椭圆及其标准方程导学案

2.2.1 椭圆及其标准方程课堂导学三点剖析一、求椭圆的标准方程【例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0),椭圆上一点P 到两焦点距离的和是10;(2)两个焦点的坐标是(0,-2)、(0,2),并且椭圆经过点(23-,25). 解:(1)∵椭圆的焦点在x 轴上,∴设它的标准方程为2222by a x +=1(a>b>0). ∵2a=10,2c=8,∴a=5,c=4.∴b 2=a 2-c 2=52-42=9. ∴所求椭圆的标准方程为92522y x +=1. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上,∴设它的标准方程为2222bx a y +=1(a>b>0). 由椭圆的定义知,2a=22)225()23(++-+ 22)225()23(-+-=210, ∴a=10.又c=2,∴b 2=a 2-c 2=10-4=6. ∴所求椭圆的标准方程为61022x y +=1. 温馨提示求椭圆的标准方程就是求a 2及b 2(a>b>0),并且判断焦点所在的坐标轴.当焦点在x 轴上时,椭圆的标准方程为2222by a x +=1;当焦点在y 轴上时,椭圆的标准方程为2222b x a y +=1. 二、应用椭圆的定义解题【例2】一动圆与已知圆O 1：（x+3）2+y 2=1外切与圆O 2：（x-3）2+y 2=81内切，试求动圆圆心的轨迹方程.解析:两定圆的圆心半径分别为O 1（-3，0），r 1=1；O 2（3，0），r 2=9设动圆圆心为M （x ，y ），半径为R由题设条件知：|MO 1|=1+R ，|MO 2|=9-R∴|MO 1|+|MO 2|=10由椭圆的定义知：M 在以O 1，O 2为焦点的椭圆上，且a=5，c=3，∴b 2=a 2-c 2=25-9=16 故动圆圆心的轨迹方程为162522y x + =1. 温馨提示两圆相切时，圆心之间的距离与两圆的半径有关，据此可以找到动圆圆心满足的条件.三、利用椭圆的标准方程解题【例3】 椭圆5x 2+ky 2=5的一个焦点为（0，2）则k=_____________.解析:将椭圆方程化为标准方程可得x 2+k y 52=1， 由其中一个焦点为（0，2），知a 2=k 5，b 2=1，且 a 2-b 2=c 2即k5-1=4得k=1. 温馨提示先将椭圆方程化为标准形式，再由其中一个焦点确定a 2，b 2，最后通过a 、b 、c 之间的关系确定k 的值.各个击破类题演练 1求经过两点P 1(31,31),P 2(0,21-)的椭圆的标准方程. 解法一:因为焦点位置不确定,故应考虑两种情形.(1)焦点在x 轴上时: 设椭圆的方程为22a x +22by =1(a ＞b ＞0). 依题意知⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+.1)21(,1)31()31(222222b b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==41,5122b a . ∵51＜41,∴方程组无解. (2)焦点在y 轴上时: 设椭圆的方程为22a y +22bx =1(a ＞b ＞0).依题意可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+.1)21(,1)31()31(222222ab a ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==51,4122b a . ∴所求椭圆的标准方程为514122x y +=1. 解法二:设所求椭圆方程的一般式为Ax 2+By 2=1(A ＞0,B ＞0). 依题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+.1)21(,1)31()31(222B b A 解得⎩⎨⎧==.4,5B A∴所求椭圆的方程为5x 2+4y 2=1. ∴标准方程为514122x y +=1. 变式提升 1 椭圆短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3，求此椭圆的标准方程.解析：由题意知：⎩⎨⎧=-=,3,2c a c a ∴⎪⎩⎪⎨⎧==3,32c a ∴b 2=9∴所求椭圆的标准方程为12919122222y x y x +=+或=1 类题演练 2若一个动点P(x,y)到两个定点A(-1,0),A′(1,0)的距离和为定值m,试求P 点的轨迹方程. 解:∵|PA|+|PA′|=m,|AA′|=2,|PA|+|PA′|≥|AA′|,∴m≥2.(1)当m=2时,P 点的轨迹就是线段AA′.∴其方程为y=0(-1≤x≤1).(2)当m ＞2时,由椭圆的定义知,点P 的轨迹是以A 、A′为焦点的椭圆.∵2c=2,2a=m, ∴a=2m ,c=1,b 2=a 2-c 2=42m -1.∴点P 的轨迹方程为1442222-+m y m x =1. 变式提升 2已知B 、C 是两个定点，|BC|=6，且△ABC 的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程. 解析：如右图，建立坐标系，使x 轴经过点B 、C ，原点O 与BC 的中点重合.由已知|AB|+|AC|+|BC|=16，|BC|=6，有|AB|+|AC|=10，即点A 的轨迹是椭圆，且2c=6,2a=16-6=10.∴c=3,a=5,b 2=52-32=16.但当点A 在直线BC 上，即y=0时,A 、B 、C 三点不能构成三角形，∴点A 的轨迹方程是162522y x +=1(y≠0). 类题演练 3方程x=231y -所表示的曲线为_________________.答案：表示椭圆在y 轴右侧的部分（包括端点）变式提升 3 椭圆252x +92y =1与k x -92+ky -252=1(0<k<9)的关系为( ) A.有相等的长、短轴 B.有相等的焦距C.有相同的焦点D.有相同的顶点 答案：B。

§2.1椭圆及其标准方程导学案（第1课时）【学习目标】1.能准确的说出椭圆的定义；2.会推导椭圆的标准方程并掌握椭圆的标准方程的写法． 3会用待定系数法求椭圆的标准方程 【学习过程】 一．自学探究 1.椭圆的产生 2.椭圆的定义我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．反思②：若将距离之和（| P F 1|+| P F 2|）记为2a ，为什么122a F F >？ 当122a F F =时，其轨迹为 ； 当122a F F <时，其轨迹为 ．试一试：1若动点P 到两定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和为8，则动点P 的轨迹为（ ） A.椭圆 B.线段F 1F 2 C.直线F 1F 2 D.不存在2命题甲:动点P 到两定点A 、B 的距离之和|PA|+|PB|=2a(a>0,常数)命题乙:P 点轨迹是椭圆， 则命题甲是命题乙的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件小结：理解椭圆的定义注意两点：①分清动点和定点；②看是否满足常数122a F F >二．椭圆标准方程的推导 1．标准方程的推导步骤 (1)建立坐标系 (2)设点 (3)列式 (4)化简 (5)检验2．两种标准方程的比较2三：典型例题例1. 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，(2,0)，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求它的标准方程 ．方法总结：椭圆的标准方程的两种求法：（1）定义法：定义是研究椭圆问题的基础和根本，根据椭圆的定义得到相应的,,a b c ，再写出椭圆的标准方程。

