“等效替代、类比法”在物理竞赛中的妙用

巧妙使用等效思维解答高中物理试题等效思维是高中物理解题中一种非常重要的思维方式，它允许我们将复杂的物理问题简化为更易于处理的形式，或者将未知的问题转化为已知的问题来求解。

以下是一些巧妙使用等效思维解答高中物理试题的方法和示例：1. 等效替代法原理：在某些情况下，一个复杂的物理系统或过程可以被另一个更简单但效果相同的系统或过程所替代。

示例：在力学中，当分析多个力的共同作用时，可以使用力的合成与分解来等效替代。

例如，一个物体同时受到两个大小相等、方向相反的力的作用，这两个力的合力为零，可以等效为物体不受外力作用。

2. 等效电路法原理：在电路分析中，复杂的电路可以通过变换和简化，等效为简单的电路模型，从而方便求解。

示例：在求解复杂电路中的电流、电压或功率时，可以通过串并联电路的等效变换，将电路简化为简单的串并联组合，然后利用欧姆定律、基尔霍夫定律等求解。

3. 等效重力场法原理：在解决非惯性系中的物理问题时，可以引入一个等效的重力场，使得问题在惯性系中求解。

示例：在加速上升的电梯中，物体受到的支持力大于其重力，可以等效为物体在一个重力加速度更大的重力场中静止不动。

这样，就可以利用牛顿第二定律等惯性系中的规律来求解。

4. 等效过程法原理：在某些情况下，一个复杂的物理过程可以等效为一系列简单过程的组合。

示例：在求解变加速直线运动的位移时，如果加速度随时间变化，可以将其等效为多个匀变速直线运动的组合，然后分别求解每个阶段的位移并累加。

5. 等效质量法原理：在解决涉及多个物体相互作用的问题时，可以将多个物体看作一个整体，引入等效质量来简化问题。

示例：在连接体问题中，如果两个物体通过轻绳或轻杆相连，且加速度相同，可以将它们看作一个整体，引入等效质量（等于两物体质量之和），然后利用牛顿第二定律求解整体的加速度和受力情况。

应用技巧识别等效条件：在解题过程中，首先要识别出哪些条件或过程可以等效替代。

建立等效模型：根据等效条件建立等效模型，将复杂问题简化为简单问题。

类比法在物理教学中的应用类比法在物理教学中的应用类比是指在新事实同已知事物间具有类似方面作比较。

类比法是人们所熟知几种逻辑推理中，最富有创造性的。

科学史上很多重大发现、发明，往往发端于类比，类比被誉为科学活动中的“伟大的引路人”，是它首先推动了假说的产生。

尽管类比不能代替论证，但可以为理解新知识、概念和规律提供依托。

因此，作为一种“从特殊推到特殊的科学方法”，类比法在物理教学中有着广泛的应用。

一、新、旧知识类比物理学是自然科学中的一门基础科学，它不仅有一定的知识内容，而且这些内容之间存在着必然的内在联系。

将新、旧知识进行类比，给学生以启示，使学生易于掌握新知识，同时也巩固了旧知识。

如在学习静电场一节内容中，“电场”概念的建立是极为重要的，但由于此概念比较抽象，学生往往难以理解。

可以用力学中所学重力场与之类比：地球周围存在着重力场，地球上所有物体都处于重力场中，都受到了地球的作用----重力。

同样，电荷的周围存在着电场，电场对处于其中的电荷有电场力的作用，（如：点电荷间的库仑力的作用）。

再由物体在重力场中具有了与地球位置有关的重力势能，引导学生总结出，检验电荷在电场中也应具有与场源电荷位置有关的电势能。

如此类比，相当于在新旧知识间架起了一座桥梁，高。

当人的年龄接近成人阶段，其身高增长速度将逐渐减慢，但人的身高却仍在继续增高，只是增高变缓了，而并非人越长越短。

当身高停止增长，人的身高达到了他一生中的最大身高。

学生从这一简单的类比中高很易理解：加速度在减小，只意味着速度的增量在逐渐的减少，但物体的速度值却在增加，为变加速运动。

三、相关学科知识与物理知识的类比自然科学分科庞杂，物理只是众多学科之一，可以用其它学科的一些学生已学过的知识进行类比，帮助他们理解一些物理现象和物理过程。

如讲解饱和汽，学生往往认为达到饱和状态时，液体不再蒸发。

这可与生物学中“根对水的吸收”类比：当根细胞内的细胞液的浓度与土壤溶液的浓度相等时，相同时间内进出细胞膜的水分子数相等，为一动态平衡。

等效代替法在高中物理中的应用作者：胡添泉来源：《中学理科园地》2010年第02期等效代替法是在保持效果不变的前提下,用简单的熟悉的事物代替原来复杂的陌生的事物,使研究、处理问题变得简单方便。

等效代替法在高中物理概念、测量、解题等方面中均有重要应用。

使用等效代替法不仅有利于解决问题,还有利于加深对物理知识的理解和掌握。

本文仅从四个方面举例说明。

一、由于合力与分力是效果上的等效代替关系,因此可以用合力的作用效果来等效代替分力的作用效果例题1 如图1所示,竖直放置,半径为R的圆形光滑绝缘轨道处在水平面向右的匀强电场中,一质量为m的带正电小球在圆形轨道内正好能做圆周运动。

已知小球受电场力的大小等于小球的重力,求小球对圆形轨道的最大压力?解析由于质量为m的带正电小球处在引力场与电场构成的复合场中(即等效重力场中),小球在做圆周运动的过程中受到重力G和电场力F的作用,并且重力和电场力都是恒力,因此我们可以用它们的合力G′=来等效代替重力与电场力,这样小球就相当于只受到一个恒力G′的作用,这个力就是等效重力。

这时,图1中的A点和B点相当于仅受等效重力G′作用下的最低点和最高点,AB连线过O点并且和G′在同一直线上,因小球正好做圆周运动,所以小球在B点对轨道的压力正好为零,等效重力恰好提供向心力。

故有:G′==mg=m(1)小球从A到B时由动能定理得:mg×2R =mvA2-mvB2 (2)由(1)式和(2)式得:vA2 =5Rg小球在A点时对轨道的压力最大,由向心力公式得:Fmax-mg=m=5mgFmax=6mg二、交流电的有效值是利用等效代替的思想来进行定义的——交流电的有效值是根据电流的热效应来规定的,让交流和直流通过同样阻值的电阻,如果它们在同一时间内产生的热量相等,这一交流电的有效值就跟这个直流的电流相等例题2 一交流电的电流随时间的变化图象如图2所示,则此交流电的有效值是多少?解题目中给出的交流电是非正弦式交流电,其周期T=0.02s,前半个周期是电流强度为I1=4A的直流电,后半周期是电流强度为I2=3A的直流电,电流反向。

