A高中数学第二章《圆锥曲线与方程》椭圆及其标准方程(一)学案(无答案)新人教A版

学习资料第二章圆锥曲线与方程2．1椭圆2。

1.1椭圆及其标准方程内容标准学科素养1。

了解椭圆标准方程的推导．2。

理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．3。

掌握用定义和待定系数法求椭圆的标准方程。

利用直观想象发展逻辑推理提升数学运算授课提示：对应学生用书第20页[基础认识]知识点一椭圆的定义错误!在现实生活中，我们经常看到香皂盒、浴盆、体育场的跑道，油罐车的横切面，橄榄球等，这些物品都给我们以椭圆形的印象,那么如何设计出这些椭圆形的物品呢？（1)取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个什么图形？提示：圆．（2）如果把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点F1,F2处，套上铅笔，拉紧绳子,移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？提示:椭圆．（3）在问题（2)中，移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？提示：把细绳的两端拉开一段距离，移动笔尖的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离和等于常数．知识梳理把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．几点说明：(1)F1，F2是两个不同的定点．(2）M是椭圆上任意一点，且|MF1|＋|MF2|＝常数．(3)通常这个常数记为2a,焦距记为2c且2a〉2c.（4)如果2a＝2c，则M的轨迹是线段F1F2。

（5）如果2a〈2c，则点M的轨迹不存在．（由三角形的性质知）知识点二椭圆的标准方程错误!观察椭圆形状，你认为怎样建系才能使椭圆的方程简单？提示：椭圆是对称图形，以两焦点F1，F2所在直线为一条坐标轴,F1F2的中点为原点建立直角坐标系方程简单．知识梳理椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程错误!＋错误!＝1（a〉b>0）错误!＋错误!＝1(a〉b〉0）焦点(－c,0)与(c，0)（0，－c）与（0，c）a,b，c的关系c2＝a2－b21．下列说法中，正确的是（）A．到点M（－3，0)，N(3,0）的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆B．到点M(0，－3)，N（0，3）的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C．到点M(－3,0)，N（3,0）的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆D．到点M（0，－3)，N（0，3)的距离相等的点的轨迹是椭圆答案：C2．若椭圆方程为错误!＋错误!＝1,则其焦点在________轴上，焦点坐标为____________．答案：x(－2，0)，(2，0）授课提示:对应学生用书第21页探究一求椭圆的标准方程[阅读教材P34例1］已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0），（2,0),并且经过点错误!，求它的标准方程．题型：待定系数法求椭圆的标准方程．方法步骤：①根据条件设出所求椭圆的标准方程．②根据已知条件建立a，b，c的方程(组）．③解出a，b的值即可得出椭圆的标准方程．[例1]根据下列条件，求椭圆的标准方程：（1)两个焦点的坐标分别为(－4，0)和（4,0），且椭圆经过点（5,0)；（2)焦点在y轴上，且经过两个点（0，2)和（1，0）．［解析](1）法一:因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为错误!＋错误!＝1（a〉b>0)．因为2a＝错误!＋错误!＝10,所以a＝5.又c＝4，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9，故所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝1。

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椭圆标准方程（1） 教学目标：1、掌握椭圆的标准方程，能够根据已知条件求椭圆的标准方程2、能用标准方程判定曲线是否是椭圆教学重点：椭圆的标准方程教学难点：椭圆标准方程的推导 导 学 过 程学 习 体会一．自主导航 任务1：预习课本3330P P -页,根据课本内容填空复习1:过两点(0,1),(2,0)的直线方程 ．复习2：方程22(3)(1)4x y -++= 表示以 为圆心, 为半径的探究：，设椭圆的两个焦点分别为21,F F ,它们之间的距离为c 2，椭圆上任意一点到21,F F 的距离的和为a 2(c a 22>）建立适当的直角坐标系推导椭圆的标准方程.可得椭圆的标准方程为_________________________________如果椭圆的焦点在y 轴上,则椭圆的标准方程为_________________________________概念的运用:下列方程中哪些是椭圆的方程？若是，指出焦点在哪个轴上。

