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专题四 二次函数综合题题型1 二次函数的实际应用二次函数的实际应用问题,在陕西中考2022,2023,2024年连续三年进行考查,其考查本质为二次函数表达式的应用,其主要为顶点式的考查,在表达式的基础上进行实践应用的考查,知x求y或知y求x,利用二次函数性质求最值,感受数学在实际问题中的应用.类型1 抛物线运动轨迹问题(2024·西安市莲湖区模拟)如图,在一场校园羽毛球比赛中,小华在点P选择吊球进行击球,当羽毛球飞行的水平距离是1 m时,达到最大高度3.2 m,建立如图所示的平面直角坐标系.羽毛球在空中的运行轨迹可以近似地看成抛物线的一部分,队友小乐则在点P选择扣球进行击球,羽毛球的飞行高度y1(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似地满足一次函数关系y1=-0.4x+2.8.(1)根据如图所示的平面直角坐标系,求吊球时羽毛球满足的二次函数表达式.(2)在(1)的条件下,已知球网AB与y轴的水平距离OA=3 m,CA=2 m,且点A,C都在x轴上,实践发现击球和吊球这两种方式都能使羽毛球过网.要使球的落地点到点C的距离更近,请通过计算判断应该选择哪种击球方式?解题指南 (1)抓住最大高度这一特征,设出顶点式:y=a(x-h)2+k,然后将点P的坐标代入即可.(2)分别令一次函数与二次函数的y为0,对比两种方式在x轴的交点的横坐标到点C的横坐标的距离大小即可.类型2 以建筑为背景的“过桥”问题(2024·西工大模拟)陕北窑洞,具有十分浓厚的民俗风情和乡土气息.如图,某窑洞口的下部近似为矩形OABC,上部近似为一条抛物线.已知OA=3 m,AB=2 m,m.窑洞的最高点M(抛物线的顶点)离地面OA的距离为258(1)建立如图所示的平面直角坐标系,求抛物线的表达式.(2)若在窑洞口的上部要安装一个正方形窗户DEFG,使得点D,E在矩形OABC的边BC上,点F,G在抛物线上,那么这个正方形窗户DEFG的边长为多少米?解题指南 (1)借助点M为顶点,设出顶点式,然后将点B坐标代入顶点式即可.(2)设出小正方形DEFG的边长,然后用所设边长表示出点G的横坐标、纵坐标,最后代入(1)中抛物线的表达式解方程即可.(2024·西安新城区模拟)某地想将新建公园的正门设计为一个抛物线型拱门,设计部门给出了如下方案:将拱门图形放入平面直角坐标系中,如图,抛物线型拱门的跨度ON=24 m,拱高PE=8 m.其中,点N在x轴上,PE⊥ON,OE=EN.(1)求该抛物线的函数表达式.(2)现要在拱门中设置矩形框架,其周长越小越好(框架粗细忽略不计).设计部门给出了两个设计方案:方案一:矩形框架ABCD的周长记为C1,点A、D在抛物线上,边BC在ON上,其中AB=6 m.方案二:矩形框架A'B'C'D'的周长记为C2,点A',D'在抛物线上,边B'C'在ON上,其中A'B'=4 m.求这两个方案中,矩形框架的周长C1,C2,并比较C1,C2的大小.类型3 以“悬挂线”为背景解决高度问题如图,在一个斜坡上架设两个塔柱AB,CD(可看作两条竖直的线段),塔柱间挂起的电缆线下垂可以近似地看成抛物线的形状.两根塔柱的高度满足AB=CD=27 m,塔柱AB与CD之间的水平距离为60 m,且两个塔柱底端点D与点B的高度差为12 m.以点A为坐标原点,1 m为单位长度构建平面直角坐标系. (1)求点B,C,D的坐标.x2一样,且电(2)经过测量,AC段所挂电缆线对应的抛物线的形状与抛物线y=1100缆线距离斜坡面竖直高度至少为15.5 m时,才符合设计安全要求.请结合所学知识判断上述电缆线的架设是否符合安全要求?并说明理由.(2024·陕师大附中模拟)在元旦来临之际,学校安排各班在教室进行联欢.八(2)班同学准备装点一下教室.他们在屋顶对角A,B两点之间拉了一根彩带,彩带自然下垂后呈抛物线形状.若以两面墙交线AO为y轴,以点A正下方的墙角点O为原点建立平面直角坐标系,此时彩带呈现出的抛物线表达式为y=ax2-0.6x+3.5.已知屋顶对角线AB长12 m.(1)a= ,该抛物线的顶点坐标为.(2)小军想从屋顶正中心C(C为AB的中点)系一根绳子CD.将正下方彩带最低点向上提起,这样两侧的彩带就形成了两个对称的新抛物线形状(如图所示).要使两个新抛物线彩带最低点之间的水平距离为5 m,且比之前的最低点提高0.3 m.求这根绳子的下端D到地面的距离.题型2 图形面积探究类型1 面积、线段最值探究二次函数中面积问题,基本上都可以转化为线段相关问题,线段的三种表示方式:①水平型,②垂直型,③斜型.以边为分类标准,可采取不同方法进行面积的求解,现对不同类型线段的表示作以说明.(1)线段AB∥y轴时,点A,B横坐标相等,则AB=|y1-y2|=|y2-y1|=y1-y2.(2)线段BC∥x轴时,点B,C纵坐标相等,则BC=|x2-x1|=|x1-x2|=x2-x1.(3)线段AC与x轴,y轴不平行时,在Rt△ABC中,AC=AB2+BC2=(x1-x2)2+(y1-y2)2.第一步,过动点向x轴作垂线,与定边产生交点第二步,设动点坐标,表示交点坐标第三步,表示纵向线段长度|y上-y下|第四步,利用水平宽铅垂高表示三角形面积:S=12(y 上-y 下)(x 右-x 左)【原创好题】“水平宽”与“铅垂高”的运用:已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A(x A ,y A ),B(x B ,y B ),C(x C ,y C ),用含有A,B,C 坐标的方式表示出△ABC 的面积.解题指南 (1)在平面直角坐标系中作△ABC,要求点A,B 在点C 的左、右两侧,经过点C 作x 轴的垂线交AB 于点D,则△ABC 被分成两部分,即S △ABC =S △ACD +S △BCD .(2)过点A 作△ADC 的高h 1,过点B 作△DBC 的高h 2,所以△ACD 与△BCD 的面积表示为S △ADC =12CD·h 1,S △BCD =12CD·h 2.(3)所以S △ABC =S △ADC +S △BCD =12CD·h 1+12CD·h 2=12CD·(h 1+h 2).(4)其中h 1与h 2的和可以看作点A 与点B 的水平间的距离,因此称之为“水平宽”,h 1+h 2=|x B -x A |,CD 是点C 与点D 的竖直间的距离,称之为“铅垂高”,即CD=|y D -y C |,故S △ABC =S △ACD +S △BCD =12|y D -y C |·|x B -x A |.1.如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线y=x+4与坐标轴分别交于A,B 两点,抛物线y=-x 2+bx+c 过A,B 两点,D 为线段AB 上一动点,过点D 作CD ⊥x 轴于点C,交抛物线于点E.(1)求抛物线的表达式.(2)求△ABE 面积的最大值.2.如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接BC.