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定态微扰论讲解

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非简并定态微扰理论

非简并定态微扰理论

支的发展具有重要意义。
理论的历史与发展
1 2
起源
非简并定态微扰理论起源于20世纪初的量子力学 发展初期，最初是为了解决原子结构和光谱问题。
发展
随着量子力学的发展，非简并定态微扰理论也不 断得到完善和发展，逐渐形成了完整的理论体系。
3
当前研究
目前，非简并定态微扰理论仍然是物理学研究的 重要领域之一，许多学者致力于该理论的进一步 发展和应用。
特性
该理论主要关注系统的能量本征 态，特别是当系统受到微小扰动 时，其能量本征态的变化情况。
理论的重要性
基础性
01
非简并定态微扰理论是量子力学的基本理论之一，对于理解微
观世界的本质和规律具有重要意义。
应用广泛
02
该理论在许多领域都有广泛的应用，如原子物理、分子物理、
固体物理等。
理论发展
03
非简并定态微扰理论的发展对于推动量子力学和其他物理学分
在原子物理中的应用
描述原子能级
非简并定态微扰理论可以用于描 述原子能级的分裂和跃迁，解释 原子光谱的精细结构。
计算原子辐射频率
通过非简并定态微扰理论，可以 计算出原子在不同能级间跃迁时 产生的辐射频率，从而推导出光 谱线的波长。
解释原子磁性
非简并定态微扰理论可以解释原 子的磁性，包括电子自旋磁矩和 轨道磁矩，以及原子磁矩的进动 等现象。
02 非简并定态微扰理论的基 本概念
定子在 不受外界作用力下的状态，其能量是 一定的。定态可以用波函数来描述， 波函数满足薛定谔方程。
微扰
微扰是一个小的外部作用，它可以改 变定态的能量和波函数。微扰可以分 为两类：简并微扰和非简并微扰。
微扰的分类
简并微扰

量子力学讲义V. 定态微扰论

量子力学讲义V. 定态微扰论

V. 定态微扰论1．证明：非简并定态微扰中，基态的能量二级修正永为负。

答：已知，微扰论中，对能量为的态，能量二级修正如态为基态，最低，在上式的取和中，的任一项均有，故永为负。

For personal use only in study and research; not for commercial use2.证明：定态微扰论中，能量的一级近似是总哈密顿算符对零级波因数的平均值．答：设满足的正交归一化零级波函数以表出。

已知。

则正是能量一级近似.3. 能级简并没有解除的解是否必定是近似解？反之，近似解是否必定是能级简并的？For personal use only in study and research; not for commercial use答：能级简并与波方程的近似解这两个概念的意义是不同的，没有什么直接的关联．我们知道，能级简并主要是由于体系哈密顿量具有某种对称性．只要保持这种对称以那么即使是精确解，其能级也是简并的．如氢原子．如果对称性受到彻底破坏或部分破坏，那么—般说来，简并应当消除或部分消除．应用微扰法求解定态问题时，得到的解一般均是近似解．非简并态微扰的近似解，能级当然是非简并的．简并态微扰法中由于微扰的作用．不管能级简并是否能解除，或解除多少，得到的解一般也是近似解．4.一维谐振子，其能量算符为 (1)设此谐振子受到微扰作用(2)试求各能级的微扰修正（三级近似），并和精确解比较。

解：的本征函数、本征值记为。

如众所周知（3）在表象（以为基矢）中，的矩阵元中不等于0的类型为（4）因此，不等于0的微扰矩阵元有下列类型：（5）（6）按照非简并态能级三级微扰修正公式，能级的各级微扰修正为：（7）（8）（9）本题显然可以精确求解，因为令可以写成（10）和式（1）比较，差别在于，因此的本征值为（11）因为，将作二项式展开，即得：（12）和微扰论结果完全一致。

5. 氢原子处于基态．沿z方向加一个均匀弱电场，视电场为微扰，求电场作用后的基态波函数(一级近似)．能级(二级近似)，平均电矩和电极化系数．(不考虑自旋．)解：加电场前，基态波函数为，（波尔半径）（1）满足能量方程（2）其中视外电场为微扰，微扰作势为（3）由于为偶宇称，为奇宇称，所以一级能量修正为0，(4)波函数的一级微扰修正满足方程（5）除了一个常系数外，即球谐函数，考虑到和都是球对称的，易知必可表示成(6)代入（5）式，并计及其中由式（5）可得满足的方程（7）为边界条件为处，。

第3章定态微扰法与微扰分子轨道法.ppt

第3章定态微扰法与微扰分子轨道法.ppt

ˆ H ˆ H ˆ , H 0
H0 H
(2) (2a)
引入一个表征微扰程度的参数，最后再令其对于1
ˆ H ˆ H ˆ , 0 1 H 0
k 和 Ek与外界微扰有关，可以把它们看成表征微扰程度
的参数λ的函数，即可将E和Ψ按的升幂展开
E E0 E E ......
5


