圆锥曲线小题 专题训练

典型小题1- 1双曲线221x my -=的实轴长是虚轴长的2倍,则m 等于（ ）A ．14B ．12C ．2D ．4典型小题1- 2如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）A ．()+∞,0B ．()2,0C ．()+∞,1D ．()1,0典型小题1- 3以椭圆1162522=+y x 的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程（ ） A ．1481622=-y x B ．127922=-y x C ．1481622=-y x 或127922=-y x D ．以上都不对典型小题1- 4过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是另一焦点，若∠21π=Q PF ，则双曲线的离心率e 等于（ ）A ．12-B ．2C ．12+D ．22+典型小题1- 521,F F 是椭圆17922=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则Δ12AF F 的面积为（ ）A ．7B ．47 C ．27 D ．257 典型小题1- 6以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程（）A ．23x y =或23x y -= B ．23x y = C ．x y 92-=或23x y = D ．23x y -=或x y 92=典型小题1- 7设AB 为过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的弦，则AB 的最小值为（ ）A ．2pB ．pC ．p 2D ．无法确定典型小题1- 8若抛物线x y =2上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为（ ）A ．1(,)44±B ．1(,84±C ．1(,44D ．1(,84典型小题1- 9椭圆1244922=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21F PF 的面积为A ．20B ．22C ．28D ．24典型小题1- 10若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MA MF +取得最小值的M 的坐标为（ ）A ．()0,0B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21 C ．()2,1 D ．()2,2典型小题1- 11与椭圆1422=+y x 共焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是（ ） A ．1222=-y x B ．1422=-y x C ．13322=-y x D ．1222=-y x 典型小题1- 12若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是（ ） A ．（315,315-） B ．（315,0） C ．（0,315-） D ．（1,315--）典型小题1- 13椭圆22189x y k +=+的离心率为12，则k 的值为______________。

圆锥曲线测试题 小题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．抛物线)0(42≠=a ax y 的焦点坐标为 （ ）A ．（0,41a） B ．)161,0(a C ．)161,0(a-D ．)0,161(a2．中心在原点，准线方程是4±=x ，离心率是21的椭圆方程为 （ ）A ．1422=+y x B ．14322=+y x C ．13422=+y x D ．1422=+y x 3．双曲线与椭圆1522=+y x 共焦点，且一条渐近线方程是03=-y x ，则此双曲线方程为（ ）A ．1322=-x y B ．1322=-x y C ．1322=-y x D ．1322=-y x 4．过抛物线x y 42=的焦点F 作倾斜角为3π的弦AB ，则|AB|的值为 （ ）A ．738B ．316 C ．38 D ．73165．ab ay bx b y ax b a =+=+-≠≠220,0,0和则方程所表示的曲线可能是 （ ）A B C D6．已知双曲线)0,0(1122222222>>>=+=-b m a by m x b y a x 和椭圆的离心离互为倒数，那么以a ，b ，m 为边长的三角形一定是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 7．已知椭圆121)(1222=-+t y x 的一条准线方程为y=8，则t 为 （ ）A ．7或－7B ．4或12C ．1或15D ．08．给出下列曲线①0124=-+y x ，②322=+y x ，③1222=+y x ，④1222=-y x其中与直线32--=x y 有交点的所有曲线是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④9．已知F 1、F 2为椭圆E 的左、右焦点，抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点，设P 为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆E 的离心率e 满足|PF 1|=e|PF 2|，则e 的值为 （ ）A ．22B ．32-C ．33 D ．22-10．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为,215+A ，F 分别是它的左顶点和右焦点，设B 点坐标为（0，b ），则∠ABF 等于（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．已知方程11222=+-+λλy x 表示双曲线，则λ的取值范围为 . 12．抛物线的焦点为椭圆14922=+y x 的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 .13．过双曲线1222=-y x 的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若实数λ使得|AB|=λ的直线恰有3条，则λ= .14．抛物线)0(22>=p px y 的动弦长|PQ|为8p ，当PQ 的中点M 到y 轴的距离最小时，直线PQ 的倾斜角为 .一、1．C 2．C 3．C 4．B 5．C 6．B 7．C 8．D 9．C 10．C 二、11．),1()2,(+∞---∞ 12．x y 542-= 13．4 14．656ππ或。

圆锥曲线综合练习一、 选择题：1．已知椭圆221102x y m m +=--的长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于（ ）A ．4B ．5C ．7D ．82．直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ ）A B ．12 C D ．233．设双曲线22219x y a -=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14．若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率是（ ）A B C D 5．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M N ，两点，O 为坐标原点．若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 6．已知点12F F ，是椭圆2222x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．7．双曲线221259x y -=上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为（ ）A ．22或2B ．7C ．22D ．28．P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，M N ，分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+= 上的点，则||||PM PN -的最大值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．99．已知点(8)P a ，在抛物线24y px =上，且P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．1610．在正ABC △中，D AB E AC ∈∈，，向量12DE BC =，则以B C ，为焦点，且过D E ，的双曲线离心率为（ ）A B 1 C 1 D 111．两个正数a b ，的等差中项是92，一个等比中项是a b >，则抛物线2by x a=-的焦点坐标是（ ）A ．5(0)16-， B ．2(0)5-， C ．1(0)5-， D ．1(0)5， 12．已知12A A ，分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点，椭圆C 上异于12A A ，的点P恒满足1249PA PA k k ⋅=-，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．49 B ．23 C ．59D 513．已知2212221(0)x y F F a b a b+=>>、分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点B 也在椭圆 上，且满足0OA OB +=（O 为坐标原点），2120AF F F ⋅=2, 则直线AB 的方程是( ) A ． 22y =B ．22y x =C ．3y =D ．3y = 14．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点(02)M ，的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为A ．3B 17C 5D ．9215．若椭圆221x y m n+=与双曲线221(x y m n p q p q -=，，，均为正数）有共同的焦点F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，则12||||PF PF ⋅等于 （ ）A ．m p +B ．p m -C ．m p -D ．22m p -16．若()P a b ，是双曲线22416(0)x y m m -=≠上一点，且满足20a b ->，20a b +>，则该点P 一定位于双曲线（ ） A ．右支上 B ．上支上 C ．右支上或上支上 D ．不能确定17．如图，在ABC △中，30CAB CBA ∠=∠=，AC BC ，边上的高分别为BD AE ，，则以A B ， 为焦点，且过D E ，的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（ ） A ．3 B ．1 C ．32D ．218221sin 2sin 3cos 2cos 3=--表示的曲线是（ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线19．已知12F F ，是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆上，且122F PF π∠=记线段1PF 与y 轴的交点为Q ，O 为坐标原点，若1FOQ △与四边形2OF PQ 的面积之比为1:2，则该椭圆的离心率等于 ( ) A ．23 B ．33 C ．43- D 3120．已知双曲线方程为2214y x -=，过(21)P -，的直线L 与双曲线只有一个公共点，则直线l 的条数共有（ ）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 21．已知以1(20)F -，，2(20)F ，为焦点的椭圆与直线340x +=有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( ) A ．2 B ．6 C ．7 D ．222．双曲线22221x y a b -=与椭圆22221x y m b+=(00)a m b >>>，的离心率互为倒数，那么以a b m ，，为边长的三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形23．已知点(10)(10)A B -，，，及抛物线22y x =，若抛物线上点P 满足PA m PB =，则m 的最大值为（ ） A ．3 B ．2 CD24．设12F F ，是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32x a =上一点，21F PF △是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A ．12B ．23C ．34D ．4525．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A B ，两点，||AB =则C 的实轴长为（ ）AB． C ．4 D ．826．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A B ，两点，||12AB =，P 为C 准线上一点，则ABP △的面积为（ ）A ．18B ．24C ．36D ．48 27．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(42)-，，则它的离心率为（ ） ABCD28．椭圆221ax by +=与直线1y x =-交于A B ，两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则ab的值为（ ）B. C.D. 29．若椭圆221(00)x y m n m n +=>>，与曲线22||x y m n +=-无焦点，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A．1) B．(0 C．1) D．(030．已知12F F ，分别是椭圆22143x y +=的左、右焦点，A 是椭圆上一动点，圆C 与1F A 的延长线、12F F 的延长线以及线段2AF 相切，若(0)M t ，为一个切点，则（ ）A ．2t =B ．2t >C ．2t <D ．t 与2的大小关系不确定31．如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点A B ，，交其准线于点C ，若||2||BC BF =，且||3AF =，则此抛物线方程为（ ）A ．29y x =B ．26y x =C ．23y x = D．2y32．已知椭圆2214x y +=的焦点为12F F 、，在长轴12A A 上任取一点M ，过M 作垂直于12A A 的直线交椭圆于P ，则使得120PF PF ⋅<的M 点的概率为（ D ） ABC ．12D33．以O 为中心，12F F ，为两个焦点的椭圆上存在一点M ，满足12||2||2||MF MO MF ==，则该椭圆的离心率为（ ） AB ．23CD34．已知点12F F ，是椭圆2222x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +的最小值是（ ） A． B ．2 C ．1 D ．035．在抛物线25(0)y x ax a =+-≠上取横坐标为1242x x =-=，的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线的顶点坐标为（ ） A ．(29)--， B ．(05)-， C ．(29)-， D ．(16)-，36．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．837．直线3440x y -+=与抛物线24x y =和圆22(1)1x y +-=从左到右的交点依次为A B C D ，，，，则||||AB CD 的值为（ ）A ．16B ．116 C ．4 D ．1438．如图，双曲线的中心在坐标原点O ，A C ，分别是双曲线虚轴的上、下端点，B 是双曲线的左顶点，F 是双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于点DBDF ∠的余弦是（ ）ABC D39．设双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的左、右焦点分别为12F F ，，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得12||3||PF PF =，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为（ ）A ．(12]，B ．2]C ．2)D ．(12)，40．已知11()A x y ，是抛物线24y x =上的一个动点，22()B x y ，是椭圆22143x y +=上的一个动点，(10)N ，是一个定点，若AB ∥x 轴，且12x x <，则NAB △的周长l 的取值范围为（ ）A ．10(5)3，B ．8(4)，C ．10(4)3，D ．11(5)3，41．的离心率2=e ，右焦点(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个根分别为1x ，2x ，则点12()P x x ，在（ ）A ．圆1022=+y x 内 B ．圆1022=+y x 上 C ．圆1022=+y x 外 D ．以上三种情况都有可能42．过双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM （切点为M ），交y 轴于点P ，若M 为线段FP 的中点, 则双曲线的离心率是（ ）A B C ．2 D43P 使得右焦点F 关于直线OP （O 为双曲线的中心）的对称点在y 轴上,则该双曲线离心率的取值范围为（ ）ABCD44F 为圆心，a 为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A B C D 45的左准线l ，左．右焦点分别为F 1．F 2，抛物线C 2的准线为l ，焦点是F 2，C 1与C 2的一个交点为P ，则|PF 2| ）A B C ．4 D ．846．已知F 1、F 2是双曲线 a ＞0，b ＞0）的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 （ ）A ． 147A 、F ，点B （0，b ）则该双曲线离心率e 的值为（ ）A B C D 48．直线l 是双曲线O 为圆心且过双曲线焦点的圆被直线l 分成弧长为2:1的两段，则双曲线的离心率为( )A ．B ．C ．D ． 49的左焦点F 引圆222a y x =+的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则与a b -的大小关系为A BCD ．不确定．50．点P 为双曲线1C ：和圆2C ：2222b a y x +=+的一个交点，且12212F PF F PF ∠=∠，其中21,F F 为双曲线1C 的两个焦点，则双曲线1C 的离心率为( )ABCD ．251．设圆锥曲线r 的两个焦点分别为12F F ，，若曲线r 上存在点P ，则曲线r 的离心率等于A B 2 C D 52．已知点P 为双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，右支上一点，12F F ，分别为双曲线的左、右交点，I 为22PF F △的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ=+△△△成立，则λ的值为（ ）AB C ．b a D ．ab二、填空题：53．已知12F F ，为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A B ，两点．若22||||12F A F B +=，则||AB = ． 54．中心在原点，焦点在x 轴上，且长轴长为4，离心率为12的椭圆的方程为 ． 55．9．已知双曲线221y x a-=的一条渐近线与直线230x y -+=垂直，则a = .56．已知P 为椭圆22194x y +=上的点，12F F ，是椭圆的两个焦点，且1260F PF ∠=，则12F PF △ 的面积是 ． 57．已知双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 ．58．若双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的一条渐近线与椭圆22143x y +=的焦点在x 轴上的射影恰为该椭圆的焦点，则双曲线的离心率为 ． 59．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为12F F ，，过点2F 做与x 轴垂直的直线与双曲线一个焦点P ，且1230PF F ∠=，则双曲线的渐近线方程为 ．60．已知12F F 、分别为椭圆221259x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上一点，Q 是y 轴上的一个动点，若12||||4PF PF -=，则12()PQ PF PF ⋅-= .61．已知圆22:68210C x y x y ++++=，抛物线28y x =的准线为l ，设抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为m ，则||m PC +的最小值为 ．62．设双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F ．过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则AFB △的面积为 ． 63．已知直线1l :4360x y -+=和直线2:0l x =，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是 ．三、解答题：64．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点为12F F ，，点P 在椭圆C 上，且12PF PF ⊥，14||3PF =，214||3PF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若直线l 过点M (21)-，，交椭圆C 于A B ，两点，且点M 恰是线段AB 的中点，求直线l 的方程． 65．已知抛物线2:2(0)C y px p =>过点(12)A -，．（Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；（Ⅱ）是否存在平行于OA （O 为坐标原点）的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与L 的距离等？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 66．已知抛物线22(0)x py p =>．（Ⅰ）已知P 点为抛物线上的动点，点P 在x 轴上的射影是点M ，点A 的坐标是(42)-，，且||||PA PM +的最小值是4．（ⅰ）求抛物线的方程；（ⅱ）设抛物线的准线与y 轴的交点为点E ，过点E 作抛物线的切线，求此切线方程； （Ⅱ）设过抛物线焦点F 的动直线l 交抛物线于A B ，两点，连接AO BO ，并延长分别交抛物线的准线于C D ，两点，求证：以CD 为直径的圆过焦点F ．67．如图所示，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，12A A ，分别为椭圆C 的左、右顶点．（Ⅰ）设12F F ，分别为椭圆C 的左、右焦点，证明：当且仅当椭圆C 上的点P 在椭圆的左、右顶点时，1||PF 取得最小值与最大值；（Ⅱ）若椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，求椭圆C 的标准方程；（Ⅲ）若直线l :y kx m =+与（Ⅱ）中所述椭圆C 相交于A B ，两点（A B ，不是左、右顶点），且满足22AA BA ⊥，证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．68．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率2e =12的交点F 恰好是该椭圆的一个顶点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知圆222:3O x y +=的切线l 与椭圆相交于A B ，两点，那么以AB 为直径的圆是否经过定点？如果时，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由．。

