完全平方公式导学案(第一课时)

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校15.2.2《完全平方公式》导学案(1)【学习目标】1、会推导完全平方公式，掌握完全平方公式并能灵活运用公式进行简单的运算。

2、会用几何拼图方式验证完全平方公式。

3、培养数学语言表达能力和运算能力。

【学习重点】完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释、灵活运用。

【学习难点】完全平方公式的结构特点、灵活运用。

【学习过程】一、知识回顾：1、填空：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的 ，即(a +b )(a -b )= ，这个公式叫做 公式.2、用平方差公式计算：(1) (-m+5n)(-m-5n) (2) (3x -1)(3x +1)(3) (y +3x )(3x -y ) (4) (-2+ab )(2+ab )二、自主探究：1、利用多项式乘多项式法则，计算下列各式，你又能发现什么规律？ (1)()()()=++=+1112p p p __________________________. (2)()____________22=+m ＝_______________________. (3)()()()=--=-1112p p p _____ _______________. (4)()____________22=-m =_________________________. (5)()____________2=+b a =_________________________ . (6)()____________2=-b a =________________________.2、上述六个算式有什么特点？结果又有什么特点？三、合作交流：1、根据大家作出的结果，你能猜想()2b a +和()2b a -的结果是多少吗？2()a b +＝ ，2()a b -＝2、为了验证大家猜想的结果，我们再计算：2()a b +＝ = =2()a b -＝ = =3、图形验证：P154图15.2－2，图15.2－34、得出结论：(1)用文字叙述： （2）用字母表述：()____________2=+b a ()____________2=-b a 这两个公式叫做 公式。

第1课时 完全平方公式1.理解完全平方公式，掌握两个公式的结构特征.2.熟练运用公式进行计算.阅读教材P109-110“探究、思考及例3、例4”，掌握完全平方公式，独立完成下列问题：知识准备根据条件列式：a 、b 两数和的平方可以表示为(a+b)2；a 、b 两数平方的和可以表示为a 2+b 2.审题要仔细，特别注意类似“的”、“比”、“占”等这些关键字的位置.(1)计算下列各式：(a+1)2=(a+1)(a+1)=a 2+2a+1；(a-1)2=(a-1)(a-1)=a 2-2a+1；(m-3)2=(m-3)(m-3)=m 2-6m+9.(2)公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2；(a-b)2=a 2-2ab+b 2.语言叙述：两数的和(差)的平方等于这两个数的平方和加上(减去)这两个数乘积的两倍.(3)用图中的字母表示出图中白色和黑色部分面积的和.(a+b)2=a 2+2ab +b 2.自学反馈 (1)计算：①(4m+n)2;②(y-21)2;③(b-a)2. 解：①16m 2+8mn+n 2；②y 2-y+41；③b 2-2ab+a 2.分清a 、b ，选择适当的完全平方公式进行计算.(2)(1-3x )2=1-6x+9x 2.完全平方公式的反用，关键要确定a 、b.阅读教材P110“思考”，独立完成下列问题：填空：(-2)2=4;22=4;(a)2=(-a)2.互为相反数的两个数(式)的同偶次幂相等. 自学反馈计算：(-a-b)2.解：a 2+2ab+b 2.(-a-b)2实质就是求(a+b)2.活动1 学生独立完成例1 若(x-5)2=x 2+kx+25，则k 取是多少？解：依题意，得x 2-10x+25=x 2+kx+25.∴k=-10.把左边的展开后对比各项.例2 计算：(1)(a+b+c)2;(2)(1-2x+y)(1+2x+y).解：(1)原式=［(a+b)+c ］2=(a+b)2+2(a+b)c+c 2=a 2+2ab+b 2+2ac+2bc+c 2.(2)原式=［(1+y)-2x ］［(1+y)+2x ］=(1+y)2-4x 2=1+2y+y 2-4x 2.运用整体思想将三项式转化为二项式，再用完全平方公式或平方差公式求解.如第(2)题中符号相同的项可以结合成一个整体.例3 计算：9982.解：原式=(1000-2)2=1000000-4000+4=996004.可将该式变形为(1000-2)2，再运用完全平方公式可简便运算.活动2 跟踪训练1.运用完全平方公式计算：(1)(x+6)2; (2)（43x-32y ）2; (3)(-2x+5)2; (4)(a+b-c)2.解：(1)x 2+12x+36；(2)169x 2-xy+94y 2；(3)25-20x+4x 2；(4)a 2+b 2+c 2+2ab-2ac-2bc.确定是用两数和的完全平方式还是两数差的完全平方式.2.计算：(1)10012;(2)(-m-2n)2.解：(1)1002001；(2)m 2+4mn+4n 2.活动3 课堂小结1.利用完全平方公式计算某些特殊多项式相乘，速度快，准确率高，但必须注意完全平方公式的结构特征.2.利用完全平方公式，可得到a+b ，ab ，a-b ，a 2+b 2有下列重要关系： (1)a 2+b 2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;(2)(a+b)2-(a-b)2=4ab.教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.。

