河南郑州高三数学第二次质量预测答案(理)人教版

2020年河南省郑州市高中毕业年级第二次质量预测理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A． B．C． D．2.若复数,则复数在复平面内对应的点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.命题“”的否定为( )A．B．C．D．4.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率等于( )A．B． C.D．5.运行如图所示的程序框图，则输出的为( )A．1009 B．-1008 C.1007 D．-10096.已知的定义域为，数列满足,且是递增数列，则的取值范围是( )A． B． C. D．7.已知平面向量满足,若,则的最小值为( ) A．-2 B．- C. -1 D．08.《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撒侨任务的故事.撒侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务必须排在前三位，且任务必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有( ) A．240种 B．188种 C.156种 D．120种9.已知函数,若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数的图象( )A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度10.函数在区间上的大致图象为( )A． B．C. D．11.如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且过点，圆,过圆心的直线与抛物线和圆分别交于,则的最小值为( )A．23 B．42 C.12 D．5212.已知,,若存在,使得,则称函数与互为“度零点函数”.若与互为“1度零点函数”，则实数的取值范围为( )A． B． C. D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知二项式的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中的系数为．14.已知实数满足条件则的最大值为．15.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中一些数学用语可见，譬如“憋臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥.某“憋臑”的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为1）如图所示，已知几何体高为，则该几何体外接球的表面积为．16.已知椭圆的右焦点为,且离心率为，的三个顶点都在椭圆上，设三条边的中点分别为，且三条边所在直线的斜率分别为，且均不为0.为坐标原点，若直线的斜率之和为1.则．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.内接于半径为的圆，分别是的对边，且.(Ⅰ)求；(Ⅱ)若是边上的中线，，求的面积.18.光伏发电是将光能直接转变为电能的一种技术，具有资源的充足性及潜在的经济性等优点，在长期的能源战略中具有重要地位，2015年起，国家能源局、国务院扶贫办联合在6省的30个县开展光伏扶贫试点，在某县居民中随机抽取50户，统计其年用量得到以下统计表.以样本的频率作为概率.(Ⅰ)在该县居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为，求的数学期望；(Ⅱ)在总结试点经验的基础上，将村级光伏电站稳定为光伏扶贫的主推方式.已知该县某自然村有居民300户.若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度的价格进行收购.经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接受益多少元？19.如图所示四棱锥平面为线段上的一点，且,连接并延长交于.(Ⅰ)若为的中点，求证：平面平面；(Ⅱ)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.20.已知圆,点为平面内一动点，以线段为直径的圆内切于圆,设动点的轨迹为曲线.(Ⅰ)求曲线的方程；(Ⅱ)是曲线上的动点，且直线经过定点，问在轴上是否存在定点，使得，若存在，请求出定点，若不存在，请说明理由.21.已知函数.(Ⅰ)求曲线在处的切线方程；(Ⅱ)求证：当时，.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点的极坐标为，直线的极坐标方程为，且过点，曲线的参数方程为(为参数).(Ⅰ)求曲线上的点到直线的距离的最大值；(Ⅱ)过点与直线平行的直线与曲线交于两点，求的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.(Ⅰ)若不等式对恒成立，求实数的取值范围；(Ⅱ)当时，函数的最小值为,求实数的值.2020年高中毕业年级第二次质量预测理科数学参考答案一、选择题1-5: BCCBD 6-10: DBDCA 11、12：AB二、填空题13.4860 14. 15. 16.三、解答题17.解：（Ⅰ）由正弦定理得，可化为即.(Ⅱ)以为邻边作平行四边形，在中，.在中，由余弦定理得.即：,解得，.故1sin 2ABC S bc A ∆== 18.解：(Ⅰ)记在抽取的50户居民中随机抽取1户，其年用电量不超过600度为事件，则.由已知可得从该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为，服从二项分布，即，故.(Ⅱ)设该县山区居民户年均用电量为，由抽样可得7815137()1003005007009005205050505050E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=则该自然村年均用电量约156 000度.又该村所装发电机组年预计发电量为300000度，故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约144 000度，能为该村创造直接收益元.19. 解：（Ⅰ）在中，，故,23BCD CBE CEB ππ∠=∠=∠=，因为，∴，从而有.3FED BEC AEB π∠=∠=∠=∴FED FEA ∠=∠，故． 又，．又平面，故平面，，CF EF F ⋂=故平面.又AD ⊂平面，∴平面平面.（Ⅱ）以点为坐标原点建立如图所示的坐标系，则(000)(200)(30)(00)(003).A B C D P ，，，，，，，，，，故(10BC =uu u r，(33CP =-，）uu r，(30CD =-uu u r． 设平面的法向量111(1)y z =，，n ，则11110,330,z ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩解得112.3y z ⎧=⎪⎨⎪=⎩即12(1).3=，n 设平面的法向量222(1)y z =，，n，则22230330z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，，解得222y z ⎧⎪⎨=⎪⎩，即2(12)=n ．从而平面与平面的夹角的余弦值为12124||3cos ||||θ===n n n n20.解：（Ⅰ）设的中点为，切点为，连，则，取关于轴的对称点，连，故．所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆．其中，曲线方程为.(Ⅱ)假设存在满足题意的定点Q ，设(0,),Q m 设直线的方程为，，得22(34)4110.k x kx ++-=由直线作直线故121222411,,3434k x x x x k k --+=⋅=++ 由得MQO NQO ∠=∠,得直线得MQ 与NQ 斜率和为零.故121212121212121112()()2220,kx m kx m kx x m x x y m y m x x x x x x +-+-+-+--+=+== 1212222111144(6)2()()2()0.23423434k k m kx x m x x k m k k k ---+-+=⋅+-⋅==+++存在定点，当斜率不存在时定点也符合题意．21.（Ⅰ）'()2xf x e x =-， 由题设得'(1)2f e =-，(1)1f e =-，()f x 在1x =处的切线方程为(2) 1.y e x =-+(Ⅱ)x e x f x 2)('-=，2)(''-=xe xf ，∴)('x f 在)2ln ,0(上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增，所以02ln 22)2(ln ')('>-=≥f x f ，所以)(x f 在]1,0[上单调递增，所以max ()(1)1,[0,1]f x f e x ==-∈.)(x f 过点)1,1(-e ，且)(x f y =在1=x 处的切线方程为1)2(+-=x e y ，故可猜测：当1,0≠>x x 时，)(x f 的图象恒在切线1)2(+-=x e y 的上方.下证：当0>x 时，,1)2()(+-≥x e x f设()()(2)1,0g x f x e x x =--->，则2)(''),2(2)('-=---=xxe x g e x e x g ，)('x g 在)2ln ,0(上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增，又'(0)30,'(1)0,0ln21g e g =->=<<，∴0)2(ln '<g ，所以，存在0(0,12)x n ∈，使得0'()0g x =，所以，当),1(),0(0+∞∈ x x 时，0)('>x g ；当)1,(0x x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在),0(0x 上单调递增，在)1,(0x 上单调递减，在),1(+∞上单调递增， 又0)1()0(==g g ，∴01)2()(2≥----=x e x e x g x ，当且仅当1=x 时取等号，故0,1)2(>≥--+x x xx e e x . 又ln 1x x ≥+，即1ln 1)2(+≥--+x xx e e x ，当1=x 时，等号成立. 22.解：(Ⅰ)由直线过点A则易得直线的直角坐标方程为20x y +-=根据点到直线的距离方程可得曲线1C 上的点到直线l 的距离(Ⅱ)由（1）知直线的倾斜角为34π， 则直线的参数方程为31cos ,431si (n ,4)x t y t f x ππ⎧⎪⎪=⎨=-+=+⎪⎪⎩（t 为参数）. 又易知曲线的普通方程为22143x y +=. 把直线的参数方程代入曲线t 23.解：(Ⅰ)()12f x x +-≥可化为||112ax x -+-≥．||1122a a x x -+-≥-∴11,2a -≥解得：0a ≤或4a ≥．∴实数a 的取值范围为(,0][4,).-∞+∞ （Ⅱ）函数()21f x x a x =-+-的零点为2a 和1，当2a <时知 1.2a <31,(),2()1,(1),231,(1),a x a x a f x x a x x a x ⎧-++<⎪⎪⎪∴=-+≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩如图可知()f x 在(,)2a-∞单调递减，在[,)2a +∞单调递增， min ()()11,22a a f x f a ∴==-+=-解得：4 2.3a =<4.3a ∴=。

高考资源网（ ） 您身边的高考专家
版权所有@高考资源网 - 1 - 2020年高中毕业年级第二次质量预测
理科数学试题卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合{|135}A x a x a =+≤≤-，{|322}B x x =<<，且A
B A =，则实数a 的取值范围是（ ）
A. (,9]-∞
B. (,9)-∞
C. [2,9]
D. (2,9) 【答案】B
【解析】
【分析】
由A B A =得到A B ⊆，建立不等式，即可求出a 的取值范围．
【详解】解：{|135}A x a x a =+≤≤-，{|322}B x x =<<，且A B A = 所以A B ⊆，当A =∅时，135a a +>-解得3a <；
当A ≠∅时，
∴352213513a a a a -<⎧⎪+≤-⎨⎪+>⎩
解得39a ≤<
9a ∴<
故选：B 【点睛】本题考查集合的包含关系，考查解不等式，属于基础题． 2.已知复数32i z i +=
（i 其中是虚数单位，满足21i =-），则z 的共轭复数是（ ） A. 12i -
B. 12i +
C. 12i --
D. 12i -+ 【答案】C
【解析】
【分析】
由21i =-化简分母，然后再由复数代数形式的乘除运算化简复数z ，则z 的共轭复数可求．
【详解】解：322222(2)12i i i i i z i i i i i i ++++=
====-+--， 则12z i =--．。

2018年髙中毕业年级第二次质量预测理科数学试題卷第1卷（共甜分〉迪择題；本大砂边牛小嵐毎小題5给共甜处花却小題峪出的四个选项中，只有一項垦杆創a日要求的-h 已MW^F={i[y= V-x J + X4 2（^£^（?= {x|lnx<H HJ* n Q =（）A [0* J 2} & {1. 2} d.⑷.2] D* [0.町2. S3L«U =壬？划星炊』花复军面内对应町点在（）A.霸一彖瑁匕第二撇阻S第三凝限D.第四魏限乩命更一3工+ 2壬D"的黔建为（>A,匕 t fl,2l 才一％ * E A 8, Vx € flZjjX2…取* 忑 A （JG 遵一3Xn*2> M. 9X O«（1,21^-SX B+ 2>04.已暂双曲线G呂―首二】前一漲葡近绒与直统已工一y*5=D垂克•则取脸线C的葛心垦算千（）A. B. ^― C. D. 2^/5乩运行如驗所示阶程严権乳則箱出和油（）「呼]A『工二心」'F 二—m”, r^in-iJ-J+WA. 100& 3. -1003 C*10O? I>. -1009民巴M E二严〔?：；：* ' %定恥为弘戳乳gx肚旳肩弧二畑.M{叫）丑谨増飙列.则靖]取世范回星（）乩 O + «） 乩+ W ） C.C1，3） 几（3 - + «）1.已知宇面向曼0.扒访I 足|a| - Ibl = H - 1,若口- b = g JUS +占）■ （2占-c ）的島小僮为< ）益-2 0. -/3 C. -I D* 0S- f 红強行功> 建一倒现代优輝犁直财够片.谀片讲连了申国簿军M 歧龙夹击队”華命执希 脈係柱丹的按事、範乐辻程申.海车規輕宴我啟员北惓議竜處六坝任吳・沖对任畀町喷号稷 出了如下厦求，車虎任筹？I 必鏡毎DE 前三艮・且任齐职F 必纯特!X —起・忠达六坯狂备呼年 间輩澤方異共祎（）JL 240 种 B. 18G C.1E6 D. 120 W=乩已拠畠册8二询ms （2i-£-CDG 皱若宴博卅个寄備戟的图矗.则可以特旌蝮『00的翌稼（丿A.向左平曾'尊也忙度a +向石早幕f 介駐牧快度 C.向左字畤个氧橙隹滾 九向右不S|尹睾住£廈口.如閒・已知勵內強6的庞戌在岂怖廉点.為点在H 柚上.且垃点口 町.囱“妒+护-4«+3 -险逹■*前更线I 与曆井刖玄干尸心期賂确I 冋V|+ 4|Q 阳們最丿暇力10* BQ ^ty - ?in I fl + cos 2^c ）在区叫一⑺ 卸上M 弋锁图费为（ ）A+ 23 乩 42 C12 九 52垢•已却盹=但|代0£〕=； O^JV =（阳{旳=睦苕存在山右此0"巧便词健-0| = %两蘇丽00対庆町互为■苕f （x}-沪“ - 1场駅刃・工’ -讥产互力5度孚月 函菱” •测实載“苗射昼范因为（）a $冷 乩影］c - &4） 臥E 禺第口堆£共90 *>二、填空瓏（議19 5幷・灌分幼分.将褂秦览在答JS 戟卜J打.已知二珈貞Gs —耳*啲噩开式中二项弍臬叛之和为64•削展开式申疋曲东删为 _____□已旬实畑沖足竟件陞+ y>御士曲最犬值 _________________ .站•觀国也代戟学若麦（九謝立转几间査凤入的Pt 兜+从甚尹一件藪韋附谓哥见・ 杀妃”静粘“星?a 四个面都是肓珮三彌形的豈樓够.熹”誉廉"的三況图E 图申阿格银上毎 个尔正卉母的询哙矜门妬慳断示「已地几冋怫高壮谑町谒几和療外接铁的亵僧腰坦巳知惓劭车彳石=1（2“ Q ）的龙搞痺勺FC1脇凤蔑心爭曙的二"点都色橢鼬上.说g 毗三撇辺朋、BC.肚『冲点廿别力6 £. K.且三茉边所在・tU 惮空异剔为町、%、匕・E 知、7匕均齐为0 0为量标醸虎・著直线D6 9E.。

