高考数学新版一轮复习教程学案：第46课__椭圆的标准方程

第46课 椭圆的标准方程一、考纲要求1.理解椭圆的定义，能依据椭圆的定义求椭圆的标准方程；2.把握椭圆的标准方程；3.能依据已知条件确定椭圆的类型，再结合定义或待定系数法求相关基本量，进而求椭圆的标准方程． 二、基础梳理 回顾要求1、在△ABC 中，B(-3,0),C(3,0),且△ABC 的周长为16，则顶点A 的轨迹方程为_________________. 【教学建议】本题是教材上一道习题的改编，依据椭圆的定义及焦点位置可直接写出轨迹方程为1162522=+y x ，但△ABC 的三个顶点不能共线，故0≠y ，这点同学特殊简洁忽视；若将B 、C 两点坐标 改成B(0,-3),C(0,3),其它条件不变，则顶点A 的轨迹方程又是什么？2、已知椭圆的方程为：1162522=+y x ，请填空： (1)a =___，b =___，c =___，焦点坐标为______，焦距等于 .(2)若C 为椭圆上任意一点，12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，并且12CF =,则2CF = _____.【教学建议】通过本题（1）的讲解，使同学会由标准方程求,,a b c ，焦距等基本量；可增加一个问题：若椭圆的方程为14491622=+y x 呢？使同学明确，求基本量时应先将方程化为标准方程再求解。

同时通过本题使同学加深对椭圆的焦点位置与标准方程之间关系的理解；题（2）巩固椭圆的定义，提示同学解圆锥曲线问题时要不忘定义。

教学时通过同学自主完成的方法，有利于同学对基础学问的把握和增加学好本课内容的信念。

必要时，可将标准方程、对应的图形、,,a b c 之间的关系等投影回顾． 3、写出适合下列条件的椭圆的标准方程： (1) 4,3a b ==，焦点在 x 轴； (2) 4,3b c ==，焦点在y 轴上；(3)两个焦点的坐标是()()0,2,0,2-，并且经过点（-1.5，2.5）.【教学建议】本题选自课本习题。

高三一轮复习椭圆学案-------椭圆的定义、标准方程及性质【学习目标】1、椭圆的定义、性质及标准方程2、椭圆的定义及相关概念、椭圆的标准方程、椭圆的几何性质3、椭圆的焦点三角形及相关结论【回顾知识、把握基础】（自主梳理）1. 椭圆的定义：在平面内到两定点12F F 、的距离的和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫 .这两定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做 .椭圆定义：一个动点P ，平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于常数（1）若21PF PF +=2a ＞21F F ，则动点P 的点的轨迹是 . （2）若21PF PF +=2a =21F F ，则动点P 的点的轨迹是 . （3）若21PF PF +=2a ＜21F F ，则动点P 的点的轨迹是 . 2. 椭圆的方程（中心在原点，坐标轴为对称轴）： （1）椭圆的标准方程焦点在x 轴上时方程为 ： . 焦点在y 轴上时方程为 ： . （2）椭圆的一般方程： . （3）椭圆的参数方程： . 3. 标准方程图形范围 顶点对称轴 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点焦距 离心率4. 几个重要结论：设P 是椭圆上)0(12222>>=+b a by a x 的点，12F F 、是椭圆的焦点，θ=∠21PF F ,则(1)=∆21PF F S .(2) 当P 为短轴端点时=∆max )(21PF F S .(3)当P 为短轴端点时，21PF F ∠为 . (4)椭圆上的点 距离1F 最近， 距离2F 最远.c a -≤1PF ≤c a +;],[2221a b PF PF ∈⋅(5)过焦点的弦中，以垂直于长轴的弦为最短=CD . (6)如图1ABF ∆的周长为 . 5．点与椭圆的位置关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的上⇔ .（2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部⇔ .（3）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的外部⇔ .6．椭圆系方程：与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>共焦点的椭圆系方程可设为： .与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>有相同离心率的椭圆系方程可设为： .【典例分析】考点一：椭圆的定义及应用 例1、（1）已知12F F 、为两定点，21F F ＝4，动点M 满足421=+MF MF ，则动点M 的轨迹是 .（2） 设F 1、F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为其上一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，求|PF 1||PF 2|的值．oPCxyD1F2F1A 2A考点二：求椭圆的标准方程例2、已知椭圆以坐标轴为对称轴，求分别满足下列条件的椭圆的标准方程(1)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos ∠OF A ＝23；(2)经过点P(－23，1)，Q(3，－2)两点；(3)与椭圆 x 24＋y 23＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)；(4)椭圆过(3,0)，离心率e ＝63例3、椭圆)0(12222>>=+b a by a x 左、右焦点为F 1、F 2，P 是椭圆上一点，=∠21PF F 60°，21F PF ∆的面积为3，且离心率为21，求此椭圆的方程。