（1）13422=+y x （2)1222=+y x（3）12222=+y x (4)63222=+y x任务2：认真理解椭圆的定义完成下列例题例1。

第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用学习目标：1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．(重点)2.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．点与椭圆的位置关系点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系：点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b ＝1；点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b <1；点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20b>1.2．直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y2b2＝1，消去y 得一个关于x 的一元二次方程．思考：(1)(2)直线y ＝kx ＋1与椭圆x 24＋y 23＝1有怎样的位置关系？[提示] (1)根据椭圆的对称性知，两交点关于原点对称．(2)直线y ＝kx ＋1恒过定点(0,1)，点(0,1)在椭圆x 24＋y 23＝1的内部，因此直线与椭圆相交．[基础自测]1．思考辨析(1)若点P (x 0，y 0)在椭圆x 24＋y 23＝1的内部，则有x 204＋y 203<1.( )(2)直线y ＝x 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)不一定相交．( ) (3)过点(3,0)的直线有且仅有一条与椭圆x 29＋y 216＝1相切．( )[答案] (1)√ (2)× (3)√2．直线y ＝x ＋1与椭圆x 2＋y 22＝1的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定C [联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 2＋y 22＝1，消去y ，得3x 2＋2x －1＝0，Δ＝22＋12＝16＞0， ∴直线与椭圆相交．]3．若点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是________.【导学号：97792069】(－2，2) [∵点A 在椭圆内部， ∴a 24＋12＜1，∴a 2＜2，∴－2＜a ＜ 2.] [合 作 探 究·攻 重 难]对不同的实数值m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆4＋y 2＝1的位置关系．[思路探究] 联立两个方程―→消去y 得到关于x 的一元二次方程 ―→求Δ―→讨论Δ得结论[解] 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ， ①x 24＋y 2＝1. ②将①代入②得：x 24＋(x ＋m )2＝1， 整理得：5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0.③Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)．当Δ＞0，即－5＜m ＜5时，方程③有两个不同的实数根，代入①可得两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交；当Δ＝0，即m ＝±5时，方程③有两个相等的实数根，代入①得一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切；当Δ＜0，即m ＜－5或m ＞5时，方程③无实根，此时直线与椭圆相离．1．(1)若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( )A.63 B ．－63 C ．±63D ．±33C [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2x 23＋y22＝1得(3k 2＋2)x 2＋12kx ＋6＝0由题意知Δ＝144k 2－24(3k 2＋2)＝0 解得k ＝±63.] (2)直线y ＝kx －k ＋1(k ∈R )与焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，5 [直线y ＝k (x －1)＋1恒过定点P (1,1)，直线与椭圆总有公共点等价于点P (1,1)在椭圆内或在椭圆上．所以125＋12m ≤1，即m ≥54，又0<m <5，故m ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，5.]过椭圆x 216＋y 24＝1内一点M (2,1)引一条弦，使弦被M 点平分．(1)求此弦所在的直线方程． (2)求此弦长.【导学号：97792070】[思路探究] (1)法一：联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解． 法二：点差法(2)设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，利用弦长公式求解．[解] (1)法一：设所求直线方程为y －1＝k (x －2)．代入椭圆方程并整理，得 (4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0. 又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1，x 2是方程的两个根， 于是x 1＋x 2＝k 2－k4k 2＋1. 又M 为AB 的中点，∴x 1＋x 22＝k 2－k 4k 2＋1＝2，解之得k ＝－12. 故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.法二：设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 又M (2,1)为AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 又A ，B 两点在椭圆上， 则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16. 两式相减得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0.于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24y 1＋y 2＝－12， 即k AB ＝－12.又直线AB 过点M (2,1)，故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.(2)设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，x 216＋y24＝1，得x 2－4x ＝0，∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝0，∴|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122·42－4×0＝2 5. x 1－22＋y 1－22＋2x 1－22＝x 1＋22－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12y 1－2＝y 1＋y 22－为直线斜率)．如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．．解决椭圆中点弦问题的两种方法2．(1)已知点P (4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则直线l 的方程为________．x ＋2y －8＝0 [由题意可设直线l 的方程为y －2＝k (x －4)，而椭圆的方程可以化为x 2＋4y 2－36＝0. 将直线方程代入椭圆方程有(4k 2＋1)x 2－8k (4k －2)x ＋4(4k －2)2－36＝0.设直线l 与椭圆的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝8kk －4k 2＋1＝8，所以k ＝－12.所以直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.](2)已知点P (4,2)是直线l ：x ＋2y －8＝0被焦点在x 轴上的椭圆所截得的线段的中点，则该椭圆的离心率为________．32 [设椭圆方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)， 直线x ＋2y －8＝0与椭圆交于A ，B 两点，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1， ②①－②得x 1－x 2x 1＋x 2a2＋y 1－y 2y 1＋y 2b2＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2. 因为k AB ＝－12，AB 中点为(x 0，y 0)，x 0＝4，y 0＝2，所以－12＝－2b 2a ，即a 2＝4b 2.所以该椭圆的离心率为e ＝1－b 2a 2＝32.] (3)已知动点P 与平面上两定点A (－2，0)，B (2，0)连线的斜率的积为定值－12.①试求动点P 的轨迹方程C ；②设直线l ：y ＝kx ＋1与曲线C 交于M ，N 两点，当|MN |＝423时，求直线l 的方程．[解] ①设动点P 的坐标是(x ，y )，由题意得，k PA ·k PB ＝－12.∴y x ＋2·yx －2＝－12，化简整理得x 22＋y 2＝1.故P 点的轨迹方程C 是x 22＋y 2＝1(x ≠±2)．②设直线l 与曲线C 的交点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0.