12正弦定理习题课

n•••么=3.故ZB= 30 或 150 °课时作业 1正弦定理时间：45分钟 满分:100分课堂训练1. （2013湖南理，3）在锐角△ ABC 中，角 为a, b.若2asinB = V 3b,则角A 等于（ ）A, B 所对的边长分别 A.12 L n B.6 c nC.4r nD .3【答案】 D【解析】 本题考查了正弦定理由 asinA —sinB ，得 SinA= 2， a—Z 3,b — 1,则c 等于（ ) A. 1 B. 2C.V 3-1D.V 3【答案】 B【解析】由正弦定理silb"si nB ，1 . 12.在△ ABC 中，角 A 、B 、 2n =3：.n sinB sin3C 的对边分别为 a 、b 、c,已知/ A由 a>b，得ZA> ZB./.zB= 30 ° 故ZC = 90 °由勾股定理得c= 2,故选B.1 53.在△ ABC 中，若 tanA=3, C^gn, BC= 1,贝J AB =【答案】•••tanA= 3,且 A 为/△ABC 的内角，「.sinA=¥10由【解析】正弦.5定理得AB—BCsinC-仆二6［血疋理得AB— sinA —血—2 .104.在△ ABC 中，若Z B= 30° AB= 2&, AC = 2,求^ ABC 的周长.【分析】本题是已知两边及其一边所对的角，要求其周长，自然要考虑去寻求第三边 BC,但BC的对角Z A未知，只知道Z B,可结合条件由正弦定理先求出Z C,再由三角形内角和定理求出Z A.【解析】由正弦定理，得sinC = A B S CB=¥3.••AB>AC,.・.ZC>/B,又TO <ZC<180 ； AzC= 60 或120°(1)如图(1)，当ZC = 60°时，ZA= 90° BC = 4,^ABC 的周长为 6(2)如图⑵，当ZC= 120°时，/A= 30°, ZA=ZB, BC = AC= 2, △ABC 的周长为4+ 2^3.综上，AABC 的周长为6+厶/3或4 + 2/3.【规律方法】 已知三角形两边和其中一边的对角时，应先由正 弦定理求出正弦值，再判定这个角是否最大，若最大，则有两角，分 别为一个锐角、一个钝角，且两角互补，否则只有一解，且为锐角.课后作业、选择题（每小题5分，共40分）1.在△ ABC 中，sinA= si 门（3,贝卩厶 ABC 是（ ）2.已知△ ABC 的三个内角之比为 A:B:C= 1:2:3,那么a b c=B. 1:2：V 3D. 1：V 3 :2A .直角三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 D .钝角三角形【答案】【解析】 ••SinA= sinC,「.由正弦定理得a= c,「.ZABC 为等腰三角形，故选 B.A. 1:2:3 C. 1：V 2 弋 4(2)【答案】 D【解析】设/A= k,ZB = 2k,ZC= 3k,由/A+/B+ ZC= 180°得，k+2k+ 3k= 180 ° Ak= 30° 故ZA= 30° ZB= 60； ZC= 90°由正弦定理得 a:b:c = sinA:sinB:sinC = sin30 :sin60 :sin90 =°1:萌:2.3.在△ ABC 中，已知 a= 8,Z B= 60； / C= 75；则( )A. b = 4眾B. b=师f 3ID. b= 3C. b=4^6【答案】 C【解析】2低」60。