(1)求A,B,C三点的坐标.(2)若P为线段BC上的一点(不与点B,C重合),PM∥y轴,且PM交抛物线于点M,交x轴于点N.当线段PM的长度最大时,求点M的坐标.类型2 面积关系探究(2018.T24)x2+bx与x轴交于O,A 【改编】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=-43两点,B(1,4)在抛物线上.若P是抛物线上一点,且在直线AB的上方,且满足△OAB 的面积是△PAB面积的2倍,求点P的坐标.解题指南 (1)第一步,将点B的坐标代入抛物线的表达式,求出b的值,根据A,B两点的坐标,求出直线AB的表达式;(2)第二步,借助三角形的面积公式,求出△OAB的面积,根据△OAB与△PAB的面积关系求出△PAB的面积;(3)第三步,设点P的坐标为t,-43t2+163t,过点P作x轴的垂线,与AB交于点N,并结合直线AB的表达式,表示出点N的坐标;(4)第四步,借助“水平宽,铅垂高”,求出PN的长度,用含有t的式子表示出PN的长度,构造方程求解即可.1.如图,抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为x+3交于C,D两点,连接BD,AD.(3,0),抛物线与直线y=-32(1)求m的值.(2)求A,D两点的坐标.(3)若抛物线上有一点P,满足S△ABP=4S△ABD,求点P的坐标.2.如图,在平面直角坐标系中,点A(0,-1),抛物线y=-x2+bx+c经过点B(4,5)和C(5,0).(1)求抛物线的表达式.(2)连接AB,BC,求∠ABC的正切值.(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点D,使得S△ABD=S△ABC?若存在,直接写出点D 的坐标;若不存在,请说明理由.3.已知抛物线y=-x2+bx+c过点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式.(2)P为抛物线对称轴上一动点,当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时,求点P 的坐标.(3)在(2)的条件下,是否存在M为抛物线第一象限上的点,使得S△BCM=S△BCP?若存在,求出点M的横坐标;若不存在,请说明理由.解题指南 (1)由交点式可直接得出抛物线的解析式.(2)设P(1,m),根据列出方程,进而求得点P的坐标.(3)作PQ∥BC交y轴于点Q,作MN∥BC交y轴于点N,先求出PQ的解析式,进而求得MN的解析式,进一步求得结果. 借助“同底等高”找等面积的方法在平面直角坐标系中有△ABC,分别在BC所在直线的两侧找出一点P和Q,使得S△PBC=S△QBC=S△ABC.操作方式:(1)根据要求可知△PBC和△QBC均与△ABC具有共同的底边BC,要使它们的面积相等,只需要它们的高相等即可,因此可以设△PBC与△QBC的高均为h;(2)确定高以后,过点A作BC的平行线,则在所作平行线上存在一点P满足S△PBC=S△ABC;(3)如图,将BC所在直线向下平移AO'个单位长度,过A'作BC的平行线,则该直线上存在一点Q满足S△QBC=S△ABC;(4)运用“同底等高”法时,务必考虑不同位置的情况;(5)进行面积计算时,可以直接利用三角形面积公式求解.题型3 特殊三角形问题探究类型1 等腰三角形问题探究等腰三角形存在问题,可以分为两个方向来解决,几何法和代数法,其中几何法的优势在于比较直观地得到结果,对几何图形要求较高;代数法以解析几何为背景可更快地找到等量关系,方法较为单一,等腰三角形问题做完之后一定要验证是否出现三点共线的情况.方法一 几何法(1)两圆一线找出点;(2)利用勾股、相似、三角函数等求线段长,由线段长求得点坐标方法二 代数法(1)表示出三个点坐标A,B,C;(2)由点坐标表示出三条线段AB,AC,BC;(3)分类讨论①AB=AC;②AB=BC;③AC=BC;(4)列出方程求解(2024·铁一中模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线L的顶点E的坐标为(-2,8),且过点B(0,6),与x轴交于M,N两点.(1)求该抛物线L的表达式.(2)设抛物线L关于y轴对称后的抛物线为L',其顶点记为点D,连接MD,在抛物线L'对称轴上是否存在点Q,使得以点M,D,Q为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.(2024·西咸新区模拟)如图,抛物线L:y=ax2+bx-3(a、b为常数,且a≠0)与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.将抛物线L向右平移1个单位长度得到抛物线L'.(1)求抛物线L的函数表达式.(2)连接AC,探究抛物线L'的对称轴直线l上是否存在点P,使得以点A,C,P为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.类型2 直角三角形问题探究直角三角形存在问题,菱形中对角线垂直,矩形中的内角为直角,有下列两个方向可以帮助解决问题,不同的方法适用不同方向的题目,注意区分其方法.一、勾股定理若AC2+BC2=AB2,则△ABC为直角三角形二、构造“K”字型相似过直角顶点作坐标轴的平行线,过其他两点向平行线作垂直,出现“一线三等角”模型,利用“一线三等角”的相似模型,构建方程解决问题已知抛物线L:y=ax2-2ax-8a(a≠0)与x轴交于点A,点B,且点A在点B的左侧,与y轴交于点C.(1)求出点A与点B的坐标.(2)当△ABC是以AB为斜边的直角三角形时,求抛物线L的表达式.如图,在平面直角坐标系中,抛物线C1:y=ax2+bx+c(a≠0)交x轴于点A(-5,0),B(-1,0),交y轴于点C(0,5).(1)求抛物线C1的表达式和顶点D的坐标.(2)将抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2,E为抛物线C2上一点,若△DOE是以DO为直角边的直角三角形,求点E的坐标. 直角三角形中的找点方法和计算方法找点方法:示例:如图,在平面内有A,B两点,试着找出一点C,使得A,B,C三点构成的三角形为直角三角形.分两种情况讨论:当AB为直角边时,{过点A作AB的垂线l1,过点B作AB的垂线l2;当AB为斜边时,以AB为直径作圆.如图,在直线l1,l2上的点C满足△ABC为直角三角形,但要注意一点:点C不与A,B两点重合.我们将这种找点C的方法称为“两线一圆”.计算方法:(1)利用勾股定理构造方程求解;(2)以“K”字型搭建相似三角形,列比例式构造方程求解.类型3 等腰直角三角形问题探究等腰直角三角形相关问题,以等腰直角三角形和正方形问题,主要解题方法相对统一,注意如何构图能直观得到“K”字全等是解决问题的关键之处.(1)过直角顶点作坐标轴平行线,构造“K”字全等(2)方法一:设某小边长度.