完全平方公式导学案

完全平方公式1【学习目标】1．完全平方公式的推导及其应用．2．完全平方公式的几何解释．【重难点】1. 完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用2. 理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算【自主学案】一、自学指导1.复习回顾：平方差公式，自学课本2.计算下列各式。

(p +1)2=(p +1)(p +1)=_________________(m+2)2=（p －1）2=(p －1)(p －1)=_______ (m-2)2= __： 你发现了什么规律:_____________________________________________请你利用这个规律填空(a+b)2=_________________ (a-b)2=________________________3.证明（1）代数证明，（2）几何证明4. (a+b)2= a 2 +2ab+b 2 (a-b)2= a 2 - 2ab+b 2两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

首平方，尾平方，首尾两倍中间放.二、自学检测1.例：用完全平方公式计算。

(1)（4m +n ）2 (3)(x +6）2 (4)(y －5）2 (2)（x 43－y 32）2 (5)（2x +5）2练习：2.下列各式的计算错在哪里？应当怎样改正？（1）（a+b）2 =a2+b2 (2)（a－b）2 =a2－b2三、合作探究1.如果a2+ma+9是一个完全平方式，那么m=2.例2、运用乘法公式计算:(1)(a + 2b– 1 ) 2 ;(2)(2x +y +z ) (2x–y–z )（3）99。

992 ( 4 )10223.已知（a+b)2=7,(a-b)2=11,求以下各式的值（1）a2+b2（2）ab（3）a4+b4【学后反思】通过本节课的学习，你有什么收获？。

14.2.2完全平方公式（2）学习目标知识与技能掌握添括号法则的推导，会综合运用添括号法则、平方差公式、完全平方公式解决问题；过程与方法经历添括号法则的探究，学习逆向思维；经历合作交流，学习根据数学式子的结构特点，适当恒等变形和灵活运用公式；情感态度与价值观感悟知识间的相互联系，体会知识的灵活运用，从中获得成功的体验。

学习重点：添括号法则的推导，知识的综合运用学习难点：添括号在具体问题中的灵活应用一、复习提问：1.填空：(1)平方差公式(a+b)(a-b)= ；(2)完全平方公式(a+b)2= ，(a-b)2= .（3）去括号法则：。

二、探究新知1、去括号：(a + b)-c-(a-b)+c③ = a+(b-c)(4)a-(b+c)= ④ = a-(b+c)2、通过观察①----- ④四个等式我们发现等式的左边括号，等式的右边括号，也就是添了括号，那么你能类比去括号法则总结出添括号法则吗？添括号法则：三、班级展示1、你能用符号语言表达添括号的法则吗？试试看？添括号与去括号有何关系？2、填空：(1)a+b+c=( )+c； (2)a-b+c=( )+c；(3)-a+b-c=-( )-c； (4)-a-b+c=-( )+c；(5)a+b-c=a+( )； (6)a-b+c=a-( )；(7)a-b-c=a-( )； (8)a+b+c=a-( ).思考：你能用什么办法检验你的添括号运算是否正确？3、用乘法公式计算(1) (a-b-c)2 (2)（a+2b-3c）(a-2b+3c)（3）()()2222a b a b+-（4）（x－y）2－（y+2x）（y－2x）四、当堂检测：1、判断下列运算是否正确,若有错，请改正。

（1）22()22c ca b a b--=--（2）32(32)m n a b m n a b-+-=++-（3）232(232)x y x y-+=-+-（4）245(2)(45)a b c a b c--+=--+2、如果2436x kx++是一个完全平方公式，则k的值是多少？3、计算(1) (2x+y+z)(2x-y-z) （2） (x+1)(x-3)-(x+2)2+(x+2)(x-2)4、一个正方形的一边增加3cm ，与其相邻的一边减少3cm ，所得到的长方形的面积与这个正方形的每条边减少1cm 所得到的正方形的面积相等，求得到的长方形的长和宽？五、能力提升：1、想一想，下列式子你能运用乘法公式计算吗？试试看？()()11++-+-+z y x z y x2、已知7a b +=- ， 12ab =，求22a b +和 2()a b -的值。

