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中职数学3.4函数的奇偶性

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邳州市中等专业学校

教 案

课 题 §2.3 函数的基本性质（三）-------函数的奇偶性

知识目标 理解函数奇偶性的含义

理解函数奇偶性的数学定义和图象特征

会根据图象及解析式判断函数的奇偶性

能力目标 以已有的对称知识为基础，让学生在自主探究中经历概念的形成过程，渗透数形结合思想，培养学生解题的规范性和严谨性

德育目标 通过主动探究，合作交流，感受探索的乐趣，感受数学的严谨性和美感，感受数学符号语言的魅力

教学重点 函数奇偶性

教学难点 由解析式判断函数奇偶性的书写格式

教学方法 归纳法、类比分析法

教学用具 多媒体

教 学 过 程

教学程序 教 师 活 动 内 容 学生活动内容

一、组织教学

二、复习引入

（4分钟）

三、讲授新课

（15分钟）

⑴已学过函数的哪些性质？

⑵初中学过图形的对称概念---轴对称、中心对称，你记得吗？

⑶学过的函数图象中，也有这种对称，你知道吗？举例：

老师指出：本节主要研究

函数图象轴对称时，对称轴为y轴的函数，

中心对称时，对称中心为原点的函数性质

引导探究 建构概念

Ⅰ、轴对称与偶函数

探究：①你能说出“图像关于y轴对称”的意思吗？

②点00,()xfx与哪一个点关于y轴对称？

学生思考，回答。

举例：

轴对称：一次、二次函数

中心对称：一次函数

反比例函数

观察、思考、回答

O  A(-x0,y0) y

图2-12  A(x0,y0)

x x0 -x0

归纳：

⒈

⒉点00,()xfx与点0,0()xfx关于y轴对称

即(),yfxxD的图象关于y轴对称

则称函数(),yfxxD为偶函数

归纳：①偶函数的图象一定是轴对称图形

②图象成轴对称的函数不一定是偶函数，只有当对称轴是y轴时，该函数才是偶函数

Ⅱ、中心对称与奇函数

则称函数(),yfxxD为奇函数

归纳：①奇函数的图象一定是中心对称图形

②图象成中心对称的函数不一定是奇函数

只有当对称中心为原点时该函数才是奇函数

思考辨析：函数图象成轴对称图形与函数是偶函数关系？

理解记忆

学生类比，得出结论

思考辨析：函数图象成轴对称图形与函数是偶函数关系？

①定义域D关于原点对称

②()fx满足,()()xDfxfx 图像关于y轴对称

自变量取值区间关于原点O对称

与y轴等距的图象上两点等高（函数值相等）

图象关于原点成中心对称的函数

①定义域D关于原点对称

②函数()fx满足,()()xDfxfx 即： 偶函数图象关于y轴对称

即： 奇函数图象关于原点成中心对称

四、 设置例题

巩固概念

（22分钟）

例3 试根据下列函数的图象，判断函数的奇偶性：

解题体会：判断奇偶性，从图象上如何操作？

（引导：考虑对称定义）

①轴对称沿轴对折

②中心对称用一把透明直尺绕0点旋转，看尺两边与图象交点情况

例4 利用定义，判断下列函数中，哪些是偶函数，哪些是奇函数(凡是不指明定义域的，表示它的定义域是自然定义域)：

2242335(1)()2;(2)();(3)()1;(4)()2,0,;(5)()31;1(6)();(7)()1;(8)()2,2,3.fxxfxxfxxfxxxfxxxfxxxfxxfxxxx．

