2019高考数学一轮复习课时规范练54坐标系与参数方程文

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第十四章坐标系与参数方程考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1。

坐标系1.了解坐标系的作用及直角坐标系内的伸缩变换2。

了解极坐标的概念,会在极坐标系中刻画点的位置,能进行极坐标与直角坐标之间的互相转化3。

能在极坐标系中求简单图形的极坐标方程Ⅱ2017课标全国Ⅱ,22;2017课标全国Ⅲ，22;2016课标全国Ⅰ，23;2015课标Ⅰ,23解答题★★★2。

参数方程1.了解参数方程和参数的意义2.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程3.理解直线参数方程中参数的几何意义，并能用参数方程解决相关的问题Ⅰ2017课标全国Ⅰ,22；2016课标全国Ⅱ,23；2016课标全国Ⅲ,23;2015课标Ⅱ，232014课标Ⅰ,23填空题、★★★分析解读坐标系与参数方程是高考数学的选考部分，其中极坐标与直角坐标的互化，直线与圆的参数方程及应用是高考的重点,难度不大,题型一般为解答题，分值为10分,但部分省份可能以填空题的形式出现。

本章也是对前面所学的解析几何、平面几何、三角函数等知识的综合应用和进一步的深化,考查学生的转化与化归思想的应用.（1）消去参数t得l1的普通方程l1：y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方程l2：y=（x+2）.设P(x,y）,由题设得消去k得x2-y2=4（y≠0)。

选修4-4坐标系与参数方程第1课时坐标系1. (1)将点M 的极坐标(4,斗■兀[化成直角坐标；(2)将点N 的直角坐标(4, 一4羽)化成极坐标(PMO, 0^ 0 <2 JI ). A 14 解：(1) 丁 x = 4cos — n =4cos 2羽，・•・点M 的直角坐标是(一2,2^3).(2)・・・ P =店+ (—4羽)J, tan 0=二^=—击，0 e[0, 2 兀)，又点(4, 一低币)在第四象限，・・・()=¥，・•・点N 的极坐标为(8,节)2. 已知圆C 的极坐标方程为P ‘ + 2迈P sin(o —4 = 0,求圆心的极坐标.解：以极坐标系的极点为直角坐标系的原点0,极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系xOy. *.* 圆 C 的极坐标方程为 P 1 2+2P sin 0 —2 P cos 0—4=0,•I 圆 C 的直角坐标方程为 x'+yJ2x + 2y —4 = 0,即(x —I)2+ (y+l)2 = 6. ・・・圆心的直角坐标为(1, -1),则其极坐标为(、但，牛|・3. (2017 •省扬中等七校联考)在极坐标系中，已知点P (2£L 直线1： Pcos^O +—^ = 2^/2,求点P 到直线1的距离.解：点P 的直角坐标为(3,寸5),直线1的普通方程为x —y —4 = 0,从而点P 到直线1 的距离为3—黑一仁密並4.已知点P(—1+寸^cos a, y[2.sin a )(其中a e [0, 2 Ji))，点P 的轨迹记为曲线 Ci,以坐标原点为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.点Q 在曲线C 2： p =于是所求线段氏为2^9^ = 472.6. (2017 •金陵中学质检)在极坐标系中，已知圆C 的极坐标方程为「_4血 cosf 0 ― j + 7 = 0,直线1的极坐标方程为3 P cos 0 —4 P sin 0 +a=0.