新人教版八年级数学上册 14.4.2《完全平方公式》导学案导学目标1.会推导完全平方公式，并运用公式进行简单的计算。

2.了解完全平方公式的几何背景。

重点掌握公式的结构特征和字母表示的广泛含义，正确运用公式进行计算。

难点在应用公式时要注意结构特点，符号和项数，不要漏项，培养学生严禁的学习态度。

教学过程教学环节教学任务教师活动学生活动预见性问题及对策复习请举例说说整式乘法中的完全平方公式提出问题，布置任务。

倾听学生的回答，做必要的纠正。

学生自主完成学习任务，组内交流，组长倾听本组同学的回答，及时补充并纠正预见性问题：对策：教师强化性质,精讲技巧。

研习问题一：阅读教材169页的探究问题，并回答下列问题：1.把上面整式乘法中的完全平方公式等号左右调换位置式子是否还成立？2.根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？3.把下列各式分解因式．（1）a2+2ab+b2 （2）a2-2ab+b24.针对性练习：下列各式是不是完全平方式？说出谁是公式中的“a”和“b”（1）a2-4a+4 （2）x2+4x+4y2（3）4a2+2ab+14b2 （4）a2-ab+b2（5）x2-6x-9 （6）a2+a+0.255、分解因式：（1）16x2+24x+9 （2）-x2+4xy-4y2解：布置研习问题1、2的学习任务。

巡视学生独立完成后，小组自觉合作，深入小组之中，并重点关注学困生。

关注组长是否起到作用。

板书待定系数法的基本步骤，精讲问题2变式。

强调书写规范.先独立完成学案为题1、2及变式问题。

在组长的组织下，以组为单位进行交流，达成共识组长纠正本组同学出现的问题，及时进行指导。

组内交流、讨论，统一答案，准备汇报。

预见性问题：完全平方公式的推导和运用公式进行计算不熟练.对策：教师可给出提示,并多加练习.反 馈一、知识梳理： 二、知识应用：做一做，你一定行 1．把下列各式分解因式： ①a 2+10a+25 ②m 2-12mn+36n 2 ③xy 3-2x 2y 2+x 3y ④（x 2+4y 2）2-16x 2y 22．已知x=-19，y=12，求代数式4x 2+12xy+9y 2的值． 试一试，你能行 1.选择题（1）已知y 2+my+16是完全平方式，则m 的值是（ ） A ．8 B ．4 C ．±8D ．±4（2）下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ ） A ．x 2-6x-9 B ．a 2-16a+32 C ．x 2-2xy+4y 2 D ．4a 2-4a+1（3）下列各式属于正确分解因式的是 （ ）A ．1+4x 2=（1+2x ）2B ．6a-9-a 2=-（a-3）2C ．1+4m-4m 2=（1-2m ）2D ．x 2+xy+y 2=（x+y ）2（4）把x 4-2x 2y 2+y 4分解因式，结果是 （ ）A ．（x-y ）4B ．（x 2-y 2）4C ．[（x+y ）（x-y ）]2D ．（x+y ）2（x-y ）2 2.填空题（5）已知9x 2-6xy+k 是完全平方式，则k 的值是________。

完全平方公式姓名学习目标：1、探索推导完全平方公式并熟记完全平方公式2、熟练运用完全平方公式进行计算学习重点：对完全平方公式熟记及应用 学习难点：对公式特征的理解 学习过程：22222(1) (1)(1)(1)____________________(2) (1)(1)(1)____________________(3) (4)(_____)(_____)_________________(4) (4)(_____)(_____)_________________(5) ()______________a a a a a a m m a b +=++=-=--=+==-==+=2____________________(6) ()__________________________________a b -=两个数的和（或差）的平方，等于它们的__________，加上（或减去）它们的积的____倍。

