北师版数学高二北师大版必修5课件第二章习题课正弦定理与余弦定量
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正弦定理与余弦定理习题课课件ppt(北师大版必修五)
一边＋B＋C＝180°，求 角A；由正弦定理求出b与 c，在有解时只有一解
课前探究学习
课堂讲练互动
续表
两边和夹角(如 a，b，C)
由余弦定理求第三边c；由正弦定 余弦定理 理求出一边所对的角；再由A＋B 正弦定理 ＋C＝180°求出另一角，在有解 时只有一解 由余弦定理求出角A，B；再利用 余弦定理 A＋B＋C＝180°，求出角C，在 有解时只有一解
由正弦定理求出角B；由A＋B＋ 正弦定理 C＝180°，求出角C；再利用正 余弦定理 弦定理或余弦定理求c，可有两 解、一解或无解
课前探究学习 课堂讲练互动
三边(a，b，c)
两边和其中一 边的对角(如 a，b，A)
2. 解三角形常用的边角关系及公式总结 (1)三角形内角和等于180° (2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． (3)三角形中大边对大角，小边对小角．
课前探究学习
课堂讲练互动
【示例】在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已
1 知 cos 2C＝－ . 4 (1)求sin C的值； (2)当a＝2,2sin A＝sin C时，求b及c的长． [思路分析]
课前探究学习
课堂讲练互动
解 10 . 4
1 (1)因为 cos 2C＝1－2sin2C＝－ ，及 0<C<π，所以 sin C＝ 4
b＝ 6 6，所以 c＝4 b＝2 或 c＝4
6
.
课堂讲练互动
课前探究学习
方法点评 三角形问题的一般解题方法 (1)合理利用三角公式，如cos 2C＝1－2sin2C＝2cos2C－1 等． (2)认真分析题目所给条件，适时利用正、余弦定理实现 边角转化．
课前探究学习
北师大版高中数学必修五第二章第一节《正弦定理》课件
解:由
ac sinA sinC
a
10
得 sin45 sin30
a10 2
而 B18 0 CA10 5
由
c b sinC sinB
得
10 sin30
b sin105
b（ 5 2 6）
变式训练
变式1:在△ABC中,已知b=10,A=45⁰,C=75⁰,求a 解: B18 A 0C60
由b a sinB sinA
反馈练习
1、在△ABC中,若A:B:C=1:2:3，则 a:b:c＝( C )
A.1:2:3 B.3:2:1 C.1: 3 :2 D、2: 3 :1
2、在△ABC中,若 3 a=2bsinA,则B＝( C ) A.60º B.30º C.60º或120º D.30º或150º
3、△ABC中, ax,b2,B45,若△ABC有两个解，
必修5第二章:解三角形
1.1 正弦定理
知识回顾
1、三角形中三个角有什么关系？ 边之间又有什么关系？ A+B+C=180⁰ 2、三角形中边与角之间的关系是 怎样的？ 大边对大角，大角对大边
能否得到三角形边与角之间准确量化的 关系？
定理的推导
首先回忆直角三角形的边角数量关系 如图,用a,b,c分别表示A,B,C的对边 A
•
11、人总是珍惜为得到。2021/4/22021 /4/2202 1/4/2A pr-212- Apr-21
•
12、人乱于心，不宽余请。2021/4/220 21/4/22 021/4/2 Friday , April 02, 2021
•
13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。202 1/4/220 21/4/22 021/4/2 2021/4/24/2/20 21
高中数学第二章解三角形2.1.1正弦定理课件北师大版必修5
中,
sin
=
sin
=
.
sin
【做一做1】
在△ABC 中,若 3a=2bsin A,则角 B 等于
.
解析:根据已知条件及正弦定理可知 3sin A=2sin Bsin A⇔
3
π
2π
3=2sin B⇔sin B= 2 ,所以角 B 为3 或 3 .
π
2π
答案:3 或 3
知识拓展1.正弦定理的证明
Bcos A,又 sin B≠0,则 sin A= 3cos A,即 tan A= 3,又△ABC 为锐角三
π
角形,所以 A= .
3
答案:(1)7∶5∶3 (2)A
探究一
探究二
探究三
探究二
探究四
思维辨析
利用正弦定理解三角形
【例2】 在△ABC中,
(1)若A=45°,B=30°,a=2,求b,c与C.