高中奥林匹克物理竞赛解题方法四、等效法方法简介在一些物理问题中,一个过程的发展、一个状态的确定,往往是由多个因素决定的,在这一决定中,若某些因素所起的作用和另一些因素所起的作用相同,则前一些因素与后一些因素是等效的,它们便可以互相代替,而对过程的发展或状态的确定,最后结果并不影响,这种以等效为前提而使某些因素互相代替来研究问题的方法就是等效法.等效思维的实质是在效果相同的情况下,将较为复杂的实际问题变换为简单的熟悉问题,以便突出主要因素,抓住它的本质,找出其中规律.因此应用等效法时往往是用较简单的因素代替较复杂的因素,以使问题得到简化而便于求解.赛题精讲例1:如图4—1所示,水平面上,有两个竖直的光滑 墙壁A 和B,相距为d,一个小球以初速度v 0从两墙 之间的O 点斜向上抛出,与A 和B 各发生一次弹性 碰撞后,正好落回抛出点,求小球的抛射角θ. 解析:将弹性小球在两墙之间的反弹运动,可等效为 一个完整的斜抛运动（见图）.所以可用解斜抛运动的 方法求解.由题意得:gv v t v d θθθsin 2cos cos 2000⋅=⋅= 可解得抛射角 202arcsin 21v gd =θ 例2:质点由A 向B 做直线运动,A 、B 间的距离为L,已知质点在A 点的速度为v 0,加速度为a ,如果将L 分成相等的n 段,质点每通过L/n 的距离加速度均增加a /n,求质点到达B 时的速度. 解析 从A 到B 的整个运动过程中,由于加速度均匀增加,故此运动是非匀变速直线运动,而非匀变速直线运动,不能用匀变速直线运动公式求解,但若能将此运动用匀变速直线运动等效代替,则此运动就可以求解.因加速度随通过的距离均匀增加,则此运动中的平均加速度为na n n a an n an a a a a a 2)13(232)1(2-=-=-++=+=末初平 由匀变速运动的导出公式得222v v L a B -=平 解得 naLn v v B )13(20-+=例3一只老鼠从老鼠洞沿直线爬出,已知爬出速度v 的大小与距老鼠洞中心的距离s 成反比,当老鼠到达距老鼠洞中心距离s 1=1m 的A 点时,速度大小为s cm v /201=,问当老鼠到达距老鼠洞中心s 2=2m 的B 点时,其速度大小?2=v 老鼠从A 点到达B 点所用的时间t=？ 解析 我们知道当汽车以恒定功率行驶时,其速度v 与牵引力F 成反比,即,v =P/F,由此可把老鼠的运动等效为在外力以恒定的功率牵引下的弹簧的运动.由此分析,可写出kxP F P v == 当11,v v s x ==时 将其代入上式求解,得2211s v Ps v P k ==所以老鼠到达B 点时的速度s cm v s s v /1020211212=⨯==再根据外力做的功等于此等效弹簧弹性势能的增加,21222121ks ks Pt -= 代入有关量可得)(21212211s s s v P Pt -⋅=由此可解得s v s s s t 5.72.012122)(22112122=⨯⨯-=-=此题也可以用图像法、类比法求解.例4 如图4—2所示,半径为r 的铅球内有一半径为2r的 球形空腔,其表面与球面相切,铅球的质量为M.在铅球和空腔的中心连线上,距离铅球中心L 处有一质量为m 的小球（可以看成质点）,求铅球对小球的引力.解析 因为铅球内部有一空腔,不能把它等效成位于球心的质点. 我们设想在铅球的空腔内填充一个密度与铅球相同的小铅球△M,然后在对于小球m 对称的另一侧位置放另一个相同的小铅球△M,这样加入的两个小铅球对小球m 的引力可以抵消,就这样将空腔铅球变成实心铅球,而结果是等效的.带空腔的铅球对m 的引力等效于实心铅球与另一侧△M 对m 的引力之和. 设空腔铅球对m 的引力为F,实心铅球与△M 对m 的引力分别为F 1、F 2. 则F=F 1－F 2 ①经计算可知:M M 71=∆,所以 22178)(L GmM L M M m G F =∆+= ②图4—2222)2(7)2(r L GmMr L M m GF -=-∆= ③ 将②、③代入①式,解得空腔铅球对小球的引力为])2(7178[2221r L LGmM F F F --=-=例5 如图4-3所示,小球长为L 的光滑斜面顶端自由下滑,滑到底端时与挡板碰撞并反向弹回,若每次与挡板碰撞后的速度大小为碰撞前速度大小的54,求小球从开始下滑到最终停止于斜面下端时,小球总共通过的路程.解析 小球与挡板碰撞后的速度小于碰撞前的速度,说明碰撞过程中损失能量,每次反弹距离都不及上次大,小球一步一步接近挡板,最终停在挡板处. 我们可以分别计算每次碰撞垢上升的距离L 1、L 2、……、L n ,则小球总共通过的路程为L L L L s n ++++=)(221 ,然后用等比数列求和公式求出结果,但是这种解法很麻烦.我们假设小球与挡板碰撞不损失能量,其原来损失的能量看做小球运动过程中克服阻力做功而消耗掉,最终结果是相同的,而阻力在整个运动过程中都有,就可以利用摩擦力做功求出路程.设第一次碰撞前后小球的速度分别为v 、1v ,碰撞后反弹的距离为L 1,则θθsin 21sin 211212mgL mv mgL mv == 其中222111)54(,54===v v L L v v 所以碰撞中损失的动能为)25161(2121212212-=-=∆mv mv mv E k 根据等效性有k E L L f ∆=+)(1 解得等效摩擦力θsin 419mg f = 通过这个结果可以看出等效摩擦力与下滑的长度无关,所以在以后的运动过程中,等效摩擦力都相同. 以整个运动为研究过程,有θsin ⋅=⋅mgL s f解出小球总共通过的总路程为.941L s =此题也可以通过递推法求解,读者可试试.例6 如图4—4所示,用两根等长的轻质细线悬挂一个小球,设L 和α已知,当小球垂直于纸面做简谐运动时,其周期为 . 解析 此题是一个双线摆,而我们知道单摆的周期,若将又线摆摆长等效为单摆摆长,则双线摆的周期就可以求出来了.将双线摆摆长等效为单摆摆长αsin L L =',则此双线摆的周期为g l g L T /sin 2/2αππ='='例8 如图4—5所示,由一根长为L 的刚性轻杆和杆端的小球组成的单摆做振幅很小的图4—3图4—4自由振动. 如果杆上的中点固定另一个相同的小球,使单摆变成一个异形复摆,求该复摆的振动周期.解析 复摆这一物理模型属于大学普通物理学的内容,中学阶段限于知识的局限,不能直接求解. 如能进行等效操作,将其转化成中学生熟悉的单摆模型,则求解周期将变得简捷易行.设想有一摆长为L 0的辅助单摆,与原复摆等周期,两摆分别从摆角α处从静止开始摆动,摆动到与竖直方向夹角为β时,具有相同的角速度ω,对两摆分别应用机械能守恒定律,于是得22)2(21)(21)cos (cos 21)cos (cos l m l m mg mgl ωωαβαβ+=-+- 对单摆,得 200)(21)cos (cos l m mgl ωαβ=-联立两式求解,得l l 650=故原复摆的周期为.65220gl g l T ππ== 例9 粗细均匀的U 形管内装有某种液体,开始静止在水平面上,如图4—6所示,已知:L=10cm,当此U 形管以4m/s 2的加速度水平向右运动时,求两竖直管内液面的高度差.