若直线1与圆C1 求曲线G 的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；2 当P NO, owe <2兀时，求曲线G 与曲线C2的公共点的极坐标.解：(1)曲线G ： (x+l)'+y2 = 2,极坐标方程为P 2+2PCOS 0 -1=0,曲线C2的 直角坐标方程为y = x — l.(2)曲线G 与曲线C2的公共点的坐标为(0, -1),极坐标为(1, *■) 5. 在极坐标系中，求圆P 2—4 P sin 0—5 = 0截直线0=*(pwR)所得线段长. 解：以极点0为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy.则圆P 2-4 P sin 0兀— 5 = 0化为普通方程为x 2+y 2-4y-5 = 0,即x 2+ (y-2)2 = 9.直线0 =§( P GR)化为普通2 n ( 1> .14 , . 2 兀-y=4XI —- l= —2, y = 4sin — Ji =4sin 飞~= 上・方程为y=£x,即y/3x — y=0.圆心(0, 2)到直线£x —y=0的距离为d = 1^3X0-21=1,y[^cos相切，求实数3的值.解：圆C 和直线1的直角坐标方程分别为(x —2)~+(y —2)'= 1, 3x —4y + a = 0. 因为圆C 与直线1相切， 所以d= ~~=1,解得a=—3或a=7.□7. 在极坐标系中，已知圆A 的圆心为(4, 0),半径为4,点M 为圆A 上异于极点0的 动点，求弦OM 中点的轨迹的极坐标方程.解：由题意知，圆A 的极坐标方程为P =8cos 0 , 设弦0M 中点为N(P , 0),则M(2P , ()),因为点M 在圆A 上，所以2P =8COS 即P =4cos 0 . 又点M 异于极点0,所以P H0,所以弦0M 中点的轨迹的极坐标方程为P =4cos 6 ( P HO).&在极坐标系中，设直线()=丁与曲线P 3 4—10 P cos ()+4=0相交于A, B 两点，求 线段AB 中点的极坐标.解：(解法1)将直线()=才化为普通方程，得y=V3x,将曲线P 2-10P cos 8+4 = 0化为普通方程，得x 2+y 2-10x + 4 = 0,[V 并消去 y,得 2x'—5x+2 = 0, x 2 + y--10x+4 = 0 解得 X]=*, X2=2,所以AB 中点的横坐标为驾出岭 纵坐标为扌萌, 化为极坐标为(导‘彳(解法2)联立直线1与曲线C 的方程，得JT < 0=亍、P ‘一10 P cos ()+4=0,消去 8 ,得 P 2—5 p +4 = 0,解得 P i=l, P 2=4,/pi+p2 了5所以线段AB 中点的极坐标为( ---- ,即怎，-yj.(注：将线段AB 中点的极坐标写成(魯y+2knj(kGZ)亦可)(3 n9. 在极坐标系屮，已知三点A (4, 0), Bl 4,—3 若A, B, C 三点共线，求P 的值；4 求过0(坐标原点)，A, B 三点的圆的极坐标方程.解：(1)由题意知点A, B 的直角坐标分别为A(4, 0), B(0, -4),所以直线AB 的方 寻，所以+1).(2)因为A(4, 0), B(0, —4), 0(0, 0),所以过0, A, B 三点的圆的标准方程为(x — 2)'+(y+2)'=8,整理得 x' + y2—4x+4y = 0,即极坐标方程为 P 2—4 P cos 9 +4 P sin 9 =0,整理得 P =4cos 6 —4sin 9 .10. 在极坐标系中，设圆C 经过点P (、尽 圆心是直线Psin 仔一0卜平与极轴 的交点，求圆C 的极坐标方程.联立 程是X —y —4 = 0.因为点C 的直角坐标为*一4 = 0,所以 P =4(^/3解：因为圆心为直线psin£~o ）=半与极轴的交点，所以令（）=0,得p=l,即 圆心是（1, 0）.又圆C 经过点P&5,所以圆的半径r=寸3+1-2血。

