高考数学新版一轮复习教程学案：第46课__椭圆的标准方程

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忆一忆知识要点
(2)第二定义：平面内到一个定点 F 的距离和到一条定直线(F 不在 l 上)的距离的比是常数 e (0<e<1) 时，则这个点的轨迹 是椭圆．定点是椭圆的 焦点 ，定直线叫椭圆的 准线 ，常 数是椭圆的 离心率 ．
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忆一忆知识要点
2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 xa22＋by22＝1 (a>b>0) ay22＋xb22＝1 (a>b>0) 图形
S ∴ PF1F2 ＝12mnsin 60°＝ 33b2，
即△PF1F2 的面积只与短轴长有关．
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探究提高
(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角 形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦 定理、PF1＋PF2＝2a，得到 a、c 的关系．
定义式的平方 (2)对△F1PF2 的处理方法余弦定理
(2)利用SF1PF2＝12PF1·PF2sin 60°可证．
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(1)解 设椭圆方程为xa22＋by22＝1 (a>b>0)，
PF1＝m，PF2＝n，则 m＋n＝2a. 在△PF1F2 中，由余弦定理可知， 4c2＝m2＋n2－2mncos 60°＝(m＋n)2－3mn ＝4a2－3mn≥4a2－3·m＋2 n2＝4a2－3a2＝a2 (当且仅当 m＝n 时取等号)． ∴ac22≥14，即 e≥12. 又 0<e<1，∴e 的取值范围是12，1. (2)证明 由(1)知 mn＝43b2，
如果 b<12，则当 y＝－b 时， d2 取得最大值，即有( 7)2＝b＋322， 解得 b＝ 7－32>12与 b<12矛盾．
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如果 b≥12，则当 y＝－12时，

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► 探究点3 椭圆的几何(jǐ hé)性质的应用
【思路】 根据点M到x轴的距离构建关于a，b，c的关系式， 求得离心率；结合(jiéhé)椭圆的定义和余弦定理求得角的取值 范围.
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r1
a2
r2 2
2
1
0
0,
2
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【点评】 (1)求离心率常借助于椭圆的定义，图形
中直线的位置关系，题目中所给的具体数值，探求a、b、
c之间的关系，结合a2＝b2＋c2这一条件直接求解或
者转化为关于e＝
的一元二次方程求解，依据
离心
率的范围进行根的取舍；(2)注意椭圆的定义在研究
椭圆性质中的应用.如解下面(xià mian)变式题时椭圆的
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第46讲│知识(ZHĪ SHI)梳理
知识梳理
椭圆(tuǒyuán) 焦距(jiāojù)
MF1 MF2 2a
F1F2 焦点
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第46讲│知识(ZHĪ SHI)梳理
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1 A2 2a
B1B2 2b
【思路】 题目没有说明长轴所在的位置，解题时要分 类讨论，设出椭圆方程，利用(lìyòng)待定系数法求解.
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6m n 1 3m 2n 1
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【点评】 求解椭圆的标准方程即确定a.b的值，需要根 据已知条件确定两个独立的方程.求解时要注意：(1)依据长 轴所在的位置确立合适的方程形式(xíngshì)，不能确定的 要进行分类讨论；(2)当椭圆过两个已知点时，可以直接设 为mx2＋ny2＝1的形式(xíngshì)，可以简化运算.

标准方程 图形
范围 对称性
顶点坐标 焦点坐标 半轴长
离心率
a,b, c 的关系
x2 y2 1(a b 0) a2 b2
y
o
x
x2 y2 1(a b 0)
b2 a2 y
ox
a ≤ x ≤ a , b ≤ y ≤ b a ≤ y≤ a , b≤ x ≤ b
关于x轴、y轴成轴对称；
关于原点成中心对称
椭圆的标准方程的再认识：
（1）椭圆标准方程的形式：
YM
左边是两个分式的平方和， F1 O
F2 X
(-c,0)
(c,0)
右边是1
x2 y2
（2）椭圆的标准方程中， a2 b2 1(a b 0)
x2与y2的分母哪一个大，则 焦点在哪一个轴上。
Y
F2(0 , c)
M X
O
（3）椭圆的标准方程中
F1(0,-c)
❖ A、 1 B、 C、3 D、 5
2
2
2
6
3
❖ 2、（2010）方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上
的椭圆，则实数k的取值范围是（ D）
❖ A、（0，+） B、（1，+ ）
❖ C、（0,2） D、（0,1）
知识点一：椭圆的定义
M
F1
F2
演示椭圆的定义
❖ 平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数2a(大于 |F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．
❖ 这两个定点F1和F2叫做椭圆的焦点， ❖ 两个焦点的距离|F1F2|=2c叫做椭圆的焦距．
知识点二：椭圆的标准方程
求曲线方程的步骤:
步骤一：建立直角坐标系, 设动点坐标M(x，y) 步骤二：找关系式|MF1|+|MF2|=2a |F1F2|=2c(c＞0) F1（-c,0) F2(c,0)

动圆圆心的轨迹方程为 ＋ ＝1.


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总结提炼
1. 椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周
长、面积及求弦长、最值和离心率等.
2. 通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积
问题.
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[对点训练]
1. 已知圆（ x ＋ 2 ）2＋ y 2＝16的圆心为 M ， P 是圆 M 上的动点，点 N
2


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回归课本
1. 判断：
（1）
2
（RA选一P109练习第2题改编）椭圆 ＋ x 2＝1的焦点坐标为
16
（0，± 15 ），短轴长为1.
（2）
（
✕
）
2
2
（RA选一P109练习第3题（1）改编）经过椭圆 2 ＋ 2 ＝1（ a ＞


b ＞0）的右焦点 F 2作直线 AB ，交椭圆于 A ， B 两点， F 1是椭圆的左焦


由椭圆经过点


−

＋


,−


，可得2 a ＝

−
＝2



+

＋

−
＋

，所以 a ＝ ，则 b 2＝ a 2－ c 2＝6.所以


椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.


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（2） 椭圆的焦点在坐标轴上，且经过 A （ 3 ，－2）和 B （－2 3 ，
1）两点；
6
2
2
B. ＋ ＝1
18
9
2
2
C. ＋ ＝1

第46课 椭圆的标准方程一、考纲要求1.理解椭圆的定义，能依据椭圆的定义求椭圆的标准方程；2.把握椭圆的标准方程；3.能依据已知条件确定椭圆的类型，再结合定义或待定系数法求相关基本量，进而求椭圆的标准方程． 二、基础梳理 回顾要求1、在△ABC 中，B(-3,0),C(3,0),且△ABC 的周长为16，则顶点A 的轨迹方程为_________________. 【教学建议】本题是教材上一道习题的改编，依据椭圆的定义及焦点位置可直接写出轨迹方程为1162522=+y x ，但△ABC 的三个顶点不能共线，故0≠y ，这点同学特殊简洁忽视；若将B 、C 两点坐标 改成B(0,-3),C(0,3),其它条件不变，则顶点A 的轨迹方程又是什么？2、已知椭圆的方程为：1162522=+y x ，请填空： (1)a =___，b =___，c =___，焦点坐标为______，焦距等于 .(2)若C 为椭圆上任意一点，12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，并且12CF =,则2CF = _____.【教学建议】通过本题（1）的讲解，使同学会由标准方程求,,a b c ，焦距等基本量；可增加一个问题：若椭圆的方程为14491622=+y x 呢？使同学明确，求基本量时应先将方程化为标准方程再求解。

同时通过本题使同学加深对椭圆的焦点位置与标准方程之间关系的理解；题（2）巩固椭圆的定义，提示同学解圆锥曲线问题时要不忘定义。

教学时通过同学自主完成的方法，有利于同学对基础学问的把握和增加学好本课内容的信念。

必要时，可将标准方程、对应的图形、,,a b c 之间的关系等投影回顾． 3、写出适合下列条件的椭圆的标准方程： (1) 4,3a b ==，焦点在 x 轴； (2) 4,3b c ==，焦点在y 轴上；(3)两个焦点的坐标是()()0,2,0,2-，并且经过点（-1.5，2.5）.【教学建议】本题选自课本习题。

高三一轮复习椭圆学案-------椭圆的定义、标准方程及性质【学习目标】1、椭圆的定义、性质及标准方程2、椭圆的定义及相关概念、椭圆的标准方程、椭圆的几何性质3、椭圆的焦点三角形及相关结论【回顾知识、把握基础】（自主梳理）1. 椭圆的定义：在平面内到两定点12F F 、的距离的和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫 .这两定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做 .椭圆定义：一个动点P ，平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于常数（1）若21PF PF +=2a ＞21F F ，则动点P 的点的轨迹是 . （2）若21PF PF +=2a =21F F ，则动点P 的点的轨迹是 . （3）若21PF PF +=2a ＜21F F ，则动点P 的点的轨迹是 . 2. 椭圆的方程（中心在原点，坐标轴为对称轴）： （1）椭圆的标准方程焦点在x 轴上时方程为 ： . 焦点在y 轴上时方程为 ： . （2）椭圆的一般方程： . （3）椭圆的参数方程： . 3. 标准方程图形范围 顶点对称轴 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点焦距 离心率4. 几个重要结论：设P 是椭圆上)0(12222>>=+b a by a x 的点，12F F 、是椭圆的焦点，θ=∠21PF F ,则(1)=∆21PF F S .(2) 当P 为短轴端点时=∆max )(21PF F S .(3)当P 为短轴端点时，21PF F ∠为 . (4)椭圆上的点 距离1F 最近， 距离2F 最远.c a -≤1PF ≤c a +;],[2221a b PF PF ∈⋅(5)过焦点的弦中，以垂直于长轴的弦为最短=CD . (6)如图1ABF ∆的周长为 . 5．点与椭圆的位置关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的上⇔ .（2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部⇔ .（3）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的外部⇔ .6．椭圆系方程：与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>共焦点的椭圆系方程可设为： .与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>有相同离心率的椭圆系方程可设为： .【典例分析】考点一：椭圆的定义及应用 例1、（1）已知12F F 、为两定点，21F F ＝4，动点M 满足421=+MF MF ，则动点M 的轨迹是 .（2） 设F 1、F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为其上一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，求|PF 1||PF 2|的值．oPCxyD1F2F1A 2A考点二：求椭圆的标准方程例2、已知椭圆以坐标轴为对称轴，求分别满足下列条件的椭圆的标准方程(1)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos ∠OF A ＝23；(2)经过点P(－23，1)，Q(3，－2)两点；(3)与椭圆 x 24＋y 23＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)；(4)椭圆过(3,0)，离心率e ＝63例3、椭圆)0(12222>>=+b a by a x 左、右焦点为F 1、F 2，P 是椭圆上一点，=∠21PF F 60°，21F PF ∆的面积为3，且离心率为21，求此椭圆的方程。