(2)若B=30°,b=5, c=5 3 ,求A,C与a.
分析:先根据三角形中解的个数的判断方法得出解的情况,再求
出各元素的值.
解:(1)由三角形内角和定理得,
C=180°-(A+B)=180°-(45°+30°)=105°.
sin
由正弦定理得,b=
sin
1
=
sin 105°=sin(60°+45°)=
(5)在△ABC中,若 cos = 1 + cos2 ,则△ABC为等腰三角形或直
角三角形. (
)
答案:(1)
(2)
(3)× (4)× (5)
探究一
探究二
探究一
探究三
探究四
思维辨析
高中数学第二章解三角形2.1.2余弦定理课件北师大版必修5
1
2
3
4
5
1.在△ABC 中,已知 a=5,b=4,C=120°,则 c 的长为(
A. 41
C. 41或 61
)
B. 61
D. 21
1
解析: 因为 c2=a2+b2-2abcos C,所以 c2=52+42-2×5×4× - 2 =61,即
c= 61.
答案:B
1
2
3
4
5
2.在△ABC中,若bcos A=acos B,则△ABC是(
角A,B,C的对边,且b2,c2是关于x的一元二次方程x2-(a2+bc)x+m=0的
两根.
(1)求角A的大小;
(2)若 a= 3 ,设B=θ,△ABC的周长为y,求y=f(θ)的最大值.
分析:(1)利用余弦定理求出角A;(2)先利用正弦定理将△ABC的周
长y表示成关于θ的函数,再结合三角函数的性质进行求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)在△ABC中,依题意有b2+c2=a2+bc,即b2+c2-a2=bc,
所以 cos
2
+2 -2
A=
2
1
2
= ,
π
3
又因为 A∈(0,π),所以 A= .
π
3
(2)由 a= 3,A= ,及正弦定理得
sin
=
所以 b=2sin B=2sin θ,c=2sin C=2sin
1 .2
余弦定理
学 习 目 标
1.掌握余弦定理及其证明.
2.会用余弦定理解决两类解三角形问题.
3.能综合应用正弦定理与余弦定理解决三角形
高中数学北师大版必修五课件：第2章正弦定理和余弦定理习题课
2 2
π cos2A－6 的值．
Байду номын сангаас所以
π cos2A－6 ＝cos
π π 2Acos ＋sin 2Asin 6 6
7 3 4 2 1 × ＝－ × ＋－ 9 2 9 2 7 3＋4 2 7 3 4 2 ＝－ － ＝－ . 18 18 18
对于条件是边角关系混合在一起的等式，一般地，应运用正弦 定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为 角的关系，再利用三角形的有关知识，三角恒等变形、代数恒 等变形等方法进行转化、化简，从而得出结论．
消去 b 并整理得 a4－13a2＋36＝0， 解得 a2＝4 或 a2＝9.
a＝2 a＝3 所以 或 b＝ 3 b＝2.
故 a＋b＝5.
正、余弦定理与三角恒等变形的综合 设△ABC 的内角 A， B， C 所对边的长分别是 a， b， c， 且 b＝3，c＝1，A＝2B. (1)求 a 的值； (2)求
π sinA＋ 4 的值．
【解】
(1)因为 A＝2B，所以 sin A＝sin 2B＝
2sin Bcos B． a2＋c2－b2 由正、余弦定理得 a＝2b· . 2ac 因为 b＝3，c＝1，所以 a2＝12，a＝2 3. b2＋c2－a2 9＋1－12 1 (2)由余弦定理得 cos A＝ ＝ ＝－ . 2bc 6 3 由于 0<A<π，所以 sin A＝ 1－cos A＝ 故
2
因为 0°<A<180°，所以 A＝60°.
b2＋c2－a2 (2)由余弦定理，得 cos A＝ . 2bc b2＋c2－a2 1 1 因为 cos A＝ ，所以 ＝ ， 2 2bc 2 化简并整理，得(b＋c)2－a2＝3bc， 将 a＝ 3，b＋c＝3 代入上式，得 bc＝2.