（2）待定系数法，先设出椭圆的标准方程22221x y a b +=或22221x y b a+=（0a b >>），然后求出待定的系数代入方程即可四、练习提升1求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）椭圆的两焦点分别为F 1（-3,0）、F 2（3.，0），且椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8；（2）求经过两点(1，0)，(0，2)，且焦点在y 轴上。

2．1.1 椭圆及其标准方程1．椭圆的定义(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(□01大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的□02焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的□03焦距．应用定义解题时，不要漏掉|MF 1|＋|MF 2|＝2a >|F 1F 2|这一个条件． (2)集合的语言描述为P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a,2a >|F 1F 2|}． 2．椭圆的标准方程 焦点在x 轴上焦点在y 轴上标准方程□04x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0) □05y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0) 图形焦距 |F 1F 2|＝□062c 焦点坐标 □07(±c,0)□08(0，±c )a ，b ，c 的关系 □09a 2＝b 2＋c 21．对椭圆定义中限制条件“常数(大于|F 1F 2|)”的理解(1)当动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝常数>|F 1F 2|时，动点M 的轨迹为椭圆；(2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段；(3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在．2．椭圆定义的双向运用一方面，符合定义中条件的动点的轨迹为椭圆；另一方面，椭圆上所有的点一定满足定义的条件(即到两焦点的距离之和为常数)．3．椭圆的标准方程与焦点位置的关系(1)椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中含x2项的分母较大．(2)椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中含y2项的分母较大．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2.()(2)平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(3)椭圆的两种标准方程可以写成统一形式：Ax2＋By2＝1(其中A>0，B>0，A≠B)．()答案(1)√(2)×(3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)a＝5，c＝3，焦点在x轴上的椭圆标准方程为________________．(2)椭圆的方程为y29＋x24＝1，则a＝________，b＝________，c＝________.(3)椭圆x225＋y29＝1上一点P到一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离为________．(4)椭圆4x2＋y2＝4的焦点坐标为________．答案(1)x225＋y216＝1(2)325(3)6(4)(0，±3)探究1椭圆的定义例1如图所示，已知F1，F2是椭圆x2100＋y236＝1的两个焦点．(1)若椭圆上一点P到焦点F1的距离等于15，那么点P到另一个焦点F2的距离是多少？(2)过焦点F1作直线与椭圆交于A，B两点，试求△ABF2的周长．[解]由椭圆的标准方程可知a2＝100，所以a＝10.(1)由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝20，又|PF1|＝15，所以|PF2|＝20－15＝5.(2)△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)．由椭圆的定义可知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，故|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝40.拓展提升椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.(2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．【跟踪训练1】已知F1为椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P为椭圆上半部分上任意一点，A(1,1)为椭圆内一点，求|PF1|＋|P A|的最小值．解 由椭圆方程5x 2＋9y 2＝45可知a 2＝9，b 2＝5，c 2＝4，左焦点F 1(－2,0)，右焦点F 2(2,0)，如图所示．P 为椭圆上半部分上一点，由椭圆定义有|PF 1|＋|PF 2|＝6.而|PF 1|＋|P A |＝|PF 1|＋|PA |＋|PF 2|－|PF 2|＝6－(|PF 2|－|P A |)．又|PF 2|－|P A |≤|AF 2|，当且仅当P ，A ，F 2三点共线时，|PF 2|－|P A |＝|AF 2|＝ 2.所以当P ，A ，F 2三点共线时，|PF 1|＋|P A |有最小值为6－ 2.探究2 椭圆的标准方程例2 求满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，且经过点(4,32)； (2)a ＝8，c ＝6；(3)经过两点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12.[解] (1)由题意得，2a ＝(4－0)2＋(32＋2)2＋(4－0)2＋(32－2)2＝12，得a ＝6. 又c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝32. ∴所求的椭圆的方程为x 232＋y 236＝1.(2)∵a ＝8，c ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝64－36＝28. 当焦点在x 轴上时，椭圆方程为x 264＋y 228＝1；当焦点在y 轴上时，椭圆的方程为y 264＋x 228＝1. 故所求的椭圆方程为x 264＋y 228＝1或y 264＋x 228＝1.(3)①当椭圆的焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，依题意知⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫132a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132b 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－122b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝15，b 2＝14.∵a 2＝15<14＝b 2，∴焦点在x 轴上的椭圆不存在． ②当椭圆的焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为 y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫132a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132b 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－122a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝14，b 2＝15.故所求椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.[解法探究] 例2(1)(3)有没有其他解法呢？ 解 (1)∵椭圆的焦点在y 轴上， 设所求的椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 由题意得⎩⎨⎧16b 2＋18a 2＝1，a 2－b 2＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝36，b 2＝32.∴所求的椭圆方程为x 232＋y 236＝1.(3)设所求椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝5，B ＝4，∴所求的椭圆方程为5x 2＋4y 2＝1.例3 已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，圆C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，求动圆圆心的轨迹．[解] 如图所示，由已知可得圆C 1与C 2的圆心坐标分别为C 1(4,0)，C 2(－4，0)，其半径分别为r 1＝13，r 2＝3.设动圆的圆心为C ，其坐标为(x ，y )，动圆的半径为r .由于圆C 1与圆C 相内切，依据两圆内切的充要条件，可得|C 1C |＝r 1－r .①由于圆C 2与圆C 相外切，依据两圆外切的充要条件，可得|C 2C |＝r 2＋r .② 由①＋②可得|CC 1|＋|CC 2|＝r 1＋r 2＝13＋3＝16，即点C 到两定点C 1与C 2的距离之和为16，且|C 1C 2|＝8，可知动点C 的轨迹为椭圆，且以C 1与C 2为焦点．由题意，得c ＝4，a ＝8，∴b 2＝a 2－c 2＝64－16＝48. ∴椭圆的方程为x 264＋y 248＝1，∴动圆圆心的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆，其方程为x 264＋y 248＝1. 