(Ⅱ)解：设 ， ，则由斜率之积，得 ，………6分
，因为点 在椭圆 上，
所以 化简得 ． …………………………8分
直线 的方程为 ，据椭圆的对称性，四边形 的面积 ，……10分
所以，
，所以
所以，四边形 的面积为定值12． ……………………………………12分
21.解析：（Ⅰ）当 时，曲线
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即
不妨取 ，则 ， ，∴ .
而平面 的一个法向量为 ，…………………………………………10分
∴ .
故二面角 的余弦值为 .…………………………………………………12分
20.解(I)设 ，由题意， ， ……………………………2分
化简得 ，…（3分）所以，动点 的轨迹 的方程为 … 4分
整理得： 即 解得： ，
故实数a的取值范围为 ……………………………………10分
23.解：（Ⅰ）当a＝－2时，f(x)＝ ………………………3分
由f(x)的单调性及f(－ )＝f(2)＝5，
得f(x)＞5的解集为{x|x＜－ ，或x＞2}．……………………………………5分
（Ⅱ）由f(x)≤a|x＋3|得a≥ ………………………7分
………………………2分
时，切线的斜率为 ，又切线过点
所以切线方程为 …………………………4分
（Ⅱ） ，
………5分
当 时， ，函数 在 上单调递减；………………………7分
当 时，令 ，
当 时，即 ， ，此时 ，函数 在 上单调递增;
当 时，即 ，方程 有两个不等实根 ，
所以 ，
此时，函数 在 上单调递增；在 上单调递减.……………11分
显然 的取值为0，1，2，3, 4 . 且 .

河南省郑州市2020届高中毕业年级第二次质量预测数 学（理科）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合}531|{-≤≤+=a x a x A ，}223|{<<=x x B ，且A B A =I ，则实数a的取值范围是 A ．]9,(-∞B ．)9,(-∞C ．]9,2[D ．)9,2(2．已知复数32iiz +=（其中i 是虚数单位，满足12-=i ），则z 的共轭复数是 A ．i 21- B ．i 21+ C ．i 21-- D ．i 21+-3．郑州市2019年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如下： 则这组数据的中位数是 A ．20 B ．21 C ．20.5 D ．234． 圆4)12()2(22=-++y x 关于直线08=+-y x 对称的圆的方程为A ．4)2()3(22=+++y xB ．4)6()4(22=-++y xC ．4)6()4(22=-+-y xD ．4)4()6(22=+++y x5． 在边长为30米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形， 要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为A ．30米B ．20米C ．215米D ．15米6．若⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα,2，⎪⎭⎫⎝⎛-=απα4sin 2cos 2，则α2sin 的值为A ．87- B ．87 C ．81- D ．817．在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入x 的取值范围是A ．),2(+∞B ．]4,2(C ．]10,4(D ．),4(+∞8． 为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨 曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL 时，表示 收入完全平等．劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示 收入完全不平等．记区域A 为不平等区域，a 表示其面积；S 为OKL ∆的面积，将SaGini =，称为 基尼系数．对于下列说法：①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为)(x f y =，则对)1,0(∈∀x ，均有1)(>xx f ； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为])1,0[(2∈=x x y ，则41=Gini ； ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为])1,0[(3∈=x x y ，则21=Gini ．其中正确的是： A ．①④ B ．②③ C ．①③④ D ．①②④ 9． 2019年10月1日是中华人民共和国成立70周年国庆日，将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为 A ．96 B ．84 C ．120 D ．360 10．已知等差数列}{n a 的公差0=/d ，且1a ，3a ，13a 成等比数列，若11=a ，n S 为数列}{n a 的前n 项和，则362++n n a S 的最小值为A ．4B ．3C ．232-D ．2 11．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”．现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的 直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球 面上，则该球的表面积为A ．π6B ．π2C ．π6D ．π2412．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右焦点为F ，过F 作直线x ab y -=的垂线，垂足为M ，且交双曲线的左支于N 点，若2=，则该双曲线的离心率为 A ．3B ．2C ．5D ．7二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．二项式62⎪⎭⎫⎝⎛+x x 的展开式中的常数项为 。

