高中数学第一章集合1.2.2第2课时补集及综合应用学案新人教B版必修1
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1.2.2 第2课时补集及综合应用
学习目标 1.理解全集、补集的概念.2.准确翻译和使用补集符号和Venn图.3.会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题．
知识点一全集
思考老和尚问小和尚：“如果你前进是死，后退是亡，那你怎么办？”小和尚说：“我
从旁边绕过去．”在这一故事中，老和尚设定的运动方向共有哪些？小和尚设定的运动方
向共有哪些？
梳理
定义在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的________，那么称这个给定的集合为全集．
记法全集通常记作____
知识点二补集
思考实数集中，除掉大于1的数，剩下哪些数？
梳理 1.补集定义
文字语言如果给定集合A是全集U的一个子集，由U中__________的所有元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作________
符号语言?U A＝____________ 图形语言
2.运算性质
A∪?U A＝____；
A∩?U A＝____；
?U(?U A)＝____.
类型一求补集
例1 (1)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，则?U A等于( ) A．{x|0<x<2} B．{x|0≤x<2}
C．{x|0<x≤2} D．{x|0≤x≤2}
(2)设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3，4,5,6}，求?U A，?U B.
(3)设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，求A∩B，?U(A∪B)．
反思与感悟求集合的补集，需关注两处：一是认准全集的范围；二是利用数形结合求其
补集，常借助Venn图、数轴、坐标系来求解．
跟踪训练 1 (1)设集合U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则?U A＝________.
(2)已知集合U＝R，A＝{x|x2－x－2≥0}，则?U A＝________.
(3)已知全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合A＝{(x，y)|xy>0}，则?U A＝________.
类型二补集性质的应用
命题角度1 补集性质在集合运算中的应用
例2 已知A＝{0,2,4,6}，?U A＝{－1，－3,1,3}，?U B＝{－1,0,2}，用列举法写出集合B.
反思与感悟
从Venn 图的角度讲，A 与?U A 就是圈内和圈外的问题，由于(?U A )∩A ＝?，(?
U
A )∪A ＝U
，所以可以借助圈内推知圈外，也可以反推．跟踪训练 2 如图所示的Venn 图中，A 、B 是非空集合，定义A *B 表示阴影部分的集合．若
A ＝{x |0≤x ≤2}，
B ＝{y |y ＞1}，则A *B ＝________________.
命题角度
2补集思想的应用
①
，0＝1＋ax ＋2
x 的方程：x 关于3
例②，0＝a －x 2＋2
x ③
，0＝2＋ax 2＋2
x 若三个方程至少有一个有解，求实数
a 的取值范围．
反思与感悟运用补集思想求参数取值范围的步骤：(1)把已知的条件否定，考虑反面问
题．(2)求解反面问题对应的参数的取值范围．(3)求反面问题对应的参数的取值集合的补
集．
的取值范围．
a 中至多有一个元素，求实数
0}＝2＋x 3＋2
ax |x {＝A 若集合3
跟踪训练类型三
集合的综合运算
，则
{1,2}＝B ，{4}＝)B ∪A (U ?的子集，且{1,2,3,4}
＝U 均为全集B ，A 已知集合(1)4
例)(
等于)B U ?∩（A A ．{3} B
．{4} C ．{3,4} D
．?
的取值范围是
a ，则实数R ＝)B R ?∪（A ，且≤2}x |1≤x {＝B ，}a ≤x |x {＝A 已知集合
(2)________．
反思与感悟解决集合的混合运算时，一般先计算括号内的部分，再计算其他部分．有限
集混合运算可借助
Venn 图，与不等式有关的可借助数轴．
，{1,3,7}＝)B U ?)∩（
A U ?(，{2,6}＝
B ∩A ，≤9}x |1≤N ∈x {＝U 已知集合
(1)4跟踪训练)
(
等于B ，则{4,9}＝)B U ?∩（A A ．{1,2,3,6,7} B ．{2,5,6,8}C ．{2,4,6,9}
D ．{2,4,5,6,8,9}
(2)已知集合
U ＝{x |x ≤4}，集合A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |－3≤x ≤2}，求
A ∩
B ，(?