拓展提升求椭圆标准方程的方法(1)求关键量代入法：先确定椭圆的焦点位置明确其标准方程的形式，再利用定义及a 2－b 2＝c 2求出参数a ，b ，最后代入椭圆标准方程．(2)待定系数法：构造a ，b ，c 三者之间的关系，通过解方程组求出a ，b .但是要注意先确定焦点所在的位置，其主要步骤可归纳为“先定位，后定量”．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )．因为它包括焦点在x 轴上(m <n )或焦点在y 轴上(m >n )两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的．(3)定义法：利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后由定义确定椭圆的基本量a ，b ，c ，这就是定义法求椭圆标准方程的方法，但注意检验．【跟踪训练2】 (1)如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程，并判断此曲线的类型．解 设M 点的坐标为(x ，y )，P 点的坐标为(x P ，y P )，由已知易得⎩⎨⎧x P ＝x ，y P ＝54y .∵P 在圆上，∴x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫54y 2＝25，即轨迹C 的方程为x 225＋y 216＝1.该曲线表示椭圆．(2)求过点(－3,2)且与x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程． 解 ∵c 2＝9－4＝5，焦点在x 轴上， ∴设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1.∵点(－3,2)在椭圆上， ∴9a 2＋4a 2－5＝1.∴a 2＝15.∴所求椭圆方程为x 215＋y 210＝1. 探究3 椭圆标准方程的应用例4 若方程x 216－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A ．－9<m <16B ．－9<m <72 C.72<m <16D ．m >72[解析]依题意可得⎩⎨⎧16－m >0，m ＋9>0，m ＋9>16－m ，解得72<m <16. [答案] C[结论探究] 如果把例4的问题改为“求该椭圆的焦距的取值范围”，怎样解答呢？解 由题意得c 2＝(m ＋9)－(16－m )＝2m －7， 所以c ＝2m －7，又72<m <16，所以0<2m －7<25，c ∈(0,5)， 所以焦距2c ∈(0,10)．拓展提升方程x 2m ＋y 2n ＝1表示椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，m ≠n ，表示焦点在x 轴上的椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，m >n ，表示焦点在y 轴上的椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，m <n .【跟踪训练3】 (1)“3<m <7”是“方程x 27－m ＋y 2m －3＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 B解析由方程x 27－m ＋y 2m －3＝1表示的曲线是椭圆，可得⎩⎪⎨⎪⎧7－m >0，m －3>0，7－m ≠m －3，解得3<m <7且m ≠5，所以3<m <7且m ≠5⇒3<m <7， 而3<m <7推不出3<m <7且m ≠5.所以，“3<m <7”是“方程x 27－m ＋y 2m －3＝1表示椭圆”的必要不充分条件．(2)已知椭圆的标准方程为x 225＋y 2m 2＝1(m >0)，并且焦距为6，求实数m 的值． 解 ∵2c ＝6，∴c ＝3.当椭圆的焦点在x 轴上时，由椭圆的标准方程知a 2＝25，b 2＝m 2 ，a 2＝b 2＋c 2，得25＝m 2＋9，∴m 2＝16，又m >0，故m ＝4.当椭圆的焦点在y 轴上时，由椭圆的标准方程知a 2＝m 2，b 2＝25, a 2＝b 2＋c 2，得m 2＝25＋9＝34，又m >0，故m ＝34.综上，实数m 的值为4或34. 探究4 椭圆的焦点三角形问题例5 已知椭圆x 24＋y 23＝1中，点P 是椭圆上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．[解] 由x 24＋y 23＝1可知a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝1，从而|F 1F 2|＝2c＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|cos ∠PF 1F 2，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|.①由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4.② 由①②联立可得|PF 1|＝65. 所以S △PF1F 2＝12|PF 1||F 1F 2|sin ∠PF 1F 2＝12×65×2×32＝335. [条件探究] 例5中“∠PF 1F 2＝120°”改为“∠F 1PF 2＝60°”，其他条件不变，应该怎样解答？解 由已知a ＝2，b ＝3， 得c ＝a 2－b 2＝4－3＝1.∴|F 1F 2|＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°，即4＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|－2|PF 1|·|PF 2|cos60°.∴4＝16－3|PF 1||PF 2|. ∴|PF 1||PF 2|＝4， ∴S △PF1F2＝12|PF 1||PF 2|·sin60°＝12×4×32＝ 3. 拓展提升1.椭圆中焦点三角形的解题策略在解焦点三角形的相关问题时，一般利用两个关系式： (1)由椭圆的定义可得|PF 1|，|PF 2|的一个关系式|PF 1|＋|PF 2|＝2a . (2)利用正、余弦定理可得|PF 1|，|PF 2|的一个关系式．这样我们便可求解出|PF 1|，|PF 2|.但是通常情况下我们是把|PF 1|＋|PF 2|，|PF 1|·|PF 2|看成一个整体进行转化求解，而不是具体求出|PF 1|与|PF 2|的值，所以在解题时注意椭圆定义及正、余弦定理的灵活运用．2．焦点三角形的常用公式 (1)焦点三角形的周长L ＝2a ＋2c .(2)在△MF 1F 2中，由余弦定理可得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|cos ∠F 1MF 2.(3)焦点三角形的面积S △F 1MF 2＝12|MF 1||MF 2|·sin ∠F 1MF 2＝b 2tan ∠F 1MF 22.【跟踪训练4】 椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2的大小为________．答案 120°解析 ∵|PF 1|＝4，∴|PF 2|＝2a －4＝6－4＝2.∵|F 1F 2|＝2c ＝27，∴在△F 1PF 2中，利用余弦定理可得， cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝－12，∴∠F 1PF 2的大小为120°.1.椭圆定义的应用(1)椭圆的定义式：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)．在解题过程中将|PF 1|＋|PF 2|看成一个整体，可简化运算.(2)椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定点”“距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决.2.椭圆标准方程的两种应用由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标，或求参数的值(或取值范围). (1)求椭圆的焦点坐标时，若方程不为标准方程，应先将其化为标准方程，确定a 2，b 2的值和焦点所在的坐标轴，再利用关系式a 2＝b 2＋c 2求出c ，即可写出焦点坐标.(2)已知方程求参数的值(或取值范围)时，需注意：对于方程x 2m ＋y 2n ＝1，当m >n >0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；当n >m >0时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆．特别地，当n ＝m >0时，方程表示圆心在原点的圆．若已知方程的形式不是标准方程，需先进行转化.3.求椭圆标准方程的常用方法 (1)求关键量代入法； (2)待定系数法； (3)定义法； (4)相关点法.4.椭圆的焦点三角形问题解答此类问题可结合椭圆的定义列出|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义是求解椭圆焦点三角形问题的常用方法．在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等.1．若平面内点M 到定点F 1(0，－1)、F 2(0,1)的距离之和为2，则点M 的轨迹为( )A ．椭圆B ．直线F 1F 2C ．线段F 1F 2D ．直线F 1F 2的垂直平分线 答案 C解析 |MF 1|＋|MF 2|＝2＝|F 1F 2|，所以点M 的轨迹为线段F 1F 2. 2．方程x 2m ＋y 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C ．[1，＋∞)D ．(－∞，1)答案 A解析 因为方程x 2m ＋y 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，所以m >1. 3．椭圆25x 2＋16y 2＝1的焦点坐标为( ) A.(±3,0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫±13，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫±320，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，±320 答案 D解析 椭圆的标准方程为x 2125＋y 2116＝1，知焦点在y 轴上，c 2＝116－125＝9400，故焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，±320. 