中职数学第三章函数-函数的奇偶性的定义

1

第03讲 函数的性质

一、奇偶性与周期性

（一）知识归纳：

1．奇偶性：

①定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有

f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；

f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数.

如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数.

②简单性质：

1）图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称.

2）函数f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.

2．周期性：

①如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x+T)= f(x)，则称f(x)为周期函数.

注意：f(x+T)= f(x)常常写作),2()2(TxfTxf

若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期.

②若周期函数f(x)的周期为T，则f(ωx)（ω≠0）是周期函数，且周期为||T.

（二）学习要点：

1．奇偶性是某些函数具有的一种重要性质，对一个函数首先应判断它是否具人这种性质.判断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称，然后根据奇偶性的定义判断（或证明）函数是否具有奇偶性.

如果要证明一个函数不具有奇偶性质，可以在定义域内找到一对非零实数a与－a，验证f(a)±f(－a)≠0.

2．学习函数的周期性的重点是能运用周期性的定义证明一个函数是周期函数，或运用定义解决周期函数的有关问题，而且大量的问题是以抽象函数的形式出现.求一个周期函数的最小正周期是十分困难的问题，只有在后面三角函数的学习中会出现一些非常简单问题.

2 【例1】讨论下述函数的奇偶性：

);111(1)()3(;)0)(1(1)0(0)0)(1(1)()2(;22116)()1(222xxogxfxxxnxxxxnxfxfxxx

《数学》课程教案

课题 第三章

函数的奇偶性

对称点的坐标特征

教学目标 理解图形的几种对称形式；

理解对称图形中对称点的坐标特征．

课型 理论课 课时 1

教学重点 对称图形中对称点的坐标特征．

教学难点 对称图形中对称点的坐标特征．

教学方法 传统式

教学过程 备注

第一课时

复习提问:

找出图片中的对称图形，说明哪些是轴对称，哪些是中心对称？

新授：

第三章 第二节 函数的奇偶性

对称点的坐标特征

平面几何中，曾经学习了关于轴对称图形和中心对称图形的知识．如图所示，点3,2P关于x轴的对称点是沿着x轴对折得到与P相重合的点1P，其坐标为（ ）；点3,2P关于y轴的对称点是沿着y轴对折得到与P相重合的点2P，其坐标为（ ）；点3,2P关于原点O的对称点是线段OP绕着原点O旋转180°得到与P相重合的点3P，其坐标为（ ）。

一般地，设点,Pab为平面上的任意一点，则

（1）点,Pab关于x轴的对称点的坐标为,ab；

（2）点,Pab关于y轴的对称点的坐标为,ab；

（3）点,Pab关于原点O的对称点的坐标为,ab．

例3 （1）已知点2,3P，写出点P关于x轴的对称点的坐标；

（2）已知点,)Pxy（，写出点P关于y轴对称点的坐标与关于原点O的对称点的坐标；

（3）设函数yfx，在函数图像上任取一点,Pafa，写出点P关于y轴的对称点的坐标与关于原点O的对称点的坐标．

分析 本题需要利用三种对称点的坐标特征来进行研究．

解 （1）点2,3P关于x轴的对称点的坐标为2,3；

（2）点,Pxy关于y轴的对称点的坐标为,xy，点,Pxy关于原点O的对称点的坐标,xy；

（3）点,Pafa关于y轴的对称点的坐标为,afa，P1 P3 P2

点,Pafa关于原点O的对称点的坐标为,afa．

第14课时 函数的奇偶性的定义

【目标导航】

1.借助函数图像掌握函数的图像关于原点对称与关于y轴对称的点的特点。

2.利用图像理解函数奇偶性的概念，及其几何意义。

3.通过概念的形成过程，学会观察，归纳，体会数形结合思想。

【【知识链接】】

1.预习教材：平面几何中，曾经学习了关于轴

对称图形和中心对称图形的知识．如图所示，

点3,2P关于x轴的对称点是沿着x轴对折

得到与P相重合的点1P，其坐标为 ；

点3,2P关于y轴的对称点是沿着y轴对折

得到与P相重合的点2P，其坐标为 ；点3,2P关于原点O的对称点是线段OP绕着原点O旋转180°得到与P相重合的点3P，其坐标为 ．

2.归纳初中点的对称性：一般地，设点,Pab为平面上的任意一点，则

（1）点,Pab关于x轴的对称点的坐标为 ；

（2）点,Pab关于y轴的对称点的坐标为 ；

（3）点,Pab关于原点O的对称点的坐标为 ．

【自主学习】

1. 复习概念：

（1）轴对称： ；

（2）中心对称： 。

2.观察图像归纳总结：

轴对称的图像有： ；中心对称图像有： 。 P1 P3 P2 3.观察图形○1，○,2图形并填表：

x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …

2fxx

fxx

由2fxx图像及其表格，猜想fx= 。

由图○2及表格，猜想fx= 。

4.观察下列函数图像，是否关于y轴对称？

思考：如果一个函数的图象关于y轴或关于原点对称，那么它的定义域应该有什么特点？

中职数学第三章函数单元测验试卷

班级 姓名 学号 得分

一、选择题：（每题3分，共36分）

1、点（-2，3）关于x轴对称点坐标是 ( )

A: (2,3) B: (-2,-3) C: (2,-3) D: (-2,3)

2.下列各组的两个函数，表示同一个函数的是 （ ）

A.与 B.

与

xx

y2

xy

2

xx

y

xy1



C.与 D.与||xyxy2

)(xyxy

3.若函数，则 （ ）

22,0

()

3,0x

fxxx









　

)3()2(ff

A.7 B.14 C. 12 D.2

4.下列函数中既是奇函数又是增函数的是 （ ）

A. B. C. D.2

3xy

xy1

1xy3

xy

5.一次函数　y = 2x + 1的图像不经过的象限是： （ ）

A.　第一 B.　第二 C.　第三 D.　第四

6.函数　的单调减区间是 （ ）1y

x

A. R B. (-∞,0)∪(0,+∞) C. N＊ D. Q

7.已知函数在区间上是减函数则 （ ）)(xfy)0,(

A.

>> B.>>)

21

(f)

31

(f1

()

4f)

21

(f1

()

4f)

31

(f

C.

>> D.>>)

31

(f1

()

4f)

21

(f1

()

4f)

31

(f)

21

(f

8.已知函数，则＝ （ ）()21fxx＝)2(xf

A.　2x+1 B. 2x+5 C. x+2 D. x

9.

下列各点中，在函数y=x-2图象上的是 （ ）

A．(0，2) B． (-1，-2) C．(2，0) D．(-1，2)

10.已知一次函数的图像关于原点对称，则二次函数bkxy

的图像关于（ ）对称。 )0(2

acbxaxy

A.x轴 B.y轴 C.原点 D．直线y=x

11.不等式对于一切实数均成立，则的取值范围是（ ）022

mxxm

A. B. C. D.0m0m1m1m12.设二次函数满足顶点坐标为（2，-1），其图像过点（0,3），则函数的解析