圆锥曲线经典题型一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．27．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=110．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）【解答】解：∵直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，∴1＞b＞0或b＞1．∴e==＞1且e≠．故选：D．2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：由题意，=（﹣﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，所以﹣＜y0＜．故选：A．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴⊥∵O是F1F2的中点∴OA∥PF1，∴PF1⊥PF2，∵|PF1|=3|PF2|，∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|，∵|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴10a2=4c2，∴e=故选C．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A（，﹣），由=2，可得B（﹣，﹣），把B点坐标代入双曲线方程﹣=1，即=1，整理可得c=a，即离心率e==．故选：C．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x﹣2）2+y2=2相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即∴b2＜a2，∴c2=a2+b2＜2a2，∴e=＜∵e＞1∴1＜e＜故选C．6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b=±，由题意可得=b，即a=b，c==a，即离心率e==，故选C．7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|=2|PF2|，得|PF2|=2a，|PF1|=4a；在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，∴4c2=16a2+4a2，即c2=5a2，则b2=4a2．即b=2a，双曲线=1一条渐近线方程：y=2x；故选：C．8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆x2+（y﹣2）2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1∴3a2＜b2，∴c2=a2+b2＞4a2，∴e=＞2故选：C．9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x，可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），代入点P（2，），可得λ=4﹣2=2，可得双曲线的方程为x2﹣y2=2，即为﹣=1．故选：B．10．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线C：x2﹣=1的右焦点F（2，0），PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3，则P（2，3），∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3，∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=，同理当y＜0时，则△APF的面积S=，故选D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是20．【解答】解：∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=8∵双曲线x2﹣=1的通径为==8∵PQ=8∴PQ是双曲线的通径∴PQ⊥F1F2，且PF1=QF1=PQ=4∵由题意，|PF2|﹣|PF1|=2，|QF2|﹣|QF1|=2∴|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20，故答案为20．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴2•=0，∴，∵OA是△PF1F2的中位线，∴PF1⊥PF2，OA=PF1．由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a，∵|PF1|=|PF2|，∴|PF2|=，|PF1|=．△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴（）2+（）2=4c2，∴e=．故答案为：．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．【解答】解：（1）设F2，M的坐标分别为，因为点M在双曲线C上，所以，即，所以，在Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°，，所以…（3分）由双曲线的定义可知：故双曲线C的方程为：…（6分）（2）由条件可知：两条渐近线分别为…（8分）设双曲线C上的点Q（x0，y0），设两渐近线的夹角为θ，则点Q到两条渐近线的距离分别为，…（11分）因为Q（x0，y0）在双曲线C：上，所以，又cosθ=，所以=﹣…（14分）14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．【解答】（Ⅰ）解：由题知：a2+b2=2，曲线C2的离心率为…（2分）∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍，∴=即a2=b2，…（3分）∴a=b=1，∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1；…（4分）（Ⅱ）证明：由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为：x=ny+…（5分）与双曲线方程x2﹣y2=1联立，可得（n2﹣1）y2+2ny+1=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，…（7分）由题可设点C（，y2），由点斜式得直线AC的方程：y﹣y2=（x﹣）…（9分）令y=0，可得x===…（11分）∴直线AC过定点（，0）．…（12分）15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，当P为右顶点时，可得PF取得最小值，即有c﹣a=﹣1，解得a=1，c=，b==，可得双曲线的方程为x2﹣=1；（Ⅱ）过点P（1，1）假设存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点．设R（x1，y1），T（x2，y2），可得x12﹣=1，x22﹣=1，两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2），由中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，可得直线l的斜率为k===2，即有直线l的方程为y﹣1=2（x﹣1），即为y=2x﹣1，代入双曲线的方程，可得2x2﹣4x+3=0，由判别式为16﹣4×2×3=﹣8＜0，可得二次方程无实数解．故这样的直线l不存在．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵C：的离心率e=，且b=，∴=，且b=，∴a=1，c=∴双曲线C的方程；（Ⅱ）令|PE|=p，|PF|=q由双曲线定义：|p﹣q|=2a=2平方得：p2﹣2pq+q2=4•=0，∠EPF=90°，由勾股定理得：p2+q2=|EF|2=12所以pq=4即S=|PE|•|PF|=2．。

圆锥曲线基础训练题姓名____________分数______________一、选择题1 ．抛物线y 2=ax 的焦点坐标为(-2,0),则抛物线方程为（ ）A ．y 2=-4x B ．y 2=4x C ．y 2=-8x D ．y 2=8x2 ．如果椭圆的两个焦点三等分它所在的准线间的垂线段，那么椭圆的离心率为 （ ）A ．23 B ．33 C ．36 D ．66 3 ．双曲线191622=-y x 的渐近线方程为 （ ）A ． x y 34±= B ．x y 45±= C ．x y 35±= D ．x y 43±= 4 ．抛物线 x y 42= 的焦点坐标是（ ）A ．（－1，0）B ．（1，0）C ．（0，－1）D ．（0，1）5 ．双曲线221916y x -=的准线方程是 （ ） A 165x =±B 95x =±C 95y =±D 165y =± 6 ．双曲线221169x y -=上的点P 到点(5,0)的距离是15,则P 到点(-5,0)的距离是 （ ）A ．7B ．23C ．5或23D ．7或237 ．双曲线1322=-y x 的两条渐近线方程是 （ ）A ．03=±y xB ．03=±y xC ．03=±y xD ．03=±y x8 ．以椭圆的焦点为圆心，以焦距为半径的圆过椭圆的两个顶点，则椭圆的离心率为 （ ）A ．43)D (23)C (22)B (219 ．抛物线y x 42=上一点A 纵坐标为4,则点A 与抛物线焦点的距离为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．抛物线()042<=a ax y 的焦点坐标是（ ）A ．⎪⎭⎫⎝⎛041，a B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1610，C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1610，D ．⎪⎭⎫⎝⎛0161，a 11．椭圆2x 2=1-3y 2的顶点坐标为（ ）A ．(±3，0)，(0，±2)B ．(±2，0)，(0，±3)C ．(±22，0)，(0，±33) D ．(±12，0)，(0，±13) 12．焦距是10，虚轴长是8，经过点(23, 4)的双曲线的标准方程是（ ）A ．116922=-y x B ．116922=-x y C ．1643622=-y x D ．1643622=-x y 13．双曲线22124x y -=-的渐近线方程为（ ）A ．y =B ．x =C ．12y x =±D ．12x y =±14．已知椭圆方程为1322=+y x ，那么左焦点到左准线的距离为 （ ）A ．22 B ．223 C ．2D ．2315．抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，此抛物线的方程是 （ ）A ．y 2=16xB ．y 2=12xC ．y 2= -16xD ．y 2= -12x16．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）A ．13B ．3C ．12 D ．217．下列表示的焦点在y 轴上的双曲线方程是（ ）A ．13422=+y xB ．14322=+y xC ．13422=-y xD ．13422=-x y 18．抛物线y =2px 2(p ≠0)的焦点坐标为（ ）A ．(0，p )B ．(10,4p ) C ．(10,8p) D ．(10,8p±) 19．与椭圆205422=+y x 有相同的焦点，且顶点在原点的抛物线方程是（ ）A ．x y 42=B ．x y 42±=C ．y x 42=D ．y y 42±=20．已知双曲线的渐近线方程为x y43±=，则此双曲线的（ ）A ．焦距为10B ．实轴和虚轴长分别是8和6C ．离心率是45或35 D ．离心率不确定21．双曲线122=-y x 的渐近线方程是（ ）A ．±=x 1B ．y =C ．x y ±=D ．x y 22±= 22．若命题“曲线C 上的点的坐标都是方程f(x ，y)=0的解”是正确的，则以下命题中正确的是（ ）A ．方程(x ，y)=0的曲线是CB ．坐标满足方程f(x ，y)=0的点都在曲线C 上 C ．曲线C 是方程f(x ，y)=0的轨迹D ．方程f(x ，y)=0的曲线不一定是C23．双曲线221916y x -=的准线方程是 （ ）A ．165x =±B ．95x =±C ．95y =±D ．165y =±24．双曲线191622=-x y 的焦点坐标是 （ ）A ．()0,5和()0,5-B ．()5,0和()5,0-C ．()0,7和()0,7- D ．()7,0和()7,0-25．已知抛物线的焦点坐标为(－3,0),准线方程为x =3,则抛物线方程是（ ）A ．y 2+6x =0B ．y 2+12x =0C ．y +6x 2=0D ．y +12x 2=0 26．双曲线 191622=-y x 的渐近线的方程是（ ）A ．x y 43±= B ．x y 34±= C ．x y 169±= D ．x y 916±= 27．对抛物线24y x =,下列描述正确的是（ ）A ．开口向上,焦点为(0,1)B ．开口向上,焦点为1(0,)16 C ．开口向右,焦点为(1,0)D ．开口向右,焦点为1(0,)1628．双曲线2y 2-x 2=4的一个焦点坐标是（ ）A ．(0,-)6B ．(6,0)C ．(0,-2)D ．(2,0)29．若抛物线px y 22=的焦点与椭圆12622=+y x 的右焦点重合，则p 的值为 （ ）A ．－2B ．2C ．－4D ．430．到直线x=－2与定点P （2，0）距离相等的点的轨迹是（ ）A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．直线二、填空题31．(1)短轴长为6，且过点(1，4)的椭圆标准方程是(2)顶点(-6，0)，(6，0)过点(3，3)的椭圆方程是 32．与两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是________________________33．椭圆4422=+y x 的焦点坐标为___________，__________． 34．抛物线x y 42=的准线方程为______ 35．到x 轴,y 轴距离相等的点的轨迹方程_________.36．已知两个定点1(4,0)F -,2(4,0)F ,动点P 到12,F F 的距离的差的绝对值等于6,则点P 的轨迹方程是 ;37．若双曲线22145x y -=上一点P 到右焦点的距离为8，则P 到左准线的距离为38．若定点(1,2)A 与动点(),Px y 满足，4OP OA ⋅=则点P 的轨迹方程是39．已知双曲线的离心率为2，则它的实轴长和虚轴长的比为 。

圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程：1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73，求双曲线1C 的方程． （2）以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程． （1）解：1C 的焦点坐标为(0,13).±213e =由1273e e =得113e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2222213139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．代入2008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程．2、（1）ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A 的轨迹方程．解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33yy x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．（2）分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系． 解：sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=53·2RsinA ∴BC AC AB 53=- 即6=-AC AB （*）∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为116922=-y x （x>3） 点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支） 3、如图，两束光线从点M （-4，1）分别射向直线y = -2上两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2）后，反射光线恰好通过椭圆C ：12222=+by a x （a >b >0）的两焦点，已知椭圆的离心率为21，且x 2-x 1=56，求椭圆C 的方程. 解：设a =2k ，c =k ，k ≠0，则b =3k ，其椭圆的方程为1342222=-ky k x . 由题设条件得：114)2(120x x k ----=--+， ①224)2(120x x k ----=--+， ②x 2-x 1=56， ③ 由①、②、③解得：k =1，x 1=511-，x 2=-1，所求椭圆C 的方程为13422=+y x . 4、在面积为1的PMN ∆中，21tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程．∴所求椭圆方程为1315422=+y x 解：以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设),(y x P ．则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-.1,21,2cy c x yc x y∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===233435c c y c x 且即)32,325(P ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,43,13412252222b a ba 得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,41522b a （1）求线段PQ 的中点的轨迹方程；（2）设∠POQ 的平分线交PQ 于点R （O 为原点），求点R 的轨迹方程．解：（1）设线段PQ 的中点坐标为M （x ，y ），由Q （4，0）可得点P （2x -4，2y ），代入圆的方程x 2+y 2=4可得（2x -4）2+（2y ）2=4，整理可得所求轨迹为（x -2）2+y 2=1.（2）设点R （x ，y ），P （m ，n ），由已知|OP |=2，|OQ |=4，∴21||||=OQ OP ，由角平分线性质可得||||||||RQ PR OQ OP ==21，又∵点R 在线段PQ 上，∴|PR |=21|RQ |，∴点R 分有向线段PQ 的比为21，由定比分点坐标公式可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=32211021342211421n n y m m x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=23243y n x m ，∴点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,243y x ，代入圆的方程x 2+y 2=4可得42324322=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ， 即234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）. ∴点R 的轨迹方程为234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）.6、已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=uu u v uuu v若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（1）如图，设M 为动圆圆心， F ()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =， 即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线， ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42=（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠， 由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+=△216160k =->，11k k <->或设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =由0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，即 ()11,OP x y =u u u r ，()22,OQ x y =u u u r，于是12120x x y y +=，即()()21212110ky y y y --+=，2221212(1)()0k y y k y y k +-++=，2224(1)40k k k k k +-+=g ，解得4k =-或0k =（舍去），又41k =-<-， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-=7、设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP OQ →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（I ）Θe c a =∴=2422， Θc a a c 22312=+∴==，，∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±334分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()M x y ，[]Θ2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y ，即则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分） （III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[]ΘOP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·00110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222由（i ）（ii ）得k 230+= ∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l .8、设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN⊥MQ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩L L L L L L L L ………3分 由（1）－（2）可得1.3MN QN k k •=-…6分又MN⊥MQ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3yy x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. 9、已知：直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。