（g=10m/s 2）解析 当U 形管向右加速运动时,可把液体当做放在等效重力场中,g '的方向是等效重力场的竖直方向,这时两边的液面应与等效重力场的水平方向平行,即与g '方向垂直.设g '的方向与g 的方向之间夹角为α,则4.0tan ==gaα 由图4—6可知液面与水平方向的夹角为α, 所以,.04.044.010tan m cm L h ==⨯=⋅=∆α例10 光滑绝缘的圆形轨道竖直放置,半径为R,在其最低点A 处放一质量为m 的带电小球,整个空间存在匀强电场,使小球受到电场力的大小为m g 33,方向水平向右,现给小球一个水平向右的初速度0v ,使小球沿轨道向上运动,若小球刚好能做完整的圆周运动,求0v .解析 小球同时受到重力和电场力作用,这时也可以认为小球处在等效重力场中. 小球受到的等效重力为mg mg mg G 332)33()(22=+=' 等效重力加速度g m G g 332='=' 与竖直方向的夹角︒=30θ,如图4—7甲所示.所以B 点为等效重力场中轨道的最高点,图4—6图4—7如图4—7,由题意,小球刚好能做完整的圆周运动,小球运动到B 点时的速度R g v B '=在等效重力场中应用机械能守恒定律22021)cos (21B mv R R g m mv ++'=θ 将g '、B v 分别代入上式,解得给小球的初速度为gR v )13(20+=例11 空间某一体积为V 的区域内的平均电场强度（E ）的定义为∑∑==∆=∆++∆+∆∆++∆+∆=ni ini ii nn n VVE V V V V E V E V E E 11212211如图4—8所示,今有一半径为a 原来不带电的金属球,现 使它处于电量为q 的点电荷的电场中,点电荷位于金属球外, 与球心的距离为R,试计算金属球表面的感应电荷所产生的电 场在此球内的平均电场强度.解析 金属球表面的感应电荷产生的球内电场,由静电平衡知识可知等于电量为q 的点电荷在金属球内产生的电场,其大小相等,方向相反,因此求金属球表面的感应电荷产生的电场,相当于求点电荷q 在金属球内产生的电场.由平均电场强度公式得∑∑∑∑∑=====∆=∆=∆=∆∆=ni ni ii i ni i i i ni ini ii V V r kq V V E V E VVVE E 1121111 设金属球均匀带电,带电量为q,其密度为Vq=ρ,则有 ∑∑==∆=∆=ni ni iii i r q k r V k E 11221ρ ∑=∆ni ii r q k 12为带电球体在q 所在点产生的场强,因而有2R kqE =,方向从O 指向q. 例11 质量为m 的小球带电量为Q,在场强为E 的水平匀强电场中获得竖直向上的初速度为0v . 若忽略空气阻力和重力加速度g 随高度的变化,求小球在运动过程中的最小速度.解析 若把电场力E q 和重力mg 合成一个力,则小球相当于只受一个力的作用,由于小球图4—8运动的初速度与其所受的合外力之间成一钝角,因此可以把小球的运动看成在等效重力G '（即为合外力）作用下的斜抛运动,而做斜抛运动的物体在其速度方向与G '垂直时的速度为最小,也就是斜抛运动的最高点,由此可见用这种等效法可以较快求得结果.电场力和重力的合力方向如图4—9所示, 由图所示的几何关系可知Eqm g=θtan 小球从O 点抛出时,在y 方向上做匀减速直线运动,在x 轴方向上做匀速直线运动. 当在y 轴方向上的速度为零时,小球只具有x 轴方向上的速度,此时小球的速度为最小值,所以2200min )()(cos Eq mg Eqv v v +==θ此题也可以用矢量三角形求极值的方法求解,读者可自行解决. 例12 如图4—10所示,R 1、R 2、R 3为定值电阻,但阻值未 知,R x 为电阻箱.当R x 为Ω=101x R 时,通过它的电流Ω==18;121x x x R R A I 为当时,通过它的电流.6.02A I x =则当A I x 1.03=时,求电阻.3x R解析 电源电动势ε、内电阻r 、电阻R 1、R 2、R 3均未知, 按题目给的电路模型列式求解,显然方程数少于未知量数,于 是可采取变换电路结构的方法.将图4—10所示的虚线框内电路看成新的电源,则等效电 路如图4—10甲所示,电源的电动势为ε',内电阻为r '. 根据 电学知识,新电路不改变R x 和I x 的对应关系,有),(11r R I x x '+='ε ① ),(22r R I x x '+=='ε ② )(33r R I x x '+='ε ③由①、②两式,得Ω='='2,12r V ε, 代入③式,可得Ω=1183x R例13 如图4—11所示的甲、乙两个电阻电路具有这样的特性:对于任意阻值的R AB 、R BC 和R CA ,相应的电阻R a 、R b 和R c 可确定. 因此在对应点A 和a ,B 和b 、C 和c 的电位是相同的,并且,流入对应点（例如A 和a ）的电流也相同,利用这些条件图4—10图4—10甲证明:CABC ABCAAB a R R R R R R ++=,并证明对R b 和R c 也有类似的结果,利用上面的结果求图4—11甲中P 和Q 两点之间的电阻.解析 图4—11中甲、乙两种电路的接法分别叫三角形接法和星形接法,只有这两种电路任意两对应点之间的总电阻部分都相等,两个电路可以互相等效,对应点A 、a 、B 、b 和C 、c 将具有相同的电势.由R a b =R AB ,R ac =R AC ,R bc =R BC ,对a b 间,有CA BC AB BC AB CAAB BC AC AB b a R R R R R R R R R R R R +++=++=+-1)11(① 同样,a c 间和bc 间,也有CA BC AB CA BC CAAB BC AB CA c a R R R R R R R R R R R R +++=++=+-1)11(② CABC AB CA BC BCAB CA AB BC c b R R R R R R R R R R R R +++=++=+-1)11(③ 将①+②－③得:CABC ABCAAB a R R R R R R ++=再通过①－②＋③和③+②－①,并整理,就得到R b 和R C 的表达式.CABC AB ACBC c CABC ABBCAB b R R R R R R R R R R R R ++=++=下面利用以上结果求图4—12乙中P 和Q 两点之间的电阻. 用星形接法代替三角形接法,可得图4—12乙所示电路,PRQS 回路是一个平衡的惠斯登电桥,所以在RS 之间无电流,因此它与图4—12丙所示电路是等效的. 因此PQ 之间的总电阻R PQ 可通过这三个并联电阻求和得到.Ω=++=-4)61181361(1PQ R 例14 如图4—13所示,放在磁感应强度B=0.6T 的匀强磁场中的长方形金属线框a bcd,图4—11 4—12甲 4—12乙 4—12丙框平面与磁感应强度方向垂直,其中a b 和bc 各是一段粗细均匀的电阻丝R ab =5Ω,R bc =3Ω,线框其余部分电阻忽略不计.