2022年河南省郑州市高考数学第二次质量预测试卷（理科）（二模）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2=2x}，集合B={x∈Z|0<x<3}，则A∪B=()A. {2}B. {0,1,2}C. {x|0<x<3}D. {x|0≤x<3}2.已知i是虚数单位，若z=1+i1−i−3i，则|z|=()A. 1B. √2C. 2D. 43.设a=20.2，b=sin2π3，c=log25，则a，b，c的大小关系是()A. a<b<cB. b<c<aC. b<a<cD. c<a<b4.在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界．从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至的日影长为18.5尺，立春的日影长为15.5尺，则春分的日影长为()A. 9.5尺B. 10.5尺C. 11.5尺D. 12.5尺5.已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=2AA1，M是AA1的中点，则异面直线AD1与BM所成角的余弦值为()A. 215B. √1717C. √74D. √85856.(2x2−ax )(x−2x)4的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中的常数项为()A. −32B. 32C. −64D. 647.函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示，则()A. φ=π3，ω=7π3B. y=f(x+2)是奇函数C. 直线x=−4是f(x)的对称轴D. 函数f(x)在[3,4]上单调递减8. 某学校文艺汇演准备从舞蹈、小品、相声、音乐、魔术、朗诵6个节目中选取5个进行演出．要求舞蹈和小品必须同时参加，则他们的演出顺序必须满足舞蹈在前、小品在后．那么不同的演出顺序种数有( )A. 240种B. 480种C. 540种D. 720种9. 若平面上两点A(−2,0)，B(1,0)，动点P 满足|PA|=2|PB|，则动点P 的轨迹与直线l ：y =k(x −2)的公共点的个数为( )A. 2B. 1C. 0D. 与实数k 的取值有关10. 2021年，郑州大学考古科学队在荣阳官庄遗址发现了一处大型青铜铸造作坊．利用碳14测年确认是世界上最古老的铸币作坊．已知样本中碳14的质量N 随时间t(单位：年)的衰变规律满足N =N 0⋅(12)t5730(N 0表示碳14原有的质量).经过测定，官庄遗址青铜布币样本中碳14的质量约是原来的√22至34，据此推测青铜布币生产的时期距今约多少年？( )(参考数据：log 23≈1.6)A. 2600年B. 3100年C. 3200年D. 3300年11. 已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2−y 24=1(a >0)的左、右焦点，点A 在双曲线的右支上，点P(√5,2)是平面内一定点，若对任何实数m ，直线2x +y +m =0与双曲线C 至多有一个公共点，则|AP|+|AF 2|的最小值( )A. 2√6−4B. 3√5−4C. 2√6−2D. 2√5−212. 已知数列{a n }满足a 2=2，a 2n =a 2n−1+2n (n ∈N ∗)，a 2n+1=a 2n +(−1)n (n ∈N ∗)，则数列{a n }第2022项为( )A. 21012−2B. 21012−3C. 21011−2D. 21011−1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线y =sinx −2cosx 在点(π,2)处的切线方程是______． 14. 已知椭圆x 216+y 27=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，椭圆上一点P 满足|OP|=3，则△F 1PF 2的面积为______．15. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB//CD ，AB =2BC =2CD =2，将△ACD 沿AC 折叠形成三棱锥D 1−ABC.当二棱锥D 1−ABC 体积最大时，则此时三棱锥外接球体积为______．16. 已知函数f(x)=e x −2，g(x)=x 2+ax(a ∈R)，ℎ(x)=kx −2k +1(k ∈R)，给出下列四个命题，其中真命题有______.(写出所有真命题的序号) ①存在实数k ，使得方程|f(x)|=ℎ(x)恰有一个根； ②存在实数k ，使得方程|f(x)|=ℎ(x)恰有三个根；③任意实数a ，存在不相等的实数x 1、x 2，使得f(x 1)−f(x 2)=g(x 1)−g(x 2)； ④任意实数a ，存在不相等的实数x 1、x 2，使得f(x 1)−f(x 2)=g(x 2)−g(x 1).三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 随着北京冬奥会的进行，全民对冰雪项目的热情被进一步点燃．正值寒假期间，嵩山滑雪场迎来了众多的青少年．某滑雪俱乐部为了解中学生对滑雪运动是否有兴趣，从某中学随机抽取男生和女生各50人进行调查，对滑雪运动有兴趣的人数占总人数的34，女生中有5人对滑雪运动没有兴趣．(Ⅰ)完成下面2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关？有兴趣 没有兴趣 合计男 女 合计(Ⅱ)该俱乐部拟派甲、乙、丙三人参加滑雪选拔赛，选拔赛共有两轮，两轮都获胜选拔才能通过．已知甲在每轮比赛获胜的概率为23，乙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是34和47，丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为p 和43−p ，其中0<p <23(p ∈R)，判断甲，乙，丙三人谁通过选拔的可能性最大，并说明理由．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d ． P(K 2≥k 0)0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k 02.7063.8415.0246.63510.82818. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设asinB =bcos(A −π6)．(Ⅰ)求角A ；(Ⅱ)若BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AD =2，求△ABC 面积的最大值．19. 如图，四棱台ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AB =AA 1=2A 1D 1=2，∠ABC =60°，平面ADD 1A 1⊥平面ABCD ，平面ABB 1A 1⊥平面ABCD ． (Ⅰ)求证：AA 1⊥平面ABCD ； (Ⅱ)求锐二面角A −DD 1−C 的正切值．20. 已知抛物线C ：x 2=4y ，过抛物线外一点N 作抛物线C 的两条切线，A ，B 是切点．(Ⅰ)若点N 的纵坐标为−2，求证：直线AB 恒过定点；(Ⅱ)若|AB|=m(m >0)，求△ABN 面积的最大值(结果用m 表示)．21. 已知函数f(x)=ln(x +1)−x +1．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)设函数g(x)=ae x −x +lna ，若函数F(x)=f(x)−g(x)有两个零点，求实数a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+cosαy =sinα(α为参数).已知M 是曲线C 1上的动点，将OM 绕点O 逆时针旋转90°得到ON ，设点N 的轨迹为曲线C 2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(Ⅱ)设点Q(1,0)，若射线l ：θ=π3与曲线C 1，C 2分别相交于异于极点O 的A ，B 两点，求△ABQ 的面积．23.已知f(x)=|x−a|．(Ⅰ)若f(x)≥|2x−1|的解集为[0,2]，求实数a的值；(Ⅱ)若对于任意的x∈R，不等式f(x)+|x+2a|>2a+3恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A={x|x2=2x}={0,2}，集合B={x∈Z|0<x<3}={1,2}，则A∪B={0,1,2}．故选：B．先分别求出集合A，B，然后结合集合的并集运算可求．本题主要考查了集合并集运算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：∵z=1+i1−i −3i=(1+i)2(1−i)(1+i)−3i=i−3i=−2i，∴|z|=√02+(−2)2=2．故选：C．根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．本题考查了复数代数形式的乘除法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：∵1<20.2<2，sin2π3=√32，log25>2，∴sin2π3<20.2<log25，即b<a<c，故选：C．易知1<20.2<2，sin2π3=√32，log25>2，从而比较大小即可．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．【解析】解：设冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列{a n }， 则a 1=18.5，a 4=15.5， 故3d =15.5−18.5=−3， 所以d =−1，a 7=a 1+6d =18.5−6=12.5． 故选：D ．由已知结合等差数列的性质先求出d ，然后结合通项公式可求．本题主要考查了等差数列的通项公式在实际问题中的应用，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：连接A 1C 1，C 1M ，BC 1，∵AB//CD//C 1D 1，∴四边形ABC 1D 1为平行四边形，∴AD 1//BC 1， ∴AD 1与BM 所成角即为BC 1与BM 所成角，即∠C 1BM ， 不妨设AA 1=1，则AB =2， ∵BM =√22+(12)2=√172，BC 1=√12+22=√5，C 1M =√22+22+(12)2=√332， ∴cos∠C 1BM =BM 2+BC 12−C 1M 22BM⋅BC 1=174+5−3342×√172×√5=√8585， 即异面直线AD 1与BM 所成角的余弦值为√8585．故选：D ．根据AD 1//C 1可知所求角为∠C 1BM ，利用余弦定理可求得cos∠C 1BM ，从而得到异面直线AD 1与BM 所成角的余弦值．本题考查了异面直线所成的角，考查了转化思想，属于基础题．【解析】解：令x =1，则展开式的各项系数和为(2−a)(1−2)4=2−a =3，解得a =−1，所以二项式为(2x 2+1x )(x −2x )4，则二项式的展开式的常数项为2x 2×C 43x(−2x )3=−64， 故选：C ．先令x =1，由此求出a 的值，然后根据二项式定理求出展开式的常数项即可求解． 本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：显然A =2，由f(0)=1得cosφ=12， 结合“五点法作图”可知φ=π3+2kπ,k ∈Z ，由0<φ<π2得φ=π3， 据图可知T4>12，即T >2，所以0<ω<π，因为f(12)=2cos(12ω+π3)=0，则12ω+π3=π2+2kπ，k ∈Z ，ω=π3+4kπ，所以k =0时ω=π3符合题意，所以f(x)=2cos(π3x +π3)， 故A 错误；对于B ，f(0+2)=2cosπ=−2≠0，故y =f(x +2)图象不过原点，f(x +2)不是奇函数，B 错误；对于C ，f(−4)=2cos(−π)=−2，为f(x)的最小值，故x =−4为函数f(x)的对称轴，C 正确；对于D ，x ∈[3,4]时，π3x +π3∈[4π3,5π3]，因为y =−2cosx 在[4π3,5π3]上不单调，故D 错误．故选：C ．利用最高点纵坐标求出A ，利用特殊点(0,1)求出φ的值，再结合特殊点(0,12)求出ω的值，然后结合余弦函数的图象和性质逐项判断．本题考查三角函数的据图求式问题，以及三角函数的图象和性质，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：先从相声、音乐、魔术、朗诵4个节目中选取3个，然后与舞蹈和小品共同5个节目按舞蹈在前、小品在后排序，则不同的演出顺序种数有55C43AA22=240种，故选：A．先选后排，然后结合排列组合中的定序问题倍缩法求解即可．本题考查了排列组合及简单的计数问题，重点考查了排列组合中的定序问题，属基础题．9.【答案】A【解析】解：设点P(x,y)，由题意：|PA|=2|PB|得：√(x+2)2+y2=2√(x−1)2+y2，整理得到点P的轨迹方程为x2+y2−4x=0，即(x−2)2+y2=4，因为直线y=k(x−2)过定点(2,0)，即所求圆的圆心，故直线和圆2个交点，故选：A．设出点P(x,y)，直接法求出点P的轨迹方程，再由直线过定点，判断公共点的个数．本题主要考查轨迹方程及其应用，直线与圆的位置关系等知识，属于中等题．10.【答案】A【解析】解：由题意得：√22N0<N0⋅(12)t5730<34N0，∴√22<(12)t5730<34，∴{(12)t5730>(12)12(12)t5730<34，解得：2292<t<2865，故选：A．根据题意列出不等式，求出2292<t<2865，从而求出正确答案．本题考查了指数、对数的基本运算，属于易做题．11.【答案】Cx，【解析】解：由双曲线方程可知其渐近线方程为：y=±2a∵直线2x+y+m=0与双曲线C至多有一个公共点，∴2x+y+m=0与双曲线渐近线重合或平行，∴−2=−2，解得：a=1，a∴双曲线C：x2−y2=1，则F1(−√5,0),F2(√5,0)，4由双曲线定义知：|AF1|−|AF2|=2a=2，∴|AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|−2≥|PF1|−2(当且仅当F1，A，P三点共线时取等号)，又|PF1|=√(√5+√5)2+(2−0)2=2√6，∴(|AP|+|AF2|)min=2√6−2，故选：C．根据直线2x+y+m=0与双曲线公共点个数可知其与双曲线渐近线平行或重合，由此可求得a，利用双曲线定义可得|AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|−2，可知当F1，A，P三点共线时取得最小值．本题考查了双曲线的定义和性质，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：∵数列{a n}满足a2=2，a2n=a2n−1+2n(n∈N∗)，a2n+1=a2n+(−1)n(n∈N∗)，∴a2n=a2n−1+2n=a2(n−1)+(−1)n−1+2n，所以，a2n−a2(n−1)=(−1)n−1+2n，∴a4−a2=(−1)1+22，a6−a4=(−1)2+23，a8−a6=(−1)3+23，.......a2022−a2020=(−1)1010+21011，将上述各式两边分别取和，得a2022−a2=−1+1−1+1+....+1+22+23+.......+21011=22(1−21010)1−2，所以，a2022=a2+21012−4=21012−1，故选：A．由题意得a2n−a2(n−1)=(−1)n−1+2n，利用累加法即可求得结论．本题主要考查累加法求数列的通项公式，考查等比数列的前n项和公式及学生的运算能力，属中档题．13.【答案】x+y−2−π=0【解析】解：因为y=sinx−2cosx，所以y′=cosx+2sinx，则当x=π时，y′=−1，又因为x=π时，y=2，故曲线在(π,2)处的切线方程为y−2=−(x−π)，整理得x+y−2−π=0，故答案为：x+y−2−π=0．求出曲线在x=π处的导数值，得到切线的斜率，再求出切线方程即可．本题考查利用导数求曲线上某点的切线方程，属于基础题．14.【答案】7【解析】解：由椭圆x216+y27=1可得c2=a2−b2=16−7=9，∴c=3，∴|F1F2|=2c=6，又∵O为F1F2的中点，|OP|=3，∴△PF1F2是以点P为直角顶点的直角三角形，即PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=36，又∵|PF1|+|PF2|=2a=8，∴(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=64，∴|PF1||PF2|=14，|PF1||PF2|=7，∴△F1PF2的面积为12故答案为：7．由椭圆的方程求出a，b，c的值，再根据|OP|=3推出△PF1F2是以点P为直角顶点的直角三角形，结合椭圆的定义以及勾股定理即可求出结果．本题主要考查了椭圆的定义，考查了焦点三角形的面积，同时考查了学生的运算求解能力，属于中档题．15.【答案】5√5π6【解析】解：在等腰梯形ABCD中，因为AD=DC=BC，AB=2，容易知∠DAB=60°，∠ADC=120°，∠ACB=90°，当三棱锥D1−ABC体积最大时，此时平面AD1C⊥平面ABC，又面AD1C∩面ABC=AC，且BC⊂面ABC，BC⊥AC，故BC⊥面AD1C，因为∠BCA=90°，故△BCA为直角三角形，不妨取斜边AB的中点为M，则MA=MC=MB，过M作平面ABC的垂线MP，取AC中点为H，连接D1H，因为D1A=D1C，故D 1H⊥AC，又面AD1C⊥面ABC，面AD1C∩ABC=AC，D1H⊂面AD1C，故D 1H⊥面ABC，故D 1H//MP，则D1，H，O，M四点共面．因为AD1=AC，取△AD1C的外心为N，过N作D1H的垂线交MP于点O，则OD1=OC=OA=OB，故该三棱锥的外接球球心为O，设其半径为R，则由图可知：OD12=ON2+D1N2，又OD1=R，在△AD 1C 中，由正弦定理可得2D 1N =AC sin∠AD 1C =√3√32=2，故D 1N =1，又ON =HM =12BC =12，故R 2=14+1=54，R =√52，故三棱锥外接球体积V =43πR 3=43π×5√58=5√56π． 故答案为：5√56π． 找到体积最大时的状态，结合三棱锥的几何特点，求得外接球球心，再求半径和体积即可．本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．16.【答案】①②④【解析】解：画出|f(x)|=|e x −2|的函数图象，如图：ℎ(x)=kx −2k +1经过定点(2,1)，从图中可以看出存在实数k ，使得方程|f(x)|=ℎ(x)恰有一个根；①正确；存在实数k ，使得方程|f(x)|=ℎ(x)恰有三个根，②正确；要想对任意实数a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得f(x 1)−f(x 2)=g(x 1)−g(x 2)， 只需函数f(x)=e x −2，g(x)=x 2+ax(a ∈R)始终有两个交点， 当a =1时，g(x)=x 2+x =(x +12)2+34，开口向上，且最小值为34，此时图象如图所示：由于指数函数的增长速度高于二次函数，显然此时两函数只有一个交点，故③错误；要想对任意实数a，存在不相等的实数x1、x2，使得f(x1)−f(x2)=g(x2)−g(x1)，即f(x1)−f(x2)=−[g(x1)−g(x2)]，只需f(x)=e x−2与−g(x)=−x2−ax，无论a取何值都有两个交点，其中−g(x)=−x2−ax=−(x+a2)2+a24开口向下，且有最大值为a24≥0，且恒过(0,0)，画出两函数图象如下，其中−g(x)=−x2−ax=−(x+a2)2+a24为一组抛物线，用虚线表示：无论a取何值，都有两个交点，④正确；故答案为：①②④．①②画出函数|f(x)|=|e x−2|图象，结合ℎ(x)=kx−2k+1经过定点(2,1)，数形结合进行判断；③转化为两函数的交点问题，可以举出反例；④转化为两函数交点问题，能够得到一组二次函数，均过原点，且开口向下，利用图象，数形结合得以证明．本题考查了利用函数图象研究函数零点、转化思想、数形结合思想、难点是准确画出每种情况的图象，属于难题．17.【答案】解：(I)由题意，从某中学随机抽取了100人进行调查，可得男生有50人，女生有50人，又由滑雪运动有兴趣的人数占总数的34，所以有100×34=75人，没有兴趣的有25人， 因为女生中有5人对滑雪运动没有兴趣，所以男生中对滑雪无兴趣的有20人，有兴趣的有30人，女生有兴趣的有45人，可得如下2×2列联表：所以K 2=100×(30×5−20×45)275×25×50×50=12>10.828，所以有99.9%的把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关． (II)甲获胜的概率最大，理由如下： 甲在两轮中均获胜的概率为P 1=23×23=49， 乙在两轮中均获胜的概率为P 2=34×47=37，丙在两轮中均获胜的概率为P 3=p ×(43−p)=43p −p 2， ∵p >0,0<43−p <1,0<p <23，∴13<p <23，∵P 1−P 3=p 2−43p +49=(p −23)2， ∴P 1−P 3>0显然P 1−P 2>0，∴P 1>P 2，P 1>P 3，即甲获胜的概率最大．【解析】(I)根据已知条件，结合分层抽样的定义，以及独立性检验公式，即可求解． (II)根据已知条件，分别求出甲，乙，丙通过选拔的概率，通过比较大小，即可求解． 本题主要考查独立性检验公式，考查计算能力，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)因为asinB =bcos(A −π6)，由正弦定理得：sinAsinB =sinBcos(A −π6)， 又B ∈(0,π)，sinB >0，所以sinA =cos(A −π6)=cosAcos π6+sinAsin π6=√32cosA +12sinA ，即：12sinA =√32cosA ，可得tanA =√3，又A ∈(0,π)， 所以A =π3；(Ⅱ)在△ABC 中，由余弦定理得：cosA =12=b 2+c 2−a 22bc，①又因为BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以BD =2a 3,CD =a3，且∠ADB +∠ADC =π，即cos∠ADB +cos∠ADC =0，由余弦定理(2a 3)2+22−c 22⋅2a 3⋅2+(a 3)2+22−b 22⋅a3⋅2=0，得a 2=3b 2+32c 2−18，②将①②联立得：18−bc =2b 2+12c 2≥2bc ，即bc ≤6，(当且仅当b =√3,c =2√3时等号成立)，所以S =12⋅bc ⋅sinA =√34bc ≤3√32．【解析】(Ⅰ)由正弦定理，三角函数恒等变换化简已知等式可得tanA =√3，结合范围A ∈(0,π)，可求A 的值．(Ⅱ)在△ABC 中，由余弦定理得cosA =12=b 2+c 2−a 22bc，根据题意，由∠ADB +∠ADC =π，利用余弦定理得a 2=3b 2+32c 2−18，联立方程利用基本不等式可求bc ≤6，，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.【答案】(Ⅰ)证明：取AB 、AD 的中点M 、N ，连接CM 、CN ，∵ABCD 是菱形，∠ABC =60°，∴CM ⊥AB ，CN ⊥AD ．∵平面ADD 1A 1⊥平面ABCD ，且平面ABCD ∩ADD 1A 1=AD ． ∴CN ⊥平面ADD 1A 1，AA 1⊂平面ADD 1A 1.∴CN ⊥AA 1，同理CM ⊥AA 1，CM ⊂平面ABCD ，CN ⊂平面ABCD ，且CM ∩CN =C ， ∴AA 1⊥平面ABCD ．(Ⅱ)取CD 中点E ，分别以AB 、AE 、AA 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系： ∴A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,√3,0),D(−1,√3,0),D 1(−12,√32,2),N(−12,√32,0)， ∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,0),D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,√32,−2)．记平面ADD 1A 1的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ ，显然n 1⃗⃗⃗⃗ =CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,−√32,0)，设平面CDD 1的法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)，∴{n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x =0,n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12x +√32y −2z =0， ∴n 2⃗⃗⃗⃗ =(0,4,√3)，记锐二面角A −D 1D −CD 的大小为θ．∴cosθ=|n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3√3×√19=√19，∴tanθ=√152， ∴锐二面角A −DD 1−C 的正切值为√152．【解析】(Ⅰ)取ABAD 的中点M 、N ，连接CMCN 、AC ，由题意，CM ⊥AB ，CN ⊥AD ，由平面ADD 1A 1⊥平面ABCD ，可得CN ⊥平面ADD 1A 1，进而有CN ⊥AA 1，同理CM ⊥AA 1，根据线面垂直的判断定理即可求解；(Ⅱ)取CD 中点E ，结合(Ⅰ)，分别以ABAEAA 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A −xyz ，利用向量法即可求解．本题主要考查线面垂直的判定，空间向量及其应用，二面角的计算等知识，属于中等题．20.【答案】解：(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由y =14x 2，y′=12x ，则直线NA 的斜率为x12， 则直线NA 的方程为y −y 1=x 12(x −x 1)，整理得x 1x −2y +2y 1−x 12=0，由于x 12=4y 1，即x 1x −2y −2y 1=0，同理可得直线NB 的方程为x 2x −2y −2y 2=0，又直线NA 和直线NB 都过N(x 0,y 0)，则x 1x 0−2y 0−2y 1=0，x 2x 0−2y 0−2y 2=0， 从而A ，B 均为直线x 0x =2(y 0+y)上的点，故直线AB 的方程为x 0x =2(y 0+y)， 又y 0=−2，故直线AB 的方程为x 0(x −0)=2(y −2)， 故直线AB 过定点(0,2)；(2)设N(x 0,y 0)，由(1)知直线AB 的方程为x 0x =2(y 0+y)，把它与抛物线x 2=4y 联立得，x 2−2x 0x +4y 0=0，其中Δ=4x 02−16y 0>0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由韦达定理得x 1+x 2=2x 0，x 1+x 2=4y 0，则|AB|=√1+x 024√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√(x 02+4)(x 02−4y 0)=m ，∴4x 02−4y 0=m 2x 02+4，又点N 到直线AB 的距离d =0200√x 0+4=020√x 0+4，∴S =12|AB|⋅d =12020√x 0+4⋅m =12m 3(x 02+4)32≤m 316(当x 0=0时，有最大值)， 故△ABN 面积的最大值为m 316．【解析】(1)利用导数求出直线NA 和直线NB 的方程，由直线NA 和直线NB 都过N(x 0,y 0)，即可求出直线AB 的方程，再根据点N 的纵坐标为−2，即可得到直线AB 恒过定点， (2)将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，利用弦长公式求出|AB|，利用点到直线距离公式求出△ABN 的高，即可求出△ABN 面积的最大值本题考查抛物线的简单性质，利用导数求得切线斜率是关键，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)函数的定义域为{x|x >--1}，f′(x)=1x+1−1=−xx+1，令f′(x)>0，解得−1<x <0，令f′(x)<0，解得x >0， 故函数f(x)的单调递增区间为(−1,0)，单减区间为(0,+∞)．(Ⅱ)要使函数F(x)=f(x)−g(x)有两个零点， 即f(x)=g(x)有两个实根，即ln(x +1)−x +1=ae x −x +lna 有两个实根， 即e x+lna +x +lna =ln(x +1)+x +1， 整理为e x+lna +x +lna =e ln(x+1)+ln(x +1)，设函数ℎ(x)=e x +x ，则上式为ℎ(x +lna)=ℎ(ln(x +1))，因为ℎ′(x)=e x +1>0恒成立，所以ℎ(x)=e x +x 单调递增，所以x +lna =ln(x +1)， 所以只需使lna =ln(x +1)−x 有两个根，设M(x)=ln(x +1)−x ， 由(1)可知，函数M(x))的单调递增区间为(−1,0)，单减区间为(0,+∞)， 故函数M(x)在x =0处取得极大值，M(x)max =M(0)=0， 当x →−1时，M(x)→−∞，当x →+∞时，M(x)→−∞， 要想lna =ln(x +1)−x 有两个根，只需lna <0，解得0<a <1． 所以a 的取值范围是(0,1)．【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； (Ⅱ)问题转化为只需使lna =ln(x +1)−x 有两个根，设M(x)=ln(x +1)−x ，结合函数M(x)的单调性得到只需lna <0，求出a 的取值范围即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数零点问题，考查转化思想，是难题．22.【答案】解：(Ⅰ)，曲线C 1的参数方程为{x =1+cosαy =sinα(α为参数)，转换为直角坐标方程为(x −1)2+y 2=1， 根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为极坐标方程为ρ=2cosθ，已知M 是曲线C 1上的动点，将OM 绕点O 逆时针旋转90°得到ON ，设点N 的轨迹为曲线C 2， C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ．(2)由题意可以，|OA|=ρA =2cos π3=1,|OB|=ρB =2sin π3=√3， 所以|AB|=||OB|−|OA||=√3−1． 又Q 到射线l 的距离为d =|OQ|sin π3=√32．故△ABQ 的面积为S =12×√32×(√3−1)=3−√34．第21页，共21页 【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(Ⅱ)利用点到直线的直线的距离公式和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形的面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．23.【答案】解：(Ⅰ)不等式f(x)≥|2x −1|，即|x −a|≥|2x −1|，两边平方整理得：3x 2+(2a −4)x +1−a 2≤0，由题意可知0和2是方程3x 2+(2a −4)x +1−a 2=0的两个实数根，由根与系数的关系知{13(1−a 2)=0×2−13(2a −4)=0+2，解得a =−1． (Ⅱ)因为f(x)+|x +2a|>|x −a|+|x +2a|≥|(x −a)−(x +2a)|=3|a|， 所以要使不等式f(x)+|x +2a|>2a +3恒成立，只需3|a|>2a +3，当a ≥0时，3a >2a +3，解得a >3，即a >3．当a <0时，−3a >2a +3，解得a <−35，即a <−35．综上所述，实数a 的取值范围是(−∞,−35)∪(3,+∞)．【解析】(Ⅰ)不等式等价于|x −a|≥|2x −1|，两边平方整理为3x 2+(2a −4)x +1−a 2≤0，根据不等式与对应方程的关系求出a 的值；(Ⅱ)利用绝对值不等式求出f(x)+|x +2a|>3|a|，由此求关于a 的不等式解集即可． 本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了不等式恒成立应用问题，是中档题．。