π cos2A－6 的值．
Байду номын сангаас所以
π cos2A－6 ＝cos
π π 2Acos ＋sin 2Asin 6 6
7 3 4 2 1 × ＝－ × ＋－ 9 2 9 2 7 3＋4 2 7 3 4 2 ＝－ － ＝－ . 18 18 18
对于条件是边角关系混合在一起的等式，一般地，应运用正弦 定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为 角的关系，再利用三角形的有关知识，三角恒等变形、代数恒 等变形等方法进行转化、化简，从而得出结论．
消去 b 并整理得 a4－13a2＋36＝0， 解得 a2＝4 或 a2＝9.
a＝2 a＝3 所以 或 b＝ 3 b＝2.
故 a＋b＝5.
正、余弦定理与三角恒等变形的综合 设△ABC 的内角 A， B， C 所对边的长分别是 a， b， c， 且 b＝3，c＝1，A＝2B. (1)求 a 的值； (2)求
π sinA＋ 4 的值．
【解】
(1)因为 A＝2B，所以 sin A＝sin 2B＝
2sin Bcos B． a2＋c2－b2 由正、余弦定理得 a＝2b· . 2ac 因为 b＝3，c＝1，所以 a2＝12，a＝2 3. b2＋c2－a2 9＋1－12 1 (2)由余弦定理得 cos A＝ ＝ ＝－ . 2bc 6 3 由于 0<A<π，所以 sin A＝ 1－cos A＝ 故
2
因为 0°<A<180°，所以 A＝60°.
b2＋c2－a2 (2)由余弦定理，得 cos A＝ . 2bc b2＋c2－a2 1 1 因为 cos A＝ ，所以 ＝ ， 2 2bc 2 化简并整理，得(b＋c)2－a2＝3bc， 将 a＝ 3，b＋c＝3 代入上式，得 bc＝2.
北师大版高中数学必修五：正弦定理课件
1.1.1正弦定理
在Rt△ABC中,各角与其对边(角A的对边一 般记为a，其余类似)的关系:
A
c
c 不难得到:
c b
C
B
a
在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?
C
b
A c
a B
若三角形是锐角三角形, 如图1,
A
过点A作AD⊥BC于D,
B
此时有
sin B
AD c
, sin C
AD b
所以AD=csinB=bsinC, 即
定理的应用
已知两角和任意边， 求其他两边和一角
例 1、在△ABC 中，已知c = 10, A = 45。, C = 30。解三角形 (精确到
0.01）
C
b
a
Ac
B
练习
1.根据下列条件解三角形 (1)b=13，a=26，B=30°.
A=90°，C=60°，c=
(2) b=40，c=20，C=45°.
c asinC 16. sin A
练习：在ABC中，B=60 ，b 7 6, a 14,求角A.
自我提高！
练习1、在 ABC中，若A：B：C=1：2：3，则
a:b:c＝(
)
A、1:2:3
B、3:2:1
C、1: 3 :2
D、2: 3 :1
练习2、在 ABC中，若 3a=2bsinA，则B＝
A、
即
思考：你能否找到其他证明正弦定理的方法？
另证:
（R为△ABC外接圆半径）
证明：作外接圆O, 过B作直径BC/,连AC/,
BAC 90, C C ' c
sinC sinC' c 2R A
c 2R
在Rt△ABC中,各角与其对边(角A的对边一 般记为a，其余类似)的关系:
A
c
c 不难得到:
c b
C
B
a
在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?
C
b
A c
a B
若三角形是锐角三角形, 如图1,
A
过点A作AD⊥BC于D,
B
此时有
sin B
AD c
, sin C
AD b
所以AD=csinB=bsinC, 即
定理的应用
已知两角和任意边， 求其他两边和一角
例 1、在△ABC 中，已知c = 10, A = 45。, C = 30。解三角形 (精确到
0.01）
C
b
a
Ac
B
练习
1.根据下列条件解三角形 (1)b=13，a=26，B=30°.
A=90°，C=60°，c=
(2) b=40，c=20，C=45°.
c asinC 16. sin A
练习：在ABC中，B=60 ，b 7 6, a 14,求角A.