即： 22()__________________ ()__________________a b a b +=-= 2、利用数字对完全平方公式进行简单的验证(仿照下面例子举例验证)例如：3、你能根据下面两幅图片中的面积说明完全平方公式吗？____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________4、下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？(1) 222()a b a b +=+ （2）222()a b a b -=-（3）222(2)22a b a ab b +=++ （4）()222a b a ab b +=++三、巩固提高例题1：运用完全平方公式计算221(1) (y+) (2) (4m-n)22222111()=2()2221_____4y y y y ++⨯⨯+=++解：(1)22222(2)(4)(4)_________168m n m n m mn n -=-⨯⨯+=-+练习1： 222(1) (2) (2) (43) (3) (21)a b x y m +-- ()221t --例题2：运用完全平方公式计算22(1) 102 (2) 9922222222(1) 102(1002) (2) 99(1001)100210022 =100_________110000_____ 4 =100002001______ =+=-=+⨯⨯+-⨯⨯+=++-+=解： =______练习2、22(1) 1001 (2) 59练：1、2213(1)5(1)(1)2(1)2a a a a a +-+-+-=，其中 2、2234x y xy x y +==-+已知 ，，求代数式 的值。

【导学目标】1.了解完全平方公式的概念及其应用场景；2.学习完全平方公式的推导过程；3.掌握完全平方公式的运用方法。

【导学步骤】一、引入新知：举例说明完全平方公式的应用场景。

老师向学生提问：“我们在求一个数的平方根时，经常需要进行运算，你们有没有遇到过类似的情况呢？”学生回忆并举例，如开平方、解方程等。

然后，老师指出这些情况下都可以运用完全平方公式进行求解。

二、概念讲解：完全平方公式的定义及推导过程。

老师向学生介绍完全平方公式的概念：“完全平方公式是指把两个相同的两项相乘能得到一个完全平方三项。

在代数式中，完全平方公式可用于解开包含未知数的方程。

”然后，老师以求解一元二次方程为例，逐步讲解完全平方公式的推导过程：设一元二次方程为x²+bx+c=0，令x²+bx=(x+a)²，其中a为一个待求实数。

解：根据等式(x+a)²=x²+2ax+a²，将(x+a)²代入方程可得：x²+bx+c=(x+a)²=(x+a)²-a²=x²+2ax+a²-a²=x²+2ax根据等式系数相等的原则可得：b=2a，即a=b/2带入方程可得：x²+bx+c=x²+b/2x+(b/2)²-(b/2)²=(x+b/2)²-(b/2)²+c=(x+b/2)²-b²/4+c令k=c-b²/4，化简可得：x²+bx+c=(x+b/2)²-k三、引导学生运用完全平方公式解决问题。

1.基础练习：列方程并解之。

例1：将(x-3)²+4=0化为二次方程，并求解之。

解：根据完全平方公式可得：(x-3)²+4=x²-6x+9+4=x²-6x+13令x²-6x+13=0，即为所求方程。

公式法-运用完全平方公式分解因式学习目标：(1)明确完全平方式的概念及特征；(2)会运用完全平方公式进行因式分解。

一、例题:判断下列式子是否是完全平方式。

①x 2+y 2②x 2-2xy-y 2③④归纳完全平方式的特点：触类旁通1、判断下列式子是否是完全平方式，并说明理由。

①x 2-6x+9 ②4y 2+4y-1③4122++x x ④229124x xy y -+二、例题：把下列式子分解因式。

①16x 2+24x+9 ②3ax 2＋6axy ＋3ay 2③-x 2+4xy-4y 2④(m+n)2-6(m+n)+9触类旁通2、将下列多项式分解因式。

①x 2-12xy+9y 2②y 3-4xy 2+4x 2y③-2xy-x 2-y 2④9(x-y)2-12(x-y) +4222-O +∆O ∆222x xy y -+-三、过关测试1、对下列式子因式分解并填空：①a 2+6a +9 = ________________②-s 2-t 2+2st=_____________③(m+n)2+4m(m+n)+4m 2=___________2、对下列式子因式分解。

①–x 2+2xy –y 2②x 2-6xyz+9y 2z 2 ③(x+y)2+6(x+y)+93、用简便方法计算20052-4010×2003+20032的值。