郑州市2024高三第二次质量预测数学（参考答案）一、单选题二、多选题题号91011答案ADABDACD三、填空题14-四、解答题15.解：(1)前3局比赛甲都不下场说明前3局甲都获胜，故前3局甲都不下场的概率为1111.2228P =⨯⨯=...........................4分(2)X 的所有可能取值为0，1，2，3............................5分其中，0X =表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙输，则111(0)224P X ==⨯=；...........................6分1X =表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙赢；或第1局乙赢，且第2局乙输，则11111(1)22222P X ==⨯+⨯=；............................8分2X =表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙输，则1111(2)2228P X ==⨯⨯=；...........................9分3X =表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙赢，则1111(3)2228P X ==⨯⨯=；...........................10分所以X 的分布列为题号12345678答案BDCBDCCAX 0123P14121818...........................11分故X 的数学期望为811119()0123.4288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=...........................13分16.解：(1)函数定义域为(0,)+∞，222(12)()ax a x af x x +--'=,...........................2分因为1x =是函数()y f x =的极值点，所以2(1)120f a a '=+-=，解得12a =-或1a =，因为0a ，所以 1.a =...........................5分此时()()()221121x x x x f x x x'+--==-令()0fx '>得1x >，令()0f x '<得01x <<，∴)(x f 在）（1,0单调递减，在）（+∞,1单调递增，所以1x =是函数的极小值点.所以 1.a =...........................7分(2)当0a =时，x x f =)(，则函数()f x 的单调增区间为(0,);+∞...........................8分当0a >时，222(12)(21)()()ax a x a ax x a f x x x+--+-'==，...........................9分因为0a >，0x >，则210ax +>，令()0f x '>得x a >；令()0f x '<得0x a <<;∴函数的单调减区间为(0,),a 单调增区间为(,).a +∞...........................13分综上可知：当0a =时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，无递减区间；当0a >时，函数()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增............................15分17.证明：取BC 中点O ，连接AO ，EO.ABC ∆是等边三角形，O 为BC 中点，∴AO BC ⊥，........................2分又EB EC =，∴EO BC ⊥,........................3分AO EO O ⋂=，∴BC AEO ⊥平面,又AE AEO ⊂平面，∴BC AE ⊥.........................5分||||2MNS MKS NKSM N S S S KS y y ∆∆∆=+=⋅⋅-2242||2514424174m m m m +=⋅⋅+=⋅令1||[2,)t m m=+∈+∞，2221||111149224924174MNS m t m S t m t m t ∆+=⋅=⋅=⋅++++，若6m =，满足要求的数列{}n a 中有四项为1，一项为2，所以4k ≤，不符合题意，所以6m >.若7m =，满足要求的数列{}n a 中有三项为1，两项为2，符合m 的6增数列.所以，当5=n 时，若存在m 的6增数列，m 的最小值为7..........................8分（3）若数列{}n a 中的每一项都相等，则0k =，若0k ≠，所以数列{}n a 中存在大于1的项，若首项11a ≠，将1a 拆分成1a 个1后k 变大，所以此时k 不是最大值，所以11a =.当2,3,...,i n =时，若1i i a a +>，交换1,i i a a +的顺序后k 变为1k +，所以此时k 不是最大值，所以1i i a a +≤.若{}10,1i i a a +-∉，所以12i i a a +≥+，所以将1i a +改为11i a +-，并在数列首位前添加一项1，所以k 的值变大，所以此时k 不是最大值，所以{}10,1i i a a +-∈.若数列{}n a 中存在相邻的两项1,32i i a a +≥=，设此时{}n a 中有x 项为2，将1i a +改为2，并在数列首位前添加12i a +-个1后，k 的值至少变为1k +，所以此时k 不是最大值，所以数列{}n a 的各项只能为1或2，所以数列{}n a 为1,1,...,1,2,2,,2 的形式.设其中有x 项为1，有y 项为2，因为存在100的k 增数列，所以2100x y +=，所以()22100221002(25)1250k xy y y y y y ==-=-+=--+，所以，当且仅当50,25x y ==时，k 取最大值为1250..........................17分。