自我提高！
练习1、在 ABC中，若A：B：C=1：2：3，则
a:b:c＝(
)
A、1:2:3
B、3:2:1
C、1: 3 :2
D、2: 3 :1
练习2、在 ABC中，若 3a=2bsinA，则B＝
A、
即
思考：你能否找到其他证明正弦定理的方法？
另证:
（R为△ABC外接圆半径）
证明：作外接圆O, 过B作直径BC/,连AC/,
BAC 90, C C ' c
sinC sinC' c 2R A
c 2R
高中数学必修五北师大版 正弦定理与余弦定理课件(32张)
三角形面积的计算 1 1 1 对于此类问题一般用公式 S＝ absin C＝ bcsin A＝ acsin B 进行求 2 2 2 解． 将题目中的边角关系，用正、余弦定理转化为两边及夹角问题，注 意方程思想在解题中的应用．
在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 b＝acos C， 1 且△ABC 的最大边长为 12，最小角的正弦值为3. (1)试判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积．
三角形的面积问题
[例 2] 积．
在△ABC 中，若 B＝30° ，AB＝2 3，AC＝2，求△ABC 的面
[分析] 先利用正弦定理求角或角的正弦值．
[解析]
由正弦定理得 sin C＝
3 . 2
∵AB>AC，∴C>B，则 C 有两解． ①当 C 为锐角时，C＝60° ，A＝90° ， 1 1 则 S＝2AB· AC· sin A＝2×2 3×2×1＝2 3. ②当 C 为钝角时，C＝120° ，A＝30° ， 1 1 1 则 S＝2AB· AC· sin A＝2×2 3×2×2＝ 3.
ab，则∠C的大小为(
)
A．60° B．90° C．120° D．150°
解析：∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab∴a2＋b2－c2＝－ab， a2＋b2－c2 1 即 ＝－ ， 2ab 2 1 ∴cos C＝－ ，∴∠C＝120° . 2
答案：C
2． 在△ABC 中， a＝7， b＝4 3， c＝ 13， 则△ABC 的最小角为( π π π π A.3 B.6 C.4 D.12
判断三角形形状的方法技巧 1．判断三角形的形状一般结论为锐角三角形、钝角三角形、直角
三角形、等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形；
北师版数学高二-必修5课件 第2章 习题课 正弦定理和余弦定理
∴ac＝35，∵cos B＝35，∴sin B＝45. ∴S△ABC＝12acsin B＝21×35×45＝14.
(2)若a＝7，求角C. 解 ∵ac＝35，a＝7，∴c＝5. 由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B＝32，∴b＝4 2. 由正弦定理sinc C＝sinb B， ∴sin C＝bcsin B＝452×45＝ 22. ∵c<b且B为锐角，∴C一定是锐角. ∴C＝45°.
(2)求bsicn B的值.
解 由 b2＝ac，得bc＝ab，∴bsicnB＝sin B·ba
＝sin
sin B·sin
BA＝sin
A＝
3 2.
要点二 正弦、余弦定理与三角变换的综合应用
例2 在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且 4sin2 B＋2 C－cos 2A＝72 . (1)求A的度数.
1234
1234
2.在△ABC中，若c＝2acos B，则△ABC的形状一定是( C )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 解析 ∵c＝2acos B ，由正弦定理，得 2cos Bsin A＝sin C＝sin(A＋B)， ∴sin Acos B－cos Asin B＝0， 即sin(A－B)＝0，∴A＝B.
规律方法 这是一道向量与正弦、余弦定理的综合题， 解题的关键是化去向量的“伪装”，找到三角形的边 角关系.
跟踪演练3 已知△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a， b，c，设向量m＝(a＋b，sin C)，n＝( 3a＋c，sin B－sin A)，
若m∥n，则角B的大小为 150° . 解析 ∵m∥n，∴(a＋b)(sin B－sin A)－sin C( 3a＋c)＝0，
北师大版高中数学必修五第二章解三角形2.1.2.2正弦定理与余弦定理的综合应用课件
∵a<c,∴A<60°,∴A=30°.
答案:30°
sin ������
sin ������
2
-5-
第2课时 正弦定理与余弦定理的综合应用
题型一 题型二 题型三 题型四
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
题型一 应用正、余弦定理解三角形 【例 1】 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 b=3,c= 3 3, ������ = 30° , 解此三角形. 分析:由余弦定理列出以边长a为元的方程,求出边长a,再利用正 弦定理及三角形内角和定理求A,C. 解 :由余弦定理 ,得 b2=a2+c2-2accos B , 即 32=a2+(3 3)2 − 2 × 3 3������ × cos 30° , 化简得 a2-9a+18=0,解得 a=6 或 a=3.
-7-
第2课时 正弦定理与余弦定理的综合应用
题型一 题型二 题型三 题型四
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
【变式训练 1】 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a= 3 + 1, ������ = 2, ������ = 75° , 求������, ������和������的值.
