设 n1 ( x1 , y1 , z1 ) ，n2 ( x2 , y2 , z 2 ) 分别是 平面ADE、平面B1C1F的法向量，则， n DA n AE ，
a ∥b a=kb; 线面平行：l ∥α a⊥u u=0; a· 面面平行：α∥β u ∥v u=kv. 线线垂直：l ⊥ m a ⊥ b a· b=0; 线面垂直：l ⊥ α a ∥ u a=ku; 面面垂直：α ⊥ β u⊥v u·v=0.
线线平行：l∥m
时，的夹角在什么范围内？
23
立体几何中的向 量方法
24
1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间
向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几
何问题转化为向量问题； （化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的
位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
a
(a1 , a2 , a3 ),( R) ;
a b a1b1 a2b2 a3b3
;
a // b a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ( R) ; a1 / b1 a2 / b2 a2 / b2 .
a b a1b1 a2b2 a3b3 0 ;
（a b) c a (b c)
16
向量数量积的应用
1、应用 a b a b 0 可证明两直线垂直，
2 2 2、利用 a a 可求线段的长度。
17
3.1.4空间向量正交分解及其坐标表示
空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c 不共面，那么对空间任一向量p,存在有序 实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.
A B
e
A1
B1
l
注意： ,A1B1是一个可正可负的实数， AB 是轴l上的正射影 它的符号代表向量 与 l的方向的相对关系，大小代 AB 表在l上射影的长度。
14
4)空间向量的数量积性质 对于非零向量a , b ，有：
1) a e a cos a, e 2) a b a b 0 3) a a a
注意：
（1）当 cos a , b 1 时， a 与 b 同向；
a与 （2）当 cos a , b 1 时，
1 cos a , b 0 思考：当 0 cos a , b 1 及
b 反向； （3）当cos a , b 0 时，a b 。
高中数学选修2-1第二章
《空间向量与立体几何》 空间向量复习
1 法门高中姚连省制作
3.1.1空间向量的运算
B
b
O
b a
A
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 2 关结论仍适用于它们。
类比思想
数形结合思想
n
a α
b
27
(1)求平面的法向量的坐标的一般步骤:
• 第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z). • 第二步(列):根据n· a = 0且n· b = 0可列出方程组 x1 x y1 y z1 z 0 x2 x y2 y z2 z 0 • 第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y. • 第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特 殊越 好),便得到平面法向量n的坐标.
20
二、距离与夹角
1.距离公式
（1）向量的长度（模）公式
2 | a | a a a12 a22 a32 2 2 2 2 | b | b b b1 b2 b3
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。
21
终点坐标减 , y1 , z1 ) 、 在空间直角坐标系中，已知 A( x1 起点坐标
空间所有向量的集合{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R} {a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量。
18
二、空间直角坐标系 单位正交基底：如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个 基底叫做单位正交基底，常用 i , j , k 表 示。 则空间中任意一个向量p可表示为
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 数乘:ka,k为正数,负数,零
运 算 律
加法交换律 a b b a 加法结合律 加法交换律 a b b a 加法结合律
28
• 例1在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O 是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.
z A1 B1 C1 D1
A
A O D C
y
x
B
29
解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz, 设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z), 那么O(1，1，0)，A1(0，0，2)，D1(0，2，2)
2.共面向量定理:如果两个向量
不共线,则向量 p 与向量 a , b共面的充要
注：可用于证明三个向量共面
B b M a A
p
A
a ,b
条件是存在实数对x, y 使P xa yb
P
O
9
推论:空间一点P位于平面MAB内的充
要条件是存在有序实数对x,y使 MP xMA yMB 或对空间任一点O,有OP OM xMA yMB
25 （回到图形问题）
如果 a ⊥，那么向量 a 叫做平面的法向量.
l a
二、怎样求平面法向量？
26
• 3.在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的 坐标呢? • 如图,设a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α内 的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直 的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,则n⊥α.换句话 说,若n· a = 0且n· b = 0,则n⊥ α.
注意：
证明空间四点P、M、A、B共面的两个依据 存在唯一实数对 （x , y ） , 使得MP xMA yMB OP xOM yOA zOB(其中，x y z 1) 10
如果 a, b
2
, 则称 a与b互相垂直，并记作： ab
12
2）两个向量的数量积
a b a b cos a, b
注意： ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
13
3）射影
已知向量AB ＝a和轴l， e是l上与l同方向的单位向量。作 点A在 l上的射影A1 , 作点B在l上的射影B1，则A1 B1叫做向量AB在轴l上的 或在e方向上的正射影，简称 射影。 A1 B1 AB cos a, e a e
31
1、已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F 分别是BB1、DD1的中点，求证： （1）FC1//平面ADE （2）平面ADE//平面B1C1F
证明：如图1所示建立空间直角 坐标系D-xyz，则有D（0，0，0）、 A（2，0，0）、C（0，2，0）、 C1（0，2，2）、E（2，2，1）、 F（0，0，1），所以 FC1 (0,2,1) DA ( 2,0,0) AE (0,2,1)
1、已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),若a∥b, 求x,y的值。 2、证明：三向量a=e1+e2,b=3e1-2e2,c=2e1+3e2 共面；若a=mb+nc，试求实数m、n之值。
11
3.1.3空间向量的数量积
1） 两个向量的夹角
向量a与b的夹角记作：<a,b>
a b
O A
a
B
b
范围： 0 a, b 在这个规定下，两个向 量的夹角就 被唯一确定了，并且 a, b＝b, a
一、共线向量: 1.共线向量:空间两向量互相平行
或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行 向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个 向量 a, b(b o), a // b 的充要条件是存在实 数λ使 a b
6
可 已知非零向量 的直线,那么对任一点O, 用 于 点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t, 满足等式OP=OA+t 其中向量a叫做直线的 证 明 方向向量. 点 共 假如OP=OA+tAB，则点P、A、B三点共线。 线
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
4
D1 A1 G D A B C B1
C1
M
始点相同的三个 不共面向量之和，等 于以这三个向量为棱 的平行六面体的以公 共始点为始点的对角 线所示向量
5
3.1.2共线向量定理与共面向量定理
由 OA1 =（-1，-1，2），OD1 =（-1，1，2）
x y 2 z 0 得: x y 2 z 得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).
30
三、有关结论 设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面α，β 的法向量分别为u,v,则
2
注意： ①性质2）是证明两向量垂直的依据；
②性质3）是求向量的长度（模）的依据；