2017年高中毕业年级第二次质量预测数学（理科）参考答案一、选择题1. A．2.C3.B4.D5.B6.A7.C8.C9.B 10.D 11.C 12.B二、填空题13.14．112；15.5；16．6.三、解答题17.（Ⅰ），由，得，两式相减得，………………3分由得到，又所以为以-3为首项以3为公比的等比数列故………………6分（Ⅱ），…………9分………………12分18．(Ⅰ)证明：在三棱柱中，，且连结，在中，因为D, E分别为棱AB, BC的中点. 所以. 又为的中点，可得，所以，………………2分因此四边形为平行四边形，所以,又，所以.………………4分(Ⅱ)证明：由于底面ABC是正三角形，为的中点，所以,又，又，所以………………6分在平面内，过点作，交直线于，连结,，由此得，为直线与所成的角.设三棱柱的棱长为，可得，由∽，所以,在中，.所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.………………12分19.解析：（I）………………4分（II）由（I）知，，从而………………6分由题设条件及食品的质量指标的频率分布直方图，得食品生产成本分组与频率分布表如下：组号 1 2 3 4 5 6 7分组频率0.02 0.09 0.22 0.33 0.24 0.08 0.02………………9分根据题意，生产该食品的平均成本为………………12分20.解析：（Ⅰ）将椭圆化成标准方程，………………3分（Ⅱ）由题意，设，直线的斜率存在，设为，联立得：，此时由得，………………6分则为，则为………………8分则得故的中点为由弦长公式可得到，若存在圆，则圆心在上，的中点到直线的距离为………………10分又存在这样的，使的在同一个圆上. ………………12分21．解：（Ⅰ）函数的定义域为，当时，；当时，.所以，在上单调递减；在上单调递增. ………………2分若在上单调递减；在上单调递增，则………………4分(Ⅱ) （ⅰ）依题意，函数的定义域为，所以方程在有两个不同根.即，方程在有两个不同根. ………………5分转化为，函数与函数的图像在上有两个不同交点，如图.可见，若令过原点且切于函数图像的直线斜率为，只须. ………………6分令切点，所以，又，所以，解得，，于是，所以. ………………8分（ⅱ）由（i）可知分别是方程的两个根，即，，不妨设，作差得，，即. 原不等式等价于令，则，……10分设，，∴函数在上单调递增，∴，即不等式成立，故所证不等式成立．……12分22．解：（Ⅰ）直线的直角坐标方程是，曲线C的普通方程是易得圆心到直线l的距离d=1，所以所求的弦长为………………5分（Ⅱ）从极点作曲线C的弦，各弦中点得轨迹的极坐标方程为.…………10分23.解(Ⅰ)当时，由得，两边平方整理得，解得或∴原不等式的解集为………………5分（Ⅱ）由得，令，则故，从而所求实数的范围为………………10分。

5
取总体数量较多，抽取 4 名学生可以看出 4 次独立重复实验，于是 服从二项分布 B(4, 2) . 5
………………………10 分
显然 的取值为 0，1，2，3,
4
.
且 P(
k
)
C4k
(
2 5
)k
(1
2 5
)4k
,
k
0,1, 2,3, 4 .
所以得分布列为：
0
1
2
3
4
81
216
216
96
16
P
625
625
625
625
625
数学期望 E 4 2 8 …………………………12 分 55
19.（Ⅰ）设点 D 在平面 ABC 上的射影为点 E ，连接 DE ，则 DE 平面 ABC ， ∴ DE BC .………………………………………………………………………2 分 ∵四边形 ABCD 是矩形，∴ AB BC ，∴ BC 平面 ABD ，∴ BC AD .
………………………………………………………………………………………4 分
又 AD CD ，所以 AD 平面 BCD ，而 AD 平面 ABD ，∴平面 ABD 平面 BCD .
………………………………………………………………………………………6 分
（Ⅱ）以点 B 为原点，线段 BC 所在的直线为 x 轴，线段 AB 所在的直线为 y 轴，建立空间
20.解(I)设 A x, y ，由题意， | x 4 | 2 ， ……………………………2 分
化简得 x2 4 y2
12
，…（3
分）所以，动点
A
的轨迹
C
的方程为

郑州市2020年高中毕业年级第二次质量预测理科数学 评分参考一、选择题BCCCA ABBBD CC 二、填空题13.160； 14.8； 15.3； 16. [1,).e ++∞三、解答题17.(1)设等差数列的公差为，则……………………3分{}n a d 1211172177,(60)(10),+=⎧⎨+=+⎩a d a a d a d 解得 ………………5分15,2 3.2,n a a n d =⎧∴=+⎨=⎩(2)由1111111,(2,).n n n n n n a a n n b b b b -+--=∴-=≥∈*N 当时，2n ≥1211122111111111111()()()-----=-+-++-+=++++n n n n n n n a a a b b b b b b b b b = …………………………8分(1)(25)3(2).n n n n --++=+对也适合， ………………………9分113=b…………………10分1111(2)()().22n n n n n N b b n n ∴=+∈∴=-+ 12分2111111131135(1)().2324222124(1)(2)n n n T n n n n n n +∴=-+-++-=--=+++++ 18. (I)作出列联表：22⨯青春组 风华组 合计 男生 7 6 13 女生 5 12 17 合计121830………………………3分由列联表数据代入公式得，…………………5分 22() 1.83()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=≈++++因为1.83<2.706，故没有90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关. ………………………… 6分(Ⅱ) 用A 表示“至少有1人在青春组”，则. …………… 8分23257()110C p A C =-=(III)由题知，抽取的30名学生中有12名学生是青春组学生，抽取1名学生是青春组学生的概率为，那么从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是，又因为所122305=25取总体数量较多，抽取4名学生可以看出4次独立重复实验，于是服从二项分布ξ.2(4,)5B ………………………10分显然的取值为0，1，2，3, 4 . 且.ξ4422()()(1),0,1,2,3,455ξ-==-=kk k P k C k 所以得分布列为：数学期望 …………………………12分28455ξ=⨯=E19.（Ⅰ）设点在平面上的射影为点，连接，则平面， D ABC E DE DE ⊥ABC ∴.………………………………………………………………………2分 DE BC ⊥∵四边形是矩形，∴，∴平面，∴. ABCD AB BC ⊥BC ⊥ABD BC AD ⊥………………………………………………………………………………………4分又，所以平面，而平面，∴平面平面. AD CD ⊥AD ⊥BCD AD ⊂ABD ⊥ABD BCD ………………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）以点为原点，线段所在的直线为轴，线段所在的直线为轴，建立空间B BC x AB y 直角坐标系，如图所示.设，则，∴，. AD a =2AB a =(0,2,0)A a (,0,0)C a 由（Ⅰ）知，又，∴，， AD BD ⊥2ABAD=30DBA ∠=︒60DAB ∠=︒∴，，， cos AE AD DAB =⋅∠12a =32BE AB AEa =-=sin DE AD DAB =⋅∠=∴，∴，.………………8分 3(0,)2D a a 1(0,)2AD a =- (,2,0)AC a a =-ξ0 1 2 3 4P 81625 216625 216625 96625 16625设平面的一个法向量为，ACD (,,)m x y z =则，即 00m AD m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩10,220.ay ax ay ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩不妨取，则，.1z=y=x =m =而平面的一个法向量为，…………………………………………10分ABC (0,0,1)n =∴. cos ,m n ||||m n m n ⋅==14=故二面角的余弦值为.…………………………………………………12分 D AC B --1420.解(I)设……………………………2分(),A x y 化简得，…（3分）所以，动点的轨迹的方程为… 4分22412+=x y A C 22 1.123x y +=(Ⅱ)解：设，，则由斜率之积，得，………6分 ),(11y x A ),(22y x B 121214=-y y x x ，因为点在椭圆上，221221)()(||y y x x AB -+-=,M N C 所以化简得． …………………………8分 222212123,3.44x x y y =-=-221212+=x x 直线的方程为，原点到直线的距离为AB 0)()(21121212=-+---y x y x y x x x y y O MN.)()(2122121221y y x x |y x y x |d -+--=所以，的面积， ∆MON ||21||211221y x y x d AB S AOB -=⋅⋅=∆根据椭圆的对称性，四边形的面积，……10分 M N P Q S ||21221y x y x -=所以，)2(4)(4212221212221212212y x y y x x y x y x y x S +-=-=，所以221212()144+=x x 12.S =所以，四边形的面积为定值12． ……………………………………12分 M N P Q21.解析：（Ⅰ）当时，曲线 1=a ()().1ln +=⋅=x xx x g x f y………………………2分()()()()221ln 1ln ln 1.11x x x x x x y x x ++-++'==++时，切线的斜率为，又切线过点 1x =12()1,0所以切线方程为…………………………4分 210x y --=（Ⅱ）， ()()()2111,()1''==+f x ax g x x ………5分 ()()()()()()2221111(,11x ax F x f x g x ax x ax x +-'''=-=-=++当时，，函数在上单调递减；………………………7分 0a <()0F x '<()F x ()0,+∞当时，令， 0>a ()21211⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭k x x x a a a 41,a ∆=-当时，即，，此时，函数在上单调递增; 0∆≤04<≤a ()0k x ≥()0F x '≥()F x ()0,+∞当时，即，方程有两个不等实根， 0∆>4>a 212110⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭x x a a a 12x x <所以，1201x x <<<12⎛== ⎝x x 此时，函数在上单调递增；在上单调递减.……………11分 ()F x ()()120,,,x x +∞()12,x x 综上所述，当时，的单减区间是；0a <()F x ()0,+∞当时，的单减区间是，4>a ()Fx单增区间是,⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭当时，单增区间是.………………………12分 04a <≤()F x ()0,+∞22.（Ⅰ）C 的直角坐标方程为， ………………………2分222()y a x a +=-消t 得到………………………………………4分4350x y -+=（Ⅱ）要满足弦及圆的半径为a 可知只需圆心（0，a ）到直线l 的距离AB ≥12d a ≤…………7分12a ≤整理得：即解得：， 2111201000,a a -+≤(1110)(10)0a a --≤101011a ≤≤故实数a 的取值范围为……………………………………10分 101011a ≤≤23.解：（Ⅰ）当a ＝－2时，f (x )＝………………………3分13,1,3,11,31, 1.x x x x x x -<-⎧⎪--≤≤⎨⎪->⎩由f (x )的单调性及f (－)＝f (2)＝5，43得f (x )＞5的解集为{x |x ＜－，或x ＞2}．……………………………………5分43（Ⅱ）由f(x)≤a|x ＋3|得a≥………………………7分 |1|,|1||3|x x x +-++由|x －1|＋|x ＋3|≥2|x ＋1| 得≤，得a≥．|1||1||3|x x x +-++1212 故a 的最小值为．………………………………10分12。

2020 年高中毕业年级第二次质量预测理科数学试题卷注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A = {x｜a+l≤x≤3a- 5} ,B= {x|3<工< 22} , 且A⋂B= A , 则实数a的取值范围是A.(-∞,9]B.(-∞,9)C.[2,9]D.(2,9)2.已知复数z=2+ii3(其中i是虚数单位，满足i2=-1)，则z的共轭复数是A. 1-2iB. 1+2iC. -1-2iD. -1+2i3.郑州市2019年各月的平均气温(︒C)数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是A.20B.21C. 20. 5D. 234.圆(x + 2)2 + (y-12)2 = 4 关于直线x - y +8=0对称的圆的方程为A. (x+3)2 + (y+2)2=4B. (x+4)2+(y-6)2=4C.(x-4)2+(y-6)2=4D. (x+6)2+(y+4)2=45.在边长为30 米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形，要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为A. 30 米B. 20 米C. 152米D. 15 米6.若α∈(π2,π),2cos2α=sin(π4-α)，则sin2α的值为A.-78B.78C. -18D.187.在如图所示的程序框图中，若输出的值是4 , 则输入的x的取值范围是A. (2, 十∞)B. (2, 4]C. (4, 10]D. (4,+∞)X8. 为了研究国民收人在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线， 如图所示．劳伦茨曲线为直线 OL 时，表示收人完全平等· 劳伦茨曲线为折线 OKL 时，表示收入完全不平等．记区域 A 为不平等区域，a 表示其面积,s 为△O K L 的面积．将Gini = a S，称为基尼系数 对于下列说法： ①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为y =f (x ),则对∀x ∈(0,1),均有f (x )x>1;③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y =x 2(x ∈[0,1]) , 则Gini =14; ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y =x 3(x ∈[0,1]),则Gini =12. 其中不正确的是：A. ①④B. ②③C. ①③④D. ①② ④9. 2019 年 10 月 1 日是中华人民共和国成立70周年国庆日，将2, 0 , 1 , 9 , 10 按照任意次序排成一行，拼成一个6 位数，则产生的不同的 6 位数的个数为A. 96B. 84C. 120D. 36010. 已知等差数列{a n } 的 公 差 d ≠0 , 且 a 1 , a 3, a 13成等比数列，若 a 1 = 1, S n 为数列{a n }的前n 项和，则2S n +6a n +3的最小值为A. 4B. 3C. 23 - 2D.211. 《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马".现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角 形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为A.6πB. 2πC.6πD.24π12.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，过F 作直线y =-ba x 和垂线，垂足为M ,且交双曲线的左支于N 点，若2FN FM =u u u r u u u u r，则该双曲线的离心率为A. 3B.2C. 5D.7二、填空题：本大题共4小题，每小题5 分，共20 分．13. 二项式(x +2x )6的展开式中的常数项为 ．14. 已知函数f (x )＝-π2x ，g ( x ) =x •cos x -sin x , 当x ∈ [- 4π，4π]且x ≠O 时，方程f ( x ) = g ( x ) 根的个数是 .15. 已知四边形 ABCD 中，AD //BC , ∠BAD = 90°. AD =l ,BC =2 ,M 是AB 边上的动点，则｜｜｜MC MD +u u u u r u u u u r ｜ 的最小值为 ．16.设函数32,ln ,x x x e y x x e m ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩ 的图象上存在两点 P ，Q , 使得△POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形（其中 0 为坐标原点），且斜边的中点恰好在 y 轴上，则实数 m 的取值 范围是 ．三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21 题为必考 题，每个试题考生 都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共 60 分17. (12 分）巳知数列{a n }为公差不为零的等差数列，S 7=77,且满足a 112=a 1•a 61.(I) 求数列{ a n } 的通项公式 ； ( II ) 若 数 列 { b n .}满足111(*)n n n a n N b b +-=∈ , 且113b =- ,求数列{b n }的前 n 项和 T n .18. (1 2 分）由团中央学校部、全国学联秘书处、中国青年报社共同举办的 2018 年度全国“最美中学生“寻访活动结果出炉啦， 此项活动于 2018 年 6 月启 动，面向 全 国中学在校学生，通过投票方式寻访一批在热爱祖国、勤奋学习、热心助人、见义勇为等方面表现突出、自觉树立和践行社会主义核心价值观的“最美中学生”。

