圆锥曲线专题训练3

专题14 圆锥曲线切线方程 微点3 圆锥曲线切线方程综合训练专题14圆锥曲线切线方程 微点3圆锥曲线切线方程综合训练 一、单选题 1．已知过圆锥曲线221x y m n +=上一点(),o o P x y 的切线方程为001x x y y m n+=.过椭圆221124x y +=上的点()3,1A -作椭圆的切线l ，则过A 点且与直线l 垂直的直线方程为（ ） A ．30x y --= B ．-20x y += C ．2330x y +-=D ．3100x y --=（2022·全国·高三专题练习）2．已知点()1,0A -､()10B ,，若过A ､B 两点的动抛物线的准线始终与圆228x y +=相切，该抛物线焦点的轨迹是某圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线是（ ） A ．椭圆B ．圆C ．双曲线D ．抛物线（2022·江苏·高二专题练习）3．设P 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>在第一象限内的动点，O 为坐标原点，双曲线C 在P 点处的切线的斜率为m ，直线OP 的斜率为n ，则当1ln ln b a m n a b mn++++取得最小值时，双曲线C 的离心率为（ ）AB ．2C D （2022·安徽·高二期末）4．已知抛物线2:12C x y =的焦点为F ，其准线与y 轴的交点为A ，点B 为抛物线上一动点，当AB FB取得最大值时，直线AB 的倾斜角为（ ）A ．4π B ．3π C ．6π或56π D ．4π或34π二、填空题（2022·广西·浦北中学高二期中）5．在直角坐标系xOy 中，椭圆C 方程为2213x y +=，P 为椭圆C 上的动点，直线的方程为：4x y +=，则点P 到直线的距离d 的最小值为__________. （2022·广东揭阳·高三期末）6．如图所示，已知()00,P x y 是双曲线22:143x yC -=右支上任意一点，双曲线C 在点P 处的切线分别与两条渐近线y =交于,A B 两点，则OA OB ⋅=__________.（2022·四川资阳·高二期末）7．过点()2,1P -作抛物线2:2C x y =的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为___________.（2022·四川省资阳中学高二期末）8．已知抛物线2:8E x y =，点P 是E 的准线l 上一个动点，过点P 作E 的两条切线，切点分别为,A B .则直线AB 必然经过定点，该定点坐标为___________. （2022·四川省成都市新都一中高二期末）9．已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过点F 的直线l 与抛物线C 交于不同的两点A ，B ，抛物线在点A ，B 处的切线分别为1l 和2l ，若1l 和2l 交于点P ，则2164PF AB+的最小值为______．（2022·河南·封丘一中高二期末）10．过点()30A -,作抛物线24y x =的切线，则切点的横坐标为______． （2022·青海·模拟预测）11．如图，平面直角坐标系中，0,Q ⎛ ⎝⎭，()3,0L -，圆Q 过坐标原点O 且与圆L 外切．若抛物线()220x py p =>与圆L ，圆Q 均恰有一个公共点，则p ＝______．三、双空题（2022·江苏苏州·高三阶段练习）12．极线是高等几何中的重要概念，它是圆锥曲线的一种基本特征.对于圆222x y r +=，与点()00,x y 对应的极线方程为200x x y y r +=，我们还知道如果点()00,x y 在圆上，极线方程即为切线方程；如果点()00,x y 在圆外，极线方程即为切点弦所在直线方程.同样，对于椭圆22221x y a b+=，与点()00,x y 对应的极线方程为00221x x y y a b +=.如上图，已知椭圆C ：22143x y +=，()4,P t -，过点P 作椭圆C 的两条切线P A ，PB ，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为______；直线AB 与OP 交于点M ，则sin PMB ∠的最小值是______.四、解答题（2022·全国·高三专题练习）13．已知点()1,1A 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点12,F F 是椭圆的两焦点，且满足124AF AF +=． (1)求椭圆的标准方程；(2)求过()1,1A 与椭圆相切的直线方程．（2022·江苏盐城·高二期末）14．平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，点P 为椭圆上的动点，OP 的最小值为1，FP 的最大值为1 (1)求椭圆C 的方程；(2)直线:30l x -=上是否存在点Q ，使得过点Q 能作椭圆C 的两条互相垂直的切线？若存在，请求出这样的点Q ；若不存在，请说明理由． （2022·重庆市涪陵高级中学校模拟预测）15．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P ，Q 为椭圆C上任意两点，且11(0)PF QF λλ=<，若三角形2PQF 的周长为8，12PF F △面积的最大值为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设椭圆C 外切于矩形ABCD ，求矩形ABCD 面积的最大值. （2022·上海交大附中高三期中）16．设椭圆Γ：()22211x y a a+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ．直线l 若与椭圆Γ只有一个公共点P ，则称直线l 为椭圆Γ的切线，P 为切点． (1)若直线l ：2y x =+与椭圆相切，求椭圆的焦距12F F ； (2)求证：椭圆Γ上切点为()00,P x y 的切线方程为021xx yy a +=； (3)记1F 到直线l 的距离为1d ，2F 到直线l 的距离为2d ，判断“121d d =”是“直线l 与椭圆Γ相切”的什么条件？请给出你的结论和理由． （2022·全国·高二期末）17．已知椭圆22:154x y Γ+=的中心为O ，一个法向量为(),1n k =-的直线l 与Γ只有一个公共点M ．(1)若1k =且点M 在第二象限，求点M 的坐标；(2)若经过O 的直线1l 与l 垂直，求证：点M 到直线1l 的距离2d ≤． （2022·陕西·交大附中模拟预测）18．设A 、B 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点，设()0,1M -是椭圆下顶点，直线MA 与MB 斜率之积为14-．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若一动圆的圆心Q ．过原点O 作动圆Q 的两条切线，分别交椭圆于E 、F 两点，试证明22OE OF +为定值． （2022·全国·高二专题练习）19．设P 为椭圆22143x y +=上的一个动点，过点P 作椭圆的切线与圆O ：2212x y +=相交于M 、N 两点，圆O 在M 、N 两点处的切线相交于点Q .(1)求点Q 的轨迹方程；(2)若P 是第一象限内的点，求OPQ 面积的最大值. （2022·陕西汉中·高二期中）20．已知椭圆221:1(04)4+=<<x y E m m 椭圆222:(01)4+=<<x y E t t m ，椭圆2E 的切线MN 交椭圆1E 于M 、N 两点，切点为Q . (1)求椭圆1E 的标准方程； (2)求证：点Q 是线段MN 的中点. （2022·全国·模拟预测）21．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点与抛物线2y =的焦点重合，且椭圆的四个顶点围成的四边形面积为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点P 是直线420y x =-+上的动点，过点P 做椭圆C 的两条切线，切点分别为M ，N ，问直线MN 是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由． （2022·全国·高二课时练习）22．已知双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的两个焦点为1F 、2F ，一条渐近线方程为y bx =，且双曲线C 经过点D 1)． (1)求双曲线C 的方程；(2)设点P 在直线(x m y m =≠±，01m <<，且m 为常数)上，过点P 作双曲线C 的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，求证：直线AB 过某一个定点．（2022·江苏省镇江第一中学高二期末）23．已知双曲线C ：22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)的一个焦点坐标为(3，0)，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为O 为坐标原点． (1)求双曲线C 的方程；(2)直线l 与x 轴正半轴相交于一点D ，与双曲线C 右支相切(切点不为右顶点)，且l 分别交双曲线C 的两条渐近线于M 、N 两点，证明：△MON 的面积为定值，并求出该定值．（2022·青海·海东市教育研究室一模）24．如图，已知双曲线22:13x C y -=，过()1,1P 向双曲线C 作两条切线，切点分别为()11,A x y ，()22,B x y ，且120,0x x <>.(1)证明：直线PA 的方程为1113x xy y -=. (2)设F 为双曲线C 的左焦点，证明：πAFP BFP ∠∠+=. （2022·贵州遵义·高二期末）25．抛物线()220x py p =>焦点为F ，过F 斜率为2的直线交抛物线于C ，D 两点，且6CD =(1)求抛物线的标准方程；(2)过直线1y =-上一点P 作抛物线两条切线，切点为,A B ，猜想直线AB 与直线PF 位置关系，并证明猜想. （2022·贵州遵义·高二期末）26．抛物线()220y px p =>焦点为F ，过F l 交抛物线于C ，D 两点，且6CD =．(1)求抛物线的标准方程；(2)过直线=1x -上一点P 作抛物线两条切线，切点为A ，B ．猜想直线AB 与直线PF 位置关系，并证明猜想．（2022·上海交大附中高二期末）27．如图，已知()()1122,,A x y B x y ､为二次函数2(0)y ax a =>的图像上异于顶点的两个点，曲线2y ax =在点()()1122,,A x y B x y ､处的切线相交于点()00,P x y .(1)利用抛物线的定义证明：曲线2y ax =上的每一个点都在一条抛物线上，并指出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：102x x x ､､成等差数列，102y y y ､､成等比数列；(3)设抛物线2y ax =焦点为F ，过P 作PH 垂直准线l ，垂足为H ，求证：BPH APF ∠∠=. （2022·江西上饶·高二期末）28．已知抛物线22(0)x py p =>上的任意一点到(0,1)P 的距离比到x 轴的距离大1． (1)求抛物线的方程；(2)若过点(0,2)的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作抛物线的切线，两条切线交于点Q ，求QAB 重心G 的轨迹方程． （2022·全国·模拟预测）29．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴长为31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭是C 上一点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点M ，N 是y 轴上不同的两点，直线PM ，PN 分别交椭圆C 于另一点S ，T ，若PM PN =，证明：椭圆C 在点P 处的切线与PST 的外接圆相切． （2022·天津·一模）30．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，其离心率为12，右焦点为F ，两焦点与短轴两端点围成的四边形面积为(1)求椭圆C的标准方程：(2)直线l与椭圆有唯一的公共点M（M在第一象限，此直线l与y轴的正半轴交于点N，直线NF与直线OM交于点P且37OFP OFNS S△△，求直线l的斜率.参考答案：1．B【解析】根据题中所给的结论，求出过()3, 1A -的切线方程，进而可以求出切线的斜率，利用互相垂直的直线之间斜率的关系求出过A 点且与直线l 垂直的直线的斜率，最后求出直线方程.【详解】过椭圆221124x y +=上的点()3, 1A -的切线l 的方程为()31124y x -+=，即40x y --=，切线l 的斜率为1.与直线l 垂直的直线的斜率为-1，过A 点且与直线l 垂直的直线方程为()13y x +=--，即20x y +-=.故选：B【点睛】本题考查了求过点与已知直线垂直的直线方程，考查了数学阅读能力，属于基础题. 2．A【分析】由抛物线的定义可转化||||FA FB +等于A ,B 到准线距离的和，再由圆与准线相切及O 是AB的中点，可得||||2FA FB r +==.【详解】由题设知，抛物线焦点F 到定点A 和B 的距离之和等于A 和B 分别到准线的距离和，等于AB 的中点O到准线的距离的二倍，由抛物线准线与圆相切知和为2r =，所以||||||2FA FB AB +=>=，所以抛物线焦点的轨迹方程C 是以A 和B 为焦点的椭圆. 故选：A 3．D【分析】设()00,P x y ，则2020b x m a y =，00y n x =，则22221ln ln ln b a b a a b a m n f a b mn a b b a b ⎛⎫++++=+++= ⎪⎝⎭，令0a t b =>，则()212ln f t t t t t =++-，利用导数研究其单调性，求得最小值点，再由离心率公式即可得出. 【详解】设()00,P x y ，则双曲线C 在P 点处的切线方程为：00221x y x y a b-=，则2020b x m a y =，y n x =， 22002200·b x y b mn a y x a ∴==，1ln ln b a m n a b mn ∴++++ 2222ln b a a b a b b a =+++ a f b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，令0a t b=>，则()212ln f t t t t t =++-，()()()22221112'12t t f t t t t t +-=-++-=，∴当01t <<时，()'0f t <，当1t >时，()'0f t >，所以()f t 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增， 得1t =时，()f t 取最小值， 1a b∴=，即a b =时，1ln ln b a m n a b mn ++++取最小值，c e a ∴== 故选：D. 4．D【分析】过点B 作抛物线C 的准线的垂线BM ，垂足为点M ，分析可得cos BFBAF AB=∠，当AB FB取得最大值时，BAF ∠最大，此时AB 与抛物线C 相切，设出直线AB 的方程，将抛物线C 的方程，由Δ0=可求得直线AB 的斜率，即可求得直线AB 的倾斜角. 【详解】抛物线C 的准线为2:12l x y =，焦点为()0,3F ，易知点()0,3A -，过点B 作BM l ⊥，垂足点为M ，由抛物线的定义可得BM BF =，易知//BM y 轴，则BAF ABM ∠=∠，所以，cos cos BF BMABM BAF AB AB==∠=∠， 当AB FB取得最大值时，cos BAF ∠取最小值，此时BAF ∠最大，则直线AB 与抛物线C 相切，由图可知，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为3y kx =-，联立2123x yy kx ⎧=⎨=-⎩可得212360x kx -+=，则21441440k ∆=-=，解得1k =±，因此，直线AB 的倾斜角为4π或34π. 故选：D.5【分析】设椭圆切线x y k +=，联立椭圆方程求出切线方程，利用平行线的距离判断椭圆上点到已知直线距离的最值.【详解】令x y k +=与椭圆2213x y +=相切，消去x 整理得：224230y ky k -+-=，所以222416(3)4(123)0k k k ∆=--=-=，可得2k =±，显然4x y +=与椭圆无交点，当2k =-，切线为2x y +=-，与4x y +==当2k =，切线为2x y +=，与4x y +==；所以点P 到直线的距离d .6．1【分析】根据切线方程及渐近线方程计算出关于点,A B 的表达式，再利用向量的数量积的坐标运算求解.【详解】如下图所示，设双曲线渐近线上的点()12A t，点()22,B t ， 当00y =时，过点()00,P x y 的切线方程为2x =，当00y ≠时，设过点()00,P x y 的切线方程为()00y y k x x -=-，即()00y k x x y =-+，代入双曲线方程化简为()()()2222220000003484230k x k x ky x k x y kx y -+--+-+=，则k ≠()2220000484230x k x y k y ⎡⎤∆=--++=⎣⎦， 因为2200143x y -=，所以2220000432034y x k x y k -+=，所以0034x k y =， ∴在点()00，y P x 处的切线方程为00:143x x y yl -=，当00y =也符合；且点A ，B 又在切线l 上01021212x t x t ⎧⎛=⎪ ⎪⎝∴⎨⎛⎪= ⎪⎝⎩，220012143⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭x y t t 121t t ∴=()124=13⋅∴=-OA OB t t故答案为：17．210x y -+=【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，再利用直线方程的相关知识即可求出. 【详解】抛物线2:2C x y =可写成：2=2x y 且=y x '设1122(,),(,)A x y B x y ，则两条切线的斜率分别为1122,k x k x ==两条切线的方程为： 111()y y x x x -=- 111()y y x x x -=-又两条切线过点()2,1P -，所以 1111(2)y x x --=- 1111(2)y x x --=-所以直线AB 的方程为：1(2)y x x --=-又22x y =，所以直线AB 的方程为：210x y -+=. 故答案为：210x y -+=. 8．(0,2)【详解】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，(,2)P t -，运用导数的几何意义，求得抛物线在A ，B 处的切线的方程，再由两点确定一条直线，可得AB 的方程，进而得到恒过定点. 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，(,2)P t -，由28x y =，即218y x =，可得14y x '=，所以抛物线28x y =在A 处的切线PA 的方程为111()4x y y x x -=-， 即2111144x y x x y =-+，因为2118x y =，可得114xy x y =-， 因为P 在切线AP 上，可得1124x t y -=-，①， 同理可得2224x t y -=-，① 综合①①可得A ，B 的坐标满足24x t y -=-， 即直线AB 恒过抛物线的焦点(0,2)F ， 故答案为：(0,2) 9．