4．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.答案 3解析 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，①12r 1r 2＝9，②r 21＋r 22＝(2c )2，③由①得r 21＋2r 1r 2＋r 22＝4a 2，由②得r 1r 2＝18，所以r 21＋r 22＋36＝4a 2，④④－③得36＝4a 2－4c 2，即4b 2＝36， 所以b 2＝9，b ＝3.5．求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)． 解 (1)由题意知椭圆的焦点在x 轴上， ∴设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由已知条件易知c ＝4，a ＝5， ∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.∴所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．椭圆经过点(0,2)和(1,0)，结合图象易知a ＝2，b ＝1， ∴所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.A 级：基础巩固练一、选择题1．已知点A (－3,0)，B (0,2)在椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1上，则椭圆的标准方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 29＋y 24＝1 C.x 23＋y 2＝1 D.x 25＋y 24＝1 答案 B解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧9m 2＝1，4n 2＝1，解得m 2＝9，n 2＝4，所以椭圆的标准方程为x 29＋y 24＝1.2．如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．直线C ．射线D ．圆 答案 A解析 根据题意知，CD 是线段MF 的垂直平分线，所以|MP |＝|PF |，所以|PF |＋|PO |＝|PM |＋|PO |＝|MO |(定值)，又因为|MO |>|FO |，根据椭圆的定义可判断出点P 的轨迹是以F 、O 两点为焦点的椭圆．3．方程(x －2)2＋y 2＋(x ＋2)2＋y 2＝10化简的结果是( )A.x 225＋y 216＝1B.x 225＋y 221＝1 C.x 225＋y 24＝1 D.y 225＋x 216＝1 答案 B解析 由方程左边的几何意义及椭圆定义可知，方程表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆，且c ＝2，a ＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝21，故化简结果为x 225＋y 221＝1.4．椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．6 D.32 答案 B解析 设椭圆的另一个焦点为F 2，因为椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，即|MF 1|＝2，又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，所以|MF 2|＝8.因为N 是MF 1的中点，O 是F 1F 2的中点，所以|ON |＝12|MF 2|＝4.5．命题p ：方程x 25－m ＋y 2m －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则使命题p 成立的充分不必要条件是( )A ．3<m <5B ．4<m <5C ．1<m <5D ．m >1 答案 B 解析 若方程x 25－m ＋y 2m －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m －1>5－m >0，解得3<m <5.所以p 成立的充要条件是3<m <5.结合四个选项可知，p 成立的充分不必要条件是4<m <5.6．我们把由半椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)与半椭圆y 2b 2＋x 2c 2＝1(x <0)合成的曲线称作“果圆”(其中a 2＝b 2＋c 2，a >b >c >0)．如图所示，设点F 0，F 1，F 2是相应椭圆的焦点，A 1，A 2和B 1，B 2是“果圆”与x 轴和y 轴的交点，若△F 0F 1F 2是边长为1的等边三角形，则a ，b 的值分别为( )A.72，1 B.3，1 C ．5,3 D ．5,4 答案 A解析 由题意知，a 2－b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝34，b 2－c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，∴a 2－c 2＝1.又a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝1，b ＝1. ∴a 2＝74，a ＝72. 二、填空题7．已知椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k 的值为________． 答案 1解析 原方程可化简为x 2＋y 25k＝1，因c 2＝5k －1＝4，得k ＝1.8．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上．则sin A ＋sin C sin B ＝________.答案 54解析 由椭圆方程x 225＋y 29＝1知，a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，即点A (－4,0)和C (4,0)是椭圆的焦点．又点B 在椭圆上，∴|BA |＋|BC |＝2a ＝10，且|AC |＝8. 于是，在△ABC 中，由正弦定理，得 sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|BA ||AC |＝54.9．M 是椭圆x 29＋y 24＝1上的任意一点，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，则|MF 1|·|MF 2|的最大值是________．答案 9解析 |MF 1|＋|MF 2|＝2a .|MF 1|·|MF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|MF 1|＋|MF 2|22＝a 2＝9. 三、解答题10．已知圆A ：x 2＋(y ＋6)2＝400，圆A 内一定点B (0,6)，圆C 过B 点且与圆A 内切，求圆心C 的轨迹方程．解 设动圆C 的半径为r ，则|CB |＝r . ∵圆C 与圆A 内切，∴|CA |＝20－r . ∴|CA |＋|CB |＝20.又|AB |＝12，∴|CA |＋|CB |＝20>|AB |.∴点C 的轨迹是以A 、B 两点为焦点的椭圆． ∵2a ＝20,2c ＝12，∴a ＝10，c ＝6，b 2＝64. 又∵A ，B 在y 轴上，∴C 点的轨迹方程为y 2100＋x 264＝1.B 级：能力提升练1．已知椭圆的焦点在x 轴上，且焦距为4，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项．(1)求椭圆的方程；(2)若△PF 1F 2的面积为23，求点P 坐标． 解 (1)由题意知，2c ＝4，c ＝2， |PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝8， 即2a ＝8，∴a ＝4. ∴b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12. ∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴椭圆的方程为x 216＋y 212＝1. (2)设点P 坐标为(x 0，y 0)，依题意知，12|F 1F 2||y 0|＝23， ∴|y 0|＝3，y 0＝±3.代入椭圆方程x 2016＋y 2012＝1，得x 0＝±23，∴点P 坐标为(23，3)或(23，－3)或(－23，3)或(－23，－3)． 2．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点．(1)若椭圆C 上的点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32到F 1，F 2两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；(2)设点K 是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F 1K 的中点的轨迹方程． 解 (1)椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1，F 2两点的距离之和是4，得2a ＝4，即a ＝2.又点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，因此122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，得b 2＝3，则c 2＝a 2－b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．(2)设椭圆C 上的动点K (x 1，y 1)，线段F 1K 的中点Q (x ，y )，则x ＝－1＋x 12，y ＝y 12，即x 1＝2x ＋1，y 1＝2y .因为点K (x 1，y 1)在椭圆x 24＋y 23＝1上，所以(2x ＋1)24＋(2y )23＝1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋4y23＝1为所求点的轨迹方程．。