圆锥曲线小题训练一、求离心率的值1.椭圆C:x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1、F 2,过F 2垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 为等边三角形，则椭圆C 的离心率为A. 12B.32C.13D.33【答案】D由题意得，2×b 2a =2a －b 2a ，又b 2a2=1－e 2即可求得. 2.已知抛物线y 2=8x 与双曲线x 2m －y 2＝1交于A ，B 两点，且抛物线的准线与x 轴交于点D,点F 为物线的焦点.若△ADF 为等腰直角三角形，则双线的离心率是A. 2B. 2C.1D.22【答案】D3已知双曲线C 1：x 2m + y 2m －10＝1与双曲线C 2：x 2－y 24=1有相同的渐近线，则双曲线C 1的离心率为A. 5B.5C.54D.52【答案】A4.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0),点F 为左焦点,点P 为下顶点，平行于FP 的直线l 交椭圆于A,B 两点，且AB 的中点为M （1，12）,则椭圆的离心率为 A.22 B.12 C. 14 D.32【答案】A 提示：点差法，中点坐标代入即可求.5.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线右支上一点,I 为△PF 1F 2的内心，PI 交x 轴于Q 点,若｜F 1Q ｜=｜PF 2｜且PI :IQ=2:1,则双曲线的离心率e 的值为 . 【答案】32提示：三角形内心的性质，PF 1:PF 1=PI :IQ （可用△PF 1I 与△QF 1I 面积比来证明）6.设双曲线C:x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2,直线x=a 与C 的渐近线的一个交点记为P,若|PF 2|，|PF 1|, |F 1F 2|成等比数列，则C 的离心率为 A.4－ 3 B.2+ 3 C.4－ 5 D.2+5【答案】D7.设双曲线C:x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线的夹角为α，且cosα=13，则C 的离心率为 A.52 B.62 C.72 D.2【答案】B8.双曲线C:y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线经过点（2，2），则该双曲线离心率为 A.62 B. 2 C. 3 D.3【答案】C9.已知双曲线E:x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)焦距为2c ，圆C 1:(x －c)2+y 2=r 2与圆C 2:x 2+(y －m )2=4r 2(m ∊R)外切，且E 的两条渐近线恰为两圆的公切线，则E 的离心率为 A.62 B. 2 C. 5 D.32【答案】A 提示：m 2+c 2=(3r)2结合点到直线的距离可求.10.已知点M 在以A ，B 为焦点的椭圆上，点C 为该椭圆所在平面内的一点，且满足以下两个条件，MA→+MB→=2MC →，|MA →|=2|MB →|=2|MC →|则该椭圆的离心率为 .【答案】63 提示：画图可得C 为坐标原点，所以M 的横坐标为c 2，|MB |=|MC |=n=2a 3，|MA |=m =4a 3，设BC 中点为D ，则△MBD 中cos ∠MBD=c 2n ，在△MAB中，利用余弦定理可得a ，c 关系，进而求得离心率.二、求离心率的取值范围1.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(b ＞a ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0),若双曲线上存在点P,使的a sin∠PF 1F 2=c sin∠PF 2F 1，则该双曲线的离心率e 的取值范围是 A. (1,2+1) B.(2,+∞)C.( 2 ,2+1) D. (2+1,+∞)【答案】C设点P 在双曲线右支非x 轴上.由正弦定理可得|PF 2|sin∠PF 1F 2=|PF 1|sin∠PF 2F 1为方便运算,设| PF 1 | =m , | PF 2 |=n,则m sin∠PF 1F 2=n sin∠PF 2F 1，所以m n =c a ，又m -n=2a ，所以n=2a 2c -a ，m =2ac c -a，又sin∠PF 1F 2≠0，所以P 、F 1、F 2不共线，所以m +n ＞2c ，2a 2c -a +2ac c -a＞2c 而b ＞a ＞0，可解的答案C.2.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F,过F 作斜率为－1的直线交双曲线的渐近线于P,Q 两点,点P 在第一象限,点Q 在第四象限，则该双曲线离心率的取值范围为 A. (2,2) B.(1,2) C.(1,3) D.(2,2)【答案】B由已知，得－b a ＞-1,即b a ＜1，所以b 2≤c 2即c 2－a 2＜a 2,故1＜e ＜2.【怎么解】正确理解题目中给出的条件，将条件“点P 在第一象限,点，Q 在第四象限”转化为－b a ＞-1.3.设抛物线M ：x 2=4py (p >0)的焦点为F,其准线与双曲线N ：x 2a 2－y 2＝1的两个交点分別是A 、B ，若存在抛物线M 使得△FAB 是等边三角形，则双曲线N 的离心率的取值范围是 A. (1,233) B.(233,+∞) C.(72,+∞) D.(1,+∞)【答案】C抛物线的焦点坐标为F(p ，0)，准线方程为y=－p ，把y=－p 代入双曲线方程，可得A ，B 的坐标，其绝对值即是三角形边长的一班，所以tan∠FAO=－p |x |=3整理得到关于p 的方程，该方程有解，就可求得e 的范围.4.F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左右焦点，若双曲线上存在点P 满足PF1→·PF 2→=－a 2，则双曲线的离心率的取值范围为 A.[3,+∞) B.[2,+∞) C.(1,3] D.(1,2]【答案】B 提示：设点P(x 0,y 0)则PF1→·PF 2→=(x 0+c)(x 0－c)+y 02=x 02－c 2+y 02=－a 2，x 02+y 02=c 2－a 2=b 2即点P 在一原点为圆心，半径为b 的圆上，有题意，该圆和双曲线相交，所以b 2>a 2，即可求解.三、其他问题1、已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点P 为抛物线上任意一点，若∠KPF 的平分线与x 轴交于(m ,0) ,则m 的最大值为A.3－2 2B.23－3C.2－ 3D.2－2【答案】A 提示：三角形角平分线的性质，及过抛物线准线与x 轴的交点的与抛物线相切的直线的斜率为±12.已知抛物线y 2=4x ,过焦点F 的直线与此抛物线交于A,B 两点，公共点A 在第一象限,过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为A',直线A'F 的斜率为－ 3 ,则△AA'F 的面积为 A.4 3 B.3 3 C.2 3 D. 3【答案】A 提示：△AA'F 是正三角形，且边长等于2p=4.3.已知抛物线C:y 2 =2px (p >0)的焦点为F,准线为l ，l 与x 轴的交点为P,点A 在抛物线C 上,过点A 作AA'⊥l ，垂足为A'，若四边形AA'PF 的面积为14,且cos ∠FAA'=35 ，则抛物线C 的方程为A.y 2 =xB.y 2 =2xC.y 2 =4xD.y 2 =8x【答案】C4.设双曲线C:x 28－y 2m =1的左右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线与双曲线C 交于M,N 两点,其中M 在左支上,N 在右支上，若∠F 2MN= F 2NM ，则｜MN ｜ =A.8B.4C.8 2D.42【答案】C [命题意图]本题考查双曲线的定义与方程,考查推理论证能力以及数形结合思想. 提示：由∠F 2MN= F 2NM,可知，|F 2M|=｜F 2N ｜.由双曲线定义可知，｜MF2｜-｜MF1｜2a,｜NF1｜－｜NF2｜=2a,两式相加得,｜NF1｜-｜MF1｜=|MN｜=4a=82.5.设椭圆C: x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1, F2, 离心率为3，以F1F2为直径的圆与C在第一象限的交点为P,则直线PF1的斜率为A.13 B.12 C.33 D.32【答案】B6.已知点P(－43, 0),圆x2+y2=16 上两点A, B满足PB=2PA,则|AB|=【答案】4 提示：根据OA=OB=PA=AB=12PB，所以点B恰好是（0,4）.7.设点P为直线l：x+y－4=0上的动点，点A（－2,0），B（2,0），则｜PA｜+｜PB｜的最小值A.210B.26C.2 5D.10【答案】A8.已知椭圆C1:x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)与双曲线C2：x2－y2 9=1有公共焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则A.a 2=878 B.a 2=12 C.b 2=98 D.b 2=1 【答案】C9.“0<m <2”是“方程x 2m ＋y 22－m＝1表示椭圆”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C10.已知抛物线y 2=8x 的焦点为F ，点P 在该抛物线上，且点P 在y 轴上的投影为E ，则｜PF ｜－｜PE ｜的值为A.1B.2C.3D.4【答案】B。

圆锥曲线经典小题一、选择题1．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的离心率为,25则C 的渐近线方程为( ) A ．x y 41±= B ．x y 31±= C ．x y 21±= D ．x y ±= 2．已知,40πθ<<则双曲线1cos sin :22221=-θθy x C 与1sin cos :22222=-θθx y C ( ) A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等3．椭圆1422=+y x 的两个焦点为,,21F F 过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则=||2PF ( )A ．23B ．3C ．27 D ．4 4．已知双曲线14222=-by x 的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )A ．5B ．24C ．3D ．55．设1F 和2F 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点，若)2,0(,,21b P F F 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( )A ．23B ．2C ．25 D ．3 6．已知双曲线1222=-y x 的焦点为,,21F F 点M 在双曲线上，且,021=⋅MF MF 则点M 到x 轴的距离为( )A ．34 B ．35 C ．332 D ．3 7．设双曲线的左焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，右顶点为A ，如果直线FB 与BA 垂直，那么此双曲线的离心率为( )A ．2B ．3C ．213+ D ．215+ 8．已知双曲线,122=-y x 点21,F F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若,21PF PF ⊥则||1PF ||2PF +的值为( )A ．3B ．24C ．3D ．32二、填空题9．已知抛物线x y 82=的准线过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一个焦点，双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为_________.10．已知21,F F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且.21PF ⊥ 若21F PF∆的面积为9，则=b _________.11．抛物线)0(22>=p py x 的焦点为F ，其准线与双曲线13322=-y x 相交于A ，B 两点， 若ABF ∆为等边三角形，则=p _________.12．椭圆12222=+by a x 的四个顶点为,,,,D C B A 若菱形ABCD 的内切圆恰好经过它的焦点，则此椭圆的离心率是____．13．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的两条渐近线方程为,33x y ±= 若顶点到渐近线的距离为1，求双曲线方程.。

