 中用函数unifrnd产生均匀分布的随机数，其基本调用格式如下：·R = unifrnd(a, b) %返回参数为a,b的连续型均匀分布的随机数; ·R = unifrnd(a, b, m) % m 指定产生m 行m列个随机数;·R = unifrnd(a, b, m, n) % m, n分别表示产生的随机数的行数和列数. 青岛理工大学精品课程《概率论与数理统计科学实验》(实验三) 37 例3-2 产生区间(0, 1)上的连续型均匀分布的随机数.(1) 产生6×6个随机数;(2) 产生6(要求2 行3 列)个随机数.解只需在命令窗口中依次输入下列命令:random1= unifrnd(0, 1, 6), % 产生6 行6 列个随机数.random2= unifrnd(0, 1, 2, 3). % 产生2 行3 列个随机数.注意命令unidrnd(N, 2, 3) 产生2 行3 列个离散型均匀分布的随机数.3. 正态分布的随机数的产生基本数学原理: 设X 服从参数为μ 和σ 2 的正态分布, 具体概率密度见第25 页实验二, 二, 7.在MATLAB 中用函数normrnd产生参数为μ, σ的正态分布的随机数，其基本的调用格式如下：·R = normrnd(MU, SIGMA) %返回均值为MU, 标准差为SIGMA 的正态分布的随机数, R可以是向量或矩阵;·R = normrnd(MU, SIGMA, m) % m 指定随机数的行数与列数, 与R 同维数, 产生m 行m 列个随机数;·R = normrnd(MU, SIGMA, m, n) %m, n分别表示R 的行数和列数. 例3-3 生成满足下列情形的正态分布随机数:(1) 均值和标准差变化;(2) 随机数输出为矩阵;(3) 均值为矩阵.解(1) 在命令窗口中输入:n1 = normrnd(1:6, 1./(1:6)) %1./(1:6)运算结果是1,,,,,23456.n1 =2.1650 2.31343.02504.0879 4.8607 6.2827结果表示: 均值μ为1,2, 3, 4, 5,6, 标准差σ对应地为1,11111,,,,23456的正态随机数. 注意, 大多数随机数在均值附近产生, 其它分布也有类似情形.(2) 在命令窗口再输入：n2=normrnd(10, 0.5, [2, 3]) %与命令normrnd(10, 0.5, 2, 3)效果相同.回车后显示：青岛理工大学精品课程《概率论与数理统计科学实验》(实验三) 38 n2 =9.7837 10.0627 9.42689.1672 10.1438 10.5955结果表示: 均值μ为10, 标准差σ为0.5 的2 行3 列个正态随机数.(3) 在命令窗口再输入：n3 = normrnd([1 2 3;4 5 6],0.1,2,3)n3 =0.9299 1.9361 2.96405.0577 5.9864结果表示: 均值μ 为矩阵123456,标准差σ 为0.1 的2 行3 列个正态随机数.4. 常见分布的随机数的产生常见分布的随机数产生的使用格式与上面相同，见表3-1.3-1 常见分布的随机数产生函数表函数名调用形式注释betarnd betarnd(A, B,m,n) 参数为A, B的β分布随机数binornd binornd(N,P,m,n) 参数为N, p的二项分布随机数chi2rnd chi2rnd(N, m, n) 自由度为N的χ 2 分布随机数exprnd exprnd(Lambda,m,n) 参数为Lambda的指数分布随机数frnd frnd(N1, N2, m,n) 第一自由度为N1,第二自由度为N2 的F 分布随机数gamrnd gamrnd(A, B, m,n) 参数为A, B的γ分布随机数geornd geornd(P,m,n) 参数为P的几何分布随机数hygernd hygernd(M,K,N,m,n) 参数为M，K，N的超几何分布随机数lognrnd lognrnd(MU, SIGMA, m, n) 参数为MU, SIGMA 的对数正态分布随机数nbinrnd nbinrnd(R, P,m,n) 参数为R, P的负二项式分布随机数ncfrnd ncfrnd(N1, N2, delta,m,n) 参数为N1,N2, delta的非中心F 分布随机数nctrnd nctrnd(N, delta, m,n) 参数为N, delta的非中心t分布随机数ncx2rnd ncx2rnd(N, delta, m,n) 参数为N, delta的非中心卡方分布随机数normrnd normrnd(MU, SIGMA, m,n) 参数为MU, SIGMA的正态分布随机数青岛理工大学精品课程《概率论与数理统计科学实验》(实验三) 39 poissrnd poissrnd(Lambda,m,n) 参数为Lambda的泊松分布随机数raylrnd raylrnd(B, m,n) 参数为B的瑞利分布随机数trnd trnd(N, m,n) 自由度为N的t分布随机数unidrnd unidrnd(N,m, n) 离散型均匀分布随机数unifrnd unifrnd ( A,B,m,n) (A,B)上连续型均匀分布随机数weibrnd weibrnd(A, B,m, n) 参数为A, B的威布尔分布随机数5．通用函数求各分布的随机数在MATLAB 中用函数random产生指定分布的随机数，其基本的调用格式如下：·y = random('name',A1,A2,A3, m, n) %name为分布函数名, 其取值见表3-2; A1, A2,A3 为分布的参数;m, n 指定产生随机数的行数和列数.表3-2 常见分布函数名称表name的取值函数说明'beta' 或'beta' beta分布'bino' 或'binomial' 二项分布'chi2' 或'chisquare' χ 2 分布'exp' 或'exponential' 指数分布'f' 或'f' F分布'gam' 或'gamma' γ分布'geo' 或'geometric' 几何分布'hyge' 或'hypergeometric' 超几何分布'logn' 或'lognormal' 对数正态分布'nbin' 或'negative Binomial' 负二项式分布'ncf' 或'Noncentral F' 非中心F分布'nct' 或'Noncentral t' 非中心t分布'ncx2' 或'noncentralchi-square' 非中心χ 2 分布'norm' 或'normal' 正态分布'poiss' 或'poisson' 泊松分布'rayl' 或'rayleigh' 瑞利分布't' 或't' t分布'unif' 或'uniform' 连续型均匀分布'unid' 或'discreteuniform' 离散型均匀分布'weib' 或'weibull' Weibull分布青岛理工大学精品课程《概率论与数理统计科学实验》(实验三) 40 例3-4 用函数“random”产生12(含 3 行 4 列)个均值为2, 标准差为0.3的正态分布随机数.解在命令窗口输入：y=random('norm', 2, 0.3, 3, 4)回车后显示：y =2.3567 2.0524 1.8235 2.03421.9887 1.94402.6550 2.32002.0982 2.2177 1.9591 2.01786. 随机数生成工具箱MATLAB 提供了随机数生成工具箱, 使用图形用户界面, 可以交互式地生成常用的各种随机数.调用格式:·randtool说明: randtool 命令打开一个图形用户界面, 可以观察在服从一定概率分布的随机样本直方图上改变参数和样本大小带来的变化.单击“Export…”(即“输出”按钮)按钮, 输出随机数的当前位置. 结果保存在变量“ans”中.单击“Resample” (即“重复取样”按钮)按钮, 从同一分布的总体中进行重复取样.在图形上方的函数“Distribution”(即“分布类型”按钮)弹出式菜单中进行选择, 可以改变分布函数类型.移动滚动条或在参数名右方的编辑框中输入数值, 可以改变参数的设置.在滚动条的顶部或底部编辑框中输入数值, 可以改变参数的上下界设置.在“Sample” (即“样本”按钮)编辑框中输入数值, 可以改变样本容量的大小.完成上面的操作后, 单击右上方的“关闭”按钮, 关闭图形用户界面. 例3-5 用随机数生成工具箱, 生成正态分布随机数和均匀分布随机数的直方图.解在命令窗口输入: randtool 命令, 打开随机数生成界面, 如图3-1 所示.在“Distribution”下拉式列表框中进行选择, 确定生成什么分布的随机数. 在“Samples”窗口中输入样本的大小. 在图形下方输入对应分布的参数及其上下界区间. 单击“Resample”按钮, 生成随机数并用直方图表示.在“Distribution”下拉式列表框中选择“Uniform”选项, 将生成服从均匀分青岛理工大学精品课程《概率论与数理统计科学实验》(实验三) 41 布的随机数. 如图3-2 所示.图3-1 正态分布的随机数的直方图图3-2 均匀分布的随机数的直方图三、实验结论与总结产生各种随机数, 是我们进行科学试验经常使用的一种试验手段和方法,通过产生满足某些条件的随机数, 画出它们的散点图, 利用概率统计的方法,可以分析随机数分布的规律, 进而找寻事物本身隐含的关系, 或者验证理论结果的正确性.四、实验习题1. 产生区间(-1, 1 )上的12 个连续型与离散型的均匀分布随机数.2. 产生12(要求3行4 列)个标准正态分布随机数.3. 产生20个λ=1 的指数分布随机数.4. 产生32(要求4行8 列)个参数λ=3 的泊松分布随机数.5. 用函数“random”分别产生20 (要求4行5 列)个均值为10, 标准差为6的正态分布随机数和20 个均匀分布随机数.6．利用随机数生成工具箱, 生成二项分布、泊松分布、指数分布和F 分布的随机数的直方图.。