∴所求椭圆的方程为x92＋y2＝1 或8y12 ＋x92＝1.
h
10
第46讲│要点探究
(2)设椭圆方程为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0 且 m≠n). ∵椭圆经过 P1、P2 点，P1、P2 点坐标适合椭圆方程，
代入得 6m n 1 3m 2n 1
解∴得所求m椭＝圆19，方n程＝为13. x92＋y32＝1.
倾斜角为 γ. (1)证明：点 P 是椭圆xa22＋by22＝1 与直线 l1 的唯一交点； (2)证明：tanα，tanβ，tanγ 构成等比数列．
h
18
第46讲│要点探究
【思路】 (1)直线与圆的交点联立方程组求得；(2) 利用等比中项法证明等比数列．
【解答】 (1)由xa02x＋by02y＝1 椭圆方程xa22＋by22＝1，得
F1
(－c，0)，F2 (2) 焦点在
y(c轴，上0)的. 椭圆的标准方程：ay22＋xb22＝1
(a>b>0)，焦
点 F1 (0，－c)，F2 (0，c).
h
2
第46讲│知识梳理
其中 a，b，c 几何意义：a 表示长轴长的一半，b 表示短轴 长的一半，c 表示焦距长的一半.并且有 a2＝b2＋c2.
h
22
► 探究点3 椭圆的几何性质的应用 例 3 已知椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的长轴右端点、短轴上
端点分别为 A、B，从椭圆上一点 M(在 x 轴上方)向 x 轴作垂 线，恰好过椭圆的左焦点 F1，向量 AB 与 OM 是共线向量.
(1)求椭圆的离心率 e； (2)设 Q 是椭圆上任意一点，F1、F2 分别是左、右焦点， 求∠F1QF2 的取值范围.

课外作业——椭圆的标准方程和几何性质（1）姓名:
1、点P到点F（1，0）的距离是 到直线x=9的距离的 ，,则点P轨迹
的方程是
2、已知方程 表示焦点在y轴上的椭圆，其焦距的取值范围
是
3、已知 ABC中，A(-4，0），C（4,0)，B在椭圆 上，则
的值=
4、已知 为椭圆 的两个焦点，过 的直线交椭圆于A、B两点，且△ 的周长为20，则A到左准线的距离和到左焦点的距离之比为.
2、若椭圆 的离心率为 ,则m的值是
3、椭圆 上一点Ｍ到左焦点Ｆ１的距离为２，Ｎ点是ＭＦ１的中点，
Ｏ是坐标原点，则｜ON｜＝
4、已知直线 与椭圆 的一个交点在x轴上的射影恰为椭圆的右焦点，则m的值=
5、椭圆 上一点P到其左焦点的距离为3，到其右焦点距离
为1，则P到右准线的距离=
6、已知椭圆的焦点为F1(—3，0），F2（3,0），且椭圆与直线x-y+9=0有公共点，求其中长轴最短的椭圆方程。
4、椭圆的第二定义：内到一个定点F和到一条定直线l（）的距离之比等于常数e 的点的轨迹叫椭圆，其中F叫点，l叫做相应F的线。中心在原点,焦点在x轴上椭圆的准线方程为，焦点在y轴上椭圆的准线方程为.
5、已知椭圆 上一点Ｍ，若点Ｍ到一个焦点的距离是３，则它到相应准线的距离为，到另一个焦点的距离为.
三：课堂研讨
例1、已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的３倍,
且过点Ｐ（３，２），求椭圆的方程.
例2、设F1、F2为椭圆 的两个焦点，P是椭圆上一点,
（1）若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1｜>｜PF2|，求 的值；
（2）当 为钝角时，求点P横坐标的取值范围;
（3）当Q在左准线上时，求 的最大值。