4【分析】设直线l ：1x my =+，利用韦达定理求得AB ，设()()111:0l y y k x x k -=-≠，利用判别式求得直线的方程，进而得到P 的坐标，从而可得2221644164444PF m AB m ++=++，再利用基本不等式即得.【详解】由题可知(1,0)F ，设直线l ：1x my =+， 直线l :1x my =+与24y x =联立消x ，得2440y my --=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y m +=，124y y =-，①()212122444AB x x m y y m =++=++=+，设()()111:0l y y k x x k -=-≠，由()1124y y k x x y x ⎧-=-⎨=⎩，可得2114440y y y x k k -+-=，①21144440y x k k ⎛⎫⎛⎫∆=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又2114y x =，①12k y =， ①()11112:l y y x x y -=-，即1122y y x x =+， 同理可得2:l 2222=+y y x x ， 所以可得()1212111,242P P x y y y y y m ==-=+=，即()1,2P m -，①PF = ①2222216441641444441PF m m AB m m ++=+=++≥++，当且仅当22411m m +=+，即1m =±取等号. 故答案为：4. 10．3【分析】设切线方程为3x ty =-，再联立直线于抛物线的方程，令判别式为0求解即可 【详解】设切线方程为3x ty =-，与抛物线方程联立可得24120y ty -+=，由216480t ∆=-=，解得t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩t y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩代入3x ty =-得3x =．故答案为：3 11．12##0.5【分析】由两圆关系确定圆L 的方程，根据抛物线与圆L 恰有一个公共点(,)A m n 且30m -<<，利用导数几何意义写出该点处曲线的公切线方程，结合直线AL 与公切线垂直关系、L 与公切线的距离列方程组求m 值，进而可求p . 【详解】由题设，圆Q为224(5x y +=，显然与()220x py p =>有一个公共点(0,0)，而||QL ==，由圆Q 与圆L 外切，则圆L所以圆L 为22(3)5x y ++=，要使()220x py p =>与圆L 恰有一个公共点(,)A m n 且30m -<<，抛物线可得：xy p'=，故过(,)A m n 的公切线方程为()m y n x m p -=-，所以20mx py np m -+-=，而22m pn =，则202m mx py --=， 由3ALn p k m m==-+，即223m p p m m=-+①，又L2|3|m m --=， 联立①①并整理得：2322(156248)(1)(6)(8)0m m m m m m m m +++=+++=， 易知：1m =-，则12p =. 故答案为：12 12． 103ty x -+-=（或330x ty -+=）；. 【分析】（1）根据已知直接写出直线AB 的方程； （2）求出cos ,OP n →→〈〉=sin PMB ∠=利用基本不等式求解.【详解】解：（1）由题得AB ：4143x ty-+=，即103ty x -+-=，（2）()4,OP t →=-，3k AB t→=，①AB →的方向向量(),3n t =，所以cos ,OP nOP n OP n→→→→→→⋅〈〉==sin PMB ∠=即()min sin PMB ∠=. 故答案为：103ty x -+-=13．(1)椭圆的标准方程为223144x y +=(2)直线方程为340x y +-=【分析】（1）根据椭圆的定义得出基本量的值，得出椭圆方程；（2）椭圆是封闭图形，利用相切只有一个交点，将直线方程与椭圆方程联立有一个实数解可解得. （1）①椭圆上的点A 满足124AF AF +=． ①24a =，解得2a =，①椭圆的方程为22214x y b+=，把()1,1代入得．21114b+=，解得243b =， ①椭圆方程的标准方程为223144x y +=．（2）解法1：过A 与x 轴垂直的直线与椭圆不相切，因此切线的斜率存在．设过()1,1A 的直线方程()11y k x -=-，由()22113144y k x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得关于x 的方程：()()22231613610kx k k x k k +--+--=．令()()()22223614313610kk k k k ∆=--+--=，解得13k =-，故所求的切线方程为：340x y +-=．解法2：改写直线的方程为一般式22103144kx y k x y --+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，224,,,1,431a b A k B C k ====-=-，相切时： 222220a A b B C +-=，得到224(143)0k k +--=，化简得2110,33k k ⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，故所求的切线方程为： 340x y +-=． 14．(1)2212x y +=(2)存在；(Q【分析】（1）根据椭圆的几何性质可知：1a c +=1b =，即可求解1,1a b c ==； （2）联立切线方程与椭圆方程，得根与系数的关系，根据切线垂直可得斜率相乘等于1-，进而得点Q 在圆223x y +=上，又点Q在:30l x -=，联立即可求解. （1）设点00(,)P x y ，则222222222000221x c OP x y x b x b a a⎛⎫=+=+-=+ ⎪⎝⎭，当00x =时，OP 取得最小值为1b =， ．222222200002()()(1)()x cFP x c y x c b x a a a =++=++-=+，则当0x a =时，FP取得最大值1a c +=解得1,1a b c ===，则椭圆方程为2212x y +=．（2）设点()00,Q x y当0xQ 作椭圆的两条切线并不垂直， 故可设过点Q 的椭圆的切线方程为y kx m =+，联立方程组2222y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，消元可得222(21)4220k x kmx m +++-= 由2222164(21)(22)0k m k m ∆=-+-=可得2221k m +=，又直线y kx m =+过点()00,Q x y ，则00m y kx =-﹐于是2220021()k m y kx +==-化简可得2220000(2)210x k x y k y -++-=，由两条切线互相垂直可知，该方程的两根之积2122112y k k x -==-- 则22003x y +=，即点Q 在圆223x y +=上，由22330x y x ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩解得1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩(Q 满足题意，15．(1)22142x y +=(2)12【分析】（1）三角形2PQF 的周长为8，得到2a =，再由122==PF F Sbc ，可得答案；（2）分矩形ABCD 中有一条边与坐标轴平行时，则另外三条也与坐标轴平行、矩形ABCD 的边都不与坐标轴平行，这时设直线AB 的方程为；y kx m =+，则CD 的方程为：y kx m =-，AD 的方程为：1y x n k =-+，BC 的方程为：1y x n k =--，与椭圆方程联立，分别求得矩形ABCD 的边长AD ，AB 求解. （1）由11(0)PF QF λλ=<得1、、P F Q 三点共线， 因为三角形2PQF 的周长为8， 所以48a =，则2a =，当P 点为椭圆上或下顶点时12PF F △面积的最大， 即121222=⨯⨯==PF F Sc b bc ， 由222244=-=-b ac b，解得22b =，所以椭圆C 的方程为22142x y +=.（2）当矩形ABCD 中有一条边与坐标轴平行时，则另外三条也与坐标轴平行， 矩形ABCD的两条边长分别为矩形24,2==a b此时4ABCD S =⨯=，当矩形ABCD 的边都不与坐标轴平行时，由对称性，不妨设直线AB 的方程为；y kx m =+，则CD 的方程为：y kx m =-.AD 的方程为：1y x n k =-+，BC 的方程为：1y x n k=--.由22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222124220k x kmx m +++-=，令Δ0=得2242m k =+，同理得2242n k=+，矩形ABCD的边长分别为AD =AB①241ABCD mnkS k ==+，12=≤=， 当且仅当1k =±时取等号，所以矩形ABCD 面积的最大值是12. 综上所述，矩形ABCD 面积的最大值是12. 16．(1)(2)见解析 (3)见解析【分析】（1）联立直线方程与椭圆方程，消元，根据题意可得Δ0=，求得2a 即可得解；（2）00y =和00y ≠两种情况讨论，当00y ≠时，联立22200211x y axx yy a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，证明Δ0=即可；（3）先说明必要性，根据（2）分别求出12,d d ，再证明121d d =即可；再说明充分性，分a ≥和1a <<. （1）解：联立22212x y a y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 整理得()22221430a x a x a +++=，因为直线l ：2y x =+与椭圆相切，所以()422161210a a a ∆=-+=，解得2232a c =⇒=，所以椭圆的焦距12F F = （2）证明：当00y =时，0x a =±， 直线0x a =±与椭圆相切； 当00y ≠时，联立22200211x y a xx yy a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y 得2222220000220x y x x x a a y a ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，又220021x y a+=，则220021x y a =-，所以2220202201x a a x a x x ⎛⎫-+ ⎝-⎪⎭-=，所以()200x x -=，及直线l 与椭圆Γ只有一个公共点()00,P x y ，直线l 与椭圆Γ相切， 综上所述椭圆Γ上切点为()00,P x y 的切线方程为0021xx yy a+=； （3）解：由（2）知，切线l ：0201xx yy a +-=，())12,F F ，则12d d =，故()()()()222222000444122222220000044241111111111x a x a x a a a a d d x x x x a y aa aa ------====-++--，反之，当a ≥0x ty +=， 使得2122111d a t d =+=-，显然此时直线与椭圆不相切， 当1a << 因为121d d =，可设直线l ：y kx n =+，此时121d d =⇒()222211n k a k --=+，则2221n a k =+，将直线y kx n =+代入椭圆方程得()()2222221210a k x a knx a n +++-=，则()()()422222222224411410a k n a n a k a a k n ∆=--+=+-=，所以直线l 与椭圆Γ相切，综上所述，当1a <<“121d d =”是“直线l 与椭圆Γ相切”的充要条件； 当a ≥“121d d =”是“直线l 与椭圆Γ相切”的必要不充分条件.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，主要是椭圆的切线，还考查了充分条件和必要条件，综合性比较强，考查了逻辑推理能力和数据分析能力及分类讨论思想，有一定的难度. 17．(1)54,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)证明见解析【分析】（1）设直线l 的方程为y x m =+，将直线l 的方程与椭圆的方程联立，由Δ0=以及切点所在象限可求得m 的值，然后将m 的值回代二次方程，可求得切点的坐标；（2）根据题意可得，直线1l 的方程为0x ky +=，设直线l 的方程为y kx m =+，将直线l 的方程与椭圆方程联立，由已知条件可得出2254m k =+，求出点M 的坐标，利用点到直线的距离公式结合基本不等式可证得结论成立 （1）解：设直线l 的方程为y x m =+，联立224520y x m x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 并整理得()22910540x mx m ++-=，①， ()()224954010m m ∆⨯⨯-==-，解得29m =，因为M 在第二象限，故3m =，代入①得2930250x x ++=，解得53x =-，进而43y =，故54,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（2）解：根据题意可得，直线1l 的方程为0x ky +=，设直线l 的方程为y kx m =+，联立224520y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 并整理得()()2224510540k x kmx m +++-=， ()()()22210204540km k m '=+⋅-∆-=，解得22540k m -+=，即2254m k =+，且2554km x k -=+，2454m y k =+，故2254,5454kmm M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭． 点M 到直线1l的距离d ===①当0k =时，0d =； ①当0k ≠时，2d ==≤===，当且仅当k = 综合①①可得，点M 到直线1l 距离2d ≤．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 18．(1)2214x y +=(2)证明见解析【分析】（1）由已知可得出1b =，根据已知条件求出a 的值，即可得出椭圆的方程； （2）由题意可知，两条切线中至少有一条切线的斜率存在，设直线OE 的斜率存在，对切线OE 的斜率是否为零进行分类讨论，在切线OE 的斜率为零时，直接求出22OE OF +；在直线OE 的斜率不为零时，分析可知两切线的斜率为关于k 的方程2220000442055x k kx y y ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭的两根，利用韦达定理结合弦长公式可求得22OE OF +，即可证得结论成立. （1）解：由题意可知，1b =，(),0A a -，(),0B a ，由1114MA MB k k a a ⋅=-⋅=-，即24a =，又0a >，所以2a =，椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）解：设点Q 坐标为()00,x y ，即220014x y +=． 当直线OE 的斜率为0，此时0y =，0x =，则直线OF 的斜率不存在， 此时22225OE OF a b +=+=；当直线OE 的斜率存在且斜率不为0时，设直线OE 的方程为1y k x =，直线OF 的方程为2y k x =，设点()11,E x y 、()22,F x y ，联立2244y kx x y =⎧⎨+=⎩，可得()22414k x +=， 则2121441x k =+，2222441x k =+，又圆Q 与直线OE 、OF=， 整理可得2220000442055x k kx y y ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭，则1k 、2k 为关于k 的方程2220000442055x k kx y y ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭的两根，所以，2200122200441154544455x y k k x x ---===---， 所以，()()()()2222122222112222124141114141k k OE OF kx k xk k +++=+++=+++()()22221111222111211414141161615141414114k k k k k k k k ⎛⎫+ ⎪+++⎝⎭=+=+=++++. 综上：22OE OF +为定值5．【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 19．(1)2213648x y +=【分析】（1）设()00,P x y ，()11,Q x y ，根据P 在椭圆22143x y +=上，得到2200143x y +=；再由MN 即为椭圆在()00,P x y 处的切线方程也为圆O ：2212x y +=切点弦所在直线方程求解. （2）过P 作P A ①x 轴，过Q 作QB ①x 轴，得到()0,0A x ，()003,4Q x y ，()03,0B x ，再由0012=--=OPQOBQ OPA PABQ SSS S x y ，利用基本不等式求解. （1）解：设()00,P x y ，()11,Q x y .①P 在椭圆22143x y +=上，①2200143x y +=①；椭圆在()00,P x y 处的切线方程为：00143x x y y+=①；又QM 、QN 为过点Q 所引的圆O ：2212x y +=的两条切线， 所以切点弦MN 所在直线方程为：1112x x y y +=①.其中①①表示同一条直线方程，则001113412y x x y ==，得103xx =，104y y =代入①，得221113648x y +=， 故点Q 的轨迹方程为2213648x y +=.（2）过P 作P A ①x 轴，过Q 作QB ①x 轴， 则()0,0A x ，()003,4Q x y ，()03,0B x ， 所以0012=--=OPQOBQOPAPABQ SSSS x y ，又2200143x y =+≥①00x y ≤00x y ==. ①OPQS20．(1)2214x y +=(2)证明见解析【分析】（1）由椭圆1Em ，即可得到椭圆1E 的标准方程；（2）可设椭圆222:(01)4+=<<x E y t t ，分类讨论：当直线MN 斜率不存在时，由椭圆的对称性可知点Q 是线段MN 的中点.当直线MN 斜率存在时，设直线:MN y kx n =+，()11,M x y ，()22,N x y ，()00,Q x y ，利用“设而不求法”得到M 、N 、Q 三点的关系，即可证明.（1）椭圆221:1(04)4+=<<x y E m m=，解得1m =.∴椭圆1E 的标准方程为2214x y +=. （2）由（1）知，椭圆222:(01)4+=<<x E y t t ， 当直线MN 斜率不存在时，由椭圆的对称性可知点Q 是线段MN 的中点.当直线MN 斜率存在时，设直线:MN y kx n =+，()11,M x y ，()22,N x y ，()00,Q x y ， 联立22,,4y kx n x y t =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()222418440+++-=k x knx n t . ()()22222(8)441446416160∴∆=-+-=-+=kn k n t tk n t ，即224+=tk t n .02441-∴=+knx k . 