方法二:设点坐标,表示直角三角形中的直角边(3)利用某纵向或横向线段构建等式(x+1)(x-5)与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.如果P是如图,抛物线y=-25抛物线上一点,M是该抛物线对称轴上的点,当△OMP是以OM为斜边的等腰直角三角形时,求点P的坐标.解题指南 第一步,过直角顶点作平行y轴的垂线,分别过另两个顶点作垂直,构造“K”字全等;第二步,利用坐标分别表示两直角三角形的直角边;第三步,利用某边相等构造方程.(2024·高新一中模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线L:y=x2+bx+c与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,3).(1)求出抛物线L的表达式和顶点的坐标.(2)P是抛物线L的对称轴右侧图象上的一点,过点P作x的垂线交x轴于点Q,作抛物线L关于直线PQ对称抛物线L',则C关于直线PQ的对称点为C',若△PCC'为等腰直角三角形,求出抛物线L'的表达式.题型4 三角形关系问题类型1 与相似三角形结合问题三角形的关系问题是陕西考试中非常常见的一个类型,中考中多次连续出现,相似问题的处理方法也相对较为固定,以固定三角形为参照,找到定角,以边为分类标准,进行分类讨论.主要有两个方法.方法一:利用一角相等,邻边成比例证明相似方法二:两组角相等的三角形相似分析目标三角形:第一类:找一角相等,用邻边成比例.第二类:找一角相等(多为90°问题),找另一角相等.方法总结:(1)分动、定三角形;(2)找等角;(3)表示边或者找另一角相等.(2024·曲江一中模拟)如图,抛物线y=ax 2+bx 经过坐标原点O 与点A(3,0),正比例函数y=kx 与抛物线交于点B 72,74.(1)求该抛物线的函数表达式.(2)P 是第四象限抛物线上的一个动点,过点P 作PM ⊥x 轴于点N,交OB 于点M,是否存在点P,使得△OMN 与以点N,A,P 为顶点的三角形相似?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.(2024·陕师大附中模拟)已知抛物线L 1:y=x 2+bx+c 与x 轴交于点A,B(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C(0,-3),对称轴为直线x=1.(1)求此二次函数表达式和点A,B 的坐标.(2)P 为第四象限内抛物线L 1上一动点,将抛物线L 1平移得到抛物线L 2,抛物线L 2的顶点为点P,抛物线L 2与y 轴交于点E,过点P 作y 轴的垂线交y 轴于点D.是否存在点P,使以点P,D,E 为顶点的三角形与△AOC 相似?如果存在,请写出平移过程,并说明理由.类型2 与全等三角形结合问题1.全等为特殊的相似,相似比为1,方法与相似一致.2.注意相等角的邻边分类情况.【改编】如图,抛物线y=-23x 2+103x+4的图象与x 轴交于A,B 两点,与y 轴的正半轴交于点C,过点C 的直线y=-43x+4与x 轴交于点D.若M 是抛物线上位于第一象限的一动点,过点M 作ME ⊥CD 于点E,MF ∥x 轴交直线CD 于点F,当△MEF ≌△COD 时,求出点M 的坐标.解题指南 当△MEF ≌△COD 时,(1)找准对应角、边.结合关系式可知,∠MEF=∠COD,∠MFE=∠CDO,MF=CD.(2)根据直线CD 的表达式求出线段CD 的长度.由点M 在抛物线上,可以设点M的坐标为m,-23m 2+103m+4,再由MF ∥x 轴,得点F 的纵坐标.根据全等三角形的对应边相等可以得出点F 的横坐标为m-5.(3)由点F 在直线CD 上,将点F 的坐标代入直线CD 的表达式中,求出m 的值.已知经过原点O 的抛物线y=-x 2+4x 与x 轴的另一个交点为A.(1)求点A 的坐标及抛物线的对称轴.(2)B 是OA 的中点,N 是y 轴正半轴上一点,在第一象限内的抛物线上是否存在点M,使得△OMN 与△OBM 全等,且点B 与点N 为对应点?若存在,请求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由. 与全等三角形结合问题的求解步骤(1)全等三角形的问题与相似三角形的问题步骤类似,均是先列出三角形的对应关系式,再根据关系式找出对应边相等;(2)借助对应边相等,将边与边的长度关系用点的坐标进行表示,然后运用“两点间距离公式”构造方程求解.题型5 特殊四边形问题探究类型1 平行四边形问题探究平行四边形问题,一般分为三定一动,两定两动问题,选取固定的两个点为分类标准,①以某边为边时;②以某边为对角线时.第一步,寻找分类标准;第二步,平移点,找关系(注意:从A到B和从B到A);第三步,代入关系求值(2024·西工大附中模拟)如图,抛物线y=ax2-2x+c与直线y=kx+b都经过A(0,3),B(-3,0)两点,该抛物线的顶点为C.(1)求此抛物线和直线AB的表达式.(2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E,在射线EB上是否存在一点M,过点M作x轴的垂线交抛物线于点N.使点M,N,C,E是平行四边形的四个顶点?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.【改编】已知点A(-1,0)在抛物线L:y=x2-x-2上,抛物线L'与抛物线L关于原点对称,点A的对应点为点A',是否在抛物线L上存在一点P,在抛物线L'上存在一点Q,使得以AA'为边,且以A,A',P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由. 平行四边形中坐标的计算如图1,在平行四边形ABDC 中,关于坐标的计算——平移法则:x B -x A =x D -x C ,y B -y A =y D -y C ,x A -x C =x B -x D ,y A -y C =y B -y D .如图2,在平行四边形ADBC 中,关于坐标的计算——中点坐标公式:x M =x A +x B 2=x C +x D 2,y M =y A +y B 2=y C +y D 2.类型2 菱形问题探究菱形存在问题,主要分两类. 第一类:以平行四边形为背景,在平行四边形的基础上增加对角线垂直或邻边相等即可得菱形.(1)选一定点,再将这一定点与另外点的连线作为对角线,分类讨论.(2)利用中点坐标公式列方程:x A +x C 2=x B +x D 2;y A +y C 2=y B +y D 2.(3)对角线垂直:可参照直角存在问题.邻边相等:可参照等腰存在问题.(4)平移型:先平行四边形,再菱形.翻折型:先等腰,再菱形.第二类:若出现在平面内任意一点存在性问题,则去掉此点,转化为等腰存在问题,可以利用等腰存在问题策略解决问题如图,抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A,B 两点,与y 轴交于点C,OA=2,OC=6,连接AC 和BC.