专题50 圆锥曲线（多选题部分）一、题型选讲题型一 、圆锥曲线定义与性质的考查例1、（202年山东卷）已知曲线22:1C mx ny +=（ ） A ．若0m =，0n >，则C 是两条直线 B ．若0m n =>，则CC ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在x 轴上D ．若0mn <，则C是双曲线，其渐近线方程为y = 【答案】AD【详解】对于A ，若0m =，0n >，则2:1C ny =即y =，为两条直线，故A 正确； 对于B ，若0m n =>，则221:C x y n +=，所以CB 错误； 对于C ，若0m n >>，则110m n<<， 所以22:1C mx ny +=即22:111x y C m n +=为椭圆，且焦点在y 轴上，故C 错误； 对于D ，若0mn <，则22:111x y C m n +=为双曲线，且其渐近线为y ==，故D 正确.例2、已知双曲线C过点(且渐近线方程为3y x =±，则下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为2213x y -=B ．CC ．曲线21x y e -=-经过C 的一个焦点 D．直线10x -=与C 有两个公共点【答案】AC【详解】对于A：由双曲线的渐近线方程为3y x =±，可设双曲线方程为223x y λ-=，把点代入，得923λ-=，即1λ=．∴双曲线C 的方程为2213x y -=，故A 正确； 对于B ：由23a =，21b =，得2c =，∴双曲线C=，故B 错误； 对于C ：取20x +=，得2x =-，0y =，曲线21x y e +=-过定点(2,0)-，故C 正确；对于D ：双曲线的渐近线0x ±=，直线10x --=与双曲线的渐近线平行，直线10x -=与C 有1个公共点，故D 不正确．故选：AC ．例3、（2020·山东济南外国语学校高三月考）已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线上一点，且，若，则对双曲线中的有关结论正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】ABCD【解析】由双曲线的定义知：， 由，在中，由余弦定理可得：，22221(0,0)x y a b a b-=>>12,,F F P122PF PF =12sin 4F PF ∠=,,,a b c e e =2e =b =b =12212,4PF PF PF a PF a -==∴=12sin F PF ∠=121cos 4F PF ∠=±12PF F △222416412244a a c a a +-=±⨯⨯解得或，， 或，又， 可得或故选：ABCD例4、已知双曲线，若的离心率最小，则此时（ ）A．BC ．双曲线的一个焦点坐标为D【答案】AB【解析】因为，所以双曲线的焦点在轴上，所以，，所以．又双曲线的离心率，则．因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，则双曲线的离心率最小时，，，，则双曲，故A ，B 正确；双曲线的焦点坐标为（，0），故C 错误；焦点，故D 错误.故选：AB ．题型二圆锥曲线的综合性问题例5、的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，12,A A 分别为左、右顶点，1B ，2B 分别为上、下顶点，1F ，2F 分别为左、右焦点，P 为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（ ）224c a =226c a=2ce a∴==2c a ∴=c =222c a b =+b =b =()222:104x y C m m m m -=>-+C 2m =0y ±=)0m >C x 2a m =224b m m =-+224c m =+c e a =222244c m e m a m m+===+0m >244e m m =+≥=4m m=2m =C 22a =26b =28c =0y ±=±()0y +=2==A ．2112212A F F A F F ⋅= B ．11290F B A ∠=︒C ．1PF x ⊥轴，且21//PO A BD ．四边形221AB A B 的内切圆过焦点1F ，2F【答案】BD【详解】∵椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>∴121212(,0),,0),(0,),(0,),(,0),(,)(0A a A a B b B b F c F c ---对于A ，若2112212A F F A F F ⋅=，则22()(2)a c c -=，∴2a c c -=，∴13e =，不满足条件，故A 不符合条件；对于B ，11290F B A ︒∠=，∴222211112A F B F B A =+ ∴2222()a c a a b +=++，∴220c ac a +-= ∴210e e +-=，解得e =e =，故B 符合条件； 对于C ，1PF x ⊥轴，且21//PO A B ，∴2,b P c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∵21PO A B k k =∴2b c ab a =--，解得 ∵，∴b c =222a b c =+a =∴，不满足题意，故C不符合条件；对于D，四边形的内切圆过焦点即四边形的内切圆的半径为c，∴∴，∴，解得（舍去）或，∴，故D符合条件．例6、已知椭圆()22:10x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为1F，2F且122F F=，点()1,1P在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（）A．1QF QP+的最小值为1B．椭圆C的短轴长可能为2C．椭圆C的离心率的取值范围为⎛⎝⎭D．若11PF FQ=，则椭圆C【答案】ACD【详解】A.因为12||2F F，所以22(1,0),||1F PF=，所以122||||||||||1QF QP QF QP PF+=+≥=，当2,,Q F P，三点共线时，取等号，故正确；B．若椭圆C的短轴长为2，则1,2b a==，所以椭圆方程为22121x y+=，11121+>，则点P在椭圆外，故错误；C．因为点(1,1)P在椭圆内部，所以111a b+<，又1a b-=，所以1b a=-，所以1111+<-a a，即2310a a-+>，解得236(1244a+++>==，12+>，所以12=<e，所以椭圆C的离心率的取值范围为，故正确；2cea===1221A B A B12,F F1221A B A B ab=422430c a c a-+=42310e e-+=235e+=235e-=51e-=D ．若11PF FQ =，则1F 为线段PQ 的中点，所以(3,1)Q --，所以911+=a b，又1a b -=，即21190-+=a a ，解得a ====，所以椭圆C，故正确．例7、（2020·山东高三开学考试）已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于两点、，则（ ）A ．若、同在双曲线的右支，则的斜率大于B ．若在双曲线的右支，则最短长度为C ．的最短长度为D ．满足的直线有4条 【答案】BD【解析】易知双曲线的右焦点为，设点、，设直线的方程为， 当时，直线的斜率为， 联立，消去并整理得. 则，解得. 对于A 选项，当时，直线轴，则、两点都在双曲线的右支上，此时直线的斜率不存在，A 选项错误；对于B 选项，，B 选项正确； 对于C 选项，当直线与轴重合时，，C 选项错误； 对于D 选项，当直线与轴重合时，； 当直线与轴不重合时，由韦达定理得，， 22:1916x y C -=F l A B A B l 43A FA 2AB 32311AB =C ()5,0F ()11,A x y ()22,B x y l 5x my =+0m ≠l 1k m=225169144x my x y =+⎧⎨-=⎩x ()221691602560m y my -++=()()222222169016042561699610m m m m ⎧-≠⎪⎨∆=-⨯-=+>⎪⎩34m ≠0m =l x ⊥A B l min 532F c a A =-=-=l x 32263AB a ==<l x 2611AB a ==≠l x 122160169m y y m +=--122256169y y m =-由弦长公式可得，解得或.故满足的直线有条，D 选项正确. 故选：BD.例8、（2020·江苏扬州中学高二月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）A ．的最小值为B ．椭圆的短轴长可能为2C ．椭圆的离心率的取值范围为D ．若，则椭圆【答案】ACD【解析】A. 因为，所以，所以，当，三点共线时，取等号，故正确；B.若椭圆的短轴长为2，则，所以椭圆方程为，，则点在椭圆外，故错误；C. 因为点在椭圆内部，所以，又，所以，所以，即，解得，所以，所以椭圆的离心率的取值范围为，故正确；()2122961169m AB y y m +=-==-()226161611169m m +==-4m =±m =11AB =4()22:10x y C a b a b+=>>1F 2F 122F F =()1,1P Q 1QF QP +21a -C C ⎛ ⎝⎭11PF FQ =C 122F F =()221,0,1=F PF 1222221+=-+≥-=-QF QP a QF QP a PF a 2,,Q F P C 1,2b a ==22121x y +=11121+>P ()1,1P 111a b+<1a b -=1b a =-1111+<-a a 2310a a -+>(2136244++>==a >12=<e C 10,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D. 若，则为线段的中点，所以，所以，又，即，解得，所以椭圆的，故正确.故选：ACD例9、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2C y px =(0)p >的焦点为F ，准线为l.设l 与x 轴的交点为K ，P 为C 上异于O 的任意一点，P 在l 上的射影为E ，EPF ∠的外角平分线交x 轴于点Q ，过Q 作QN PE ⊥交EP 的延长线于N ，作QM PF ⊥交线段PF 于点M ，则（ ）A ．||||PE PF =B ．||||PF QF =C ．||||PN MF =D ．||||PN KF =【答案】ABD 【解析】由抛物线的定义，PE PF =，A 正确；∵//PN QF ，PQ 是FPN ∠的平分线，∴FQP NPQ FPQ ∠=∠=，∴||||PF QF =，B 正确； 若||||PN MF =，由PQ 是外角平分线，QN PE ⊥，QM PF ⊥得QM QN =，从而有PM PN =，于是有PM FM =，这样就有QP QF =，PFQ ∆为等边三角形，60FPQ ∠=︒，也即有60FPE ∠=︒，11PF FQ =1F PQ ()3,1Q --911+=a b1a b -=21190-+=a a 21122244++===a =C这只是在特殊位置才有可能，因此C 错误；连接EF ，由A 、B 知PE QF =，又//PE QF ，EPQF 是平行四边形，∴EF PQ =，显然EK QN =，∴KF PN =，D 正确．二、达标训练1、（2020·山东高三其他模拟）关于双曲线与双曲线，下列说法正确的是（ ）.A ．它们有相同的渐近线B ．它们有相同的顶点C ．它们的离心率不相等D ．它们的焦距相等【答案】CD【解析】双曲线的顶点坐标，渐近线方程：，离心率为：，焦距为10．双曲线，即：，它的顶点坐标，渐近线方程：，离心率为：，焦距为10． 所以它们的离心率不相等，它们的焦距相等． 故选：．2、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(5,0)F -，2(5,0)F ，则能使双曲线C 的方程为221169x y -=的是( )A ．离心率为54B ．双曲线过点95,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．渐近线方程为340±=x yD ．实轴长为4【答案】ABC【解析】由题意，可得：焦点在x 轴上，且5c =；A 选项，若离心率为54，则4a =，所以2229b c a =-=，此时双曲线的方程为：221169x y -=，故A 正确；221:1916x y C -=222:1916y x C -=-221:1916x y C -=(3,0)430x y ±=53222:1916y x C -=-221169x y -=(4,0)±340±=x y 54CDB 选项，若双曲线过点95,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则22222812516125a b a b c ⎧⎪⎪-=⎨⎪+==⎪⎩，解得：22169a b ⎧=⎨=⎩；此时双曲线的方程为：221169x y -=，故B 正确；C 选项，若双曲线的渐近线方程为340±=x y ，可设双曲线的方程为：22(0)169x y m m -=>，所以216925c m m =+=，解得：1m =，所以此时双曲线的方程为：221169x y -=，故C 正确； D 选项，若实轴长为4，则2a =，所以22221b c a =-=，此时双曲线的方程为：224121x y -=，故D 错误；故选：ABC.3、（2020届山东省德州市高三上期末）已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F经过点F ，直线l 与抛物线C 交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若8AF =，则以下结论正确的是（ ） A ．4p = B ．DF FA =C ．2BD BF =D ．4BF =【答案】ABC 【解析】 如下图所示：分别过点A 、B 作抛物线C 的准线m 的垂线，垂足分别为点E 、M .抛物线C 的准线m 交x 轴于点P ，则PF p =，由于直线l 60，//AE x 轴，60EAF ∴∠=，由抛物线的定义可知，AE AF =，则AEF ∆为等边三角形，60EFP AEF ∴∠=∠=，则30PEF ∠=，228AF EF PF p ∴====，得4p =，A 选项正确；2AE EF PF ==，又//PF AE ，F ∴为AD 的中点，则DF FA =，B 选项正确；60DAE ∴∠=，30ADE ∴∠=，22BD BM BF ∴==（抛物线定义），C 选项正确； 2BD BF =，118333BF DF AF ∴===，D 选项错误. 故选：ABC.4、（2020届山东省日照市高三上期末联考）过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，M为线段AB 的中点，则（ ） A ．以线段AB 为直径的圆与直线32x =-相离 B ．以线段BM 为直径的圆与y 轴相切 C ．当2AF FB =时，92AB = D ．AB 的最小值为4【答案】ACD【解析】对于选项A ，点M 到准线1x =-的距离为()1122AF BF AB +=，于是以线段AB 为直径的圆与直线1x =-一定相切，进而与直线32x =-一定相离： 对于选项B ，显然AB 中点的横坐标与12BM 不一定相等，因此命题错误. 对于选项C ，D ，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 方程为1x my =+，联立直线与抛物线方程可得2440y my --=，124y y =-，121=x x ，若设()24,4A a a ，则211,4B aa ⎛⎫- ⎪⎝⎭，于是21221424AB x x p a a=++=++，AB 最小值为4；当2AF FB =可得122y y =-， 142a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所212a =，92AB =.故选:ACD.5、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知P 是椭圆C ：2216x y +=上的动点，Q 是圆D ：()22115x y ++=上的动点，则（ ）A ．CB ．C 的离心率为6C ．圆D 在C 的内部D ．PQ 【答案】BC【解析】2216x y += a ∴=，1b =c ∴===C 的焦距为c e a ===.设(), P x y （x ≤≤， 则()()22222256441111665555x x y x x PD ⎛⎫++=++-=++≥> ⎪⎝⎭=，所以圆D 在C 的内部，且PQ =. 故选：BC .6、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点()11,P x y ，()22,Q x y ，点P 在l 上的射影为1P ，则 （ ） A ．若126x x +=，则8PQ =B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切C ．设()0,1M ，则1PM PP +≥D ．过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条 【答案】ABC【解析】对于选项A,因为2p =,所以122x x PQ ++=,则8PQ =,故A 正确；对于选项B,设N 为PQ 中点,设点N 在l 上的射影为1N ,点Q 在l 上的射影为1Q ,则由梯形性质可得111222PP QQ PF QF PQ NN ++===,故B 正确； 对于选项C,因为()1,0F ,所以1PM PP PM PF MF +=+≥=故C 正确； 对于选项D,显然直线0x =,1y =与抛物线只有一个公共点,设过M 的直线为1y kx =+, 联立214y kx y x=+⎧⎨=⎩,可得()222410k x k x +-+=,令0∆=,则1k =,所以直线1y x =+与抛物线也只有一个公共点,此时有三条直线符合题意,故D 错误； 故选：ABC7、（2020·福清西山学校高二期中）在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则（ ） A ．的方程为B ．C ．的渐近线与圆相切D ．满足的直线仅有1条【答案】AC【解析】设点，整理得，所以点的轨迹为曲线的方程为，故A 正确；又离心率，故B 不正确； 圆的圆心到曲线的渐近线为的距离为，又圆的半径为1，故C 正确；直线与曲线的方程联立整理得，设， ，且，xOy P ()1F)2F 13P E l ()2y k x =-E A B E 221(3x y x -=≠E E ()2221x y -+=AB =l (),P xy 13=2213x y -=P E 221(3x y x -=≠e ==()2221x y -+=()20，E y x =1d ==()2221x y -+=l E ()2221(3y k x x y x ⎧=-⎪⎨-=≠⎪⎩()222213+121230k x x k k ---=()()1122,,A B x y x y ，()()()224214441312312+1>0kk kk ∆=----=2130k -≠有，所以， 要满足，则需或或，当,此时，而曲线E 上，所以满足条件的直线有两条，故D 不正确，故选：AC .2122221212123+,1313x xx k x kk k ---==--)221+13k AB k===-AB =)221+13k k=-0k =1k =1k =-0k =)()AB ，x ≠。

（A）2 （B）4 （C）6 （D）8
7．（2016高考新课标3理数）已知 为坐标原点， 是椭圆 ： 的左焦点， 分别为 的左，右顶点． 为 上一点，且 轴．过点 的直线 与线段 交于点 ，与 轴交于点 ．若直线 经过 的中点，则 的离心率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
8．（2016高考天津理数）已知双曲线 （b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的
（2）代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x（或y）的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数（也就是方程组解的个数）来判断．
如果Δ＜0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；
如果Δ＝0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切；
如果Δ＞0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交．
圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
9．（2016湖北优质高中联考，理3）若 是2和8的等比中项，则圆锥曲线 的离心率是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
10．（2016湖南六校联考，理12）已知 分别为椭圆 的左、右顶点，不同两点 在椭圆 上，且关于 轴对称，设直线 的斜率分别为 ，则当 取最小值时，椭圆 的离心率为（ ）
4．A
【解析】
试题分析：因为 垂直于 轴，所以 ，因为 ，即 ，化简得 ，故双曲线离心率 ．选A．
考点：双曲线的性质．离心率．
【名师点睛】区分双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2．双曲线的离心率e∈（1，＋∞），而椭圆的离心率e∈（0，1）．

圆锥曲线典型训练100题1.如图,已知A ,B 是椭圆22143x y +=的长轴顶点,P ,Q 是椭圆上的两点,且满足2AP QB k k =,其中AP k 、QB k 分别为直线AP 、QB 的斜率.（1）求证：直线AP 和BQ 的交点R 在定直线上； （2）求证：直线PQ 过定点； （3）求PQB ∆和PQA ∆面积的比值.2.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 上的点到焦点的最大距离为3，离心率为21.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l ：01=+-my x 与椭圆C 交于不同两点A ，B ，与x 轴交于点D ，且满足DB DA λ=,若3121-<≤-λ，求实数m 的取值范围.3.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率是22，且经过抛物线y x 42=的焦点。

（1）求椭圆C 的标准方程；（2）经过原点作直线l （不与坐标轴重合）交椭圆于A ，B 两点，AD x ⊥轴于点D ，点E 为椭圆C 上的点，且0=⋅AB AE 。

若直线BE ，BD 的斜率均存在，且分别记为BD BE k k ,,求证：BDBEk k 为定值；并求出该值。

4.已知椭圆:C )0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为)0,3(1-F ,椭圆C 与直线022=-+y x 交于A ，B 两点，线段AB 中点为)21,1(M . （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 不经过点)1,0(N 且与C 相交于E ，F 两点.若直线NE 与直线NF 的斜率的 和为－1，证明：l 过定点.5.已知顶点是坐标原点的抛物线Γ的焦点F 在y 轴正半轴上，圆心在直线12y x =上的圆E 与x 轴相切，且EF 关于点()1,0M -对称． （Ⅰ）求E 和Γ的标准方程；（Ⅱ）过点M 的直线l 与E 交于A ，B ，与Γ交于C ，D ，求证：CD AB >．6.已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0）的右焦点为F (2,0)，过点F 的直线交椭圆于M 、N 两点且MN 的中点坐标为（1，22) ． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线l 不经过点P （0，b ）且与C 相交于A ，B 两点，若直线PA 与直线PB 的斜率的和为1，试判断直线 l 是否经过定点，若经过定点，请求出该定点；若不经过定点，请给出理由.7.已知(2,0),(2,0)A B -，动点M 满足2AMB θ∠=，24||||cos AM BM θ⋅=uuu r uuu r. （1）求||||AM BM +u u u r u u u r的值，并写出M 的轨迹曲线C 的方程；（2）动直线:l y kx m =+与曲线C 交于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥，是否存在圆222x y r +=使得直线l 恰好是该圆的切线，若存在，求出圆的方程；若不存在，说明理由.8.已知椭圆1:C 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为，20P -（，）是它的一个顶点，过点P 作圆2222:C x y r +=的切线PT ，T为切点，且PT =(1)求椭圆C 1及圆C 2的方程；(2)过点P 作互相垂直的两条直线l 1，l 2，其中l 1与椭圆的另一交点为D ，l 2与圆交于A ，B 两点，求△ABD 面积的最大值.9.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B，离心率2e =，O 为坐标原点，圆224:5O x y +=与直线AB 相切. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知四边形ABCD 内接于椭圆E ，AB ∥DC .记直线AC ，BD 的斜率分别为12,k k ，试问12k k ⋅是否为定值？证明你的结论.10.已知直线l ：y x =与圆225x y +=相交的弦长等于椭圆C ：22219x y b+=（03b <<）的焦距长． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知O 为原点，椭圆C 与抛物线22y px =（0p >）交于M 、N 两点，点P 为椭圆C 上一动点，若直线PM 、PN 与x 轴分别交于G 、H 两点，求证：||||OG OH ⋅为定值．11.已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作直线l与椭圆C 交于M ，N 两点.（1）已知M ，椭圆C 的离心率为12，直线l 交直线4x =于点P ， 求1F MN ∆的周长及1F MP ∆的面积；（2）当224a b +=且点M 在第一象限时，直线l 交y 轴于点Q ，11F M FQ ⊥， 证明：点M 在定直线上.12.已知离心率为22的椭圆C ： 22a x +22by =1（a ＞b ＞0）过点P （﹣1，22）．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线AB ：y=k （x+1）交椭圆C 于A 、B 两点，交直线l ：x=m 于点M ，设直线PA 、PB 、PM 的斜率依次为k 1、k 2、k 3，问是否存在实数t ，使得k 1+k 2=tk 3？若存在，求出实数t 的值以及直线l 的方程；若不存在，请说明理由．13.在平面直角坐标系xOy 中，设动点M 到坐标原点的距离到x 轴的距离分别为d 1，d 2，且221234d d +=，记动点M 的轨迹为Ω.（1）求Ω的方程；（2）设过点(0,－2)的直线l 与Ω相交于A ，B 两点，当△AOB 的面积最大时，求|AB |.14.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(1,0),F 左顶点为(2,0).A -（1）求椭圆E 的方程；（2）过点A 作两条相互垂直的直线分别与椭圆E 交于（不同于点A 的）M ,N 两点.试判断直线MN 与x 轴的交点是否为定点,若是,求出定点坐标；若不是,请说明理由.15.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，F 为该椭圆的右焦点，过点F 任作一直线l 交椭圆于,M N 两点，且||MN 的最大值为4. （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的左顶点为A ，若直线AM ，AN 分别交直线2x a =于P ，Q 两点，求证：FP FQ ⊥.16.已知椭圆Ma＞b＞0）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6＋（1）求椭圆M的方程；（2）设直线l：x ky m=+与椭圆M交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求m的值．17.已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>，圆Q：()(222=2x y-+的圆心Q在椭圆C上，点P（0C（I）求椭圆C的方程；（II）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．18.设椭圆E 的方程为2221x y a +=（1a >），点O 为坐标原点，点A ，B 的坐标分别为(,0)a ，(0,1)，点M 在线段AB 上，满足||2||BM MA =，直线OM 的斜率为14． （1）求椭圆E 的方程；（2）若斜率为k 的直线l 交椭圆E 于C ，D 两点，交y 轴于点(0,)T t （1t ≠），问是否存在实数t 使得以CD 为直径的圆恒过点B ？若存在，求t 的值，若不存在，说出理由．19.设椭圆22221x x a b +=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B . A的坐标为(,0)b ，且FB AB ⋅=. （I ）求椭圆的方程；（II ）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若AQ AOQ PQ=∠(O 为原点) ，求k 的值.20.已知抛物线C ：y 2=2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ= ，QN QO μ= ，求证：11λμ+为定值．21.已知离心率为12的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,,F F A 是椭圆C的左顶点，且满足124AF AF +=. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若M ，N 是椭圆C 上异于A 点的两个动点，且满足AM AN ⊥，问直线MN 是否恒过定点？说明理由．22.已知椭圆()01:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为23， A 1，A 2分别为椭圆C 的左、右顶点点()1,2-P 满足121=⋅PA PA . (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线l 经过点P 且与C 交于不同的两点M ，N ，试问：在x 轴上是否存在点Q ，使得QM 与直线QN 的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由.23.已知椭圆Γ：22142x y +=，过点(1,1)P 作倾斜角互补的两条不同直线1l ，2l ，设1l 与椭圆Γ交于A 、B 两点，2l 与椭圆Γ交于C ，D 两点. （1）若(1,1)P 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程； （2）记AB CDλ=，求λ的取值范围.24.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>> 的上、下、左、右四个顶点分别为A 、B 、C 、D ，x轴正半轴上的某点G 满足432===GC GA GD ，， （1）求椭圆的方程；（2）设该椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在圆222x y b +=上， 且M 在第一象限，过M 作圆222x y b +=的切线交椭圆于P ,Q 两点， 求证：△PF 2Q 的周长是定值．25.设,,,P Q R S 是椭圆2222:x y M a b+=1(0)a b >>的四个顶点，菱形PQRS 的面积与其内切圆面积分别为367π.椭圆M 的内接ABC ∆的重心(三条中线的交点)为坐标原点O .(I)求椭圆M 的方程；(Ⅱ) ABC ∆的面积是否为定值?若是，求出该定值，若不是，请说明理由.26.已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A ，且焦距为2，直线l 交椭圆Γ于E 、F 两点（点E 、F 与点A 不重合），且满足AE AF ⊥.（1）求椭圆的标准方程；（2）O 为坐标原点，若点P 满足2OP OE OF =+，求直线AP 的斜率的取值范围.27.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>错误！未找到引用源。