2019届高考数学一轮复习坐标系与参数方程第一节坐标系夯基提能作业本文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019届高考数学一轮复习坐标系与参数方程第一节坐标系夯基提能作业本文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第一节坐标系A组基础题组1.(1）化直角坐标方程x2+y2—8x=0为极坐标方程；（2)化极坐标方程ρ=6cos为直角坐标方程。

2。

在极坐标系中,圆C是以点C为圆心,2为半径的圆.（1)求圆C的极坐标方程;（2）求直线l:θ=—（ρ∈R）被圆C截得的弦长。

3.在直角坐标系xOy中，曲线C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1—a2=0（a〉0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ.（1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为直角坐标方程；(2）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a。

4。

(2017安徽合肥二模）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4cos θ.（1)求出圆C的直角坐标方程；（2)已知圆C与x轴相交于A，B两点，直线l：y=2x关于点M（0,m）（m≠0)对称的直线为l'.若直线l’上存在点P使得∠APB=90°,求实数m的最大值.B组提升题组1。

在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x+6）2+y2=25.（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2）直线l的方程为y=（tan α）x,其中α为直线l的倾斜角,l与C交于A,B两点,|AB|=，求tan α的值.2.(2018四川成都调研）已知曲线C1的极坐标方程为ρcos=—1,曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos.以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系。