[考纲传真] １．了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.２．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质（范围、对称性、顶点、离心率）.３．理解数形结合思想.４．了解椭圆的简单应用．１．椭圆的定义把平面内到两个定点F１，F２的距离之和等于常数（大于|F１F２|）的点的集合叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．集合P ＝{M||MF１|＋|MF２|＝２a}，|F１F２|＝２c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：（１）若a＞c，则集合P为椭圆；（２）若a＝c，则集合P为线段；（３）若a＜c，则集合P为空集．２．椭圆的标准方程和几何性质标准方程错误!＋错误!＝１（a>b>0）错误!＋错误!＝１（a>b>0）图形性质范围—a≤x≤a—b≤y≤b—b≤x≤b—a≤y≤a 对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A１（—a,0），A２（a,0），B１（0，—b），B２（0，b）A１（0，—a），A２（0，a），B１（—b,0），B２（b,0）离心率e＝错误!，且e∈（0,１）a，b，c的关系c２＝a２—b２１．点P（x0，y0）和椭圆的位置关系（１）点P（x0，y0）在椭圆内⇔错误!＋错误!＜１．（２）点P（x0，y0）在椭圆上⇔错误!＋错误!＝１．（３）点P（x0，y0）在椭圆外⇔错误!＋错误!＞１．２．焦点三角形椭圆上的点P（x0，y0）与两焦点构成的△PF１F２叫做焦点三角形．r１＝|PF１|，r２＝|PF２|，∠F１PF２＝θ，△PF１F２的面积为S，则在椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）中：（１）当r１＝r２时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；（２）S＝b２ta n 错误!＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.（３）a—c≤|PF１|≤a＋c.３．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a２＝b２＋c２.４．已知过焦点F１的弦AB，则△ABF２的周长为４a.５．椭圆中点弦的斜率公式若M（x0，y0）是椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的弦AB（AB不平行y轴）的中点，则有k AB·k OM ＝—错误!，即k AB＝—错误!.6．弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长|AB|＝错误!|x１—x２|＝错误!＝错误!|y１—y２|＝错误!（k为直线斜率）．[基础自测]１．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）平面内与两个定点F１，F２的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．（２）椭圆上一点P与两焦点F１，F２构成△PF１F２的周长为２a＋２c（其中a为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距）．（）（３）椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．（）（４）关于x，y的方程mx２＋ny２＝１（m＞0，n＞0，m≠n）表示的曲线是椭圆．[答案] （１）×（２）√（３）×（４）√２．椭圆错误!＋错误!＝１的焦点坐标为（）Ａ．（±３,0）Ｂ．（0，±３）Ｃ．（±9,0）Ｄ．（0，±9）B[由题意可知a２＝２５，b２＝１6，∴c２＝２５—１6＝9，∴c＝±３，又焦点在y轴上，故焦点坐标为（0，±３）．]３．已知动点M到两个定点A（—２,0），B（２,0）的距离之和为6，则动点M的轨迹方程为（）Ａ．错误!＋y２＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋x２＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１D[由题意有6＞２＋２＝４，故点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，则２a＝6，c＝２，故a２＝9，所以b２＝a２—c２＝５，故椭圆的方程为错误!＋错误!＝１，故选Ｄ．]４．若一个椭圆长轴的长、短轴的长和焦距成等比数列，则该椭圆的离心率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!C[由题意有b２＝ac.又b２＝a２—c２，则a２—c２＝ac，即１—错误!２＝错误!，则e２＋e—１＝0，解得e＝错误!.因为0＜e＜１，所以e＝错误!.故选Ｃ．]５．（教材改编）椭圆C：错误!＋错误!＝１的左、右焦点分别为F１，F２，过F２的直线交椭圆C于A，B两点，则△F１AB的周长为________．２0 [由椭圆的定义可知，△F１AB的周长为４a＝４×５＝２0．]第１课时椭圆的定义、标准方程及其性质椭圆的定义及其应用【例１】（１）已知两圆C１：（x—４）２＋y２＝１69，C２：（x＋４）２＋y２＝9，动圆在圆C１内部且和圆C１相内切，和圆C２相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１（２）F１，F２是椭圆错误!＋错误!＝１的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF１F２＝４５°，则△AF１F２的面积为（）Ａ．7 Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（１）D（２）C[（１）设圆M的半径为r，则|MC１|＋|MC２|＝（１３—r）＋（３＋r）＝１6，又|C１C２|＝8＜１6，∴动圆圆心M的轨迹是以C１，C２为焦点的椭圆，且２a＝１6,２c＝8，则a＝8，c＝４，∴b２＝４8，故所求的轨迹方程为错误!＋错误!＝１．（２）由题意得a＝３，b＝错误!，c＝错误!，∴|F１F２|＝２错误!，|AF１|＋|AF２|＝6．∵|AF２|２＝|AF１|２＋|F１F２|２—２|AF１|·|F１F２|cos ４５°＝|AF１|２—４|AF１|＋8，∴（6—|AF１|）２＝|AF１|２—４|AF１|＋8．∴|AF１|＝错误!，∴S△AF１F２＝错误!×错误!×２错误!×错误!＝错误!.][规律方法] （１）椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等．（２）椭圆的定义式必须满足２a＞|F１F２|.片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（）Ａ．椭圆Ｂ．双曲线Ｃ．抛物线Ｄ．圆（２）（２0１9·徐州模拟）已知F１，F２是椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF１⊥PF２，若△PF１F２的面积为9，则b＝________.（１）A（２）３[（１）由题意可知，CD是线段MF的垂直平分线，∴|MP|＝|PF|，∴|PF|＋|PO|＝|PM|＋|PO|＝|MO|（定值）．又|MO|＞|FO|，∴点P的轨迹是以F，O为焦点的椭圆，故选Ａ．（２）设|PF１|＝r１，|PF２|＝r２，则错误!所以２r１r２＝（r１＋r２）２—（r错误!＋r错误!）＝４a２—４c２＝４b２，所以S△PF１F２＝错误! r１r２＝b２＝9，所以b＝３．]椭圆的标准方程【例２】（１）在△ABC中，A（—４,0），B（４,0），△ABC的周长是１8，则顶点C的轨迹方程是（）Ａ．错误!＋错误!＝１（y≠0）Ｂ．错误!＋错误!＝１（y≠0）Ｃ．错误!＋错误!＝１（y≠0）Ｄ．错误!＋错误!＝１（y≠0）（２）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点错误!，（错误!，错误!），则椭圆方程为________．（３）过点（错误!，—错误!），且与椭圆错误!＋错误!＝１有相同焦点的椭圆的标准方程为________．（１）A（２）错误!＋错误!＝１（３）错误!＋错误!＝１[（１）由|AC|＋|BC|＝１8—8＝１0＞8知，顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆（A，B，C不共线）．设其方程为错误!＋错误!＝１（a ＞b＞0），则a＝５，c＝４，从而b＝３．由A，B，C不共线知y≠0．故顶点C的轨迹方程是错误!＋错误!＝１（y≠0）．（２）设椭圆方程为mx２＋ny２＝１（m，n＞0，m≠n）．由错误!解得m＝错误!，n＝错误!.∴椭圆方程为错误!＋错误!＝１．（３）法一：椭圆错误!＋错误!＝１的焦点为（0，—４），（0,４），即c＝４．由椭圆的定义知，２a＝错误!＋错误!，解得a＝２错误!.由c２＝a２—b２可得b２＝４，∴所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．法二：∵所求椭圆与椭圆错误!＋错误!＝１的焦点相同，∴其焦点在y轴上，且c２＝２５—9＝１6．设它的标准方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）．∵c２＝１6，且c２＝a２—b２，故a２—b２＝１6．１又点（错误!，—错误!）在所求椭圆上，∴错误!＋错误!＝１，则错误!＋错误!＝１．２由１２得b２＝４，a２＝２0，∴所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．][规律方法] （１）求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法．（２）利用定义法求椭圆方程，要注意条件２a＞|F１F２|；利用待定系数法要先定形（焦点位置），再定量，也可把椭圆方程设为mx２＋ny２＝１（m＞0，n＞0，m≠n）的形式．１２率为错误!，过F２的直线l交C于A，B两点，若△AF１B的周长为４错误!，则C的方程为（）Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋y２＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１（２）椭圆E的焦点在x轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是２的正方形的顶点，则椭圆E的标准方程为（）Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋y２＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１（３）设F１，F２分别是椭圆E：x２＋错误!＝１（0＜b＜１）的左、右焦点，过点F１的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF１|＝３|F１B|，AF２⊥x轴，则椭圆E的方程为________．（１）A（２）C（３）x２＋错误!y２＝１[（１）△AF１B的周长是４a＝４错误!，所以a＝错误!，e＝错误!＝错误!，所以c＝１，那么b２＝a２—c２＝２，所以方程是错误!＋错误!＝１．故选Ａ．（２）由条件可知b＝c＝错误!，a＝２，所以椭圆方程为错误!＋错误!＝１，故选Ｃ．（３）不妨设点A在第一象限，如图所示．∵AF２⊥x轴，∴A（c，b２）（其中c２＝１—b２,0＜b＜１，c＞0）．又∵|AF１|＝３|F１B|，∴由错误!＝３错误!得B错误!，代入x２＋错误!＝１得错误!＋错误!＝１．又c２＝１—b２，∴b２＝错误!.故椭圆E的方程为x２＋错误!y２＝１．]椭圆的几何性质►考法１求离心率或范围【例３】（１）（２0１9·深圳模拟）设椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F１，F２，P是C上的点，PF２⊥F１F２，∠PF１F２＝３0°，则C的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（２）（２0１7·全国卷Ⅰ）设A，B是椭圆C：错误!＋错误!＝１长轴的两个端点，若C上存在点M 满足∠AMB＝１２0°，则m的取值范围是（）Ａ．（0,１]∪[9，＋∞）Ｂ．（0，错误!]∪[9，＋∞）Ｃ．（0,１]∪[４，＋∞）Ｄ．（0，错误!]∪[４，＋∞）（１）D（２）A[（１）法一：如图，在R t△PF２F１中，∠PF１F２＝３0°，|F１F２|＝２c，∴|PF１|＝错误!＝错误!，|PF２|＝２c·ta n ３0°＝错误!.∵|PF１|＋|PF２|＝２a，即错误!＋错误!＝２a，可得错误!c＝a.∴e＝错误!＝错误!.法二：（特殊值法）在R t△PF２F１中，令|PF２|＝１，∵∠PF１F２＝３0°，∴|PF１|＝２，|F１F２|＝错误!.∴e＝错误!＝错误!＝错误!.故选Ｄ．（２）由题意知，当M在短轴顶点时，∠AMB最大．１如图１，当焦点在x轴，即m＜３时，a＝错误!，b＝错误!，ta n α＝错误!≥ta n 60°＝错误!，∴0＜m≤１．图１图２２如图２，当焦点在y轴，即m＞３时，a＝错误!，b＝错误!，ta n α＝错误!≥ta n 60°＝错误!，∴m≥9．综上，m∈（0,１]∪[9，＋∞），故选Ａ．]►考法２与椭圆的几何性质有关的最值问题【例４】（２0１9·合肥质检）如图，焦点在x轴上的椭圆错误!＋错误!＝１的离心率e＝错误!，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则错误!·错误!的最大值为________．４[由题意知a＝２，因为e＝错误!＝错误!，所以c＝１，b２＝a２—c２＝３．故椭圆方程为错误!＋错误!＝１．设P点坐标为（x0，y0）．所以—２≤x0≤２，—错误!≤y0≤错误!.因为F（—１,0），A（２,0），错误!＝（—１—x0，—y0），错误!＝（２—x0，—y0），所以错误!·错误!＝x错误!—x0—２＋y错误!＝错误!x错误!—x0＋１＝错误!（x0—２）２.则当x0＝—２时，错误!·错误!取得最大值４．][规律方法] （１）求椭圆离心率的方法１直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解．２列出含有a，b，c的齐次方程（或不等式），借助于b２＝a２—c２消去b，转化为含有e的方程（或不等式）求解．（２）利用椭圆几何性质求值或范围的思路求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系．建立关于a、b、c的方程或不等式．１２⊥PF２，且∠PF２F１＝60°，则C的离心率为（）１Ａ．１—错误!Ｂ．２—错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!—１（２）若点O和点F分别为椭圆错误!＋错误!＝１的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则错误!·错误!的最大值为（）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．6 Ｄ．8（１）D（２）C[（１）由题设知∠F１PF２＝90°，∠PF２F１＝60°，|F１F２|＝２c，所以|PF２|＝c，|PF１|＝错误!c.由椭圆的定义得|PF１|＋|PF２|＝２a，即错误!c＋c＝２a，所以（错误!＋１）c＝２a，故椭圆C的离心率e＝错误!＝错误!＝错误!—１．故选Ｄ．（２）由椭圆错误!＋错误!＝１可得F（—１,0），点O（0,0），设P（x，y）（—２≤x≤２），则错误!·错误!＝x２＋x＋y２＝x２＋x＋３错误!＝错误!x２＋x＋３＝错误!（x＋２）２＋２，—２≤x≤２，当且仅当x＝２时，错误!·错误!取得最大值6．]１．（２0１8·全国卷Ⅱ）已知F１，F２是椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的左、右焦点，A 是C的左顶点，点P在过A且斜率为错误!的直线上，△PF １F２为等腰三角形，∠F１F２P＝１２0°，则C的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!D[由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F１F２|＝２c，∵△PF１F２为等腰三角形，且∠F１F２P＝１２0°，∴|PF２|＝|F１F２|＝２c.∵|OF２|＝c，∴点P坐标为（c＋２c cos 60°，２c sin 60°），即点P （２c，错误!c）．∵点P在过点A，且斜率为错误!的直线上，∴错误!＝错误!，解得错误!＝错误!，∴e ＝错误!，故选Ｄ．]２．（２0１6·全国卷Ⅰ）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的错误!，则该椭圆的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!B[如图，|OB|为椭圆中心到l的距离，则|OA|·|OF|＝|AF|·|OB|，即bc＝a·错误!，所以e＝错误!＝错误!.]。