(1)求抛物线的函数表达式.(2)若M是y轴上的动点,在坐标平面内是否存在点N,使以A,C,M,N为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.类型3 矩形问题探究矩形存在性问题,主要分两类. 第一类:以平行四边形为背景,在平行四边形的基础上增加对角线相等或一内角为90°即可得到矩形.(1)选一定点,再将这一定点与另外点的连线作为对角线,分类讨论.(2)利用中点坐标公式列方程:x A+x C=x B+x D;y A+y C=y B+y D.(3)方向一 对角线相等:(x A-x C)2+(y A-y C)2=(x B-x D)2+(y B-y D)2.方向二 有一角为90°.第二类:若出现在平面内任意一点存在性问题,则去掉此点,转化为直角存在问题,可以利用直角存在问题策略解决问题已知抛物线L:y=ax2+bx(a≠0)经过点B(6,0),C(3,9).(1)求抛物线L的表达式.(2)若抛物线L'与抛物线L关于x轴对称,P,Q(点P,Q不与点O,B重合)分别是抛物线L,L'上的动点,连接PO,PB,QO,QB,问四边形OPBQ能否为矩形?若能,求出满足条件的点P和点Q的坐标;若不能,请说明理由.已知抛物线L:y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)求A,B,C三点的坐标.(2)抛物线L平移后得到抛物线L',点A,C在抛物线L'上的对应点分别为点A',C',若以A,C,A',C'为顶点的四边形是面积为20的矩形,求平移后的抛物线L'的表达式.类型4 正方形问题探究(在菱形的基础上增加对角线相等)(1)选一定点,再将这一定点与另外点的连线作为对角线,分类讨论.(2)利用中点坐标公式列方程:x A+x C=x B+x D;y A+y C=y B+y D.(3)平行四边形题基础上加等腰直角三角形问题.,正方形ABCD的边AB 如图,一条抛物线y=ax2+bx(a≠0)的顶点坐标为2,83落在x轴的正半轴上,点C,D在这条抛物线上.(1)求这条抛物线的表达式.(2)求正方形ABCD的边长.解题指南 (1)已知顶点,可直接设抛物线的顶点式:y=a(x-h)2+k,将点的坐标代入计算即可.(2)①在正方形中,四条边均相等;②设出正方形的边长,并根据所设边长表示出正方形ABCD的顶点坐标;③注意观察正方形ABCD的顶点C,D在抛物线上;④代入相应点的坐标求出所设的边长即可.x2+bx+c的图象L经过原点,且与x轴的另一个交点为(8,0).已知二次函数y=-13(1)求该二次函数的表达式.(2)作x轴的平行线,交L于A,B两点(点A在点B的左侧),过A,B两点分别作x 轴的垂线,垂足分别为D,C.当以A,B,C,D为顶点的四边形是正方形时,求点A的坐标. 借助抛物线判定正方形的思路步骤1.明确在抛物线上的正方形的两个顶点;2.借助抛物线表达式y=ax2+bx+c(a≠0),设出其中一个顶点坐标为(x,ax2+bx+c),然后利用抛物线对称轴表示出另一个顶点坐标;3.根据正方形四条边相等构造一元二次方程求解即可.题型6 角度问题探究角相关问题是二次函数中相对较为综合性的问题,在近几年中考中也常出现在各个省市的中考题中,问题最终都会落到以下问题上来.等角问题,可直接用等角的性质来处理问题.解决策略:(1)寻找相似,出现等角;(2)利用三角函数找等角;(3)利用轴对称来找等角.【改编】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=-x2+4x-3与x轴分别交于A,B两点,且点A在点B的左侧.在抛物线上是否存在一点D,使得∠DOA=45°?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.解题指南 以平面直角坐标系为背景来探究角度问题,常用的思路为借助三角函数构造方程求解.本题具体步骤如下:第一步,根据∠DOA=45°,联想tan∠DOA=1;第二步,根据点D在抛物线上,可以过点D作x轴的垂线,记垂足为H,在△DOH中,tan∠DOH=DH OH;第三步,由点D在抛物线上,设点D的坐标为(t,-t2+4t-3);第四步,根据DH=|y D|=|-t2+4t-3|,OH=|t|,构造方程求解即可.已知抛物线L:y=-23x2+bx+c,与y轴的交点为C(0,2),与x轴的交点分别为A(3,0),B(点A在点B右侧).(1)求抛物线的表达式.(2)将抛物线沿x轴向左平移m(m>0)个单位长度,所得的抛物线与x轴的左交点为M,与y轴的交点为N,若∠NMO=∠CAO,求m的值.参考答案题型1 二次函数的实际应用类型1 抛物线运动轨迹问题例1 解析:(1)在y 1=-0.4x+2.8中,令x=0,则y 1=2.8,∴P (0,2.8).根据题意,二次函数图象的顶点坐标为(1,3.2).设二次函数的表达式为y=a (x-1)2+3.2,把P (0,2.8)代入y=a (x-1)2+3.2,得a+3.2=2.8,解得a=-0.4,∴吊球时羽毛球满足的二次函数表达式y=-0.4(x-1)2+3.2.(2)吊球时,令y=0,则-0.4(x-1)2+3.2=0,解得x 1=1+22,x 2=1-22(舍去),扣球时,令y=0,则-0.4x+2.8=0,解得x=7.∵OA=3 m,CA=2 m,∴OC=OA+AC=5.∵7-5=2,|22+1-5|=4-22<2,∴选择吊球时,球的落地点到点C 的距离更近.类型2 以建筑为背景的“过桥”问题例2 解析:(1)由题意得点M ,B 的坐标分别为32,258,(3,2).设抛物线的表达式为y=a x-322+258,将点B 的坐标代入上式得2=a 3-322+258,解得a=-12,∴抛物线的表达式为y=-12x-322+258.(2)设正方形的边长为2m.把点G 32-m ,2+2m 代入抛物线表达式,得2+2m=-1232-m-322+258,解得m=12(负值已舍去),∴正方形窗户DEFG 的边长为1 m .变式设问 解析:(1)由题意得抛物线的顶点坐标为(12,8),N (24,0).设y=a (x-12)2+8,把N (24,0)代入表达式中,得a=-118,∴该抛物线的函数表达式为y=-118(x-12)2+8.(2)方案一:令y=6,即6=-118(x-12)2+8.解得x 1=6,x 2=18,∴BC=AD=12.又∵AB=CD=6,∴矩形ABCD 的周长C 1=2×12+2×6=36(m).方案二:令y=4,即4=-118(x-12)2+8,解得x 1=12-62,x 2=12+62,∴B'C'=A'D'=12+62-(12-62)=122.又∵A'B'=C'D'=4,∴矩形A'B'C'D'的周长C 2=2×122+2×4=(242+8)m .∵C 1=36=28+8=4×7+8,C 2=242+8=4×62+8,∴36<242+8,即C 1<C 2.