[考纲传真] １．了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.２．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质（范围、对称性、顶点、离心率）.３．理解数形结合思想.４．了解椭圆的简单应用．１．椭圆的定义把平面内到两个定点F１，F２的距离之和等于常数（大于|F１F２|）的点的集合叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．集合P ＝{M||MF１|＋|MF２|＝２a}，|F１F２|＝２c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：（１）若a＞c，则集合P为椭圆；（２）若a＝c，则集合P为线段；（３）若a＜c，则集合P为空集．２．椭圆的标准方程和几何性质标准方程错误!＋错误!＝１（a>b>0）错误!＋错误!＝１（a>b>0）图形性质范围—a≤x≤a—b≤y≤b—b≤x≤b—a≤y≤a 对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A１（—a,0），A２（a,0），B１（0，—b），B２（0，b）A１（0，—a），A２（0，a），B１（—b,0），B２（b,0）离心率e＝错误!，且e∈（0,１）a，b，c的关系c２＝a２—b２１．点P（x0，y0）和椭圆的位置关系（１）点P（x0，y0）在椭圆内⇔错误!＋错误!＜１．（２）点P（x0，y0）在椭圆上⇔错误!＋错误!＝１．（３）点P（x0，y0）在椭圆外⇔错误!＋错误!＞１．２．焦点三角形椭圆上的点P（x0，y0）与两焦点构成的△PF１F２叫做焦点三角形．r１＝|PF１|，r２＝|PF２|，∠F１PF２＝θ，△PF１F２的面积为S，则在椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）中：（１）当r１＝r２时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；（２）S＝b２ta n 错误!＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.（３）a—c≤|PF１|≤a＋c.３．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a２＝b２＋c２.４．已知过焦点F１的弦AB，则△ABF２的周长为４a.５．椭圆中点弦的斜率公式若M（x0，y0）是椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的弦AB（AB不平行y轴）的中点，则有k AB·k OM ＝—错误!，即k AB＝—错误!.6．弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长|AB|＝错误!|x１—x２|＝错误!＝错误!|y１—y２|＝错误!（k为直线斜率）．[基础自测]１．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）平面内与两个定点F１，F２的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．（２）椭圆上一点P与两焦点F１，F２构成△PF１F２的周长为２a＋２c（其中a为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距）．（）（３）椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．（）（４）关于x，y的方程mx２＋ny２＝１（m＞0，n＞0，m≠n）表示的曲线是椭圆．[答案] （１）×（２）√（３）×（４）√２．椭圆错误!＋错误!＝１的焦点坐标为（）Ａ．（±３,0）Ｂ．（0，±３）Ｃ．（±9,0）Ｄ．（0，±9）B[由题意可知a２＝２５，b２＝１6，∴c２＝２５—１6＝9，∴c＝±３，又焦点在y轴上，故焦点坐标为（0，±３）．]３．已知动点M到两个定点A（—２,0），B（２,0）的距离之和为6，则动点M的轨迹方程为（）Ａ．错误!＋y２＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋x２＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１D[由题意有6＞２＋２＝４，故点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，则２a＝6，c＝２，故a２＝9，所以b２＝a２—c２＝５，故椭圆的方程为错误!＋错误!＝１，故选Ｄ．]４．若一个椭圆长轴的长、短轴的长和焦距成等比数列，则该椭圆的离心率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!C[由题意有b２＝ac.又b２＝a２—c２，则a２—c２＝ac，即１—错误!２＝错误!，则e２＋e—１＝0，解得e＝错误!.因为0＜e＜１，所以e＝错误!.故选Ｃ．]５．（教材改编）椭圆C：错误!＋错误!＝１的左、右焦点分别为F１，F２，过F２的直线交椭圆C于A，B两点，则△F１AB的周长为________．２0 [由椭圆的定义可知，△F１AB的周长为４a＝４×５＝２0．]