一、预习案一、 基础梳理： 1、到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆吗？椭圆的定义中需要注意什么问题？2、椭圆有哪些几何性质？3、如何根据椭圆的标准方程确定椭圆的焦点位置？ 3、椭圆的标准方程有哪几种常用的设法？4、点与椭圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系如何判断？ 思考：1、椭圆上的点到焦点距离中什么时候最大？什么时候最小？2、如何处理椭圆中的焦点三角形问题？3、椭圆中有哪些最值问题？4、如何求椭圆的中点弦方程？二、基础自测： 1、若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为( )． A.x 29＋y 216＝1 B.x 225＋y 216＝1C.x 225＋y 216＝1或x 216＋y 225＝1 D ．以上都不对2、(2012·兰州调研)“－3＜m ＜5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的 ( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3、椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )．A ．－21B ．21C．－1925或21D.1925或21 ()2212121241601006464343163643333x y F F P PF PF A B C D +=∠=、椭圆的焦点为、，椭圆上的点满足F 则F 的面积是、、、、5、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________．【我的疑惑】二、探究案题型一：椭圆的定义及标准方程例1、(1)求与椭圆x 24＋y 23＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)的椭圆方程．(2)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5、3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程．()()()1236,13,2P P -已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴且经过两点则椭圆的方程为【规律总结】 【变式训练】1、求长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)的椭圆的标准方程．2、已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点是F (1,0)，若椭圆短轴的两个三等分点M ，N 与F 构成正三角形，求椭圆的方程．4,sin sin 2sin ABC AC A B C A c B B =+=3、在中，三个内角、、满足，求顶点的轨迹方程题型二： 椭圆几何性质的应用例2（1）(2012·武汉质检)在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝1，如果一个椭圆通过A ，B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在AB 上，则这个椭圆的离心率为________．()()22122212210,0x y a b F Pa bPF PF e +=>>⋅=设椭圆的两个焦点为F 、若在椭圆上存在一点使求椭圆的离心率的取值范围()12121236012F F P F PF F PF ︒︒∠=已知、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，求椭圆的离心率的取值范围求证：的面积只与椭圆的短轴长有关【规律总结】 【变式训练】()()()()22221211222110,123x y a b M x a bA F F P Q QF PQ +=>>∠⊥4、如图，从椭圆上一点向轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 且它的长轴端点及短轴端点B 的连线AB//OM求椭圆的离心率设Q 是椭圆上任意一点，F 是右焦点，是左焦点，求F 的取值范围设是椭圆上一点，当AB 时，延长QF 交椭圆于另一点P ，若F 的面积为求此椭圆的方程题型三：椭圆中的最值问题例3、(2011·北京)已知椭圆G ：x 24＋y 2＝1.过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值．【规律总结】 【变式训练】()222222112211119514x y a bx y A F P PF PA x y x y +=+=++=+5、椭圆的内接矩形的最大面积6、已知点，是椭圆的左焦点是椭圆上任意一点求的最小值7、已知椭圆方程是求的最值题型四：直线与椭圆的位置关系()()()22224:102120x y C a b F a b l l l a b C P l F OP A OB P l +=>>=+例、已知椭圆的直线与C 相交于A 、B 两点，当的斜率为1时，坐标原点O 到求、的值上是否存在点，使当绕转到某一位置时有成立？若存在，求出所有的点的坐标与的方程；若不存在说明理由【变式训练】8、 (2011·天津)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程．【当堂检测】1、若ΔABC 的两个顶点坐标A(-4,0),B(4,0)，ΔABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为（ ）A.192522=+y x B. )0(192522≠=+y x y C. )0(191622≠=+y y x D. )0(192522≠=+y y x 2、一个圆心在椭圆右焦点F 2，且过椭圆的中心O (0, 0)，该圆与椭圆交于点P ，设F 1是椭圆的左焦点，直线PF 1恰和圆相切于点P ，则椭圆的离心率是（ ）（A ）3－1 （B ）2－3 （C ）22 （D ）233、已知21,F F 是椭圆191622=+y x 的两焦点，过点2F 的直线交椭圆于点,A B ，若5AB =，则12||||A FB F -= （ ） （A ）3 （B ）8 （C ）13 （D ）164、若△ABC 顶点B , C 的坐标分别为(－4, 0), (4, 0)，AC , AB 边上的中线长之和为30，则△ABC 的重心G 的轨迹方程为………………………………（ ）（A ）221(0)10036x yy +=≠ （B ）221(0)10084x y y +=≠ （C ）221(0)10036x y x +=≠ （D ）221(0)10084x y x +=≠5、与椭圆22143x y +=具有相同的离心率且过点（2，-）的椭圆的标准方程是 ；6、椭圆的两焦点为F 1(－4, 0), F 2(4, 0)，点P 在椭圆上，已知△PF 1F 2的面积的最大值为12，则此椭圆的方程是 ；7、椭圆具有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A 、B 是它的焦点,长轴长为2a,焦距为2c,静放在点A 的小球(小球的半径忽略不计)从点A 沿直线出发,经椭圆壁反射后第一次回到点A 时,小球经过的路程是_____________.8、已知直线y ＝－12x ＋2和椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A 、B 两点，M 为线段AB 的中点，若|AB |＝25，直线OM 的斜率为12，求椭圆的方程．【高考衔接】1、（20XX 年高考（山东理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为（ ）A ．22182x y += B ．221126x y += C ．221164x y += D ．221205x y += 2、设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ，则点P 的轨迹是 （ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．不存在 D ．椭圆或线段 3、过点M （－2，0）的直线m 与椭圆1222=+y x 交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为 （ ）A ．2B ．－2C ．21D ．－21 4、（20XX 年高考（江西理））椭圆22221x y a b+=(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1,F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________.()()()()2212125141?20,2x F F y P PF PF M l A BAOB O l k +=∠、设、分别是椭圆的左、右焦点若是椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、且为锐角其中为坐标原点，求直线的斜率的取值范围【学习反思】（主要是学生对本节知识点进行总结反思） 【课后强化】 完成课后强化作业 答案：一、基础自测：CBCA x 216＋y 28＝1二、课内探究：例1、（1）由题意，设所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝t (t ＞0)，∵椭圆过点(2，－3)，∴t ＝224＋－323＝2，故所求椭圆标准方程为x 28＋y 26＝1.(2)设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)， 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3，2c 2＝52－32，解得a ＝4，c ＝2，b 2＝12.故所求方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1. （3）22193x y += 变式训练(1)若椭圆的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∵椭圆过点A (3,0)，∴9a2＝1，a ＝3，∵2a ＝3·2b ，∴b ＝1，∴方程为x 29＋y 2＝1.若椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∴椭圆过点A (3,0)，∴02a 2＋9b2＝1，∴b ＝3，又2a ＝3·2b ，∴a ＝9，∴方程为y 281＋x 29＝1.综上所述，椭圆方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.(2)由△FMN 为正三角形，则c ＝|OF |＝32|MN |＝32×23b ＝1.∴b ＝ 3.a 2＝b 2＋c 2＝4.故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.()()223101612x y y +=≠例2、（1）设另一个焦点为F ，如图所示，∵|AB |＝|AC |＝1，△ABC 为直角三角形， ∴1＋1＋2＝4a ，则a ＝2＋24，设|FA |＝x ，∴⎩⎨⎧x ＋1＝2a ，1－x ＋2＝2a ，∴x ＝22，∴1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝4c 2， ∴c ＝64，e ＝ca＝6－ 3. （2）212e ≤<()1312e ≤<变式训练()2224,0,,1225025x y π⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦例3、(1)由已知得，a ＝2，b ＝1， 所以c ＝a 2－b 2＝ 3.所以椭圆G 的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)， 离心率为e ＝ca ＝32. (2)由题意知，|m |≥1.当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，此时|AB |＝ 3.当m ＝－1时，同理可得|AB |＝ 3.当|m |＞1时，设切线l 的方程为y ＝k (x －m )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －m ，x 24＋y 2＝1.得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝8k 2m 1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2m 2－41＋4k 2.又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|km |k 2＋1＝1，即m 2k 2＝k 2＋1. 所以|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝ 1＋k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤64k 4m 21＋4k 22－44k 2m 2－41＋4k 2 ＝43|m |m 2＋3. 由于当m ＝±1时，|AB |＝3，所以|AB |＝43|m |m 2＋3，m ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．因为|AB |＝43|m |m 2＋3＝43|m |＋3|m |≤2， 且当m ＝±3时，|AB |＝2，所以|AB |的最大值为2. 变式训练8(1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)，因为|PF 2|＝|F 1F 2|，所以a －c2＋b 2＝2c .整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a2＋c a －1＝0，得c a ＝－1(舍)，或c a ＝12.所以e ＝12.(4分) (2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A 、B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3x －c .消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c .(6分)得方程组的解为⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335c ，B (0，－3c )，所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫335c ＋3c 2＝165c .(8分) 于是|MN |＝58|AB |＝2c .圆心(－1，3)到直线PF 2的距离d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |2.(10分)因为d 2＋⎝⎛⎭⎪⎫|MN |22＝42，所以34(2＋c )2＋c 2＝16.整理得7c 2＋12c －52＝0. 得c ＝－267(舍)，或c ＝2.所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1.(12分)当堂检测6、设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)．则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1， ②①－②得：y 2－y 1x 2－x 1＝－b 2a 2x 1＋x 2y 1＋y 2.∴k AB ＝－b 2a 2×x 0y 0＝－12.③又k OM ＝y 0x 0＝12，④由③④得a 2＝4b 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋2，x 24b 2＋y 2b 2＝1得：x 2－4x ＋8－2b 2＝0，∴x 1＋x 2＝4，x 1·x 2＝8－2b 2. ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝52x 1＋x 22－4x 1x 2＝5216－32＋8b 2＝528b 2－16＝2 5.解得：b2＝4.故所求椭圆方程为：x216＋y24＝1.当堂检测：1、D 3、A 4、 B 7、4a或2(a－c)或2(a+c)高考衔接：1、D 2、D 3、 4、55、最大值为1，最小值为-2-22k k<<<<。

第46课 椭圆的标准方程1. 熟练掌握椭圆的定义、几何性质.2. 会利用定义法、待定系数法求椭圆方程.3. 重视数学思想方法的应用，体会解析几何的本质——用代数方法求解几何问题.1. 阅读：选修11第25～26页，选修11第28～29页(理科阅读选修21相应内容).2.解悟：①椭圆是一个平面斜截圆锥面(与母线不平行、与轴不垂直)而形成的，并理解椭圆上的点到两个定点的距离之和是常数；②椭圆的一般定义以及椭圆的焦点、焦距的含义是什么？③理解化简过程中设a 2－c 2＝b 2的合理性与必要性. 3.践习：①将选修11第28页，化简椭圆方程的过程亲手做一遍；②在教材空白处，完成选修11第30页练习第2、3、4题(理科完成选修21相应任务).基础诊断1.已知下列方程：①x24＋y23＝1；②4x 2＋3y 2＝12；③2x 2＋2y 2＝5；④x212＋y232 ＝1.其中表示焦点为F(0，1)的椭圆的有②④.(填序号)解析：①的方程表示焦点在x 轴上的椭圆；将②的方程4x 2＋3y 2＝12化为x23＋y24＝1，它表示焦点为F(0，1)的椭圆；③是圆；④表示焦点为F(0，1)的椭圆.2. 已知M(1，0)，N(0，1)，动点P 满足PM ＋PN ＝2，则点P 的轨迹是 椭圆 .3.已知椭圆x212＋y23＝1，其焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则PF 12PF 22解析：由题意得c ＝a2－b2＝3，所以F 2(3，0).设PF 1的中点为Q ，则OQ ∥PF 2，所以PF 2垂直于x 轴，故可设P(3，y 0)，所以912＋y203＝1，所以y 0＝±32，所以PF 2＝32.又因为PF 1＋PF 2＝43，所以PF 1＝732.4. 已知方程x22－k ＋y22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是(1，2).解析：由题意得2k －1>2－k>0，所以1<k<2.范例导航考向❶求椭圆的标准方程例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1) 两个焦点的坐标分别是(－4，0)、(4，0)，椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10；(2) 两个焦点的坐标分别是(0，－2)、(0，2)，并且椭圆经过点⎝⎛⎭⎫－32，52. 解析：(1) 因为椭圆的焦点在x 轴上，。