现让导体EF 搁置在a b 、cd 边上,其有效长度L=0.5m,且与a b 垂直,阻值R EF =1Ω,并使其从金属框ad 端以恒定的速度V=10m/s 向右滑动,当EF 滑过ab 长的4/5距离时,问流过a E 端的电流多大？解析 EF 向右运动时,产生感应电动势ε,当EF 滑过a b 长的54时,电路图可等效为如图4—13甲所示的电路.根据题设可以求出EF 产生的感应电动势ε,V BLV 3)105.06.0(=⨯⨯==ε Ω=Ω=Ω=3,1,4bc Eb aE R R R此时电源内阻为导体EF 的电阻,Ω==1EF R r ,则电路中的总电阻为Ω=+++⋅+=3)()(bc Eb aE bc Eb aE R R R R R R r R电路中的总电流为.1A RI ==ε∴通过a E 的电流为A I aE 5.0=例15 有一薄平凹透镜,凹面半径为0.5m,玻璃的折射 率为1.5,且在平面上镀一层反射层,如图4—14所示,在此 系统的左侧主轴上放一物S,S 距系统1.5m,问S 成像于何处？解析 本题可等效为物点S 先经薄平凹透镜成像,其像为 平面镜的物,平面镜对物成像又为薄平凹透镜成像的物,根据 成像规律,逐次求出最终像的位置.根据以上分析,首先考虑物S 经平凹透镜的成像S ', 根据公式11111f P P =+' 其中)(1)15.01)(15.1()11)(1(1121--=∞---=--=m R R n f 故有m P P 6.015.11111-='-=+'成像在左侧,为虚像,该虚像再经平凹透镜成像S ''后,其像距为图4—13图4—13甲图4—14m P P P 6.0122='-=-='成像在右侧,为虚像,该虚像再经平凹透镜成像S ''',有)(11,6.0,11112333--=='=='+m fm P P f P P 其中 故m P P 375.016.01133-='-=+'成虚像于系统右侧0.375m 处此题还可用假设法求解.针对训练1．半径为R 的金属球与大地相连,距球心L 处有一带 电量为+q 的点电荷如图4—15所示. 求（1）球上感应电荷的总电量； （2）q 受到的库仑力.2．如图4—16所示,设Ω=Ω=Ω=Ω=Ω=Ω=99,40,10,5,80,40654321R R R R R RΩ=Ω=20,10187R R ,求AB 之间的电阻.3．电路如图4—17所示,Ω====35431R R R R 时,Ω=12R ,求AB 间的等效电阻. 4．有9个电阻联成如图4—18电路,图中数字的单位是Ω,求PQ 两点间的等效电阻. 5．如图4—19所示电路,求AB 两点间的等效电阻.图4—15图4—16图4—17图4—18图4—19图4—206．如图4—20所示,由5个电阻联成的网络,试求AB 两点间的等效电阻.7．由7个阻值均为r 的电阻组成的网络元如图4—21甲所示.由这种网络元彼此连接形成的无限梯形网络如图4—21乙所示.试求P 、Q 两点之间的等效电阻.8．图4—22表示一交流电的电流随时间而变化的图像,此交流电流有效值是（ ） A ．A25 B ．A 5 C ．A 25.3 D ．A 5.39．磁流体发电机的示意图如图4—23所示,横截面为距形的管道长为L,宽为a ,高为b,上下两个侧面是绝缘体,相距为a 的两个侧面是电阻可忽略的导体,此两导体侧面与负载电阻R L 相连.整个管道放在一个匀强磁场中,磁感应强度的大小为B,方向垂直于上下侧面向上. 现有电离气体（正、负带电粒子）持续稳定的流经管道,为了使问题简化,设横截面上各点流速相同. 已知流速与电离气体所受的压力成正比；且无论有无磁场存在时,都维持管道两端电离气体的压强差皆为p. 设无磁场存在时电离气体的流速为0v . 求有磁场存在时流体发电机的电动势的大小ε. 已知电离气体的平均电阻率为ρ.10．一匀质细导线圆环,总电阻为R,半径为a ,圆环内充满方向垂直于环面的匀强磁场,磁场以速率K 均匀地随时间增强,环上的A 、D 、C 三点位置对称. 电流计G 连接A 、C 两点,如图4—24所示,若电流计内阻为R G ,求通过电流计的电流大小.11．固定在匀强磁场中的正方形导线框a bcd,各边长为L 1, 其中a b 是一端电阻为R 的均匀电阻丝,其余三边均为电阻可忽图4—21甲图4—21乙图4—22图4—23图4—24图4—25略的铜线,磁场的磁感应强度为B,方向垂直纸面向里,现有一与a b 段的材料、粗细、长度都相同的电阻丝PQ 架在导线框上,如图4—25所示,以恒定的速度v 从a d 滑向bc,当PQ 滑过1/3L的距离时,通过a P 段电阻丝的电流是多大？方向如何？12．如图4—26所示,一根长的薄导体平板沿x 轴放置,板面位于水平位置,板的宽度为L,电阻可忽略不计,aebcfd 是圆弧形均匀导线,其电阻为3R,圆弧所在的平面与x 轴垂直,圆弧的两端a 和d 与导体板的两个侧面相接解,并可在其上滑动. 圆弧a e=eb=cf=fd=（1/8）圆周长,圆弧bc=（1/4）圆周长,一内阻R g =nR 的体积很小的电压表位于圆弧的圆心O 处,电压表的两端分别用电阻可以忽略的直导线与b 和c 点相连,整个装置处在磁感应强度为B 、方向竖直向上的匀强磁场中. 当导体板不动而圆弧导线与电压表一起以恒定的速度v 沿x 轴方向平移运动时（1）求电压表的读数；（2）求e 点与f 点的电势差（U e －R f ）.13．如图4—27所示,长为2πa 、电阻为r 的均匀细导线首尾相接形成一个半径为a 的圆.现将电阻为R 的电压表,以及电阻可以忽略的导线,按图a 和图b所示的方式分别与圆的两点相连接. 这两点之间的弧线所对圆心角为θ.若在垂直圆平面的方向上有均匀变化的匀强磁场,已知磁感应强度的变化率为k,试问在图a 、b 两种情形中,电压表的读数各为多少？14．一平凸透镜焦距为f,其平面上镀了银,现在其凸面一侧距它2f 处,垂直于主轴主置一高为H 的物,其下端位于透镜的主轴上如图4—28所示.（1）用作图法画出物经镀银透镜所成的像,并标明该像是虚、是实；（2）用计算法求出此像的位置和大小.15．如图4—29所示,折射率n=1.5的全反射棱镜上方6cm 处放置一物体AB,棱镜直角边长为6cm,棱镜右侧10cm 处放置一焦距f 1=10cm 的凸透镜,透镜右侧15cm 处再放置一焦距f 2=10cm 的凹透镜,求该光学系统成像的位置和放大率.图4—26图4—27图28 图29答案:1．2222)(,R L q KRL q L R -- 2．Ω11120 3．Ω37 4．Ω4 5．Ω5.0 6．Ω4.1 7．1.32r 8．C 9．Lb R a BL a Bv p p10++ρ 10．RqR K a G 232+π 11．R v BL 1161 a 向P 12．（1）R nR Bav nR 232+ （2）Bav n n )223122(+++- 13．0,2224)2(sin 2πθπθθπ+-Rr k a 14．（1）图略 （2）距光心H f 31,32 15．凹透镜的右侧10cm 处,放大率为2。