∴x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1·x 2＝0.|MN |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1·x 2＝423， 整理得k 4＋k 2－2＝0， 解得k 2＝1或k 2＝－2(舍)． ∴k ＝±1，经检验符合题意．∴直线l 的方程是y ＝±x ＋1，即x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.1．直线y ＝kx ＋1表示过点(0,1)且斜率存在的直线，即不包含直线x ＝0，那么直线x ＝ky ＋1表示什么样的直线？提示：直线x ＝ky ＋1，表示过点(1,0)且斜率不为0的直线，即不包含直线y ＝0. 2．如果以线段AB 为直径的圆过点O ，那么可以得到哪些等价的条件？ 提示：(1)设AB 的中点为P ，则|OP |＝12|AB |，(2)OA →·OB →＝0.如图2­1­7，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0，2)，且离心率e ＝22.图2­1­7(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：x ＝my －1(m ∈R )交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．[思路探究] (1)由椭圆经过的一点及离心率公式，再结合a 2＝b 2＋c 2即可求出a ，b ，c 的值，从而可得椭圆E 的方程．(2)法一：判断点与圆的位置关系，只需把点G 与圆心的距离d 与圆的半径r 进行比较，若d >r ，则点G 在圆外；若d ＝r ，则点G 在圆上；若d <r ，则点G 在圆内．法二：只需判断GA →·GB →的符号，若GA →·GB →＝0，则点G 在圆上；若GA →·GB →>0，则点G 在圆外；若GA →·GB →<0，则点G 在圆内．[解] (1)由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，c ＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)法一：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为H (x 0，y 0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0，所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2， 从而y 0＝mm 2＋2.所以|GH |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋942＋y 20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my 0＋542＋y 20＝(m 2＋1)y 20＋52my 0＋2516.|AB |24＝x 1－x 22＋y 1－y 224＝＋m2y 1－y 224＝＋m2y 1＋y 22－4y 1y 2]4＝(1＋m 2)(y 20－y 1y 2)，故|GH |2－|AB |24＝52my 0＋(1＋m 2)y 1y 2＋2516＝5m 2m 2＋－＋m2m 2＋2＋2516＝17m 2＋2m 2＋>0，所以|GH |>|AB |2.故点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0在以线段AB 为直径的圆外．法二：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则GA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋94，y 1，GB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋94，y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0，所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2， 从而GA →·GB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋94⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋94＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my 1＋54⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2＋54＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋54m (y 1＋y 2)＋2516＝－m 2＋m 2＋2＋52m 2m 2＋2＋2516＝17m 2＋2m 2＋>0， 所以cos 〈GA →，GB →〉>0.又GA →，GB →不共线，所以∠AGB 为锐角．故点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0在以线段AB 为直径的圆外．3．椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(－3，0)和F 2(3，0)，且椭圆过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32. (1)求椭圆方程；(2)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于M ，N 两点，A 为椭圆的左顶点，试判断∠MAN 的大小是否为定值，并说明理由.【导学号：97792071】[解] (1)由题意设椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由c ＝3，a 2＝b 2＋c 2，代入方程x 2b 2＋3＋y 2b2＝1，又∵椭圆过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，得1b 2＋3＋34b 2＝1， 解得b 2＝1，∴a 2＝4. 椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线MN 的方程为x ＝ky －65，联立直线MN 和曲线C 的方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky －65，x24＋y 2＝1，得(k 2＋4)y 2－125ky －6425＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，A (－2,0)，y 1y 2＝－64k 2＋，y 1＋y 2＝12k k 2＋，则AM →·AN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2) ＝(k 2＋1)y 1y 2＋45k (y 1＋y 2)＋1625＝0，即可得∠MAN ＝π2.[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知点(2,3)在椭圆x 2m 2＋y 2n2＝1上，则下列说法正确的是( )【导学号：97792072】A ．点(－2,3)在椭圆外B ．点(3,2)在椭圆上C ．点(－2，－3)在椭圆内D ．点(2，－3)在椭圆上D [由椭圆的对称性知，点(2，－3)在椭圆上，故选D.]2．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．相切或相交C [由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3＝0x 24＋y 2＝1，得5x 2－24x ＋32＝0， Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0，因此直线与椭圆相离．]3．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________． 35 [由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1， 消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6.∴弦长|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝54x 1＋x 22－4x 1x 2]＝54＋＝35.]4．已知P (1,1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________． x ＋2y －3＝0 [易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k ，弦的端点坐标为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1①，x 224＋y 222＝1②， ①－②得x 1＋x 2x 1－x 24＋y 1＋y 2y 1－y 22＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12. ∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)， 即x ＋2y －3＝0.]5．焦点分别为(0,52)和(0，－52)的椭圆截直线y ＝3x －2所得椭圆的弦的中点的横坐标为12，求此椭圆方程.【导学号：97792073】[解] 设y 2a ＋x 2b ＝1(a >b >0)． 依题意，有a 2－b 2＝(52)2＝50.① 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2a 2＋x 2b 2＝1，y ＝3x －2， 消去y 并整理，得 (a 2＋9b 2)x 2－12b 2x ＋4b 2－a 2b 2＝0.因为x 1＋x 22＝12， 所以6b 2a 2＋9b 2＝12. 所以a 2＝3b 2.②由①②，得a 2＝75，b 2＝25. 经检验，此时Δ>0.所以椭圆方程为y 275＋x 225＝1.。