河南省郑州市高中毕业年级第二次质量预测理科数学试题卷本试卷分第I 卷(选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟，满分150 分.考生应首先阅读答题卡上地文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.第I 卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出地四个选项中，只有一个符合 题目要求. 1.复数z 1=3+i ，z 2 =1-I 则z=21z z 地共轭复数在复平面内地对应点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 2. 若532cos =θ-，542sin-=θ，则角θ地终边所在地直线为A. 7x+24y=0B. 7x-24y=0C. 24x+7y=0D.24x-7y=03_在数列{a n }中，a n+1=ca n (c;为非零常数），前n 项和为S n = 3n+k ，则实数k 为A.-1B.0C.1D.24. 设a ，β分别为两个不同地平面，直线l a ，则“l 丄β”是“a 丄β成立地 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5. 若xx c c b linx a e x ln ln 1,)21(,),1,(===∈-，则a ，b ，c 地大小关系为A. c>b>aB. b>c>aC. a>b>cD. b>a>c 6.已知函数f(x)地导函数为)(x f '，且满足x e f x x f ln )(2)(+'=，则)(e f ' =A. 1B. —1C. –e -1D. —e7. 一个锥体地主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体地俯视图地是8. 在二项式nxs x )1(4+地展开式中，前三项地系数成等差数列，把展开式中所有地项重新排成一列，有理项都互不相邻地概率为 A. 61B. 41 C. 31 D. 1259. 如图所示，F 1 F2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x （a>0，b>0)地两个焦点，以坐标原点O 为圆心，|OF 1|为半径地圆与该双曲线左支 地两个交点分别为A ，B ，且ΔF 2AB 是等边三角形，则双曲线地 离心率为A. 12+ B. 13+ C.212+ D.213+10. 函数f(x)=ax m(1-x)2在区间[0，1]上地图象 如图所示，则m 地值可能是A. 1B.2C. 3D.411. 设f(x)是定义在R 上地增函数，且对于任意地工都有f(2—x)+f(x)=0恒成立.如果实数m 、n 满足不等式组⎩⎨⎧><-++-30)8()236(22m n n f m m f ’则m 2+n 2地取值范围是A. (3，7)B. (9，25)C. (13，49)D. (9，49)12. 已知函数x x x f cos 21)(-=，则方程)(=x f 为A. 0B. 23π第II 卷本卷包括必考題和选考題两部分.第13题〜第21題为必考题，第22题〜24题为选考 題.考生根据要求作答.二、填空題:本大题共4小题，每小题5分. 13.等差数列{a n }地前7项和等于前2项和，若a 1=1，a k +a 4=0，则k=______.14. 已知O 为坐标原点，点M(3，2)，若N(x ，y)满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥401y x y x 则ON OM ·地最大值为______.15.已知不等式222y axxy +≤，若对任意x ∈[l ，2]，且y∈[2，3]，该不等式恒成立，则 实数a 地取值范围是______.16.过点M(2，-2p)作抛物线x 2=2py(p>0)地两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB 地中 点纵坐标为6，则p 地值是______.三、解答题:解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤.17. (本小题满分12分）如图所示，一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以50 公里/小时地速度勻速行驶（图中地箭头方向为汽车行驶方向），汽车开动地同时，在距汽车出发点O点地距离为5公里，距离公路线地垂直距离为3公里地M点地地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机.问骑摩托车地人至少以多大地速度勻速行驶才能实现他地愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少公里？18. (本小题满分12分）每年地三月十二日，是中国地植树节.林管部门在植树前，为保证树苗地质量，都会在植树前对树苗进行检测.现从甲、乙两批树苗中各抽测了 10株树苗地高度，规定高于128厘米地为“良种树苗”，测得高度如下(单位:厘米）甲：137，121，131，120，129，119，132，123，125，133乙：110，130，147，127，146，114，126，110，144，146(I)根据抽测结果，完成答题卷中地茎叶图，并根据你填写地茎叶图，对甲、乙两批树苗地高度作比较，写出对两种树苗高度地统计结论；(II)设抽测地10株甲种树苗髙度平均值为将这10株树苗地高度依次输人按程序框图进行运算，（如图）问输出地S大小为多少？并说明S地统计学意义；(III)若小王在甲批树苗中随机领取了 5株进行种植，用样本地频率分布估计总体分布，求小王领取到地“良种树苗”株数X地分布列.19. (本小题满分12分） 如图，正三棱柱ABC-A 1B 1C 1地所有棱长都为2，)(1R CC CD ∈=λλ(I)当λ=21时，求证AB 1丄平面A 1BD;(II)当二面角A —A 1D —B 地大小为3π-时，求实数λ地值.20. (本小题满分12分） 已知椭圆C:13422=+y x 地右焦点为F ，左顶点为A ，点P 为曲线D 上地动点，以PF 为直径地圆恒与y 轴相切.(I)求曲线D 地方程；(II)设O 为坐标原点，是否存在同时满足下列两个条件地ΔAPM?①点M 在椭圆C 上;②点O 为ΔAPM 地重心.若存在，求出点P 地坐标；若不存在，说明理由.（若三角形 ABC 地三点坐标为A(x 1，y 1)，B(x 2，21. (本小题满分12分）已知函数f(x)=lnx 与g(x)=kx+b(k ，b ∈R)地图象交于P ，Q 两点，曲线y=f(x)在P ，Q 两点处地切线交于点A.(I)当k = e ，b=-3时，求f(x) — g(x)地最大值(e 为自然常数）(II)若)11,1(--e e e A |，求实数k ，b 地值.选做题(本小题满分10分，请从22、23、24三个小题中任选一题作答，并用铅笔在对应 方框中涂黑）22.选修4—1:几何证明选讲 如图，已知0和M 相交于A 、B 两点，AD 为M 地直径，直线BD 交O 于点C ，点G 为弧BD 中点，连结 AG 分别交0、BD 于点E 、F ，连结CE.(I ）求证:AG ·EF=CE ·GD ； (II)求证：22CE EF AG GF23. 选修4一4:坐标系与参数方程 已知直线C 1: ⎩⎨⎧=+=at y a t x sin cos 1’（t 为参数），曲线C 2:⎩⎨⎧==θθsin cos y x(θ为参数).(I)当a=3π时，求C 1与C 2地交点坐标； (II)过坐标原点0作C 1地垂线，垂足为A ，P 为OA 中点，当a 变化时，求P 点轨迹地参数方程，并指出它是什么曲线.24. 选修4一5:不等式选讲 已知函数f(x)=|x —a|(I)若不等式f(x)≤3地解集为{x|-1≤x ≤5}，求实数a地值；(II)在（I)地条件下，若f(x)+f(x + 5)m对一切实数x恒成立，求实数m地取值范围.高中毕业年级第二次质量预测数学（理科）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）DDAA BCCD BACC二、填空题（每小题5分，共20分）13．6；14．12；15．1a ≥-；16．1或2． 三、解答题17．解:作MI 垂直公路所在直线于点I ，则3=MI ，54cos 4,5=∠∴=∴=MOI OI OM Θ ――――2分设骑摩托车地人地速度为v 公里/小时，追上汽车地时间为t 小时 由余弦定理:()()545052505222⨯⨯⨯-+=t t vt ――――6分900900)81(25250040025222≥+-=+-=⇒tt t v -――――8分∴当81=t 时，v 地最小值为30，∴其行驶距离为415830==vt 公里――――11分故骑摩托车地人至少以30公里/时地速度行驶才能实现他地愿望， 他驾驶摩托车行驶了415公里. ――――12分18．解: （Ⅰ）茎叶图略. ―――2分统计结论：①甲种树苗地平均高度小于乙种树苗地平均高度;②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐;③甲种树苗地中位数为127，乙种树苗地中位数为128.5;④甲种树苗地高度基本上是对称地，而且大多数集中在均值附近，乙种树苗地高度分布较为分散. ―――4分（每写出一个统计结论得1分）（Ⅱ）127,135.x S==――――6分S表示10株甲树苗高度地方差，是描述树苗高度离散程度地量.S值越小，表示长得越整齐，S 值越大，表示长得越参差不齐．――――8分（Ⅲ）由题意，领取一株甲种树苗得到“良种树苗”地概率为12，则1~(5,)2X B ―――10分 所以随机变量X 地分布列为X0 1 2 3 4 5 p132532516516532132――――12分 19.解：（Ⅰ）取BC 地中点为O ，连结AO在正三棱柱111ABC A B C -中面ABC ⊥面1CB ，ABC ∆为正三角形，所以AO BC ⊥，故AO ⊥平面1CB ．以O 为坐标原点建立如图空间直角坐标系O xyz-，――――2分则(0,0,3)A ，1(1,2,0)B ，(1,1,0)D -，1(0,2,3)A ，(1,0,0)B ． 所以1(1,2,3)AB =-u u u r，1(1,1,3)DA =u u u u r，(2,1,0)DB =-u u u r，因为1111230,220AB DA AB DB ⋅=+-=⋅=-=u u u r u u u u r u u u r u u u r，所以111,AB DA AB DB ⊥⊥，又1DA DB D =I ，所以1AB ⊥平面1A BD． ――――－6分（Ⅱ）由⑴得(1,2,0)D λ-，所以1(1,22,3)DA λ=-u u u u r，(2,2,0)DB λ=-u u u r，(1,2,3)DA λ=-u u u r，设平面1A BD 地法向量1(,,)n x y z =u r，平面1AA D 地法向量2(,,)n s t u =u u r，由1110,0,n DA n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u u r u r u u u r 得平面1A BD地一个法向量为1(n λ=u r ，同理可得平面1AA D地一个法向量21)n =-u u r，由1212121cos ,2||||n n n n n n ⋅<>==⋅u r u u ru r u u r ur u u r ，解得14λ=，为所求．――――12分20．解：（Ⅰ）设(,)P x y ，由题知(1,0)F ，所以以PF 为直径地圆地圆心1(,)2x E y +，则|1|1||22x PF +==整理得24y x=，为所求． ――――4分（Ⅱ）不存在，理由如下： ――――5分若这样地三角形存在，由题可设211122(,)(0),(,)4y P y y M x y ≠，由条件①知2222143x y +=，由条件②得0OA OP OM ++=u u u r u u u r u u u u r r ，又因为点(2,0)A -，所以2121220,40,y x y y ⎧+-=⎪⎨⎪+=⎩即222204y x +-=，故2223320416x x -+-=，――――9分 解之得22x =或2103x=（舍），当22x=时，解得(0,0)P 不合题意，所以同时满足两个条件地三角形不存在． ――――12分21、解：（Ⅰ）设()()()ln 3(0)h x f x g x x ex x =-=-+>， 则11()()e h x e x x x e'=-=--， ――――1分当10x e <<时，()0h x '>，此时函数()h x 为增函数；当1x e >时，()0h x '<，此时函数()h x 为减函数． 所以max 1()()1131h x h e==--+=，为所求． ――――4分（Ⅱ）设过点A 地直线l 与函数()ln f x x =切于点0(,ln )x x ，则其斜率01k x =，故切线0001:ln ()l y xx x x -=-，将点1(,)11eA e e --代入直线l 方程得：0011ln ()11e x x e x e -=---，即0011ln 10e x e x -+-=，――――7分设11()ln 1(0)e v x x x e x-=+->，则22111()()1e e ev x x ex x ex e --'=-=--，当01e x e <<-时，()0v x '<，函数()v x 为增函数； 当1e x e >-时，()0v x '>，函数()v x 为减函数． 故方程()0v x =至多有两个实根， ――――10分又(1)()0v v e ==，所以方程()0v x =地两个实根为1和e ，故(1,0),(,1)P Q e ，所以11,11k b e e==--为所求．――――12分22．证明：（Ⅰ）连结AB 、AC ，∵AD 为⊙M 地直径，∴∠ABD =90°，∴AC 为⊙O 地直径， ∴∠CEF ＝∠AGD =90°. ――――2分∵G 为弧BD 中点，∴∠DAG =∠GAB =∠ECF . ――――4分∴△CEF ∽△AGD ∴GDAGEF CE， ∴AG ·EF = CE ·GD ――――6分（Ⅱ）由⑴知∠DAG =∠GAB =∠FDG ，∠G =∠G ，∴△DFG ∽△AGD ， ∴DG 2=AG ·GF .――――8分由⑴知2222AG GD CE EF =，∴22CE EF AG GF =――――10分23．解：（Ⅰ）当3π=a 时，C 1地普通方程为)1(3-=x y ，C 2地普通方程为122=+y x，联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1)1(322y x x y ，解得C 1与C 2地交点坐标为（1，0），)23,21(-．――――5分（Ⅱ）C 1地普通方程为0sin cos sin =--αααy x ，A点坐标为)cos sin ,(sin2ααα-，故当α变化时，P 点轨迹地参数方程为21sin ,21sin cos ,2x y ααα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（α为参数）P 点轨迹地普通方程为161)41(22=+-y x ．故P 点轨迹是圆心为)0,41(，半径为41地圆．――――1024．解：（Ⅰ）由3)(≤x f 得3||≤-a x ，解得33+≤≤-x x a ．又已知不等式3)(≤x f 地解集为{}51|≤≤-x x ，所以⎩⎨⎧=+-=-5313a a ，解得2=a .――――4分（Ⅱ）当2a =时，|2|)(-=x x f ，设)5()()(++=x f x f x g ， 于是⎪⎩⎪⎨⎧>+≤≤--<--=++-=.2,12,23,5,3,12|3||2|)(x x x x x x x x g――――6分所以当3-<x 时，5)(>x g ； 当23≤≤-x 时，5)(=x g ； 当2x >时，5)(>x g ．综上可得，()g x地最小值为5．――――9分从而若m(，即mx(对一切实数x))g≥+)5(xxf+f≥恒成立，则m地取值范围为（-∞，5]．――――10分。