第１课时椭圆的定义、标准方程及其性质椭圆的定义及其应用【例１】（１）已知两圆C１：（x—４）２＋y２＝１69，C２：（x＋４）２＋y２＝9，动圆在圆C１内部且和圆C１相内切，和圆C２相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１（２）F１，F２是椭圆错误!＋错误!＝１的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF１F２＝４５°，则△AF１F２的面积为（）Ａ．7 Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（１）D（２）C[（１）设圆M的半径为r，则|MC１|＋|MC２|＝（１３—r）＋（３＋r）＝１6，又|C１C２|＝8＜１6，∴动圆圆心M的轨迹是以C１，C２为焦点的椭圆，且２a＝１6,２c＝8，则a＝8，c＝４，∴b２＝４8，故所求的轨迹方程为错误!＋错误!＝１．（２）由题意得a＝３，b＝错误!，c＝错误!，∴|F１F２|＝２错误!，|AF１|＋|AF２|＝6．∵|AF２|２＝|AF１|２＋|F１F２|２—２|AF１|·|F１F２|cos ４５°＝|AF１|２—４|AF１|＋8，∴（6—|AF１|）２＝|AF１|２—４|AF１|＋8．∴|AF１|＝错误!，∴S△AF１F２＝错误!×错误!×２错误!×错误!＝错误!.][规律方法] （１）椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等．（２）椭圆的定义式必须满足２a＞|F１F２|.片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（）Ａ．椭圆Ｂ．双曲线Ｃ．抛物线Ｄ．圆（２）（２0１9·徐州模拟）已知F１，F２是椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF１⊥PF２，若△PF１F２的面积为9，则b＝________.（１）A（２）３[（１）由题意可知，CD是线段MF的垂直平分线，∴|MP|＝|PF|，∴|PF|＋|PO|＝|PM|＋|PO|＝|MO|（定值）．又|MO|＞|FO|，∴点P的轨迹是以F，O为焦点的椭圆，故选Ａ．（２）设|PF１|＝r１，|PF２|＝r２，则错误!所以２r１r２＝（r１＋r２）２—（r错误!＋r错误!）＝４a２—４c２＝４b２，所以S△PF１F２＝错误! r１r２＝b２＝9，所以b＝３．]椭圆的标准方程【例２】（１）在△ABC中，A（—４,0），B（４,0），△ABC的周长是１8，则顶点C的轨迹方程是（）Ａ．错误!＋错误!＝１（y≠0）Ｂ．错误!＋错误!＝１（y≠0）Ｃ．错误!＋错误!＝１（y≠0）Ｄ．错误!＋错误!＝１（y≠0）（２）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点错误!，（错误!，错误!），则椭圆方程为________．（３）过点（错误!，—错误!），且与椭圆错误!＋错误!＝１有相同焦点的椭圆的标准方程为________．（１）A（２）错误!＋错误!＝１（３）错误!＋错误!＝１[（１）由|AC|＋|BC|＝１8—8＝１0＞8知，顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆（A，B，C不共线）．设其方程为错误!＋错误!＝１（a ＞b＞0），则a＝５，c＝４，从而b＝３．由A，B，C不共线知y≠0．故顶点C的轨迹方程是错误!＋错误!＝１（y≠0）．（２）设椭圆方程为mx２＋ny２＝１（m，n＞0，m≠n）．由错误!解得m＝错误!，n＝错误!.∴椭圆方程为错误!＋错误!＝１．（３）法一：椭圆错误!＋错误!＝１的焦点为（0，—４），（0,４），即c＝４．由椭圆的定义知，２a＝错误!＋错误!，解得a＝２错误!.由c２＝a２—b２可得b２＝４，∴所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．法二：∵所求椭圆与椭圆错误!＋错误!＝１的焦点相同，∴其焦点在y轴上，且c２＝２５—9＝１6．设它的标准方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）．∵c２＝１6，且c２＝a２—b２，故a２—b２＝１6．１又点（错误!，—错误!）在所求椭圆上，∴错误!＋错误!＝１，则错误!＋错误!＝１．２由１２得b２＝４，a２＝２0，∴所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．][规律方法] （１）求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法．（２）利用定义法求椭圆方程，要注意条件２a＞|F１F２|；利用待定系数法要先定形（焦点位置），再定量，也可把椭圆方程设为mx２＋ny２＝１（m＞0，n＞0，m≠n）的形式．１２率为错误!，过F２的直线l交C于A，B两点，若△AF１B的周长为４错误!，则C的方程为（）Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋y２＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１（２）椭圆E的焦点在x轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是２的正方形的顶点，则椭圆E的标准方程为（）Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋y２＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１（３）设F１，F２分别是椭圆E：x２＋错误!＝１（0＜b＜１）的左、右焦点，过点F１的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF１|＝３|F１B|，AF２⊥x轴，则椭圆E的方程为________．