2.2.1 椭圆的标准方程(一)学习目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．知识点一椭圆的定义思考1 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？思考2 在上述画椭圆过程中，笔尖移动需满足哪些条件？如果改变这些条件，笔尖运动时形成的轨迹是否还为椭圆？梳理(1)我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于__________(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做________．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．(2)椭圆的定义用集合语言叙述为：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a>|F1F2|}．(3)2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：条件结论2a>|F1F2|动点的轨迹是椭圆2a＝|F1F2|动点的轨迹是线段F1F22a<|F1F2|动点不存在，因此轨迹不存在知识点二椭圆的标准方程思考1 在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？思考2 若两定点A、B间的距离为6，动点P到两定点的距离之和为10，如何求出点P的轨迹方程？梳理 (1)椭圆标准方程的两种形式焦点位置 标准方程焦点焦距 焦点在x 轴上x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) F 1(－c ，0)，F 2______ 2c焦点在y 轴上y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0) F 1______， F 2(0，c )2c(2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系椭圆在坐标系中的位置标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0) 焦点坐标F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )a ，b ，c 的关系b 2＝a 2－c 2(3)根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标．判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x 2项和y 2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．如方程为y 25＋x 24＝1的椭圆，焦点在y 轴上，而且可求出焦点坐标F 1(0，－1)，F 2(0，1)，焦距|F 1F 2|＝2.类型一 椭圆的定义解读例1 点P (－3，0)是圆C ：x 2＋y 2－6x －55＝0内一定点，动圆M 与已知圆相内切且过P 点，判断圆心M 的轨迹．反思与感悟 椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视． 定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．常数(2a )必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件．跟踪训练1 下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上) ①已知定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝2的点P 的轨迹为椭圆； ②已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝4的点P 的轨迹为线段； ③到定点F 1(－3，0)，F 2(3，0)的距离相等的点的轨迹为椭圆．类型二 求椭圆的标准方程命题角度1 用待定系数法求椭圆的标准方程例2 求焦点在坐标轴上，且经过两点P (13，13)，Q (0，－12)的椭圆的标准方程．引申探究求与椭圆x 225＋y 29＝1有相同焦点，且过点(3，15)的椭圆方程．反思与感悟 (1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m >0，n >0)．(2)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有公共焦点的椭圆方程为x 2a 2＋λ＋y 2b 2＋λ＝1(a >b >0，b 2>－λ)，与椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)有公共焦点的椭圆方程为y 2a 2＋λ＋x 2b 2＋λ＝1(a >b >0，b 2>－λ)．跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(－4，0)，F 2(4，0)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10；(2)椭圆过点(3，2)，(5，1)；(3)椭圆的焦点在x 轴上，且经过点(2，0)和点(0，1)．命题角度2 用定义法求椭圆的标准方程例3 已知一动圆M 与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心M 的轨迹方程．反思与感悟 用定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确定a ，b 的值．跟踪训练3 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为453和253，过点P 作焦点所在的坐标轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程．类型三 椭圆中焦点三角形问题例4 (1)已知P 是椭圆y 25＋x 24＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△F 1PF 2的面积；(2)已知椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，求∠F 1PF 2的大小．反思与感悟 在椭圆中，当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时，这个点与椭圆的两个焦点可以构成一个三角形，这个三角形就是焦点三角形．这个三角形中一条边长等于焦距，另两条边长之和等于椭圆定义中的常数．在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF 1|＋|MF 2|＝2a 及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解．跟踪训练4 (1)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦点三角形PF 1F 2中，∠F 1PF 2＝α，点P 的坐标为(x 0，y 0)，求证：△PF 1F 2的面积12PF F S ＝c |y 0|＝b 2tan α2；(2) 已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，椭圆上有一点P 满足∠PF 1F 2＝90°(如图)．求△PF 1F 2的面积．1．已知A(－5，0)，B(5，0)．动点C满足|AC|＋|BC|＝10，则点C的轨迹是( ) A．椭圆B．直线C．线段D．点2．若方程3x2＋ky2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则k的可能取值为( )A．1 B．3 C．0 D．－23．已知椭圆C：x225＋y216＝1内有一点M(2，3)，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上一点，则|PM|＋|PF1|的最大值为________，最小值为________．4．椭圆8x2＋3y2＝24的焦点坐标为________________．5．求经过两点(2，－2)，(－1，142)的椭圆的标准方程．1．椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．在解题过程中将|PF1|＋|PF2|看成一个整体，可简化运算．2．椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定点”、“距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决．3．凡涉及椭圆上的点的问题，首先要考虑它应满足椭圆的定义|MF1|＋|MF2|＝2a(M为椭圆上的点，F1，F2为椭圆的焦点)，一般进行整体变换，其次要考虑该点的坐标M(x0，y0)适合椭圆的方程，然后再进行代数运算．提醒：完成作业第二章 2.2.1(一)答案精析问题导学 知识点一思考1 在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的距离，笔尖贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆．思考2 笔尖到两图钉的距离之和不变，等于绳长．绳长大于两图钉间的距离．若在移动过程中绳长发生变化，即到两定点的距离不是定值，则轨迹就不是椭圆．若绳长不大于两图钉间的距离，轨迹也不是椭圆． 梳理 (1)常数 椭圆 焦点 焦距 知识点二思考1 不一定，只需a >b ，a >c 即可，b ，c 的大小关系不确定．思考2 以两定点的中点为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则A (3，0)，B (－3，0)．设P (x ，y )，依题意得|PA |＋|PB |＝10， 所以x －32＋y 2＋x ＋32＋y2＝10，即点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.梳理 (1)(c ，0) (0，－c ) 题型探究例1 解 方程x 2＋y 2－6x －55＝0化标准形式为(x －3)2＋y 2＝64，圆心为(3，0)，半径r ＝8.因为动圆M 与已知圆相内切且过P 点，所以|MC |＋|MP |＝r ＝8，根据椭圆的定义，动点M 到两定点C ，P 的距离之和为定值8>6＝|CP |，所以动点M 的轨迹是椭圆．跟踪训练1 ②例2 解 方法一 ①当椭圆焦点在x 轴上时，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧132a2＋132b 2＝1，0＋－122b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝14.由a >b >0知不合题意，故舍去．②当椭圆焦点在y 轴上时，可设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧132a 2＋132b 2＝1，－122a 2＋0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝14，b 2＝15.所以所求椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.方法二 设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )． 则⎩⎪⎨⎪⎧19m ＋19n ＝1，14n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝4.所以所求椭圆的方程为5x 2＋4y 2＝1， 故椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.引申探究解 据题意可设其方程为x 225＋λ＋y 29＋λ＝1(λ>－9)，又椭圆过点(3，15)，将此点代入椭圆方程，得λ＝11(λ＝－21舍去)， 故所求的椭圆方程为x 236＋y 220＝1.跟踪训练2 解 (1)设其标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 则2a ＝10，c ＝4，故b 2＝a 2－c 2＝9， ∴所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1 (A >0，B >0，A ≠B )，则⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋4B ＝1，25A ＋B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝391，B ＝1691.故所求椭圆的标准方程为x 2913＋y 29116＝1. (3)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．则⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝1，1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. 例3 解 依题意得C 1(－3，0)，r 1＝1，C 2(3，0)，r 2＝9，设M (x ，y )，动圆半径为R ， 则|MC 1|＝1＋R ，|MC 2|＝9－R ， 故|MC 1|＋|MC 2|＝10＞6＝|C 1C 2|，据椭圆定义知，点M 的轨迹是一个以C 1，C 2为焦点的椭圆，且a ＝5，c ＝3， 故b 2＝a 2－c 2＝16.故所求动圆圆心M 的轨迹方程为 x 225＋y 216＝1. 跟踪训练3 解 设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2， 不妨取|PF 1|＝453，|PF 2|＝253，由椭圆的定义，知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2 5.即a ＝ 5.由|PF 1|>|PF 2|知，PF 2垂直于焦点所在的坐标轴． 在Rt△PF 2F 1中， 4c 2＝|PF 1|2－|PF 2|2＝609，∴c 2＝53，∴b 2＝a 2－c 2＝103.又所求的椭圆的焦点可以在x 轴上，也可以在y 轴上，故所求的椭圆方程为x 25＋3y 210＝1或3x 210＋y25＝1. 例4 解 (1)由椭圆的标准方程， 知a ＝5，b ＝2，∴c ＝a 2－b 2＝1，∴|F 1F 2|＝2.又由椭圆的定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2 5.在△F 1PF 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|· cos∠F 1PF 2，即4＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|－2|PF 1|·|PF 2|cos 30°， 即4＝20－(2＋3)|PF 1|·|PF 2|， ∴|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3)．1212121·sin 2F PF S PF PF F PF ∆∴∠＝＝12×16(2－3)×12＝8－4 3. (2)由x 29＋y 22＝1，知a ＝3，b ＝2，∴c ＝7，∴|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2， ∴cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝－12，又∵0°＜∠F 1PF 2＜180°， ∴∠F 1PF 2＝120°.跟踪训练4 (1)证明 12PF F S ∆＝12|F 1F 2||y 0|＝c |y 0|. 在△PF 1F 2中，根据椭圆定义， 得|PF 1|＋|PF 2|＝2a . 两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝4a 2.①根据余弦定理，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos α＝4c 2.②①－②，得(1＋cos α)|PF 1||PF 2|＝2b 2，所以|PF 1||PF 2|＝2b21＋cos α.根据三角形的面积公式，得12121sin 2PF F S PF PF α∆＝＝12·2b 21＋cos α·sin α＝b 2·sin α1＋cos α. 又因为sin α1＋cos α＝2sin α2cosα22cos2α2＝sinα2cosα2＝tan α2，所以S △PF 1F 2＝b 2tan α2.(2)解 由已知得a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1. 从而|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由勾股定理可得 |PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4.又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2×2＝4， 所以|PF 2|＝4－|PF 1|.从而有(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4. 解得|PF 1|＝32.所以△PF 1F 2的面积S ＝12|PF 1|·|F 1F 2|＝12×32×2＝32， 即△PF 1F 2的面积是32.当堂训练1．C 2.A 3.10＋10 10－10 4．(0，－5)，(0，5)5．解 设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )． 将两点(2，－2)，(－1，142)分别代入， 得⎩⎪⎨⎪⎧ 4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ A ＝18，B ＝14.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.。