正弦定理练习题典型题（含答案）正弦定理⼀1、在ABC ?中，060A ∠=，6a =，3b =，则ABC ?解的情况（）A ．⽆解B ．有⼀解C ．有两解D ．不能确定2、在△ABC 中，若b=2，A=120°，三⾓形的⾯积S=，则三⾓形外接圆的半径为( ) A ．B ．2C ．2D ．43、在ABC △中，,,a b c 分别是⾓A,B,C 的对边,已知1,2a b ==，3cos 2A =，求⾓C ．4、在△ABC 中，内⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知acosC ＋ccosA ＝2bcosA ．（1）求⾓A 的值；（2）求sinB ＋sinC 的取值范围．5、在锐⾓△ABC 中，内⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a=2csinA ．（1）求⾓C 的值；（2）若c=，且S △ABC =，求a+b 的值．参考答案1、【答案】A2、【答案】B3、【答案】解：在ABC △中，3cos 2A =，得6A π=，⼜1,2a b ==，由正弦定理得sin sin a b A B=，∴sin 2sin 2b A B a ==，⼜b a >，得4B π=或4B 3π=，当4B π=时，6412C ππ7π=π--=；当4B 3π=时，6412C π3ππ=π--=，∴⾓C 为127π或12π． 4、【答案】（1）A ＝；（2）(，]．试题分析：（1）要求解，已知条件中有⾓有边，⼀般情况下我们可以利⽤正弦定理把边化为⾓的关系，本题acosC ＋ccosA ＝2bcosA ，由正弦定理可化为sin cos sin cos 2sin cos A C C A B A +=，于是有sin()2sin cos A C B A +=，即sin 2sin cos B B A =，⽽sin 0B ≠，于是1cos 2A =，3A π=；（2）由（1）23CB π=-，且203B π<<，2sin sin sin sin()3B C B B π+=+-，由两⾓和与差的正弦公式可转化为3sin()6B π+，再由正弦函数的性质可得取值范围. 试题解析：（1）因为acosC ＋ccosA ＝2bcosA ，所以sinAcosC ＋sinCcosA ＝2sinBcosA ，即sin(A ＋C)＝2sinBcosA ．因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C)＝sinB ．从⽽sinB ＝2sinBcosA ．因为sinB ≠0，所以cosA ＝．因为0＜A ＜π，所以A ＝．（2）sinB ＋sinC ＝sinB ＋sin(－B)＝sinB ＋sincosB －cos sinB ＝sinB ＋cosB ＝sin(B ＋)．因为0＜B ＜，所以＜B ＋＜．所以sinB ＋sinC 的取值范围为(，]．考点：正弦定理，两⾓和与差的正（余）弦公式，正弦函数的性质.5、【答案】试题分析：（1）由a=2csinA 及正弦定理得sinA=2sinCsinA ，⼜sinA≠0，可sinC=．⼜△ABC 是锐⾓三⾓形，即可求C ．（2）由⾯积公式，可解得ab=6，由余弦定理，可解得a 2+b 2﹣ab=7，联⽴⽅程即可解得a+b 的值的值．试题解析：解：（1）由a=2csinA 及正弦定理，得sinA=2sinCsinA ，∵sinA≠0，∴sinC=．⼜∵△ABC 是锐⾓三⾓形，∴C=．（2）∵c=，C=，∴由⾯积公式，得absin =，即ab=6.①由余弦定理，得a 2+b 2﹣2abcos=7，即a 2+b 2﹣ab=7.②由②变形得（a+b ）2=3ab+7.③将①代⼊③得（a+b ）2=25，故a+b=5.考点：正弦定理．点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三⾓形⾯积公式的应⽤，考查了转化思想和计算能⼒，属于中档题．正弦定理⼆1、在ABC ?中，o 60A =，3a =2b =B 等于 ( )A. o 45B.o 135C. o 45或o 135D. 以上答案都不对2、在ABC ?中，若ab c b a 2222+=+，则C =（）A ．030B ．0150C ．045D ．01353、在△ABC 中，若30A =o ，8a =，b =ABC S ?等于（）A ．．．．4、设ABC ?的内⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC ?的形状为（）A ．锐⾓三⾓形B ．直⾓三⾓形C ．钝⾓三⾓形D ．不确定5、已知,,a b c 是ABC ?的三边长，且222a b c ab +-=（1）求⾓C（2）若3a c ==，求⾓A 的⼤⼩。