圆锥曲线经典题型一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．27．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=110．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）【解答】解：∵直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，∴1＞b＞0或b＞1．∴e==＞1且e≠．故选：D．2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：由题意，=（﹣﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，所以﹣＜y0＜．故选：A．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴⊥∵O是F1F2的中点∴OA∥PF1，∴PF1⊥PF2，∵|PF1|=3|PF2|，∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|，∵|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴10a2=4c2，∴e=故选C．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A（，﹣），由=2，可得B（﹣，﹣），把B点坐标代入双曲线方程﹣=1，即=1，整理可得c=a，即离心率e==．故选：C．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x﹣2）2+y2=2相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即∴b2＜a2，∴c2=a2+b2＜2a2，∴e=＜∵e＞1∴1＜e＜故选C．6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b=±，由题意可得=b，即a=b，c==a，即离心率e==，故选C．7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|=2|PF2|，得|PF2|=2a，|PF1|=4a；在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，∴4c2=16a2+4a2，即c2=5a2，则b2=4a2．即b=2a，双曲线=1一条渐近线方程：y=2x；故选：C．8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆x2+（y﹣2）2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1∴3a2＜b2，∴c2=a2+b2＞4a2，∴e=＞2故选：C．9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x，可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），代入点P（2，），可得λ=4﹣2=2，可得双曲线的方程为x2﹣y2=2，即为﹣=1．故选：B．10．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线C：x2﹣=1的右焦点F（2，0），PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3，则P（2，3），∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3，∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=，同理当y＜0时，则△APF的面积S=，故选D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是20．【解答】解：∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=8∵双曲线x2﹣=1的通径为==8∵PQ=8∴PQ是双曲线的通径∴PQ⊥F1F2，且PF1=QF1=PQ=4∵由题意，|PF2|﹣|PF1|=2，|QF2|﹣|QF1|=2∴|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20，故答案为20．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴2•=0，∴，∵OA是△PF1F2的中位线，∴PF1⊥PF2，OA=PF1．由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a，∵|PF1|=|PF2|，∴|PF2|=，|PF1|=．△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴（）2+（）2=4c2，∴e=．故答案为：．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．【解答】解：（1）设F2，M的坐标分别为，因为点M在双曲线C上，所以，即，所以，在Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°，，所以…（3分）由双曲线的定义可知：故双曲线C的方程为：…（6分）（2）由条件可知：两条渐近线分别为…（8分）设双曲线C上的点Q（x0，y0），设两渐近线的夹角为θ，则点Q到两条渐近线的距离分别为，…（11分）因为Q（x0，y0）在双曲线C：上，所以，又cosθ=，所以=﹣…（14分）14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．【解答】（Ⅰ）解：由题知：a2+b2=2，曲线C2的离心率为…（2分）∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍，∴=即a2=b2，…（3分）∴a=b=1，∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1；…（4分）（Ⅱ）证明：由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为：x=ny+…（5分）与双曲线方程x2﹣y2=1联立，可得（n2﹣1）y2+2ny+1=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，…（7分）由题可设点C（，y2），由点斜式得直线AC的方程：y﹣y2=（x﹣）…（9分）令y=0，可得x===…（11分）∴直线AC过定点（，0）．…（12分）15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，当P为右顶点时，可得PF取得最小值，即有c﹣a=﹣1，解得a=1，c=，b==，可得双曲线的方程为x2﹣=1；（Ⅱ）过点P（1，1）假设存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点．设R（x1，y1），T（x2，y2），可得x12﹣=1，x22﹣=1，两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2），由中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，可得直线l的斜率为k===2，即有直线l的方程为y﹣1=2（x﹣1），即为y=2x﹣1，代入双曲线的方程，可得2x2﹣4x+3=0，由判别式为16﹣4×2×3=﹣8＜0，可得二次方程无实数解．故这样的直线l不存在．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵C：的离心率e=，且b=，∴=，且b=，∴a=1，c=∴双曲线C的方程；（Ⅱ）令|PE|=p，|PF|=q由双曲线定义：|p﹣q|=2a=2平方得：p2﹣2pq+q2=4•=0，∠EPF=90°，由勾股定理得：p2+q2=|EF|2=12所以pq=4即S=|PE|•|PF|=2．。

圆锥曲线小题专练1．若圆(x −3)2+(y −5)2=r 2(r >0)上有且只有四个点到直线5x +12y =10的距离等于1，则半径r 的取值范围是（ ）A ．(4,6)B ．(6,+∞)C ．(0,4)D ．[4,6]2．已知点P 在圆x 2+y 2=4上，A(−2,0)，B(2,0)，M 为BP 中点，则sin∠BAM 的最大值为( )A ．12B ．13 C ．√1010D ．143．若圆x 2+y 2−2ax +2by +1=0的圆心在第一象限，则直线ax +y −b =0一定不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若过点(1,2)总可以作两条直线与圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2－15＝0相切，则实数k 的取值范围是( )A ．k >2B ．－3<k <2C ．k <－3或k >2D ．以上都不对5．由曲线x 2+y 2=2|x|+2|y|围成的图形面积为（ ） A ．2π+4 B ．2π+8 C ．4π+4 D ．4π+86．直线l 是圆x 2+y 2=4在(−√3,1)处的切线，点P 是圆x 2−4x +y 2=0上的动点，则点P 到直线l 的距离的最小值等于（ ） A ．1 B ．√2 C ．√3 D ．27．已知点M(−1,0),N(1,0)，若直线y =k(x −2)上至少存在三个点P ，使得ΔMNP 是直角三角形，则实数k 的取值范围是 A ．[−√22,0)∪(0,√22] B ．[−12,0)∪(0,12]C ．[−13,0)∪(0,13]D ．[−√33,0)∪(0,√33]8．已知圆C:(x −2)2+y 2=4，直线l 1:y =√3x 和l 2:y =kx −1被圆C 所截得的弦的长度之比为1:2，则k 的值为A ．12 B ．√33C ．1D ．√39．已知两点M(−1,0)，N(1,0)，若直线3x −4y +m =0上存在点P 满足PM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(−∞,−5]∪[5,+∞)B ．(−∞,−25]∪[25,+∞)C ．[−5,5]D ．[−25,25] 10．已知圆C:x 2+y 2−8x +15=0，直线y =kx +2上至少存在一点P ，使得以P 为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的取值范围是（ ） A ．[−35,1] B ．[−54,1] C ．[−43,0] D ．[−53,0]11．曲线y =√1−x 2与曲线y=|x |的交点个数为 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个12．圆x 2+y 2−4x −4y −10=0上的点到直线x +y −14=0的最大距离与最小距离的差是( )．A ．36B ．18C ．6√2D ．5√2 13．设F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a >b >0）的左、右焦点，若在直线x =a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0，√22] B ．(0，√33] C ．[√22，1) D ．[√33，1) 14．已知F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，点P 是椭圆上位于第一象限内的点，延长PF 2交椭圆于点Q ，若PF 1⊥PQ ，且|PF 1|=|PQ |，则椭圆的离心率为（ ）A ．√6-√3B ．2−√2C ．√3−√2D ．√2−1 15．已知点A 是抛物线x 2=4y 的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足|PA |=m |PF |，若m 取得最大值时，点P 恰好在以A,F 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A ．√3−1B ．√2−1C ．√5−12D ．√2−1216．椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右顶点为A ，下顶点为B ，左焦点为F ，若ΔABF 外接圆的圆心在直线y =x 的右下方，则此椭圆的离心率的取值范围是（ ） A ．(12,1) B ．(0,√22) C ．(0,12) D ．(√22,1)17．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右顶点分别为A,B ，P 是椭圆上异于A,B 的一点，若直线PA 的斜率k PA 与直线PB 的斜率k PB 乘积k PA ·k PB =−14，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．14B ．12C ．34D ．√3218．如图，AB 是椭圆C 长轴长的两个顶点，M 是C 上一点，tan∠AMB =−1，tan∠MAB =13，则椭圆的离心率为（ ）A ．√33B ．√63C ．√306D ．√42619．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,O 为坐标原点，A 为椭圆上一点，∠F 1AF 2=π2，连接AF 2交y 轴于M 点，若3|OM |=|OF 2|，则该椭圆的离心率为( )A ．13B ．√33C ．58D ．√10420．过点P (3,1)且倾斜角为3π4的直线与椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若AP⃑⃑⃑⃑⃑ =PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则该椭圆的离心率为（ ） A ．12 B ．√22 C ．√63 D ．√3321．已知椭圆C 的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，点P 为椭圆C 上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．√22B ．12C ．√24D ．1422．已知椭圆C ：x 236+y 227=1的右焦点为F ，点P(1,3)，若点Q 是椭圆C 上的动点，则ΔPQF 周长的最大值为A ．2√13B ．17C ．30D ．17+√1323．已知椭圆x 24+y 2b 2=1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 交椭圆A 、B 两点，若|AF 2|+|BF 2|的最大值为5，则b 的值为（ ） A ．1 B ．√2 C ．√3 D ．224．已知F 1，F 2为椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左，右焦点，B 为C 的短轴的一个端点，直线BF 1与C 的另一个交点为A ，若ΔBAF 2为等腰三角形，则|AF 1||AF 2|=（ ）A ．13 B ．12C ．23D ．325．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 (a >0，b >0)上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且α∈[π12,π4]，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（ ） A ．[√22,√63] B ．[√22,√33] C ．[12,√33] D ．[√23,√63] 26．已知椭圆C ：x 2m +y 2m−4=1(m >4)的右焦点为F ，点A （一2，2)为椭圆C 内一点。