2.2.1 椭圆及其标准方程1．椭圆的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．思考：(1)椭圆定义中将“大于|F 1F 2|”改为“等于|F 1F 2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)椭圆定义中将“大于|F 1F 2|”改为“小于|F 1F 2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？[提示] (1)点的轨迹是线段F 1F 2.(2)当距离之和小于|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10D [由椭圆方程知a 2＝25，则a ＝5，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.]2．椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(0，－8)，F 2(0，8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为( )A.x 2100＋y 236＝1B.y 2400＋x 2336＝1 C.y 2100＋x 236＝1 D.y 220＋x 212＝1 C [由题意知c ＝8，2a ＝20，∴a ＝10， ∴b 2＝a 2－c 2＝36，故椭圆的方程为y 2100＋x 236＝1.]3．已知椭圆的焦点为(－1，0)和(1，0)，点P (2，0)在椭圆上，则椭圆的方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 24＋y 2＝1 C.y 24＋x 23＝1 D.y 24＋x 2＝1 A [由题意知c ＝1，椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，又点P (2，0)在椭圆上，∴4a 2＋0b2＝1，∴a 2＝4，b 2＝a 2－c 2＝3， 故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.]4．椭圆8k 2x 2－ky 2＝8的一个焦点坐标为(0，7)，则k 的值为________． －1或－17 [原方程可化为x 21k 2＋y2－8k＝1.依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－8k ＞0，－8k ＞1k2，－8k －1k2＝7，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，k ＜－18，k ＝－1或k ＝－17.所以k 的值为－1或－17.](1)两个焦点的坐标分别为(－4，0)和(4，0)，且椭圆经过点(5，0)；(2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)； (3)经过点A (3，－2)和点B (－23，1)． [解] (1)由于椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∴a ＝5，c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9. 故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)由于椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∴a ＝2，b ＝1.故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.(3)法一：①当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧（3）2a2＋（－2）2b2＝1，（－23）2a2＋1b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝5.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.②当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧（－2）2a2＋（3）2b2＝1，1a 2＋（－23）2b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝15，因为a ＞b ＞0，所以无解． 所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.法二：设所求椭圆的方程为mx 2＋ny2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋4n ＝1，12m ＋n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝115，n ＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.1．利用待定系数法求椭圆的标准方程(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a ，b ，c 的等量关系；(4)求a ，b 的值，代入所设方程．2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m ＞0，n ＞0)．因为它包括焦点在x 轴上(m ＜n )或焦点在y 轴上(m ＞n )两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算．1．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点，若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 [答案] B【例2】 (1)椭圆9＋2＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2的大小为________．(2)已知椭圆x 24＋y 23＝1中，点P 是椭圆上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，且∠PF 1F 2＝120°，则△PF 1F 2的面积为________．思路探究：(1)求|PF 2|→求cos ∠F 1PF 2→求∠F 1PF 2的大小 (2)椭圆定义和余弦定理→建立关于|PF 1|，|PF 2|的方程→联立求解|PF 1|→求三角形的面积(1)120° (2)335 [(1)由x 29＋y 22＝1，知a ＝3，b ＝2，∴c ＝7.∴|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2，∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°.(2)由x 24＋y 23＝1，可知a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝1，从而|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|cos ∠PF 1F 2，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|. ①由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4. ② 由①②联立可得|PF 1|＝65.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||F 1F 2|sin ∠PF 1F 2＝12×65×2×32＝335.]1．椭圆的定义具有双向作用，即若|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)，则点M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M 到两焦点的距离之和必为2a .2．椭圆中的焦点三角形椭圆上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2，称为焦点三角形．在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF 1|＋|MF 2|＝2a 及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解．2．(1)已知P 是椭圆y 25＋x 24＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2＝30°，则△F 1PF 2的面积是__________________．8－43 [由椭圆的标准方程，知a ＝5，b ＝2， ∴c ＝a 2－b 2＝1，∴|F 1F 2|＝2. 又由椭圆的定义，知 |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2 5.在△F 1PF 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos ∠F 1PF 2， 即4＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|－2|PF 1|·|PF 2|cos 30°， 即4＝20－(2＋3)|PF 1|·|PF 2|， ∴|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3)．∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12×16(2－3)×12＝8－4 3.](2)设P 是椭圆x 24＋y 23＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，若∠PF 1F 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是________．32 [由椭圆方程x 24＋y23＝1，知a ＝2，c ＝1，由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，且|F 1F 2|＝2，在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝90°.∴|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2.从而(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4，则|PF 1|＝32，因此S △PF 1F 2＝12·|F 1F 2|·|PF 1|＝32.故所求△PF 1F 2的面积为32.]1.如图所示，P 为圆B ：(x ＋2)2＋y 2＝36上一动点，点A 的坐标为(2，0)，线段AP 的垂直平分线交直线BP 于点Q ，求点Q 的轨迹方程．[提示] 用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义确定椭圆的基本量a ，b ，c .所求点Q 的轨迹方程为x 29＋y 25＝1.2.如图所示，在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹方程是什么？为什么？[提示] 当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用代入法(相关点法)求解．用代入法(相关点法)求轨迹方程的基本步骤为：(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为M (x ，y )，已知曲线上动点坐标为P (x 1，y 1)．(2)求关系式：用点M 的坐标表示出点P 的坐标，即得关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝g （x ，y ），y 1＝h （x ，y ）.(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可．所求点M 的轨迹方程为x 24＋y 2＝1.【例3】 (1)已知P 是椭圆x 24＋y 28＝1上一动点；O 为坐标原点，则线段OP 中点Q 的轨迹方程为______________．(2)一个动圆与圆Q 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆Q 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程．思路探究：(1)点Q 为OP 的中点⇒点Q 与点P 的坐标关系⇒代入法求解． (2)由圆的相切，及动圆圆心与两个定圆圆心、半径的关系得轨迹．(1)x 2＋y 22＝1 [设Q (x ，y )，P (x 0，y 0)，由点Q 是线段OP 的中点知x 0＝2x ，y 0＝2y ，又x 204＋y 208＝1.所以（2x ）24＋（2y ）28＝1，即x 2＋y 22＝1.](2)解：由已知，得两定圆的圆心和半径分别为Q 1(－3，0)，R 1＝1；Q 2(3，0)，R 2＝9. 设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，如图． 由题设有|MQ 1|＝1＋R ，|MQ 2|＝9－R ， 所以|MQ 1|＋|MQ 2|＝10>|Q 1Q 2|＝6.由椭圆的定义，知点M 在以Q 1，Q 2为焦点的椭圆上， 且a ＝5，c ＝3.所以b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16， 故动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.1．与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例(1)所用方法为代入法．例(2)所用方法为定义法．2．对定义法求轨迹方程的认识如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法．3．代入法(相关点法)若所求轨迹上的动点P (x ，y )与另一个已知曲线C ：F (x ，y )＝0上的动点Q (x 1，y 1)存在着某种联系，可以把点Q 的坐标用点P 的坐标表示出来，然后代入已知曲线C 的方程 F (x ，y )＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)．3．(1)已知x 轴上一定点A (1，0)，Q 为椭圆x 24＋y 2＝1上任一点，求线段AQ 中点M 的轨迹方程．[解] 设中点M 的坐标为(x ，y )，点Q 的坐标为(x 0，y 0)． 利用中点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋12，y ＝y 02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y .∵Q (x 0，y 0)在椭圆x 24＋y 2＝1上，∴x 204＋y 20＝1. 将x 0＝2x －1，y 0＝2y 代入上式， 得（2x －1）24＋(2y )2＝1.故所求AQ 的中点M 的轨迹方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋4y 2＝1. (2)在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，|AB |＝2，|AC |＝32，曲线E 过C 点，动点P 在曲线E上运动，且|PA |＋|PB |是定值．建立适当的平面直角坐标系，求曲线E 的方程．[解] 以AB 的中点O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．由题意可知，曲线E 是以A ，B 为焦点，且过点C 的椭圆，设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．则2a ＝|AC |＋|BC |＝32＋52＝4，2c ＝|AB |＝2，所以a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3.所以曲线E 的方程为x 24＋y 23＝1.1．平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，当2a ＞|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一条线段F 1F 2；当2a ＜|F 1F 2|时，轨迹不存在．2．所谓椭圆的标准方程，指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在x 2a 2＋y 2b 2＝1与y 2a 2＋x 2b 2＝1这两个标准方程中，都有a ＞b ＞0的要求，如方程x 2m ＋y 2n＝1(m ＞0，n ＞0，m≠n )就不能确定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式x a ＋yb＝1类比，如x 2a 2＋y 2b2＝1中，由于a >b ，所以在x 轴上的“截距”更大，因而焦点在x 轴上(即看x 2，y 2分母的大小)．3．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是通过待定系数法求解，二是通过椭圆的定义进行求解.1．已知A (－5，0)，B (5，0)．动点C 满足|AC |＋|BC |＝10，则点C 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．点 C [由|AC |＋|BC |＝10＝|AB |知点C 的轨迹是线段AB .]2．已知椭圆4x 2＋ky 2＝4的一个焦点坐标是(0，1)，则实数k 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4B [椭圆方程可化为x 2＋y24k ＝1，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧4k >1，4k －1＝1，解得k ＝2.]3．已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1，F 2的连线夹角为直角，则|PF 1|·|PF 2|＝________．48 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝14， ①|PF 1|2＋|PF 2|2＝100， ② ①2－②得2|PF 1||PF 2|＝96. 所以|PF 1||PF 2|＝48.]4．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4，3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．[解] 设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．设焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c ＞0)．∵F 1A ⊥F 2A ， ∴F 1A →·F 2A →＝0， 而F 1A →＝(－4＋c ，3)，F 2A →＝(－4－c ，3)，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0， ∴c 2＝25，即c ＝5. ∴F 1(－5，0)，F 2(5，0)．∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝（－4＋5）2＋32＋（－4－5）2＋32＝10＋90＝410. ∴a＝210，∴b2＝a2－c2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x240＋y215＝1.。