当01t <<时，直线MN 与椭圆1E 交于,M N ， 所以有122841kn x x k -+=+，即1224241+-=+x x knk . 1202x x x +∴=，又点M 、N 、Q 在一条直线上， 1202+∴=y y y ，即MN 的中点坐标为()00,x y . ∴点Q 是线段MN 的中点.21．(1)221124x y +=(2)是过定点，定点为121,55⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）根据椭圆的几何性质，结合已知条件，即可求解；（2）将过点P 做椭圆C 的两条切线问题转化为两切线交点为P ，设出M ，N ，P 三点坐标及切线PM 的方程，将切线PM 与椭圆C 联立，得到切点坐标与切线PM 方程的关系，再根据PM 与PN 相交于点P ，即点P 满足PM ，PN 方程，得到直线MN 方程，即可求解定点． 【详解】（1）由题意得2221222,c a b c a b ⎧=⎪⎪⨯⋅=⎨⎪=-⎪⎩解得22212,4,8,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的标准方程为221124x y +=．（2）当椭圆C 的切线斜率存在时，设点()11,M x y ，()22,N x y，1x ≠±2x ≠±，(),420P d d -+，切线PM 的方程为y kx m =+．联立22,1,124y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()2221363120k x kmx m +++-=．因为直线PM 与椭圆C 相切，故()()2222364133120k m k m ∆=-+-=，即22124m k =+，1223312134km km kx m k m --===-+，2221112124k m k y kx m m m m m-=+=-+==， 所以14m y =，113x k y =-，则切线PM 的方程为11143x y x y y =-+，即11312x x y y +=，同理，切线PN 的方程为22312x x y y +=．当椭圆C的切线斜率不存在时，切点()或()-，当切点为()时，切线为x =3012y +⨯⨯=；当切点为()-时，切线为x =-3012y -+⨯⨯=． 又切点()11,M x y ，()22,N x y ，则切线PM 方程为11312x x y y +=， 切线PN 方程为22312x x y y +=．因为直线PM 与直线PN 相交于点P ， 故()()1122342012,342012,x d y d x d y d ⎧+-+=⎪⎨+-+=⎪⎩ 由两点确定一条直线有直线MN 的方程为()342012xd y d +-+=， 整理得()1260120d x y y -+-=， 联立120,60120,x y y -=⎧⎨-=⎩解得12,51,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 故直线MN 过定点121,55⎛⎫⎪⎝⎭．22．(1)x 2﹣y 2＝1； (2)证明见解析.【分析】(1)依题意，建立关于a 、b 的方程组，解出a 、b 的值，即可求得双曲线的方程； (2)设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，直线11:()PA y y k x x -=-，将其与双曲线方程联立，由相切可得Δ0=，化简可得11x k y =，由此表示直线PA 方程，同理可得直线PB 方程，进而得到直线AB 方程，由此可得证． （1）依题意，22211bb aa b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，∴C ：221x y -=；（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，直线11:()PA y y k x x -=-，由1122()1y y k x x x y -=-⎧⎨-=⎩得，2221111(1)2()()10k x k y kx x y kx ------=， 直线PA 与双曲线相切，∴2222111124()4(1)()4(1)0k y kx k y kx k ∆=-+--+-=且210k -≠， ∴22114()4(1)0y kx k -+-=，∴22221111210k x kx y y k -++-=，即2221111(1)210x k kx y y --++=，又22111x y -=，∴222211111,1x y y x -=+=，∴22221111112()0y k kx y x y k x -+=-=，1110y k x ∴-=，则11x k y =， ∴直线1111:()x PA y y x x y -=-，即111y y x x =-， 同理，切线PB 的方程为221y y x x =-，0(,)P m y 在切线PA 、PB 上，∴01102211y y mx y y mx =-⎧⎨=-⎩，A ∴、B 满足直线方程01y y mx =-，而两点确定唯一一条直线，∴直线0:1AB y y mx =-，则当10x m y ⎧=⎪⎨⎪=⎩时，无论0y 取何值，等式均成立，∴点1(,0)m 恒在直线AB 上，故无论点P 在何处，直线AB 恒过定点1(,0)m ．23．(1)2218y x -=；(2)证明见解析，【分析】(1)由双曲线C 的一个焦点坐标为(3,0)可求c ，根据一条渐近线的倾斜角的正切值为ba，结合a 、b 、c 的关系求解a 、b 得到双曲线方程；(2)设直线l的方程为(y kx m k =+≠±0)m ≠，联立直线与椭圆方程，利用判别式为0，求出k 与m 的关系．联立l 与渐近线方程求出M 和N 的坐标，通过12MON MOD NOD M N S S S OD y y =+=⋅⋅-△△△，化简即可．【详解】（1）由题可知2223c b a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩，解得2218a b ⎧=⎨=⎩，则C ：2218y x -=；（2）由于直线l 与双曲线C 右支相切(切点不为右顶点)，则直线l 的斜率存在且不为0， 设直线l的方程为(y kx m k =+≠±0)m ≠， 令0y =，则mx k=-，则m OD k =．联立2218y kx my x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得，222(8)280k x kmx m ----=，则222244(8)(8)0k m k m ∆=----=，即228m k =-．双曲线两条渐近线方程为y =±，联立y y kx m ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得，M ，联立y y kx m⎧=-⎪⎨=+⎪⎩得，N ，1122MON MO N D NOD M N M m S S S OD y y x x k=+=⋅⋅-=⋅⋅-△△△1122m m k k =⋅=⋅= 故MON △的面积为定值24．(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）设出切线方程，联立后用韦达定理及根的判别式进行表达出A 的横坐标与纵坐标，进而表达出直线PA 的方程，化简即为结果；（2）再第一问的基础上，利用向量的夹角公式表达出夹角的余弦值，进而证明出结论. （1）显然直线PA 的斜率存在，设直线PA 的方程为()11y k x -=-，联立()221,311,x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪-=-⎩得()()22231613(1)30k x k k x k ---+-+=，则()()2222Δ36(1)4313220k k k k k =---⨯-+=，化简得210k k +-=.因为方程有两个相等实根，故切点A 的横坐标()()2122613331231k k k k x k k ---=-=--，得12131k y k -=-，则113x k y =， 故()1111:3x l y x x y y =-+，则22111133xx x yy y =-+，即1113x x y y -=. （2） 同理可得22:13PB xx l yy -=，又PA l 与PB l 均过()1,1P ， 所以12121,133x xy y -=-=. 故():1,2,03AB xl y F -=-，()()11113,12,36FP FA x y x y ⋅=⋅+=++，()()22223,12,36FP FB x y x y ⋅=⋅+=++， 又因为120,0x x <>，所以123,3x x -，则1103cos ,x FP FA ⎛⎫+ ⎪===2103cos ,x FP FB ⎛⎫+ ⎪===， 故cos ,cos ,FP FA FP FB =-，故πAFP BFP ∠∠+=.【点睛】圆锥曲线中证明角度相关的问题，往往需要转化为斜率或向量进行求解. 25．(1)24x y =(2)直线AB 与直线PF 垂直；证明见解析【分析】（1）设直线l 的方程为22py x =+，与抛物线交于()11,C x y ，()22,D x y ，将直线方程代入抛物线方程化简，利用根与系数的关系得12x x +，再结抛物线的定义可求出p ，从而可得抛物线的方程，（2）根据导数的几何意义求出切线,PA PB 的方程，从而可得直线AB 的方程，再求出直线PF 的斜率，比较两直线斜率的关系可得结论【详解】（1）由题意知抛物线()220x py p =>焦点为(0)2p F ，，设直线l的方程为2py x =+，与抛物线交于()11,C x y ，()22,D x y ，联立抛物线方程222,022p y x x p x py ⎧=+⎪∴-=⎨⎪=⎩，2Δ60p =>，所以12x x +，所以1212)22y y x x p p +=++=， 又由抛物线的定义知126MN y y p =++=，即36p =， 即2p =，所以抛物线的方程为24x y =； （2）直线AB 与直线PF 垂直，理由如下： 由（1）得()24x y f x ==，()12f x x '=，设()33,A x y ，()44,B x y ，(),1P m -， 所以直线PA 方程为：()33312y y x x x -=-， 又因为点A 在抛物线24x y =上，即有2334x y =，得到直线PA 方程为3312xx y y =+；同理可得PB 方程为：4412yy x x =+，PA ，PB 经过点P ，则34431,11221mx y mx y =-+=-+，由AB 两点可确定一条直线，所以AB 所在直线方程为：112mx y =-，当0m =时，直线AB 与直线PF 垂直，显然成立， 当0m ≠时，直线AB 斜率112k m =，(,1),(0,1)P m F -， PF 直线所在斜率21(1)02k m m--==--， 则121k k =-，综上，直线AB 与直线PF 垂直.【点睛】本题考查了抛物线方程的求解以及直线和抛物线的位置关系中的直线垂直问题，综合性较强，计算量大，解答时要注意利用导数的几何意义表示切线方程，关键在于利用方程思想表示出直线AB 的方程. 26．(1)24y x =；(2)直线AB 与直线PF 垂直；证明见解析.【分析】（1）利用直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理及抛物线的定义即得； （2）设()33,A x y ，()44,B x y ，()1,P m -，利用导数的几何意义可得切线方程，进而可得直线AB 的方程，然后分类讨论即得. （1）设直线l的方程为：2p y x ⎫=-⎪⎭，与抛物线交于()11,M x y ，()22,N x y ，联立抛物线方程222p y x y px⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩，可得22204p x px -+=， ①230p ∆=>，122x x p +=，又由抛物线的定义知126MN x x p =++=， 即2p =，所以抛物线的方程为24y x =； （2）直线AB 与直线PF 垂直，理由如下： 由（1）得()y f x ==±()f x '= 设()33,A x y ，()44,B x y ，()1,P m -， 所以直线P A方程为：)33y y x x =--， 又因为点A 在抛物线24y x =上，联立2334y x =，得到直线P A 方程为()332yy x x =+， 同理可得PB 方程为：()442yy x x =+，由AB 两点可以确定一条直线，P A ，PB 经过点P ， 所以AB 所在直线方程为：()21my x =-， 当0m =时，显然成立，。

20XX 年高考圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程：1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73，求双曲线1C 的方程．（2）以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程．（1）解：1C的焦点坐标为(0,2e =由1273e e =得1e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2222213139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．代入2008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程．2、设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN ⊥MQ ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩………3分 由（1）－（2）可得1.3M N Q Nk k∙=-…6分又MN ⊥MQ ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3y y x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. 二、中点弦问题：3、已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的一个焦点1(0,F -，对应的准线方程为y =.（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被点13,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭平分，求直线l 的方程.解：（1）由2222.c ac a b c ⎧-=-⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩3,1a b ==即椭圆的方程为221.9y x +=（2）易知直线l 的斜率一定存在，设l ：313,.2222k y k x y kx ⎛⎫-=+=++ ⎪⎝⎭即设M （x 1, y 1），N （x 2, y 2），由223,221.9k y kx y x ⎧=++⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2222327(9)(3)0.424k k x k k x k +++++-= ∵x 1、x 2为上述方程的两根，则2222327(3)4(9)0424k k k k k ⎛⎫∆=+-+⋅+-> ⎪⎝⎭①∴21223.9k k x x k++=-+ ∵MN 的中点为13,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴1212 1.2x x ⎛⎫+=⨯-=- ⎪⎝⎭∴223 1.9k k k +-=-+∴2239k k k +=+，解得k=3.代入①中，229927184(99)180424⎛⎫∆=-+⋅+-=> ⎪⎝⎭∴直线l ：y=3x+3符合要求.4、已知椭圆的一个焦点为)22,0(1-F ，对应的准线为429-=y ，离心率e 满足34,,32e 成等比数列． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点B A ,，且线段AB 恰好被直线21-=x 平分？若存在，求出直线l 的倾斜角α的取值范围；若不存在，说明理由．解 ： (Ⅰ)由题意知，9834322=⋅=e ，所以322=e ．设椭圆上任意一点P 的坐标为),(y x ，则由椭圆的第二定义得， 322429)22(22=+++y y x ，化简得1922=+y x ，故所求椭圆方程为1922=+y x ． （Ⅱ）设),(),,(2211y x B y x A ，AB 中点),(00y x M ，依题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=+=2212210210y y y x x x ，可得⎩⎨⎧=+-=+0212121y y y x x ．若直线l 存在，则点M 必在椭圆内，故19)21(202<+-y ，解得0233233000<<-<<y y 或．将),(),,(2211y x B y x A 代入椭圆方程，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(19)1(1922222121y x y x )1()2(-得，09))(())((12121212=+-++-y y y y x x x x ， 故0121212122)1(9)(9y y y x x x x y y k AB -⨯-=++-=--=，所以ABk y 290=，则有029233233290<<-<<ABAB k k 或， 解得33-<>AB AB k k 或，故存在直线l 满足条件，其倾斜角)32,2()2,3(ππππα⋃∈． 三、定义与最值：5、已知动点P 与双曲线22x －32y =1的两个焦点F 1、F 2的距离之和为6．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若1PF •2PF =3，求⊿PF 1F 2的面积； （Ⅲ）若已知D(0,3)，M 、N 在轨迹C 上且DMDN ，求实数的取值范围．解：①92x +42y =1；②2；③[51,5]四、弦长及面积：6、已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程． 解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()1422=++m x x ，即012522=-++m mx x ．()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ，解得2525≤≤-m ． （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得5221mx x -=+，51221-=m x x ．根据弦长公式得 ：51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+m m ．解得0=m ．方程为x y =． 7、已知ABC △的顶点A B ，在椭圆2234x y +=上，C 在直线2l y x =+：上，且AB l ∥． （Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及ABC △的面积； （Ⅱ）当90ABC ∠=，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．解：（Ⅰ）因为AB l ∥，且AB 边通过点(00)，，所以AB 所在直线的方程为y x =．设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，． 由2234x y y x⎧+=⎨=⎩，得1x =±．所以12AB x =-=． 又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l的距离．所以h =122ABC S AB h ==△． （Ⅱ）设AB 所在直线的方程为y x m =+，由2234x y y x m⎧+=⎨=+⎩，得2246340x mx m ++-=．因为A B ，在椭圆上，所以212640m ∆=-+>．设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，，则1232mx x +=-，212344m x x -=，所以122AB x =-=．又因为BC 的长等于点(0)m ，到直线l 的距离，即BC =22222210(1)11AC AB BC m m m =+=--+=-++．所以当1m =-时，AC 边最长，（这时12640∆=-+>） 此时AB 所在直线的方程为1y x =-． 五、范围问题:8、已知椭圆13422=+y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．分析：若设椭圆上A ，B 两点关于直线l 对称，则已知条件等价于：(1)直线l AB ⊥；(2)弦AB 的中点M 在l 上．利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围． 解：(法1)设椭圆上),(11y x A ，),(22y x B 两点关于直线l 对称，直线AB 与l 交于),(00y x M 点． ∵l 的斜率4=l k ，∴设直线AB 的方程为n x y +-=41．由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=,134,4122yx n x y 消去y 得 0481681322=-+-n nx x ①。