云南师范大学附属丘北中学驾驭式自主高效课堂导学案年级：七年级学生姓名科目：数学制作人：何亚芳教导处审批课题:1.6 完全平方公式（第一课时）一、学习目标(1分钟）1．会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算。

2.了解完全平方公式的几何背景意义。

二．自学指导与检测展示（20分钟）自学指导自学检测与课堂展示请同学们认真阅读“想一想”前面的内容并模仿完成右边的练习。

模仿计算下列各题（1）()25+x（2）()234nm+归纳: （a + b）2 =请同学们用自己的语言叙述这一公式：。

请同学们用两种不同的方法计算课本23页想一想中图1-7的面积。

方法一：方法二：阅读“议一议’解决右框里的问题。

小组讨论：两位同学是怎样计算（a - b）2 的？看谁计算得又对又快？认真看第24页的例1，注意解题的方法方式及解题格式，又快又正确地完成右边各题。

模仿例题计算（1）()23yx+(2)()221x+-（3）()25++nm（4）2109三．三讲环节（5分钟）让学生默写两个完全平方公式，并要求会灵活运用。

四．巩固诊断A 层：1.填空题(1)a 2-4ab+( )＝(a-2b)2 (2)(a+b)2-( )＝(a-b)22.选择题(1)如果x 2+kx+81是一个完全平方式，那么k 的值是( ).A.9B.-9C.9或-9D.18或-183、计算下列各题（1）222⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x （2）2203（3）()232++b a （4）()2ab +-B 层: （1）已知5=+b a ，3=ab ，求：22b a +.（2）已知两个正方形面积之和为229，边长之和为5，求以两正方形边长为直角边的直角三角形的面积。