．
)B U ?∩（A ，B )∪A U
)
(
等于M U ?，则{1,2,4}＝M ，{1,2,3,4,5,6}
＝U ．设集合1A ．U
B ．{1,3,5}
C ．{3,5,6}
D ．{2,4,6}
)
(
等于)B ∪A (U ?，则{2,3}＝B ，{1,2}＝A ，集合{1,2,3,4}
＝U ．已知全集2A ．{1,3,4}
B ．{3,4}
C ．{3}
D ．{4}
)
(
等于T )∪S R ?(，则≤1}x 4≤－|x {＝T ，2}－>x |x {＝S ．设集合3A ．{x |－2<x ≤1}
B ．{x |x ≤－4}
C ．{x |x ≤1}
D ．{x |x ≥1}
4．设全集U ＝R ，则下列集合运算结果为
R 的是( )
N U ?∪Z ．A N
U ?∩N ．B )
?U ?(U ?．C Q
U ?．D )
(
等于N ，则{2,4}＝)N U ?∩（M ，{1,2,3,4,5}
＝N ∪M ＝U ．设全集5A ．{1,2,3} B ．{1,3,5}C ．{1,4,5}
D ．{2,3,4}
1．全集与补集的互相依存关系
(1)全集并非是包罗万象，含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，
Z 就是全集，研究方程的实数解，
R
就是全集．因此，全集因研究的问题而异．
(2)补集是集合之间的一种运算．求集合
A 的补集的前提是A 是全集U 的子集，随着所选全
集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．?
x ，且U ∈x |x {＝A U ?；其次是定义U ?A 的数学意义包括两个方面：首先必须具备
A U ?(3)A }，补集是集合间的运算关系．
2．补集思想
做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U ，求子集A ，若直接求A 困难，
.
A 求A ＝)A U ?(U ?，再由A U ?可先求
答案精析
问题导学
知识点一
思考老和尚设定的运动方向只有2个：前进，后退．小和尚偷换了前提：运动方向可以是四面八方任意方向．
梳理
子集U
知识点二
思考剩下不大于1的数，用集合表示为{x∈R|x≤1}．
梳理
1．不属于A?U A{x|x∈U，且x?A}
2．U?A
题型探究
例1 (1)C
(2)解根据题意可知，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，
所以?U A＝{4,5,6,7,8}，?U B＝{1,2,7,8}．
(3)解根据三角形的分类可知A∩B＝?，A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}，?U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}．
跟踪训练 1 (1){3,4,5}
(2){x|－1＜x＜2}
(3){(x，y)|xy≤0}
例2 解∵A＝{0,2,4,6}，?U A＝{－1，－3,1,3}，
∴U＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}．
而?U B＝{－1,0,2}，
∴B＝?U(?U B)＝{－3,1,3,4,6}．
跟踪训练 2 {x|0≤x≤１或x＞2}
例3 解假设三个方程均无实根，则有
Δ1＝a2－4<0，
Δ2＝4＋4a<0，
Δ3＝4a2－8<0，
即
－2<a<2，a<－1，－2<a< 2.解得－
2<a <－1，
∴当a ≤－
2或a ≥－1时，三个方程至少有一个方程有实根，
即a 的取值范围为{a |a ≤－2或a ≥－1}．
跟踪训练 3 解
假设集合A 中含有2个元素，
即ax 2
＋3x ＋2＝0有两个不相等的实数根，则
a ≠0，
Δ＝9－8a>0，
解得a <9
8
，且a ≠0，
则集合A 中含有2个元素时，实数
a 的取值范围是{a |a <9
8
且a ≠0}．
在全集U ＝R 中，集合{a |a <98且a ≠0}的补集是{a |a ≥9
8或a ＝0}，
所以满足题意的实数a 的取值范围是{a |a ≥9
8
或a ＝0}．
例4 (1)A
(2)a ≥２
跟踪训练 4 (1)B (2)解
如图所示．
∵A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |－3≤x ≤2}，
，
≤4}x 3≤或2－≤x |x {＝A U ?∴．
≤4}x 2<或3－<x |x {＝B U ?A ∩B ＝{x |－2<x ≤2}，
，
≤4}x 3≤或≤２x |x {＝B )∪A U ?∴（．<3}x |2<x {＝)B U ?∩（
A 当堂训练
1．C 2.D
3.C
4.A
5.B。
