理论力学--第2章 平面任意力系讲解

的最大值为q，梁长l，求合力作用线的位置。
解: 在梁上距A端为 x 处的载荷集度为 q(x) = qx/l。在此处
取的一微段dx，梁在微段d x 受的力近似为 F(x) = qxdx/l。
梁由 x=0 到 x=l 的分布载荷合力为
F
0l q(x)dx
ql 2
A
q(x)dx
q F
B
设合力作用线到A端的 距离为 xC ，
n
Mo = M1+M2+…+Mn= MO(Fi)
(3—2)
FR´——主矢
i 1
Mo ——主矩
平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一
个力偶。这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O。
这个力偶的矩等于该力系的主矩。
3
F2
F1
y
F2´
F1´
M2 j
M1
y
FR
MO ´
j
o Fn
o

x
Mn
Fy F1sin45 F2
3
F1
1 1
100
Oi
1 2
10
200
1
F3
161.6 N 5
FR′ 437.6i 161.6 j 9
M O M O (F ) F1 0.1.sin45
y
F3 0.2
1 0.08F 21.44 N m 5
1F
F
´
得力系向点O的简化结果如图（b); FR ′ ( Fx )2 ( Fy )2
Mo = 0。
（1）平面任意力系简化为一个力偶的情形
FR´= 0，Mo ≠ 0
原力系合成为合力偶，合力偶矩为
n
MO MO(Fi) i 1
（2）平面任意力系简化为一个合力的情形
(a) FR´≠ 0，Mo = 0
原力系简化为一个力， FR´ 就是原力系的合力,合力作用
线通过简化中心O。
6
(b) FR´ ≠ 0，Mo ≠ 0
F
Bd
F´
F
Bd
F´
BM
A
F´
A
其中
F = F´ =´－F´´
M = Fd = MB ( F )
1
2 .平面任意力系向作用面内一点简化 • 主矢和主矩
F2
F1
o Fn
F2´
M2
o
Mn
Fn´
F1´
M1
FR
´
M
o
任意点O 为简化中心
F1´ = F1 ， F2´ = F2 ，… ，Fn´ = Fn
Mi = Mo ( Fi ) (i = 1，2，…，n)
n
n
MO MO(Fi) (xiFyi - yiFxi)
4
i 1
i 1
一物体的一端完全固定在另一物体上，这种约 束称为固定端或插入端支座
MA FA A
A
FAy FAx
MA
5
3. 平面任意力系的简化结果分析
简化结果可能有以下几种情况，即：（1）FR´= 0，Mo ≠ 0； （2）FR´≠ 0，Mo = 0；（3）FR´≠ 0，Mo ≠ 0；（4）FR´= 0，
7
平面任意力系的合力矩定理
Mo FR´
FR´
FR
FR
o
o´
o
o´
d
o
o´
d
FR´ ´
(a)
(b)
(c)
由图(b), 合力 FR 对点O的矩为 MO ( FR )=FRd = MO
由式（3—2）
MO
n
M
O
(Fi
)
i1
n
得 M O (FR ) M O (Fi )
i 1
合力矩定理：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩
§ 2–4 平面任意力系向平面内一点简化
作用在物体上的 力的作用线任意分布在同一平面内（或 近似分布在同一平面内）的力系 ；当物体及所受的力都对称 于同一平面时，也为平面任意力系问题 。
1. 力的平移定理: 可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须
同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F 对新 作用点B的矩。
FR' Fi Fxi Fy j
MO MO (Fi )
3. 平面任意力系的简化结果
（1）FR´= 0，Mo ≠ 0, （2）FR´ ≠ 0，Mo = 0, （3）FR´≠ 0，Mo ≠ 0, （4）FR´= 0，Mo = 0,
合力偶，合力偶矩，MO MO (Fi )
合力，合力作用线通过简化中心O。
合力，合力作用线到简化中心O的距离为
平衡。
d MO FR'
12
平面任意力系等效为两个简单力系：平面汇交力系 和平面力偶系。
2
F2
F1
F2´
F1´
M2
M1
FR
MO ´
o
o
o
Mn
Fn
Fn´
平面汇交力系可合成为作用线通过n点O的一个力FR´
FR´ = F1´+ F2´+…+ Fn´ = Fi i 1
(3—1)
平面力偶系可合成为一个力偶，这个力偶的矩Mo等于各附加力 偶矩的代数和，又等于原来各力对点O的矩的代数和。
x
dx
xc
l
根据合力矩定理
F xc 0l q(x)xdx
xC
1 F
0l
qx 2 l
dx
ql 2 3
ql 2 l 23
11
小结
1. 力的平移定理:平移一力的同时必须附加一个力偶，附加力偶 的矩等于原来的力 对新作用点的矩。
2. 平面任意力系向平面内任选一点O简化:可得一个力和一个力 偶。这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O。这个力 偶的矩等于该力系的主矩。
Fn´
oi
x
取坐标系Oxy，i，j为沿x，y轴的单位矢量，则力系主矢
的解析表达式为
FR' = FRx'+FRy' = ∑Fxi + ∑Fyj
主矢FR´的大小和方向余弦为
FR' = (∑Fx)2 + (∑F y)2
cos(FR', i) Fx FR '
cos(FR', j) Fy FR '
主矩的解析表达式
Mo FR´
o
o´
FR´
o
d
FR
o´
o
d
FR
o´
FR´ ´
FR´ = FR =－FR´´
d MO FR '
原力系简化为一个力，合力矢等于主矢；合力的作用线在
点O的哪一侧，根据主矢和主矩的方向确定；合力作用线到点O 的距离为d。
（3）平面任意力系平衡的情形
FR´= 0，Mo = 0
平面任意力系平衡。
等于力系中各力对同一点的矩的代数和。 8
例10 已知F1=150N，F2=200N ， F3=300N ， F= F´ =200N 。
求力系向点O的简化结果，并求力系合力的大小及其与原点O的
距离。
解： Fx F1cos45 F2 1 10
F3 2 437.6 N 5
y
F
1F
´
3
F2
j
F3
x
3
F2
j
F3
x
(437.6)2 (161.6)2
F1
1 1
100
Oi
1 2
466.5N
200
MO 21.44N m
y
合力及其与原点O的距离如图(c) 。 MO
x
y
d
x
O
FR FR′ 466.5N FR´
FR
O
d MO 45.96mm
(b)
(c)
FR
10
例11 水平梁AB受按三角形分布的载荷作用，如图示。载荷