类型3 以“悬挂线”为背景解决高度问题例3 解析:(1)如图,过点C 作CE ⊥y 轴,垂足为E ,过点D 作DF ⊥y 轴,垂足为F.记CD 与x 轴相交于点G.根据题意,得点B 的坐标是(0,-27).∵FB=12,则GD=OF=OB-FB=27-12=15,OG=FD=EC=60,CG=CD-GD=27-15=12,∴点C 的坐标是(60,12),点D 的坐标是(60,-15).(2)符合安全要求.理由:设AC 段所挂电缆线对应的抛物线的函数表达式为y=1100x 2+bx ,将点C (60,12)代入表达式中,得12=1100×602+60b ,解得b=-25,∴y=1100x 2-25x.由点B (0,-27),D (60,-15)可知直线BD 的表达式为y=15x-27.记M 为抛物线上一点,过点M 作x 轴的垂线与BD 交于点N.设点M m ,1100m 2-25m ,则点N m ,15m-27,故MN=1100m 2-25m-15m-27=1100(m-30)2+18≥18>15.5,∴电缆线距离斜坡面竖直高度的最小值为18 m,高于安全需要的距离15.5 m,故符合安全要求.变式设问 解析:(1)0.05;(6,1.7).提示:由题意得抛物线的对称轴为直线x=6,则A (0,3.5),B (12,3.5),∴144a-7.2+3.5=3.5,解得a=0.05,∴抛物线的表达式为y=0.05x 2-0.6x+3.5.当x=6时,y=0.05x 2-0.6x+3.5=1.7,即该抛物线的顶点坐标为(6,1.7),(2)∵两个新抛物线彩带最低点之间的水平距离为5 m,且比之前的最低点提高0.3 m,∴左边新抛物线的顶点坐标为(3.5,2).设左边新抛物线的表达式为y=a'(x-3.5)2+2,将点A 的坐标代入上式得3.5=a'(0-3.5)2+2,解得a'=649,∴左侧抛物线的表达式为y=649(x-3.5)2+2.当x=6时,y=649(6-3.5)2+2=27198,∴这根绳子的下端D 到地面的距高为27198m .题型2 图形面积探究类型1 面积、线段最值探究例1 解析:如图,过点C 作垂直于x 轴的直线,与AB 交于点D ,分别过点A ,B 作CD 的垂线段h 1,h 2,即S △ABC =S △ACD +S △BCD .∵S △ADC =12CD ·h 1,S △BCD =12CD ·h 2,∴S △ABC =S △ACD +S △BCD =12CD ·(h 1+h 2).又∵CD=|y D -y C |,h 1+h 2=|x B -x A |,∴S △ABC =S △ACD +S △BCD =12(y D -y C)(x B -x A ).变式设问 1.解析:(1)在一次函数y=x+4中,令x=0,得y=4,令y=0,得x=-4,∴A (-4,0),B (0,4).∵点A (-4,0),B (0,4)在抛物线y=-x 2+bx+c 上,∴{-16-4b +c =0,c =4,解得{b =-3,c =4,∴抛物线的表达式为y=-x 2-3x+4.(2)设点C 的坐标为(m ,0)(-4≤m ≤0),则点E 的坐标为(m ,-m 2-3m+4),点D 的坐标为(m ,m+4),。
陕西师大附中13八年下学期期末试题—数学学校： 班级： 姓名： （时间120分钟，满分120分） 一，选择题（每小题2分，满分12分） 1.下列分式总能成立的是 （ ）A.-a b =a b -=a b -（a ≠0） Ｂ.a 0=1 C.a -1=a 1 D.a b =c a c b ••A.1.60，1.56B.1.59，1.58C.1.60，1.58D.1.60，1.603.已知：x=2b a +,y=ba ab+2则下列结论正确的是 （ ）Ax ≥y Bx ≤y Cx=y D 无法确定4.当x<0是，函数y=x1和y=-x 在同一坐标系中的图象大致是 （ ）5.某花木场有一等腰梯形ABCD 的空地，其各边中点分别是E, F .G. H 量得对角线AC=10米.用篱笆围成四边形场地EFGH,需要篱笆总长度是（ ）A.10米B. 20米C.30米D.40米AB C Dx x x6.我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”，它是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形短直角边为a ，长直角边为b ，那么(a+b)2的值为 （ ）A.13B.19C.25D.169 二，填空题：（每小题3分，满分24分）7.一组数据41, 48, 50, 53, 49, 50, 53, 67, 51, 53的极差是______. 8.用科学记数法表示：0.000 000 0618=___________.9.方程13+x =x2的解是____.10.一个射击运动员连续射靶5次，所中环数分别是：8， 6， 10， 7， 9.则这个运动员射靶所中环数的方差s 2_______.11.把等腰直角三角形沿其中位线（虚线）剪开，拼成的四边形是________________________（至少填2个）11题图 12题图12.如图：在平行四边形ABCD 中，DB=DC,∠C=65°，AE ⊥BD 于点E,则∠DAE=______E F GH A B CDA BDCE度13.如图：四边形ABCD 为正方形，∆ADE 为等边三角形，AC 为正方形ABCD 的对角线，则∠EAC=______度14. 如图，△ABC 的周长为64，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，A ′、B ′、C ′分别为EF 、EG 、GF 的中点，△A ′B ′C ′的周长为_________．如果△ABC 、△EFG 、△A ′B ′C ′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n 个三角形的周长是_ _________________．三，解答题（每小题5分，满分20分） 15.化简求值：(44422+--a a a-21-a )÷a a 1+，其中a=-216.在4⨯4正方形网格中，按要求画图.EAB CD在网格（1）中画出边长是3 ，4 ，5的三角形；在网格（2）中画出面积是5的正方形；在网格（3）中画出边长是 2 ，5 ，13的三角形.（1）（2）（3）17.某校开展希望杯数学竞赛活动，随机选取部分学生的成绩统计如下： 请你补全表中的数据及直方图.18.如图，EF 是Rt ABC 的中位线，D 是BC 延长线上的一点，∠DEC=∠A 求证：四边形EDCF 是平行四边形.分数60.570.580.590.5100.5四、解答题（每小题7分，满分28分）19.a,b,c 是∆ABC 的三边，且满足a 2c 2-b 2c 2=a 4-b 4,试判定∆ABC 的形状.20.解方程：23--x x +1=x-23AE DCFB21.某老师按照如下的标准计算学生的学期总评成绩：平时作业占10%，单元测试占22.