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6 B.错误! C.错误! D ．2错误!2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4错误!C ．4错误! D.错误!3．在△ABC 中,a ，b ,c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°,b ＝错误!,则c ＝( )A ．1 B.错误! C ．2 D 。

错误!4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A ＝60°，a ＝4错误!，b ＝4错误!，则角B 为( ）A ．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝错误!，b ＝错误!，B ＝120°，则a 等于( ）A 。

课时作业1 正弦定理时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．(2013·湖南理，3)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π12 B.π6 C.π4 D.π3【答案】 D【解析】 本题考查了正弦定理由a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝32， ∴∠A ＝π3.2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知∠A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3 【答案】 B【解析】 由正弦定理a sin A ＝bsin B ， 可得3sin π3＝1sin B ，sin B ＝12，故∠B ＝30°或150°，由a >b ，得∠A >∠B . ∴∠B ＝30°，故∠C ＝90°， 由勾股定理得c ＝2，故选B.3．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝56π，BC ＝1，则AB ＝________. 【答案】102【解析】 ∵tan A ＝13，且A 为△ABC 的内角，∴sin A ＝1010.由正弦定理得AB ＝BC sin C sin A ＝1×sin 56π1010＝102.4．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的周长．【分析】 本题是已知两边及其一边所对的角，要求其周长，自然要考虑去寻求第三边BC ，但BC 的对角∠A 未知，只知道∠B ，可结合条件由正弦定理先求出∠C ，再由三角形内角和定理求出∠A .【解析】 由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝32. ∵AB >AC ，∴∠C >∠B ，又∵0°<∠C <180°，∴∠C ＝60°或120°.(1)如图(1)，当∠C ＝60°时，∠A ＝90°，BC ＝4，△ABC 的周长为6＋23；(2)如图(2)，当∠C＝120°时，∠A＝30°，∠A＝∠B，BC＝AC＝2，△ABC的周长为4＋2 3.综上，△ABC的周长为6＋23或4＋2 3.【规律方法】已知三角形两边和其中一边的对角时，应先由正弦定理求出正弦值，再判定这个角是否最大，若最大，则有两角，分别为一个锐角、一个钝角，且两角互补，否则只有一解，且为锐角．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【答案】 B【解析】∵sin A＝sin C，∴由正弦定理得a＝c，∴△ABC为等腰三角形，故选B.2．已知△ABC的三个内角之比为A:B:C＝1:2:3，那么a b c＝()A．1:2:3 B．1:2: 3C．1: 2 : 3 D．1: 3 :2【答案】 D【解析】 设∠A ＝k ，∠B ＝2k ，∠C ＝3k ，由∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°得，k ＋2k ＋3k ＝180°，∴k ＝30°，故∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°.由正弦定理得a :b :c ＝sin A :sin B :sin C ＝sin30°:sin60°:sin90°＝1: 3 :2.3．在△ABC 中，已知a ＝8，∠B ＝60°，∠C ＝75°，则( ) A ．b ＝4 2 B ．b ＝4 3 C ．b ＝4 6 D ．b ＝323【答案】 C【解析】 ∠A ＝180°－60°－75°＝45°，由a sin A ＝b sin B 可得b ＝a sin Bsin A ＝8sin60°sin45°＝4 6.4．已知△ABC 中，a ＝1，b ＝3，A ＝π6，则B ＝( ) A.π3 B.23π C.π3或23π D.56π或π6 【答案】 C【解析】 由a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b sin Aa ， ∴sin B ＝3·sin30°1＝32，∴B ＝π3或23π.5．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，a ＝8，b ＝83，则△ABC 的面积S 等于( )A ．