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
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IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
正弦定理与余弦定理 在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,外接圆半径为R,
高中数学北师大版必修5第2章1《正弦定理与余弦定理》(第1课时 正弦定理)ppt同步课件
注意：(1)判断出一个三角形是等腰三角形后，还要进一步 讨论它是否可能是等边三角形或等腰直角三角形，不要匆忙下 结论；
(2)在△ABC 中，若 sin2A＝sin2B，不一定只有 A＝B，因 为 sin2A＝sin2B⇒2A＝2B，或 2A＝π－2B⇒A＝B 或 A＋B＝π2.
在△ABC 中，acos(π2－A)＝bcos(π2－B)，判断△ABC 的形状． [解析] 解法一：∵acos(π2－A)＝bcos(π2－B)， ∴asinA＝bsinB.
③a b c＝__s_in_A____si_n_B___s_i_n_C_
④sinA＋a＋sinbB＋＋c sinC＝__s_i_an_A_＝__s_ibn_B__＝__si_nc_C___.
3．面积定理
1
1
1 对 于 任 意 △ ABC ， 则 S △ ABC ＝ _2_a_b_s_i_n_C_ ＝ __2_b_c_s_in_A_ ＝
a
b
c
___s_in_A_____＝__s_i_n_B___＝__s_i_n_C___.
2．常见的公式变形
①a＝_2_R__si_n_A__，b＝__2_R_s_in_B__，c＝__2_R_s_in_C__
a
b
c
②sinA＝___2_R____，sinB＝___2_R____，sinC＝___2_R____
2
课堂典例讲练
已知两角及一边解三角形
在△ABC中，已知∠A＝45°，∠B＝30°，c＝ 10，求b.
[分析] 先利用三角形内角和定理求角C，再利用正弦定理 求边b.
[解析] ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠C＝105°，
∵sibnB＝sincC，sin105 °＝sin(45°＋60°)
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明目标、知重点
题型三 正、余弦定理与平面向量的综合应用
例 3 在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边， cos B＝35，且A→B·B→C＝－21. (1)求△ABC的面积； 解 ∵A→B·B→C＝－21，∴B→A·B→C＝21. ∴B→A·B→C＝|B→A|·|B→C|·cos B＝accos B＝21. ∴ac＝35，∵cos B＝35，∴sin B＝45.
A＋C 2sin2 2 ＋sin
2B
的值.
解 由已知得a2＋2ca2c－b2＝53，
所以 cos B＝35，sin B＝ 1－cos2B＝45，
所以
A＋C 2sin2 2 ＋sin
2B＝2cos2B2＋sin
2B
明目标、知重点
＝1＋cos B＋2sin Bcos B＝1＋53＋2×54×53 ＝6245.
B.6
C.4
D.3
解析 在△ABC 中，利用正弦定理得
2sin Asin B＝
3sin
B，∴sin
A＝
3 2.
又 A 为锐角，∴A＝π3.
明目标、知重点
1234
2.在△ABC 中，若 acos2C2＋ccos2A2＝23b，那么 a，b，c 的
关系是( )
A.a＋b＝c
B.a＋c＝2b
C.b＋c＝2a
解得
bc＝2，
c＝2
明目标、知重点
b＝2， 或
c＝1.
反思与感悟 本题解题关键是通过三角恒等变换借 助于A＋B＋C＝180°，求出A，并利用余弦定理列出 关于b、c的方程组.
明目标、知重点
跟 踪 训 练 2 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，
且
a2＋c2－b2＝56ac.求
(2)a＝ 2Rsin A，b＝ 2Rsin B，c＝ 2Rsin C .
3.余弦定理及其推论 b2＋c2－a2
(1)a2＝ b2＋c2－2bccos A ，cos A＝ 2bc . (2)在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为 直角，c2>a2＋b2⇔C为钝角； c2<a2＋b2⇔C为 锐角 .
明目标、知重点
第二章 解三角形
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑点
02
03
探题型 提能力
当堂测 查疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点
1.进一步熟练掌握正、余弦定理在解各类三角形中的应用. 2.提高对正、余弦定理应用范围的认识. 3.初步应用正、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关 的综合问题.
明目标、知重点
由正弦定理有(a＋b)(b－a)＝c( 3a＋c)，
即 a2＋c2－b2＝－ 3ac， 再由余弦定理，得 cos B＝－ 23，∴B＝150°.