列方程解应用题：某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所用时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产多少台机器？五、解答题（每小题8分，共16分023.某项运输任务，要在规定的日期内完成，现有甲乙两个运输队，如果甲队去做，恰好如期完成；如果乙队去做，要超过规定日期3天完成.现在由甲队、乙队合作2天后，余下的运输任务由乙队单独恰能在规定日期完成.设规定的日期为x 天，请你在下面列出的四个方程后面的括号内填“正确”，不符题意的填“错误”.（1）x 2+3+x x =1 （ ） （2） x 2= 3+x x （ ）（3）x 2+3+x x +32+-x x =1（ ） （4）x 1+31+x =1 （ ）24.如图，O 为矩形ABCD 对角线的交点，过O 作EF ⊥AC 分别交AD,BC 于F,E.若AB=3cm BC=4cm ，请你解答下列问题：（1）判定四边形AECF 的形状 （2）求四边形AECF 的面积六、解答题（每小题10分，共20分25.如图，一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y=xm的图象交于A(-2，1),B(1，n)两点，与x 、y 轴分别交于点C,D.(1)求反比例函数和一次函数的解析式.（2）求∆ABC 的面积.（3）根据图象，直接写出一次函数的值小于反比例函数的值时x 的取值范围.ABECDFOWw W.26.如图（1），在等腰梯形ABCD中，AD//BC, AE⊥BC于E，DF⊥BC于F.AD=2cm BC=6cm,AE=4cm,点P, Q分别在线段AE,DF上顺次连结B, P, Q, C,线段BP, PQ, QC, CB所围成的封闭图形记为S.若点P在线段AE上运动时，点Q也随之在线段DF上运动，使图形发生改变，但面积始终为10cm2..设EP=xcm, FQ=ycm.解答下列问题：（1）直接写出当x=3cm时，y的值（2）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.(3)当去何值时，图形S为等腰梯形？图形S为三角形？（4）直接写出线段PQ在运动过程中扫过的面积.参考答案：一、A C D D B C二、7. 26 8. 6.18 10-89.x=2 10. 2 11.等腰梯形；矩形（答案不唯一）ADB E FCADB E F CADPQB E F C12.25° 13.105° 14.16；64⨯（21）n-1三.15.化简得2-a a 当a=-2时，原式=2-a a =0.5 16.17. 6；15%；1818.证明：Θ∠A=∠DEC, AE=EC, ∠AEF=∠ECD ∴∆AEF ≅∆DEC ∴DC=EF ΘEF//DC,EF=DC ∴四边形EDCF 是平行四边形19.解：a 2c 2-b 2c 2- a 4+b 4=0 （a 2-b 2）(c 2-a 2-b 2)=0 a=b 或 c 2=a 2+b 2 所以∆ABC 是等腰三角形或直角三角形.20.解：化为整式方程为：分数60.570.580.590.5100.5x-3+x-2=-3 解得x=1经检验x=1是原方程的解21.小丽期末总评成绩为79.05 小明期末总评成绩为80.5 所以，小明期末总评成绩高.22.设原计划每天生产x 台，根据题意得，x 450=50600+x解得：x=150经检验x=150是原方程的解.150+50=200答：现在平均每天生产200台机器.23（1）正确 （2）正确 （3）正确 （4）错误24（1）.解：Θ∆FOD ≅∆BEO∴FD=BE∴AF=ECΘAF//EC, AF=EC∴AECF 是平行四边形，又AC ⊥EF, ∴四边形AECF 是菱形.（2）设BE 长为x ，在Rt ∆ABE 中，由勾股定理得：32+x 2=(4-x)2解得x=0.875EC=3.125∴四边形AECF 面积为9.375cm2 25.(1)y= -x2 y=-x-1 (2)Ｓ∆AOB=1.5 (3)-2<x<0或 x>1 26.。
西安市八年级数第二学期期末综合练习测试卷一、选择题（共10小题；共40分）1. 下列各式：15(1−x)，4xπ−3，x2−y22，5x2x，其中分式共有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A. B.C. D.3. 不等式组{x+2>1,12x≤1的解集在数轴上可表示为( )A. B.C. D.4. 如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( )A. ∠1=∠2B. ∠BAD=∠BCDC. AB=CDD. AC⊥BD5. 下列因式分解中，结果正确的是( )A. x2−4=(x+2)(x−2)B. 1−(x+2)2=(x+1)(x+3)C. 2m2n−8n3=2n(m2−4n2)D. x2−x+14=x2(1−1x+14x)6. 某次知识竞赛共有20道题，每答对一道题得10分，答错或不答都扣5分，娜娜得分要超过90分，设她答对了x道题，则根据题意可列不等式为( )A. 10x−5(20−x)≥90B. 10x−5(20−x)>90C. 20×10−5x>90D. 20×10−5x≥907. 在如图所示的正方形网络中，△ABC经过平移后得到△A1B1C1．已知在AC上的点P(2.4,2)平移后的对应点为P1，点P1绕点O逆时针旋转180∘，得到对应点P2，则点P2的坐标为( )A. (1.4,−1)B. (1.5,2)C. (1.6,1)D. (2.4,1)8. 某生态示范园，计划种植一批核桃，原计划总产量达36万kg，为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万kg，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各为多少万千克?设原计划平均每亩产量为x万kg，则改良后平均每亩产量为1.5x万kg，根据题意列方程为( )A. 36x −36+91.5x=20 B. 36x−361.5x=20C. 36+91.5x −36x=20 D. 36x+36+91.5x=209. 如图，在平行四边形ABCD中，∠B=60∘，将△ABC沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，且点B,A,E在一条直线上，CE交AD于点F．则图中等边三角形共有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个10. 如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为( )A. 2B. 2√3C. √3D. 3二、填空题（共7小题；共28分）11. 计算：2xx2−y2−2yx2−y2=．12. 若n边形内角和是900∘，则边数n=．13. 如图，在 Rt △ABC 中，∠BAC =90∘，AB =8，AC =6，DE 是 AB 边的垂直平分线，垂足为 D ，交边 BC 于点 E ，连接 AE ，则 △ACE 的周长为 ．