32 3B ．16C ．326或16D ．323或16 3【答案】 D【解析】 由正弦定理，知 sin B ＝b sin A a ＝83sin30°8＝32， 又b >a ，∴∠B >∠A ，∴∠B ＝60°或120°. ∴∠C ＝90°或30°.∴S ＝12ab sin C 的值有两个，即323或16 3.6．在△ABC 中，cos A cos B ＝b a ＝85，则△ABC 的形状为( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．等腰三角形 D ．直角三角形【答案】 D【解析】 ∵cos A cos B ＝b a ＝sin Bsin A ，即sin2A ＝sin2B ，∴∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝π2，又cos A ≠cos B ，∴∠A ≠∠B ，∴∠A ＋∠B ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．7．已知△ABC 中，2sin B －3sin A ＝0，∠C ＝π6，S △ABC ＝6，则a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】 B【解析】 由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，故由2sin B －3sin A ＝0，得2b ＝3a .①又S △ABC ＝12ab sin C ＝12ab sin π6＝6， ∴ab ＝24.②解①②组成的方程组得a ＝4，b ＝6.故选B.8．在△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝13，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C 等于( )A.833B.2393C.2633 D ．2 3 【答案】 B【解析】 由a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 得 a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ＝a sin A ＝13sin60°＝2393.二、填空题(每小题10分，共20分)9．在△ABC 中，b 2－c 2a 2sin 2A ＋c 2－a 2b 2sin 2B ＋a 2－b 2c 2sin 2C 的值为________．【答案】 0【解析】 可利用正弦定理的变形形式a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 代入原式即可．10．在锐角三角形ABC 中，若∠A ＝2∠B ，则ab 的取值范围是________．【答案】 (2，3)【解析】 ∵△ABC 为锐角三角形，且∠A ＝2∠B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0<2∠B <π2，0<π－3∠B <π2，∴π6<∠B <π4.∵∠A ＝2∠B ，∴sin A ＝sin2B ＝2sin B cos B ，∴a b ＝sin Asin B ＝2cos B ∈(2，3)．三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．(1)在△ABC 中，已知a ＝5，∠B ＝45°，∠C ＝105°，求b . (2)在△ABC 中，已知∠A ＝45°，a ＝2，b ＝2，求B .【解析】 (1)∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴∠A ＝180°－(∠B ＋∠C )＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝a ·sin B sin A ＝5·sin45°sin30°＝5 2. (2)由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝2sin45°2＝12. 又∵0°<∠B <180°，且a >b ，∴∠B ＝30°.【规律方法】 (1)中要注意在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°的运用，另外sin105°＝sin75°＝sin(45°＋30)＝6＋24.(2)中要注意运用三角形中大边对大角的性质，判定解的个数．12．在△ABC 中，已知sin A ＝sin B ＋sin Ccos B ＋cos C，判断△ABC 的形状．【分析】当式子中只有角或只有边时，一般将其一端化为零，另一端化为因式之积，再因式分解，进而判断三角形的形状．【解析】∵sin A＝sin B＋sin Ccos B＋cos C，∴sin A cos B＋sin A cos C＝sin B＋sin C.∵∠A＋∠B＋∠C＝π，∴sin A cos B＋sin A cos C＝sin(A＋C)＋sin(A＋B)．∴sin A cos B＋sin A cos C＝sin A cos C＋cos A sin C＋sin A cos B＋cos A sin B. ∴cos A sin C＋sin B cos A＝0.∴cos A(sin B＋sin C)＝0.∵∠B，∠C∈(0，π)，∴sin B＋sin C≠0.∴cos A＝0，∴∠A＝π2，∴△ABC为直角三角形．。