圆锥曲线压轴小题必刷100题一、单选题1.已知圆C是以点M2,23和点N6,-23为直径的圆，点P为圆C上的动点，若点A2,0，点B1,1，则2PA-PB的最大值为()A.26B.4+2C.8+52D.22.已知点F1，F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，点M在直线l:x=-a上运动，若∠F1MF2的最大值为60°，则椭圆C的离心率是()A.13B.12C.32D.333.过x轴上点P a,0的直线与抛物线y2=8x交于A，B两点，若1AP2+1BP2为定值，则实数a的值为()．A.1B.2C.3D.44.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个顶点在直线x-2y-2=0上，F1，F2分别是椭圆的左､右焦点，点P是椭圆上异于长轴两个端点的任一点，过点P作椭圆C的切线l与直线x=-2交于点M，设直线PF1，MF2的斜率分别为k1，k2，则k1k2的值为()A.-13B.13C.-12D.-145.已知F是椭圆x2a2+y2=1(a>1)的左焦点，A是该椭圆的右顶点，过点F的直线l(不与x轴重合)与该椭圆相交于点M，N．记∠MAN=α，设该椭圆的离心率为e，下列结论正确的是()A.当0<e<1时，α<π2B.当0<e<22时，α>π2C.当12<e<22时，α>2π3D.当22<e<1时，α>3π46.已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线与抛物线交于点A、B，若A、B两点在准线上的射影分别为M、N，线段MN的中点为C，则下列叙述不正确的是()A.AC⊥BCB.四边形AMCF的面积等于AC⋅MFC.AF+BF=AF⋅BFD.直线AC与抛物线相切7.如图，已知双曲线x2a2-y2b2=1b>a>0的左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A，若△AF1F2的内切圆半径为b4，则双曲线的离心率为()A.53B.54C.43D.328.在棱长为2的正四面体ABCD 中，点P 为△ABC 所在平面内一动点，且满足PA +PB =433，则PD的最大值为()A.3B.2103C.393D.29.已知点F 为抛物线y 2=4x 的焦点，M -1,0 ，点N 为抛物线上一动点，当NF NM最小时，点N 恰好在以M ，F 为焦点的双曲线上，则该双曲线的渐近线的斜率的平方为()A.3+23B.2+22C.5+12D.22-1410.已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P ，PF 1与双曲线相交于点Q ，且PQ =3QF 1 ，则该双曲线的离心率为()A.873B.293C.32D.5211.若椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上的点2,53 到右准线的距离为52，过点M 0,1 的直线l 与C 交于两点A ,B ，且AM =23MB，则l 的斜率为()A.13B.±13C.±12D.1912.已知双曲线C ：x 29-y 27=1的左焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，则1FA -4FB的取值范围是()A.-16,37 B.-16,37C.-16,0 D.-16,+∞13.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M ，N 分别在双曲线C 的左、右两支上，点A 在x 轴上，且M ，N ，F 1三点共线，若AN =3F 2M，∠F 1NF 2=∠ANF 2，则双曲线C 的离心率为()A.5B.7C.3D.1114.已知抛物线C :y 2=2px p >0 ，F 为C 的焦点，过焦点F 且倾斜角为α的直线l 与C 交于A ，B 两点，则下面结论不正确的是()A.以A ，B 为直径的圆与抛物线C 的准线相切B.1AF +1BF=2p C.过点A ，B 分别作抛物线C 的切线，则两切线互相垂直D.记原点为O ，则S △AOB =p 2sin α15.已知点A 是抛物线C :x 2=2py p >0 的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，过A 作抛物线的一条切线，切点为P ，且满足PA =2，则抛物线C 的方程为()A.x 2=8yB.x 2=4yC.x 2=2yD.x 2=y16.过点P 2,1 斜率为正的直线交椭圆x 224+y 25=1于A ，B 两点.C ，D 是椭圆上相异的两点，满足CP ，DP分别平分∠ACB ，∠ADB .则ΔPCD 外接圆半径的最小值为()A.2155B.655C.2413D.191317.已知点P 在抛物线C :y 2=mx m ≠0 上，过点P 作抛物线x 2=2y 的切线l 1，l 2，切点分别为M ，N ，若G 1,1 ，且GP +GM +GN =0，则C 的准线方程为()A.x =-14B.x =14C.x =22D.x =-2218.已知点P (-1，0)，设不垂直于x 轴的直线l 与抛物线y 2=2x 交于不同的两点A 、B ，若x 轴是∠APB 的角平分线，则直线l 一定过点A.12，0 B.(1，0)C.(2，0)D.(-2，0)19.已知F 1,F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 2| |PF 1|，椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，|PF 1|=|F 1F 2|，则3e 1+e 23的最小值为()A.4B.6C.4+22D.820.已知F 1，F 2分别为双曲线x 216-y 29=1的左，右焦点，过F 2且倾斜角为锐角α的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，记△AF 1F 2的内切圆半径为r 1，△BF 1F 2的内切圆半径为r 2，若r1r 2=3，则α的值为()A.75°B.30°C.45°D.60°21.如图，椭圆C :x 24+y 23=1，P 是直线x =-4上一点，过点P 作椭圆C 的两条切线PA ，PB ，直线AB 与OP 交于点M ，则sin ∠P MB 的最小值是()A.437 B.86565C.7210 D.3222.已知抛物线C :x 2=4y ，焦点为F ，圆M :x 2-2x +y 2+4y +a 2=0a >0 ，过F 的直线l 与C 交于A 、B 两点(点A 在第一象限)，且FB=4AF ，直线l 与圆M 相切，则a =()A.0B.2115C.115D.323.已知A ，B ，C 为抛物线x 2=4y 上不同的三点，焦点F 为△ABC 的重心，则直线AB 与y 轴的交点的纵坐标t 的取值范围是()A.-12,32B.-12,1 ∪32,+∞ C.-12,1 ∪1,32D.1,3224.已知F 1、F 2是椭圆x 24+y 23=1的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，以PF 1为直径作圆N ，直线ON 与圆N 交于点Q (点Q 不在椭圆内部)，则QF 1 ⋅QF 2=A.23B.4C.3D.125.已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点为F 2，A 和B 为双曲线上关于原点对称的两点，且A在第一象限.连结AF 2并延长交E 于P ，连结BF 2，PB ，若△BF 2P 是以∠BF 2P 为直角的等腰直角三角形，则双曲线E 的离心率为()A.52B.5C.102D.1026.已知F 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的一个焦点，若直线y =kx 与椭圆相交于A ,B 两点，且∠AFB =60°，则椭圆离心率的取值范围是()A.32，1B.0，32 C.0，12D.12，1 27.已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0，b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若F 2F 1+F 2A ⋅F 1A =0，则此双曲线的标准方程可能为()A.x 2-y 212=1 B.x 23-y 24=1C.x 216-y 29=1D.x 29-y 216=128.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，P 0,2 ，Q 0,-2 ，过点P 的直线l 1与椭圆交于A ，B ，过点Q 的直线l 2与椭圆交于C ，D ，且满足l 1⎳l 2，设AB 和CD 的中点分别为M ，N ，若四边形PMQN 为矩形，且面积为43，则该椭圆的离心率为()．A.13B.23 C.23D.6329.已知单位向量a ，b 满足2a -b =2，若存在向量c ，使得c -2a ⋅c -b =0，则c的取值范围是()A.62,62+1 B.62-1,62C.62-1,62+1 D.6-1,6+130.设双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1,F 2，过F 1的直线l 分别与双曲线C 左右两支交于M ,N 两点，以MN 为直径的圆过F 2，且MF 2 ⋅MN =12MN 2，则直线l 的斜率为()A.24B.22C.33D.3231.已知抛物线C :y 2=4x ，F 是抛物线C 的焦点，M 是抛物线C 上一点，O 为坐标原点，P (0,2)，∠OPM 的平分线过FM 的中点，则点M 的坐标为()A.(1,2)B.(2,22)C.(4,4)D.94,332.已知B ,C 是椭圆x 24+y 23=1上的两个动点，A 12,0 ，则以A 为直角顶点的等腰直角△ABC 的个数为()A.2B.4C.6D.多于633.在平面直角坐标系xOy 中，圆O :x 2+y 2=3,T (2,m )，若圆O 上存在以M 为中点的弦AB ，且AB =2MT ，则实数m 的取值范围是A.[-2,0] B.(0,2]C.[-2,2]D.(-2,2)34.已知椭圆C :x 23+y 2=1，过x 轴上一定点N 作直线l ，交椭圆C 于A ，B 两点，当直线l 绕点N 任意旋转时，有1|AN |2+1|BN |2=t (其中t 为定值)，则()A.t =9B.t =4C.t =3D.t =235.已知圆C 1:x 2+y 2=4与圆C 2:(x -1)2+(y -3)2=4，过动点P (a ,b )分别作圆C 1、圆C 2的切线PM ，PN ，(M ,N 分别为切点)，若|PM |=|PN |，则a 2+b 2-6a -4b +13的最小值是()A.5B.13C.2510 D.8536.已知抛物线C :y 2=2x ，过点E a ,0 的直线l 与C 交于不同的两点P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，且满足y 1y 2=-4，以Q 为中点的线段的两端点分别为M ,N ，其中N 在x 轴上，M 在C 上，则PM 的最小值为()A.2B.22C.32D.4237.设抛物线y 2=2px p >0 的焦点为F ，过F 的两条直线l 1，l 2分别交抛物线于点A ，B ，C ，D ，且l 1，l 2的斜率k 1，k 2满足k 1+k 2=1k 1>0,k 2>0 ，若AB +CD 的最小值为30，则抛物线的方程为()A.y 2=6xB.y 2=3xC.y 2=32x D.y 2=2x38.设点P 为椭圆C :x 225+y 216=1上一点，F 1、F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，且ΔPF 1F 2的重心为点G ，如果|PF 1|:|PF 2|=2:3，那么ΔGPF 1的面积为()A.423B.22C.823D.3239.过双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点F 作直线l ，且直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为A ，直线l 与另一条渐近线交于点B ，已知O 为坐标原点，若ΔOAB 的内切圆的半径为3-12a ，则双曲线C 的离心率为()A.233B.3+1C.433D.233或240.已知F 为抛物线4y 2=x 的焦点，点A ,B 都是抛物线上的点且位于x 轴的两侧，若OA ∙OB=15(O 为原点)，则ΔABO 和ΔAFO 的面积之和的最小值为()A.652B.52C.54D.18二、多选题41.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，过点F 且斜率大于0的直线交抛物线C 于A ，B 两点(其中A 在B 的上方)，过线段AB 的中点M 且与x 轴平行的直线依次交直线OA ，OB ，l 于点P ，Q ，N .则()A.PM =NQB.若P ，Q 是线段MN 的三等分点，则直线AB 的斜率为22C.若P ，Q 不是线段MN 的三等分点，则一定有PQ >OQD.若P ，Q 不是线段MN 的三等分点，则一定有NQ >OQ42.已知双曲线C :x 2a2-y 25=1(a >0)的左､右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，圆O :x 2+y 2=a 2+5，P 是双曲线C 与圆O 的一个交点，且tan ∠PF 2F 1=3，则下列结论中正确的有()A.双曲线C 的离心率为102B.点F 1到一条渐近线的距离为5C.△PF 2F 1的面积为55D.双曲线C 上任意一点到两条渐近线的距离之积为243.曼哈顿距离(或出租车几何)是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语.例如，在平面上，点P x 1,y 1 和点Q x 2,y 2 的曼哈顿距离为：L PQ =x 1-x 2 +y 1-y 2 .若点P x 1,y 1 为C :x 2+y 2=4上一动点，Q x 2,y 2 为直线l :kx -y -2k -4=0k ∈-12,2上一动点，设L (k )为P ，Q 两点的曼哈顿距离的最小值，则L (k )的可能取值有()A.1B.2C.3D.444.已知抛物线方程为x 2=4y ，直线l :x -2y -2=0，点P (x 0,y 0)为直线l 上一动点，过点P 作抛物线的两条切线，切点为A ､B ，则以下选项正确的是()A.当x 0=0时，直线AB 方程为y =1B.直线AB 过定点0,1C.AB 中点轨迹为抛物线D.△PAB 的面积的最小值为33245.过抛物线C ：x 2=4y 焦点F 的直线l 交C 于P ，Q 两点，O 为坐标原点，则()A.不存在直线l ，使得OP ⊥OQB.若FP=2QF ，则直线l 的斜率为24C.过P 作C 准线的垂线，垂足为M ，若PF =3，则cos ∠FPM =13D.过P ，Q 两点分别作抛物线C 的切线，则两切线交点的纵坐标为定值46.在△ABC 中，AB =4，M 为AB 的中点，且CA -CB =CM ，则下列说法中正确的是()A.动点C 的轨迹是双曲线B.动点C 的轨迹关于点M 对称C.△ABC 是钝角三角形D.△ABC 面积的最大值为2347.已知抛物线x 2=2y ，点M (t ,-1),t ∈12,1，过M 作抛物线的两条切线MA ,MB ，其中A ，B 为切点，直线AB 与y 轴交于点P ，则下列结论正确的有()A.点P 的坐标为(0,1)B.OA ⊥OBC.△MAB 的面积的最大值为33D.|PA ||PB |的取值范围是[2,2+3]48.已知抛物线E ：y 2=4x 的焦点为F ，准线l 交x 轴于点C ，直线m 过C 且交E 于不同的A ，B 两点，B 在线段AC 上，点P 为A 在l 上的射影．下列命题正确的是()A.若AB ⊥BF ，则AP =PCB.若P ，B ，F 三点共线，则AF =4C.若AB =BC ，则AF =2BFD.对于任意直线m ，都有AF +BF >2CF49.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C :y 2=4x ，过点P m ,0 m >0 作与x 轴垂直的直线，与抛物线C 交于A 、B 两点，则下列说法正确的是()A.若PA >PO ，则0<m <2B.若△ABO 为正三角形，则m =12C.若抛物线C 上存在两个不同的点E 、F (异于A 、B )，使得PE =PF =AB2，则m >4D.当AB +OPOA取得最大值时，m =150.已知椭圆C :x 216+y 29=1上有一点P ，F 1、F 2分别为左､右焦点，∠F 1PF 2=θ,△PF 1F 2的面积为S ，则下列选项正确的是()A.若θ=60°，则S =33B.若S =9，则θ=90°C.若△PF 1F 2为钝角三角形，则S ∈0,974D.椭圆C 内接矩形的周长范围是12，2051.设A ，B 是抛物线C ：y 2=4x 上两个不同的点，O 为坐标原点，若直线OA 与OB 的斜率之积为-4，则下列结论正确的有()A.AB ≥4B.OA +OB >8C.直线AB 过抛物线C 的焦点D.△OAB 面积的最小值是252.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左焦点为F ，P 为C 右支上的动点，过P 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，O 为坐标原点，当PA +PF 最小时，PA ，OF ，PF 成等差数列，则下列说法正确的是()A.若C 的虚轴长为2，则F 到C 的一条渐近线的距离为2B.C 的离心率为53C.若C 的焦距为2，则P 到C 的两条渐近线的距离之积小于14D.若C 的焦距为10，当PA +PF 最小时，则△PAF 的周长为10+21353.双扭线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系xOy 中，把到定点F 1-a ,0 ，F 2a ,0 距离之积等于a 2a >0 的点的轨迹称为双扭线C ．已知点P x 0,y 0 是双扭线C 上一点，下列说法中正确的有()A.双扭线C 关于原点O 中心对称；B.-a 2≤y 0≤a 2；C.双扭线C 上满足PF 1 =PF 2 的点P 有两个；D.PO 的最大值为2a ．54.已知抛物线y 2=2px p >0 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，以线段AB 为直径的圆交y 轴于M 、N 两点，设线段AB 的中点为P ，则()A.OA ⋅OB =-3p 24B.若AF ⋅BF =4p 2，则直线AB 的斜率为3C.若抛物线上存在一点E 2,t 到焦点F 的距离等于3，则抛物线的方程为y 2=8xD.若点F 到抛物线准线的距离为2，则sin ∠PMN 的最小值为1255.已知四面体ABCD 的所有棱长均为2，则下列结论正确的是()A.异面直线AC 与BD 所成角为60°B.点A 到平面BCD 的距离为263C.四面体ABCD 的外接球体积为6πD.动点P 在平面BCD 上，且AP 与AC 所成角为60°，则点P 的轨迹是椭圆56.在平面直角坐标系xOy 中，动点P 与两个定点F 1-3,0 和F 23,0 连线的斜率之积等于13，记点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：y =k x -2 与E 交于A ，B 两点，则()A.E 的方程为x 23-y 2=1 B.E 的离心率为3C.E 的渐近线与圆x -2 2+y 2=1相切D.满足AB =23的直线l 有2条57.在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知点P 为侧面BCC 1B 1上的一动点，则下列结论正确的是()A.若点P 总保持PA ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是一条线段；B.若点P 到点A 的距离为233，则动点P 的轨迹是一段圆弧；C.若P 到直线AD 与直线CC 1的距离相等，则动点P 的轨迹是一段抛物线；D.若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离比为1:2，则动点P 的轨迹是一段双曲线.58.已知抛物线C ：y 2=2px p >0 的焦点F 到准线的距离为2，过点F 的直线与抛物线交于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是()A.C 的准线方程为y =-1B.线段PQ 的长度最小为4C.M 的坐标可能为3,2D.OP ⋅OQ=-3恒成立59.已知ln x 1-x 1-y 1+2=0，x 2+2y 2-4-2ln2=0，记M =x 1-x 2 2+y 1-y 2 2，则A.M 的最小值为25 B.当M 最小时，x 2=125C.M 的最小值为45 D.当M 最小时，x 2=6560.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，P 为双曲线上一点，且PF 1 =2PF 2 ，若sin ∠F 1PF 2=154，则下面有关结论正确的是()A.e =6B.e =2C.b =5aD.b =3a61.已知到两定点M -2,0 ，N 2,0 距离乘积为常数16的动点P 的轨迹为C ，则()A.C 一定经过原点B.C 关于x 轴、y 轴对称C.ΔMPN 的面积的最大值为45D.C 在一个面积为64的矩形内62.已知F 1,F 2分别是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，A 为左顶点，P 为双曲线右支上一点，若PF 1 =2PF 2 且△PF 1F 2的最小内角为30°，则()A.双曲线的离心率3 B.双曲线的渐近线方程为y =±2x C.∠PAF 2=45°D.直线x +2y -2=0与双曲线有两个公共点63.过抛物线y 2=4x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则()A.以线段AB 为直径的圆与直线x =-32相离B.以线段BM 为直径的圆与y 轴相切C.当AF =2FB 时，AB =92D.AB 的最小值为464.已知抛物线C :y 2=2px p >0 的焦点为F ，直线的斜率为3且经过点F ，直线l 与抛物线C 交于点A 、B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点D ，若AF =8，则以下结论正确的是A.p =4B.DF =FAC.BD =2BFD.BF =465.已知点F 是抛物线y 2=2px p >0 的焦点，AB ,CD 是经过点F 的弦且AB ⊥CD ，AB 的斜率为k ，且k >0，C ,A 两点在x 轴上方.则下列结论中一定成立的是()A.OC ⋅OD =-34p 2 B.四边形ACBD 面积最小值为16p 2C.1AB +1CD =12pD.若AF ⋅BF =4p 2，则直线CD 的斜率为-366.过点P (3,4)作圆C ：x 2+y 2=4的两条切线，切点分别为A ，B ，则下列说法正确的是()A.|AB |=2215B.AB 所在直线的方程为3x +4y -4=0C.四边形PACB 的外接圆方程为x 2+y 2-3x -4y =0D.△PAB 的面积为42212567.已知点F 为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点，过原点O 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点，点M 是椭圆上异于P ，Q 的一点，直线MP ，MQ 分别为k 1，k 2，椭圆的离心率为e ，若PF =3QF ，∠PFQ =2π3，则()A.e =74B.e =34C.k 1k 2=-916D.k 1k 2=91668.已知点M 在椭圆C :x 2+y 24=1上，过点M 分别作斜率为-2，2的直线MP ，MQ 与直线y =2x ，y =-2x分别交于P ，Q 两点.若PQ ≤λ，则实数λ的取值可能为()A.12B.1C.2D.369.曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线x 2a 2+y 2b2=1a >0,b >0 上点P x 0,y 0 处的曲率半径公式为R =a 2b 2x 2a 4+y 20b 432，则下列说法正确的是()A.对于半径为R 的圆，其圆上任一点的曲率半径均为RB.椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上一点处的曲率半径的最大值为aC.椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上一点处的曲率半径的最小值为b 2a D.对于椭圆x 2a2+y 2=1a >1 上点12,y 0 处的曲率半径随着a 的增大而减小70.如图，已知椭圆x 24+y 22=1的左､右顶点分别是A 1,A 2，上顶点为B 1，在椭圆上任取一点C ，连结A 1C 交直线x =2于点P ，连结A 2C 交OP 于点M (O 是坐标原点)，则下列结论正确的是()A.k CA 1k CA 2为定值B.k A 1P =12k OPC.OP ⊥A 2CD.MB 1的最大值为6第II 卷(非选择题)三、填空题71.已知F 1，F 2是双曲线Γ:x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，A ，B 分别在双曲线的左右两支上，且满足AB =λF 1A (λ为常数)，点C 在x 轴上，CB =3F 2A ，BF 2 ⋅BF 1 BF 1 =BF 2 ⋅BCBC ，则双曲线Γ的离心率为_______．72.已知平面向量a 、b 、c 满足a ⋅b =0，c =1，a -c =b -c =5，则12a +12b -c的取值范围为______．73.已知平面非零向量a 1 、a 2 ，m 、n 满足a 1 -n ⎳a 2 -n ，n =1，若a i -n =a i ⋅n i =1,2 ，m -a 1⋅m -a 2 =0，则m ⋅n的最小值为______．74.设F 1,F 2分别是椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左､右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ,B 两点，|AF 1|=3|BF 1|，若cos ∠AF 2B =35，则椭圆E 的离心率为___________.75.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分別为F 1,F 2，过F 1作直线l 垂直于双曲线的一条渐近线，直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若AF 1 =λF 1B，且λ>2，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为________．76.已知椭圆C ：x 2a2+y 2=1a >1 的左，右焦点分别是F 1,F 2,P 是椭圆C 上第一象限内的一点，且△PF 1F 2的周长为4+2 3.过点P 作C 的切线l ，分别与x 轴和y 轴交于A ,B 两点，O 为原点，当点P 在C 上移动时，△AOB 面积的最小值为___________.77.已知抛物线y 2=4x 上一点P 1,2 ，且抛物线上两个动点A ,B 满足k PA ⋅k PB =6，若直线AB 过定点M ，则M 的坐标为_________.78.已知点A 在抛物线y 2=3x 上，过点A 作抛物线的切线与x 轴交于点B ，抛物线的焦点为F ，若∠BAF =30°，则A 的坐标为___________.79.已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点F 到其准线的距离为4，圆M :(x -2)2+y 2=1，过F 的直线l 与抛物线C 和圆M 从上到下依次交于A ,P ,Q ,B 四点，则|AP |+4|BQ |的最小值为_________.80.过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F 作直线AB ，DE 分别与抛物线C 交于A ，B 和D ，E ，若直线AB ，DE 的斜率分别为k 1，k 2，且满足k 21+k 22=4，则AB +DE 的最小值为___________.81.双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的渐近线为正方形OABC 的边OA 、OC 所在的直线，点F 2,0 为该双曲线的右焦点，若过点F 的直线与直线OA 、OC 的分别相交于M 、N 两点，则△OMN 内切圆半径的最大值为______．82.已知双曲线C :x 29-y 27=1，A 3,0 ，F 4,0 ，O 是坐标原点，过点F 的直线l 交双曲线C 于M ，N 两点，若直线l 上存在点P 满足AP +OP =4，则MN 的最小值是___________.83.已知A 、B 分别为抛物线C 1:y 2=8x 与圆C 2:x 2+y 2-6x -42y +16=0上的动点，抛物线的焦点为F ，P 、Q 为平面内两点，且当AF +AB 取得最小值时，点A 与点P 重合；当AF -AB 取得最大值时，点A 与点Q 重合，则△FPQ 的面积为______.84.已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 2作圆x 2+y 2=a 2的切线交双曲线左支于点M ，且∠F 1MF 2=60°，则该双曲线的渐近线方程为__________．85.已知二元函数f x ,y =x 2+y 2+x 2+y -a 2+x +a 2+y 2a >0 的最小值为2+6，则正实数a 的值为________．86.已知点M -2,-3 ，点F 2,0 为抛物线C ：y 2=2px p >0 的焦点，第一象限内的点P 在抛物线C 上，则PM PF的最大值为______．87.已知：a =b =1，a ⋅b =12，c =λa -b λ∈R ，d -a =12，则d -c 最小值为________.88.圆M 的方程为x -2-5cos θ 2+y -5sin θ 2=1θ∈R ，圆C 的方程为x -2 2+y 2=4，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE 、PF ，切点分别为E 、F ，则PE ⋅PF 的最小值为__________.89.已知椭圆x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过椭圆的右焦点F 2作一条直线l 交椭圆于点P 、Q .则△F 1PQ 内切圆面积的最大值是_________.90.如图所示，A 1、A 2是椭圆C ：x 218+y 29=1的短轴端点，点M 在椭圆上运动，且点M 不与A 1、A 2重合，点N满足NA 1⊥MA 1、NA 2⊥MA 2，则S ΔMA 1A 2S ΔNA 1A 2=____________．91.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l :y =kx +6上存在点P ，过点P 作圆O :x 2+y 2=4的切线，切点分别为A x1,y1，B x2,y2，且x1x2+y1y2=-2，则实数k的取值范围为________．92.已知ΔABC中，角A，B，C所对的边分别是a,b,c，且3a2+2b2+c2=1，则ΔABC的面积的最大值是___________．93.已知P为双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0上一点，O为坐标原点，F1，F2为曲线C左右焦点.若OP=OF2，且满足tan∠PF2F1=3，则双曲线的离心率为___.94.已知抛物线C:y2=2px(p>0)，其焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交抛物线C于点A、B(其中A在x轴上方)，A，B两点在抛物线的准线上的投影分别为M，N，若|MF|=23，|NF|=2，则|AF||BF|=____________.95.已知双曲线x2a2-y2b2=1(b>a>0)的左、右焦点分别是F1、F2，P为双曲线左支上任意一点，当2PF1PF22最大值为14a时，该双曲线的离心率的取值范围是__________.96.已知函数f x =1-sin x8+4cos x，则f x 的最大值为______.97.已知F和l为抛物线C:y2=4x的焦点和准线，点P为C上一点，过P作PQ⊥l于Q，若PQOF四点共圆(O为原点)，则该圆的半径为____________.98.在平面直角坐标系xOy中，已知MN在圆C：x-22+y2=4上运动，且MN=2 3.若直线l：kx-y+3 =0上的任意一点P都满足PM2+PN2≥14，则实数k的取值范围是__________.99.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(b>a>0)的左、右焦点为F1，F2，P2,2为双曲线C上一点，且PF1PF2=3，若线段PF1与双曲线C交于另一点A，则ΔPAF2的面积为______.100.直线l：x=my+2经过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F，与抛物线相交于A，B两点，过原点的直线经过弦AB的中点D，并且与抛物线交于点E(异于原点)，则OEOD的取值范围是______.。