（１）A（２）C（３）x２＋错误!y２＝１[（１）△AF１B的周长是４a＝４错误!，所以a＝错误!，e＝错误!＝错误!，所以c＝１，那么b２＝a２—c２＝２，所以方程是错误!＋错误!＝１．故选Ａ．（２）由条件可知b＝c＝错误!，a＝２，所以椭圆方程为错误!＋错误!＝１，故选Ｃ．（３）不妨设点A在第一象限，如图所示．∵AF２⊥x轴，∴A（c，b２）（其中c２＝１—b２,0＜b＜１，c＞0）．又∵|AF１|＝３|F１B|，∴由错误!＝３错误!得B错误!，代入x２＋错误!＝１得错误!＋错误!＝１．又c２＝１—b２，∴b２＝错误!.故椭圆E的方程为x２＋错误!y２＝１．]椭圆的几何性质►考法１求离心率或范围【例３】（１）（２0１9·深圳模拟）设椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F１，F２，P是C上的点，PF２⊥F１F２，∠PF１F２＝３0°，则C的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（２）（２0１7·全国卷Ⅰ）设A，B是椭圆C：错误!＋错误!＝１长轴的两个端点，若C上存在点M 满足∠AMB＝１２0°，则m的取值范围是（）Ａ．（0,１]∪[9，＋∞）Ｂ．（0，错误!]∪[9，＋∞）Ｃ．（0,１]∪[４，＋∞）Ｄ．（0，错误!]∪[４，＋∞）（１）D（２）A[（１）法一：如图，在R t△PF２F１中，∠PF１F２＝３0°，|F１F２|＝２c，∴|PF１|＝错误!＝错误!，|PF２|＝２c·ta n ３0°＝错误!.∵|PF１|＋|PF２|＝２a，即错误!＋错误!＝２a，可得错误!c＝a.∴e＝错误!＝错误!.法二：（特殊值法）在R t△PF２F１中，令|PF２|＝１，∵∠PF１F２＝３0°，∴|PF１|＝２，|F１F２|＝错误!.∴e＝错误!＝错误!＝错误!.故选Ｄ．（２）由题意知，当M在短轴顶点时，∠AMB最大．１如图１，当焦点在x轴，即m＜３时，a＝错误!，b＝错误!，ta n α＝错误!≥ta n 60°＝错误!，∴0＜m≤１．图１图２２如图２，当焦点在y轴，即m＞３时，a＝错误!，b＝错误!，ta n α＝错误!≥ta n 60°＝错误!，∴m≥9．综上，m∈（0,１]∪[9，＋∞），故选Ａ．]►考法２与椭圆的几何性质有关的最值问题【例４】（２0１9·合肥质检）如图，焦点在x轴上的椭圆错误!＋错误!＝１的离心率e＝错误!，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则错误!·错误!的最大值为________．４[由题意知a＝２，因为e＝错误!＝错误!，所以c＝１，b２＝a２—c２＝３．故椭圆方程为错误!＋错误!＝１．设P点坐标为（x0，y0）．所以—２≤x0≤２，—错误!≤y0≤错误!.因为F（—１,0），A（２,0），错误!＝（—１—x0，—y0），错误!＝（２—x0，—y0），所以错误!·错误!＝x错误!—x0—２＋y错误!＝错误!x错误!—x0＋１＝错误!（x0—２）２.则当x0＝—２时，错误!·错误!取得最大值４．][规律方法] （１）求椭圆离心率的方法１直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解．２列出含有a，b，c的齐次方程（或不等式），借助于b２＝a２—c２消去b，转化为含有e的方程（或不等式）求解．（２）利用椭圆几何性质求值或范围的思路求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系．建立关于a、b、c的方程或不等式．１２⊥PF２，且∠PF２F１＝60°，则C的离心率为（）１Ａ．１—错误!Ｂ．２—错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!—１（２）若点O和点F分别为椭圆错误!＋错误!＝１的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则错误!·错误!的最大值为（）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．6 Ｄ．8（１）D（２）C[（１）由题设知∠F１PF２＝90°，∠PF２F１＝60°，|F１F２|＝２c，所以|PF２|＝c，|PF１|＝错误!c.由椭圆的定义得|PF１|＋|PF２|＝２a，即错误!c＋c＝２a，所以（错误!＋１）c＝２a，故椭圆C的离心率e＝错误!＝错误!＝错误!—１．故选Ｄ．（２）由椭圆错误!＋错误!＝１可得F（—１,0），点O（0,0），设P（x，y）（—２≤x≤２），则错误!·错误!＝x２＋x＋y２＝x２＋x＋３错误!＝错误!x２＋x＋３＝错误!（x＋２）２＋２，—２≤x≤２，当且仅当x＝２时，错误!·错误!取得最大值6．]１．（２0１8·全国卷Ⅱ）已知F１，F２是椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的左、右焦点，A 是C的左顶点，点P在过A且斜率为错误!的直线上，△PF １F２为等腰三角形，∠F１F２P＝１２0°，则C的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!D[由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F１F２|＝２c，∵△PF１F２为等腰三角形，且∠F１F２P＝１２0°，∴|PF２|＝|F１F２|＝２c.∵|OF２|＝c，∴点P坐标为（c＋２c cos 60°，２c sin 60°），即点P （２c，错误!c）．∵点P在过点A，且斜率为错误!的直线上，∴错误!＝错误!，解得错误!＝错误!，∴e ＝错误!，故选Ｄ．]２．（２0１6·全国卷Ⅰ）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的错误!，则该椭圆的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!B[如图，|OB|为椭圆中心到l的距离，则|OA|·|OF|＝|AF|·|OB|，即bc＝a·错误!，所以e＝错误!＝错误!.]。

