2018-2019学年福建省厦门外国语学校高一下学期第一次月考数学试题(解析版)

第 1 页 共 18 页 2018-2019学年福建省厦门外国语学校高一下学期第一次月考数学试题

一、多选题

1．已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（ ）

A．若，则一定是等边三角形

B．若，则一定是等腰三角形

C．若，则一定是等腰三角形

D．若，则一定是锐角三角形

【答案】AC

【解析】利用正弦定理可得，可判断；由正弦定理可得，可判断；由正弦定理与诱导公式可得，可判断；由余弦定理可得角为锐角，角不一定是锐角，可判断.

【详解】

由，利用正弦定理可得，即，是等边三角形，正确；

由正弦定理可得，或，

是等腰或直角三角形，不正确；

由正弦定理可得，即，

则等腰三角形，正确；

由正弦定理可得，角为锐角，角不一定是锐角，不正确，故选AC.

【点睛】

本题主要考查正弦定理与余弦定理的应用，以及三角形形状的判断，属于中档题. 判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.

二、单选题 第 2 页 共 18 页 2．数列2，6，12，20，的第8项是（ ）

A．56 B．72 C．90 D．110

【答案】B

【解析】根据数列前四项发现规律：相邻两项的差成等差数列，从而可得结果.

【详解】

，

，

，

，

，

，

，故选B.

【点睛】

本题通过观察数列的前四项，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.

3．已知，则的等比中项为 （ ）

A．2 B． C． D．16

【答案】C

【解析】直接利用等比中项的定义求解即可.

【详解】

因为的等比中项是，

所以的等比中项为，故选C.

【点睛】

本题主要考查等比中项的定义与求法，意在考查对基础知识的掌握情况，属于简单题.

4．在中，，则 （ ）

A． B． C． D．

【答案】A 第 3 页 共 18 页 【解析】根据三角形内角和定理求角，再由正弦定理可得结果.

【详解】

在中，，

则，

由正弦定理，得，解得，

故选A.

【点睛】

本题主要考查正弦定理及其应用，属于基础题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.

5．已知等差数列的前项和，且，则（ ）

A．16 B．8 C．4 D．2

【答案】B

【解析】利用等差数列的性质和等差数列前项和公式，即可得结果.

【详解】

因为,

，

，故选B.

【点睛】

本题主要考查等差数列的性质以及前项和公式的应用，属于中档题. 解答有关等差数列问题时，要注意应用等差数列的性质（）与前 项和的关系.

6．已知数列满足，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】C 第 4 页 共 18 页 【解析】由递推公式依次求出，找出数列的项之间规律即周期性，利用周期性求出.

【详解】

由和得，

，

，

，

可得数列是周期为4的周期数列，

，故选C.

【点睛】

本题主要考查利用递推公式求数列中的项，属于中档题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.

7．已知的内角所对的边分别为，若,，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由，利用诱导公式以及两角和的正弦公式可得，再利用余弦定理解方程求解即可.

【详解】

由，

得，

即 第 5 页 共 18 页 ，

得，

因为，

所以，

化为，得，故选D.

【点睛】

本题主要考查两角和的正弦公式以及余弦定理解三角形，属于中档题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.

8．如图，从气球上测得正前方的河流的两岸的俯角分别为，此时气球的高是，则河流的宽度（ ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由题意画出图形，由两角差的正切求出的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到和的长度,作差后可得结果.

【详解】

如图，， 第 6 页 共 18 页 ，

在中，又，

，

在中， ，

，

，

河流的宽度等于，故选C.

【点睛】

本题主要考查两角差的正切公式、直角三角形的性质以及特殊角的三角函数,意在考查综合应用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题. 与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.

9．已知等比数列的前项和为，且,则 ( ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由等比数列的性质可得仍成等比数列，进而可用表示和,代入化简可得结果.

【详解】

由等比数列的性质可得，仍成等比数列，

，

,成等比数列，

，解得，

,故选D.

【点睛】 第 7 页 共 18 页 本题主要考查等比数列的性质与应用，意在考查对基础知识的掌握与灵活应用，属于中档题.

10．等差数列的前项和为，若公差，，则

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由公差可得，由可得，可得，，由等差数列的性质可得，，从而可得结论．

【详解】

公差，，

，

，，,

，

，

，，

，故选D．

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式与性质以及单调性、不等式的性质，属于中档题．解答等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）.

三、解答题

11．在等差数列中，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据等差数列中，求出、公差的值，从而可第 8 页 共 18 页 得数列的通项公式；(2) 由（1）可得，每相邻两项结合求和，从而可得结果.

【详解】

（1）

,

,

(2)

.

【点睛】

本题主要考查等差数列的通项公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.

12．如图，在梯形中，，

．

（1）求；

（2）求的长度.

【答案】（1）；（2）.

【解析】(1)由正弦定理求出的正弦值，再利用可得结果；（2）求得,利用正弦定理可得结果.

【详解】 第 9 页 共 18 页 (1)在中，由正弦定理，得，

∴,

∵，∴，

.

(2)由（1）可知

,

,

在中，由正弦定理，

得.

【点睛】

本题主要考查正弦定理的应用，属于中档题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.

13．已知是等差数列，是等比数列，且

（1）求，的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1），；（2）.

【解析】（1）由，根据等比数列的性质求得、的值，即可得的通项公式，再根据列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式；（2）结合（1）可得，根据错位相减法，利用等比数列求和公式可得结果.

【详解】

（1）等比数列的公比， 第 10 页 共 18 页 所以，．

设等差数列的公差为．

因为，，

所以，即．

所以．

（2）由（1）知，，．

因此．

从而数列的前项和,

,

,

两式作差可得,

,

解得.

【点睛】

本题主要考查等比数列和等差数列的通项、等比数列的求和公式以及错位相减法求数列的前项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.

14．在中，角，，所对的边分别为，，，若．

（1）求的大小；

（2）求的最大值．