第四章随机数产生原理随机数是在计算机科学领域非常重要的一个概念，它广泛应用于密码学、模拟和统计等领域。

在计算机中，随机数是指一系列看似无序的数字，其生成过程是不可预测的，即无法通过已有的信息来确定接下来生成的数值。

随机数是通过随机数生成器产生的，随机数生成器是一个能够生成随机数的算法或设备。

在计算机中，常见的随机数生成器包括伪随机数生成器和真随机数生成器。

伪随机数生成器（PRNG）是指通过确定性算法生成的数列，它并非真正的随机数，而是看似随机的数列。

PRNG的生成过程是可复制的，即通过相同的种子可以重现相同的随机数序列。

PRNG的基本原理是利用一个随机数种子作为输入，然后通过一系列算法对种子进行变换，生成一个数列作为输出。

PRNG的核心思想是通过在高维空间中的漫游来构造一个看似随机的数列。

PRNG的算法可以基于线性同余方法、拉格朗日插值、循环移位寄存器或混沌系统等。

线性同余法是一种简单而常用的随机数生成算法，它的基本原理是通过线性代数的方法，通过对当前的随机数X[i]进行线性变换，得到下一个随机数X[i+1]。

具体来说，线性同余法的生成过程可以描述为：X[i+1] = (a * X[i] + c) mod m其中X[i]表示当前的随机数，a和c是常数，m是模数。

此时，随机数序列X[i]的周期为m，当X[i]的值回归到初始值时，即表示一个周期的结束。

然而，由于PRNG是通过确定性算法生成的，因此在理论上是可以通过逆向计算来推断出随机数生成算法的种子和输出序列。

这就意味着PRNG的随机性是有一定局限性的，也就是说它无法提供真正的随机性。

为了解决PRNG的局限性，人们提出了真随机数生成器（TRNG）。

TRNG利用物理过程和环境的噪声等随机性源生成随机数。

TRNG的基本原理是通过使用物理过程和环境的不可预测性来生成随机数，这些过程和环境包括放射性衰变、电子噪声、热噪声等。

TRNG的生成过程是不可预测的，并且不会受到外界干扰的影响。