《正弦定理》教案（含答案）章节一：正弦定理的引入教学目标：1. 让学生理解正弦定理的概念和意义。

2. 让学生掌握正弦定理的数学表达式。

3. 让学生了解正弦定理的应用场景。

教学内容：1. 引入正弦定理的背景和意义。

2. 介绍正弦定理的数学表达式：a/sinA = b/sinB = c/sinC。

3. 解释正弦定理的证明过程。

教学活动：1. 通过实际例子引入正弦定理的概念。

2. 引导学生推导正弦定理的数学表达式。

3. 让学生进行小组讨论，探索正弦定理的应用场景。

练习题：1. 解释正弦定理的概念。

2. 给出一个三角形，让学生计算其各边的比例。

章节二：正弦定理的应用教学目标：1. 让学生掌握正弦定理在三角形中的应用。

2. 让学生能够解决实际问题中涉及的三角形问题。

教学内容：1. 介绍正弦定理在三角形中的应用方法。

2. 讲解正弦定理在实际问题中的应用示例。

教学活动：1. 通过示例讲解正弦定理在三角形中的应用方法。

2. 让学生进行小组讨论，探讨正弦定理在实际问题中的应用。

练习题：1. 使用正弦定理计算一个三角形的面积。

2. 给出一个实际问题，让学生应用正弦定理解决问题。

章节三：正弦定理的证明教学目标：1. 让学生理解正弦定理的证明过程。

2. 让学生掌握正弦定理的证明方法。

教学内容：1. 介绍正弦定理的证明过程。

2. 解释正弦定理的证明方法。

教学活动：1. 通过几何图形的分析，引导学生推导正弦定理的证明过程。

2. 让学生进行小组讨论，理解正弦定理的证明方法。

练习题：1. 解释正弦定理的证明过程。

2. 给出一个三角形，让学生使用正弦定理进行证明。

章节四：正弦定理在实际问题中的应用教学目标：1. 让学生掌握正弦定理在实际问题中的应用。

2. 让学生能够解决实际问题中涉及的三角形问题。

教学内容：1. 介绍正弦定理在实际问题中的应用方法。

2. 讲解正弦定理在实际问题中的应用示例。

教学活动：1. 通过示例讲解正弦定理在实际问题中的应用方法。

A.6B.2 3 6 应用正弦定理得：＝，求得＝＝ 6. 42 43 46 D.32 ＝ 6. 3，42，则角由正弦定理＝得：＝＝2，又∵＝2，则B.1 D.1 ，由＝得＝2×2×sin 30°sin 30°＝中，若cos A ＝，则△∵＝sin B ，∴cos A ＝sin B ，π. ＝3A.3 B.3C.3或3 D.3或3 D.＝，求出＝3，∵1AB ＝2，6A.6 C.3 D.2 由正弦定理得6＝2， ＝1. ＝ 2. 3，π，则A ＝c sin C， 所以sin A ＝a ·sin C c ＝12. 又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6. 答案：π610．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32. 答案：3211．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×12×sin30°sin30°sin120°＝43，∴a ＋c ＝8 3. 答案：83 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ，代入式子a ＝2b cos C ，得，得2R sin A ＝2·2·22R ·sin B ·cos C ，所以sin A ＝2sin B ·cos C ，即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ，化简，整理，得sin(B －C )＝0. ∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°，∴－180°＜B －C ＜180°，∴B －C ＝0°，B ＝C . 答案：等腰三角形答案：等腰三角形13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________. 解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝63sin60°＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴12×12×12×sin60°sin60°sin60°××c ＝183， ∴c ＝6. 答案：12 6 14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝________. 解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，∴2R ＝a sin A ＝1sin30°＝2， 又∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， ∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R sin A －2sin B ＋sin C sin A －2sin B ＋sin C ＝2R ＝2. 答案：2 15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 解析：由解析：由正弦定理正弦定理得：a sin解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝12ab sin C ＝43， 解得b ＝2 3. 答案：23 16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．组解．解析：∵b sin C ＝43×12＝23且c ＝2， ∴c <b sin C ，∴此三角形无解．，∴此三角形无解．答案：0 17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？的距离是多少？＝BC ·sin ∠ABCsin A ＝20sin30°sin45°＝102(km)． 即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是102 2 km. km. 18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A 2，求A 、B 及b 、c . 解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π6. 由sin B sin C ＝cos 2A 2，得，得 sin B sin C ＝12[1－cos(B ＋C )]， 即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )， 即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得，变形得cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π6(舍去)， A ＝π－(B ＋C )＝2π3. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C，得，得 b ＝c ＝a sin B sin A ＝23×1232＝2. 故A ＝2π3，B ＝π6，b ＝c ＝2. 19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos cos 22A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．的值． 解：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20， ∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°140°))＋65°＝105°， 所以∠A ＝180°－(30°＋105°105°))＝45°， 由正弦定理得AC＝10，＝1－sin 2B ＝310. ＝3，∴＝5，25，25×310－5×10＝2. ＝π4. 3π4，∴＝2A ＝b sin B ＝c sin C 得5a ＝10b ＝2c ，即a ＝2b ，c ＝5b ∵a －b ＝2－1，∴2b －b ＝2－1，∴＝2，c ＝ 5. ABC 中，ab ＝603，153，求边＝1153＝1603×3×sin ＝12，∴∠603，a sin A ＝b sin B ，∴215. 215. 2. ：a sin 。