物理学习中的科学方法1、等效(替代)法在物理学中，将一个或多个物理量、一种物理装置、一个物理状态或过程用另一个物理量、一种物理装置、一个物理状态或过崔来替代，得到同样的结论．这样的方法称为等效(替代)法，运用这样的方法可以使所要研究的问题简单化、直观化。

(1)在力的合成中，若干个共同作用的分力就可以等同于作用效果相同的一个合力，相反，一个力也可以分解为作用效果相同的若于分力(2)在电路中，若干个电阻，可以等效为一个合适的电阻，反之亦可，如串联电路的总电阻、并联电路的总电阻都利用了等效的思想(3)在“曹冲称象”中用石块等效替换大象，效果相同(4)在研究平面镜成像实验中，用两根完全相同的蜡烛，其中一根等效另一根的像2、建立理想模型法把复杂问题简单化，摒弃次要条件，抓住主要因素，对实际问题进行理想化咎理，构建理想化的物理模型，这是一种重要的物理思想。

在建立起理想化模型的基础上，有时为了更加形象地描述所要研究的物理现象、物理问题，还需要引入一些虚拟的内容，藉此来形象、直观地表述物理情景。

(1)匀速直线运动，就是一种理想模型。

在生活实际中严格的匀速直线运动是无法找到的，但有很多的运动情形都近似于匀速直线运动，按匀速直线运动来处理，大大简化了难度，得出的结果又具有极高的精度，在允许的误差范围内与实际相吻合(2)杠杆也是一种理想模型，杠杆在实际使用时，由于受力的作用，都会引起或大或小的形变，可忽略不计，因此，我们就把杠杆理想化，认为它无形变(3)汛期，江河中的水有时会透过大坝下的底层从坝外的地面冒出来，形成“管涌”，“管涌”的物理模型是连通器(4)光线、磁感线都是虚拟假定出来的，但它们却直观、形象地表述物理情景与事实，方便地解决问题。

通过磁感线研究磁场的分布，通过光线研究光的传播路径和方向（5）力的图示、力的示意图、电路图。

3、实验推理法：实验推理法它以大量的可靠的事实为基础，以真实的实验为原形，通过合理的推理得出结论，深刻地揭示物理规律的本质，是物理学研究的一种重要的思想方法(1)研究牛顿第一定律(2)研究真空中能否传声(3)“自然界中只存在两种电荷”这一重要结论，是在实验的基础上进行推理得出来的4、转换法在物理学习中，有时需要研究看不见的物质(如电流、分子、力、磁场)，这时就必须将研究的方向转移到由该物质产生的各种可见的效应、效果上，由此来分析、研究该物质的存在、大小等情况，这种研究方法称为转换法转换法作为一种思维方式也时常在分析、解决问题时应用到(1)电流看不见、摸不着，判断电路中是否有电流时，我们可通过电路中的灯泡是否发光去确定。