14. 如图，将 △ABC 绕着点 C 按顺时针方向旋转 20∘，B 点落在 Bʹ 的位置，A 点落在 Aʹ 的位置，若AC ⊥AʹBʹ，则 ∠BAC = ．15. 一个圆环，外圆的半径为 R ，内圆的半径为 r ．当 R =15.25 cm ，r =5.25 cm 时，圆环的面积约是 （π 取 3.14，结果精确到 1 cm 2）．16. 对于实数 x ，我们规定 [x ] 表示不大于 x 的最大整数，例如 [1.2]=1，[3]=3，[−2.5]=−3，若 [x+410]=5，则 x 的取值范围是 ．17. 已知关于 x 的方程 2x+m x−2=3 的解是正数，在 m 的取值范围为 ．三、解答题（共7小题；共84分） 18. 把下列各式因式分解：（1）(m +n )3+2m (m +n )2+m 2(m +n )； （2）(a 2+b 2)2−4a 2b 2．19. 先化简，再求值：x 2x 2−1÷(1x−1+1)，其中 x 是 √5 的整数部分．20. 解不等式组 {3(x −2)≥x −4, ⋯⋯①2x+13>x −1, ⋯⋯②并写出它所有的整数解．21. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．（1）已知点 A (3,1)，连接 OA ，作如下探究：探究一：平移线段 OA ，使点 O 落在点 B ，设点 A 落在点 C ，若点 B 的坐标为 (1,2)，请在图①中作出 BC ，点 C 的坐标是 ；探究二：将线段OA绕点O逆时针旋转90∘，设点A落在点D，则点D的坐标是，连接AD，则AD=（图②为备用图）；（2）已知四点O(0,0)，A(a,b)，C，B(c,d)，顺次连接O，A，C，B，若所得到的四边形为平行四边形，则点C的坐标是．22. 某服装店老板用4500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一批的一半，但进价每件比第一件降低了10元．（1）这两批各购进这种衬衫多少件?（2）若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于1950元，则第二批衬衫每件至少要售多少元?23. 两个全等的直角三角形重叠放在直线l上，如图①所示，AB=6cm，AC=10cm，∠ABC=90∘，将Rt△ABC在直线l上左右平移（如图②）．（1）求证：四边形ACFD是平行四边形．（2）怎样移动Rt△ABC，使得四边形ACFD的面积等于△ABC的面积的一半?（3）将Rt△ABC向左平移4cm，求四边形DHCF的面积．24. 点D是等边三角形ABC外一点，且DB=DC，∠BDC=120∘，将一个三角尺60∘的顶点放在点D上，三角尺的两边DP，DQ分别于射线AB，CA相交于E，F两点．（1）当EF∥BC时，如图①所示，求证：EF=BE+CF；（2）当三角尺绕点D旋转到如图②所示的位置时，线段EF，BE，CF之间的上述数量关系是否成立?如果成立，请说明理由；如果不成立，写出EF，BE，CF之间的数量关系，并说明理由．（3）当三角尺绕点D继续旋转到如图③所示的位置时，（1）中的结论是否发生变化?如果不变化，直接写出结论；如果变化，请直接写出EF，BE，CF之间的数量关系．答案1. A2. B3. A4. D【解析】∵ 在平行四边形 ABCD 中，∴ AB ∥CD ，∴ ∠1=∠2，故A 选项正确，不合题意；∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ ∠BAD =∠BCD ，AB =CD ，故B ，C 选项正确，不合题意；无法得出 AC ⊥BD ，故此选项错误，符合题意． 5. A6. B【解析】∵ 每答对一道题得 10 分，答错或不答都扣 5 分，∴ 答对了 x 道题的得分为 10x 分，答错或不答的题目共有 (20−x ) 道，共扣 5(20−x ) 分，从而由娜娜得分要超过 90 分可列不等式为 10x −5(20−x )>90． 7. C 【解析】根据图形中一个点确定平移方向，可计算 P 1 的坐标，绕点 O 逆时针旋转 180∘ 即关于原点对称，根据关于原点对称的点的坐标规律确定 P 2 点的坐标．8. A9. B【解析】本题分析如下：等边三角形 理由△BCE∵△ABC 沿对角线 AC 折叠,点 B,A,E 在一条直线上,∴△ABC ≌△AEC,∠E =∠B =60∘,∴△BCE 是等边三角形△EAF ∵△AD ∥BC,∴∠EAF =∠B =60∘,∴△EAF 是等边三角形△DCF∵BE ∥CD,∴∠D =∠EAF =60∘,∠E =∠DCF =60∘,∴△CDF 是等边三角形10. C【解析】∵△ABC 是等边三角形，BD 平分 ∠ABC ，∴∠DBA =∠DBC =30∘． ∵QF 垂直平分 BP ，∴BP =2BQ ，且 ∠BQF =90∘．在 Rt △BFQ 中，FQ =12BF =1，BQ =√BF 2−FQ 2=√22−12=√3．于是 BP =2√3．在 Rt △BPE 中，PE =12BP =√3．11.2x+y12. 7 13. 16【解析】在 Rt △ABC 中，∠BAC =90∘，AB =8，AC =6，利用勾股定理即可求得 BC 的长．又由 DE 是 AB 边的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得 AE =BE ，继而可得 △ACE 的周长为：BC +AC =16． 14. 70∘ 15. 644 cm 2 16. 46≤x <56 17. m >−6 且 m ≠−4【解析】去分母得 2x +m =3(x −2)，解得 x =m +6， ∵ 原方程的解是正数，∴m +6>0，∴m >−6． 又 ∵x ≠2，∴m +6≠2． ∴m ≠−4．故此题答案为 m >−6 且 m ≠−4．18. （1） (m +n )3+2m (m +n )2+m 2(m +n )=(m +n )[(m +n )2+2m (m +n )+m 2]=(m +n )(2m +n )2.（2） (a 2+b 2)2−4a 2b 2=(a 2+b 2)2−(2ab )2=(a 2+b 2+2ab )(a 2+b 2−2ab )=(a +b )2(a −b )2.19.原式=x 2x 2−1÷xx−1=x 2x+1x−1⋅x−1x =xx+1.∵x 是 √5 的整数部分， ∴x =2．当 x =2 时，原式=22+1=23．20. 由 ① 得3x −6≥x −4,即2x ≥2.解得x ≥1.由 ② 得2x +1>3x −3,即−x >−4.解得x <4.∴原不等式组的解集是 1≤x <4．∴ 原不等式组的所有的整数解是 1，2，3． 21. （1） 探究一：(4,3)；作图如图①所示．探究二：(−1,3)；2√5．点 D 的坐标是 (−1,3)，如图②，AD =√22+42=2√5．（2）(a+c,b+d)．