选修1-1（文）导学案 使用时间：§1.1椭圆及其标准方程【教学目标】：掌握椭圆、椭圆的焦点、焦距的定义，会推导椭圆的标准方程，初步掌握用标准形式确定椭圆的标准方程的方法【知识梳理】1、椭圆的定义：____________________________________________________________ ___________________________________________________________________________2、椭圆的标准方程：当焦点在X 轴上时：__________________________________________当焦点在Y 轴上时：__________________________________________【预习自测】1、已知椭圆的方程为：14522=+x y ，则 （1）、a=_________,b=___________,c=____________（2）、焦点坐标________________________,，焦距____________________（3）、曲线上一点P 到焦点1F 的距离为3，则点P 到另一个焦点2F 的距离为________, 则21PF F ∆的周长____________2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程（1）、a=4,b=3，焦点在x 轴上（2）、a=5,c=4,焦点在y 轴上。

（3）、b=c=4，焦点在坐标轴上。

3、已知焦点坐标为（0，-4），（0，4),且a=6的椭圆的方程___________________________选修1-1（文）导学案 小组： 姓名：【能力提升】4、设定点)x 3,03-021y P F F ，（），动点（），，（满足条件),0(21>=+a a PF PF 动点P 的轨迹是（ ）A 、椭圆B 、线段C 、椭圆或线段或不存在D 、不存在5、已知椭圆1162522=+y x 上一点P 到焦点1F 的距离为3，则点P 到另一个焦点2F 的距离是___________6、当a+b=10，52=c 时的椭圆的标准方程______________________7、过点（3，-2）且与椭圆369422=+y x 有相同的焦点的椭圆的标准方程___________8、过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的弦AB 与另一个焦点2F 围成的2ABF ∆周长是______________9、若方程11222=-+-k y k x ，表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的范围是________________10、（CC ）如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围（ ） A 、），（∞+0 B 、（0,2） C 、），（∞+1 D 、（0,1）。

3.1.1椭圆及其标准方程导学案1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程难点：运用标准方程解决相关问题1．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于______________的点的轨迹叫做椭圆，这_______叫做椭圆的焦点，______________叫做椭圆的焦距，焦距的____称为半焦距．思考：(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？2.椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程图形1. a=6,c=1的椭圆的标准方程是( ) A.x 236+y 235=1 B.y 236+x 235=1 C.x 236+y 21=1 D.x 236+y 235=1或y 236+x 235=12. 椭圆x 225+y 2=1上一点P 到一个焦点的距离为2,则点P 到另一个焦点的距离为( )A.5B.6C.7D.83. 椭圆4x 2+9y 2=1的焦点坐标是( ) A.(±√5,0) B.(0,±√5) C.(±√56,0) D.(±536,0)一、 情境导学椭圆是圆锥曲线的一种具有丰富的几何性质，在科研生产和人类生活中具有广泛的应用，那么椭圆到底有怎样的几何性质，我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础。

取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点套上铅笔拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆。

如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F 1,F 2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？一般地，如果椭圆的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且椭圆上的动点P满足，|PF1|+|PF2|=2a其中a>c>0. 以F1F2所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时,椭圆的焦点分别为F1（−c,0）和F2（c,0）√(x+c)2+y2+√(x−c)2+y2=2a. ①为了化简方程①，我们将其左边一个根式移到右边，得得√(x+c)2+y2=2a−√(x−c)2+y2.②对方程②两边平方，得(x+c)2+y2=4a2−4a√(x−c)2+y2+(x−c)2+y2整理，得a2−cx=a√(x−c)2+y2③对方程③两边平方，得a4−2a2cx+c2x2=a2x2−2a2cx+a2c2+a2y2整理得(a2−c2)x2+a2y2=a2(a2−c2)④将方程④两边同除以a2(a2−c2)，得x2 a2+y2a2−c2=1⑤由椭圆的定义可知2a>2c>0 ，即a>c>0，所以a2−c2>0.观察图，你能从中找出表示a，c，√a2−c2的线段吗？由图可知，|PF1|=|PF2|=a，|OF1|=|OF2|=c,|PO|=√a2−c2令b=|PO|=√a2−c2,那么方程⑤就是；x 2a2+y2b2=1(a>b>0) ⑥称焦点在x轴上的椭圆方程.设椭圆的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且椭圆上的动点P满足|PF1|+|PF2|=2a,其中a>c>0. 以F1F2所在直线为y轴，线段的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时：（1）椭圆焦点的坐标分别是什么？（2）能否通过x 2a2+y2b2=1(a>b>0) 来得到此时椭圆方程的形式？y 2a 2+x 2b 2=1 (a >b >0),称焦点在y 轴上的椭圆方程.二、 典例解析例1求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，并且椭圆上一点P 与两焦点的距离的和等于10； (2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,32)； (3)经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能． (2)设方程：根据上述判断设方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或x 2b 2＋y 2a 2＝1(a ＞b ＞0)或整式形式mx 2＋ny 2＝1(m＞0，n ＞0，m ≠n )．(3)找关系：根据已知条件建立关于a ，b ，c (或m ，n )的方程组． (4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求．跟踪训练1．求与椭圆x 225＋y 29＝1有相同焦点，且过点(3，15)的椭圆的标准方程．例2 (1)已知P 是椭圆x 24＋y 28＝1上一动点，O 为坐标原点，则线段OP 中点Q 的轨迹方程为______________．(2)如图所示，圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25及点A (1,0)，Q 为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于点M ，求点M 的轨迹方程．1．与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例(1)所用方法为代入法，例(2)所用方法为定义法． 2．对定义法求轨迹方程的认识如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法． 3．代入法(相关点法)若所求轨迹上的动点P (x ，y )与另一个已知曲线C ：F (x ，y )＝0上的动点Q (x 1，y 1)存在着某种联系，可以把点Q 的坐标用点P 的坐标表示出来，然后代入已知曲线C 的方程 F (x ，y )＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)．跟踪训练2．已知x 轴上一定点A (1,0)，Q 为椭圆x 24＋y 2＝1上任一点，求线段AQ 中点M 的轨迹方程．1．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．7D ．82．已知椭圆4x 2＋ky 2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k 的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．43．若方程x 2m ＋y 22m －1＝1表示椭圆，则实数m 满足的条件是________．4．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，设椭圆C 上一点⎝⎛⎭⎫3，32到两焦点F 1，F 2的距离和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标．5.如图所示,在圆C :(x+1)2+y 2=25内有一点A (1,0).Q 为圆C 上任意一点,线段AQ 的垂直平分线与C ,Q 的连线交于点M ,当点Q 在圆C 上运动时,求点M 的轨迹方程.参考答案：知识梳理1. 常数(大于|F 1F 2|) ;两个定点 ;两焦点间的距离 ;一半思考： [提示] (1)点的轨迹是线段F 1F 2. (2)当距离之和小于|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在． 小试牛刀： 解析: (1) 易得为D 选项.(2)设椭圆的左、右焦点分别为F 1,F 2,若|PF 1|=2,结合椭圆定义|PF 2|+|PF 1|=10,可得|PF 2|=8.(3)∵椭圆的标准方程为x 214+y 219=1,∴a 2=14,b 2=19,∴c 2=a 2-b 2=14−19=536,且焦点在x 轴上,∴焦点坐标为(±√56,0). (3)∵椭圆的标准方程为x 214+y 219=1,∴a 2=14,b 2=19,∴c 2=a 2-b 2=14−19=536,且焦点在x 轴上,∴焦点坐标为(±√56,0). 学习过程例1[解] (1)因为椭圆的焦点在x 轴上，且c ＝4,2a ＝10，所以a ＝5， b ＝a 2－c 2＝25－16＝3，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．法一：由椭圆的定义知2a ＝4－02＋32＋22＋4－02＋32－22＝12，解得a ＝6.又c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝4 2. 所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1.法二：因为所求椭圆过点(4,32)，所以18a 2＋16b 2＝1.又c 2＝a 2－b 2＝4，可解得a 2＝36，b 2＝32. 所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1.(3)法一：若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由已知条件得⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4.若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由已知条件得⎩⎨⎧4b 2＋2a 2＝1，1b 2＋144a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝8，a 2＝4.则a 2＜b 2，与a ＞b ＞0矛盾，舍去． 综上可知，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.法二：设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，A ≠B )．分别将两点的坐标(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142代入椭圆的一般方程，得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1， 解得⎩⎨⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.跟踪训练1． [解] 法一：因为所求椭圆与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，所以其焦点在x 轴上，且c 2＝25－9＝16.设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．因为c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2， 故a 2－b 2＝16 ①.又点(3，15)在所求椭圆上，所以32a 2＋152b 2＝1，即9a 2＋15b2＝1 ②. 由①②得a 2＝36，b 2＝20，法二：由题意可设所求椭圆的标准方程为x 225＋λ＋y 29＋λ＝1.又椭圆过点(3，15)，将x ＝3，y ＝15代入方程得925＋λ＋159＋λ＝1，解得λ＝11或λ＝－21(舍去)．故所求椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.例2 [思路探究] (1)点Q 为OP 的中点⇒点Q 与点P 的坐标关系⇒代入法求解． (2)由垂直平分线的性质和椭圆的定义进行求解． (1)x 2＋y 22＝1 [设Q (x ，y )，P (x 0，y 0)，由点Q 是线段OP 的中点知x 0＝2x ，y 0＝2y ，又x 204＋y 208＝1，所以2x 24＋2y28＝1，即x 2＋y 22＝1.] (2)[解] 由垂直平分线的性质可知|MQ |＝|MA |， ∴|CM |＋|MA |＝|CM |＋|MQ |＝|CQ |， ∴|CM |＋|MA |＝5.∴点M 的轨迹为椭圆，其中2a ＝5，焦点为C (－1,0)，A (1,0)，∴a ＝52，c ＝1 ，∴b 2＝a 2－c 2＝254－1＝214.∴所求点M 的轨迹方程为x 2254＋y 2214＝1，即4x 225＋4y 221＝1.跟踪训练2． [解] 设中点M 的坐标为(x ，y )，点Q 的坐标为(x 0，y 0)．利用中点坐标公式，得⎩⎨⎧x ＝x 0＋12，y ＝y2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y . ∵Q (x 0，y 0)在椭圆x 24＋y 2＝1上，∴x 204＋y 20＝1. 将x 0＝2x －1，y 0＝2y 代入上式，得2x －124＋(2y )2＝1.故所求AQ 的中点M 的轨迹方程是⎝⎛⎭⎫x －122＋4y 2＝1. 达标检测1．D [根据椭圆的定义知，P 到另一个焦点的距离为 2a －2＝2×5－2＝8.]2．B [椭圆方程可化为x 2＋y24k ＝1，由题意知⎩⎨⎧ 4k >1，4k －1＝1，解得k ＝2.]3．⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m ＞12且m ≠1[由方程x 2m ＋y 22m －1＝1表示椭圆，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，2m －1＞0，m ≠2m －1，解得m ＞12且m ≠1.]4． [解] ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4， ∴2a ＝4，a 2＝4，∵点⎝⎛⎭⎫3，32是椭圆上的一点，∴324＋⎝⎛⎭⎫322b 2＝1，∴b 2＝3，∴c 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．5.解:如图所示,连接MA.由题意知点M 在线段CQ 上,从而有|CQ|=|MQ|+|CM|.又点M 在AQ 的垂直平分线上,则|MA|=|MQ|,故|MA|+|MC|=|CQ|=5>|AC|=2.又A (1,0),C (-1,0),故点M 的轨迹是以(1,0),(-1,0)为焦点的椭圆, 且2a=5,c=1,故a=52,b 2=a 2-c 2=254-1=214.故点M 的轨迹方程为x 2254+y 2214=1.。