五、堂清、日清记录堂清 日清今日事今日毕 日积月累成大器。

6 完全平方公式第1课时学习目标：1.知道完全平方公式,并会运用完全平方公式进行简单的计算.2.知道完全平方公式的几何背景,形成数形结合意识.3.经历探索完全平方公式的过程,养成视察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力.4.重点:完全平方公式的推导及初步应用.【预习导学——不看不讲】问题探究一:完全平方公式一、阅读教材本课时“想一想”上面的内容,完成下面的问题.1.计算下列各式,并说出每一步运算的理由.(1)(p+1)2;(2)(m+2)2;(3)(p-1)2;(4)(m-2)2.解:(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=p2+p+p+1(多项式的乘法法则)=p2+2p+1(合并同类项);(2)(m+2)2=(m+2)(m+2)=m2+2m+2m+4(多项式的乘法法则)=m2+4m+4(合并同类项);(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)=p2-p-p+1(多项式的乘法法则)=p2-2p+1(合并同类项);(4)(m-2)2=(m-2)(m-2)=m2-2m-2m+4(多项式的乘法法则)=m2-4m+4(合并同类项).2.你能发现上题中的运算情势与结果有什么规律吗?左边都是两数和(差)的平方,运算结果都是二次三项式,且为两数的平方和再加(或减)两数乘积的2倍.3.你能根据平方差公式的发现过程把你得到的规律也用公式来表示吗?(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.二、阅读教材本课时“想一想”,解决其中的问题.整体看面积:(a+b)2,分开看:ab+b2+a2+ab=a2+2ab+b2,所以(a+b)2=a2+2ab+b2.5.对于(a-b)2,你能用多项式乘法法则计算吗?(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2.【归纳总结】(a+b)2=a2+2ab+b2,即:两个数和的平方等于这两个数的平方和,再加上这两个数乘积的2倍.(a-b)2=a2-2ab+b2,即:两个数差的平方等于这两个数的平方和,再减去这两个数乘积的2倍.以上两个公式称为完全平方公式.【预习自测】直接利用完全平方公式说出结果:(1)(x+y)2;(2)(x-y)2.(1)x22;(2)x22问题探究二:完全平方公式的应用阅读教材本课时“例1”,完成下面的问题.1.第(1)题运用了哪个公式?公式中的a、b分别是什么?第(2)、(3)题呢?(1)运用公式(a-b)2=a2-2ab+b2,2x看作公式中的a,3看作公式中的b;(2)运用了公式(a+b)2=a2+2ab+b2,4x看作公式中的a,5y看作公式中的b;(3)公式(a-b)2=a2-2ab+b2,mn看作公式中的a,a 看作公式中的b.2.如果把第(3)题改成(m+n-a)2,你会应用完全平方公式做吗?(m+n-a)2=[(m+n)-a]2=(m+n)2-2(m+n)a+a2=m2+2mn+n2-2am-2an+a2.【归纳总结】完全平方公式中的a,b,可以代表数,也可以(填“也可以”或“不可以”)代表一个整式.【讨论】(a+b)2与(-a-b)2相等吗?(a-b)2与(b-a)2相等吗?(a-b)2与a2-b2相等吗?为什么?(-a-b)2=[-(a+b)]2=(a+b)2;(b-a)2=[-(a-b)]2=(a-b)2;(a-b)2=a2-2ab+b2≠a2-b2.【预习自测】计算:(1)(a-2b)2;(2)(-2x-3y)2.(1)(a-2b)2=(a)2-2·(a)·(2b)+(2b)2=a2-2ab+4b2;(2)(-2x-3y)2=[-(2x+3y)]2=(2x+3y)2=(2x)2+2·(2x)·(3y)+(3y)2=4x2+12xy+9y2.【合作探究——不议不讲】互动探究1:下列多项式乘法中可以用完全平方公式计算的有(B)①(-a+b)(a-b);②(x+2)(2+x);③(x+y)(y-x);④(x-2)(x+1).A.1个B.2个C.3个D.4个互动探究2:下列计算是否正确?如不正确如何改正?(1)(a+b)2=a2+b2;(2)(m-n)2=m2-n2;(3)(a+2b)2=a2+2ab+2b2;(4)(-x-y)2=x2-2xy+y2.解:(1)错,改正:(a+b)2=a2+2a b+b2;(2)错,改正:(m-n)2=m2-2mn+n2;(3)错,改正:(a+2b)2=a2+2a·(2b)+(2b)2=a2+4ab+4b2;(4)错:改正:(-x-y)2=[-(x+y)]2=(x+y)2=x2+2xy+y2,或(-x-y)2=(-x)2-2(-x)y+y2=x2+2xy+y2.互动探究3:若4x2+kx+1是一个数的平方,则k=±4.[变式演练]多项式4x2+1加上一个单项式后,使它成为一个整式的平方,那么加上的单项式可以是4x或-4x或4x4(填上一个你认为正确的即可).【方法归纳交流】能化成一个数(或式子)的平方的三项式,变形后应具备的情势: a2+2ab+b2或a2-2ab+b2.互动探究4:计算:(1)(x+2y)2-x2;(2)(x+y+z)2.解:(1)原式=x2+4xy+4y2-x2=4xy+4y2.(2)原式=[(x+y)+z]2=(x+y)2+2(x+y)·z+z2=x2+2xy+y2+2xz+2yz+z2.*互动探究5:已知a+b=5,ab=-6,求a2+b2的值.解:因为(a+b)2=a2+2ab+b2,所以a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×(-6)=25+12=37.[变式演练1]已知a-b=5,ab=-6,求a2+b2的值.解:因为(a-b)2=a2-2ab+b2,所以a2+b2=(a-b)2+2ab=52+2×(-6)=25-12=13.[变式演练2]已知a-b=5,a2+b2=13,求a2b2的值.解:因为(a-b)2=a2-2ab+b2,所以ab===-6.a2b2=(ab)2=(-6)2=36.【方法归纳交流】完全平方公式的两个重要变形:(1)a2+b2=(a+b)2 -2ab;(2)a2+b2=(a-b)2+2ab.。