·竞赛园地·“等效替代、类比法”在物理竞赛中的妙用徐延明（西北工业大学附中，陕西西安　７１００７２） 对于刚刚踏入高中、准备参加物理竞赛的学生来说，无论是其生活经历、知识储备、理解能力还是思维水平，对搞好物理竞赛都有一定的困难．如何才能帮助学生度过难关？笔者作为从事一线教学的教师，体会是要逐渐渗透教给学生一些重要的物理研究方法，活跃学生的思维，拓宽学生的思路，提高他们分析问题和解决问题的能力．这其中要引导学生学会的一个重要方法就是“等效替代、类比法”．等效替代、类比法是物理研究方法中应用广泛的重要方法之一，是科学研究中常用的一种思维方法．所谓等效替代、类比法，就是从事物间的等同效果出发，通过一定的替代、类比来学习和研究物理现象、过程、规律的一种方法．其优点是把复杂的、陌生的物理现象或过程，转化为等效、简单的，学生较熟悉的，易于理解的物理现象或过程来研究和处理．下面，笔者通过实例来说明等效替代、类比法在物理竞赛习题教学中的运用．例１．（第１７届复赛第３题）１９９５年，美国费米国家实验室ＣＤＦ实验组和ＤＯ实验组在质子反质子对撞机ＴＥ－ＶＡ－ＴＲＯＮ的实验中，观察到了顶夸克，测得它的静止质量ｍτ＝１．７５×１０１１ｅＶ／ｃ２＝３．１×１０－２５　ｋｇ，寿命τ＝０．４×１０－２４ｓ，这是近１０多年来粒子物理研究最重要的实验进展之一．（１）正反顶夸克之间的强相互作用势能可写为Ｖ（ｒ）＝－ｋ４ａｓ３ｒ，式中ｒ是正反顶夸克之间的距离，ａｓ＝０．１２是强相互作用耦合常数，ｋ是与单位制有关的常数，在国际单位制中ｋ＝０．３１９×１０－２５Ｊ·ｍ，为估算正反顶夸克能否构成一个处在束缚状态的系统，可把束缚状态设想为正反顶夸克在彼此间的吸引力作用下绕它们连线的中点做匀速圆周运动，如能构成束缚态，试用玻尔理论确定系统处于基态中正反顶夸克之间的距离ｒ０，已知处于束缚态的正反顶夸克粒子满足量子化条件２ｍｖｒ０（）２＝ｎｈ２（）π，ｎ＝１，２，３，……式中ｍｖｒ０（）２为一个粒子的动量ｍｖ与其轨道半径ｒ０２的乘积，ｎ为量子数，ｈ＝６．６３×１０－３４Ｊ·ｓ为普朗克常量．（２）试求正反顶夸克在上述设想的基态中做匀速圆周运动的周期Ｔ，你认为正反顶夸克的这种束缚态能存在吗？正反顶夸克之间的强相互作用属近代物理知识，高中课本只是一句话带过，学生很陌生．这道题用等效替代、类比法就能使问题迎刃而解．解析：（１）我们知道，相距为ｒ的电荷量为Ｑ１与Ｑ２的两点电荷之间的库仑力ＦＱ与电势能ＵＱ公式为ＦＱ＝ｋＱＱ１Ｑ２ｒ２，（１）ＵＱ＝－ｋＱＱ１Ｑ２ｒ．（２）现在已知正反顶夸克之间的强相互作用势能为Ｕ（ｒ）＝－ｋ４ａＳ３ｒ．上式对比于公式（１）、（２），类比可知，正反顶夸克之间的强相互作用力为Ｆ（ｒ）＝ｋ４ａｓ３ｒ２．（３）设正反顶夸克绕其连线的中点做匀速圆周运动的速率为ｖ，因二者相距ｒ０，二者所受的向心力均为Ｆ（ｒ０），强相互作用力提供向心力，有ｍτｖ２ｒ０／２＝ｋ４ａＳ３ｒ２０．（４）由题给的量子化条件，粒子处于基态时，取量子数ｎ＝１，得２　ｍτｖｒ０（）２＝ｈ２π．（５）由（４）、（５）两式解得ｒ０＝３ｈ２８π２　ｍτａＳｋ．（６）代入数值得ｒ０＝１．４×１０－１７　ｍ．（２）由（４）、（５）式得ｖ＝πｈｋ４ａＳ（）３．（７）由ｖ和ｒ０可算出正反顶夸克做匀速圆周运动的周期为Ｔ＝２π（ｒ０／２）ｖ＝ｈ３２π２　ｍτｋ４ａＳ３２．（８）代入数值得，Ｔ＝１．８×１０－２４　ｓ．由此可得，τ／Ｔ＝０．２２．因正反顶夸克的寿命只有它们组成的束缚系统的周期的１５，故正反顶夸克的束缚态通常是不存在的．例２．质量为ｍ、带电荷量为Ｑ的粒子放在离无限大导电板Ｌ处．现释放该粒子，求它经过多长时间飞到板上．重力不计．解析：将带电粒子放在导电板前ｘ处时，在板上出现感应电荷，吸引粒子．采用镜像法，它们之间作用等效于电荷与像电荷相互作用，像电荷的电量为－Ｑ，位于板另一侧ｘ处，与粒子对称，到板的距离相等．作用在粒子上的静电力由库仑定律得Ｆ＝ｋＱ２（２ｘ）２＝ｋＱ２４ｘ２∝１ｘ２．式中，ｘ为粒子到导电板的距离．对比万有引力公式Ｆ万＝ＧｍＭｘ２∝１ｘ２，ｘ为粒子ｍ和质点Ｍ的距离．运用等效替代、类比法，可想象该粒子不是受电场力作用，而是受放在０点、质量为Ｍ的质点的万有引力作用，且引力大小等于原电场力，即—２７—Ｖｏｌ．３３Ｎｏ．３（２０１２）物　理　教　师ＰＨＹＳＩＣＳ　ＴＥＡＣＨＥＲ第３３卷第３期２０１２年一道摩擦力奥赛题的新解李卫平　郑　磊（西华师范大学物理与电子信息学院，四川南充　６３７００９）　图１ 在《物理竞赛集训精编》一书中有这样一道例题：如图１所示，平而薄的匀质圆板，放在水平桌面上，圆板绕着过中心Ｏ的竖直轴旋转，Ｏ点相对桌面做水平运动．如果圆板与桌面间的摩擦因数处处相同，试证圆板所受摩擦力的合力方向必与Ｏ点运动方向相反．［１］笔者曾撰文分析了书中对该题解答的不完整之处，并基于对原解答方法的延伸而给出了补充解答．［２］近日，在辅导中学生物理奥赛的教学中笔者又得到该题的另一充分利用速度瞬心性质的新解法，觉得颇为简明，因而予以介绍．旋转的圆盘（或其扩展部位）上必定存在一速度瞬心．在桌面参照系中建立如图２、图３的坐标系，显然，瞬心应在与圆盘中心速度ｖ０垂直的ｙ轴的正半轴上．图２图３若圆盘旋转的角速度ω、圆盘中心的速度ｖ０和圆盘的半径Ｒ满足关系ωＲ＜ｖ０，则瞬心在圆盘外部（或者说在圆盘扩展部位）的ｙ轴上，如图２所示的Ｏ１点．此刻在桌面参照系中圆盘绕Ｏ１点旋转．在圆盘上取两等质量的关于ｙ轴对称的点部位Ａ和Ｂ，Ａ、Ｂ两点部位绕瞬心Ｏ１逆时针转动的速度矢量ｖＡ、、ｖＢ关于直线ＡＢ（与ｖ０平行）具有翻转１８０°的对称性，因此Ａ、Ｂ两点部位所受摩擦力ｆＡ、ｆＢ也具有关于直线ＡＢ翻转１８０°的对称性．所以ｆＡ、ｆＢ在ｙ轴方向的分量相互抵消，其合力与ｖ０反向．如此将整个圆板关于ｙ轴对称地分解成一系列的点部位结构组，便可得知当圆盘瞬心在位于圆盘外部（或者说在圆盘扩展部位）的ｙ轴上时其所受摩擦力的合力与ｖ０反向．若圆盘旋转的角速度ω、圆盘中心的速度ｖ０和圆盘的半径Ｒ满足关系ωＲ≥ｖ０，则瞬心在圆盘内部（包括圆盘边缘）的ｙ轴上，如图３所示的Ｏ２点．此刻在桌面参照系中圆盘绕Ｏ２点旋转．过Ｏ２点作与ｖ０平行的直线交圆周于Ｐ１、Ｐ２两点，作弧Ｐ１Ｑ１Ｐ烇烋２关于直线Ｐ１Ｐ２的位于圆内的对称弧线Ｐ１Ｑ２Ｐ烇烋２．在圆盘上被两弧线所围的区域Ｐ１Ｑ１Ｐ２Ｑ２Ｐ１中，取两质量相等的关于瞬心Ｏ２的对称点部位Ｃ和Ｄ，此两点的速度ｖＣ、ｖＤ等大反向，两点所受摩擦力ｆＣ、ｆＤ亦等大反向，其合力为零．如此将圆盘上被两弧线所围的整个区域Ｐ１Ｑ１Ｐ２Ｑ２Ｐ１关于Ｏ２点对称地分解成一系列的点部位结构组，不难得知圆盘上被两弧线所围区域Ｐ１Ｑ１Ｐ２Ｑ２Ｐ１所受摩擦力的合力为零．对圆盘的剩余部分，类似于图２，通过取关于ｙ轴等质量的对称点部位的方法，不难得知其所受摩擦力的合力与ｖ０反向．因此当圆盘瞬心在位于圆盘内部（包括圆盘边缘）的ｙ轴上时其所受摩擦力的合力也与ｖ０反向．综上可知该题的结论在各种情况下均成立．参考文献１　舒幼生．物理竞赛集训精编．上海：上海辞书出版社，２００１．５０～５１２　赵景春，李卫平．一道解答不完整的奥赛力学题．物理教师（高中版），２００９（８）．（收稿日期：２０１１－１０－２０） Ｆ万＝Ｆ，ｋＱ２４ｘ２＝ＧｍＭｘ２，得　Ｍ＝ｋＱ２４Ｇｍ．经过这样的物理模型转换，粒子的运动可以看作是行星运动，遵循开普勒定律．在这里，利用物理模型的等效替代法，使复杂、陌生的模型变成了学生熟悉、简单的模型．由于粒子初速度为零，所以粒子运行轨迹可以看作是非常扁的椭圆，粒子初位置和板的间距近似为椭圆的长半轴．即Ｌ＝２ａ．由开普勒第三定律Ｔ２ａ３＝４π２ＧＭ，得粒子绕Ｍ质点做椭圆运动周期Ｔ＝２πＬＱｍＬ２槡ｋ． 显然，粒子飞到板所需时间等于半个周期，即ｔ＝Ｔ２＝πＬＱｍＬ２槡ｋ．由以上实例可看出，在物理教学过程中，运用等效替代、类比法，不仅可以化解疑难问题，使我们对物理问题的分析和解答变得简捷，而且对灵活运用知识、促使知识、技能和能力的迁移，都会有很大的帮助．与此同时，也更让我们认识到，解题方法比解题本身更重要，题目是载体，方法是灵魂．教师平时要慢慢渗透，引领学生体会研究物理的各种方法，这样更有利于培养学生的创新性思维，拓宽其思路，使学生对知识的理解和运用到达一个更高的境界．（收稿日期：２０１１－０８－１５）。