圆锥曲线的定值问题题型一 长度或距离为定值【例1】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点A 与左、右焦点F 1，F 2构成一个面积为1的直角三角形． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l 与椭圆C 相切，求证：点F 1，F 2到直线l 的距离之积为定值．(1)解 ∵椭圆C 的上顶点A 与左、右焦点F 1，F 2构成一个面积为1的直角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，bc ＝1， ∴b ＝c ＝1， ∴a 2＝b 2＋c 2＝2，∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 ①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝±2， 点F 1，F 2到直线l 的距离之积为(2－1)(2＋1)＝1. ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m ， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，Δ＝(4km )2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝－8(m 2－2k 2－1)＝0， ∴m 2＝1＋2k 2，点F 1到直线l ：y ＝kx ＋m 的距离d 1＝|－k ＋m |k 2＋1，点F 2到直线l ：y ＝kx ＋m 的距离d 2＝|k ＋m |k 2＋1.∴d 1d 2＝|－k ＋m |k 2＋1·|k ＋m |k 2＋1＝|m 2－k 2|k 2＋1＝|2k 2＋1－k 2|k 2＋1＝1.综上，可知当直线l 与椭圆C 相切时，点F 1，F 2到直线l 的距离之积为定值1.感悟升华 圆锥曲线中的定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的．定值问题同证明问题类似，在求定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定值显现．【训练1】 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1.设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1.若M ，N 分别是C 1，C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值． 证明 当直线ON 垂直于x 轴时，|ON |＝1，|OM |＝22，则O 到直线MN 的距离为33， 当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为y ＝kx ⎝⎛⎭⎫显然|k |>22，则直线OM 的方程为y ＝－1kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，4x 2＋y 2＝1，得⎩⎨⎧x 2＝14＋k 2，y 2＝k24＋k 2，所以|ON |2＝1＋k 24＋k 2，同理|OM |2＝1＋k 22k 2－1， 设O 到直线MN 的距离为d ，因为(|OM |2＋|ON |2)d 2＝|OM |2|ON |2， 所以1d 2＝1|OM |2＋1|ON |2＝3k 2＋3k 2＋1＝3，即d ＝33.综上，O 到直线MN 的距离是定值． 题型二 斜率或其表达式为定值【例2】 (2020·兰州诊断)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值．(1)解 由题设知c a ＝22，b ＝1，结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0， 由已知Δ>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， x 1x 2≠0，则x 1＋x 2＝4k (k －1)1＋2k 2，x 1x 2＝2k (k －2)1＋2k 2， 从而直线AP ，AQ 的斜率之和为k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k (k －1)2k (k －2)＝2k －2(k －1)＝2(即为定值)．【训练2】 (2021·大同模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，已知|AB |＝4，且点⎝⎛⎭⎫e ，345在椭圆上，其中e 是椭圆的离心率．(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上异于A ，B 的点，与x 轴垂直的直线l 分别交直线AP ，BP 于点M ，N ，求证：直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值． (1)解 ∵|AB |＝4，∴2a ＝4，∴a ＝2， 又点⎝⎛⎭⎫e ，354在椭圆上，∴e 24＋4516b2＝1， 又b 2＋c 2＝a 2＝4，联立方程组解得b 2＝3， ∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 设点P 的坐标为(s ，t )，点M ，N 的横坐标为m (m ≠±2)， 则直线AP 的方程为y ＝t s ＋2(x ＋2)，故M ⎝⎛⎭⎫m ，ts ＋2(m ＋2)，故直线BM 的斜率k 1＝t (m ＋2)(s ＋2)(m －2)，同理可得直线AN 的斜率k 2＝t (m －2)(s －2)(m ＋2)，故k 1k 2＝t (m ＋2)(s ＋2)(m －2)×t (m －2)(s －2)(m ＋2)＝t 2s 2－4，又点P 在椭圆上，∴s 24＋t 23＝1，∴t 2＝－34(s 2－4)，∴k 1k 2＝－34(s 2－4)s 2－4＝－34.即直线AN 与直线BM 的斜率之积为定值．题型三 几何图形面积为定值【例3】 (2021·昆明诊断)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ，点(1，e )在椭圆E上，点A (a,0)，B (0，b )，△AOB 的面积为32，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线l 交椭圆E 于M ，N 两点，直线OM 的斜率为k 1，直线ON 的斜率为k 2，且k 1k 2＝－19，证明：△OMN 的面积是定值，并求此定值．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋e 2b 2＝1，e ＝ca ，c 2＝a 2－b 2，得b ＝1.又S △AOB ＝12ab ＝32，得a ＝3.所以椭圆E 的标准方程为x 29＋y 2＝1.(2)当直线l 的斜率不存在时，设直线l ：x ＝t (－3<t <3且t ≠0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 2＝1，x ＝t ，得y 2＝1－t 29，则k 1k 2＝1－t 29t×－1－t 29t＝－1－t 29t 2＝－19，解得t 2＝92.所以S △OMN ＝12×2×1－t 29×|t |＝32.当直线l 的斜率存在时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 29＋y 2＝1消去y 并整理，得(9k 2＋1)x 2＋18kmx ＋9m 2－9＝0. Δ＝(18km )2－4(9k 2＋1)(9m 2－9)＝36(9k 2－m 2＋1)>0， x 1＋x 2＝－18km9k 2＋1，x 1x 2＝9m 2－99k 2＋1，k 1k 2＝y 1x 1×y 2x 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )x 1x 2＝－9k 2＋m 29m 2－9＝－19， 化简得9k 2＋1＝2m 2，满足Δ>0.|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·⎝⎛⎭⎫－18km 9k 2＋12－4·9m 2－99k 2＋1＝61＋k 2·9k 2－m 2＋19k 2＋1.又原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k 2， 所以S △OMN ＝12×|MN |×d＝31＋k 2·9k 2－m 2＋19k 2＋1×|m |1＋k 2＝3|m |2m 2－m 22m 2＝32.综上可知，△OMN 的面积为定值32.感悟升华 探求圆锥曲线中几何图形的面积的定值问题，一般用直接求解法，即可先利用三角形面积公式(如果是其他凸多边形，可分割成若干个三角形分别求解)把要探求的几何图形的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入几何图形的面积表达式中，化简即可．【训练3】 已知点F (0,2)，过点P (0，－2)且与y 轴垂直的直线为l 1，l 2⊥x 轴，交l 1于点N ，直线l 垂直平分FN ，交l 2于点M . (1)求点M 的轨迹方程；(2)记点M 的轨迹为曲线E ，直线AB 与曲线E 交于不同两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 2－1＝x 1＋m 2(m 为常数)，直线l ′与AB 平行，且与曲线E 相切，切点为C ，试问△ABC 的面积是否为定值．若为定值，求出△ABC 的面积；若不是定值，说明理由．解 (1)由题意得|FM |＝|MN |，即动点M 到点F (0,2)的距离和到直线y ＝－2的距离相等，所以点M 的轨迹是以F (0,2)为焦点，直线y ＝－2为准线的抛物线，根据抛物线定义可知点M 的轨迹方程为x 2＝8y .(2)由题意知，直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＝8y 消去x 整理得x 2－8kx －8b ＝0.则x 1＋x 2＝8k ，x 1·x 2＝－8b .设AB 的中点为Q ，则点Q 的坐标为(4k,4k 2＋b )．由条件设切线方程为y ＝kx ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 2＝8y 消去y 整理得x 2－8kx －8t ＝0.∵直线与抛物线相切，∴Δ＝64k 2＋32t ＝0，∴t ＝－2k 2， ∴切点C 的横坐标为4k ，∴点C 的坐标为(4k,2k 2)． ∴CQ ⊥x 轴，∵x 2－x 1＝m 2＋1， ∴(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4(－8b ) ＝64k 2＋32b ＝(m 2＋1)2，∴b ＝(m 2＋1)2－64k 232.∴S △ABC ＝12|CQ |·|x 2－x 1|＝12·(2k 2＋b )·(x 2－x 1)＝(m 2＋1)364，∵m 为常数，∴△ABC 的面积为定值．1．(2021·洛阳高三统考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，其焦点为F ，O 为坐标原点，直线l 与抛物线C 相交于不同的两点A ，B ，M 为AB 的中点． (1)若p ＝2，M 的坐标为(1,1)，求直线l 的方程．(2)若直线l 过焦点F ，AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求证：2|MN |2|FN |为定值．(1)解 由题意知直线l 的斜率存在且不为0， 故设直线l 的方程为x －1＝t (y －1) 即x ＝ty ＋1－t ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1－t ，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4＋4t ＝0， ∴Δ＝16t 2＋16－16t ＝16(t 2－t ＋1)＞0，y 1＋y 2＝4t ， ∴4t ＝2，即t ＝12.∴直线l 的方程为2x －y －1＝0.(2)证明 ∵抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，∴焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0. 由题意知直线l 的斜率存在且不为0，∵直线l 过焦点F ，故设直线l 的方程为x ＝ty ＋p2(t ≠0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋p 2y 2＝2px，得y 2－2pty －p 2＝0， ∴y 1＋y 2＝2pt ，Δ＝4p 2t 2＋4p 2＞0. ∴x 1＋x 2＝t (y 1＋y 2)＋p ＝2pt 2＋p ， ∴M ⎝⎛⎭⎫pt 2＋p2，pt .∴MN 的方程为y －pt ＝－t ⎝⎛⎭⎫x －pt 2－p2. 令y ＝0，解得x ＝pt 2＋3p2，N ⎝⎛⎭⎫pt 2＋3p 2，0， ∴|MN |2＝p 2＋p 2t 2，|FN |＝pt 2＋3p 2－p2＝pt 2＋p ， ∴2|MN |2|FN |＝2(p 2＋p 2t 2)pt 2＋p＝2p ，为定值．2．(2020·新高考山东卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且过点A (2,1)．(1)求C 的方程；(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．(1)解 由题设得4a 2＋1b 2＝1, a 2－b 2a 2＝12，解得a 2＝6，b 2＝3. 所以C 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)证明 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ，代入x 26＋y 23＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0. 于是x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2.①由AM ⊥AN ，得AM →·AN →＝0， 故(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(km －k －2)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＋4＝0. 将①代入上式，可得(k 2＋1)2m 2－61＋2k 2－(km －k －2)4km1＋2k 2＋(m －1)2＋4＝0， 整理得(2k ＋3m ＋1)(2k ＋m －1)＝0. 因为A (2,1)不在直线MN 上，所以2k ＋m －1≠0，所以2k ＋3m ＋1＝0，k ≠1. 所以直线MN 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －23－13(k ≠1)． 所以直线MN 过点P ⎝⎛⎭⎫23，－13. 若直线MN 与x 轴垂直，可得N (x 1，－y 1)．由AM →·AN →＝0，得(x 1－2)(x 1－2)＋(y 1－1)(－y 1－1)＝0.又x 216＋y 213＝1，所以3x 21－8x 1＋4＝0. 解得x 1＝2(舍去)，或x 1＝23.此时直线MN 过点P ⎝⎛⎭⎫23，－13. 令Q 为AP 的中点，即Q ⎝⎛⎭⎫43，13.若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt △ADP 的斜边， 故|DQ |＝12|AP |＝223.若D 与P 重合，则|DQ |＝12|AP |.综上，存在点Q ⎝⎛⎭⎫43，13，使得|DQ |为定值．。