�2
3.(2023·全国甲卷)设 F1,F2 为椭圆 C: +y2=1 的两个焦点,点 P 在 C 上,若��1 ·��2 =0,
则|PF1|·|PF2|= (
A.1
5
)
B. 2
C. 4
D. 5
【解析】选 B.方法一:因为��1 ·��2 =0,所以∠F1PF2=90°,从而�△�1��2 =b2tan
点 M 的轨迹方程为__________.
【解析】(3)
25
设 d 是点 M 到直线 l:x= 4 的距离,
根据题意,动点 M 的轨迹就是集合 P= �|
由此得,
(�-4)2 +�2 4
25
4
| -�|
=5.
|��|
�
=
4
5
.
�2 �2
将上式两边平方,并化简,得 9x2+25y2=225,即25+ 9 =1.
16
以|PF1||PF2|= 3 ,
1
1 16
3 4 3
所以�△��1�2 =2|PF1||PF2|sin 60°=2× 3 × 2 =
方法二:由题意得 b2=4,∠F1PF2=60°,
所以�△��1�2 =4×tan 30°=
4 3
答案:
3
4 3
3
3
.
.
【核心考点·分类突破】
考点一
椭圆的定义及应用
把平面内与两个定点 F1,F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.
这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
【微点拨】
(1)当|PF1|+|PF2|=|F1F2|时,动点 P 的轨迹为线段 F1F2.