明目标、知重点
当堂测·查疑缺
1234
1.在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asin B
＝ 3 b，则角A等于( D )
π
π
π
π
A.12
探要点·提能力 题型一 利用正、余弦定理解三角形 例 1 在△ABC 中，若 c·cos B＝b·cos C，且 cos A＝23， 求 sin B 的值. 解 由c·cos B＝b·cos C，结合正弦定理得， sin Ccos B＝sin Bcos C， 故sin(B－C)＝0，易知B＝C，故b＝c.
明目标、知重点
(2)若 a＝ 3，b＋c＝3，求 b 和 c 的值.
b2＋c2－a2 解 由余弦定理，得 cos A＝ 2bc . ∵cos A＝12，∴b2＋2cb2c－a2＝12，
化简并整理，得(b＋c)2－a2＝3bc，
将 a＝ 3，b＋c＝3 代入上式，得 bc＝2.
b＋c＝3，
b＝1，
则由
填要点·记疑点
1.三角形内角的三角函数关系
在△ABC中，边a、b、c所对的角分别为A、B、C，则有
(1)sin(A＋B)＝ sin C ，cos(A＋B)＝－cos C，tan(A＋B)＝
－tan C ，
(2)sin
A＋B 2＝
cos
C 2 ，cos
A＋B 2＝
sin
C 2
.
明目标、知重点
2.正弦定理及其变形 (1)sina A＝sinb B＝sinc C＝ 2R .
3.在△ABC 中，AB＝3，AC＝2，BC＝ 10，则B→A·A→C＝ －32 .
解析 由余弦定理得
cos A＝AB2＋2AABC·A2－C BC2＝9＋41－ 2 10＝41. ∴A→B·A→C＝|A→B|·|A→C|·cos A＝3×2×41＝23. ∴B→A·A→C＝－A→B·A→C＝－32.
明目标、知重点
1234
4.已知△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若这个三角形有两解， 则x的取值范围是 2<x<2 2 . 解析 如图，点C到AB的距离为CD， CD＝ 22x， 三角形有两解，必须满足CD<2<x， 即 22x<2<x⇒2<x<2 2.
明目标、知重点
呈重点、现规律
1.判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形 (如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等). 2.对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应 运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要 么把它统一为角的关系.再利用三角形的有关知识，三角恒 等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从而 得出结论.
明目标、知重点
3.解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根 据具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题；平 面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知 识转化为解三角形问题，再利用正、余弦定理求解.
明目标、知重点
明目标、知重点
明目标、知重点
因为 cos A＝23，所以由余弦定理得 3a2＝2b2，
再由余弦定理得 cos B＝ 66，故 sin B＝
30 6.
明目标、知重点
反思与感悟 正、余弦定理的变形形式比较多， 解题时应根据题目条件的不同，灵活选择.
明目标、知重点
跟踪训练1 在△ABC中，已知b2＝ac，且a2－c2＝ac－bc. (1)求A的大小； 解 由题意知，b2＝ac⇒cos A＝b2＋2cb2c－a2＝ac＋2bbcc－ac＝12， ∵A∈(0，π)，∴A＝3π.
2
2
Hale Waihona Puke (1)求A的度数.解
由 4sin2
B＋C 2 －cos
2A＝72及
A＋B＋C＝180°，
得 2[1－cos(B＋C)]－2cos2 A＋1＝72，
4(1＋cos A)－4cos2 A＝5，
明目标、知重点
即4cos2A－4cos A＋1＝0， ∴(2cos A－1)2＝0，解得 cos A＝12. ∵0°<A<180°，∴A＝60°.
∵c<b且B为锐角，∴C一定是锐角.
∴C＝45°.
明目标、知重点
反思与感悟 这是一道向量与正、余弦定理的综合题， 解题的关键是化去向量的“伪装”，找到三角形的边 角关系.
明目标、知重点
跟踪训练3 已知△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a， b，c，设向量m＝(a＋b，sin C)，n＝( 3a＋c，sin B－sin A)， 若m∥n，则角B的大小为 150°. 解析 ∵m∥n，∴(a＋b)(sin B－sin A)－sin C( 3a＋c)＝0，
明目标、知重点
(2)求bsicn B的值. 解 由 b2＝ac，得bc＝ba，
∴bsicn
B＝sin
B·ab＝sin
sin B·sin
AB＝sin
A＝
3 2.