老师示例解题格式：

(5) ∵函数f(x)=-x4+3x2 –1的定义域为x(-,+), 关于原点对称

直观感知

学生观察、思考，回答

严格推理，掌握方法

O a y

x -a （1）

O y

x b -b （2）

O -5 y

x 

  1 3 5 -1 -3 （3）

O -5 y

x  1 3

5 -1 -3 （4）

O -5 y

x

1 3 5 -1 -3 （5）

 O -5 y

x  1 3 5 -1 -3 

   （6）

六、回顾反思

深化认知

（3分钟）

七、布置作业

（1分钟）

又∵f(x)= -x4+3x2-1，

f(-x)= -(-x)4+3(-x)2+1= -x4+3x2-1= f(x)，

∴f(x)是偶函数；

(8) ∵函数的定义域[-2,3]关于原点不对称，

∴f(x)既非奇函数，也非偶函数．

解题体会 ⑴ 如何从定义上判断奇偶性？

⑵ 多项式函数为奇、偶函数时，解析式有何特征？

⑶如何从解析式判断函数奇偶性，应注意什么？例4（8）注意定义域

结论：⑴判断奇偶性时

①先求定义域D，看D是否关于原点对称

否------非奇非偶函数，

②是------,()()xDfxfx？,()()xDfxfx？

⑵多项式函数的各项关于自变量为偶次（常数项的自变量次数为0，也是偶次）时，该函数为偶函数；奇次时，为奇函数。

⑶奇偶性的四个结论：奇函数，偶函数，

非奇非偶函数，既奇又偶函数（举例）

Ⅰ如何理解函数奇偶性？

Ⅱ从图象上如何判断函数奇偶性？从解析式上如何判断函数奇偶性？

Ⅲ本小节内容学习了函数的哪些性质？

⒈阅读课文，归纳函数的基本性质

⒉ 66P 4T

⒊预习作业：函数的周期性

练习剩余题目

回忆总结

课后思考题：

①既是奇函数又是偶函数的解析式是什么? 这样的函数有多少个?

②若yf(x)xR是奇函数,则 f(0)的值是什么?

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中职数学(人教版)： 函数的性质教学教案

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1

第03讲 函数的性质

一、奇偶性与周期性

（一）知识归纳：

1．奇偶性：

①定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有

f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；

f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数.

如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数.

②简单性质：

1）图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称.

2）函数f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.

2．周期性：

①如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x+T)= f(x)，则称f(x)为周期函数.

注意：f(x+T)= f(x)常常写作),2()2(TxfTxf

若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期.

②若周期函数f(x)的周期为T，则f(ωx)（ω≠0）是周期函数，且周期为||T.

（二）学习要点：

1．奇偶性是某些函数具有的一种重要性质，对一个函数首先应判断它是否具人这种性质.判断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称，然后根据奇偶性的定义判断（或证明）函数是否具有奇偶性.

如果要证明一个函数不具有奇偶性质，可以在定义域内找到一对非零实数a与－a，验证f(a)±f(－a)≠0.

2．学习函数的周期性的重点是能运用周期性的定义证明一个函数是周期函数，或运用定义解决周期函数的有关问题，而且大量的问题是以抽象函数的形式出现.求一个周期函数的最小正周期是十分困难的问题，只有在后面三角函数的学习中会出现一些非常简单问题.