2.1.1 椭圆及其标准方程（第一课时）导学案【学法指导】1.仔细阅读教材（P28—P30），独立完成导学案，规范书写，用红色笔勾画出疑惑点，课上讨论交流。

2.通过动手画出椭圆图形，研究椭圆的标准方程。

【学习目标】1.掌握椭圆的定义，标准方程的两种形式。

2.会根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆的标准方程。

【学习重、难点】学习重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．学习难点：椭圆的标准方程的推导，椭圆的定义中常数加以限制的原因．【预习案】预习一：椭圆的定义（仔细阅读教材P28，回答下列问题）1.取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ． 点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数． 2.平面内与两个定点1F ，2F 的 的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的 ， 叫做椭圆的焦距。

3.将“大于|1F 2F |”改为“等于|1F 2F |”的常数，其他条件不变，点的轨迹是 将“大于|1F 2F |”改为“小于|1F 2F |”的常数，其他条件不变，点的轨迹存在吗？结论：在椭圆上有一点P ，则|1PF |+|2PF |= (a2>|1F 2F | )。

a 2>|1F 2F |时，点的轨迹为 ； a 2=|1F 2F |时，点的轨迹为 ； a2<|1F 2F |时，点的轨迹 。

预习二：椭圆的标准方程（仔细阅读教材P40，回答下列问题）结论：2x ，2y 分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。

【探究案】探究一、椭圆定义的应用 1.设P 是椭圆1162522=+yx 上的任意一点，若1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则21PF PF +等于（ ）A.10B.8C.5D.4 （解法指导：由椭圆的标准方程找到a ，根据|1PF |+|2PF |=a 2。

§2.1．1椭圆及其标准方程导学案学习目标：1.了解椭圆的实际背景，通过作图探究抽象出椭圆的定义，了解椭圆标准方程的推导及化简过程． 2．掌握椭圆的定义及其标准方程．学习重点：椭圆的定义和标准方程的理解与应用．【课前知识准备】1.平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹是 .2.圆心为)0,0(，半径为4的圆的标准方程是 .做一做：将细绳的两端拉开一段距离，分别固定在板上的21,F F 两处，用铅笔把细绳拉紧，使铅笔（动点M ）在画纸上慢慢移动形成轨迹.想一想：你作出的点的轨迹是什么图形？①在作图过程中，哪些点的位置不变，哪些距离改变，哪些量不变？②改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？③绳长能小于两图钉之间的距离吗？新知1：椭圆的定义平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫做 ，定点21,F F 叫做 ，两焦点间的距离||21F F 叫做符号表示：问题1：定义中需要注意什么?跟踪练习1：用定义判断下列动点:M 的轨迹是否为椭圆。