精品解析：郑州市2012届高三第二次质量预测数学（理）试题解析（教师版）【试题总体说明】试题总体看来,结构是由易到难,梯度把握比较好,有利于各类考生的发展,具有一定的区分度。

完全遵守了新课标全国卷的试题模式。

遵循了科学性、公平性、规范性的原则,彰显了时代精神,为新课标的高考进行了良好的铺垫。

主要通过以下几点来看：第一,立足教材,紧扣考纲,突出基础。

理科试卷立足教材,紧扣考纲,试题平稳而又不乏新意,平中见奇。

如选择题5,14等；第二,强化主干知识,知识涵盖广,题目亲切,难度适中。

如填空16等；第三,突出思想方法,注重能力考查，如选择12等。

第四,结构合理,注重创新,展露新意。

如解答题16题，以三角函数为背景考查实际应用问题。

一、选择題(本大题共12小题,舞小题5分,共60分.在毎小题给出的四个选项中,只有一顼是符合題目要求的1. 设(i 是虚数单位），则=A. –IB. iC. OD. 1 【答案】C【解析】依题意得()()()()22221212211211011i i z z z z z z z z i i ++-++===+-，选C.2. 在等差数列中，，则数列的前10项的和为A. 100B. 110C. 120D. 130 【答案】B【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则有62262a a d -==-，()222n a a n d n =+-=，11022022a a +=+=，等差数列{}n a 的前10项和等于()()1101101051102a a a a +=+=，选B.3 1名老师和5位同学站成一排照相，老师不站在两端的排法共有 A. 450 B. 460 C. 480 D. 500 【答案】C【解析】依题意，1名老师和5位同学站成一排照相，老师不站在两端的排法共有2454480A A =种（注：25A 表示的是从这5位同学中任选2位在两端排列的方法数；44A 表示其余四人的排列方法数），选C. 4. 在等比数列中，若是方程的两根，则a 6的值是A.B.C.D.【答案】A6. 已知函数，若是函数的零点，且，则的值A.恒为正值B.等于0C.恒为负值D.不大于0 【答案】A【解析】注意到函数()31log 5xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在()0,+∞上是减函数，因此当100x x <<时，有()()10f x f x >；又0x 是函数()f x 的零点，因此()00f x =，()10f x >，即此时()1f x 的值恒为正值，选A.7. —个几何体的三视图及其尺寸如右图所示，其中正(主)视图是直角三角形，侧（左〉视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的体积是(单位cm 3) A.B.C. D.【答案】A此93x y的最小值是6，选D. 9. 设是三个互不重合的平面，m 、n 是两条不重合的直线,则下列命题中正确的是 A.若，则 B.若，则 C.若，则D.若，则内，且直线m 垂直于这两个平面的交线，因此选项C 不正确；对于D ，满足题设条件的直线,m n 所成的角不确定，因此选项D 不正确.综上所述，选B.10. 若双曲线的左、右焦点分别为，线段被抛物线的焦点分成7 ：3的两段，则此双曲线的离心率为 A.B. C.D.【答案】B【解析】依题意得知，72273bc c+=⨯+，即45b c=（其中c是双曲线的半焦距），35a c==，53ca=，因此该双曲线的离心率等于53，选B.11. 如图曲线和直线所围成的图形（阴影部分)的面积为A. B.C. D.【答案】D点D是ABC∆的外接圆圆心，于是点D在线段AC的垂直平分线上，点B在线段AC的垂直平分线上，即有AB BC=，()()()()2123f f f f-=-；又,,A B C三点不能共线，本卷包括必考题和选考题两部分。

a2
a2 2
4a
,
a
2
a2 2
4a
,
当 0 a 4 时， F x 单增区间是 0, .………………………12 分
22.（Ⅰ）C 的直角坐标方程为 x 2 ( y a)2 a 2 ， ………………………2 分
消 t 得到 4x 3 y 5 0 ………………………………………4 分
= (n 1)(n 2 5) 3 n(n 2).
…………………………8 分
对 b1
1 3
也适合，
………………………9 分
1 bn
n(n
2)(n
N )bn
1 2
(1 n
n
1
). 2
…………………10 分
Tn
1 (1 1 1 1 1 1 ) 1 (3 1 1 ) 3n2 5n .
2
1 故 a 的最小值为 ．
2
………………………………10 分
所以，
MON
的面积
SAOB
1| 2
AB
|
d
1 2
|
x1 y2
x2 y1

|，
根据椭圆的对称性，四边形 M N P Q 的面积 S 2 | x1y2 x2 y1 | ，……10 分
所以， S 2 4(x1 y2 x2 y1)2 4(x12 y22 2x1x2 y1 y2 x22 y12 )
4 得 f (x )＞5 的解集为{x|x＜－ ，或 x＞2}．……………………………………5 分
3
（Ⅱ）由
f(x)≤a|x＋3|得
a≥
|
x
| 1
x |
1| |x
3
|