四、提升训练：(1)若x 2+kx+4是完全平方式，则k=。

(2)已知a+b=2,ab=2,则32232121ab b a b a ++的值是。

(3)对a 4-2a 2b 2+b 4进行因式分解。

(4)已知x+y=7，xy=10，求下列各式的值．（1）x 2+y 2；(2)(x －y)25、利用简便方法计算1)．39.82－2×39.8×49.8＋49.82 2)．152＋15×10＋52。

完全平方公式导学案教学设计导学目标：1.了解完全平方公式的定义和使用；2.掌握完全平方公式的推导过程；3.能够灵活运用完全平方公式解决实际问题。

导学过程：Step 1: 激发学生的学习兴趣导入完全平方公式的概念，引导学生思考以下问题：-你经常听到“完全平方”这个词吗？-完全平方与平方有什么区别？-你能给出一个完全平方数的例子吗？Step 2: 引入完全平方公式1.以一个具体的例子来介绍完全平方公式的定义和用途。

例如，将一个长度为x的正方形，将其中的一个边长增加2个单位。

那么，新的正方形的面积是多少？让学生列出他们的计算步骤。

2. 提示学生将计算步骤总结出来，引出完全平方公式：(x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2、解释公式中每个部分的含义。

Step 3: 推导完全平方公式1.通过几个具体的例子，引导学生思考完全平方公式的推导过程。

例如，将(x+a)(x+a)展开。

让学生一起进行乘法运算，然后观察结果。

2.让学生发现，展开后的结果是x的平方项、x的一次项和常数项的和。

当a为整数时，这三个项的系数恰好符合完全平方公式。

3.通过类似的推导过程，引导学生总结完全平方公式的一般形式。

Step 4: 实际问题求解1.给学生一个实际问题，让他们运用完全平方公式求解。

例如，一个正方形的面积是25平方米，其中一个边长比另一个边长大2米。

求解这个正方形的边长。

2.提示学生可以通过设置一个未知数x来表示正方形的边长，并利用完全平方公式求解x的值。

3.让学生尝试求解该问题，并将解答过程展示给全班。

Step 5: 拓展思考1.给学生一个更复杂的问题，让他们运用完全平方公式求解。

例如，一个长方形的面积是36平方米，其中一条边比另一条边长5米。

求解这个长方形的边长。

2.引导学生将该问题转化为一个完全平方公式的问题，并在解答过程中涉及到如何解一元二次方程。

3.鼓励学生以小组形式讨论解题思路，然后展示他们的解答过程。

1完全平方公式导学案主备人：姜显辉 组长：姜显辉 学习目标：1、会推导完全平方公式。

2、掌握完全平方公式并能灵活运用公式进行简单运算、化简.学习重难点：完全平方公式的运用。

学习过程：一、 完全平方公式：（a+b ）2=（a-b ）2= 语言叙述：二、应用 计算：（1）2)2(b a + （2）2)43(y x -（3）2)2(a xy - （4）2)4(y x +-（5） (－2m+5)2 （6）2)21(-a三、课堂练习 填空题：（易）1、=+2b a ）（_________________。

2、=2b -a ）（_________________。

3、=+22y x 31）（_________________。

4、如果92++ma a 是一个完全平方式，那么m=_________。

（中）5、=+22y x 5-）（_________________。

6、=--243）（n m _________________。

27、=+2a1a ）（_________________。

8、若7,12,a b ab +==则22a ab b -+= ． 选择题：（中）1、下列各式中，与 21a ）（+ 相等的是（ ）。

A 、1a 2-B 、12+aC 、122+-a aD 、122++a a2、下列多项式中，不能写成完全平方形式的是（ ）。

A 、16a 92++aB 、44x 2--xC 、9124t 2+-tD 、1412++t t3、下列各式中，不一定成立的是（ ）。

A 、2222b)(a b ab a ++=+ B 、2222a)-(b b ab a +-= C 、22a b)-b)(a (a b -=+ D 、222b)-(a b a -=4、化简1)1)(mn -(mn -1)-(mn 2+，得（ ）。