∵四点O(0,0)，A(a,b)，C，B(c,d)，顺次连接O，A，C，B所得到的四边形为平行四边形，∴OA∥BC且OA=BC．∴可以看做是把OA平移到BC的位置．∴点C的坐标为(a+c,b+d)．22. （1）设第一批衬衫每件进价是x元，则第二批每件进价是(x−10)元，根据题意可得：4500 x ×12=2100x−10.解得x=150.经检验，x=150是原方程的解，且符合题意．4500 150=30（件），2100150−10=15（件）．答：第一批衬衫进了30件，第二批进了15件．（2）设第二批衬衫每件的售价为y元，根据题意可得：30×(200−150)+15(y−140)≥1950.解得y≥170.答：第二批衬衫每件至少要售170元．23. （1）∵四边形ACFD是由Rt△ABC平移形成的，∴AD∥CF，AC∥DF，∴四边形ACFD为平行四边形．（2）由题得BC=2−62=8(cm)，△ABC的面积=24(cm2)．要使得四边形ACFD的面积等于△ABC的面积的一半，即6×CF=24×12，解得CF=2cm，∴将Rt△ABC向左（或右）平移2cm，可使四边形ACFD的面积等于△ABC的面积的一半．（3）将Rt△ABC向左平移4cm，则BE=AD=4cm．又∵BC=8cm，∴CE=4cm=AD．∵AD∥BF，∴∠HAD=∠HCE．又∵∠DHA=∠EHC，∴△DHA≌△EHC．∴DH=HE=12DE=3cm．∴△HEC的面积为6cm2．∴四边形DHCF的面积为S△ABC−S△HEC=24−6=18(cm2)．24. （1）∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60∘．∵DB=DC，∠BDC=120∘，∴∠DBC=∠DCB=30∘．∴∠DBE=∠DBC+∠ABC=90∘，∠DCF=∠DCB+∠ACB=90∘．∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC=60∘，∠AFE=∠ACB=60∘．∴AE=AF．∴BE=AB−AE=AC−AF=CF．又∵DB=DC，∠DBE=∠DCF，∴△BDE≌△CDF．∴DE=DF，∠BDE=∠CDF=30∘．∴BE=12DE=12DF=CF．∵∠EDF=60∘，∴△DEF是等边三角形，即DE=DF=EF．∴BE+CF=12DE+12DF=EF，即EF=BE+CF．（2）结论仍然成立．理由：如图，在AB的延长线上取点Fʹ，使BFʹ=CF，连接DFʹ．由（1）得∠DBE=∠DCF=90∘，则∠DBFʹ=∠DCF=90∘．又∵BD=CD，∴△DCF≌△DBFʹ(SAS)．∴DF=DFʹ，∠BDFʹ=∠CDF．又∵∠BDC=120∘，∠EDF=60∘，∴∠EDB+∠CDF=60∘．∴∠EDB+∠BDFʹ=∠EDFʹ=60∘．又∵DE=DE，∴△EDFʹ≌△EDF(SAS)．∴EF=EFʹ=BE+BFʹ=BE+CF．（3）结论发生变化．EF=CF−BE．。
八下数学书习题答案【篇一：北师大版八年级上册数学课本课后练习题答案】lass=txt>第一章勾股定理课后练习题答案说明：因录入格式限制，“√”代表“根号”，根号下内用放在“（）”里面；1．l探索勾股定理随堂练习1．a所代表的正方形的面积是625；b所代表的正方形的面积是144。
2．我们通常所说的29英寸或74cm的电视机，是指其荧屏对角线的长度，而不是其长或宽，同时，因为荧屏被边框遮盖了一部分，所以实际测量存在误差．1．1知识技能1．(1)x=l0；(2)x=12．2．面积为60cm：，(由勾股定理可知另一条直角边长为8cm)．问题解决12cm。
21．2知识技能1．8m(已知直角三角形斜边长为10m，一条直角边为6m，求另一边长)．数学理解2．提示：三个三角形的面积和等于一个梯形的面积：联系拓广3．可以将四个全等的直角三角形拼成一个正方形．随堂练习12cm、16cm．习题1．3问题解决1．能通过。
．2．要能理解多边形abcdef’与多边形a’b’c’d’e’f’的面积是相等的．然后剪下△obc和△ofe，并将它们分别放在图③中的△a’b’ f’和△d’f’c’的位置上．学生通过量或其他方法说明b’ e’f’c’是正方形，且它的面积等于图①中正方形abof和正方形cdeo的面积和。
即(b’c’)=ab+cd：也就是bc=a+b。
， 222222这样就验证了勾股定理l．2 能得到直角三角形吗随堂练习l．(1) (2)可以作为直角三角形的三边长．2．有4个直角三角影．(根据勾股定理判断)数学理解2．(1)仍然是直角三角形；(2)略；(3)略问题解决4．能．1．3 蚂蚁怎样走最近13km提示：结合勾股定理，用代数办法设未知数列方程是解本题的技巧所在习题 1．5知识技能1．5lcm．问题解决2．能．3．最短行程是20cm。
4．如图1～1，设水深为x尺，则芦苇长为(x+1)尺，由勾股定理解得x=12，则水池的深度为12尺，芦苇长为13尺。
一、选择题1．为评估一种农作物的种植效果，选了8块地作试验田，这8块地的亩产量（单位：kg ）分别为1x ，2x ，…，8x ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ）A ．1x ，2x ，…，8x 的平均数B ．1x ，2x ，…，8x 的方差C ．1x ，2x ，…，8x 的中位数D ．1x ，2x ，…，8x 的众数2．某校以“我和我的祖国”为主题的演讲比赛中，共有10位评委分别给出某选手的原始评分，在评定该选手成绩时，则从10个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到8个有效评分. 8个有效评分与10个原始评分相比，不变的是 （ ） A ．平均数B ．极差C ．中位数D ．方差3．某校有21名同学们参加某比赛，预赛成绩各不同，要取前11名参加决赛，小颖已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，只需要再知道这21名同学成绩的( ) A ．最高分 B ．中位数C ．极差D ．平均数4．已知数据12,,,n x x x 的平均数是2，方差是0.1，则1242,42,,42n x x x ---的平均数和标准差分别为（ ）A ．2,1.6B ．C ．6,0.4D ． 5．一组数据：3，2，5，3，7，5，x ，它们的众数为5，则x =（ ） A ．2B ．3C ．5D ．76．某校规定学生的学期数学成绩满分为100分，其中研究性学习成绩占40％，期末卷面成绩占60％，小明的两项成绩（百分制）依次是80分，90分，则小明这学期的数学成绩是（ ） A ．50分B ．82分C ．84分D ．86分7．一组数据,,,,,,a b c d e f g 的平均数是m ，极差是k ，方差是n ，则23,23,23,23,23,23------a b d e f g 的平均数、极差、和方差分别是（ ）A ．222、、m k nB ．23232m k n --、、C ．232-、、4m k nD ．2323--、、4m k n8．某校10名学生参加某项比赛成绩统计如图所示。