浅谈高中物理中的等效替代法福州高级中学林晓琦物理学是研究物质运动的最基本、最普遍的规律及物质的构成、物质间相互作用的一门科学。

物理学在长期的发展过程中，形成了一整套思维方法，这些方法不仅对物理学的发展起了重要的作用，而且对其他相关学科的发展以至社会思潮和社会生活也产生了一定的影响。

自然界物质的运动、构成及其相互作用是极其复杂的，但它们之间存在着各种各样的等同性，为了认识复杂的物理事物的规律，我们往往从事物的等同效果出发，将其转化为简单的、易于研究的物理事物，这种方法称为等效替代法。

按等同效果形式的不同，可将其分为模型等效替代、过程等效替代、作用等效替代和本质等效替代等。

一、模型等效替代在物理学研究问题的过程中，我们常常用简单的、易于研究的模型来代替复杂的物理原形，这种方法称为模型等效替代法。

它既包括对各种理想模型的具体应用，也包括利用各种实物模型来模仿、再现原形的某些特征、状态和本质。

这种方法并不是对客观存在的物理对象进行研究，而是借助于对模型的研究，达到认识原形的目的。

用模型来替代原形的方法是通过抽象、概括等思维过程形成的理想模型，如质点、重心、理想气体、点电荷等，都是在一定条件下、一定的精度范围内对实际客体的一种等效替代。

下面以重心为例说明这个问题。

学生对重力似乎很熟悉，以为很简单。

但仔细一想，不那么简单，物体有无数个微小的组成部分，实际上每个部分都要受到微小的重力，这些微小重力的作用点都各不相同。

若是这样来研究重力，复杂得无从下手。

物理学的研究方法，就是设想把无数个微小的重力用一个等效的重力来替代，重心就是这个等效重力的作用点。

当然，随着条件和要求精度的变化，这些模型也要随之变化，从而用更能反映实际客体属性的模型来替代。

模型等效替代的另一种形式是用实物模型来代替实际客体，通过对实物模型的研究来认识其原形的本质属性及其规律性。

在物理教学中，经常制成发电机模型、内燃机模型、电动机模型等来模拟实际发电机、内燃机、电动机的工作过程，从而使学生更好地理解其工作原理。

等效替代法在物理学习中的妙用等效法是物理方法中应用广泛的重要方法，是科学研究中常用的一种思维方法。

在效果等同的前提下，把实际的、复杂的物理过程变成理想的简单的等效过程来处理，可使计算大为简化，又可加深对物理概念、规律的理解。

学生学到的等效方法是从具体的实例中体验来的，他们对于等效法的认识是割裂的、分散的，往往是一种错误的观念，认为等效的两个物理现象应该具有相同的本质。

这种认识上的错误妨碍他们对等效法的普遍性认识。

实际上，等效法是不论性质的，这种思想方法准则只有一条，那就是保持效果相等。

1. “曹冲称象”。

曹冲运用了等效替代的方法，巧妙地测出了大象的体重。

图1我们一块思考几个问题：（1）当时曹冲遇到什么难题？（称量工具量程不够）（2）出发点是什么？（化整为零、等效的原理）（3）具体如何实施呢？（控制住水的密度和船的吃水深度）2. 研究平面镜成像特点我们一块思考几个问题：（1）我们遇到的难题又是什么？（平面镜成虚像，不便于确定虚像的位置）（2）出发点是什么？（“视觉等效”）（3）具体如何实施呢？我们找一块平面镜还是透明玻璃呢？（当然是透明玻璃了，这样可以方便确定虚像的位置）；操作步骤中在桌面上铺一张黑纸，又为什么呢？（为了更清楚的看到烛焰的像）；看到后又如何记录下呢？（当然再准备一只与点燃蜡烛完全相同的未点燃的蜡烛啦）。