A 、2-2mn B 、22mn -+ C 、2 D 、2-37、运算结果是24221m n mn -+的是（ ）A 、22(1)mn -B 、22(1)m n -C 、22(1)mn --D 、22(1)mn +三、解答题：1、c)-c)(-b (b +2、221)-(x3、21014、2995、))((y)-(x 2y x y x -+- （中）6、xy y x -+-22)43(4y)-(3x （中）7、设2226100x x y y -+++=，求x 、y 的值． （难）8、已知 x + y = 8，xy = 12，求 x 2 + y 2 的值（难）。

完全平方公式导学案学习目标：1、会推导完全平方公式，掌握完全平方公式并能灵活运用公式进行简单运算.2、会用几何拼图方式验证平方差公式教学过程：一、知识回顾：请同学们应用已有的知识完成下面的几道题：（1）2)32(-x =91249664)32)(32(22+-=+--=--x x x x x x x （2）2)32(+x = ;（3）2)2(y x += ;（4）2)2(y x -= ;（5）2)5(+a = ;（6）2)5(-a = ;二、探究新知：活动1：观察上面6道题中等式左边的形式和最终计算出的结果，发现其中的规律：1、左边都是 形式，右边都是 次 项式，2、左边第一项和右边第一项有什么关系？3、左边第二项与右边最后一项是什么关系？4、右边中间一项与左边两项的关系是什么？归纳：完全平方公式：（a+b ）2= （a -b ）2=语言叙述：三、新知应用（参考P41例1格式步骤．．．．，完成下列各题） 计算：（1）2)2(b a + （2）2)43(y x -（3）2)2(a xy - （4）2)4(y x +-（5）2)21(-a （6）2)313(b ab -四、拼图游戏活动2：其实我们还可以从几何的角度去解析完全平方公式，你能通过下面的拼图游戏说明完全平方公式吗？问题1你能根据图1谈一谈（a + b ）2=a 2 + 2ab+b 2吗？问题2你能根据图2,谈一谈（a －b ）2=a 2－2ab+b 2吗？五、课堂练习（1）2)32(+x = ;（2）2)32(--x = ;（3）2)32(-x = ;（4）2)32(+-x = ;如果两个数是相同的符号，则结果中的每一项的符号 的，如果两个数具有不同的符号，•则 ；。

《15.2.2 完全平方公式》导学案一、探究11．口算：（1）____)21(2=+____2122=+ 对吗？22221)21(+=+ （2）____)42(2=+____4222=+ 对吗？2224242(+=+ （3）____)53(2=+____5322=+ 对吗？22253)53(+=+2．问题1：有一个边长为a 米的正方形广场，现要扩建该广场，要求将其边长增加b米，试问扩建后的正方形广场的面积有多大？（1）如图：四块面积分别是______、______、______、______（2）我们可以从两种方式计算总面积：① 看成是边长为______的大正方形，S=__________② 看成是四块小面积之和，S=___________________得出结论：__________________________________________从代数的角度看： (a+b)2 = ( )( ) = _____________= _____________二、探究21．口算：（1）____)21(2=- ____2122=- 对吗？22221)21(-=-（2）____)42(2=- ____4222=- 对吗？22242)42(-=- 从代数的角度看：(a-b)2 = ( )( ) = _____________= _____________得出结论：__________________________________________ 三、小结归纳：(a+b)2 =_____________ (a-b)2 =_____________ 两个公式的异同：（1）左边是_____________的平方（2） 右边都含有是_____________，不同的是__________ 四、随堂练习练习一：填空。

（1）___________)1(2=-a （2）___________)2(2=+a（3）___________)2(2=-a （4）___________)3(2=+x（5）___________)3(2=-x （6）__________)4(2=+b练习二 计算： （1）2)12(-x （2）2)32(y x +小探究：（1）___________)(2=+b a （2）___________)(2=-b a ___________)(2=--b a ___________)(2=+-b a 总结得出规律：_________________________________________________练习三 计算： （1）2)2(y x -- （2）2)2(y x +-练习四：下面计算是否正确？如果不正确，请改正。