习题课 正弦定理和余弦定理学习目标 1.进一步熟练掌握正弦、余弦定理在解各类三角形中的应用；2.提高对正弦、余弦定理应用范围的认识；3.初步应用正弦、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题.1.在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，则cos C 的值为( ) A.13 B.－23 C.14D.－14解析 ∵在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3， ∴a ∶b ∶c ＝3∶2∶3，设a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝3k ， 则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9k 2＋4k 2－9k 212k 2＝13，故选A.答案 A2.已知△ABC 的面积S ＝a 2－(b 2＋c 2)，则cos A 等于( ) A.－4 B.1717C.±1717D.－1717解析 ∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，面积S ＝12bc sin A ＝a 2－(b 2＋c 2)，∴12bc sin A ＝－2bc cos A ，∴sin A ＝－4cos A ，又sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立解得cos A ＝－1717.故选D. 答案 D3.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________.解析 由c 2＝(a －b )2＋6，可得c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6，由余弦定理：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ，所以：a 2＋b 2－2ab ＋6＝a 2＋b 2－ab ，所以ab ＝6；所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.答案 3324.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.解析 由正弦定理，得sin B ＝b sin C c ＝6×323＝22，结合b <c 可得B ＝45°，则A ＝180°－B －C ＝75°. 答案 75°类型一 利用正弦、余弦定理证明边角恒等式【例1】 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，求证：a 2－b 2c 2＝sin （A －B ）sin C .证明 在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴a 2－b 2＝b 2－a 2－2bc cos A ＋2ac cos B ， ∴2(a 2－b 2)＝2ac cos B －2bc cos A ， 即a 2－b 2＝ac cos B －bc cos A ， ∴a 2－b 2c 2＝a cos B －b cos A c .由正弦定理得a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin Bsin C ，∴a 2－b 2c 2＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin （A －B ）sin C ，故等式成立.规律方法 (1)证明三角恒等式，关键是消除等号两端三角函数式的差异.形式上一般有：左⇒右；右⇒左或左⇒中⇐右三种.(2)利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系；二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理转化.【训练1】 在△ABC 中，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝3b2，求证：a ＋c ＝2b . 证明 由题a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝3b ， 即a ＋a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝3b ， ∴2ab ＋a 2＋b 2－c 2＋2bc ＋b 2＋c 2－a 2＝6b 2， 整理得ab ＋bc ＝2b 2，同除b 得a ＋c ＝2b ， 故等式成立.类型二 利用正弦、余弦定理解三角形【例2】 在△ABC 中，若c ·cos B ＝b ·cos C ，且cos A ＝23，求sin B 的值. 解 由c ·cos B ＝b ·cos C ，结合正弦定理得， sin C cos B ＝sin B cos C ，故sin(B －C )＝0，∵0＜B ＜π，0＜C ＜π， ∴－π＜B －C ＜π，∴B －C ＝0，B ＝C ，故b ＝c . ∵cos A ＝23，∴由余弦定理得3a 2＝2b 2， 再由余弦定理得cos B ＝66，又0°<B <180°，故sin B ＝306.规律方法 (1)余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的.在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解.同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息.(2)解题时，还应注意，当把条件转化为角之间的关系时，还应注意三角恒等变换公式的应用.【训练2】在锐角△ABC中，b2－a2－c2ac＝cos（A＋C）sin A cos A.(1)求角A；(2)若a＝2，求bc的取值范围.解(1)由余弦定理可得：a2＋c2－b2＝2ac cos B，⇒－2ac cos Bac＝cos（π－B）sin A cos A，∴sin 2A＝1且0°<A<90°⇒A＝45°，(2)⎩⎪⎨⎪⎧B＋C＝135°，0°＜B＜90°，0°＜C＜90°⇒45°＜C＜90°，又bsin B＝csin C＝asin A＝2，∴b＝2sin B，c＝2sin C，bc＝2sin(135°－C)·2sin C＝2sin(2C－45°)＋2，45°＜2C－45°＜135°⇒22＜sin(2C－45°)≤1，∴bc∈(22，2＋2].