课时跟踪训练(六^一一)坐标系与参数方程［基础巩固］,,一X=\/"3cOS a ,1.(2016 •全国卷川)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为』- (a y= sin a ,为参数)•以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线G 的极坐标方程为 p sin i B + ~4 = 2“』2.(1) 写出G 的普通方程和C2的直角坐标方程；(2) 设点P 在C 上，点Q 在C 2上，求|PQ 的最小值及此时 P 的直角坐标.2X 2［解］(1) C 的普通方程为—+ y = 1. C 2的直角坐标方程为 x + y — 4= 0.⑵由题意，可设点 P 的坐标为c 3cos a , sin a ) •因为C 2是直线，所以I PQ 的最小值1-3鋼2, 2 .|x = a cos t ,2. (2016 •全国卷I )在直角坐标系xOy 中，曲线 C 的参数方程为 (t|y = 1 + a s in t为参数，a >0).在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2： p = 4cos 0 .(1) 说明C 是哪一种曲线，并将 C 的方程化为极坐标方程； (2) 直线C 3的极坐标方程为0 = a 0,其中a 0满足tan a 0= 2，若曲线C 与C 2的公共点都在C 3上，求a .［解］(1)消去参数t 得到C 的普通方程x 2+ (y —1)2= a 2, C 是以(0,1)为圆心，a 为半 径的圆.将x = p cos 0 ,y = p sin 0代入C 的普通方程中，得到C 的极坐标方程为 p 2— 2 p sin 0+1 — a 2= 0.； 2 2p — 2 p sin 0 + 1 — a = 0,(2)曲线G, C 2的公共点的极坐标满足方程组fp = 4cos 0 .右 p 工 0，由方程组得 16cos 0 — 8sin 0 cos 0 + 1 — a = 0, 由已知 tan 0 = 2，可得 16cos 0 — 8sin 0 cos 0 = 0,即为P 到C 2的距离d ( a )的最小值，d ( a )=| ,；3 COs a + sin a=1时，d的最小值为2此时na=6 + 2k n ，M Z 」P 点坐标为—4|•••当 sin从而1 —a2= 0，解得a=—1(舍去)，a= 1. a= 1时，极点也为C, C2的公共点，在C3上，所以a= 1.3 . (2018 •湖北七市联考)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为X= 2+ t COS a ,彳(t是参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线y= 3+1 sin aC2的极坐标方程为p = 8cos I 0 -n^ .(1) 求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；⑵若曲线C与曲线C2交于A, B两点，求| AB的最大值和最小值.［解］⑴对于曲线C2有p = 8cos 0 —3，即p 2= 4 p cos 0 + 4 3 p sin 0 ,因此曲线C2的直角坐标方程为x2+ y2- 4x-4 3y= 0，其表示一个圆.(2) 联立曲线G与曲线G的方程可得t2- 2寸3sin a • t —13= 0 , | AB| =|t —12| =t1+12 2-4M2= , 「3sin 2-JX —I；! = 12sin 2a + 52,因此| AB的最小值为2 13,最大值为8.4. (2017 •东北三省四市二模)已知在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为p = 4cos 0，直线I的参数方程是(t为参数).(1)求曲线C的直角坐标方程及直线I的普通方程;［x = 2cos a , n(2)若曲线G的参数方程为«( a为参数),曲线C上的点P的极角为n，|y = sin a 4 Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l的距离的最大值.2［解］(1)由p = 4cos 0 得p = 4 p cos 0 ,又x2+ y2= p 2, x= p cos 0 , y= p sin 0 ,所以曲线C的直角坐标方程为x2+ y2- 4x 由直线l的参数方程消去参数t得直线l的普通方程为x + 2y-3= 0.⑵因为点P的极坐标为i2 .2,号，直角坐标为(2,2),点Q的直角坐标为(2cos a , sin a ),11+丹所以M 1 + cos a ,当 a +n 4 =n + k n (k € Z)，即 a 4 + k n (k € Z)时，点（2）在曲线C 上求一点D,使它到直线x = ^3t + ^3,$=— 3t + 2（t 为参数）的距离最短,并求出点 D 的直角坐标.(1)由 p = 2sin 0 , 0 € [0,2222 . "p = x + y , p sin 0 = y ,所以曲线C 的直角坐标方程为x 2 + y 2 — 2y = 0(或x 2 + (y — 1)2= 1).n ]，可得 p 2= 2 p sin因为⑵因为直线l 的参数方程为’7 +<3，(t 为参数),$=— 3t + 2消去t 得直线l 的普通方程为y = — •. 3x + 5.因为曲线C ： x 2+ （y — 1）2= 1是以G 0,1）为圆心、1为半径的圆，（易知C l 相离） 设点C （X 0, y 。