8．5 椭圆[知识梳理] 1．椭圆的定义(1)定义：在平面内到两定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)集合语言：P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a ，且2a >|F 1F 2|}，|F 1F 2|＝2c ，其中a >c >0，且a ，c 为常数．注：当2a >|F 1F 2|时，轨迹为椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹为线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质图3．直线与椭圆位置关系的判断直线与椭圆方程联立方程组，消掉y ，得到Ax 2＋Bx ＋C ＝0的形式(这里的系数A 一定不为0)，设其判别式为Δ：(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交； (2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切； (3)Δ<0⇔直线与椭圆相离． 4．弦长公式(1)若直线y ＝kx ＋b 与椭圆相交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|.(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长2b 2a ，最长为2a . 5．必记结论(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点处．(2)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.[诊断自测]1．概念思辨(1)平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)表示的曲线是椭圆．()(3)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．()(4)x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)与y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的焦距相同．()答案(1)×(2)√(3)√(4)√2．教材衍化(1)(选修A1－1P35例3)已知椭圆的方程是x2a2＋y225＝1(a>5)，它的两个焦点分别为F1，F2，且F1F2＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为()A．10 B．20C．241 D．441答案 D解析因为a>5，所以椭圆的焦点在x轴上，所以a2－25＝42，解得a＝41.由椭圆的定义知△ABF2的周长为4a＝441.故选D.(2)(选修A1－1P42A组T6)已知点P是椭圆x25＋y24＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1 解析 设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)，由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x >0，所以x ＝152，∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1. 3．小题热身(1)(2014·大纲卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1答案 A解析 由题意及椭圆的定义知4a ＝43，则a ＝3，又c a ＝c 3＝33，∴c ＝1，∴b 2＝2，∴C 的方程为x 23＋y 22＝1，故选A.(2)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．答案3－1解析 由已知得直线y ＝3(x ＋c )过M ，F 1两点，所以直线MF 1的斜率为3，所以∠MF 1F 2＝60°，则∠MF 2F 1＝30°，∠F 1MF 2＝90°，则MF 1＝c ，MF 2＝3c ，由点M 在椭圆Γ上知：c ＋3c ＝2a ，故e ＝ca ＝3－1.题型1 椭圆的定义及应用典例1 已知椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到椭圆一个焦点F 1的距离为3，则P 到另一个焦点F 2的距离为( )A ．2B ．3C ．5D ．7应用椭圆的定义．答案 D解析 根据椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，得|PF 2|＝7，故选D.[条件探究] 若将典例中的条件改为“F 1，F 2分别为左、右焦点，M 是PF 1的中点，且|OM |＝3”，求点P 到椭圆左焦点的距离？解 由M 为PF 1中点，O 为F 1F 2中点，易得|PF 2|＝6，再利用椭圆定义易知|PF 1|＝4.典例2(2018·漳浦县校级月考)椭圆x 24＋y 2＝1上的一点P 与两焦点F 1，F 2所构成的三角形称为焦点三角形．(1)求PF 1→·PF 2→的最大值与最小值； (2)设∠F 1PF 2＝θ，求证：S △F 1PF 2＝tan θ2.(1)利用向量数量积得到目标函数，利用二次函数求最值；(2)利用余弦定理、面积公式证明．解 (1)设P (x ，y )，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则PF 1→·PF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝x 2＋y 2－3＝34x 2－2， ∵x 2∈[0,4]，∴34x 2－2∈[－2,1]． ∴PF 1→·PF 2→的最大值为1，最小值为－2. (2)证明：由椭圆的定义可知||PF 1|＋|PF 2||＝2a ， |F 1F 2|＝2c ，设∠F 1PF 2＝θ， 在△F 1PF 2中，由余弦定理可得： |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos θ ＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|(1＋cos θ)，可得4c 2＝4a 2－2|PF 1|·|PF 2|(1＋cos θ)⇒|PF 1|·|PF 2|＝2b21＋cos θ，即有△F 1PF 2的面积S ＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝b 2·sin θ1＋cos θ＝b 2tan θ2＝tan θ2.方法技巧椭圆定义的应用技巧1．椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率等．2．通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．见典例2.冲关针对训练已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，B 是圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为________．答案 x 2＋43y 2＝1解析 如图，由题意知|P A |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2.所以|P A |＋|PF |＝2且|P A |＋|PF |>|AF |，即动点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆，a ＝1，c ＝12，b 2＝34.所以动点P 的轨迹方程为x 2＋43y 2＝1.题型2 椭圆的标准方程及应用典例1(2018·湖南岳阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为坐标原点，F 1、F 2为它的两个焦点，离心率为22，过F 1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为________．在未明确焦点的具体位置时，应分情况讨论．答案 x 216＋y 28＝1或x 28＋y 216＝1解析 由椭圆的定义及△ABF 2的周长知4a ＝16，则a ＝4，又ca ＝22，所以c ＝22a ＝22，所以b 2＝a 2－c 2＝16－8＝8.当焦点在x 轴上时，椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1；当焦点在y 轴上时，椭圆C 的方程为y 216＋x 28＝1.综上可知，椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1或x 28＋y 216＝1.典例2(2017·江西模拟)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，且焦距为23，O 为坐标原点，点P 为椭圆上一点，|OP |＝24a ，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等比数列，求椭圆的方程．用待定系数法，根据已知列出方程组．解 设P (x ，y )，则|OP |2＝x 2＋y 2＝a28，由椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|2＋2|PF 1|·|PF 2|＋|PF 2|2＝4a 2， 又∵|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等比数列， ∴|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2＝4c 2， |PF 1|2＋|PF 2|2＋8c 2＝4a 2，∴(x ＋c )2＋y 2＋(x －c )2＋y 2＋8c 2＝4a 2，整理得x 2＋y 2＋5c 2＝2a 2，即a 28＋5c 2＝2a 2，整理得c 2a 2＝38，又∵2c ＝23，∴c ＝3， ∴a 2＝8，b 2＝5.85方法技巧求椭圆标准方程的步骤1．判断椭圆焦点位置． 2．设出椭圆方程．3．根据已知条件，建立方程(组)求待定系数，注意a 2＝b 2＋c 2的应用．4．根据焦点写出椭圆方程．见典例1,2.提醒：当椭圆焦点位置不明确时，可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0，m ≠n )，也可设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，且A ≠B )．可简记为“先定型，再定量”．冲关针对训练已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.P 为椭圆上的一点，PF 1与y 轴相交于M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，且M 为PF 1的中点，S △PF 1F 2＝32.求椭圆的方程．解 设P (x 0，y 0)∵M 为PF 1的中点，O 为F 1F 2的中点． ∴x 0＝c ，y 0＝12.PF 2∥y 轴，△PF 1F 2是∠PF 2F 1＝90°的直角三角形，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧c 2a 2＋14b 2＝1，12·2c ·12＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.4题型3 椭圆的几何性质典例 F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．由∠F 1PF 2＝90°，求出x 20＝a 2(c 2－b 2)c 2后，利用x 20∈[0，a 2]求解．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1解析 设P (x 0，y 0)为椭圆上一点，则x 20a 2＋y 20b 2＝1.PF 1→＝(－c －x 0，－y 0)，PF 2→＝(c －x 0，－y 0)， 若∠F 1PF 2＝90°，则PF 1→·PF 2→＝x 20＋y 20－c 2＝0.∴x 20＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 20a 2＝c 2，∴x 20＝a 2(c 2－b 2)c 2. ∵0≤x 20≤a 2，∴0≤c 2－b 2c 2≤1.∴b 2≤c 2，∴a 2≤2c 2，∴22≤e <1.[条件探究] 将典例2中条件“∠F 1PF 2＝90°”改为“∠F 1PF 2为钝角”，求离心率的取值范围．解椭圆上存在点P 使∠F 1PF 2为钝角⇔以原点O 为圆心，以c 为半径的圆与椭圆有四个不同的交点⇔b <c ，如图，由b <c ，得a 2－c 2<c 2，即a 2<2c 2，解得e ＝c a >22，又0<e <1，故椭圆C 的离心率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. 方法技巧求解椭圆离心率(或其范围)常用的方法1．若给定椭圆的方程，则根据椭圆方程确定a 2，b 2，进而求出a ，c 的值，从而利用公式e ＝ca 直接求解．2．若椭圆的方程未知，则根据条件及几何图形建立关于a ，b ，c 的齐次等式(或不等式)，化为关于a ，c 的齐次方程(或不等式)，进而化为关于e 的方程(或不等式)进行求解．见典例.冲关针对训练(2015·重庆高考)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .解 (1)由椭圆的定义，有2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2.设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2， 得2c ＝|F 1F 2| ＝|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)连接QF 1，由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此，4a －2|PF 1|＝2|PF 1|.|PF 1|＝2(2－2)a ，从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a .由PF 1⊥PF 2，知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2， 因此e ＝c a ＝|PF 1|2＋|PF 2|22a ＝ (2－2)2＋(2－1)2＝9－62＝6－ 3.题型4 直线与椭圆的综合问题角度1 利用直线与椭圆的位置关系研究椭圆的标准方程及性质典例(2014·全国卷Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .本题(2)用代入法列出方程，用方程组法求解．解 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ， 2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12或ca ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，得原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a ＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎨⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a ＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.角度2 利用直线与椭圆的位置关系研究直线及弦的问题 典例 (2014·全国卷Ⅰ)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点．当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．直线与椭圆构成方程组，用设而不求的方法求弦长，再求△OPQ 的面积．解 (1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3. 又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1.从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积 S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0， 所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2.方法技巧直线与椭圆相交时有关弦问题的处理方法1．合理消元，消元时可以选择消去y ，也可以消去x .见角度1典例．2．利用弦长公式、点到直线的距离公式等将所求量表示出来． 3．构造基本不等式或利用函数知识求最值．见角度2典例． 4．涉及弦中点的问题常用“点差法”解决．冲关针对训练(2015·陕西高考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．解 (1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c2＝bca ，由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32. (2)由(1)知，椭圆E 的方程为 x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10. 易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得 (1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8k (2k ＋1)1＋4k 2，x 1x 2＝4(2k ＋1)2－4b 21＋4k 2.由x 1＋x 2＝－4，得－8k (2k ＋1)1＋4k 2＝－4，解得k ＝12. 从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2).由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.1.(2017·浙江高考)椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是( ) A.133 B.53 C.23 D.59答案 B解析 ∵椭圆方程为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，c ＝a 2－b 2＝9－4＝5.∴e ＝c a ＝53.故选B.2．(2017·河北衡水中学二调)设椭圆x 216＋y 212＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，且满足PF 1→·PF 2→＝9，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．8B ．10C ．12D ．15 答案 D解析 由椭圆方程x 216＋y 212＝1，可得c 2＝4，所以|F 1F 2|＝2c ＝4，而F 1F 2→＝PF 2→－PF 1→，所以|F 1F 2→|＝|PF 2→－PF 1→|，两边同时平方，得|F 1F 2→|2＝|PF 1→|2－2PF 1→·PF 2→＋|PF 2→|2，所以|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2→|2＋2PF 1→·PF 2→＝16＋18＝34，根据椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，所以34＋2|PF 1||PF 2|＝64，所以|PF 1|·|PF 2|＝15.故选D.3．(2018·武汉调研)已知直线MN 过椭圆x 22＋y 2＝1的右焦点F ，与椭圆交于M ，N 两点．直线PQ 过原点O 且与直线MN 平行，直线PQ 与椭圆交于P ，Q 两点，则|PQ |2|MN |＝________.答案 2 2解析 解法一：由题意知，直线MN 的斜率不为0，设直线MN ：x ＝my ＋1，则直线PQ ：x ＝my .设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4).⎩⎨⎧x ＝my ＋1，x 22＋y 2＝1⇒(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0⇒y 1＋y 2＝－2mm 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2.∴|MN |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝22·m 2＋1m 2＋2.⎩⎨⎧x ＝my ，x 22＋y 2＝1⇒(m 2＋2)y 2－2＝0⇒y 3＋y 4＝0，y 3y 4＝－2m 2＋2.∴|PQ |＝1＋m 2|y 3－y 4|＝2 2m 2＋1m 2＋2.故|PQ |2|MN |＝2 2. 解法二：取特殊位置，当直线MN 垂直于x 轴时，易得|MN |＝2b 2a ＝2，|PQ |＝2b ＝2，则|PQ |2|MN |＝2 2.4．(2015·安徽高考)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510.(1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．解 (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510，进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x 5b ＋yb＝1，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52b ，－12b .设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，72，则线段NS 的中点T 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫54b ＋x 12，－14b ＋74.又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，从而有⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧5b 4＋x 125b＋－14b ＋74b ＝1，72＋12b x 1－52b＝5，解得b ＝3.所以a ＝35， 故椭圆E 的方程为x 245＋y 29＝1.[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．(2018·江西五市八校模拟)已知正数m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y2m ＝1的焦点坐标为( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±3，0)或(±5，0)D ．(0，±3)或(±5，0)答案 B解析 因为正数m 是2和8的等比中项，所以m 2＝16，则m ＝4，所以圆锥曲线x 2＋y 2m ＝1即为椭圆x 2＋y 24＝1，易知其焦点坐标为(0，±3)，故选B.2．(2017·湖北荆门一模)已知θ是△ABC 的一个内角，且sin θ＋cos θ＝34，则方程x 2sin θ－y 2cos θ＝1表示( )A ．焦点在x 轴上的双曲线B ．焦点在y 轴上的双曲线C ．焦点在x 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的椭圆 答案 D解析 因为(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝916，所以sin θcos θ＝－732＜0，结合θ∈(0，π)，知sin θ>0，cos θ<0，又sin θ＋cos θ＝34＞0，所以sin θ＞－cos θ＞0，故1－cos θ＞1sin θ＞0，因为x 2sin θ－y 2cos θ＝1可化为y 2－1cos θ＋x 21sin θ＝1，所以方程x 2sin θ－y 2cos θ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆．故选D.3．(2018·湖北八校联考)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A.514B.513C.49D.59答案 B解析 由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2.设线段PF 1的中点为M ，则有OM ∥PF 2，∵OM ⊥F 1F 2，∴PF 2⊥F 1F 2，∴|PF 2|＝b 2a ＝53.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，∴|PF 2||PF 1|＝53×313＝513，故选B.4．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63B.33C.23D.13答案 A解析 由题意知以A 1A 2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a . 又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切， ∴圆心到直线的距离d ＝2ab a 2＋b2＝a ，解得a ＝3b ， ∴b a ＝13，∴e ＝ca ＝a 2－b 2a ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝63.故选A. 5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a ，m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率为( )A.32B.22C.12D.14答案 C解析 因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，所以c 2＝a 2－b 2＝m 2＋n 2.因为c 是a ，m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，所以c 2＝am,2n 2＝2m 2＋c 2，所以m 2＝c 4a 2，n 2＝c 4a 2＋c 22，所以2c 4a 2＋c 22＝c 2，化为c 2a 2＝14，所以e ＝c a ＝12.故选C.6．(2017·荔湾区期末)某宇宙飞船运行的轨道是以地球中心为一焦点的椭圆，测得近地点距地面m 千米，远地点距地面n 千米，地球半径为r 千米，则该飞船运行轨道的短轴长为( )A ．2(m ＋r )(n ＋r )千米 B.(m ＋r )(n ＋r )千米 C ．2mn 千米 D ．mn 千米答案 A解析 ∵某宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F 2为一个焦点的椭圆，设长半轴长为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ， 则近地点A 距地心为a －c ，远地点B 距地心为a ＋c . ∴a －c ＝m ＋r ，a ＋c ＝n ＋r ， ∴a ＝m ＋n 2＋r ，c ＝n －m 2.又∵b 2＝a 2－c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2＋r2－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －m 22＝mn ＋(m ＋n )r ＋r 2＝(m ＋r )(n ＋r )．∴b ＝(m ＋r )(n ＋r )，∴短轴长为2b ＝2(m ＋r )(n ＋r )千米，故选A.7．(2017·九江期末)如图，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则该椭圆的离心率为( )A.32B.12C.3－1D.22答案 C解析 连接AF 1，∵F 1F 2是圆O 的直径，∴∠F 1AF 2＝90°， 即F 1A ⊥AF 2，又∵△F 2AB 是等边三角形，F 1F 2⊥AB ， ∴∠AF 2F 1＝12∠AF 2B ＝30°， 因此，在Rt △F 1AF 2中，|F 1F 2|＝2c ， |F 1A |＝12|F 1F 2|＝c ，|F 2A |＝32|F 1F 2|＝3c .根据椭圆的定义，得2a ＝|F 1A |＋|F 2A |＝(1＋3)c ，解得a ＝1＋32c ，∴椭圆的离心率为e ＝ca ＝3－1.故选C.8．(2018·郑州质检)椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝a 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( )A.55B.655C.855D.455答案 C解析 设椭圆的右焦点为E ，由椭圆的定义知△FMN 的周长为L ＝|MN |＋|MF |＋|NF |＝|MN |＋(25－|ME |)＋(25－|NE |)．因为|ME |＋|NE |≥|MN |，所以|MN |－|ME |－|NE |≤0，当直线MN 过点E 时取等号，所以L ＝45＋|MN |－|ME |－|NE |≤45，即直线x ＝a 过椭圆的右焦点E 时，△FMN 的周长最大，此时S △FMN ＝12×|MN |×|EF |＝12×2×45×2＝855，故选C.9．如图所示，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC ，BD ，设内层椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，若直线AC 与BD 的斜率之积为－14，则椭圆的离心率为( )A.12B.22 C.32 D.34答案 C解析 设外层椭圆方程为x 2(ma )2＋y 2(mb )2＝1(a >b >0，m >1)，则切线AC 的方程为y ＝k 1(x －ma )，切线BD 的方程为y ＝k 2x ＋mb ，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －ma )，(bx )2＋(ay )2＝a 2b 2，消去y ，得(b 2＋a 2k 21)x 2－2ma 3k 21x ＋m 2a 4k 21－a 2b 2＝0.因为Δ＝(2ma 3k 21)2－4(b 2＋a 2k 21)(m 2a 4k 21－a 2b 2)＝0，整理，得k 21＝b 2a 2·1m 2－1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 2x ＋mb ，(bx )2＋(ay )2＝a 2b 2，消去y ，得(b 2＋a 2k 22)x 2＋2a 2mbk 2x ＋a 2m 2b 2－a 2b 2＝0，因为Δ2＝(2a 2mbk 2)2－4×(b 2＋a 2k 22)(a 2m 2b 2－a 2b 2)＝0，整理，得k 22＝b 2a 2·(m 2－1)．所以k 21·k 22＝b 4a 4.因为k 1k 2＝－14，所以b 2a 2＝14，e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以e ＝32，故选C.10．(2018·永康市模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和圆x 2＋y 2＝b 2，若椭圆C 上存在点P ，使得过点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，满足∠APB ＝60°，则椭圆的离心率e 的取值范围是( )A ．0<e ≤32 B.12≤e <1 C.32<e <1 D.32≤e <1答案 D解析 由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)焦点在x 轴上， 连接OA ，OB ，OP ，依题意，O ，P ，A ，B 四点共圆， ∵∠APB ＝60°，∠APO ＝∠BPO ＝30°， 在直角三角形OAP 中，∠AOP ＝60°， ∴cos ∠AOP ＝b |OP |＝12，∴|OP |＝b12＝2b ，∴b <|OP |≤a ，∴2b ≤a ，∴4b 2≤a 2， 由a 2＝b 2＋c 2，即4(a 2－c 2)≤a 2，∴3a 2≤4c 2，即c 2a 2≥34，∴e ≥32，又0<e <1， ∴32≤e <1，∴椭圆C 的离心率的取值范围是32≤e <1.故选D. 二、填空题11．(2017·湖南东部六校联考)设P ，Q 分别是圆x 2＋(y －1)2＝3和椭圆x 24＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是________．答案 733解析 依据圆的性质可知，P ，Q 两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加上圆的半径3，设Q (x ，y )，则圆心(0,1)到椭圆上点的距离为d ＝x 2＋(y －1)2＝－3y 2－2y ＋5＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＋163，∵－1≤y ≤1，∴当y ＝－13时，d 取最大值433，所以P ，Q 两点间的最大距离为d max ＋3＝733.12．(2018·广州二测)已知中心在坐标原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，点F 关于直线y ＝12x 的对称点在椭圆C 上，则椭圆C 的方程为________．答案 5x 29＋5y 24＝1解析 设F (1,0)关于直线y ＝12x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎨⎧0＋y 2＝12×1＋x 2，y －0x －1×12＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35，y ＝45，由于椭圆的两个焦点为(－1,0)，(1,0)，所以2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝655，a ＝355，又c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝95－1＝45，所以椭圆C 的方程为x 295＋y 245＝1，即5x 29＋5y 24＝1.13．(2018·江西五市联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 为椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 5，0，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫55，1 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－a 52＋y 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－a 52＋y 22，x 21a 2＋y21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 5(x 1－x 2)＝x 21－x 22＋y 21－y 22，y 21＝b 2－b2a 2x 21，y 22＝b 2－b 2a2x 22，所以2a 5(x 1－x 2)＝a 2－b 2a 2(x 21－x 22)，所以2a 35(a 2－b 2)＝x 1＋x 2.又－a ≤x 1≤a ，－a ≤x 2≤a ，x 1≠x 2，所以－2a <x 1＋x 2<2a ，则2a 35(a 2－b 2)<2a ，即b 2a 2<45，所以e 2>15.又0<e <1，所以55<e <1. 14．(2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．答案 63解析 由已知条件易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，F (c,0)，∴BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2，CF →＝⎝⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2，由∠BFC ＝90°，可得BF →·CF→＝0， 所以⎝⎛⎭⎪⎫c －32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0，c 2－34a 2＋14b 2＝0，即4c 2－3a 2＋(a 2－c 2)＝0，亦即3c 2＝2a 2， 所以c 2a 2＝23，则e ＝c a ＝63.B 级三、解答题15．(2018·安徽合肥三校联考)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，且椭圆经过圆C ：x 2＋y 2－4x ＋22y ＝0的圆心C .(1)求椭圆的方程；(2)设直线l 过椭圆的焦点且与圆C 相切，求直线l 的方程． 解 (1)圆C 方程化为(x －2)2＋(y ＋2)2＝6， 圆心C (2，－2)，半径r ＝ 6. 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4.所以所求的椭圆方程是x 28＋y 24＝1.(2)由(1)得椭圆的左、右焦点分别是F 1(－2,0)，F 2 (2,0)， |F 2C |＝(2－2)2＋(0＋2)2＝2<r ＝ 6.F 2在圆C 内，故过F 2没有圆C 的切线，所以直线l 过焦点F 1. 设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0， 点C (2，－2)到直线l 的距离为d ＝|2k ＋2＋2k |1＋k 2， 由d ＝6，得|2k ＋2＋2k |1＋k2＝ 6. 化简，得5k 2＋42k －2＝0，解得k ＝25或k ＝－ 2.故l 的方程为2x －5y ＋22＝0或2x ＋y ＋22＝0.16．(2018·陕西咸阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2,1)，且离心率e ＝32.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．求△P AB 面积的最大值．解 (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2.又椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2,1)， ∴4a 2＋1b 2＝1.∴a 2＝8，b 2＝2. 故所求椭圆方程为x 28＋y 22＝1.(2)设l 的方程为y ＝12x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y 22＝1，整理得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0.∵Δ＝4m 2－8m 2＋16>0，解得|m |<2. ∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4. 则|AB |＝1＋14×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5(4－m 2).点P 到直线l 的距离d ＝|m |1＋14＝2|m |5. ∴S△P AB＝12d |AB |＝12×2|m |5×5(4－m 2)＝m 2(4－m 2)≤m 2＋4－m 22＝2.而且仅当m 2＝2，即m ＝±2时取得最大值． ∴△P AB 面积的最大值为2.17．(2018·兰州模拟)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为F 1(－2,0)，点B (2，2)在椭圆C 上，直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 分别与y 轴交于点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， ∵椭圆的左焦点为F 1(－2,0)，∴a 2－b 2＝4. ∵点B (2，2)在椭圆C 上，∴4a 2＋2b 2＝1， 解得a 2＝8，b 2＝4， ∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)依题意点A 的坐标为(－22，0)，设P (x 0，y 0)(不妨设x 0>0)，则Q (－x 0，－y 0)，由⎩⎨⎧y ＝kx ，x 28＋y 24＝1，得x 0＝221＋2k 2，y 0＝22k1＋2k2， ∴直线AP 的方程为y ＝k1＋1＋2k 2(x ＋22)， 直线AQ 的方程为y ＝k1－1＋2k2(x ＋22)， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，22k 1＋1＋2k 2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，22k 1－1＋2k 2， ∴|MN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪22k 1＋1＋2k2－22k 1－1＋2k 2＝22(1＋2k 2)|k |. 设MN 的中点为E ，则点E 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－2k ， 则以MN 为直径的圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋2k 2＝2(1＋2k 2)k 2，即x 2＋y 2＋22k y ＝4， 令y ＝0得x ＝2或x ＝－2，即以MN 为直径的圆经过两定点P 1(－2,0)，P 2(2,0)．18．(2018·湖南十校联考)如图，设点A ，B 的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，直线AP ，BP 相交于点P ，且它们的斜率之积为－23.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点P 的轨迹为C ，点M ，N 是轨迹C 上不同于A ，B 的两点，且满足AP ∥OM ，BP ∥ON ，求证：△MON 的面积为定值．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，由题意得，k AP ·k BP ＝y x ＋3·y x －3＝－23(x ≠±3)， 化简得，点P 的轨迹方程为x 23＋y 22＝1(x ≠±3)．(2)证明：由题意知，M ，N 是椭圆C 上不同于A ，B 的两点，且AP ∥OM ，BP ∥ON ，则直线AP ，BP 的斜率必存在且不为0.因为AP ∥OM ，BP ∥ON ，所以k OM ·k ON ＝k AP ·k BP ＝－23.设直线MN 的方程为x ＝my ＋t ，代入椭圆方程x 23＋y 22＝1，得(3＋2m 2)y 2＋4mty ＋2t 2－6＝0，①设M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1，y 2是方程①的两根，所以y 1＋y 2＝－4mt 3＋2m 2，y 2y 2＝2t 2－63＋2m 2. 又k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝y 1y 2m 2y 1y 2＋mt (y 1＋y 2)＋t 2＝2t 2－63t 2－6m 2， 所以2t 2－63t 2－6m 2＝－23，即2t 2＝2m 2＋3. 又S △MON ＝12|t ||y 1－y 2|＝12·|t |－24t 2＋48m 2＋723＋2m 2， 所以S △MON ＝26t 24t 2＝62，即△MON 的面积为定值62.。