圆锥曲线基础训练题姓名____________分数______________一、选择题1 ．抛物线y 2=ax 的焦点坐标为(-2,0),则抛物线方程为（ ）A ．y 2=-4x B ．y 2=4x C ．y 2=-8x D ．y 2=8x2 ．如果椭圆的两个焦点三等分它所在的准线间的垂线段，那么椭圆的离心率为 （ ）A ．23 B ．33 C ．36 D ．66 3 ．双曲线191622=-y x 的渐近线方程为 （ ）A ． x y 34±= B ．x y 45±= C ．x y 35±= D ．x y 43±= 4 ．抛物线 x y 42= 的焦点坐标是（ ）A ．（－1，0）B ．（1，0）C ．（0，－1）D ．（0，1）5 ．双曲线221916y x -=的准线方程是 （ ） A 165x =±B 95x =±C 95y =±D 165y =± 6 ．双曲线221169x y -=上的点P 到点(5,0)的距离是15,则P 到点(-5,0)的距离是 （ ）A ．7B ．23C ．5或23D ．7或237 ．双曲线1322=-y x 的两条渐近线方程是 （ ）A ．03=±y xB ．03=±y xC ．03=±y xD ．03=±y x8 ．以椭圆的焦点为圆心，以焦距为半径的圆过椭圆的两个顶点，则椭圆的离心率为 （ ）A ．43)D (23)C (22)B (219 ．抛物线y x 42=上一点A 纵坐标为4,则点A 与抛物线焦点的距离为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．抛物线()042<=a ax y 的焦点坐标是（ ）A ．⎪⎭⎫⎝⎛041，a B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1610，C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1610，D ．⎪⎭⎫⎝⎛0161，a 11．椭圆2x 2=1-3y 2的顶点坐标为（ ）A ．(±3，0)，(0，±2)B ．(±2，0)，(0，±3)C ．(±22，0)，(0，±33) D ．(±12，0)，(0，±13) 12．焦距是10，虚轴长是8，经过点(23, 4)的双曲线的标准方程是（ ）A ．116922=-y x B ．116922=-x y C ．1643622=-y x D ．1643622=-x y 13．双曲线22124x y -=-的渐近线方程为（ ）A ．y =B ．x =C ．12y x =±D ．12x y =±14．已知椭圆方程为1322=+y x ，那么左焦点到左准线的距离为 （ ）A ．22 B ．223 C ．2D ．2315．抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，此抛物线的方程是 （ ）A ．y 2=16xB ．y 2=12xC ．y 2= -16xD ．y 2= -12x16．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）A ．13B ．3C ．12 D ．217．下列表示的焦点在y 轴上的双曲线方程是（ ）A ．13422=+y xB ．14322=+y xC ．13422=-y xD ．13422=-x y 18．抛物线y =2px 2(p ≠0)的焦点坐标为（ ）A ．(0，p )B ．(10,4p ) C ．(10,8p) D ．(10,8p±) 19．与椭圆205422=+y x 有相同的焦点，且顶点在原点的抛物线方程是（ ）A ．x y 42=B ．x y 42±=C ．y x 42=D ．y y 42±=20．已知双曲线的渐近线方程为x y43±=，则此双曲线的（ ）A ．焦距为10B ．实轴和虚轴长分别是8和6C ．离心率是45或35 D ．离心率不确定21．双曲线122=-y x 的渐近线方程是（ ）A ．±=x 1B ．y =C ．x y ±=D ．x y 22±= 22．若命题“曲线C 上的点的坐标都是方程f(x ，y)=0的解”是正确的，则以下命题中正确的是（ ）A ．方程(x ，y)=0的曲线是CB ．坐标满足方程f(x ，y)=0的点都在曲线C 上 C ．曲线C 是方程f(x ，y)=0的轨迹D ．方程f(x ，y)=0的曲线不一定是C23．双曲线221916y x -=的准线方程是 （ ）A ．165x =±B ．95x =±C ．95y =±D ．165y =±24．双曲线191622=-x y 的焦点坐标是 （ ）A ．()0,5和()0,5-B ．()5,0和()5,0-C ．()0,7和()0,7- D ．()7,0和()7,0-25．已知抛物线的焦点坐标为(－3,0),准线方程为x =3,则抛物线方程是（ ）A ．y 2+6x =0B ．y 2+12x =0C ．y +6x 2=0D ．y +12x 2=0 26．双曲线 191622=-y x 的渐近线的方程是（ ）A ．x y 43±= B ．x y 34±= C ．x y 169±= D ．x y 916±= 27．对抛物线24y x =,下列描述正确的是（ ）A ．开口向上,焦点为(0,1)B ．开口向上,焦点为1(0,)16 C ．开口向右,焦点为(1,0)D ．开口向右,焦点为1(0,)1628．双曲线2y 2-x 2=4的一个焦点坐标是（ ）A ．(0,-)6B ．(6,0)C ．(0,-2)D ．(2,0)29．若抛物线px y 22=的焦点与椭圆12622=+y x 的右焦点重合，则p 的值为 （ ）A ．－2B ．2C ．－4D ．430．到直线x=－2与定点P （2，0）距离相等的点的轨迹是（ ）A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．直线二、填空题31．(1)短轴长为6，且过点(1，4)的椭圆标准方程是(2)顶点(-6，0)，(6，0)过点(3，3)的椭圆方程是 32．与两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是________________________33．椭圆4422=+y x 的焦点坐标为___________，__________． 34．抛物线x y 42=的准线方程为______ 35．到x 轴,y 轴距离相等的点的轨迹方程_________.36．已知两个定点1(4,0)F -,2(4,0)F ,动点P 到12,F F 的距离的差的绝对值等于6,则点P 的轨迹方程是 ;37．若双曲线22145x y -=上一点P 到右焦点的距离为8，则P 到左准线的距离为38．若定点(1,2)A 与动点(),Px y 满足，4OP OA ⋅=则点P 的轨迹方程是39．已知双曲线的离心率为2，则它的实轴长和虚轴长的比为 。

圆锥曲线小题训练1．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．2．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（）A．B．C．D．3.已知圆C的方程为（x﹣1）2+y2=1，P是椭圆=1上一点，过P作圆的两条切线，切点为A、B，求•的范围为（）A．[0，]B．[2﹣3，+∞]C．[2﹣3，]D．[，]4.已知点A（﹣1，0），B（1，0）及抛物线y2=2x，若抛物线上点P满足|PA|=m|PB|，则m的最大值为（）A.3B．2C．D．5.如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右2个分支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A.4B．C．D．6.已知双曲线的标准方程为，F 为其右焦点，A 1，A 2是实轴的两端点，设P 为双曲线上不同于A 1，A 2的任意一点，直线A 1P ，A 2P 与直线x=a 分别交于两点M ，N，若，则a 的值为（）A．B．C．D．7.已知双曲线上存在两点M ，N 关于直线y=x+m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2=9x 上，则实数m 的值为（）A ．4B ．﹣4C ．0或4D ．0或﹣48．过双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点F （﹣c ，0）（c ＞0）作圆x 2+y 2=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若=（+），则双曲线的离心率为（）A.B ．C ．D ．10．抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是（）A ．4B．C．D ．811．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB=2AD ，设∠DAB=θ，θ∈（0，），以A ，B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为e 1，以C ，D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为e 2，则（∠A 随着角度θ的增大，e 1增大，e 1e 2为定值B.随着角度θ的增大，e 1减小，e 1e 2为定值C.随着角度θ的增大，e 1增大，e 1e 2也增大D.随着角度θ的增大，e 1减小，e 1e 2也减小离）12.已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线（m＞0，n＞0）有相同的焦点（﹣c，0）和（c，0），若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．13.已知点P是椭圆+=1（x≠0，y≠0）上的动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F 1PF2的角平分线上一点，且•=0，则||的取值范围是（）A．[0，3]B．（0，2）C．[2，3]D．[0，4]14.从（其中m，n∈{﹣1，2，3}）所表示的圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为（）A．B．C．D．15.已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点是F1，F2，设P是双曲线右支上一点，上的投影的大小恰好为且它们的夹角为，则双曲线的离心率e为（）A．B．C．D．16.下列三图中的多边形均为正多边形，M，N是所在边的中点，双曲线均以图中的F1，F2为焦点，设图示①②③中的双曲线的离心率分别为e1，e2，e3、则e1，e2，e3的大小关系为（）A．e1＞e2＞e3B．e1＜e2＜e3C．e2=e3＜e1D．e1=e3＞e217.已知F1，F2分别为双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线左支上任一点，若的最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，3）C．（1，3）D．（0，2]18.双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2离心率为e．过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2的值是（）A．1+2B．3+2C．4﹣2D．5﹣219.设F1，F2分别是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P满足|PF2|=|F1F2|且cos∠PF1F2=，则双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0B．3x±5y=0C．4x±3y=0D．5x±4y=020.已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，e为双曲线的离心率，P是双曲线右支上的点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，则OB=（）A．a B．b C．ea D．eb21.设双曲线C：（b＞a＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．若在双曲线的右支上存在一点P，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线C的离心率e的取值范围为（）A．（1，2）B．C．D．（1，2）22.已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F与椭圆的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为T，且TF与x轴垂直，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．23.已知双曲线的离心率，2]．双曲线的两条渐近线构成的角中，以实轴为角平分线的角记为θ，则θ的取值范围是（）A ．，B ．，C ．，D ．，π]24．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别F 1、F 2，O 为双曲线的中心，P 是双曲线右支上的点，△PF 1F 2的内切圆的圆心为I ，且◉I 与x 轴相切于点A ，过F 2作直线PI 的垂线，垂足为B ，若e 为双曲线的率心率，则（）A ．|OB|=e|OA|B ．|OA|=e|OB|C ．|OB|=|OA|D ．|OA|与|OB|关系不确定25.已知抛物线y 2=2px （p ＞0）与椭圆有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF ⊥x 轴，则椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D ．26.设抛物线y2=4x的焦点为F，过点M（﹣1，0）的直线在第一象限交抛物线于A、B，使，则直线AB的斜率k=（）A．B．C．D．27.已知双曲线上的一点到其左、右焦点的距离之差为4，若已知抛物线y=ax2上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且，则m的值为（）A． B.23C．D．28.过双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．+1D．29.已知椭圆的一个焦点为F，若椭圆上存在点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．30.已知点M是抛物线y2=4x的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：（x﹣4）2+（y﹣1）2=1上，则|MA|+|MF|的最小值为（）A．2B．3C．4D．5圆锥曲线小题训练8参考答案与试题解析1．（2016•潍坊模拟）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】分等腰三角形△F1F2P以F1F2为底和以F1F2为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a、c的不等式，解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围．【解答】解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上。

圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程：1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73，求双曲线1C 的方程． （2）以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程． （1）解：1C 的焦点坐标为(0,13).±213e =由1273e e =得113e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2222213139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．代入2008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程．2、（1）ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A 的轨迹方程．解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33yy x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．（2）分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系． 解：sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=53·2RsinA ∴BC AC AB 53=- 即6=-AC AB （*）∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为116922=-y x （x>3） 点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支） 3、如图，两束光线从点M （-4，1）分别射向直线y = -2上两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2）后，反射光线恰好通过椭圆C ：12222=+by a x （a >b >0）的两焦点，已知椭圆的离心率为21，且x 2-x 1=56，求椭圆C 的方程. 解：设a =2k ，c =k ，k ≠0，则b =3k ，其椭圆的方程为1342222=-ky k x . 由题设条件得：114)2(120x x k ----=--+， ①224)2(120x x k ----=--+， ②x 2-x 1=56， ③ 由①、②、③解得：k =1，x 1=511-，x 2=-1，所求椭圆C 的方程为13422=+y x . 4、在面积为1的PMN ∆中，21tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程．∴所求椭圆方程为1315422=+y x 解：以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设),(y x P ．则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-.1,21,2cy c x yc x y∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===233435c c y c x 且即)32,325(P ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,43,13412252222b a ba 得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,41522b a （1）求线段PQ 的中点的轨迹方程；（2）设∠POQ 的平分线交PQ 于点R （O 为原点），求点R 的轨迹方程．解：（1）设线段PQ 的中点坐标为M （x ，y ），由Q （4，0）可得点P （2x -4，2y ），代入圆的方程x 2+y 2=4可得（2x -4）2+（2y ）2=4，整理可得所求轨迹为（x -2）2+y 2=1.