明目标、知重点
题型二 正、余弦定理与三角变换的综合应用
例2 在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，
4sin2 B＋C－cos 2A＝7.
明目标、知重点
∴S△ABC＝12acsin B＝21×35×45＝14.
明目标、知重点
(2)若a＝7，求角C.
解 ∵ac＝35，a＝7，∴c＝5.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B＝32，
∴b＝4 2.由正弦定理sinc C＝sinb B.
∴sin
C＝bcsin
B＝4 5 2×45＝
2 2.
D.a＝b＝c
解析
cos2C2 ＝1＋c2os
C，cos2A2＝1＋c2os
A ，
代入条件等式，得a＋c＋acos C＋ccos A＝3b，
明目标、知重点
1234
a2＋b2－c2 a2＋c2－a2 a＋c＋a· 2ab ＋c· 2bc ＝3b， 整理，得a＋c＝2b. 答案 B
明目标、知重点
1234
题型三 正、余弦定理与平面向量的综合应用
例 3 在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边， cos B＝35，且A→B·B→C＝－21. (1)求△ABC的面积； 解 ∵A→B·B→C＝－21，∴B→A·B→C＝21. ∴B→A·B→C＝|B→A|·|B→C|·cos B＝accos B＝21. ∴ac＝35，∵cos B＝35，∴sin B＝45.
A＋C 2sin2 2 ＋sin
2B
的值.
解 由已知得a2＋2ca2c－b2＝53，
所以 cos B＝35，sin B＝ 1－cos2B＝45，
所以
A＋C 2sin2 2 ＋sin
2B＝2cos2B2＋sin
2B
明目标、知重点
＝1＋cos B＋2sin Bcos B＝1＋53＋2×54×53 ＝6245.
B.6
C.4
D.3
解析 在△ABC 中，利用正弦定理得
2sin Asin B＝
3sin
B，∴sin
A＝
3 2.
又 A 为锐角，∴A＝π3.
明目标、知重点
1234
2.在△ABC 中，若 acos2C2＋ccos2A2＝23b，那么 a，b，c 的
关系是( )
A.a＋b＝c
B.a＋c＝2b
C.b＋c＝2a
解得
bc＝2，
c＝2
明目标、知重点
b＝2， 或
c＝1.
反思与感悟 本题解题关键是通过三角恒等变换借 助于A＋B＋C＝180°，求出A，并利用余弦定理列出 关于b、c的方程组.
明目标、知重点
跟 踪 训 练 2 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，
且
a2＋c2－b2＝56ac.求
(2)a＝ 2Rsin A，b＝ 2Rsin B，c＝ 2Rsin C .
3.余弦定理及其推论 b2＋c2－a2
(1)a2＝ b2＋c2－2bccos A ，cos A＝ 2bc . (2)在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为 直角，c2>a2＋b2⇔C为钝角； c2<a2＋b2⇔C为 锐角 .
明目标、知重点
第二章 解三角形
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑点
02
03
探题型 提能力
当堂测 查疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点
1.进一步熟练掌握正、余弦定理在解各类三角形中的应用. 2.提高对正、余弦定理应用范围的认识. 3.初步应用正、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关 的综合问题.
明目标、知重点
由正弦定理有(a＋b)(b－a)＝c( 3a＋c)，
即 a2＋c2－b2＝－ 3ac， 再由余弦定理，得 cos B＝－ 23，∴B＝150°.
明目标、知重点
当堂测·查疑缺
1234
1.在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asin B
＝ 3 b，则角A等于( D )
π
π
π
π
A.12
探要点·提能力 题型一 利用正、余弦定理解三角形 例 1 在△ABC 中，若 c·cos B＝b·cos C，且 cos A＝23， 求 sin B 的值. 解 由c·cos B＝b·cos C，结合正弦定理得， sin Ccos B＝sin Bcos C， 故sin(B－C)＝0，易知B＝C，故b＝c.
明目标、知重点
(2)若 a＝ 3，b＋c＝3，求 b 和 c 的值.
b2＋c2－a2 解 由余弦定理，得 cos A＝ 2bc . ∵cos A＝12，∴b2＋2cb2c－a2＝12，
化简并整理，得(b＋c)2－a2＝3bc，
将 a＝ 3，b＋c＝3 代入上式，得 bc＝2.
b＋c＝3，
b＝1，
则由
填要点·记疑点
1.三角形内角的三角函数关系
在△ABC中，边a、b、c所对的角分别为A、B、C，则有
(1)sin(A＋B)＝ sin C ，cos(A＋B)＝－cos C，tan(A＋B)＝
－tan C ，
(2)sin
A＋B 2＝
cos
C 2 ，cos
A＋B 2＝
sin
C 2
.