【关键字】精品完全平方公式导学案【学习目标】：1．掌握完全平方公式的推导及其运用．2．理解完全平方公式的几何解释．【学习重点】：完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用．【学习难点】：理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算．【学习过程】：一.温故知新：1.平方差公式：（a+b）(a-b)= ；2.运用平方差公式计算：(1)= ；（2）= .二.合作探究，发现新知：1.计算下列各式,你能发现什么规律?(1)(p+1)²=(p+1)(p+1) = _________ ；(2)(m+2)²= _________ ；(3)(p-1)² = (p-1)(p-1)=________ ；(4)(m-2)²= __________ .(5)(a+b)²= , (a-b)²= .2.由上归纳得出：完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²，(a-b)²=a²﹣2ab +b².语言叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的，加（或减）它们的.3.完全平方公式的特点：（1）积为二次三项式；（2）其中两项为两数的平方和；（3）另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同.首平方，尾平方，积的2倍在中央（4）公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.三.自学例题：【课本P154例3】运用完全平方公式计算：（1）（﹢n）2 ；（2）（y－）2解：（1）原式= （2）原式== =（3）（－a－b）2 ；（4）（b－a）2（3）原式= （4）原式== =运用完全平方公式计算：（1）1022 ；（2）992解：（1）原式= （2）原式== == == =四.追踪训练：1.下面各式的计算结果是否正确？如果不正确，应当怎样改正？（1）(a+b)²=a²+b²（ ）；(3)(x -y)²=x²+2xy +y²（ ） (2)(x -y)²=x²-y²( )；(4)(x+y)²=x²+xy +y²（ ）2、下列各式计算正确的是 ( )A 、(a+b)²=a²+b²B 、(-b)²=²-2ab+b²C 、(a+2b)²=a²+4b²D 、(a+3)²=a²++93.运用完全平方公式计算:(1) (x+6)²； (2) (y-5)²；(3) (-2x+5)²； (4)(-1)²；(5)()²； (6) 103².4.（宁波·中考）若x+y=3,xy=1,则5.（福州·中考）化简（x+1)²+2(1-x)-x ²= . 6、已知x +y =7,xy =10,则(x -y )²= . 7、先化简，再求值：y (x +y )+(x -y )²-x ²-2y ²，其中x = ，y =3. 五.课堂小结：通过本课时的学习，需要我们掌握：完全平方公式: (a+b )²=a²+2ab+b²， (a-b )²=a²﹣2ab +b².两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！13。

新北师大版七年级数学下册第一章《完全平方公式》导学案第课时课题名称
时间第周星期课型新授课主备课人
目标1．会运用完全平方公式进行一些数的简便运算。

2．综合运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算。

重点能运用完全平方公式进行一些数的简便运算，及综合运用平方差和完全平方公
式进行整式的简便运算。

二次备课
难点灵活运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算。

自主学习1.计算：（用简便方法）
（1）2
102（2）2
197
2.阅读课本P27“做一做”，回答下列问题：
（1）第一天有个男孩去了老人家，老人给每个孩子发块糖，所以一共发了块糖。

（2）第二天有个女孩去了老人家，老人给每个孩子发块糖，所以一共发了块糖。

（3）第三天有___个孩子去了老人家，老人给每个孩子发块糖，所以一共发了块糖。

（4）这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数那个多？多多少？为什么？
问题生成记录：
精讲互动1.交流自主学习结果。

2.课本P26例2（引导学生分析并板演）；
3．计算:
(1)2
2)
(
)
(y
x
y
x-
-
+ (2))
3
1(2
)
3
1(2a
a-
-
-。

人教版义务教育课程标准实验教科书八年级上册14.2.2完全平方公式第1课时导学案一、学习目标1、会推导完全平方公式，能运用公式进行简单的运算。

2、了解公式的几何解释，并能运用公式进行计算。

二、预习内容自学课本109页至111页，完成下列问题：探究：利用多项式乘多项式的方法计算下列各式，你能发现什么规律？(p+1)2 =(p+1)(p+1) = _________; (m+2)2= _________;(p-1)2 = (p-1)(p-1)=________; (m-2)2 = __________.观察上述算式的规律，快速计算（a+b）2=(a-b) 2=三、探究学习。

根据图形完成下列问题：如图：A、B两图均为正方形，__________（用代数式表示）（1）图Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的面积分别为__________。