一、预习案一、 基础梳理： 1、到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆吗？椭圆的定义中需要注意什么问题？2、椭圆有哪些几何性质？3、如何根据椭圆的标准方程确定椭圆的焦点位置？ 3、椭圆的标准方程有哪几种常用的设法？4、点与椭圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系如何判断？ 思考：1、椭圆上的点到焦点距离中什么时候最大？什么时候最小？2、如何处理椭圆中的焦点三角形问题？3、椭圆中有哪些最值问题？4、如何求椭圆的中点弦方程？二、基础自测： 1、若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为( )． A.x 29＋y 216＝1 B.x 225＋y 216＝1C.x 225＋y 216＝1或x 216＋y 225＝1 D ．以上都不对2、(2012·兰州调研)“－3＜m ＜5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的 ( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3、椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )．A ．－21B ．21C．－1925或21D.1925或21 ()2212121241601006464343163643333x y F F P PF PF A B C D +=∠=、椭圆的焦点为、，椭圆上的点满足F 则F 的面积是、、、、5、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________．【我的疑惑】二、探究案题型一：椭圆的定义及标准方程例1、(1)求与椭圆x 24＋y 23＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)的椭圆方程．(2)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5、3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程．()()()1236,13,2P P -已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴且经过两点则椭圆的方程为【规律总结】 【变式训练】1、求长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)的椭圆的标准方程．2、已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点是F (1,0)，若椭圆短轴的两个三等分点M ，N 与F 构成正三角形，求椭圆的方程．4,sin sin 2sin ABC AC A B C A c B B =+=3、在中，三个内角、、满足，求顶点的轨迹方程题型二： 椭圆几何性质的应用例2（1）(2012·武汉质检)在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝1，如果一个椭圆通过A ，B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在AB 上，则这个椭圆的离心率为________．()()22122212210,0x y a b F Pa bPF PF e +=>>⋅=设椭圆的两个焦点为F 、若在椭圆上存在一点使求椭圆的离心率的取值范围()12121236012F F P F PF F PF ︒︒∠=已知、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，求椭圆的离心率的取值范围求证：的面积只与椭圆的短轴长有关【规律总结】 【变式训练】()()()()22221211222110,123x y a b M x a bA F F P Q QF PQ +=>>∠⊥4、如图，从椭圆上一点向轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 且它的长轴端点及短轴端点B 的连线AB//OM求椭圆的离心率设Q 是椭圆上任意一点，F 是右焦点，是左焦点，求F 的取值范围设是椭圆上一点，当AB 时，延长QF 交椭圆于另一点P ，若F 的面积为求此椭圆的方程题型三：椭圆中的最值问题例3、(2011·北京)已知椭圆G ：x 24＋y 2＝1.过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值．【规律总结】 【变式训练】()222222112211119514x y a bx y A F P PF PA x y x y +=+=++=+5、椭圆的内接矩形的最大面积6、已知点，是椭圆的左焦点是椭圆上任意一点求的最小值7、已知椭圆方程是求的最值题型四：直线与椭圆的位置关系()()()22224:102120x y C a b F a b l l l a b C P l F OP A OB P l +=>>=+例、已知椭圆的直线与C 相交于A 、B 两点，当的斜率为1时，坐标原点O 到求、的值上是否存在点，使当绕转到某一位置时有成立？