圆锥曲线经典题型的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为 M ，且MF 与双曲线的实轴垂直，则双 曲线C 的离心率为（）•选择题（共 10小题） 1 .直线 y=x - 1 与双曲线 x 2 =1 （b > 0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（ A . （1,工）) B . r ：：,+x) C. (1, +xD . (1, ：)U( ：!,242M ・丫卩< 0,则yo 的取值范围是（2.已知M （x o , y o ）是双曲线C:[ 个焦点，若 A . =1上的一点，F 1, F 2是C 的左、右两V3 .2 2、-（a >0, b >0）的左、右焦点，若双曲线右 a 2 /B.3.设F 1, F 2分别是双曲线 支上存在一点P ,使得：-一…卜-|,其中0为坐标原点，且 --I-',则该双曲线的离心率为（）A . ，B. in C.D .22 2 4.过双曲线 ———=1 （a >0, b >0）的右焦点F 作直线y=— x 的垂线，垂足 为A ,交双曲线左支于B 点，若日=2匚，则该双曲线的离心率为（ ） A .」B. 2 C. ! D.. 5.若双曲线 —=1 （a >0, b >0）的渐近线与圆（x - 2） 2+y 2=2相交，则此 双曲线的离心率的取值范围是（ ） A . （2, +x ） B. （1, 2）C. （1,：）D. ( :■:, +x)6.已知双曲线C :b>Q ）的右焦点为F ,以F 为圆心和双曲线a bA.丄B•口c. :: D. 222 27. 设点P是双曲线——=1 （a>0, b>0）上的一点，Fi、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF丄PR,且|PF i|=2|PR|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A., 丄B. , ..C. y=2xD. y=4x2 28. 已知双曲线务壬二1的渐近线与圆x2+ （y-2）2=1相交，贝够双曲线的离心a2b2率的取值范围是（）A. （:, +x）B. （1,「;）C. （2. +x）D. （1，2）9. 如果双曲线经过点P （2,庾），且它的一条渐近线方程为y=x,那么该双曲线的方程是（）10. 已知F是双曲线C: X2-—=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直,点A的坐标是（1, 3）,则A APF的面积为（）二.填空题（共2小题）211 •过双曲线/七二1的左焦点F1作一条I交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ=8, F2是双曲线的右焦点，则△ PRQ的周长是_______ .2 212.设F1, F2分别是双曲线三；■=1 （巴〉Q, 的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P,使：卜…—-丨，O为坐标原点，且|F-；--, 则该双曲线的离心率为____________________________ ..解答题（共4小题）13•已知点F i 、F 2为双曲线C : x 2-£=1的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的 直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，/ MF i F 2=30° (1) 求双曲线C 的方程；(2) 过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为 P i 、 P 2,求■卜？匸的值.点到其右焦点的最小距离为.■；-1.(I )求双曲线r 的方程;(U)过点P ( 1，1)是否存在直线I ，使直线I 与双曲线r 交于R、T 两点，且点P 是线段RT 的中点？若直线I 存在，请求直线I 的方程；若不存在，说明理由. 16.已知双曲线C :务-乡b>0)的离心率e 占，且b 施. 电2 b 2(I )求双曲线C 的方程；(U)若P 为双曲线C 上一点，双曲线C 的左右焦点分别为E F ,且 ?=0,求厶PEF 的面积. 一•选择题(共10小题)1 •直线y 二X - 1与双曲线X 2-岭=1 ( b > 0)有两个不同的交点，则此双曲线离 心率的范围是()A . (1, •二) B. (.X, +x) C. (1, +x)D . (1, 「)U( :■:, +x )2【解答】解：•••直线y=x - 1与双曲线X 2-匚=1 (b >0)有两个不同的交点，2 2工 - y 2ab=1 （a >0，b >0）和曲线 C 2:点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的一二倍. (I )求曲线C1的方程；(U )设点A 是曲线C1的右支上一点，F 为右焦点，连AF 交曲线C 的右支于点 /2 x= 22-Ha>o s b>0)的离心率e Vs ，双曲线r 上任意B ,作BC 垂直于定直线I :15•已知双曲线r ，垂足为C,求证：直线AC 恒过x 轴上疋点14.已知曲线G:=1有相同的焦••• 1> b> 0 或b > 1.e —= • | '> 1 且e M ::.2. 已知M (x o, y o)是双曲线C:—丿=1上的一点，F1, F2是C的左、右两个焦点，若H・丫卩.< 0,则y o的取值范围是( )【解答】解：由题意，皿MF ；=(-頂-X0,- y°) ?(岳-X0,- y) =X02-3+y02=3y。