2 【例1】讨论下述函数的奇偶性：

);111(1)()3(;)0)(1(1)0(0)0)(1(1)()2(;22116)()1(222xxogxfxxxnxxxxnxfxfxxx

中等职业教育规划教材数学1-3册目录（人民教育出版社）

中等职业教育规划教材数学1-3册目录（人民教育出版社）

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目录

第一章集合（第一册）

1.1集合及其表示

1.1.1集合

1.1.2集合的表示方法

1.2集合之间的关系

1.3集合的基本运算

1.3.1交集

1.3.2并集

1.3.3补集

1.4充要条件

第二章方程与不等式

2.1一元一次方程

2.2不等式

2.2.1不等式的基本性质

2.2.2不等式的解集与区间

2.2.3含有绝对值的不等式

2.2.4一元二次不等式

第三章函数

3.1函数的概念

3.2函数的表示方法

3.3函数的单调性

3.4函数的奇偶性

3.5二次函数的图像和性质

3.6函数的应用

第四章指数函数与对数函数

4.1实数指数

4.2指数函数 4.3对数及其运算

4.3.1对数

4.3.2对数的运算

4.4对数函数

4.5幂函数

4.6指数函数与对数函数的应用

第五章数列

5.1数列

5.2等差数列

5.2.1等差数列的概念

5.2.2等差数列的前n项和

5.3等比数列

5.3.1等比数列的概念

5.3.2等比数列的前n项和

5.4等差数列与等比数列的应用

第六章空间几何体

6.1认识空间几何体

6.1.1认识多面体与旋转体

6.1.2棱柱、棱锥

6.1.3圆柱、圆锥、球

6.2空间几何体的表面积与体积6.2.1空间几何体的表面积

6.2.2空间几何体的体积

第七章三角函数（第二册）7.1任意角的概念与弧度制

7.1.1任意角的概念

7.1.2弧度制

7.2任意角的三角函数

7.2.1任意角的三角函数的定义

7.2.2单位圆与正弦、余弦线

7.2.3利用计算器求三角函数值

7.2.4三角函数值在各象限的符号7.3同角三角函数的基本关系式7.4三角函数的诱导公式

7.5正弦、余弦函数的图像和性质7.5.1正弦函数的图像和性质

7.5.2余弦函数的图像和性质

7.6已知三角函数值求角

第八章平面向量

8.1向量的概念

8.2向量的线性运算

中职数学第三章函数-函数的奇偶性的定义

中职数学第三章函数-函数的奇偶性的定义

第14课时 函数的奇偶性的定义

【目标导航】

1.借助函数图像掌握函数的图像关于原点对称与关于y轴对称的点的特点。

2.利用图像理解函数奇偶性的概念，及其几何意义。

3.通过概念的形成过程，学会观察，归纳，体会数形结合思想。

【【知识链接】】

1.预习教材：平面几何中，曾经学习了关于轴

对称图形和中心对称图形的知识．如图所示，

点3,2P关于x轴的对称点是沿着x轴对折

得到与P相重合的点1P，其坐标为 ；

点3,2P关于y轴的对称点是沿着y轴对折

得到与P相重合的点2P，其坐标为 ；点3,2P关于原点O的对称点是线段OP绕着原点O旋转180°得到与P相重合的点3P，其坐标为 ．

2.归纳初中点的对称性：一般地，设点,Pab为平面上的任意一点，则

（1）点,Pab关于x轴的对称点的坐标为 ；

（2）点,Pab关于y轴的对称点的坐标为 ；

（3）点,Pab关于原点O的对称点的坐标为 ．

【自主学习】

1. 复习概念：

（1）轴对称： ；

（2）中心对称： 。

2.观察图像归纳总结：

轴对称的图像有： ；中心对称图像有： 。 P1 P3 P2 3.观察图形○1，○,2图形并填表：

x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …

2fxx

fxx

由2fxx图像及其表格，猜想fx= 。

由图○2及表格，猜想fx= 。

4.观察下列函数图像，是否关于y轴对称？

思考：如果一个函数的图象关于y轴或关于原点对称，那么它的定义域应该有什么特点？

中职数学3.4函数的奇偶性

中职数学3.4函数的奇偶性

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教 案

课 题 §2.3 函数的基本性质（三）-------函数的奇偶性

知识目标 理解函数奇偶性的含义

理解函数奇偶性的数学定义和图象特征

会根据图象及解析式判断函数的奇偶性

能力目标 以已有的对称知识为基础，让学生在自主探究中经历概念的形成过程，渗透数形结合思想，培养学生解题的规范性和严谨性

德育目标 通过主动探究，合作交流，感受探索的乐趣，感受数学的严谨性和美感，感受数学符号语言的魅力

教学重点 函数奇偶性

教学难点 由解析式判断函数奇偶性的书写格式

教学方法 归纳法、类比分析法

教学用具 多媒体

教 学 过 程

教学程序 教 师 活 动 内 容 学生活动内容

一、组织教学

二、复习引入

（4分钟）

三、讲授新课

（15分钟）

⑴已学过函数的哪些性质？

⑵初中学过图形的对称概念---轴对称、中心对称，你记得吗？

⑶学过的函数图象中，也有这种对称，你知道吗？举例：

老师指出：本节主要研究

函数图象轴对称时，对称轴为y轴的函数，

中心对称时，对称中心为原点的函数性质

引导探究 建构概念

Ⅰ、轴对称与偶函数

探究：①你能说出“图像关于y轴对称”的意思吗？

②点00,()xfx与哪一个点关于y轴对称？

学生思考，回答。

举例：

轴对称：一次、二次函数

中心对称：一次函数

反比例函数

观察、思考、回答

O  A(-x0,y0) y

图2-12  A(x0,y0)

x x0 -x0

归纳：

⒈

⒉点00,()xfx与点0,0()xfx关于y轴对称

即(),yfxxD的图象关于y轴对称

则称函数(),yfxxD为偶函数

归纳：①偶函数的图象一定是轴对称图形

②图象成轴对称的函数不一定是偶函数，只有当对称轴是y轴时，该函数才是偶函数

Ⅱ、中心对称与奇函数

则称函数(),yfxxD为奇函数

归纳：①奇函数的图象一定是中心对称图形