（2）设点R （x ，y ），P （m ，n ），由已知|OP |=2，|OQ |=4，∴21||||=OQ OP ，由角平分线性质可得||||||||RQ PR OQ OP ==21，又∵点R 在线段PQ 上，∴|PR |=21|RQ |，∴点R 分有向线段PQ 的比为21，由定比分点坐标公式可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=32211021342211421n n y m m x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=23243y n x m ，∴点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,243y x ，代入圆的方程x 2+y 2=4可得42324322=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ， 即234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）. ∴点R 的轨迹方程为234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）.6、已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=uu u v uuu v若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（1）如图，设M 为动圆圆心， F ()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =， 即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线， ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42=（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠， 由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+=△216160k =->，11k k <->或设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =由0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，即 ()11,OP x y =u u u r ，()22,OQ x y =u u u r，于是12120x x y y +=，即()()21212110ky y y y --+=，2221212(1)()0k y y k y y k +-++=，2224(1)40k k k k k +-+=g ，解得4k =-或0k =（舍去），又41k =-<-， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-=7、设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP OQ →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（I ）Θe c a =∴=2422， Θc a a c 22312=+∴==，，∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±334分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()M x y ，[]Θ2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y ，即则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分） （III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[]ΘOP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·00110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222由（i ）（ii ）得k 230+= ∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l .8、设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN⊥MQ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩L L L L L L L L ………3分 由（1）－（2）可得1.3MN QN k k •=-…6分又MN⊥MQ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3yy x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. 9、已知：直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。

圆锥曲线综合大题（易错必刷32题15种题型专项训练）➢韦达定理基础型➢直线横截式应用➢直线双变量型应用➢面积最值型➢面积比值范围型➢动直线过定点➢圆过定点➢圆锥切线➢定直线➢向量型定比分点➢斜率型：和定➢斜率型：积定➢斜率型：商定➢求轨迹➢新定义型第19题一．韦达定理基础型（共2题）1．（23-24高二下·四川成都·期中）已知椭圆C：22221x ya b+=（0a b>>），131,2Pæö-ç÷èø，231,2Pæöç÷èø，(30,P，()41,1P四点中恰有三点在椭圆C上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过右焦点F且斜率为1的直线l交椭圆C于M，N两点，点P为直线4x=上任意一点，求证：直线PM，PF，PN的斜率成等差数列．2．（23-24高二下·上海·期中）如图，由部分椭圆22221(0,0)x y a b y a b +=>>£和部分双曲线22221(0)x y y a b -=³，组成的曲线C 称为“盆开线”．曲线C 与x 轴有(2,0),(2,0)A B -两个交点，．(1)设过点(1,0)的直线l 与C 相切于点(4,3)M ，求部分椭圆方程、部分双曲线方程及直线l 的方程；(2)过A 的直线m 与C 相交于点,,P A Q 三点，求证：PBA QBA Ð=Ð．二． 直线横截式应用（共2题）3．（23-24高二上·广西南宁·期中）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>.(1)求椭圆C 的方程：(2)过点()1,0M 的直线l 与椭圆C 交于点A 、B ，设点1(,0)2N ，若ABN V 的面积为310，求直线l 的斜率k .4．（23-24高二下·云南玉溪·期中）在直角坐标平面内，已知点()()122,0,2,0A A -，动点P (x,y ).设1PA ､2PA 的斜率分别为12k k ､，且1234k k ×=-.设动点P (x,y )的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)过点F 1(―1,0)的直线l 交曲线C 于M N ､两点，是否存在常数l ，使11MN F M F N l =×uuuu r uuuu r恒成立？三． 直线双变量型（共2题）5．（23-24高二下·天津·期中）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点()2,0A -，离心率为12．(1)求椭圆C 的方程；(2)点P Q 、为椭圆C 上不同的两点，直线AP 与y 轴交于点M ，直线AQ 与y 轴交于点),N E，设()0,(0)M m m >，且满足,EM EN PQ OE ^×=-uuu r uuu r，求点M 的坐标．6．（21-22高三上·湖北·期中）已知圆O ：222x y +=，椭圆C ：(22221x y a b a b+=>>，P是C 上的一点，A 是圆O 上的一点，PA 的最大值为(1)求椭圆C 的方程；(2)点M 是C 上异于P 的一点，PM 与圆O 相切于点N ，证明：2PO PM PN =×.四．面积最值型（共2题）7．（23-24高二下·福建泉州·期中）已知抛物线2:2(03)C y px p =<<，其焦点为F ，点(,Q m 在抛物线C 上，且4QF =．(1)求抛物线C 的方程；(2)O 为坐标原点，,A B 为抛物线上不同的两点，且OA OB ^，（i ）求证直线AB 过定点；（ii ）求AFO V 与ABO V 面积之和的最小值．8．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期中）已知在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到()和)的距离和为4，设点11,2A æöç÷èø.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)M 为线段PA 的中点，求点M 的轨迹方程；(3)过原点O 的直线交P 的轨迹于B ，C 两点，求ABC V 面积的最大值.五．面积比值范围（共2题）9．（23-24高二·山东·期中）已知抛物线()2:20C y px p =>.过抛物线焦点F 作直线1l 分别在第一、四象限交C 于K P 、两点，过原点O 2与抛物线的准线交于E 点，设两直线交点为S .若当点P 的纵坐标为2-时，OP =(1)求抛物线的方程.(2)若EP 平行于x 轴，证明：S 在抛物线C 上.(3)在（2）的条件下，记SEP V 的重心为R ，延长ER 交SP 于Q ，直线EQ 交抛物线于N T 、（T 在右侧），设NT 中点为G ，求PEG △与ESQ V 面积之比n 的取值范围.10．（23-24高三上·青海西宁·期中）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>点P 在椭圆E 上运动，且12PF F V (1)求椭圆E 的方程；(2)设A ，B 分别是椭圆E 的右顶点和上顶点，不过原点的直线l 与直线AB 平行，且与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，与椭圆E 相交于点C ，D ，O 为坐标原点.（ⅰ）求OCM V 与ODN △的面积之比；（ⅱ）证明：22CM MD +为定值.六．动直线过定点 （共2题）11．（23-24高二下·安徽阜阳·期中）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，P 是C 上一点，线段PF的中点为5,22Q æöç÷èø．(1)求C 的方程；(2)若7p <，O 为原点，点M ，N 在C 上，且直线OM ，ON 的斜率之积为2024，求证：直线MN 过定点．12．（22-23高二上·四川雅安·期中）已知()0,1P 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上一点，点P 与椭圆C 的两(1)求椭圆C 的标准方程；(2)不经过点P 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，若直线PA 与PB 的斜率之和为1-，证明：直线l 必过定点，并求出这个定点坐标．七． 圆过定点（共2题）13．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆22:12x C y +=(1)若双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆C 有公共焦点，求此双曲线的方程；(2)过点10,3S æö-ç÷èø的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，试问在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得以AB 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出T 的坐标，若不存在，说明理由．14．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>F 到渐近线的距离为1．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l 过定点()4,0M 且与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，点N 是双曲线C 的右顶点，直线AN 、BN 分别与y 轴交于P 、Q 两点，以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．八．圆锥切线 （共2题）15．（23-24高二下·上海·期中）已知圆()22:21F x y -+=，动圆P 与圆F 内切，且与定直线3x =-相切，设圆心P 的轨迹为G (1)求G 的方程(2)若直线l 过点F ，且与G 交于,A B 两点①若直线l 与y 轴交于M 点，满足(),0,0MA AF MF FB l μl μ==>>uuu r uuu r uuur uuu r，试探究l 与μ的关系；②过点,A B 分别作曲线G 的切线相交于点P ，求PAB V 面积的最小值.16．（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线2Γ:2x y =的焦点为F ，过Γ在第一象限上的任意一点P 作Γ的切线l ，直线l 交y 轴于点Q ．过F 作l 的垂线m ，交Γ于,A B 两点．(1)若点Q 在Γ的准线上，求直线l 的方程；(2)求PF 的中点M 的轨迹方程；(3)若三角形PAB ，求点Q 的坐标．九．定直线（共2题）17．（2024高二·全国·期中）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，A ，B 分别为C 的上、下顶点，O 为坐标原点，直线4y kx =+与C 交于不同的两点M ，N ．(1)设点P 为线段MN 的中点，证明：直线OP 与直线MN 的斜率之积为定值；(2)若AB 4=，证明：直线BM 与直线AN 的交点G 在定直线上．18．（2024·河北·期中）已知椭圆C 的中心在原点O 、对称轴为坐标轴，A æççè、12B ö÷÷ø是椭圆上两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)椭圆C 的左、右顶点分别为1A 和2A ，M ，N 为椭圆上异于1A 、2A 的两点，直线MN 不过原点且不与坐标轴垂直．点M 关于原点的对称点为S ，若直线1A S 与直线2A N 相交于点T ．（i ）设直线1MA 的斜率为1k ，直线2MA 的斜率为2k ，求12k k -的最小值；（ii ）证明：直线OT 与直线MN 的交点在定直线上．十．向量型定比分点 （共2题）19．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b (P ．(1)求椭圆C 的方程；(2)过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若3AF FB =uuu r uuu r，求PAB V 的面积．20．（2023·河南·期中）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点()10F ,，点12M ö÷÷ø在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点()2,1P 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若PA PB l =uu u r uuu r ，()0AQ QB l l =>uuu ruuu r ，求OQ uuu r 的最小值（O是坐标原点）．十一．斜率型：和定 （共2题）21．（2024·河南郑州·期中）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，()00,P x y 是C 上一点且2200||||PF PF x x -=+，直线l 经过点(8,0)Q -．(1)求抛物线C 的方程；(2)①若l 与C 相切，且切点在第一象限，求切点的坐标；②若l 与C 在第一象限内的两个不同交点为,A B ，且Q 关于原点O 的对称点为R ，证明：直线,AR BR 的倾斜角之和为π．22．（23-24高二上·云南昆明·期中）在平面直角坐标系xOy 中，动点(,)M x y 1x =+.记点M 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)设点T 在y 轴上（异于原点），过点T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，并且||||||||TA TB TP TQ =，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.十二．斜率型：积定（共2题）23．（23-24高二·辽宁鞍山·期中）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，右焦点为()2,0F 且离心率为23，直线:6l x =，椭圆C 的左右顶点分别为12,A A P ､为l 上任意一点，且不在x 轴上，1PA 与椭圆C 的另一个交点为2,M P A 与椭圆C 的另一个交点为N .(1)直线1MA 和直线2MA 的斜率分别记为12M A M A k k ､，求证：12MA MA k k ×为定值；(2)求证：直线MN 过定点.24．（23-24高二·云南昆明·期中）已知点P 在椭圆C:x2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上，过点P 作直线l 与椭圆C 交于点Q ，过点P 作关于坐标原点O 的对称点P ¢，PP ¢的最小值为l 的斜率为0时，存在第一象限内的一点P 使得4,PP PQ =¢=(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 的斜率为k （k ≠0），直线QP ¢的斜率为k ¢，求k k ¢×的值．十三．斜率型：商定（共2题）25．（2024·广东广州·期中）已知在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：()22221,0x y a b a b -=>过和(两点.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)若S ，T 为双曲线C 上不关于坐标轴对称的两点，M 为ST 中点，且ST 为圆G 的一条非直径的弦，记GM 斜率为1k ，OM 斜率为2k ，证明：12k k 为定值.26．（23-24高二·广东汕头·期中）已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，点31,2æöç÷èø在该椭圆上，且该椭圆的右焦点F 的坐标为(1,0)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过点F 且斜率为k 的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，记直线AM 的斜率为1k ，直线BN 的斜率为2k ，求证：1213k k =．十四．求轨迹 （共2题）27．（23-24高二下·上海·期中）已知A 、B 、C 是我方三个炮兵阵地，A 地在B 地的正东方向，相距6km ；C 地在B 地的北偏西30°，相距4km ．P 为敌方炮兵阵地．某时刻A 地发现P 地产生的某种信号，12s 后B地也发现该信号（该信号传播速度为13km/s ）．以BA 方向为x 轴正方向，AB 中点为坐标原点，与AB 垂直的方向为y 轴建立平面直角坐标系．(1)判断敌方炮兵阵地P 可能分布在什么样的轨迹上，并求该轨迹的方程；(2)若C 地与B 地同时发现该信号，求从A 地应以什么方向炮击P 地？28．（23-24高二上·安徽宿州·期中）已知直线BC 经过定点()0,2,N O 是坐标原点，点M 在直线BC 上，且OM BC ^．(1)当直线BC 绕着点N 转动时，求点M 的轨迹E 的方程；(2)已知点()3,0T -，过点T 的直线交轨迹E 于点P Q 、，且65OP OQ ×=uuu r uuu r ，求PQ ．十五．新定义型第19题（共4题）29．（2024·福建·期中）贝塞尔曲线是由法国数学家Pierre Bézier 发明的，它为计算机矢量图形学奠定了基础．贝塞尔曲线的有趣之处在于它的“皮筋效应”，即随着控制点有规律地移动，曲线会像皮筋一样伸缩，产生视觉上的冲击．(1)在平面直角坐标系中，已知点1T 在线段AB 上．若A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，1AT a AB =，求动点1T 坐标；(2)在平面直角坐标系中，已知(2,4)A -，(2,0)B -，(2,4)C ，点,M N 在线段,AB BC 上，若动点2T 在线段MN 上，且满足2AM BN MT a ABBCMN===，求动点2T 的轨迹方程；(3)如图，已知((A B C D ，若点3,,,,,M N P X Y T 分别在线段,,,,,AB BC CD MN NP XY 上，且3AM BN CP MX NY XT a ABBCCDMNNPXY======，求动点3T 的轨迹方程．30．（23-24高三上·湖北荆州·期中）已知双曲线E 的中心为坐标原点，渐近线方程为y =，点(2,1)-在双曲线E 上.互相垂直的两条直线12,l l 均过点()(,0n n P p p >)*N n Î，直线1l 交E 于,A B 两点，直线2l 交E 于,C D 两点，,M N 分别为弦AB 和CD 的中点.(2)若直线MN 交x 轴于点()()*,0N n Q t n Î，设2n n p =.①求n t ；②记n a PQ =，()*21N n b n n =-Î，求211(1)nkk k k k b b a +=éù--ëûå.31．（2024·四川·期中）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线与C 相交于点A ，B ，AOB V 面积的最小值为12（O 为坐标原点）.按照如下方式依次构造点()*N n F n Î：1F 的坐标为(),0p ，直线n AF ，n BF 与C 的另一个交点分别为n A ，n B ，直线n n A B 与x 轴的交点为1n F +，设点n F 的横坐标为n x .(2)求数列{}n x 的通项公式；(3)数列{}n x 中，是否存在连续三项（按原顺序）构成等差数列？若存在，指出所有这样的连续三项；若不存在，请说明理由.32．（2024·江西新余·期中）通过研究，已知对任意平面向量(),AB x y =uuu r，把AB uuu r绕其起点A 沿逆时针方向旋转q 角得到向量()cos sin ,sin cos AP x y x y q q q q =-+uuu r，叫做把点B 绕点A 逆时针方向旋转q 角得到点P ，(1)已知平面内点(A ，点B-，把点B 绕点A 逆时针旋转π3得到点P ，求点P 的坐标：(2)已知二次方程221+-=x y xy 的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆()222210+=>>x y a b a b绕原点O 逆时针旋转π4所得的斜椭圆C ，（i ）求斜椭圆C 的离心率；（ⅱ）过点Q 作与两坐标轴都不平行的直线1l 交斜椭圆C 于点M 、N ，过原点O 作直线2l 与直线1l垂直，直线2l 交斜椭圆C 于点G 、H 理由.。