上式展开得到一系列关于 n 系数的等式。 由于是 一个参变量，当 取任何值时等式都成立。 因此展开式中的含有 相同幂级的项应该相等，即
:
0
H 0 0 E0 0
' H 0 1 H ' 0 E0 1 E1 0


1 :


0 m
:
k
E ] c [ H
(1) n
*
0

1
k
(1) * En [ H ] c 0
(2)
改记求和指标， ，
k k k 1 1

1
k
(1) c (2) c
* 1
k
(1) * (1) * [ H E ] c c [ H E ] c c n n 0 1 1
' 1 2 ' 2
0 1 2 ......
2
将上两式代入(1)式可得
( H 0 H ' )( 0 1 2 2 ...)
' ( E0 E1' 2 E2 ...)( 0 1 2 2 ...)
6
以通过逐步近似的方法求解。 一般只讨论到二级微扰

量子力学中一维无限深势阱问题两种解题方法的比较

量子力学中一维无限深势阱问题两种解题方法的比较

量子力学中一维无限深势阱问题两种解题方法的比较一维无限深势阱是量子力学中一个经典的问题，可以用两种方法进行求解：定态微扰论和定态井底近似。

1. 定态微扰论：定态微扰论是量子力学中解决简单势场问题常用的一种方法。

在无限深势阱问题中，可以将无穷深方势阱视为定态问题的微扰，将该势场加入到系统的哈密顿量中，然后使用微扰论进行求解。

定态微扰论的步骤如下：- 首先，将无限深方势阱问题的哈密顿量记为H0，并找到H0的本征函数和本征能量。

- 然后，将无穷深势阱视为微扰，将微扰项H'加入到哈密顿量。

- 使用微扰论的公式，展开本征函数和本征能量的泰勒级数，得到微扰的一阶修正项。

- 最后，将微扰项的一阶修正项加到H0的本征能量上，得到精确的能级修正。

2. 定态井底近似：定态井底近似是另一种求解一维无限深势阱问题的常用方法。

该方法的核心思想是将无穷深方势阱问题看作是薛定谔方程在势能井底附近的近似解。

定态井底近似的步骤如下：- 首先，将无限深方势阱的势能井底近似为一个宽度为a的矩阵势阱，且矩阵势阱的势垒高度为无穷大。

- 然后，将定态薛定谔方程在矩阵势阱内求解，得到在该势阱内的本征函数和本征能量。

- 最后，将势能井底趋于无穷深，即将势阱的势垒高度取极限使其趋于无穷大，此时得到的本征函数和本征能量就是无限深方势阱问题的精确解。

比较两种方法：- 定态微扰论适用于一般情况下的微扰问题，可以求得很多物理量的修正。

但是在计算过程中需要进行级数展开，需要考虑到每一阶的修正项，计算较为复杂。

- 定态井底近似是一种近似方法，适用于无穷深方势阱问题的求解。

它将无穷深方势阱问题转化为一个简单的矩阵势阱问题，简化了问题的求解过程。

- 在求解一维无限深势阱问题时，定态井底近似更加简单快速，能够直接得到问题的精确解。

而定态微扰论的应用范围更广，在求解一些复杂问题时更具有优势。

综上所述，定态井底近似适用于一维无限深势阱问题的精确解，而定态微扰论适用于更一般的微扰问题，并具有更广泛的应用范围。

专题讲座10-定态微扰理论

专题讲座10-定态微扰理论

定态微扰理论微扰理论是利用已得的无扰动精确解求出微扰问题的近似解。

假设对于某些势场，我们已经解出了定态薛定谔方程：从而可以得到一套完备的正交本征函数，0ψ，n对应的本征值为0E。

现在，我们在势中加入一个微小扰动。

n0'=+H H H我们期望可以找到新的本征函数和本征值：但是除非我们非常幸运，对于这个有些复杂的势场，一般我们是不可能精确求解薛定谔方程的,必须利用微扰理论来求近似解.能量的一级修正它说明能量的一级近似是微扰在非微扰态中的平均值。