明目标、知重点
2.正弦定理及其变形 (1)sina A＝sinb B＝sinc C＝ 2R .
3.在△ABC 中，AB＝3，AC＝2，BC＝ 10，则B→A·A→C＝ －32 .
解析 由余弦定理得
cos A＝AB2＋2AABC·A2－C BC2＝9＋41－ 2 10＝41. ∴A→B·A→C＝|A→B|·|A→C|·cos A＝3×2×41＝23. ∴B→A·A→C＝－A→B·A→C＝－32.
明目标、知重点
1234
4.已知△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若这个三角形有两解， 则x的取值范围是 2<x<2 2 . 解析 如图，点C到AB的距离为CD， CD＝ 22x， 三角形有两解，必须满足CD<2<x， 即 22x<2<x⇒2<x<2 2.
明目标、知重点
呈重点、现规律
1.判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形 (如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等). 2.对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应 运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要 么把它统一为角的关系.再利用三角形的有关知识，三角恒 等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从而 得出结论.
明目标、知重点
3.解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根 据具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题；平 面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知 识转化为解三角形问题，再利用正、余弦定理求解.
明目标、知重点
明目标、知重点
明目标、知重点
因为 cos A＝23，所以由余弦定理得 3a2＝2b2，
再由余弦定理得 cos B＝ 66，故 sin B＝
30 6.
明目标、知重点
反思与感悟 正、余弦定理的变形形式比较多， 解题时应根据题目条件的不同，灵活选择.
明目标、知重点
跟踪训练1 在△ABC中，已知b2＝ac，且a2－c2＝ac－bc. (1)求A的大小； 解 由题意知，b2＝ac⇒cos A＝b2＋2cb2c－a2＝ac＋2bbcc－ac＝12， ∵A∈(0，π)，∴A＝3π.
2
2
Hale Waihona Puke (1)求A的度数.解
由 4sin2
B＋C 2 －cos
2A＝72及
A＋B＋C＝180°，
得 2[1－cos(B＋C)]－2cos2 A＋1＝72，
4(1＋cos A)－4cos2 A＝5，
明目标、知重点
即4cos2A－4cos A＋1＝0， ∴(2cos A－1)2＝0，解得 cos A＝12. ∵0°<A<180°，∴A＝60°.
∵c<b且B为锐角，∴C一定是锐角.
∴C＝45°.
明目标、知重点
反思与感悟 这是一道向量与正、余弦定理的综合题， 解题的关键是化去向量的“伪装”，找到三角形的边 角关系.
明目标、知重点
跟踪训练3 已知△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a， b，c，设向量m＝(a＋b，sin C)，n＝( 3a＋c，sin B－sin A)， 若m∥n，则角B的大小为 150°. 解析 ∵m∥n，∴(a＋b)(sin B－sin A)－sin C( 3a＋c)＝0，
明目标、知重点
(2)求bsicn B的值. 解 由 b2＝ac，得bc＝ba，
∴bsicn
B＝sin
B·ab＝sin
sin B·sin
AB＝sin
A＝
3 2.
明目标、知重点
题型二 正、余弦定理与三角变换的综合应用
例2 在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，
4sin2 B＋C－cos 2A＝7.
明目标、知重点
∴S△ABC＝12acsin B＝21×35×45＝14.
明目标、知重点
(2)若a＝7，求角C.
解 ∵ac＝35，a＝7，∴c＝5.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B＝32，
∴b＝4 2.由正弦定理sinc C＝sinb B.
∴sin
C＝bcsin
B＝4 5 2×45＝
2 2.
D.a＝b＝c
解析
cos2C2 ＝1＋c2os
C，cos2A2＝1＋c2os
A ，
代入条件等式，得a＋c＋acos C＋ccos A＝3b，
明目标、知重点
1234
a2＋b2－c2 a2＋c2－a2 a＋c＋a· 2ab ＋c· 2bc ＝3b， 整理，得a＋c＝2b. 答案 B
明目标、知重点
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