全国名校2024届高三年级专项（圆锥曲线小题）练习卷 一、单选题4条二、多选题PF上的切点为的内切圆在边1)的左右焦点，O为坐标原点，以FO 在第二象限），射线1F A与双曲线的另一条渐近，则双曲线的离心率为．参考答案离心率为5的双曲线2C以A，∵,C D 分别是线段AB 的两个三等分点，∴()1,0C x -，10,2y D ⎛⎫⎪⎝⎭y易知△PEH ≅△2PEF ，即112OE F H a ==， 故可得cos cos F OE FOE ∠=-∠【名师点评】关键点名师点评：解决本题关键是利用双曲线的定义以及三角形内切圆的相关性质，结合图形详细分析得出相应关系，运算整理17．BCD【详细分析】由C在准线上，OC=点纵坐标，由此得直线AB方程，从而求得由双曲线方程和圆D 方程可知，3,4,5a b c ===， 所以左焦点为0()5,D -，右焦点2(5,0)F ；对于A ，由于P 在双曲线左支上，根据焦半径公式可知对于B ，由过点M 的直线与双曲线有一个公共点可知，直线的斜率一定存在，设直线斜率为k ，则直线l 的方程为2(1)y k x -=-，所以||3PF PF PF ''+==由余弦定理可得2(2)|c PF =11.23．AC【详细分析】对于A ，利用椭圆与=y kx 得到8AF BF +=；对于B ，利用A 中的结论及基本不等式.对于B ，()1418AF BF AF BF ⎛+=+ ⎝419BF AF ⎛⎫25．32【详细分析】由抛物线与圆的对称性可得由抛物线的定义求得2 d=26．4【详细分析】先由AB AD ⊥，CB CD ⊥判断出表示出圆的方程，将()0,b 代入椭圆及圆的方程，可求出【答案详解】由题意得()0,A b ，(0,C -【名师点评】关键点名师点评：由此得到A，B，C，27．328．2【详细分析】由题干条件得到1F 1OB OF c ==，由焦点到渐近线距离及勾股定理得到故答案为：2。

..圆锥曲线练习一、选择题(本大题共13小题，共65.0分)1.若曲线表示椭圆，则k的取值范围是（）A.k＞1B.k＜-1C.-1＜k＜1D.-1＜k＜0或0＜k＜12.方程表示椭圆的必要不充分条件是（）A.m∈（-1，2）B.m∈（-4，2）C.m∈（-4，-1）∪（-1，2）D.m∈（-1，+∞）3.已知椭圆：+=1，若椭圆的焦距为2，则k为（）A.1或3B.1C.3D.64.已知椭圆的焦点为（-1，0）和（1，0），点P（2，0）在椭圆上，则椭圆的标准方程为（）A. B. C. D.5.平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，那么( )A.甲是乙成立的充分不必要条件B.甲是乙成立的必要不充分条件C.甲是乙成立的充要条件D.甲是乙成立的非充分非必要条件6.“a＞0，b＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的（）A.充要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既不充分也不必要条件7.方程+=10，化简的结果是（）A.+=1B.+=1C.+=1D.+=18.设椭圆的左焦点为F，P为椭圆上一点，其横坐标为，则|PF|=（）A. B. C. D.9.若点P到点F（4，0）的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则P点的轨迹方程是（）A.y2=-16xB.y2=-32xC.y2=16xD.y2=32x10.抛物线y=ax2（a＜0）的准线方程是（）A.y =-B.y =-C.y =D.y =11.设抛物线y2=4x上一点P到直线x=-3的距离为5，则点P到该抛物线焦点的距离是（）A.3B.4C.6D.812.已知点P是抛物线x =y2上的一个动点，则点P到点A（0，2）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为（）A.2B.C.-1D.+113.若直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A，B两个不同的点，且AB的中点的横坐标为2，则k=（）A.2B.-1C.2或-1D.1±二、填空题(本大题共2小题，共10.0分)14.在平面直角坐标系x O y中，已知△ABC顶点A（-4，0）和C（4，0），顶点B 在椭圆上，则= ______ ．15.已知椭圆，焦点在y轴上，若焦距等于4，则实数k=____________．三、解答题(本大题共6小题，共72.0分)16.已知三点P （，-）、A（-2，0）、B（2，0）．求以A、B为焦点且过点P的椭圆的标准方程．17.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为4．椭圆与直线y=x+2相交于A、B两点．（1）求椭圆的方程；（2）求弦长|AB|高中数学试卷第2页，共10页..18.设焦点在y轴上的双曲线渐近线方程为y=±x，且焦距为4，已知点A（1，）（1）求双曲线的标准方程；（2）已知点A（1，），过点A的直线L交双曲线于M，N两点，点A为线段MN的中点，求直线L方程．19.已知抛物线的标准方程是y2=6x，（1）求它的焦点坐标和准线方程，（2）直线L过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°，且与抛物线的交点为A、B，求AB 的长度．20.已知椭圆的离心率，直线y=bx+2与圆x2+y2=2相切．（1）求椭圆的方程；（2）已知定点E（1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆相交于C，D两点，试判断是否存在实数k，使得以CD为直径的圆过定点E？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．21.已知椭圆C：4x2+y2=1及直线L：y=x+m．（1）当直线L和椭圆C有公共点时，求实数m的取值范围；（2）当直线L被椭圆C截得的弦最长时，求直线L所在的直线方程．答案和解析【答案】1.D2.B3.A4.B5.B6.C7.C8.D9.C10.B11.A12.C13.A14.15.816.解：（1）2a =PA+PB=2，所以a =，又c=2，所以b2=a2-c2=6则以A、B为焦点且过点P的椭圆的标准方程为：+=1．17.解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为4，∴，解得a=4，b=2，∴椭圆方程为=1．（2）联立，得5x2+16x=0，解得，，∴A（0，2），B（-，-），∴|AB|==．18.解：（1）设双曲线的标准方程为（a＞0，b＞0），则∵双曲线渐近线方程为y=±x，且焦距为4，∴，c=2∵c2=a2+b2∴a=1，b =∴双曲线的标准方程为；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），代入双曲线方程可得，两式相减，结合点A（1，）为线段MN 的中点，可得∴=∴直线L 方程为，即4x-6y-1=0．高中数学试卷第4页，共10页..19.解：（1）抛物线的标准方程是y2=6x，焦点在x轴上，开口向右，2p=6，∴=∴焦点为F（，0），准线方程：x=-，（2）∵直线L过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°，∴直线L的方程为y=x-，代入抛物线y2=6x化简得x2-9x+=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=9，所以|AB|=x1+x2+p=9+3=12．故所求的弦长为12．20.解：（1）因为直线l：y=bx+2与圆x2+y2=2相切，∴，∴b=1，∵椭圆的离心率，∴，∴a2=3，∴所求椭圆的方程是．（2）直线y=kx+2代入椭圆方程，消去y可得：（1+3k2）x2+12kx+9=0∴△=36k2-36＞0，∴k＞1或k＜-1，设C（x1，y1），D（x2，y2），则有，，若以CD为直径的圆过点E，则EC⊥ED，∵，，∴（x1-1）（x2-1）+y1y2=0∴（1+k2）x1x2+（2k-1）（x1+x2）+5=0∴，解得，所以存在实数使得以CD为直径的圆过定点E．21.解：（1）由方程组，消去y，整理得5x2+2mx+m2-1=0．（2分）∴△=4m2-20（m2-1）=20-16m2（4分）因为直线和椭圆有公共点的条件是△≥0，即20-16m2≥0，解之得-．（5分）（2）设直线L和椭圆C相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得，（8分）∴弦长|AB|===，-，∴当m=0时，|AB|取得最大值，此时直线L方程为y=x．（10分）【解析】1. 解：∵曲线表示椭圆，∴，解得-1＜k＜1，且k≠0．故选：D．曲线表示椭圆，可得，解出即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2. 解：方程表示椭圆的充要分条件是，即m∈（-4，-1）∪（-1，2）．由题意可得，所求的m的范围包含集合（-4，-1）∪（-1，2），故选：B．由条件根据椭圆的标准方程，求得方程表示椭圆的充要条件所对应的m的范围，则由题意可得所求的m的范围包含所求得的m范围，结合所给的选项，得出结论．本题主要考查椭圆的标准方程，充分条件、必要条件，要条件的定义，属于基础题．3. 解：①椭圆+=1，中a2=2，b2=k，则c =，∴2c =2=2，解得k=1．高中数学试卷第6页，共10页..②椭圆+=1，中a2=k，b2=2，则c=，∴2c=2=2，解得k=3．综上所述，k的值是1或3．故选：A．利用椭圆的简单性质直接求解．本题考查椭圆的简单性质，考查对椭圆的标准方程中各字母的几何意义，属于简单题．4. 解：设椭圆方程为=1（a＞b＞0），由题意可得c=1，a=2，b=，即有椭圆方程为+=1．故选：B．设椭圆方程为=1（a＞b＞0），由题意可得c=1，a=2，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程．本题考查椭圆的方程的求法，注意运用待定系数法，考查椭圆的焦点的运用，属于基础题．5. 解：命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆∵当一个动点到两个顶点距离之和等于定值时，再加上这个和大于两个定点之间的距离，可以得到动点的轨迹是椭圆，没有加上的条件不一定推出，而点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆，一定能够推出|PA|+|PB|是定值，∴甲是乙成立的必要不充分条件故选B．6. 解：a＞0，b＞0，方程ax2+by2=1不一定表示椭圆，如a=b=1；反之，若方程ax2+by2=1表示椭圆，则a＞0，b＞0．∴“a＞0，b＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的必要分充分条件．故选：C．直接利用必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法结合椭圆标准方程得答案．本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查了椭圆的标准方程，是基础题．7. 解：由+=10，可得点（x，y）到M（0，-3）、N（0，3）的距离之和正好等于10，再结合椭圆的定义可得点（x，y）的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，且2a=10、c=3，∴a=5，b=4，故要求的椭圆的方程为+=1，故选：C．有条件利用椭圆的定义、标准方程，以及简单性质，求得椭圆的标准方程．本题主要考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．8. 解：椭圆的左焦点为F（-，0），右焦点为（，0），∵P 为椭圆上一点，其横坐标为，∴P 到右焦点的距离为∵椭圆的长轴长为4∴P到左焦点的距离|PF|=4-=故选D．确定椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义，即可求得P到左焦点的距离．本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查椭圆的定义，属于中档题．9. 解：∵点P到点（4，0）的距离比它到直线x+5=0的距离少1，∴将直线x+5=0右移1个单位，得直线x+4=0，即x=-4，可得点P到直线x=-4的距离等于它到点（4，0）的距离．根据抛物线的定义，可得点P的轨迹是以点（4，0）为焦点，以直线x=-4为准线的抛物线．设抛物线方程为y2=2px，可得=4，得2p=16，∴抛物线的标准方程为y2=16x，即为P点的轨迹方程．故选：C根据题意，点P到直线x=-4的距离等于它到点（4，0）的距离．由抛物线的定义与标准方程，不难得到P点的轨迹方程．本题给出动点P到定直线的距离比到定点的距离大1，求点P的轨迹方程，着重考查了抛物线的定义与标准方程和动点轨迹求法等知识，属于基础题．10. 解：抛物线y=ax2（a＜0）可化为，准线方程为．故选B．抛物线y=ax2（a＜0）化为标准方程，即可求出抛物线的准线方程．本题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，抛物线方程化为标准方程是关键．11. 解：抛物线y2=4x的准线为x=-1，∵点P到直线x=-3的距离为5，∴点p到准线x=-1的距离是5-2=3，根据抛物线的定义可知，点P到该抛物线焦点的距离是3，故选A．先根据抛物线的方程求得抛物线的准线方程，根据点P到直线x=-3的距离求得点到准线的距离，进而利用抛物线的定义可知点到准线的距离与点到焦点的距离相等，从而求得答案．本题主要考查了抛物线的定义．充分利用了抛物线上的点到准线的距离与点到焦点的距高中数学试卷第8页，共10页..离相等这一特性．12. 解：抛物线x=y2，可得：y2=4x，抛物线的焦点坐标（1，0）．依题点P到点A（0，2）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值，就是P到（0，2）与P到该抛物线准线的距离的和减去1．由抛物线的定义，可得则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线焦点坐标的距离之和减1，可得：-1=．故选：C．先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义转化求解即可．本小题主要考查抛物线的定义解题，考查了抛物线的应用，考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想．13. 解：联立直线y=kx-2与抛物线y2=8x，消去y，可得k2x2-（4k+8）x+4=0，（k≠0），判别式（4k+8）2-16k2＞0，解得k＞-1．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，由AB中点的横坐标为2，即有=4，解得k=2或-1（舍去），故选：A．联立直线y=kx-2与抛物线y2=8x，消去y，可得x的方程，由判别式大于0，运用韦达定理和中点坐标公式，计算即可求得k=2．本题考查抛物线的方程的运用，联立直线和抛物线方程，消去未知数，运用韦达定理和中点坐标公式，注意判别式大于0，属于中档题．14. 解：利用椭圆定义得a+c=2×5=10b=2×4=8由正弦定理得=故答案为先利用椭圆的定义求得a+c，进而由正弦定理把原式转换成边的问题，进而求得答案．本题主要考查了椭圆的定义和正弦定理的应用．考查了学生对椭圆的定义的灵活运用．15. 解：将椭圆的方程转化为标准形式为，显然k-2＞10-k，即k＞6，，解得k=8故答案为：8．16.利用椭圆定义，求出2a，得出a，可求得椭圆的标准方程．本题考查了椭圆方程的求法，是基础题，解题时要注意椭圆的简单性质的合理运用．17.（1）由椭圆的离心率为，短轴长为4，列出方程组，能求出椭圆方程．（2）联立，得5x2+16x=0，由此能求出弦长|AB|．本题考查椭圆方程的求法，考查弦长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．18.（1）设出双曲线的标准方程，利用双曲线渐近线方程为y=±x，且焦距为4，求出几何量，即可求双曲线的标准方程；（2）利用点差法，求出直线的斜率，即可求直线L方程．本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．19.（1）抛物线的标准方程是y2=6x，焦点在x轴上，开口向右，2p=6，即可求出抛物线的焦点坐标和准线方程，（2）先根据题意给出直线l的方程，代入抛物线，求出两交点的横坐标的和，然后利用焦半径公式求解即可．本题考查了直线与抛物线的位置关系中的弦长问题，因为是过焦点的弦长问题，所以利用了焦半径公式．属于基础题．20.（1）利用直线l：y=bx+2与圆x2+y2=2相切，求出b，利用椭圆的离心率求出a，得到椭圆方程．（2）直线y=kx+2代入椭圆方程，消去y可得：（1+3k2）x2+12kx+9=0，设C（x1，y1），D（x2，y2），则利用韦达定理结合EC⊥ED，求解k ，说明存在实数使得以CD为直径的圆过定点E．本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，考查存在性问题的处理方法，设而不求的应用，考查计算能力．21.（1）由方程组，得5x2+2mx+m2-1=0，由此利用根的判别式能求出实数m的取值范围．（2）设直线L和椭圆C相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理求出弦长|AB|=，由此能求出当m=0时，|AB|取得最大值，此时直线L方程为y=x．本题考查实数的取值范围的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式的合理运用．高中数学试卷第10页，共10页。