选修4­4坐标系与参数方程第1课时坐标系 141. (1) 将点M的极坐标(4，π)化成直角坐标；3(2) 将点N的直角坐标(4，－4 3)化成极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π)．14 2π 1 14 2π解：(1) ∵x＝4cos π＝4cos 3 ＝4×(－2 )＝－2，y＝4sin π＝4sin ＝23 3 33，∴点M的直角坐标是(－2，2 3)．－4 3(2) ∵ρ＝42＋（－4 3）2＝8，tan θ＝＝－3，θ∈[0，2π)，又点(4，－45π5π4 3)在第四象限，∴θ＝3 ，∴点N的极坐标为(8，3 ).π2. 已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2 2ρsin(θ－4)－4＝0，求圆心的极坐标．解：以极坐标系的极点为直角坐标系的原点O，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系xOy.∵圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ－4＝0，∴圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝6.7π( 2，4 ).∴圆心的直角坐标为(1，－1)，则其极坐标为ππ3. (2017·省扬中等七校联考)在极坐标系中，已知点P(2 3，6)，直线l：ρcos(θ＋4) ＝2 2，求点P到直线l的距离．解：点P的直角坐标为(3, 3), 直线l的普通方程为x－y－4＝0, 从而点P到直线l |3－3－4| 2＋6的距离为＝.2 24. 已知点P(－1＋2cos α，2sin α)(其中α∈[0，2π))，点P的轨迹记为曲线C1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点Q在曲线C2：ρ＝1上．π2cos(θ＋4)(1) 求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；(2) 当ρ≥0，0≤θ<2π时，求曲线C1与曲线C2的公共点的极坐标．解：(1) 曲线C1：(x＋1)2＋y2＝2，极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－1＝0，曲线C2的直角坐标方程为y＝x－1.3π(2) 曲线C1与曲线C2的公共点的坐标为(0，－1)，极坐标为(1，2 ).π5. 在极坐标系中，求圆ρ2－4ρsinθ－5＝0截直线θ＝(ρ∈R)所得线段长．3解：以极点O为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy.则圆ρ2－4ρsinπθ－5＝0化为普通方程为x2＋y2－4y－5＝0，即x2＋(y－2)2＝9.直线θ＝(ρ∈R)化为3| 3 × 0－2| 普通方程为y＝3x，即3x－y＝0.圆心(0，2)到直线3x－y＝0的距离为d＝3＋1＝1，于是所求线段长为2 9－d2＝4 2.6. (2017·金陵中学质检)在极坐标系中，已知圆C的极坐标方程为ρ2－4 2ρcosπ(θ－4)＋7＝0，直线l的极坐标方程为3ρcosθ－4ρsinθ＋a＝0.若直线l与圆C相切，求实数a的值．解：圆C和直线l的直角坐标方程分别为(x－2)2＋(y－2)2＝1，3x－4y＋a＝0.1因为圆C与直线l相切，|6－8＋a|所以d＝＝1，解得a＝－3或a＝7.57.在极坐标系中，已知圆A的圆心为(4，0)，半径为4，点M为圆A上异于极点O的动点，求弦OM中点的轨迹的极坐标方程．解：由题意知，圆A的极坐标方程为ρ＝8cos θ，设弦OM中点为N(ρ，θ)，则M(2ρ，θ)，因为点M在圆A上，所以2ρ＝8cos θ，即ρ＝4cos θ.又点M异于极点O，所以ρ≠0，所以弦OM中点的轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ≠0)．π8. 在极坐标系中，设直线θ＝与曲线ρ2－10ρcosθ＋4＝0相交于A，B两点，求3线段AB中点的极坐标．π解：(解法1)将直线θ＝化为普通方程，得y＝3x，3将曲线ρ2－10ρcosθ＋4＝0化为普通方程，得x2＋y2－10x＋4＝0，y＝3x，联立{x2＋y2－10x＋4＝0)并消去y，得2x2－5x＋2＝0，1解得x1＝，x2＝2，2x1＋x2 5 5所以AB中点的横坐标为＝，纵坐标为3，2 4 45 π化为极坐标为( 3).，2(解法2)联立直线l与曲线C的方程，得π θ＝，{ρ2－10ρcos θ＋4＝0，)3消去θ，得ρ2－5ρ＋4＝0，解得ρ1＝1，ρ2＝4，ρ1＋ρ2 π 5 π所以线段AB中点的极坐标为( ，3)，即( 3).，2 25 π(注：将线段AB中点的极坐标写成(，＋2kπ)(k∈Z)亦可)2 33ππ9. 在极坐标系中，已知三点A(4，0)，B(4，2 )，C(ρ，6). (1) 若A，B，C三点共线，求ρ的值；(2) 求过O(坐标原点)，A，B三点的圆的极坐标方程．解：(1)由题意知点A，B的直角坐标分别为A(4，0)，B(0，－4)，所以直线AB的方程3ρρ3ρρ是x－y－4＝0.因为点C的直角坐标为( 2)，所以－－4＝0，所以ρ＝4( 3＋，2 2 21)．(2) 因为A(4，0)，B(0，－4)，O(0，0)，所以过O，A，B三点的圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝8，整理得x2＋y2－4x＋4y＝0，即极坐标方程为ρ2－4ρcosθ＋4ρsin θ＝0，整理得ρ＝4cos θ－4sin θ.ππ 310. 