学习资料2．1。

2 椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质内容标准学科素养1。

掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义．2.会用椭圆的几何意义解决相关问题。

发展直观想象提升逻辑推理提高数学运算授课提示：对应学生用书第23页［基础认识］知识点椭圆的简单几何性质知识梳理焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程错误!＋错误!＝1(a〉b〉0）错误!＋错误!＝1（a>b〉0) 图形范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a顶点A1（－a,0)，A2（a，0)B1(0,－b）,B2(0，b）A1（0，－a），A2（0，a）B1(－b，0）,B2(b，0) 轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a位置焦点在x轴上焦点在y轴上焦点F1（－c,0),F2(c，0)F1(0，－c），F2（0，c)焦距｜F1F2｜＝2c对称性对称轴为坐标轴,对称中心为原点离心率e＝错误!1．椭圆错误!＋错误!＝1的长轴长为()A．81B．9C．18 D．45答案：C2．椭圆的长轴长为10，一焦点坐标为（4,0)，则它的标准方程为________．答案：错误!＋错误!＝13．椭圆x216＋错误!＝1的离心率为________．答案：错误!授课提示：对应学生用书第24页探究一根据椭圆的标准方程研究其几何性质［阅读教材P40例4]求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．题型：根据椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质．方法步骤：①先将椭圆的方程化成标准形式．②由标准方程写出a2，b2，从而得到a，b.③由a2＝b2＋c2得到c的值，从而研究椭圆的几何性质（如长轴长、短轴长、焦距、离心率等)．［例1]求椭圆m2x2＋4m2y2＝1（m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．[解析]由已知得错误!＋错误!＝1(m>0)，因为0〈m2〈4m2,所以错误!>错误!,所以椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长a＝错误!，短半轴长b＝错误!,半焦距c＝错误!,所以椭圆的长轴长2a＝错误!,短轴长2b＝错误!，焦点坐标为错误!，错误!，顶点坐标为错误!,错误!，错误!,错误!,离心率e＝错误!＝错误!＝错误!。