方向1 与三角恒等变换的综合【例3－1】设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a，3sin A＝5sin B，则C＝()A.π3B.2π3C.3π4D.5π6解析 根据正弦定理可将3sin A ＝5sin B 化为3a ＝5b ， 所以a ＝53b ，代入b ＋c ＝2a 可得c ＝73b ，结合余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12， 因为0<C <π，所以C ＝2π3. 答案 B方向2 在复杂图形中的应用【例3－2】 如图所示，在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长.解 在△ABD 中，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，设BD ＝x ， 由余弦定理，得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠BDA ，∴142＝102＋x 2－2×10x cos 60°，即x 2－10x －96＝0， 解得x 1＝16，x 2＝－6(舍去)， ∴BD ＝16.∵AD ⊥CD ，∠BDA ＝60°，∴∠CDB ＝30°. 在△BCD 中，由正弦定理得BC sin ∠CDB ＝BDsin ∠BCD，∴BC ＝16sin 30°sin 135°＝8 2. 方向3 与向量的综合应用【例3－3】 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin(A ＋C )＝－35. (1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA→在BC →方向上的投影.解 (1)由cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin(A ＋C )＝ －35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35.又0＜A ＜π，则sin A ＝45.(2)由正弦定理，有a sin A ＝bsin B ，所以sin B ＝b sin A a ＝22.由题知a ＞b ，则A ＞B ，故B ＝π4.根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1或c ＝－7(负值舍去).故向量BA→在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22.规律方法 求解正、余弦定理综合应用问题的注意点(1)正弦定理、余弦定理是解决三角形问题的主要工具，正确选择适合试题特点的公式极为重要，当使用一个定理无法解决问题时，要及时考虑另外一个定理. (2)三角函数中的公式在解决三角形问题时是不可或缺的，应该养成应用三角函数公式列式化简的习惯.1.在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解，同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息.2.解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题；平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化为解三角形问题，再利用正弦、余弦定理求解.基础过关1.在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( ) A.－15 B.－16 C.－17D.－18解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9，c ＝3，B 为最大角，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝49＋9－642×7×3＝－17.答案 C2.某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为113，111，15，则此人能( )A.不能作出这样的三角形B.作出一个锐角三角形C.作出一个直角三角形D.作出一个钝角三角形解析 假设能作出△ABC ，不妨设高113，111，15对应的边分别为a ＝26S ，b ＝22S ，c ＝10S ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（22S ）2＋（10S ）2－（26S ）22×22S ×10S ＝－23110<0，∴A 为钝角. 答案 D3.已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6.则AB →·BC →的值为( )A.19B.14C.－18D.－19解析 由余弦定理的推论知： cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝1935.所以AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝7×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1935＝－19，故选D.答案 D4.在△ABC 中，B ＝60°，a ＝1，S △ABC ＝32，则csin C ＝________.解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×c ×32＝32， ∴c ＝2，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋4－2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3，∴b ＝3，∴c sin C ＝b sin B ＝332＝2.答案 25.在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，则△ABC 是________三角形. 