§2.2椭圆2.2.1椭圆的标准方程学习目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．知识点一椭圆的定义1．我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的定义用集合语言叙述为：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1F2|}．3．2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：知识点二椭圆的标准方程1．椭圆标准方程的两种形式2．椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系3.根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x 2项和y 2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．如方程为y 25＋x 24＝1的椭圆，焦点在y 轴上，而且可求出焦点坐标F 1(0，－1)，F 2(0,1)，焦距|F 1F 2|＝2.1．到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．( × ) 2．椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关．( × ) 3．椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a 2＝b 2＋c 2.( √ )题型一 椭圆定义的应用例1 点P (－3,0)是圆C ：x 2＋y 2－6x －55＝0内一定点，动圆M 与已知圆相内切且过P 点，判断圆心M 的轨迹．解 方程x 2＋y 2－6x －55＝0化成标准形式为(x －3)2＋y 2＝64，圆心为(3,0)，半径r ＝8.因为动圆M 与已知圆相内切且过P 点，所以|MC |＋|MP |＝r ＝8，根据椭圆的定义，动点M 到两定点C ，P 的距离之和为定值8>6＝|CP |， 所以动点M 的轨迹是椭圆．反思感悟 椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视． 定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．常数(2a )必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件．跟踪训练1 下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上) ①已知定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝2的点P 的轨迹为椭圆； ②已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝4的点P 的轨迹为线段； ③到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆． 答案 ②解析 ①2<2，故点P 的轨迹不存在；②因为|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|＝4，所以点P 的轨迹是线段F 1F 2；③到定点F 1(－3，0)，F 2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线(y 轴)．题型二 求椭圆的标准方程例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点⎝⎛⎭⎫－32，52； (3)经过点P ⎝⎛⎭⎫13，13，Q ⎝⎛⎭⎫0，－12. 考点 椭圆标准方程的求法 题点 待定系数法求椭圆的标准方程 解 (1)因为椭圆的焦点在y 轴上， 所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.所以所求的椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.(2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，由椭圆的定义知， 2a ＝⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52＋22＋⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52－22 ＝210， 即a ＝10，又c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝6， 所以所求椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1.(3)方法一 ①当椭圆焦点在x 轴上时，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝⎛⎭⎫132a 2＋⎝⎛⎭⎫132b 2＝1，0＋⎝⎛⎭⎫－122b 2＝1，解得⎩⎨⎧ a 2＝15，b 2＝14.由a >b >0，知不合题意，故舍去；②当椭圆焦点在y 轴上时，可设椭圆的标准方程为 y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫132a 2＋⎝⎛⎭⎫132b 2＝1，⎝⎛⎭⎫－122a 2＋0＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝14，b 2＝15.所以所求椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.方法二 设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )．则⎩⎨⎧19m ＋19n ＝1，14n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝4.所以所求椭圆的方程为5x 2＋4y 2＝1， 故椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.反思感悟 求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置写出椭圆方程．(2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可．即“先定位，后定量”．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x 轴上和焦点在y 轴上进行分类讨论，但要注意a >b >0这一条件．(3)当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n )的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程．跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10；(2)椭圆过点(3,2)，(5,1)；(3)椭圆的焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)． 解 (1)设其标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．则2a ＝10，c ＝4，故b 2＝a 2－c 2＝9， ∴所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )，则⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋4B ＝1，25A ＋B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝391，B ＝1691.故所求椭圆的标准方程为x 2913＋y 29116＝1.(3)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．则⎩⎨⎧4a 2＝1，1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.题型三 椭圆中焦点三角形问题例3 (1)已知P 是椭圆y 25＋x 24＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△F 1PF 2的面积；(2)已知椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，求∠F 1PF 2的大小．解 (1)由椭圆的标准方程，知a ＝5，b ＝2， ∴c ＝a 2－b 2＝1，∴|F 1F 2|＝2.又由椭圆的定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2 5.在△F 1PF 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos ∠F 1PF 2， 即4＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|－2|PF 1|·|PF 2|cos30°， 即4＝20－(2＋3)|PF 1|·|PF 2|， ∴|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3)． ∴12F PF S ∆＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12×16(2－3)×12＝8－4 3. (2)由x 29＋y 22＝1，知a ＝3，b ＝2，∴c ＝7，∴|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2，∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝－12，又∵0°＜∠F 1PF 2＜180°， ∴∠F 1PF 2＝120°.反思感悟 在椭圆中，当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时，这个点与椭圆的两个焦点可以构成一个三角形，这个三角形就是焦点三角形．这个三角形中一条边长等于焦距，另两条边长之和等于椭圆定义中的常数．在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF 1|＋|MF 2|＝2a 及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解．跟踪训练3 已知两定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|. (1)求点P 的轨迹方程；(2)若∠F 1PF 2＝60°，求△PF 1F 2的面积． 解 (1)依题意知|F 1F 2|＝2， |PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝4>2＝|F 1F 2|， ∴点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆， 且2a ＝4,2c ＝2，∴a ＝2，c ＝1，b ＝3， 故所求点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)设m ＝|PF 1|，n ＝|PF 2|，则m ＋n ＝2a ＝4. 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得 |F 1F 2|2＝m 2＋n 2－2mn cos ∠F 1PF 2，∴4＝(m ＋n )2－2mn (1＋cos60°)，解得mn ＝4. ∴12PF F S ＝12mn sin ∠F 1PF 2＝12×4sin60°＝ 3.待定系数法求椭圆的标准方程典例 求焦点在坐标轴上，且经过两点(2，－2)和⎝⎛⎭⎫－1，142的椭圆的标准方程． 考点 椭圆标准方程的求法 题点 待定系数法求椭圆的标准方程解 方法一 若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由已知条件得⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由已知条件得⎩⎨⎧4b 2＋2a 2＝1，1b 2＋144a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝8，a 2＝4.则a 2<b 2，与a >b >0矛盾，舍去．综上可知，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.方法二 设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )． 分别将两点的坐标(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142代入椭圆的一般方程， 得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.[素养评析] 通过两种解法的对比，采用第二种设椭圆方程的方法能优化解题过程，减少数学运算，提高解题效率．这也正是数学运算策略升级的有力佐证.1．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．7D ．8 考点 椭圆的标准方程题点 由椭圆的标准方程求焦点、焦距 答案 D解析 设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，|PF 1|＝2. 结合椭圆定义|PF 2|＋|PF 1|＝10，故|PF 2|＝8.2．平面内，F 1，F 2是两个定点，“动点M 满足|MF 1→|＋|MF 2→|为常数”是“M 的轨迹是椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点 与椭圆有关的轨迹方程 题点 圆与椭圆 答案 B解析 当|MF 1→|＋|MF 2→|为常数且|MF 1→|＋|MF 2→|>|F 1F 2→|时，M 的轨迹才是椭圆． 3．若方程3x 2＋ky 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的可能取值为( ) A ．1B ．3C ．0D ．－2 答案 A解析 当k ＝1时，原方程可化为y 21＋x 213＝1，它表示焦点在y 轴上的椭圆，其他选项不合题意．4．已知椭圆的焦点坐标为(－1,0)和(1,0)，点P (2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 24＋y 2＝1 C.y 24＋x 23＝1 D.y 24＋x 2＝1 答案 A解析 c ＝1，a ＝12×((2＋1)2＋0＋(2－1)2＋0)＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.5．设F 1，F 2是椭圆x 225＋y 29＝1的焦点，P 为椭圆上一点，则△PF 1F 2的周长为________．答案 18解析 △PF 1F 2的周长为|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|＝2a ＋2c .因为2a ＝10，c ＝25－9＝4，所以周长为10＋8＝18.1．椭圆的定义式：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)．在解题过程中将|PF 1|＋|PF 2|看成一个整体，可简化运算．2．椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定点”、“距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决． 3．凡涉及椭圆上的点的问题，首先要考虑它应满足椭圆的定义|MF 1|＋|MF 2|＝2a (M 为椭圆上的点，F 1，F 2为椭圆的焦点)，一般进行整体变换，其次要考虑该点的坐标M (x 0，y 0)是否适合椭圆的方程，然后再进行代数运算.。