在极坐标系中，设圆C经过点P( 3，6)，圆心是直线ρsin( －θ)＝与极轴的3 2 交点，求圆C的极坐标方程．π 3解：因为圆心为直线ρsin ( －θ)＝与极轴的交点，所以令θ＝0，得ρ＝1，即圆3 2ππ心是(1，0)．又圆C经过点P ( 3，6)，所以圆的半径r＝3＋1－2 3cos ＝1，所以圆过62原点，所以圆C的极坐标方程是ρ＝2cos θ.x＝acos φ，11. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{y＝bsin φ)(a＞b＞0，φ为参π数)，且曲线C上的点M(2，3)对应的参数φ＝.以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极3坐标系．(1) 求曲线C的普通方程；π 1 1(2) 若A(ρ1，θ)，B(ρ2)是曲线C上的两点，求＋的值．2，θ＋ρρπx＝acos φ，解：(1) 将M(2，3)及对应的参数φ＝代入(a>b>0，φ为参数)，得3 {y＝bsin φ) π2＝acos ，3 a＝4，{ ，){所以b＝2，)π3＝bsin3x2 y2所以曲线C的普通方程为＋＝1.16 4ρ2cos2θρ2sin2θπ(2) 曲线C的极坐标方程为＋＝1，将A(ρ1，θ)，B 2)4 (ρ2，θ＋16ρcos2θρsin2θρsin2θρcos2θ 1 1 5代入得＋＝1，＋＝1，所以＋＝.16 4 16 4 ρρ16第2课时参数方程x＝3t－2，1. 已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{y＝4t )(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ＋3＝0.点P在直线l上，点Q在曲线C上，求PQ的取值范围．解：直线l的普通方程为4x－3y＋8＝0；曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝1，曲线C是圆心为(2，0)，半径为1的圆．|4 × 2－0＋8| 16圆心到直线的距离d＝＝，5 511所以PQ的取值范围是[ ，＋∞).5tx＝1＋，2.已知直线l的参数方程为{y＝t，)曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ，试判断直2线l与曲线C的位置关系．解：直线l的普通方程为2x－y－2＝0；曲线C的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，它表示圆．4 4由圆心到直线l的距离d＝＝5＜2，得直线l与曲线C相交．5 5x＝5cos φ，3. 在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆{y＝3sin φ)(φ为参数)的右焦点，且与直x＝4－2t，线{y＝3－t )(t为参数)平行的直线的普通方程．解：由题意知，椭圆的长半轴长为a＝5，短半轴长为b＝3，从而c＝4，所以右焦点为1 (4，0)．将已知直线的参数方程化为普通方程得x－2y＋2＝0，故所求的直线的斜率为，21因此所求的直线方程为y＝(x－4)，即x－2y－4＝0.2x＝t＋1，4. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线C1：{y＝7－2t )(t为参数)与椭圆C2：3x ＝acos θ，{y ＝3sin θ )(θ 为参数，a ＞0)的一条准线的交点位于 y 轴上，求实数 a 的值．解：直线 C 1：2x ＋y ＝9，y 2 x 2椭圆 C 2： ＋ ＝1(0＜a ＜3)，9 a 29准线：y ＝± . 9－a 29由 ＝9，得 a ＝2 2. 9－a 2x ＝ t ，5. 在直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 1的参数方程是{3)(t为参数)，在以坐标原3ty ＝点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 2的极坐标方程是 ρ＝2，求曲线 C 1与 C 2的交点在直角坐标系中的直角坐标． x ＝ t ，解：由{3t ，)y ＝33消去 t 得曲线 C 1的普通方程为 y ＝ x(x≥0)；3由 ρ＝2，得 ρ2＝4，得曲线 C 2的直角坐标方程是 x 2＋y 2＝4.3y ＝ x （x ≥ 0），x ＝ 3，联立{x 2＋y 2＝4，)解得{y ＝1.)3故曲线 C 1与 C 2的交点坐标为( 3，1)．x ＝acos t ，6. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1的参数方程为{y ＝1＋asin t )(t 为参数， a ＞0)，在 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 2∶ρ＝4cos θ.(1)求曲线 C 1的普通方程，并将 C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线 C 3的极坐标方程为 θ＝α0，其中 α0满足 tan α0＝2，若曲线 C 1与 C 2的公共 点都在 C 3上，求 a.解：(1)消去参数 t 得到 C 1的普通方程为 x 2＋(y －1)2＝a 2，将 x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入 C 1的普通方程，得到 C 1的极坐标方程为 ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0. ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，(2)曲线 C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组{ρ＝4cosθ，)若 ρ≠0，由方程组得 16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知 tan θ＝2，可解得 1－a 2＝0， 根据 a ＞0，得到 a ＝1，当 a ＝1时，极点也为 C 1，C 2的公共点，在 C 3上，所以 a ＝1. 7.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的1 x ＝3＋ t ，1 2ρ{t)极坐标方程为ρ－2cos θ－6sin θ＋ ＝0，直线l 的参数方程为(t 为参数)．3y＝3＋2(1) 求曲线C的普通方程；(2) 若直线l与曲线C交于A，B两点，点P的坐标为(3，3)，求PA＋PB的值．1 解：(1) 曲线C的极坐标方程为ρ－2cos θ－6sin θ＋＝0，ρ可得ρ2－2ρcosθ－6ρsinθ＋1＝0，可得x2＋y2－2x－6y＋1＝0，曲线C的普通方程：x2＋y2－2x－6y＋1＝0.41 x ＝3＋ t ， 2(2) 由于直线 l 的参数方程为{t )(t 为参数)．3y ＝3＋2把它代入圆的方程整理得 t 2＋2t －5＝0，∴ t 1＋t 2＝－2，t 1t 2＝－5. 又 PA ＝|t 1|，PB ＝|t 2|，PA ＋PB ＝|t 1|＋|t 2|＝ （t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝2 6. ∴ PA ＋PB 的值为 2 6.8. 在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．直 π 3x ＝2cos t ，线 l 的极坐标方程为ρsin( －θ)＝ 2，椭圆 C的参数方程为{y ＝ 3sin t )(t 为参数)．3(1) 求直线 l 的直角坐标方程与椭圆 C 的普通方程；(2) 若直线 l 与椭圆 C 交于 A ，B 两点，求线段 AB 的长．π 3 3 1 33 1 3 解：(1)由 ρsin( －θ)＝，得 ρ( cos θ－ sin θ)＝ ，即x － y ＝ ，化32 2 2 2 2 22简得 y ＝ 3x － 3，所以直线 l 的直角坐标方程是 y ＝ 3x － 3. x 2 y 2x 2 y 2由(2 )＋(3 )＝cos 2t ＋sin 2t ＝1，得椭圆 C的普通方程为 ＋ ＝1.4 3y ＝ 3x － 3，(2) 联立直线方程与椭圆方程，得{＝1，)x 2 y 2＋4 3x 2消去 y ，得 ＋(x －1)2＝1，48化简得 5x 2－8x ＝0，解得 x 1＝0，x 2＝ ，5 8 38 3所以 A(0，－ 3)，B(3)或 A (3)，B(0，－3)，， ，5 5 5 58 23 2 16则 AB ＝(0－5 )＋(－ 3－ 3)＝. 552x ＝－ ＋rcos θ，29. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为{＋rsin θ)(θ 为参数，r2y ＝－2π＞0)，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为ρsin(θ＋ 4) ＝1，若圆 C上的点到直线 l 的最大距离为 3，求 r 的值．2x＝－＋rcos θ，2解：圆C的参数方程为{＋rsin θ)(θ为参数，r＞0)，消去参数θ得2y＝－22 2 2 2 2 2(x＋2) (y＋2) (－2)＋＝r2(r＞0)，所以圆心C ，－，半径为r.2π直线l的极坐标方程为ρsin (θ＋4)＝1，化为普通方程为x＋y－2＝0.2 2|－－2|－2 22 2圆心C (－2)到直线x＋y－2＝0的距离为d＝＝2.∵圆C上的，－2 2点到直线l的最大距离为3，即d＋r＝3，∴r＝3－d＝3－2＝1.5x＝2cos t，10. 已知动点P，Q都在曲线C：{y＝2sin t)(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．(1) 求M的轨迹的参数方程；(2) 将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．解：(1) 由题意有，P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)，x＝cos α＋cos 2α，M的轨迹的参数方程为{y＝sin α＋sin 2α)(α为参数，0<α<2π)．(2) M点到坐标原点的距离为d＝x2＋y2＝2＋2cos α(0<α<2π)，当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．11. 若以直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程是ρsin2θ＝6cos θ.(1) 将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；3 1x＝＋t，2 2(2) 若直线l的参数方程为{t)(t为参数)，直线l与曲线C相交于A，B两点，3y＝2求线段AB的长．解：(1)由ρsin2θ＝6cosθ，得ρ2sin2θ＝6ρcosθ，所以曲线C的直角坐标方程3为y2＝6x，曲线是以原点为顶点，(，0 )为焦点的抛物线．23 tx＝＋，2 2(2){y2＝6x，)化简得t2－4t－12＝0，则t1＋t2＝4，t1t2＝－12，所以AB＝|t1－t2|3y＝t，2＝（t1＋t2）2－4t1t2＝8.6。