把它放到玻璃板的后方，调整该蜡烛直至看上去也点燃似的，然后作好标记进行研究。

3. 研究等效电阻我们在研究电路的等效电阻时，强调电路效果相同的含义是什么呢？（应该是指保证电源电压恒定时电路中的电流大小相同）下面我们继续运用“等效”方法分析几个问题。

（1）图2为一测量灯泡发光强度的装置。

AB是一个有刻度的底座，两端可装两个灯泡，中间带一标记线的光度计可在底座上移动，通过观察可以确定两边灯泡在光度计上的照度是否相同，已知照度与灯泡的发光强度成正比、与光度计到灯泡的距离的平方成反比。

现有一个发光强度为I0的灯泡a和一个待测灯泡b，分别置于底座两端（如图2），我们如何测出待测灯泡b的发光强度？图2点评：本题看似很难，实际完全考查学生对题目信息的挖掘和对学习方法的迁移运用：等效替代。

模型巧等效快捷解问题——谈等效思想在解竞赛类物理问题中的运用姜树青（浙江省平湖中学，浙江平湖314200）在物理学中，从力学中力的合成和分解，到重心、惯性力概念；从电磁学中电像法、等效电压源和等效电流源、等效电路，到交流电的有效值、分子电流、位移电流概念；从热学中的热功当量，到光学系统成像的虚物概念……无不闪烁着等效思想的光辉．不仅如此，等效思想在物理解题中更是发挥着独特而奇妙的作用．尤其是竞赛类问题，题目难度大，技巧性强，能力要求高，一些问题按常规思路来考虑，似乎无从下手，或者需要借助高等数学才能解决．但如果巧用等效思想，常常能化难为易，学化繁为简，用中数学知识即可把问题完满解决．下面笔者介绍两类等效——巧用已知模型和构建新模型．1 巧用已知模型等效这类等效法是指将题目和常见、简单、熟知且早有结论的已知问题模型等效，利用已知问题的处理方法和结论，来解决题给问题．介绍以下三种情形：1.1 类比已知模型进行等效将题目和已往熟知的已知问题模型作类比，找出它们的共同点，类比已知问题的求解方法和结论，解决题给问题．例1.真空中两完全相同的金属半球半径为R，分别带有电量为Q / 2的等量、同种电荷．求当两半球充分正对接近时，两者之间库仑斥力的大小．见图1.1所示．[分析与解答]本题中当两半球充分正对接近时，可视为一个带电量为Q的整球．不难看出，电荷将在两半球面上将作均匀分布．考虑如右模型：将半径为R的薄球壳内抽成真空，球壳外界为压强为P0的大气压环境．由马德堡半球实验知道，球外空气对半个球壳外表面压力的合力为πR2·P0．把图1.1中半球受库仑力和图1.2中球壳外表面受压力作类比，可知两者模型等效．这样，只要求出本题中库仑斥力的等效压强，即可求出每个半球受到的库仑力的合力了．求解如下：当两半球球充分正对接近时，球面上电荷的面密度为设想在球面上取面积微元ds ，则电量微元dq 为电量微元dq 在面元两侧产生的场强相同，设为E 1，有因两半球充分正对接近，故可视为一个整球．因球面内侧附近的场强为0，故电量微元dq 和两半球面上其余电量在面积微元ds 内侧附近产生的场强一定等大反向，设其余电量在面积微元ds 附近产生的场强大小为E 2 ，有电量微元dq 受到其余电量的库仑斥力，方向沿球心与面元中心连线指向球外，大小为于是球面的等效压强为类比马德堡半球实验，得两半球之间的库仑力的合力大小为 【点评】按常规思路，球面上任意电量微元均受到整个球面上其余电量的库仑力，欲求其中一个半球受到的合力，必须采用球面积分，且运算烦琐．本题求解通过类比马德堡半球模型，把问题巧妙地等效成“恒定的压强P 作用于面积πR 2，求压力”，避免了复杂的积分运算，做到了化难为易、化繁为简，学生在中学数学程度即可求解．1.2 “组合”已知模型进行等效 把复杂问题用两个（或更多）已知的简单模型“组合”起来进行24R Q πσ=ds R Q ds dq 24πσ==2122R Q k k E ==σπ2122R Q k E E ==ds R kQ dq E dF 4228π==428R kQ ds dF p π==2228R kQ p R F =⋅=π等效替代，从而使复杂问题简单化．通常原有问题模型常见、熟知，有些现成结论又可直接拿来使用，用这种方法解题往往显得轻车熟路、快捷准确．例2. 滑块（视为质点）静放在粗糙水平面上，原长足够长的轻质水平弹簧，左端固定在墙壁上，右端与滑块相连，弹簧处于原长状态时，滑块静止于O处，如图2.1所示．如果把滑块向右拉离平衡位置x0的距离然后释手，滑块恰能保持静止．今将滑块向右拉离平衡位置x（x＞x0）的距离释手，问：欲使滑块释手后运动方向总共改变n次，x须满足什么条件？（设弹簧总在弹性限度内，滑块受最大静摩擦力与滑动摩擦力相等）[分析与解答]本题中滑块在粗糙水平面上运动，除受弹簧弹力外还受滑动摩擦力作用．虽滑动摩擦力大小恒定，但是弹簧弹力则为变力，滑块受合力大小和方向均不恒定，似乎不用高等数学知识无法求解．其实本题可由弹簧振子装置在重力场中竖直悬吊模型（见图2.2甲）和下端竖直支持模型（见图2.2乙）等效组合得到：当物块从右向左振动时，与图2.2甲中物块向上振动情形相当；当物块从左向右振动时，与图2.2乙中物块向上振动情形相当．所不同的是，图2.2中的平衡位置在物块重力和弹簧弹力相平衡处，而图2.1中的平衡位置则在物块受滑动摩擦力和弹簧弹力相平衡处．这样，本题中的物块振动有两个等效平衡位置：当物块从右向左振动时，以O1′为平衡位置；当物块从左向右振动时，以O2′为平衡位置。