中职数学教案：函数的奇偶性
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中等专业学校2023-2024-1教案
编号： 备课组别 数学组 课程名称 数学 所在
年级 一年级 主备
教师
授课教师 授课系部 授课班级 授课
日期
课题 §3.3.2函数的奇偶性
教学
目标 1.结合函数图像，能用数学语言表达函数奇偶性的定义，
2.能通过图像法和定义法判断函数的奇偶性，逐步提高直观想象和
数学抽象等核心素养
3.知道函数奇偶性与函数图像对称性之间的关系
重点 定义法判断函数奇偶性
难点 定义法判断函数奇偶性
教法 引导探究，讲练结合
教学设备 多媒体一体机
教学
环节 教学活动内容及组织过程 个案补充
教
学
内
容 一 创设情景
大千世界，美无处不在．下图展示了生活中的对称之美．
其实，我们的数学中也存在着对称美，函数图像的对称就是其中一种．义务教育阶段，我们已经知道函数f(x)=x2的图像和f(x)=1x的图像：
函数f(x)=x2的图像是关于y轴对称的轴对称图形，函数f(x)=1x的图像是关于原点对称的中心对称图形．观察这两种对称的函数图像，自变量互为相反数时，它们对应的函数值有什么关系？
教
学
内
容
关于函数f(x)=x2的图像分析：
从函数值的角度看，对于函数f(x)=x2， 有：
𝑓(—1) = 1 = 𝑓(1)，
𝑓(—2) = 4 = 𝑓(2)，
𝑓(—3) = 9 = 𝑓(3)，
……
对于函数f(x)=x2，自变量互为相反数时， 对应的函数值相等．即对于定义域 R 上的任意一个x，都有
𝑓(—𝑓) = 𝑓2 = 𝑓(𝑓)．
关于函数f(x)=1x的图像分析：
对于函数f(x)=1x有：
𝑓(—1) = —1 = —𝑓(1)，
𝑓(—2) = −12 = —𝑓(2)，
𝑓(—3) = −13= —𝑓(3)，
……
事实上，对于函数f(x)=1x，自变量互为相反数时，对应的函数值也互为相反数．即对于定义域(—∞, 0) ∪ (0, +∞)上的任意一个𝑥，都有
𝑓(—𝑓) = — 1x = —𝑓(𝑓)．
二 新授
关于函数f(x)=x2的图像分析引出
设函数𝑓 = 𝑓(𝑓)的定义域为数集𝑓，若对于任意的𝑓 ∈ 𝑓，都有—𝑓 ∈ 𝑓，且𝑓(—𝑓) = 𝑓(𝑓)，
则称𝑓 = 𝑓(𝑓)是偶函数．偶函数的图像关于y轴对称．
关于函数𝑓f(x)=1x的图像分析引出
设函数𝑓 = 𝑓(𝑓)的定义域为数集𝑓，若对于任意的𝑓 ∈ 𝑓，都有—𝑓 ∈ 𝑓，且𝑓(—𝑓) = —𝑓(𝑓)，
则称𝑓 = 𝑓(𝑓)是奇函数．奇函数的图像关于原点中心对称．
教
学
内
容
如果一个函数是奇函数或偶函数，就说这个函数具有奇偶性，其定义域一定关于原点中心对称．
探究与发现
有没有某个函数，它既是奇函数又是偶函数？如果有，请举例说明．
二 例题讲解
例 4 讨论下列函数的奇偶性：
（1）f(x)=x3； （2）f(x)=x2+x4；
（3）𝑓(𝑓) = 𝑓+ 1；（4）𝑓(𝑓) = √𝑓．
解（1）𝑓(𝑓) = 𝑓3的定义域为 R，对于任意的𝑓 ∈
𝑓，都有—𝑓 ∈ 𝑓，且
𝑓(—𝑓) = (—𝑓)3 = —𝑓3 = —𝑓(𝑓)，
所以f(x)=x3是奇函数．
（2）f(x)=x2+x4的定义域为 R，对于任
意的𝑓 ∈ 𝑓，都有—𝑓 ∈ 𝑓，且
𝑓(—𝑓) = (—𝑓)2 + (—𝑓)4 = 𝑓2 + 𝑓4 = 𝑓(𝑓)，
所以f(x)=x2+x4是偶函数．
（3）𝑓(𝑓) = 𝑓+ 1的定义域为 R，对于任意
的𝑓 ∈ 𝑓，，都有—𝑓 ∈ 𝑓，且
𝑓(—𝑓) = —𝑓 + 1 ≠—𝑓(𝑓)，
𝑓(—𝑓) = —𝑓 + 1≠ 𝑓(𝑓)， 所以𝑓(𝑓) = 𝑓+ 1既不是奇函数也不是偶函数．
（4）𝑓𝑓(𝑓𝑓)
=
√1
∈
+
，√𝑓既不是奇函数也不是偶函数．
例 5（1）图（1）给出了偶函数𝑓 = 𝑓(𝑓)在[0, +∞)
上的函数图像，试将𝑓 = 𝑓(𝑓)的图像补充完整，
并指出函数的单调区间．
（2）图（2）给出了奇函数𝑓 = 𝑓(𝑓)在0, +∞)
上的函数图像，试将𝑓 = g(𝑓)的图像补充完整，
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容
并指出函数的单调区间．
（1）由于函数𝑓 = f(𝑓)是偶函数，所以它的图像关于y轴对称，因此它的图像如图所
示．函数𝑓 = 𝑓(𝑓)的减区间为(—∞, 0]，增区间为[0, +∞)．
（2）由于函数𝑓 = 𝑓(𝑓)是奇函数，所以它的图像关于原点中心对称，因此它的图像如图所示．
函数𝑓 = 𝑓(𝑓)的增区间为(—∞, +∞)．
利用函数图像可以判断函数的奇偶性，根据函数的奇偶性也可以研究函数图像．
如在研究函数时，如果我们知道它是奇函数或偶函数，就可以先研究它在非负区间上的性质，然后利用对称性便可得到它在非正区间
上的性质，从而减少工作量．
三 练习巩固
四 小结与作业
1、判断或证明偶函数的基本步骤：一看：二找：三判断：
2、偶函数的图像特征关于y轴对称
布置作业教材P108 习题
板
书
设
计
3.3函数的奇偶性
一、概念 二、例题 二、习题
教后札记
