福建省厦门外国语学校2018-2019学年高二上学期第一次月考数学(理)试题 含答案
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厦门外国语学校高二10月考试
理科数学试题
(考试时间：120分钟 试卷总分：150分)
注意事项：
1．本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．
2．答题前，考生务必将自己的校名、姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置上．
3．全部答案在答题卡上完成，答在本卷上无效．
第I卷 （选择题 60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡．．．的相应位置填涂．
1.在△ABC，若 ， 则△ABC是( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 钝角三角形
2.在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ ）
A. b=10，A=45°，C=75° B. a=7，b=5，A=80°
C. a=60，b=48，C=60° D. a=14，b=16，A=45°
3.若等比数列 的前n项和 ，则a的值为( )
A. -4
B. -1
C. 0
D. 1
4.等差数列 的前 项和为 ， ，且 ，则 的公差 （ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5.△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，a=2，c= ，C=（ ）
A.
B.
C.
D.
6.等差数列 的前 项和为 ，且 ,则 （ ）
A.
B.
C.
D. 4
7.已知等差数列 的前 项为 且 ，则 ( )
A.90 B.100 C.110 D.120
8.已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，则这三个数的和为（ ）
A. 13 B. －7 C. －7或13 D. 无法求解
9.已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若 ， 则△AOC的面积为( )
A.
B.
C.
D.
10.A在塔底D的正西面，在A处测得塔顶C的仰角为45°，B在塔底D的南偏东60°处，在塔顶C处测得到B的俯角为30°，AB间距84米，则塔高为（ ）
A. 24米 B. 米
C. 米
D. 36米
11.在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=60°，∠C=105°，BC=1，则AB的取值范围（ ）
A. （1，2） B. （2﹣ ，1） C. （2﹣ ，2+ ） D. （1，2+ ）
12.已知 成等比数列，且 ．若 ，则（ ）
A. B. C.
D.
第Ⅱ卷（非选择题 90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卷的相应位置．
13.在等差数列 中， ，则 ________．
14.已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，满足 ， ，则当 取得最小值时， 的值为________．
15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的 方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度________ m.
16.在△ABC中，cos∠ABC= ，AB=2，点D在AC上，AD=2DC，BD= ，△ABC的面积为________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或演算步骤.
17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 =0． （Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b= ，a+c=4，求△ABC的面积．
18.已知数列 的前n项和 ，
（1）求数列的通项
（2）求数列 的前n项和．
19.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．
（1）若c= ，△ABC的面积为 ，求△ABC的周长；
（2）若c= ，求△ABC的周长的取值范围．
20.已知等差数列{an}中，a2=6，a3+a6=27．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记数列{an}的前n项和为Sn ， 且Tn= ，若对于一切正整数n，总有Tn≤m成立，求实数m的取值范围．
21.如图，A、B是海面上位于东西方向相距 海里的两个观测点.现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号.位于B点南偏西60°且与B相距20 海里的C点的救援船
立即前往营救，其航行速度为30海里/小时。求救援船直线到达D的时间和航行方向.
22.已知数列 满足 .
（1）若 （ 且 ），数列 为递增数列，求数列 的通项公式；
（2）若 （ 且 ），数列 为递增数列，数列 为递减数列，且 ，求数列 的通项公式.
1.在△ABC，若 ， 则△ABC是( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 钝角三角形
【答案】A
2. D
3. B
4. A
5. B
6. C
7. A
8. C
9. A
10. C
11. D
12. B
13.
【解析】【解答】解：因为 是等差数列，所以 ，
所以 ，故 ，填 ．
【分析】由 a4+a6=2a15 ， 及等差数列的性质 可得4a10=20，a10=5，据前19项和S19=19a10 求出结果．
14. 5
15.
【解析】【解答】依题意，,在中，由，所以，因为，由正弦定理可得，即m，在中，因为，,所以,所以m。
【点评】本题是空间四面体问题，不能把四边形ABCD看成平面上的四边形.
16.在△ABC中，cos∠ABC= ，AB=2，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD= ，则△ABC的面积为________．
【答案】2
【解析】【解答】解：设BC=a，AD=2DC=2x，则AC=3x， 在△ABC中由余弦定理可得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcos∠ABC，
即9x2=4+a2﹣ a，①
在△ABD和△DBC中由余弦定理可得
cos∠ADB= = ，
cos∠BDC= = ，
∵∠ADC=π﹣∠BDC，
∴cos∠ADC=cos（π﹣∠BDC）=﹣cos∠BDC，
∴ =﹣ ，
化简得3x2﹣a2=﹣6，②，
由①②可得a=3，x=1，BC=3，
∵cos∠ABC= ，
∴sin∠ABC= ，
∴S△ABC= AB•BC•sin∠ABC= ×2×3× =2 ．
故答案为：2 ．
【分析】设BC=a，AD=2DC=2x，则AC=3x，先根据余弦定理可得9x2=4+a2﹣ a，①，再根据余弦定理可得3x2﹣a2=﹣6，②，求出a的值，再根据三角形的面积公式计算即可．
17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 =0． （Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b= ，a+c=4，求△ABC的面积．
【答案】解：（I）由 知：（2a+c）cosB+bcosC=0 由正弦定理知：（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0
即2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0，
∴2sinAcosB=﹣sin（B+C）
即 ，
又 B∈（0，π），
∴ ；
（II）在△ABC中由余弦定理知：b2=a2+c2﹣2accosB，
∴b2=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB，
又 ，
∴13=16﹣2ac+ac，
∴ac=3
∴
【解析】【分析】（Ⅰ）由正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式可得cosB=﹣ ，问题得以解决，（Ⅱ）由余弦定理可得ac=3，再根据三角形的面积公式计算即可．
18.已知等差数列 的前n项和 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】解：当n=1时， ；
当 时， ，
且 ，所以 ．