PF1
PF2
a 9 (a 0)，则 a
点P的轨迹是椭圆或线段F1F2.
3.已知是椭圆上的点，则椭圆 x2 144
＋
y2 25
＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，
如果线段PF1的中点在y轴上，那么PF1＝_____
7
3 2
___
，PF2＝____
3 ____ 2
1 k 2且k 1 2
变式题：若椭圆 x2 my 2 1 的焦点在 y 轴上，长
2、已知椭圆的方程为：
，请填空：
(1) a=_5_，b=_4_，c=_3_，焦点坐标为(_-_3_,0__)、__(_3_,_0_)，焦距等于_6_.
(2)若C为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，
并且CF1=2,则CF2=_8__. 变题： 若椭圆的方程为
,试口答完成（1）.
基础知识回顾与梳理
分析：将方程9x2 4 y2 36化为标准形式 x2 y2 1，容易知道 49
其焦点坐标为 0, 5 , 0, 5 ,也就是所求椭圆的焦点，且c 5.
我们可以设椭圆方程为 x2 y2 1,利用a2 b2 c2 , 将已知点的坐标 a2 b2
带入方程，建立方程组求解.
讨论：因为我们知道c 5，a2 b2 c2，可以将方程设为只含有 a或b的形式，请同学们解答.
y
P
F2
x
F1
所以椭圆的标准方程为
诊断练习
1.下列方程：(1)x2 y2 1;(2)4x2 3y2 12;(3)2x2 2 y2 5; 43
(4) x2 y2 1.其中表示焦点为F(0,1)的椭圆的有 (2),(4) . 13
22
2.设定点F1(0, 3), F2(0,3)，动点P满足

第46讲 │ 要点探究
要点探究
► 探究点1 两直线的位置关系 例1 根据下列条件，求圆的方程： (1)经过点O(0,0)和点P(1,1)，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上；
(2)已知一圆过M(4，－2)、N(－1,3)两点，且在y轴上截得的线 段长为4 求圆的方程．
第45讲 │ 要点探究
例1 [思路] (1)圆心是线段OP的垂直平分线与直线2x＋3y ＋1＝0的交点，求得圆心，即可求出半径；(2)设圆的方程为一 般式x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，依据条件，可得出关于D、E、F 的三个方程.
第46讲 │ 要点探究
变限，式与题y轴1相切[20，10与·金x轴华相模交拟于] 圆点CA的、半B，径若为|1A，B|圆＝心3在，第则一该象
圆的标准方程是________．
[思路] 由|AB|＝ 3，通过几何关系求得圆心的纵坐标，进而写出 圆的标准方程．
第46讲 │ 要点探究
(x－1)2＋y－122＝1 [解析] 如图，D 为线段 AB 的中点，|AC|＝r＝1，可得|CD|＝12，
分
线
的
交
点
．
∵
kAB
＝
5－(－2) －1－(－2)
＝
7
，
线
段
AB
的中点为
－1＋2(－2)，5＋(2－2)＝－32，32. ∴线段 AB 的垂直平分线的方程为 y－32＝－17x＋32，即 x＋7y－9
＝0，同理可求得线段 BC 的垂直平分线方程为 x＋y－3＝0，由
x＋7y－9＝0， x＋y－3＝0
(1)x－y 4； (2)3x－4y； (3)x2＋y2.
第46讲 │ 要点探究
[解答] (1)令x－y 4＝k，则 kx－y－4k＝0， ∵x，y 满足 x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，所以圆心(－1,2)到直线 kx－y