2024学年郑州市高三（下）第二次模拟考试数学（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效。

3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如果复数()221i z m m m =+---是纯虚数,m ∈R ,i 是虚数单位,则()A.1m ≠且2m ≠-B.1m =C.2m =-D.1m =或2m =-2.集合{}180(1)90,n A x x n n ==⋅︒+-⋅︒∈Z ∣与{}36090,B xx m m ==⋅︒+︒∈Z ∣之间的关系是()A.A BÜ B.B AÜ C.A B= D.A B =∅3.已知ϕ为第一象限角，若函数()()2cos cos f x x x ϕ=-+，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A B ．C ．34-D 4.有一块半径为2,圆心角为45︒的扇形钢板,从这个扇形中切割下一个矩形(矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上,且矩形的一边在扇形的半径上),则这个内接矩形的面积最大值为()A.2+B.2C.2- D.2+6.已知数列{}n a 为等差数列,其前n 项和为n S ,*n ∈N ,且21230a a =≠,也是等差数列,则n a =()A.nB.1n + C.89n D.8(1)9n +7.已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的不同点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，1AB =，BC =O 的表面积为4π，则SA =()A.2B.18.如图,M 为四面体OABC 的棱BC 的中点,N 为OM 的中点,点P 在线段AN 上,且2AP PN =,设OA a = ,OB b = ,OC c = ,则OP = ()A.111366OP a b c=++ B.21131212OP a b c =++C.111366OP a b c=-+ D.2113126OP a b c =+-二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.双曲抛物线又称马鞍面，其形似马具中的马鞍表面而得名.其在力学、建筑学、美学中有着广泛的应用.在空间直角坐标系中，将一条xOz 平面内开口向上的抛物线沿着另一条yOz 平面内开口向下的抛物线滑动（两条抛物线的顶点重合）所形成的就是马鞍面，其坐标原点被称为马鞍面的鞍点，其标准方程为22222(0,0)x y z a b a b-=>>，则下列说法正确的是()A.用平行于xOy 平面的面截马鞍面，所得轨迹为双曲线B.用法向量为()1,0,0的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线C.用垂直于y 轴的平面截马鞍面所得轨迹为双曲线D.用过原点且法向量为()1,1,0的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线3三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.已知()f x 满足()()8f x f x =+,当[)0,8x ∈,()[)[)422,0,428,4,8x x f x x x ⎧--∈⎪=⎨-∈⎪⎩,若函数()()()21g x f x af x a =+--在[]8,8x ∈-上恰有八个不同的零点,则实数a 的取值范围为__________.13.记ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,()sin sin sin a A b B c C -=-,若ABC △外接圆面积为 π ,则ABC △面积的最大值为______.14.如图,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E 为BC 的中点,点P 在线段1D E 上,点P 到直线1CC 的距离的最小值为____________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)在一次购物抽奖活动中,假设某10张券中有一等奖券1张,可获价值50元的奖品；有二等奖券3张,每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从此10张券中任抽2张,求:（1）该顾客中奖的概率；（2）该顾客获得的奖品总价值 ξ(元)的概率分布列和期望()E ξ.16.(15分)若数列{}n x 满足：存在等比数列{}n c ,使得集合{}*n n x c n +∈N 元素个数不大于k ()*k ∈N ,则称数列{}n x 具有()P k 性质.如数列1n x =,存在等比数列(1)n n c =-,使得集合{}{}*0,2nn xc n +∈=N ,则数列{}n x 具有(2)P 性质.若数列{}n a 满足10a =,()*11(1)22n n n a a n +=-+-∈N ,记数列{}n a 的前n 项和为n S .证明：（1）数列{}(1)n n a +-为等比数列；（2）数列{}n S 具有(2)P 性质.17.(15分)如图所示,在直四棱柱1111ABCD A B C D -中,//AB CD ,AB AD ⊥且1AB AD ==,2CD =,1AA =,M 是1DD 的中点.(1)证明1BC B M ⊥；(2)求点B 到平面1MB C 的距离.18.(17分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为22,且过点()2,2P .（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0M -作直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,且椭圆C 的左,右焦点分别为1F ,2F ,12F AF △,12F BF △的面积分别为1S ,2S ,求12S S -的最大值.19.(17分)已知函数()22(ln )(1)f x x a x =--,a ∈R .（1）当1a =时,求()f x 的单调区间；（2）若1x =是()f x 的极小值点,求a 的取值范围.2024学年郑州市高三（下）第二次模拟考试数学•参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.答案：C解析：由复数()221i z m m m =+---是纯虚数,得22010m m m ⎧+-=⎨-≠⎩,解得2m =-.故选：C.2.答案：C解析：当2()n k k =∈Z 时，36090()x k k =⋅︒+︒∈Z ；当21()n k k =+∈Z 时，36090()x k k =⋅︒+︒∈Z ，所以A B =.3.答案：D解析：由题意可得：()()2cos cos 2cos cos 2sin sin cos f x x x x x xϕϕϕ=-+=++()()2sin sin 2cos 1cos x x x ϕϕα=++=+，则=1cos 4ϕ=，且ϕ为第一象限角，则15sin 4ϕ=，故πππ132cos cos cos 33324f ϕϕϕ+⎛⎫⎛⎫=-+=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.4.答案：C 解析：如图:在Rt OCB △中,设COB α∠=,则2cos ,2sin OB BC αα==,在Rt OAD △中,tan 451DAOA︒==,所以2sin OA DA α==,2cos 2sin AB OB OA αα∴=-=-,设矩形ABCD 的面积为S ,则()212cos 2sin 2sin 4(sin 2sin )2S AB BC ααααα=⋅=-⋅=-π2(sin 2cos 2)2224ααα⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭,由于π04α<<,所以当π8α=时,2S 最大,故选:C解析：设{}n a 的公差为d ,由2123a a =,得12a d =,211(1)111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫+=++=+-+ ⎪⎝⎭,由题意知,此式为完全平方形式,全平方形式,故21202d a d ⎛⎫∆=--= ⎪⎝⎭,解得89d =或0(舍去),则1169a =,则n a =8(1)9n +.故选：D.7.答案：B解析：如下图所示：由SA ⊥平面ABC 可知SA AB ⊥，SA BC ⊥，又AB BC ⊥，所以四面体S ABC -的外接球半径等于以长宽高分别为SA ，AB ，BC 三边长的长方体的外接球半径，设外接球半径为R ，由球O 的表面积为4π，可得24π4πR =，即1R =；又1AB =，BC =22224R AB BC SA =++，所以1SA =.故选：B.8.答案：A 解析：由题意,221211()333333OP OA AP OA AN OA ON OA OA ON ON OM=+=+=+-=+=+111()332OA OB OC =+⨯+111366a b c =++ 故选:A.二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.答案：AB解析：因为马鞍面的标准方程为22222(0,0)x y z a b a b-=>>，对于A，平行于xOy 平面的面中为常数，不妨设为()000z z ≠，得220222x y z a b-=，故所得轨迹是双曲线.，故A 正确；对于B，法向量为(1,0,0)的平面中为常数，不妨设为0x ，则222222b x y b z a=-+，为抛物线方程，故B 正确；对于C，垂直于y 轴的平面中y 为常数，不妨设为0y ，则222222a y x a z b=+，为抛物线方程，故C 错误；对于D，不妨设平面上的点坐标为(,,)A x y z ，因为平面过原点且法向量为(1,1,0)=n ，由0OA ⋅=n ，得0x y +=，故y x =-，代入马鞍面标准方程，得222112x z a b ⎛⎫-=⎪⎝⎭，当a b =时，方程为0z =，不是物物线，故D 错误.故选：AB.10.答案：ACD解析：画出函数()2f x x =,()2x g x =,()2log h x x =的图象,如图所示,结合图象,可得三个函数()2f x x =,()2x g x =,()2log h x x =中,当(4,)x ∈+∞时,函数()2x g x =增长速度最快,()2log h x x =增长速度最慢.所以选项B 正确；选项ACD 不正确.故选：ACD.11.答案：AB解析：对于幂函数y x α=,若函数在()0,+∞上单调递增,则0α>,若函数在()0,+∞上单调递减,则0α<,所以0n <,D 选项错误；当1x >时,若y x α=的图象在y x =的上方,则1α>,若y x α=的图象在y x =的下方,则1α<,所以1p >,1m >,01q <<,C 选项错误；因为当1x >时,指数越大,图象越高,所以p m >,综上,10p m q n >>>>>,AB 选项正确.故选:AB三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.答案：95a -<<-解析：因为()()8f x f x =+,所以()f x 为周期是8的周期函数,则()()8042020f f --===,由()()()()()()21110g x f x af x a f x f x a =+--=-++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,得()1f x =或()1f x a =--,作出函数()f x 在[]8,8x ∈-上的大致图象,如图,由图可知,在[]8,8x ∈-上,函数()f x 的图象与直线1y =有六个交点,即()1f x =时,有六个实根,从而()1f x a =--时,应该有两个实根,即函数()f x 的图象与直线1y a =--有两个交点,故418a <--<,得95a -<<-.故答案为：95a -<<-.13.答案：24+解析：由已知及正弦定理得222a b c =-,所以222a c b +-=,所以222cos 22a c b B ac +-==,又()0,πB ∈,所以6B π=.由ABC △的外接圆面积为 π ,得外接圆的半径为1.由正弦定理得2sin 1b B ==,所以221a c +-=,所以2212a c ac +=+≥,解得2ac ≤ABC △的面积112sin 244S ac B ac +==≤,当且仅当a c =时等号成立.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.答案：（1）23（2）分布列见解析,数学期望为:16.解析：（1）解法一:26210C 15211C 453P =-=-=,即该顾客中奖的概率为23.解法二:112464210C C C 302C 453P +===,即该顾客中奖的概率为23.（2）ξ的所有可能值为:0,10,20,50,60(元).∴()26210C 10C 3P ξ===,()1136210C C 210C 5P ξ===()23210C 120C 15P ξ===,()1116210C C 250C 15P ξ===()1113210C C 160C 15P ξ===ξ∴的分布列为:ξ010205060P 1325115215115从而期望()121210102050601635151515E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.∴数学期望为:16.16.答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析解析：（1）设(1)n n n b a =+-,则11b =-,111111(1)(1)(1)(1)22222n n n n n n n n n a a b a b +++=+-=-+---=---=-.因此数列{}(1)n n a +-是首项为1-,公比为12-的等比数列,且11(1)2n n n a -⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭；（2）由（1）,111(1)2n n n a --⎛⎫=--- ⎪⎝⎭,所以111(1)11212(1)11(1)623212n n n n n S ⎛⎫-- ⎪--⎛⎫⎝⎭=-=---+- ⎪--⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭,取数列2132n n r ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,则{}n r 是等比数列,并且11(1)62n n n S r +=---,因此集合{}*21,33n n S r n ⎧⎫+∈=-⎨⎬⎩⎭N ∣,所以数列{}n S 具有(2)P 性质.17.答案：(1)见解析(2)233解析：(1)如图、连接BD,1AB AD == ，2 CD =，BD BC ∴==222BD BC CD ∴+=，BC BD ∴⊥，1BB ⊥ 平面ABCD ,1BB BC ∴⊥，又1BB BD B = ，BC ∴⊥平面11B BDD ,1B M ⊂ 平面11B BDD ，1BC B M ∴⊥.(2)连接BM ，11B D .由已知可得12,B M CM ====1B C ==，22211CM B M B C ∴+=，1B M CM∴⊥设点B 到平面1MB C 的距离为h ,由(1)知BC ⊥平面11B BDD ,∴三棱锥1C MBB -的体积111133MBB MB O BC S h S ⨯⨯=⨯△△，即111123232h =⨯⨯解得3h =,即点B 到平面1MB C的距离为3.18.答案：（1）221126x y +=解析：（1）由椭圆C 的离心率为22,且过点()2,2P得222222441c aa b a c b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩2212,6,a b ⎧=⇒⎨=⎩椭圆C 的方程为221126x y +=（2）当直线l 的斜率不存在时,12S S =,则120S S -=；当直线l 斜率存在且不等于零时,设直线()1:l y k x =+,联立()221,1,126y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()22221242120k x k x k +++-=,设()11,A x y ,()22,B x y ,则2122412kx x k +=-+,212221212k x x k-=+,1112S y =⨯,2212S =⨯,显然A ,B 在x 轴两侧,1y ,2y 异号,所以()()12121211S S y x k x -=+=+++224212k k k ⎛⎫=-+= ⎪+⎝⎭当且仅当12k k =,2k =±时,取等号.所以12S S -19.答案：（1）()f x 在()0,+∞上单调递减；（2）(),1a ∈-∞解析：（1）当1a =时,()22ln 2()2(1)ln x f x x x x x x x '=--=-+,设2()ln g x x x x =-+,则1(21)(1)()21x x g x x x x -+-'=-+=,所以当(0,1)x ∈时,()0g x '>,()g x 单调递增,当(1,)x ∈+∞时,()0g x '<,()g x 单调递减,当1x =时,()g x 取得极大值(1)0g =,所以()(1)0g x g ≤=,所以()0f x '≤,()f x 在(0,)+∞上单调递减；（2）()22ln 2()2(1)ln x f x a x x ax ax x x'=--=-+设2()ln h x x ax ax =-+,则2121()2ax ax h x ax a x x-++'=-+=,(i)当0a <时,二次函数2()21F x ax ax =-++开口向上,对称轴为14x =,28a a ∆=+,当80a -≤<时,280a a ∆=+≤,()0F x ≥,()h x 单调递增,因为(1)0h =,所以当(0,1)x ∈时,()0f x '<,()f x 单调递减,当(1,)x ∈+∞时,()0f x '>,()f x 单调递增,所以1x =是()f x 的极小值点.当8a <-时,280a a ∆=+>,又104F ⎛⎫<⎪⎝⎭,(1)10F a =->,所以存在01,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使得()00F x =,所以当()0,x x ∈+∞时,()0F x >,()h x 单调递增,又(1)0h =,所以当()0,1x x ∈时,()0f x '<,()f x 单调递减,当(1,)x ∈+∞时,()0f x '>,()f x 单调递增,所以1x =是()f x 的极小值点；(ii)当0a =时,2ln ()x f x x'=,当(0,1)x ∈时,()0f x '<,()f x 单调递减,当(1,)x ∈+∞时,()0f x '>,()f x 单调递增,所以1x =是()f x 的极小值点；(iii)当01a <<时,2()21F x ax ax =-++开口向下,对称轴为14x =,280a a ∆=+>,此时(1)10F a =->,故0(1,)x ∃∈+∞,使()00F x =,当01,4x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0F x >,()0h x '>,因此()h x 在01,4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,又(1)0h =,当1,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '<,()f x 单调递减,当()01,x x ∈时,()0f x '>,()f x 单调递增,所以1x =为()f x 的极小值点；(iv)当1a >时,(1)10F a =-<,01,14x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭,使()00F x =,当()0,x x ∈+∞时,()0F x <,()0h x '<,因此()h x 在()0,x +∞上单调递减,又(1)0h =,当()0,1x x ∈时,()0f x '>,()f x 单调递增,当(1,)x ∈+∞时,()0f x '<,()f x 单调递减,所以1x =为()f x 的极大值点；(v)当1a =时,由（1）知1x =非极小值点.综上所述,(,1)a ∈-∞.。

2020 年高中毕业年级第二次质量预测 理科数学试题卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．
1.已知集合 A {x | a 1 x 3a 5} ， B {x | 3 x 22} ，且 A B A ，则实数 a 的
9.2019 年 10 月 1 日，中华人民共和国成立 70 周年，举国同庆.将 2，0，1，9，10 这 5 个数
字按照任意次序排成一行，拼成一个 6 位数，则产生的不同的 6 位数的个数为（ ）
A. 96
B. 84
C. 120
D. 360
【答案】B
【解析】
【分析】
先求得所有不以 0 开头的排列数，再由以 1，0 相邻，且 1 在左边时所对应的排列数有一半是 重复的，求出对应的排列数，进而可求出答案.
有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，
则该球的表面积为
A. 6
B. 2
C. 6
D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】 由题可知该几何体为四棱锥 P﹣ABCD．底面 ABCD 为矩形，其中 PD⊥底面 ABCD，可得该阳马的 外接球的直径为 PB，计算得出结果即可. 【详解】如图所示，该几何体为四棱锥 P﹣ABCD．底面 ABCD 为矩形， 其中 PD⊥底面 ABCD．
5 ,选 C.
考点：1.双曲线的简单几何性质；2.平面向量的坐标运算.
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
-9-
13.在
x
2 x
6
的展开式中常数项为_____________．
【答案】 160 【解析】

故选：B.
【点睛】
本题考查排列组合，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.
10．已知等差数列 的公差 ，且 成等比数列，若 ， 为数列 的前 项和，则 的最小值为（）
A．4B．3C． D．2
【答案】D
【解析】由题意得 ，求出公差 的值，得到数列 的通项公式，前 项和，从而可得 ，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．
在 ， 上是减函数，在 ， 上是增函数，在 ， 上是减函数，
且 ， ； ； ；
故作函数 与 在 ， 上的图象如下，
结合图象可知，两图象在 ， 上共有3个交点；
又 ， 都是奇函数，且 不经过原点，
与 在 ， 上共有6个交点，故 有6个零点．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了导数的综合应用及函数的图象的性质应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题．
A．20B．21C．20.5D．23
【答案】C
【解析】根据茎叶图结合中位数的定义读出即可．
【详解】
解：由题意得，这组数据是：01，02，15，16，18，20，21，23，23，28，32，34，
故中位数是： ，
故选：C．
【点睛】
本题考查了茎叶图的读法，考查中位数的定义，属于基础题．
4．圆 关于直线 对称的圆的方程为（）
① 越小，则国民分配越公平；
②设劳伦茨曲线对应的函数为 ，则对 ，均有 ；
③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 ，则 ；
④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 ，则 ．
其中不正确的是：（）
A．①④B．②③C．①③④D．①②④
【答案】B
【解析】依题意，利用微积分基本定理求出 的面积，即可判断；