2.1.1椭圆及其标准方程【学习目标】（小四宋体，1.5倍行距）1.初步理解椭圆的定义；2.初步掌握椭圆的标准方程，会求简单的椭圆的标准方程．【课前学习】（小四宋体，1.5倍行距）一.回顾复习1．求动点轨迹方程的一般步骤：（1） （2） （3） （4）二．新知预习1．椭圆的定义：（1）椭圆定义的文字表述： 我们把平面内与两个定点21,F F 的 （大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆；定点21,F F 叫做椭圆的 ；两焦点间的距离叫做椭圆的 ．（2）椭圆定义的集合表述：三、问题引领，知识探究探究活动一 取一条定长的细绳，把细绳的两端拉开用图钉固定在小黑板的两点处，套上粉笔，拉紧绳子，移动粉笔，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中你能说出移动的笔尖（动点）满足的几何条件吗？练习内化 1 已知定点12,F F ，且12F F =8，动点P 满足128PF PF +=,则动点P 的轨迹是 ；若动点P 满足128PF PF +>,则动点P 的轨迹是 ． 探究活动二类比圆的方程的推导过程，结合以下问题尝试推导椭圆的方程．（1）回忆圆的方程的建立过程，归纳出求曲线方程的一般步骤．（2）观察椭圆，它具有哪些几何特征?如何建立最恰当的坐标系？（3）根据椭圆的定义，结合所学知识写出椭圆上的点满足的方程．（此处设焦距为2c ，细绳长即定义中的常数为2a ．）练习内化2 (1)下列方程是椭圆的方程吗？若是，判断其焦点在何轴？并指明b a ,. 11625)1(22=+y x 0225259)2(22=--y x(2)已知椭圆两个焦点的坐标分别是（-4,0），（4,0），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为10，求椭圆的标准方程.13616)3(22=+y x【目标检测】（小四宋体，1.5倍行距）1．下列说法中正确的是（ ）．A ．已知()()124,0,4,0F F -到12,FF 两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 B ．已知()()124,0,4,0F F -到12,FF 两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C ．到()()124,0,4,0F F -两点的距离之和等于点()5,3M 到12,F F 的距离之和相等的点的轨迹是椭圆D ．到()()124,0,4,0F F -两点距离相等的点的轨迹是椭圆2．椭圆2212516x y +=上一点p 到其一个焦点的距离为3，则p 到另一个焦点的距离为 ．3．已知椭圆上一点p 到两焦点的距离之和为10，两焦点坐标分别是()()123,0,3,0F F -,求该椭圆的标准方程．【课后巩固】（小四宋体，1.5倍行距）。