若存在，求出所有的点的坐标与的方程；若不存在说明理由【变式训练】8、 (2011·天津)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程．【当堂检测】1、若ΔABC 的两个顶点坐标A(-4,0),B(4,0)，ΔABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为（ ）A.192522=+y x B. )0(192522≠=+y x y C. )0(191622≠=+y y x D. )0(192522≠=+y y x 2、一个圆心在椭圆右焦点F 2，且过椭圆的中心O (0, 0)，该圆与椭圆交于点P ，设F 1是椭圆的左焦点，直线PF 1恰和圆相切于点P ，则椭圆的离心率是（ ）（A ）3－1 （B ）2－3 （C ）22 （D ）233、已知21,F F 是椭圆191622=+y x 的两焦点，过点2F 的直线交椭圆于点,A B ，若5AB =，则12||||A FB F -= （ ） （A ）3 （B ）8 （C ）13 （D ）164、若△ABC 顶点B , C 的坐标分别为(－4, 0), (4, 0)，AC , AB 边上的中线长之和为30，则△ABC 的重心G 的轨迹方程为………………………………（ ）（A ）221(0)10036x yy +=≠ （B ）221(0)10084x y y +=≠ （C ）221(0)10036x y x +=≠ （D ）221(0)10084x y x +=≠5、与椭圆22143x y +=具有相同的离心率且过点（2，-）的椭圆的标准方程是 ；6、椭圆的两焦点为F 1(－4, 0), F 2(4, 0)，点P 在椭圆上，已知△PF 1F 2的面积的最大值为12，则此椭圆的方程是 ；7、椭圆具有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A 、B 是它的焦点,长轴长为2a,焦距为2c,静放在点A 的小球(小球的半径忽略不计)从点A 沿直线出发,经椭圆壁反射后第一次回到点A 时,小球经过的路程是_____________.8、已知直线y ＝－12x ＋2和椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A 、B 两点，M 为线段AB 的中点，若|AB |＝25，直线OM 的斜率为12，求椭圆的方程．【高考衔接】1、（20XX 年高考（山东理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为（ ）A ．22182x y += B ．221126x y += C ．221164x y += D ．221205x y += 2、设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ，则点P 的轨迹是 （ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．不存在 D ．椭圆或线段 3、过点M （－2，0）的直线m 与椭圆1222=+y x 交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为 （ ）A ．2B ．－2C ．21D ．－21 4、（20XX 年高考（江西理））椭圆22221x y a b+=(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1,F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________.()()()()2212125141?20,2x F F y P PF PF M l A BAOB O l k +=∠、设、分别是椭圆的左、右焦点若是椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、且为锐角其中为坐标原点，求直线的斜率的取值范围【学习反思】（主要是学生对本节知识点进行总结反思） 【课后强化】 完成课后强化作业 答案：一、基础自测：CBCA x 216＋y 28＝1二、课内探究：例1、（1）由题意，设所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝t (t ＞0)，∵椭圆过点(2，－3)，∴t ＝224＋－323＝2，故所求椭圆标准方程为x 28＋y 26＝1.(2)设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)， 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3，2c 2＝52－32，解得a ＝4，c ＝2，b 2＝12.故所求方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1. （3）22193x y += 变式训练(1)若椭圆的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∵椭圆过点A (3,0)，∴9a2＝1，a ＝3，∵2a ＝3·2b ，∴b ＝1，∴方程为x 29＋y 2＝1.若椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∴椭圆过点A (3,0)，∴02a 2＋9b2＝1，∴b ＝3，又2a ＝3·2b ，∴a ＝9，∴方程为y 281＋x 29＝1.综上所述，椭圆方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.(2)由△FMN 为正三角形，则c ＝|OF |＝32|MN |＝32×23b ＝1.∴b ＝ 3.a 2＝b 2＋c 2＝4.