第1讲 坐标系1．坐标系 (1)伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x （λ>0），y ′＝μ·y （μ>0）的作用下，点P (x ，y )对应到点(λx ，μy )，称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换． (2)极坐标系在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x （x ≠0）. 3．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；(2)直线过点M (a ，0)且垂直于极轴：ρcos_θ＝a ；(3)直线过M ⎝⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin_θ＝b ．4．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则该圆的方程为： ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a ，0)，半径为a ：ρ＝2a cos_θ；(3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin_θ．极坐标与直角坐标的互化(1)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫22，7π4，求点A 到直线l 的距离． (2)化圆的直角坐标方程x 2＋y 2＝r 2(r >0)为极坐标方程．【解】 (1)由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，得2ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ＝2，所以y －x ＝1.由点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4得点A 的直角坐标为(2，－2)，所以d ＝|2＋2＋1|2＝522.即点A 到直线l 的距离为522.(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＝r 2中，得ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ＝r 2，即ρ2(cos 2θ＋sin 2θ)＝r 2，ρ＝r .所以，以极点为圆心、半径为r 的圆的极坐标方程为ρ＝r (0≤θ<2π)．极坐标与直角坐标互化的注意点(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性．(2016·高考北京卷改编)在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，求|AB |.将ρcos θ－3ρsin θ－1＝0化为直角坐标方程为x －3y －1＝0，将ρ＝2cos θ化为直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，圆心坐标为(1，0)，半径r ＝1，又(1，0)在直线x －3y －1＝0上，所以|AB |＝2r ＝2.求曲线的极坐标方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1(0≤θ＜2π)，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 【解】 (1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得 ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而曲线C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y －2＝0.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2，0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝⎛⎭⎪⎫233，π2. (2)M 点的直角坐标为(2，0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，233.所以P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33， 则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫233，π6. 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中， 令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1，0)． 如图所示，因为圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，所以圆C 的半径 |PC |＝（2）2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.曲线极坐标方程的应用(2016·高考全国卷甲)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．【解】 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2 ＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153.在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、面积等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程利用直角坐标方程的有关公式求解．(2015·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y后，曲线C ：x 2＋y 2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．设圆x 2＋y 2＝36上任一点为P (x ，y )，伸缩变换后对应的点的坐标为P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′，所以4x ′2＋9y ′2＝36，即x ′29＋y ′24＝1.所以曲线C 在伸缩变换后得椭圆x 29＋y 24＝1，其焦点坐标为(±5，0)．2．在极坐标系中，求直线ρ(3cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标．ρ(3cos θ－sin θ)＝2化为直角坐标方程为3x －y ＝2，即y ＝3x －2. ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ， 把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ，得4x 2－83x ＋12＝0，即x 2－23x ＋3＝0， 解得x ＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6.3．(2017·山西省第二次四校联考)已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋10cos αy ＝1＋10sin α(α为参数)，以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；(2)若直线的极坐标方程为sin θ－cos θ＝1ρ，求直线被曲线C 截得的弦长．(1)因为曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋10cos αy ＝1＋10sin α(α为参数)，所以曲线C 的普通方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10，① 曲线C 表示以(3，1)为圆心，10为半径的圆． 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入①并化简，得ρ＝6cos θ＋2sin θ，即曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋2sin θ. (2)因为直线的直角坐标方程为y －x ＝1， 所以圆心C 到直线的距离为d ＝322，所以弦长为210－92＝22.4．(2016·高考全国卷乙)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .(1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上．所以a ＝1.5．(2017·山西省高三考前质量检测)已知曲线C 1：x ＋3y ＝3和C 2：⎩⎨⎧x ＝6cos φy ＝2sin φ(φ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．(1)把曲线C 1和C 2的方程化为极坐标方程；(2)设C 1与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P .若射线OP 与C 1，C 2交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离．(1)C 1：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32，C 2：ρ2＝61＋2sin 2θ. (2)因为M (3，0)，N (0，1)，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12， 所以OP 的极坐标方程为θ＝π6，把θ＝π6代入ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32得ρ1＝1，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6. 把θ＝π6代入ρ2＝61＋2sin 2θ得ρ2＝2，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6. 所以|PQ |＝|ρ2－ρ1|＝1，即P ，Q 两间点的距离为1.6．在极坐标系中，曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρ＝－2cos θ，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1.(1)求曲线C 1和C 2的公共点的个数；(2)过极点作动直线与曲线C 2相交于点Q ，在OQ 上取一点P ，使|OP |·|OQ |＝2，求点P 的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．(1)C 1的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝1，它表示圆心为(－1，0)，半径为1的圆，C 2的直角坐标方程为x －3y －2＝0，所以曲线C 2为直线，由于圆心到直线的距离d ＝|－1－2|2＝32＞1， 所以直线与圆相离，即曲线C 1和C 2没有公共点，亦即曲线C 1和C 2的公共点的个数为0.(2)设Q (ρ0，θ0)，P (ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧ρρ0＝2，θ＝θ0，即⎩⎪⎨⎪⎧ρ0＝2ρ，θ0＝θ.① 因为点Q (ρ0，θ0)在曲线C 2上， 所以ρ0cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π3＝1，②将①代入②，得2ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1，即ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3为点P 的轨迹方程，化为直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝1，因此点P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32为圆心，1为半径的圆．7．(2017·河南天一大联考)在极坐标系中，曲线C ：ρ＝4a cos θ(a ＞0)，l ：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝4，C 与l 有且只有一个公共点．(1)求a ；(2)O 为极点，A ，B 为曲线C 上的两点，且∠AOB ＝π3，求|OA |＋|OB |的最大值．(1)由题意，得曲线C 是以(2a ，0)为圆心，以2a 为半径的圆．l 的直角坐标方程为x ＋3y －8＝0，由直线l 与圆C 相切可得|2a －8|2＝2a ，解得a ＝43(舍负)．(2)不妨设A 的极角为θ，B 的极角为θ＋π3，则|OA |＋|OB |＝163cos θ＋163cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝8cos θ－833sin θ＝1633cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6，所以当θ＝－π6时，|OA |＋|OB |取得最大值1633.8．在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ2(1＋3sin 2θ)＝4.曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求曲线C 1、C 2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A (ρ1，θ0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ0＋π2，若A 、B 都在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值． (1)因为C 1的极坐标方程为ρ2(1＋3sin 2θ)＝4，所以ρ2(cos 2θ＋4sin 2θ)＝4，即(ρcos θ)2＋4(ρsin θ)2＝4，即x 2＋4y 2＝4，所以该曲线C 1的直角坐标方程为x 24＋y 2＝1.由题意知曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2a ·cos θ(a 为半径)，将D ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3代入，得2＝2a ×12，所以a ＝2，所以圆C 2的圆心的直角坐标为(2，0)，半径为2， 所以C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1，即ρ2＝44sin 2θ＋cos 2θ.所以ρ21＝44sin 2θ0＋cos 2θ0， ρ22＝44sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π2＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π2＝4sin 2θ0＋4cos 2θ0. 所以1ρ21＋1ρ22＝4sin 2θ0＋cos 2θ04＋4cos 2θ0＋sin 2θ04＝54.。