2.1.1 椭圆及其标准方程1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程.2.了解椭圆的标准方程的推导及简化过程.(难点)3.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.(重点、易错点)[基础·初探]教材整理1 椭圆的定义阅读教材P32探究～思考以上部分，完成下列问题.把平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知F1(－4,0)，F2(4,0)，到F1，F2两点的距离之和为6的点的轨迹是椭圆.( )(2)到F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆.( )(3)到F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆.( )【解析】(1)×.因为到两定点距离之和小于|F1F2|，动点的轨迹不存在，故(1)错.(2)√.由椭圆定义知，(2)对.(3)×.其动点轨迹是线段F1F2的中垂线，故(3)错.【答案】(1)×(2)√(3)×教材整理2 椭圆的标准方程阅读教材P32思考～P34例1以上部分，完成下列问题.椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)焦点坐标(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c) a，b，c的关系c2＝a2－b2判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a 2＝b 2＋c 2.( ) (2)平面内到两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的集合是椭圆.( ) (3)椭圆的特殊形式是圆.( )(4)椭圆4x 2＋9y 2＝1的焦点在y 轴上.( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)×[小组合作型]椭圆定义的应用(1)椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为( )A.5B.6C.4D.10(2)椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为F 1，F 2，AB 是椭圆过焦点F 1的弦，则△ABF 2的周长是( )【导学号：97792013】A.20B.12C.10D.6【自主解答】 (1)设P 到另一焦点的距离为r ，则r ＋5＝2a ＝10， ∴r ＝5.(2)∵AB 过F 1，∴|AB |＝|AF 1|＋|BF 1|.由椭圆定义知，⎩⎪⎨⎪⎧|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，∴|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＝20. 【答案】 (1)A (2)A在椭圆中若遇到椭圆上的点到焦点的距离及动点到两定点的距离的和为定值的轨迹的判断问题，常常用椭圆的定义进行解决.[再练一题]1.(1)设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A.4B.5C.8D.10(2)已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，则到F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是________. 【解析】 (1)∵a ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.(2)由于动点到F 1，F 2的距离之和恰巧等于F 1F 2的长度，故此动点的轨迹是线段F 1F 2. 【答案】 (1)D (2)线段F 1F 2求椭圆的标准方程根据下列条件，求椭圆的标准方程.(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过(2,0)和(0,1)两点；(3)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到离它较近的一个焦点的距离等于2.【精彩点拨】 本题考查椭圆标准方程的求法，求椭圆的标准方程时，要先判断焦点位置，确定出适合题意的椭圆标准方程的形式，最后由条件确定出a 和b 即可.【自主解答】 (1)由于椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0).∴2a ＝5＋42＋5－42＝10，∴a ＝5.又c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9. 故所求椭圆的方程为x 225＋y 29＝1.(2)法一 当椭圆的焦点在x 轴上时，设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0).∵椭圆经过两点(2,0)，(0,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴所求椭圆的方程为x 24＋y 2＝1； 当椭圆的焦点在y 轴上时，设方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0).∵椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0a 2＋4b 2＝1，1a 2＋0b 2＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，与a >b 矛盾，故舍去.综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.法二 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n ). ∵椭圆过(2,0)和(0,1)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝1，n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝1，综上可知，所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(3)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0).∵P (0，－10)在椭圆上，∴a ＝10. 又∵P 到离它较近的一焦点的距离等于2， ∴－c －(－10)＝2，故c ＝8. ∴b 2＝a 2－c 2＝36. ∴所求椭圆的标准方程是y 2100＋x 236＝1.1.求椭圆的标准方程的常用方法是待定系数法，即先由条件确定焦点位置，设出方程，再设法求出a 2、b 2代入所设方程，也可以简记为：先定位，再定量.2.当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m ＞0，n ＞0).因为它包括焦点在x 轴上(m ＜n )和焦点在y 轴上(m ＞n )两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的.[再练一题]2.根据下列条件，求椭圆的标准方程.(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点P 到两焦点的距离之和等于10；(2)求经过两点(2，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142的椭圆的标准方程.【导学号：97792014】【解】 (1)∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0).∵2a ＝10,2c ＝8，∴a ＝5，c ＝4. ∴b 2＝a 2－c 2＝52－42＝9.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)法一 若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0).由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ 1a 2＝18，1b 2＝14.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0).由已经条件得⎩⎪⎨⎪⎧4b 2＋2a 2＝1，1b 2＋144a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝18，1a 2＝14.即a 2＝4，b 2＝8，则a 2＜b 2，与题设中a ＞b ＞0矛盾，舍去. 综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.法二 设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，A ≠B ). 将两点(2，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142代入， 得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.[探究共研型]与椭圆有关的轨迹问题探究 轨迹和轨迹方程有什么不同？【提示】 轨迹和轨迹方程是两个不同的概念.求曲线的轨迹不仅要求出方程，而且要指明曲线的位置，类型. 求轨迹方程只求那个方程即可，不需描述曲线的特征.已知点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，MP ′垂直于椭圆两焦点所在的直线，垂足为P ′，且M 为线段PP ′的中点，求P 点的轨迹方程.【精彩点拨】 设Px ，y →用x ，y 表示M 的坐标→把M 坐标代入椭圆方程→化简得所求轨迹方程【自主解答】 设P 点的坐标为(x ，y )，M (x 0，y 0)，P ′(x 0，0). ∵点M 在椭圆上，∴x 2036＋y 209＝1.又∵M 是线段PP ′的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝y2，代入上式，得x 236＋y 236＝1，即x 2＋y 2＝36.故P 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝36.1.本题中由点P ，M 的关系，得到等式x 0＝x ，y 0＝y2是关键.利用点M 在椭圆上，将含x 0，y 0的式子代入椭圆方程便得到了动点P 的轨迹方程，此法称为“代入法”，此类问题一般使用此法.2.求轨迹方程的主要方法 (1)定义法用定义法求椭圆方程的思路是先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可.(2)相关点法有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法.用相关点法求轨迹方程的步骤：①设所求轨迹上的动点P (x ，y )，再设具有某种运动规律f (x ，y )＝0上的动点Q (x ′，y ′).②找出P ，Q 之间坐标的关系，并表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝φ1x ，y ，y ′＝φ2x ，y .③将x ′，y ′代入f (x ，y )＝0，即得所求轨迹方程.[再练一题]3.如图2­1­1，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程.图2­1­1【解】 设点M 的坐标是(x ，y )，P 的坐标是(x P ，y P )，因为点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |，所以x P ＝x ，且y P ＝54y .因为P 在圆x 2＋y 2＝25上，所以x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫54y 2＝25，整理得x 225＋y 216＝1，即C 的方程是x 225＋y 216＝1.1.已知椭圆x2a 2＋y22＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是( )A.x 24＋y 22＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 2＋y 22＝1D.x 26＋y 22＝1 【解析】 由题意知，椭圆焦点在x 轴上，且c ＝2，由a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝2＋4＝6， 因此椭圆方程为x 26＋y 22＝1，故选D.【答案】 D2.若方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A.－9＜m ＜25B.8＜m ＜25C.16＜m ＜25D.m ＞8【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧25－m ＞0，m ＋9＞0，m ＋9＞25－m ，解得8＜m ＜25，故选B.【答案】 B3.已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此随圆的标准方程为________.【解析】 由题意知2a ＝8，∴a ＝4， 2c ＝215，∴c ＝15， ∴b 2＝a 2－c 2＝1， 故此椭圆的标准方程为x 2＋y 216＝1.【答案】 x 2＋y 216＝1 4.已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1，F 2的连线夹角为直角，则|PF 1|·|PF 2|＝________.【解析】 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|2＋|PF 2|2＝100，解得|PF 1|·|PF 2|＝48. 【答案】 485.已知M (4,0)，N (1,0)，若动点P 满足MN →·MP →＝6|NP →|.求动点P 的轨迹C 的方程.【导学号：97792015】【解】 设P (x ，y )，则MN →＝(－3,0)，MP →＝(x －4，y )，NP →＝(x －1，y )， 由题可得－3(x －4)＝6x －12＋y 2，化简得3x 2＋4y 2＝12， 即x 24＋y 23＝1， ∴动点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.。

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2。

2.1 椭圆及其标准方程(1）学习目标：1。

理解掌握椭圆的定义；2。

理解椭圆标准方程的推导过程；3。

会求椭圆的标准方程并能应用方程解决问题合作探究：椭圆的定义实验演示P38的探究问题,试归纳椭圆的定义小结1、椭圆定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于_______(大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，简记为：其中F1，F2叫椭圆的，它们的距离叫 .思考1、（1）在椭圆的定义中,将" 大于｜F1F2|”改为”等于｜F1F2｜”或"小于｜F1F2|”,其它条件不变,点的轨迹是什么?当2a＝|F1F2|时，M的轨迹是当2a〈｜F1F2|时，M的轨迹是（2)平面内两点A(1，0),B（0,1),若动点P满足｜PA｜+｜PB|=3,则动点P的轨迹是椭圆吗?自主学习:椭圆的标准方程思考2、观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程简单?怎样推导椭圆的方程? 小结2、椭圆的标准方程思考3、 （交流讨论）总结椭圆标准方程的结构特征,如何由方程确定焦点的位置？ 小结3、合作学习:例1、由方程写出a 2，b 2，c 2，焦点坐标(1)1162522=+y x (2)11003622=+yx(3）14222=+y x （4)22925225x y +=变式1、写出适合下列条件的椭圆的标准方程（1)a =4,b=1,焦点在x 轴上，（2)a=4, c=3,焦点在y 轴上,（3）a =4,b=1， （4)52,10==+c b a例2、已知椭圆两个焦点的坐标分别为（0，2），(0,－2)，并且椭圆经过点)25,23(-,求椭圆的标准方程。