故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.()()223101612x y y +=≠例2、（1）设另一个焦点为F ，如图所示，∵|AB |＝|AC |＝1，△ABC 为直角三角形， ∴1＋1＋2＝4a ，则a ＝2＋24，设|FA |＝x ，∴⎩⎨⎧x ＋1＝2a ，1－x ＋2＝2a ，∴x ＝22，∴1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝4c 2， ∴c ＝64，e ＝ca＝6－ 3. （2）212e ≤<()1312e ≤<变式训练()2224,0,,1225025x y π⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦例3、(1)由已知得，a ＝2，b ＝1， 所以c ＝a 2－b 2＝ 3.所以椭圆G 的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)， 离心率为e ＝ca ＝32. (2)由题意知，|m |≥1.当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，此时|AB |＝ 3.当m ＝－1时，同理可得|AB |＝ 3.当|m |＞1时，设切线l 的方程为y ＝k (x －m )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －m ，x 24＋y 2＝1.得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝8k 2m 1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2m 2－41＋4k 2.又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|km |k 2＋1＝1，即m 2k 2＝k 2＋1. 所以|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝ 1＋k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤64k 4m 21＋4k 22－44k 2m 2－41＋4k 2 ＝43|m |m 2＋3. 由于当m ＝±1时，|AB |＝3，所以|AB |＝43|m |m 2＋3，m ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．因为|AB |＝43|m |m 2＋3＝43|m |＋3|m |≤2， 且当m ＝±3时，|AB |＝2，所以|AB |的最大值为2. 变式训练8(1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)，因为|PF 2|＝|F 1F 2|，所以a －c2＋b 2＝2c .整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a2＋c a －1＝0，得c a ＝－1(舍)，或c a ＝12.所以e ＝12.(4分) (2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A 、B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3x －c .消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c .(6分)得方程组的解为⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335c ，B (0，－3c )，所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫335c ＋3c 2＝165c .(8分) 于是|MN |＝58|AB |＝2c .圆心(－1，3)到直线PF 2的距离d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |2.(10分)因为d 2＋⎝⎛⎭⎪⎫|MN |22＝42，所以34(2＋c )2＋c 2＝16.整理得7c 2＋12c －52＝0. 得c ＝－267(舍)，或c ＝2.所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1.(12分)当堂检测6、设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)．则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1， ②①－②得：y 2－y 1x 2－x 1＝－b 2a 2x 1＋x 2y 1＋y 2.∴k AB ＝－b 2a 2×x 0y 0＝－12.③又k OM ＝y 0x 0＝12，④由③④得a 2＝4b 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋2，x 24b 2＋y 2b 2＝1得：x 2－4x ＋8－2b 2＝0，∴x 1＋x 2＝4，x 1·x 2＝8－2b 2. ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝52x 1＋x 22－4x 1x 2＝5216－32＋8b 2＝528b 2－16＝2 5.解得：b2＝4.故所求椭圆方程为：x216＋y24＝1.当堂检测：1、D 3、A 4、 B 7、4a或2(a－c)或2(a+c)高考衔接：1、D 2、D 3、 4、55、最大值为1，最小值为-2-22k k<<<<。