专题14 圆锥曲线切线方程微点3 圆锥曲线切线方程综合训练（2022·四川资阳·高二期末）7．过点()2,1P -作抛物线2:C x 为.（2022·四川省资阳中学高二期末）8．已知抛物线2:8E x y =，点P 点分别为,A B .则直线AB 必然经过定点，该定点坐标为三、双空题（2022·江苏苏州·高三阶段练习）12．极线是高等几何中的重要概念，它是圆锥曲线的一种基本特征与点()00,x y 对应的极线方程为00x x y y +=方程即为切线方程；如果点()00,x y 在圆外，极线方程即为切点弦所在直线方程四、解答题（2022·全国·高三专题练习）13．已知点()1,1A 是椭圆(22221x y a b a b +=>124AF AF +=．(1)求椭圆的标准方程；(1)求点Q的轨迹方程；(2)若P是第一象限内的点，求（2022·陕西汉中·高二期中）20．已知椭圆22 1:4+x y Em椭圆2E的切线MN交椭圆(1)证明：直线PA 的方程为113x xy -(2)设F 为双曲线C 的左焦点，证明：（2022·贵州遵义·高二期末）25．抛物线()220x py p =>焦点为(1)利用抛物线的定义证明：曲线y 抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：102x x x ､､成等差数列，1y ､(3)设抛物线2y ax =焦点为F ，过P （2022·江西上饶·高二期末）28．已知抛物线22(0)x py p =>上的任意一点到(1)求抛物线的方程；参考答案：过点B 作BM l ⊥，垂足点为M ，由抛物线的定义可得易知//BM y 轴，则BAF ABM ∠=∠当ABFB取得最大值时，cos BAF ∠7．210x y -+=【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，再利用直线方程的相关知识即可求出【详解】抛物线2:2C x y =可写成：设1122(,),(,)A x y B x y ，则两条切线的斜率分别为，24．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）设出切线方程，联立后用韦达定理及根的判别式进行表达出坐标，进而表达出直线PA的方程，化简即为结果；式求解.。

圆锥曲线的轨迹方程1．已知直线2:220(1)l x ay a a --=>椭圆222:1x C y a+=，1F ，2F 分别为椭圆的左右焦点．（Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求C 的标准方程；2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，P 是椭圆上的一点，I 为△12PF F 的内切圆圆心，11222PIF IF F PIF S S S =-V V V ，且△12PF F 的周长为6． （1）求椭圆C 的方程．3．椭圆2222:1(1)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，椭圆E 上两动点P ，Q 使得四边形12PFQF为平行四边形，且平行四边形12PFQF 的周长和最大面积分别为8和 （1）求椭圆E 的标准方程；4．已知(2,0)A -，(2,0)B ，点P 在平面内运动，14PA PB k k =-g ．（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，且1F 是圆2270x y +-+=的圆心，点H 的坐标为(0,)b ，且△12HF F 的面积为 （1）求椭圆C 的方程．6．设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，A ，B 两点分别是椭圆C 的上，下顶点，△12AF F 是等腰直角三角形，延长1AF 交椭圆C 于D 点，且2ADF ∆的周长为 （1）求椭圆C 的方程；7．已知点F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点，点A 为椭圆的右顶点，点B 为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F 距离的最大值为3，最小值为1． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，左右焦点分别为1F 、2F ，A 为椭圆上一点，1AF 与y 轴交于点B ，2||||AB F B =，||OB =． （1）求椭圆C 的方程；9．已知椭圆2222:1(0,0)x y E a b a b+=>>的左，右焦点分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ，点P 在椭圆E 上，212PF F F ⊥，且12||3||PF PF =．（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；10．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)F 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点，过F 的直线与椭圆E交于A 、B 两点，线段AB 的中点为21(,)33P ．（1）求椭圆E 的方程；11．已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点(0F ，)(0)c c >关于直线:20l x y --=的对称点为M ，且||FM =P 为C 的准线上的任意一点，过点P 作C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．（1）求抛物线C 的方程；12．已知1F ，2F 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆上，且过点2F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，△1AF B 的周长为．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；13．有一种曲线画图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且12DN ON ==，1DM =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求曲线C 的轨迹方程；14．已知圆22(4)(4)25x y -+-=经过抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点F ，且与抛物线E 的准线l 相切． （1）求抛物线E 的标准方程；15．已知焦点为F 的抛物线2:2(0)C y px p =>与圆222:1O x y p +=+交于点0(1,)P y ． （1）求抛物线C 的方程；16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，焦距为2，点P 为椭圆上异于A ，B的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为34-．（Ⅰ）求C 的方程；17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点M ，且焦距为4．（1）求椭圆C 的标准方程；18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为28y x =的焦点重合．（1）求椭圆C 的标准方程；19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点为B ，圆22:4C x y '+=与y 轴的正半轴交于点A ，与C 有且仅有两个交点且都在x 轴上||,||OB O OA =为坐标原点）． （1）求椭圆C 的方程；20．已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，焦点在x ，1F ，2F 分别为椭圆E 的左、右焦点，点P 在椭圆E 上，以线段12F F 为直径的圆经过点P ，线段1F P 与y 轴交于点B ，且11||||6F P F B =g ． （1）求椭圆E 的方程；21．已知(0,2)P -，点A ，B 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右顶点，直线BP 交E 于另一点Q ，ABP ∆为等腰直角三角形，且||:||3:2PQ QB =．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；22．已知圆221:(3)16F x y ++=，圆心为1F ，定点2(3,0)F ，P 为圆1F 上一点，线段2PF 上一点K 满足222PF KF =u u u r u u u r，直线1PF 上一点Q 满足20QK KF =u u u r u u u r g ．（1）求点Q 的轨迹E 的方程；23．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，F 是椭圆C 的一个焦点，点(0,2)M ，直线MF 的斜率为2．（1）求椭圆C 的方程；24．、已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率12e =，左、右焦点分别为1F 、2F ，(4,0)P -，过点P 的直线斜率为k ，交椭圆E 于A ，B 两点，12211221sin sin sin()BF F BF F a BF F BF F ∠+∠=∠+∠． （1）求椭圆E 的方程；25．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，过椭圆右焦点F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当直线l 与x 轴垂直时，||3AB =． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；26．已知椭圆2222:1x y C a b +=，右顶点为A ，右焦点为F ，O 为坐标原点，2OA OF =u u u r u u u r ，椭圆C 过点3(1,)2-．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；27．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的焦距为1:4l x =与x 轴的交点为G ，过点(,0)M l 且不与x 轴重合的直线2l 交E 于点A ，B ．当2l 垂直x 轴时，ABG ∆． （1）求E 的方程；28．已知点M 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，1260F MF ∠=︒，△12MF F 的面积为12．（1）求椭圆的方程；29．已知Q ，R 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右顶点，P 点为椭圆C 上一点，点P 关于x 轴的对称点为H ，且12PQ RH k k =g ．（1）若椭圆C 经过圆22(1)4x y +-=的圆心，求椭圆C 的方程；30．已知1F ，2F 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，离心率为12，P 是椭圆上异于左右顶点的一动点，已知△12F PF 的内切圆半径的最大值为3． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；31．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，焦距为4，直线1:bl y x c=与椭圆相交于A 、B 两点，2F 关于直线1l 的对称点E 恰好在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；32．已知点3(1,)2P ，(1,)a x y =-r ，(1,)b x y =+r ，且||||4a b +=r r ，满足条件的点(,)Q x y 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；33．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，P 为抛物线上一点，当P 的横坐标为1时，3||2PF =． （1）求抛物线C 的方程；34．已知过点(4,0)A -的动直线l 与抛物线2:2(0)G x py p =>相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，4AC AB =u u u r u u u r ．（1）求抛物线G 的方程；35．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，Q 是抛物线上的一点，FQ =u u u r．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；36．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与抛物线2:4D y x =-有共同的焦点F ，且两曲线的公共点到F 的距离是它到直线4x =-（点F 在此直线右侧）的距离的一半． （1）求椭圆C 的方程；37．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点3(1,)2P 在椭圆C 上，满足1294PF PF =u u u r u u u u r g ． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；38．直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点，A 为椭圆的右顶点，点P 为椭圆C 上的动点（点P 与C 的左右顶点不重合），当△12PF F 为等边三角形时，123PF F S =V ． （1）求椭圆C 的方程；（2）如图，M 为AP 的中点，直线MO 交直线4x =-于点D ， 过点O 作//OE AP 交直线4x =-于点E ，证明11OEF ODF ∠=∠．39．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为1F ，过点1F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为2，且1F 与短轴两端点的连线相互垂直．（1）求椭圆C 的方程；40．已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的离心率为2，过椭圆Γ的焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆Γ截得的弦长为2． （1）求椭圆Γ的方程；41．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线与C 交于M ，N 两点．2MNF ∆的周长为8，且||MN 的最小值为3． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；42．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ，上、下顶点分别为1B ，2B ，F 为其右焦点，1111B A B F =u u u u r u u u u r g ，且该椭圆的离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；43．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，与x 轴交于点1A ，2A ，过x 轴上一点Q 引x 轴的垂线，交椭圆C 于点1P ，2P ，当Q 与椭圆右焦点重合时，12||1PP =． （1）求椭圆C 的方程；44．在平面直角坐标系内，点(1,0)F ，过点P 作直线:l x m =的垂线，垂足为M ，MF 的中点H 在y 轴上，且()0PM PF FM +=u u u u r u u u r u u u u rg ．设点P 的轨迹为曲线Q ．（1）求曲线Q 的方程；45．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点坐标为(，A ，B 分别是椭圆的左，右顶点，P 是椭圆上异于A ，B 的一点，且PA ，PB 所在直线斜率之积为14-．（1）求椭圆C 的方程；46．已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，焦点在x ，1F 、2F 分别为楠圆E 的左、右焦点，点P 在椭圆E 上，以线段12F F 为直径的圆经过点P ，线段1F P 与y 轴交于点B ，且11||||6F P F B =g ． （1）求椭圆E 的方程；47．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，经过左焦点1F 的最短弦长为3，离心率为12． （1）求椭圆的标准方程；48．点(1,1)A 是抛物线2:2C x py =内一点，F 是抛物线C 的焦点，Q 是抛物线C 上任意一点，且已知||||QA QF +的最小值为2．（1）求抛物线C 的方程；圆锥曲线的轨迹方程参考答案1.【解答】（Ⅰ）由题可得：22222,12,12a c a c a c =-=⇒==，所以椭圆C 的方程为2212x y +=．2.【解答】（1）因为11222PIF IF F PIF S S S =-V V V ，所以1212||||2||PF PF F F +=，即2a c =①， 又因为△12PF F 的周长为6，所以1212||||||6PF PF F F ++=，即226a c +=②，由①②可得2a =，1c =，则3b =，所以椭圆的方程为22143x y +=．3.【解答】（1）由平行四边形12PFQF 的周长为8，可知48a =，即2a =．由平行四边形的最大面积为23，可知3bc =，又1a b >>，解得3,1b c ==．