(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹。

(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹。

(3)到F1(-2,0)、F2(0,2)的距离之和为3的点的轨迹。

问题2：如何求椭圆的方程？（提示：类比求圆的轨迹方程的方法）新知2：椭圆的标准方程为( )【说明】①焦点在 轴上②焦点坐标为1F ( , ), 2F ( , ); ③c b a ,,的关系为: .跟踪练习2：根据下列椭圆方程，说出方程中a 、b 、c 的值.(1)192522=+y x ; (2) 114416922=+y x ;问题3：回顾椭圆方程的探求过程，若把两焦点1F 、2F 放在y 轴上恰当的位置，椭圆的方程又是什么呢？( )【说明】①焦点在 轴上②焦点坐标为1F ( , ), 2F ( , ); ③c b a ,,的关系为: .问题4：在图形中，a,b,c 分别代表哪段的长度？根据椭圆的标准方程,如何判断焦点的位置?跟踪练习3：判定下列椭圆的焦点在哪个轴上，并写出焦点坐标。

２．２．１椭圆及其标准方程导学案知识点：1.椭圆的定义 2.椭圆的标准方程 一、椭圆的定义问题一：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖。

动手操作并观察，笔尖画出的轨迹是什么图形?圆的定义：平面内____________________________的点的轨迹叫做圆。

问题二：取一条定长的细绳，把它的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖。

动手操作并观察，笔尖画出的轨迹是什么图形?椭圆定义:平面内__________________________的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F 1、F 2叫做椭圆的_____，两焦点的距离叫做椭圆的_____。

其中令与定点F 1、F 2距离的和等于常数2a,焦距 ,且2a>2c.问题三：将细绳的两端由问题二中的位置继续拉开一段距离，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖。

动手操作并观察:随着两定点间的距离变大，轨迹怎么变？________________________________ 当绳子拉直时，轨迹是什么？________________________________________________结论：绳长记为2a ，两定点间的距离记为2c . （1）当c=0时，轨迹是________； （2）当2a >2c 时，轨迹是_______； （3）当2a =2c 时，轨迹是 ________.例1．已知定点12,F F ，其中()()124,0,4,0F F -，动点p 满足128PF PF +=，则动点p 的轨迹是（ ）A 椭圆B 圆C 直线D 线段变式. 已知定点12,F F ，其中()()124,0,4,0F F -，动点p 满足1210PF PF +=，则动点p 的轨迹是（ ）A 椭圆B 圆C 直线D 线段二、椭圆的标准方程122F F c =⒈建立平面直角坐标系思考：类比利用圆的对称性建立圆的标准方程的过程，观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使的椭圆的标准方程简单？⒉椭圆的标准方程的推导① 当椭圆的焦点在x 轴上时，以经过椭圆的两焦点12,F F 的直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xoy 。

2.椭圆及其标准方程〔第一课时〕导学案【学习目标】1. 掌握椭圆的定义和标准方程；2. 会求简单的椭圆方程；3.经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力。

4.稳固用坐标化的方法求动点轨迹方程。

【重点难点】重点：椭圆定义的理解和标准方程的运用难点：标准方程的建立与推导【课前探究】阅读并预习教材，找出疑惑之处，完成以下问题1、自制工具，使用拉线法在纸板上演示椭圆定义做出椭圆思考:改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？绳长能小于两图钉之间的距离吗？2、圆的定义：椭圆的定义：3、类比圆的方程的推导过程，尝试自己推导椭圆的标准方程【课中探究】研讨互动，问题生成1、椭圆定义：平面内与两个定点F1，F2的距离和等于常数2a 〔大于12F F 〕的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距2c。

2、椭圆的标准方程：思考1：根据椭圆的定义，找出椭圆中的等量关系，并用集合表示？思考2：建系设点，推导椭圆的标准方程？以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1,F2的中点为原点建立直角坐标系设M〔x , y〕,则F1(-c,0),F2(c,0)，设122MF MF a+=思考3：如果椭圆的焦点在y轴上呢？请大家小组讨论，猜测椭圆的方程有何改变？椭圆的标准方程：22221(0)x y a b a b +=>>22221(0)y x a b ab+=>>课中反应练习：1、请判断以下哪些方程表示椭圆，如果是，则判断焦点在哪个轴上？指出22,a b 。

〔1〕22110036x y += 〔2〕22136100x y += 〔3〕2213636x y += 〔4〕22110036x y -=请同学们总结分析椭圆标准方程的结构特点：，焦点在坐标轴上，则椭圆的标准方程为 。

高中数学《椭圆及其标准方程》教案作为一名专为他人授业解惑的人民教师，就难以避免地要准备教案，教案是备课向课堂教学转化的关节点。

教案要怎么写呢？下面是小编精心整理的高中数学《椭圆及其标准方程》教案，欢迎阅读与收藏。

高中数学《椭圆及其标准方程》教案篇1一、教材分析1、教材的地位及作用圆锥曲线是高考重点考查内容。

“椭圆及其标准方程”是《圆锥曲线与方程》第一节内容,是继学习圆以后运用“曲线和方程”理论解决具体的二次曲线的又一实例。

从知识上说，它是运用坐标法研究曲线的几何性质的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，它为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式；所以，无论从教材内容，还是从教学方法上都起着承上启下的作用，它是学好本章内容的关键。

因此搞好这一节的教学，具有非常重要的意义。

2、教学目标根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标：（1）、知识目标：掌握椭圆的定义及其标准方程，通过对椭圆标准方程的探求，熟悉求曲线方程的一般方法。

（2）、能力目标：让学生通过自我探究、合作学习等，提高学生实际动手、合作学习以及运用知识解决实际问题的能力。

（3）、情感目标：在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会数与形的统一，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索，勇于钻研的精神。

3、教学重点、难点教学重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程。

教学难点：椭圆标准方程的建立和推导。

在学习本课前，学生已学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的概念有了一些了解与运用的经验，用坐标法研究几何问题也有了初步的认识。

但由于学生学习解析几何时间还不长、学习程度也较浅，对坐标法解决几何问题掌握还不够。

另外，学生对含有两个根式之和（差）等式化简的运算生疏，去根式的策略选择不当等是导致“标准方程的推导”成为学习难点的直接原因。

据以上对教材及学情的分析，确定椭圆的定义及其标准方程为本课的教学重点；椭圆标准方程的推导为本课的难点。

§2.2.1椭圆及其标准方程（第一课时）【探究案】【知识要点】➢ 从具体情境中抽象出椭圆的模型 ➢ 掌握椭圆的定义 ➢ 掌握椭圆的标准方程 【学习目标】✓ 了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 ✓ 经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程 ✓ 掌握椭圆的定义，标准方程的推导及标准方程✓ 通过对卫星发射的再现,培养学生爱国主义情操,民族自豪感,激发求知欲探究一：认识椭圆1.动手做做看：(两人一组，分组试验)取一要不可伸长的细绳，如右图所示，把它的两端固定在画板上，用铅笔尖把细绳拉紧，使笔尖在画板上慢慢移动，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个什么图形？2.思考完成下列问题：(1)作图的过程中哪些量没有变？ 的位置不变， 的长度不变。

