中职数学函数的奇偶性

第- 1 -页 共4页 2.1.4函数的奇偶性教案

辽河油田第一高级中学

于洪海

一. 教学目标

1. 知识目标;使学生理解奇函数,偶函数的概念,学会运用定义判断函数的奇偶性

2. 能力目标:通过设置问题情境培养学生判断,推理的能力

3. 情感目标:通过绘制和展示优美的函数图象来陶冶学生的情操.通过组织学生分组讨论,培养学生主动交流的合作精神,使学生学会认识事物的特殊性和一般性之间的关系,培养学生善于探索的思维品质.

二 教学重点 难点

重点是函数的奇偶性的概念,难点是函数奇偶性的判断

三 教学方法

本节课采用观察,归纳,启发探究相结合的数学方法,运用现代化多媒体教学手段,进行教学活动,首先按照由特殊到一般的认知规律,由形及数,数形结合,通过设置问题引导学生观察分析归纳,形成概念,使学生在独立思考的基础上进行合作交流,在思考,探索和交流的过程中获得对函数奇偶性的全面的体验和理解,对于奇偶性的应用采取讲练结合的方式进行处理,使学生边学边练,及时巩固,同时设计问题,探究问题,深化对概念的理解.

四 教学过程

教学

环节 教学内容

师生互动 设计意图

复习

引入 复习在初中学习的轴对称图形和中心对称图形的定义 教师提出问题，学生回答 为学生认识奇偶函数征做好准备

概念

形成 １．要求学生画出函数

f(x)=341x与2)(xxg的图像；

观察大屏幕上给出的九个函数图像：

①xxf)(

②3)(xxf③5)(xxf

④xxf1)(⑤xxxf1)(

⑥2)(xxf⑦4)(xxf

⑧21)(xxf⑨xxf)( １．教师巡视指导，学生作图。学生作完图后教师提问：观察大屏幕上的９个函数图像和我们画的两个函数的图像，分别具有怎么样的对称性？

学生回答：f(x)=341x关于原点成中心对称图形；2)(xxg关于y轴成轴对称图形。

学生：①②③④⑤的图像关于原点成中心对称；⑥⑦⑧⑨的函数图像关于y轴成轴对称图形。

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第03讲 函数的性质

一、奇偶性与周期性

（一）知识归纳：

1．奇偶性：

①定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有

f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；

f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数.

如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数.

②简单性质：

1）图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称.

2）函数f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.

2．周期性：

①如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x+T)= f(x)，则称f(x)为周期函数.

注意：f(x+T)= f(x)常常写作),2()2(TxfTxf

若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期.

②若周期函数f(x)的周期为T，则f(ωx)（ω≠0）是周期函数，且周期为||T.

（二）学习要点：

1．奇偶性是某些函数具有的一种重要性质，对一个函数首先应判断它是否具人这种性质.判断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称，然后根据奇偶性的定义判断（或证明）函数是否具有奇偶性.

如果要证明一个函数不具有奇偶性质，可以在定义域内找到一对非零实数a与－a，验证f(a)±f(－a)≠0.

2．学习函数的周期性的重点是能运用周期性的定义证明一个函数是周期函数，或运用定义解决周期函数的有关问题，而且大量的问题是以抽象函数的形式出现.求一个周期函数的最小正周期是十分困难的问题，只有在后面三角函数的学习中会出现一些非常简单问题.

2 【例1】讨论下述函数的奇偶性：

);111(1)()3(;)0)(1(1)0(0)0)(1(1)()2(;22116)()1(222xxogxfxxxnxxxxnxfxfxxx

函数的奇偶性

(1)函数奇偶性的定义

偶函数：一般地，设函数xf的定义域为I,如果Ix,都有Ix,且xfxf,那么函数xf就叫作偶函数。

奇函数：一般地，设函数xf的定义域为I,如果Ix,都有Ix,且xfxf,那么函数xf就叫作奇函数。

理解函数奇偶性的注意点：

①从奇函数、偶函数的定义可知，当x是定义域中的一个数值时，则x也必是定义域中的一个数值，因此函数xfy是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称。换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数不具有奇偶性。例如，函数2xy在区间,上是偶函数，但在区间［－3, 5]上却不具有奇偶性。

②若奇函数xf在0x处有定义，则根据定义可得，00ff,即00f,即奇函数的图像过原点。

③若xfxf,且xfxf,则xf既是奇函数又是偶函数。这样的函数有且只有一类，即0xf,Dx,D是关于原点对称的非空数集。

（2）函数奇偶性的运算性质

设xf和xg的定义域分别是21,DD,在它们的公共定义域上，有下列结论：

【注意】上述表格中不考虑0xgxf和0xgxf，xgf中，需2Dx,1Dxg。

（3）奇偶函数的图像特征

奇函数的图像关于原点对称：反过来，若一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数。

偶函数的图像关于y轴对称：反过来，若一个函数的图像关于y轴对称，那么这个函数是偶函数。

因而研究这类函数的性质时，只需研究函数在区间，0或0，上的情况，即可推断出函数在整个定义域内的性质。

因此，如果知道一个函数是奇函数或偶函数，则只要把它的定义域分成关于原点对称的两部分，得出函数在一部分上的性质和图像就可推出这个函数在另一部分上的性质和图像。

1 3.4 函数的奇偶性

【预习要点及要求】

1.函数奇偶性的概念；

2.由函数图象研究函数的奇偶性；

3.能运用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性；

【知识再现】

1.轴对称图形：

2中心对称图形：

【概念探究】

1、画出函数2)(xxf，与xxg1)(的图像；并观察两个函数图像的对称性。

2、求出3x，2x，21x时的函数值，写出)(xf，)(xg。

结论：)()(xfxf，)()(xgxg。

3、奇函数：___________________________________________________

4、偶函数：______________________________________________________

【概念深化】

（1）、强调定义中“任意”二字，奇偶性是函数在定义域上的整体性质。

（2）、奇函数偶函数的定义域关于原点对称。

5、奇函数与偶函数图像的对称性：

如果一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以坐标原点为对称中心的__________。反之，如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是___________。

如果一个函数是偶函数，则这个函数的图像是以y轴为对称轴的__________。反之，如果一个函数的图像是关于y轴对称，则这个函数是___________。

6. 根据函数的奇偶性，函数可以分为____________________________________.

2 【例题解析】

例1．

231x(2)(3),(2,4)(4)xxx42判断下列函数的奇偶性：1（）f(x)=f(x)=xf(x)=xf(x)=2x+3

(5)f(x)=5 0.6xf