所以椭圆方程为22143x y +=．4.【解答】（Ⅰ）设(,)P x y ，0y ≠，则2124n yy x x -=-+g ，22221(4)144x y x y =--⇒+=；所以点P 的轨迹方程：221(0)4x y y +=≠；5.【解答】（1）由224270x y x +-+=，可得22(22)1x y -+=，则圆心坐标为(22，0)， 即1F (22，0)，22c ∴=，Q △12HF F 的面积为22，∴12222c b ⨯⨯=， 1b ∴=，2229a b c ∴=+=，∴椭圆C 的方程为：2219x y +=；6.【解答】（1）2ADF ∆Q 的周长为42，由椭圆的定义可知，12||||2AF AF a +=，12||||2DF DF a +=， 442a ∴=，2a ∴=，又Q △12AF F 是等腰直角三角形，且222a b c =+，1b c ∴==，∴椭圆C 的方程为：2212x y +=；7.【解答】（Ⅰ）由题意可知，31a c a c +=⎧⎨-=⎩，解得21a c =⎧⎨=⎩，2223b a c ∴=-=，∴椭圆的标准方程为：22143x y +=； 8.【解答】（1）连接2AF ，如图所示：， 由题意得21||||||AB F B F B ==， 所以BO 为△12F AF 的中位线， 又因为12BO F F ⊥，所以212AF F F ⊥，且222||2||2b AF OB a ===， 又22c e a ==，222a b c =+，得22a =，21b =， ∴椭圆C 的方程为：2212x y +=；9.【解答】（Ⅰ）因为P 在椭圆上，所以12||||2PF PF a +=，又因为12||3||PF PF =， 所以2||2a PF =，13||2aPF =，因为212PF F F ⊥，所以2222121||||||PF F F PF +=，又12||2F F =，所以22a =，2221b a c =-=，所以椭圆的标准方程为：2212x y +=；10.【解答】（1）由题意可知，1c =，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，∴1243x x +=，1223y y +=， 又Q 点A ，B 在椭圆上，∴22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=， ∴2122122y y b x x a -=--，即直线AB 的斜率为：222b a -，又Q 直线AB 过右焦点(1,0)F ，过点21(,)33P ， ∴直线AB 的斜率为：1031213-=--，2221b a ∴-=-，222a b ∴=，又222a b c =+Q ，1c =，22a ∴=，21b =，∴椭圆E 的方程为：2212x y +=；11.【解答】（1）由题意可知，焦点(0,)F c 到直线:20l x y --=的距离d =∴=1c =（负根舍去），∴抛物线C 的方程为：24x y =； 12.【解答】（Ⅰ）根据椭圆的定义，可得12||||2AF AF a +=，12||||2BF BF a +=，∴△1AF B 的周长为111122||||||||||||||4AF BF AB AF BF AF BF a ++=+++=，∴4a =，a =∴椭圆E 的方程为22213x y b +=，将P 代入得22b =，所以椭圆的方程为22132x y +=． 13.【解答】（1）设(,)M x y 则(,0)2x D1，即2214x y +=；14. 【解答】（1）由已知可得：圆心(4,4)到焦点F 的距离与到准线l 的距离相等，即点(4,4)在抛物线E 上，168p ∴=，解得2p =．∴抛物线E 的标准方程为24y x =．15.【解答】（1）将点0(1,)P y 代入得20220211y p y p ⎧=⎪⎨+=+⎪⎩，解得2p =，则抛物线C 的方程为24y x =； 16.【解答】（1）已知点P 在椭圆上，设0(P x ，0)y ，即有2200221x y a b+=，又2200022200034AP BPy y y b k k x a x a x a a ===-=-+--g ，且22c =，可得椭圆的方程为22143x y +=； 17.【解答】（1）由题意可知，2222242124a b c a b c ⎧+=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得22a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的标准方程为：22184x y +=；18.【解答】（1）由抛物线的方程可得抛物线的焦点坐标为(2,0)，所以由题意可得椭圆的右焦点(2,0)，即2c =，2a =a =222642b a c =-=-=，所以椭圆的标准方程为：22162x y +=； 19.【解答】（1）Q 圆22:4C x y '+=与C 有且仅有两个交点且都在x 轴上，所以2a =， 又Q ||||OB OA =∴2b，解得b =C 的方程为22143x y +=；20.【解答】（1）设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，12||2F F c =，112BFO PF F ∠=∠Q ，1122FOB F PF π∠=∠=，∴△1F BO ∽△12F F P ，∴11121||||||||F B FO F F F P =， 即211112||||||||26F P F B FO F F c ===，c ∴=c e a ==，解得2a =，所以2221b a c =-=， 则椭圆E 的方程为2214x y +=；21.【解答】（Ⅰ）根据题意ABP ∆是等腰直角三角形，2a ∴=，(2,0)B ，设0(Q x ，0)y ，由||:||3:2PQ QB =，得32PQ QB =u u u r u u u r ，则006545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入椭圆方程得21b =，∴椭圆E 的方程为：2214xy +=；22.【解答】（1）Q 222PF KF =u u u r u u u r，K ∴是线段2PF 的中点．又20QK KF =u u u r u u u r g ，QK ∴为线段2PF 的中垂线，则2||||QP QF =，1112||||||||||4F P FQ QP FQ QF =+=+=Q ， ∴由椭圆的定义可知，点Q 的轨迹是以1F ，2F 为焦点，长轴为4的椭圆，则2a =，c ，21b ∴=，故点Q 的轨迹C 的方程为2214x y +=；23.【解答】（1）由题意，可得1222c a c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21a c =⎧⎨=⎩，则2223b a c =-=，故椭圆C 的方程为22143x y +=；24.【解答】（1）由正弦定理得2112||||||BF BF a F F +=，由椭圆的定义可得22a ac =，1c ∴=， 又Q 离心率12e =，∴12c a =，2a ∴=，2223b a c ∴=-=，∴椭圆E 的方程为：22143x y +=；25.【解答】（Ⅰ）由题意得：222223,1,2,b a c a a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2,1a b c ===．所以椭圆的标准方程为：22143x y +=；26.【解答】（Ⅰ）由2OA OF =u u u r u u u r ，可得，2a c =，且过点3(1,)2-，则221914a b +=，焦解得：2a =，b =，所以椭圆的方程为：22143x y+=；27.【解答】（1）由焦距为2c =c =，即2223a b c -== ①；由题意可得(4,0)G，13||||||22AB MG AB ==g可得||AB =，由在椭圆上可得221314a b+=②； 由①②解得2a =，1b =，则椭圆的方程为2214xy +=；28.【解答】（1）设1(,0)F c -，2(,0)F c ，1||MF m =，2||MF n =可得2m n a +=，1sin 602mn ︒=，即8mn =， 又2222cos604m n mn c +-︒=，即22()24m n mn mn c +--=，即222444324a c b mn -===，可得b =，由12c e a ==，即2a c =，又2226b a c =-=，解得a =，c 22186x y +=；29.【解答】（1）设(,)P x y ，因为(,0)P a -，(,0)Q a ，则点P 关于x 轴的对称点(,)H x y -， PQy k x a =+，RH y k a x=-，因为22221x y a b +=，所以22222222(1)()x b y b a x a a =-=-， 所以2222212PQ RH y b k k a x a ===-g ，又椭圆C 过圆22(1)4x y +-=的圆心(0,1)，∴22011a b+=， 所以22a =，21b =，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=；30.【解答】（Ⅰ）由题意知：12c a =，2a c ∴=，222b a c =-，∴b =，设△12PF F 的内切圆半径为r ，则12121211(||||||)(22)()22PF F S PF PF F F r a c r a c r =++=+=+V g g g ，故当△12PF F 面积最大时，r 最大，即P点位于椭圆短轴顶点时r ，)a c bc +=，把2a c =，b =代入，解得：2a =，b =，所以椭圆方程为22143x y +=； 31.【解答】（1）Q 焦距为4，2c ∴=，2(2,0)F ∴，Q 点2F 关于直线1:bl y x c=的对称点E 恰好在椭圆上，∴由椭圆的对称性可知，当b c =时，点2(2,0)F 关于直线1:l y x =的对称点E 坐标为(0,2)，恰在椭圆上， 2b c ∴==，2228a b c =+=，∴椭圆的标准方程为：22184x y +=； 32.【解答】（1）设1(1,0)F -，2(1,0)F ，由(1,)a x y =-r，(1,)b x y =+r ，||||4a b +=r r ，4，即为12||||4QF QF +=，由124||F F >，可得Q 的轨迹是以1(1,0)F -，2(1,0)F 为焦点，且24a =的椭圆，由1c =，2a =，可得b ==，可得曲线C 的方程为22143x y +=；33.【解答】（1）由抛物线的方程可得准线方程为：2px =-，由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，3||2PF =，又P 的横坐标为1，所以3122p +=，所以1p =，所以抛物线的方程为：22y x =；34.【解答】（1）设1(B x ，1)y ，2(C x ，2)y ，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为1(4)2y x =+，即24x y =-，由2224x py x y ⎧=⎨=-⎩得22(8)80y p y -++=，∴21212(8)640424p p y y y y ⎧=+->⎪⎪+=+⎨⎪=⎪⎩V ，①；又4AC AB =u u u r u u u r ．214y y ∴=，②； 由①②和0p >得11y =，24y =，2p =，则抛物线的方程为24x y =；35.【解答】（Ⅰ）由题意可知，(2p F ，0)，Q 点Q 在物线2:2C y px =上，∴设20(2y Q p ，0)y ，∴200(,)22y p FQ y p =-=u u u r ，∴200122y pp y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得2p =，∴抛物线C 的方程为：24y x =；36.【解答】（1）由题意知(1,0)F -，因而1c =，即221a b =+，又两曲线在第二象限内的交点(Q Q x ，)Q y 到F 的距离是它到直线4x =-的距离的一半，即42(1)Q Q x x +=-+，得23Q x =-，则283Q y =，代入到椭圆方程，得2248193a b+= ．由2222481931a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得24a =，23b =， ∴所求椭圆的方程为22143x y +=．37.【解答】（1）设1F (,0)c -，2(,0)F c ，0c >，则12(1PF PF c =--u u u r u u u u r g ，3)(12c --g ，2399)1244c -=-+=，1c ∴=，∴2222219141a b a b c c ⎧+=⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴椭圆C 的标准方程为：22143x y +=； 38.【解答】(1设椭圆的半个焦距c ，因为△12PF F 是等边三角形，所以P 此时在上顶点或下顶点，所以2a c =，所以bc 222a b c =+，解得24a =，23b =，所以椭圆的方程为：22143x y +=；39.【解答】（1）设右焦点为1(,0)F c ，令x c =，可得2b y a =±=±，可得22b a=1F 与短轴两端点的连线相互垂直，可得b c =，且222a b c -=，解得a 1b c ==，则椭圆方程为2212x y +=；40.【解答】（1）根据题意得22c ab a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又因为222b ac =-，解得22a =，则21b =， 所以椭圆Γ的方程为：2212x y +=；41.【解答】（1）根据椭圆的定义可得：122MF MF a +=，122NF NF a +=，则2MNF ∆的周长22112248MN MF NF MF NF MF MF a =++=+++==，解得2a =，又因为||MN 的最小值为3，所以223b a=，解得23b =，所以椭圆的标准方程为22143x y +=，42.【解答】（Ⅰ）1(,0)A a -，1(0,)B b ，(,0)F c ，11(,)B A a b =--u u u u r ，1(,)B F c b =-u u u u r ，由1111B A B F =u u u u r u u u u rg ，得21b ac -=，又12c a =，222a b c =+，解得：2a =，b =1c =．∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=；43.【解答】（1）由题意可得离心率c e a ==x c =代入椭圆方程可得2||b y a =，所以221b a=，222c a b =-可得22a =，21b =，所以椭圆的方程为：2214x y +=；44.【解答】（1）设点(,)P x y ，依题意可得||||PM PF =，则222(1)(1)x x y +=-+，整理可得：24y x =，所以曲线Q 的方程24y x =；45.【解答】（1）设(,)P x y ，有题意可得(,0)A a -，(,0)B a ，由PA ，PB 所在直线斜率之积为14-，可得14y y x a x a =-+-g ，即22214y x a =--， 而P 在椭圆上可得：22222222(1)()x b y b a x a a =-=-g ，所以2214b a =，即224a b =，2223c a b ==-，解得：24a =，21b =，所以椭圆的方程为：2214x y +=；46.【解答】（1）设椭圆的方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，12||2F F c =，因为112BFO PF F ∠=∠，1122FOB F PF π∠=∠=，所以△1F BO ∽△12F F P ，所以 11121||||||||F B FO F F F P =， 所以211112||||||||26F P F B FO F F c ===g g，可得c =，又c e a ==2a =，2221b a c =-=， 所以椭圆的方程为：2214x y +=；47.【解答】（1）由题意可得：12c a =，223b a =，222c a b =-，解得24a =，23b =，所以椭圆的标准方程为22143x y +=；48.【解答】（1）抛物线的准线方程为：2py =-，因为A 点在抛物线内部，过A 做AN 垂直于准线交于N ，抛物线于Q ，由抛物线的性质可得||||||||||QA QF QA QN AN +=+…，当且仅当，A ，Q ，N 三点共线时||||QA QF +最小，即||2AN =，即122p +=，解得：2p =，所以抛物线的方程为：24x y =；。

解析几何大题专题第一类题型 弦长面积问题1．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率是2，且过点P ．直线2y x m =+与椭圆C 相交于,A B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求PAB △的面积的最大值；（Ⅲ）设直线,PA PB 分别与y 轴交于点,M N ．判断||PM ，||PN 的大小关系，并加以证明．2. （本小题14分） 已知椭圆22:13+=x y C m m，直线:20+-=l x y 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，与x 轴交于点B ，点,P Q 与点B 不重合.（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）当2∆=OPQ S 时，求椭圆C 的方程；（Ⅲ）过原点O 作直线l 的垂线，垂足为.N 若λ=PN BQ ，求λ的值.3．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>离心率等于12，(2,3)P、(2,3)Q-是椭圆上的两点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）,A B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，若直线AB的斜率为12，求四边形APBQ面积的最大值.4．（本小题满分14分）已知椭圆C：2231(0)mx my m+=>的长轴长为O为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率；（Ⅱ）设点(3,0)A，动点B在y轴上，动点P在椭圆C上，且P在y轴的右侧，若||||BA BP=，求四边形OPAB面积的最小值.5．（本小题共14分）已知椭圆C：2214xy+=，F为右焦点，圆O：221x y+=，P为椭圆C上一点，且P位于第一象限，过点P作PT与圆O相切于点T，使得点F，T在OP两侧.（Ⅰ）求椭圆C的焦距及离心率;（Ⅱ）求四边形OFPT面积的最大值.6.（本小题13分）已知抛物线C：y2=2px经过点P(2，2)，A，B是抛物线C上异于点O的不同的两点，其中O为原点．（I）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（II）若OA OB，求△AOB面积的最小值.第二类题型 圆过定点问题（ 包括点在圆上 点在圆外 点在圆内）1．（本小题满分14 分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，椭圆C 与y 轴交于A ， B 两点，且｜AB ｜＝2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P 是椭圆C 上的一个动点，且直线PA ，PB 与直线x ＝4分别交于M ， N两点．是否存在点P 使得以MN 为直径的圆经过点（2,0）？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，说明理由。