无论笔尖移动到任何位置，笔尖到两定点到距离之和（2）笔尖所对应的动点M 到两个定点21,F F 的距离有什么长度之间的关系？= 绳长（用a 2表示）探究二：椭圆的定义1.平面内与两个定点1F ，2F 的 的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的 ， 叫做椭圆的焦距（用2c 表示）。

2.对椭圆定义的理解①将“大于|1F 2F |”改为“等于|1F 2F |”的常数，其他条件不变，点的轨迹是 ②将“大于|1F 2F |”改为“小于|1F 2F |”的常数，其他条件不变，点的轨迹存在吗？探究三：推导焦点在x 轴上的椭圆的标准方程思考：用坐标法求动点轨迹方程的一般步骤是什么？（1） （2） （3） （4） （5） 根据定义推导椭圆标准方程：取过焦点21,F F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴设),(y x M 为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是c 2（0>c ）.则)0,(),0,(21c F c F -，又设M 与21,F F 距离之和等于a 2(c a 22>) 由定义c a 22>,022>-∴c a两边同除以)(222c a a -得 122222=-+c a y a x ……① 观察右图，你能从中找出表示22,,c a c a -的线段吗？= =a ； = =c ； =22c a -令=-22c a 代入①，得 0(12222>>=+b a by a x 由曲线与方程的关系可知，方程②为焦点在x 它的焦点在x 轴上，两个焦点坐标分别是 ， 其中c b a ,,满足的关系式为 。

全国名校学案，高二数学，拔高训练,优质学案,专题汇编（附详解）1高二数学选修 2-1 §2.2.1《椭圆及其标准方程》导学案一、学习任务：1．理解椭圆的定义，掌握求椭圆的方程，和一些几何性质。

培养解析法的思想。

2．椭圆的定义和标准方程。

二、探究新知：（学习情景，自主学习，合作探究，（问题1,2,3）当堂检查，巩固训练，拓展延伸，对点训练，感受高考等） 自主学习：（一）、学习情景: 已知两定点F 1F 2距离为6,求动点M 到两定点距离的和为10的轨迹方程.（二）、 问题导学:问题1：根据课本上椭圆的定义，制作教具，画椭圆？问题2：写出椭圆上的点满足的关系式________________________________________问题3：这两个定点叫做椭圆的_______。

两个定点的距离用______表示。

常数用______表示 问题4：椭圆的定义为什么要满足2a >2c 呢？(1)当2a >∣F 1F 2∣时，轨迹是_____ (2)当2a =∣F 1F 2∣时，轨迹是_____ (3)当2a <∣F 1F 2∣时轨迹是. _____对点训练: 动点P 到两定点F1（-4，0），F2（4，0）的距离和是8,则动点P 的轨迹为（ ） （A ）椭圆 （B ）线段F 1F 2 （C ）直线F 1F 2 （D ）不能确定。

问题5：建立坐标系后，利用问题2的关系式，写出推导椭圆方程的过程问题6：椭圆的标准方程是：___________________________问题7：上面的a,b,c 三个量满足的关系式为：___________问题8：如何判断焦点在何轴? (三)、当堂检查根据下列方程，分别求出a 、b 、c(1)椭圆标准方程为161022=+y x ，则a = ,b = , =c ；(2)椭圆标准方程为1522=+y x ，则a = ,b = , =c ； (3)椭圆标准方程为8222=+y x ，则a = ,b = , =c . 书本课后练习1.如果椭圆13610022=+y x 上一点P 到焦点F 1的距离等于6，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是_____. 2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：(1) 1,4==b a ，焦点在x 轴上；(2)15,4==c a ，焦点在x 轴上.（3）a +b =10，c =25 (四)、合作、探究、展示：例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22⎛⎫-⎪⎝⎭，求它的标准方程．变式题：1.已知椭圆的焦点在y 轴上，且椭圆经过点P(-2,2)和Q(0,-3)，求此椭圆的标准方程. 变式题：2.已知椭圆经过两个点P(-2,2)和Q(0,-3)，求此椭圆的标准方程.规律方法总结例2、 如图，在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，求线段PD的中点M 的轨迹方程例3、如图，设A ，B 的坐标分别为()10,0-，()10,0．直线AM，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为49-，求点M 的轨迹方程．三、 本节小结和感悟思考：1若方程1162522=++-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是？2 方程 √x 2 + (y+3)2 + √x 2 + (y-3)2 = 10表示曲线为 。

《椭圆及其标准方程》教案（通用4篇）《椭圆及其标准方程》篇1教学目标:(一)知识目标:掌握椭圆的定义及其标准方程,能正确推导椭圆的标准方程.(二)能力目标:培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力;培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力.(三)情感目标:激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索,敢于创新的精神.教学重点:椭圆的定义和椭圆的标准方程.教学难点:椭圆标准方程的推导.教学方法:探究式教学法,即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果,引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律,使学生在获得知识的同时,能够掌握方法、提升能力.教具准备:多媒体和自制教具:绘图板、图钉、细绳.教学过程:(一)设置情景,引出课题问题:XX年10月12日上午9时,“神州六号”载人飞船顺利升空,实现多人多天飞行,标志着我国航天事业又上了一个新台阶,请问:“神州六号”飞船的运行轨道是什么?多媒体展示“神州六号”运行轨道图片.(二)启发诱导,推陈出新复习旧知识:圆的定义是什么?圆的标准方程是什么形式?提出新问题:椭圆是怎么画出来的?椭圆的定义是什么?它的标准方程又是什么形式?引出课题:椭圆及其标准方程(三)小组合作,形成概念动画演示椭圆形成过程.提问:点m运动时,f1、f2移动了吗?点m按照什么条件运动形成的轨迹是椭圆?下面请同学们在绘图板上作图,思考绘图板上提出的问题:1.在作图时,视笔尖为动点,两个图钉为定点,动点到两定点距离之和符合什么条件?其轨迹如何?2.改变两图钉之间的距离,使其与绳长相等,画出的图形还是椭圆吗?3.当绳长小于两图钉之间的距离时,还能画出图形吗?学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程,得出这样三个结论:椭圆线段不存在并归纳出椭圆的定义:平面内与两个定点、的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.(四)椭圆标准方程的推导:1.回顾:求曲线方程的一般步骤:建系、设点、列式、化简.2.提问:如何建系,使求出的方程最简?由各小组讨论,请小组代表汇报研讨结果.各组分别选定一种方案:(以下过程按照第一种方案)①建系:以所在直线为x轴,以线段的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系。