由此可以得到等式：__________。

（2）图B中，正方形的面积为______Ⅲ的面积为______________，Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ的面积和为____________，用B、Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ的面积表示Ⅲ的面积_________________。

（3）归纳完全平方公式：（a+b）2=(a-b) 2=两数和（或差）的平方，等于它们的（），加上（或减去）它们的（）。

四、巩固测评【基础训练】【1】找一找，下列各式哪些可用完全平方公式计算：(1)(3x+2y)(2y+3x) (2)(2x+y)(x+2y) (3)(2a-3b)(3b-2a)(4)(2a-3b)(-3b-2a) (5)(-2m+n)(2m+n) (6)(2m+n)(-2m-n)【2】、计算（1）(2x ＋3)2 （2）(4x －5y)2（3）2)32(--x（4）2)4(y x +-（5） 2102（6） 9925、【综合训练】（1）（a+b ）2与（-a-b ）2相等吗？说明理由？（2）（a-b ）2与（b-a ）2相等吗？说明理由？（3）（a-b ）2与a 2-b 2相等吗？说明理由？（4）（a+b ）2与a 2+b 2相等吗？说明理由？五、学习心得：。

14.2.2完全平方公式(1)【学习目标】1、理解完全平方公式的结构特征；2、能利用多项式与多项式的乘法以及幂的意义，推导完全平方公式，能运用完全平方公式进行简单的计算学习重点：完全平方公式的推导和应用．学习重点：完全平方公式的推导和应用．课前预习1、平方差公式：两个数的与这两个数的积，等于它们的．即：（a+b）（a-b）=．公式结构为：（□+△）（□-△）=2、请同学们应用已有的知识完成下面的几道题：计算：（1）（2x－3）（2x－3）（2）（a+1）2 （3）（x+2）2（4）(a - 1) 2 (5)（m - 2）2(6)（2x－4）2【活动1】: 观察思考：通过计算以上各式，认真观察，你一定能发现其中的规律？⑴要计算的式子都是形式，结果都是项，⑵原式第一项和结果第一项有什么关系？⑶原式第二项与结果最后一项是什么关系？⑷结果中间一项与原式两项的关系是什么？猜测：（a+b）2=（a－b）2 =验证：请同学们利用多项式乘法以及幂的意义进行计算．⑴（a+b）2⑵（a－b）2归纳：完全平方公式：（a+b）2=（a－b）2=语言叙述：【活动2】：其实我们还可以从几何的角度去解析完全平方公式，你能通过课本P109思考中的拼图游戏说明完全平方公式吗？完全平方公式的结构特征：公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方．而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．两个乘法公式在应用时，（1）•要了解公式的结构和特征．记住每一个公式左右两边的形式特征，记准指数和系数的符号；注意项包括它前面的符号。

（2）掌握公式的几何意义；（3）弄清公式的变化形式；（4）注意公式在应用中的条件；（5）应灵活地应用公式来解题．当堂检测例1运用完全平方公式计算：（1）（4m+n）2(2) (y－12）2 （3）（b－a）2（4）（－x－y）2；练习 1 课本P 110练习1、2例2 运用完全平方公式计算：(1) 1022 （2）992练习2 计算：⑴ 2012 ⑵ 972思考：2)(b a +与2)(b a --相等吗？2)(b a -与2)(a b -相等吗？注意：① 如果两个数是相同的符号，则结果中的每一项 的；②如果两个数具有不同的符号，•则它们乘积的2倍这一项就是 ．当堂检测完全平方公式：（a +b ）2= （a －b ）2=语言叙述： 1、填空：⑴（x －13）2=x 2+_______+19． ⑵ （0.2x +_______）2=______+0.4x +________． ⑶（12x －2y ）2=14x 2+（______）+4y 2 ⑷ （___ _）2=a 2－6ab +9b 2 ⑸ x 2+4x +4=（_____ ___）2 ⑹（x －y ）（x +y ）（x 2－y 2）=______ ___．2、用完全平方公式计算：（1）（2x +3）2； （2）（2x －3）2； （3）（3－2x ）2；（4）（－2x －3）2； （5）（－ab +13）2； （6）（7ab +2）2、课后反思课后训练1、计算： 50.012 = 49.92 =2、x 2+k x +4是一个完全平方式，则k= 。