解析 ∵a cos A ＝bcos B ，∴sin A cos B －sin B cos A ＝0，∴sin(A －B )＝0， ∵A ，B ∈(0，π)，∴A －B ∈(－π，π)， ∴A －B ＝0，∴A ＝B . 同理B ＝C ，∴A ＝B ＝C ， ∴△ABC 为等边三角形. 答案 等边6.在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A . (1)求AB 的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π4.解 (1)在△ABC 中，根据正弦定理AB sin C ＝BCsin A ， 于是AB ＝sin Csin A ·BC ＝2BC ＝2 5. (2)在△ABC 中，根据余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255，于是sin A ＝55， 由倍角公式得sin 2A ＝2sin A cos A ＝45，cos 2A ＝2cos 2A －1＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π4＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210.7.在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a sin B ＝3b . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积.解 (1)由2a sin B ＝3b 及正弦定理a sin A ＝bsin B ， 得sin A ＝32.因为A 是锐角，所以A ＝π3. (2)因为a ＝6，cos A ＝12，所以由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得b 2＋c 2－bc ＝36. 又因为b ＋c ＝8，所以bc ＝283. 由三角形面积公式S ＝12bc sin A ， 得△ABC 的面积为12×283×32＝733.能力提升8.△ABC 的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆半径为( )A.922B.924C.928D.229解析 不妨设c ＝2，b ＝3，则cos A ＝13，sin A ＝223. ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴a 2＝32＋22－2×3×2×13＝9，∴a ＝3. ∵a sin A ＝2R ，∴R ＝a sin A ＝32×223＝928. 答案 C9.已知△ABC 中，三边与面积的关系为S △ABC ＝a 2＋b 2－c 243，则cos C 的值为( )A.12B.22C.32D.0解析 S △ABC ＝12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 243＝2ab cos C 43，∴tan C ＝33，C ∈(0，π)，∴C ＝π6，∴cos C ＝32. 答案 C10.在△ABC 中，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝________. 解析 由sin C ＝23sin B ，根据正弦定理，得c ＝23b ， 代入a 2－b 2＝3bc ，得a 2－b 2＝6b 2，即a 2＝7b 2.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b ＝6b 243b 2＝32. 又∵0°＜A ＜180°，∴A ＝30°. 答案 30°11.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝12a ，2sin B＝3sin C ，则cos A 的值为________.解析 由2sin B ＝3sin C 及正弦定理可得：2b ＝3c ，由b －c ＝12a 可得：a ＝c ，b＝32c ，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝34.答案 3412.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b 2＝ac ，且cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C 的值；(2)设BA →·BC →＝32，求a ＋c 的值. 解 (1)由cos B ＝34及0<B <π，得sin B ＝1－（34）2＝74，由b 2＝ac 及正弦定理，得sin 2 B ＝sin A sin C ，于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin （A ＋C ）sin 2B＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477.(2)由BA →·BC →＝32得ca cos B ＝32， 由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2.由余弦定理得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ＝5，∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，∴a ＋c ＝3.13.(选做题)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求角A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .解(1)△ABC中，∵a cos C＋3a sin C－b－c＝0，利用正弦定理可得sin A cos C＋3sin A sin C＝sin B＋sin C＝sin(A＋C)＋sin C，化简可得3sin A－cos A＝1，∴sin(A－30°)＝1 2，∴A－30°＝30°，∴A＝60°.(2)若a＝2，△ABC的面积为12bc·sin A＝34bc＝3，∴bc＝4 ①.再利用余弦定理可得a2＝4＝b2＋c2－2bc·cos A＝(b＋c)2－2bc－bc＝(b＋c)2－3·4，∴b＋c＝4 ②.结合①②求得b＝c＝2.。