波函数的一级近似，注意到只要无扰动能级是非简并的,上式的分母就不会为零(因为不存在系数m=n)。

但如果两个能态具有相同的能量，我们就会遇到一个大麻烦(分母将为零)；因此,就需要一个简并微扰理论，能量二级近似简倂微扰理论上节的讨论只适用于)0(nE 不是简并的情况.我们来讨论简并的情况,假设属于)0(∧H的本征值)0(nE 有k 个本征函数:k φφφ,...,,21k i E Hi n i ,...,2,1,)0()0(==∧φφ在这种情况下,首先遇到的问题是如何从这k 个φ中挑选出零级近似波函数.我们把零级近似波函数)0(nψ写成k 个φ的线性组合:iki incφψ∑==1)0()0(上式代入(5.1-9),有i ki iki i innnH ccEEHφφψ')(1)0(1)0()1()1()0()0(∑∑=∧=∧-=-以*lφ左乘上式两边,并对整个空间积分(左边由厄密性为零),得到k l c E H ili n ki li ,...,2,1,0)()0()1(1'==-∑=δ式中τφφd H Hi lli'*'∧⎰=上式是以系数)0(ic 为未知量的一次方程组, 写成矩阵形式为'''(0)(0)1112111'''(0)(0)(1)2122222'''(0)(0)12.........kk nk k kk k k H HH c c H H H c c E H HH c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭它有不全为零的解的条件是系数行列式为零,0................................)1(''2'1'2)1('22'21'1'12)1('11=---nkk k k k nk nE H H H H E H H H H E H (5.2-5)这个行列式方程称为久期方程,解这个方程可以得到能量一级修正)1(nE 的k 个根)1(nj E ),...2,1(k j =.因为)1()0(nnnE E E+=,若)1(nE 的k 个根都不相等,则一级微扰可以将k 度简并完全消除.若)1(nE 有几个重根,说明简并只是部分消除,必须进一步考虑能量的二级修正,才能使能级完全分裂开来.为了确定能量)1()0(njnjE EE +=所对应的零级近似波函数，可以把)1(njE 的值代入（5.2－3）式中解出一组)0(ic ，再代入（5.2－2）式即可。

定态微扰论的适用条件 -回复

定态微扰论的适用条件 -回复

定态微扰论的适用条件-回复定态微扰论是一种重要的量子力学近似方法，用于求解被微弱扰动影响的量子力学系统的能级和态。

它的适用条件如下：1. 系统处于定态：定态微扰论仅适用于系统在初始态和微扰作用下的定态情况。

如果系统在初始态和微扰作用下发生了能级跃迁或态的变化，定态微扰论就不再适用。

2. 微扰小：定态微扰论要求微扰作用相对于系统的哈密顿量来说是小的。

一般来说，微扰项的大小要远小于系统的能级间隔，以保证微扰对系统的影响较小。

3. 系统的能级简并度：定态微扰论通常适用于系统存在能级简并的情况。

能级简并是指系统存在多个具有相同能量的量子态。

这是因为微扰作用可以导致能级的分裂，从而使得简并态之间的能级差不再相同。

在满足以上条件的情况下，可以使用定态微扰论来计算系统的能级修正和态的变化。

下面将逐步回答关于定态微扰论适用条件的问题。

首先，定态微扰论适用于求解处于定态的系统。

对于处于定态的系统，其时间演化满足薛定谔方程，可以用定态波函数进行描述。

如果系统在初始态和微扰作用下发生了能级跃迁或态的变化，定态微扰论就不再适用。

其次，定态微扰论要求微扰作用相对于系统的哈密顿量来说是小的。

我们假设系统的哈密顿量为H0，微扰作用为V。

微扰的大小一般用微扰参数λ来表示，即V/（H0+V）。

在定态微扰论中，我们希望微扰对系统的影响较小，即λ≪1。

这样我们可以将系统的哈密顿量拆分为两部分：H0+V0和V，其中H0+V0作为未受微扰的哈密顿量，V作为微扰项。

可以通过H0+V0的解析求解方法来求解未受微扰的系统，并利用微扰项V计算能级的修正和态的变化。

最后，定态微扰论通常适用于系统存在能级简并的情况。

能级简并是指系统存在多个具有相同能量的量子态。

在无微扰作用时，这些量子态之间是完全简并的。

但是当微扰作用加入后，能级简并会被打破，简并态之间的能级差不再相同。

定态微扰论的目的就是计算能级简并态之间的能级修正，以及得到微扰后的简并态。

对于不存在能级简并的系统，定态微扰论通常不适用。

定态微扰论的适用条件 -回复

定态微扰论的适用条件-回复题目：定态微扰论的适用条件导言：定态微扰论是量子力学中的一种重要方法，用来计算已知粒子的哈密顿量的微小改变对其能级和波函数的影响。

它在解决简洁系统的问题上表现出很大的优势，但在某些情况下并不适用。

本文将从定态微扰论的基本原理、适用条件以及特殊情况下的处理方法等方面进行论述。

一、定态微扰论的基本原理定态微扰论是建立在量子力学哈密顿量的微小改变下研究系统能级和波函数的一种近似方法。

其基本原理可以概括为以下步骤：1. 将整个系统的哈密顿量H0按照重要程度分解为H0=H0'+V0，其中H0'为系统的主要哈密顿量，V0为微小的扰动哈密顿量。

2. 先求解主要哈密顿量H0'的本征值问题，得到本征态和对应的能级。

3. 将微小扰动哈密顿量V0加入，并将其视为微小摄动。

4. 利用微扰展开将含有微小摄动的哈密顿量进行级数展开，然后利用叠加原理计算能量和波函数的修正。

5. 根据一定的截断条件对展开后的级数进行截断，得到一阶微扰项或更高阶微扰项，并计算修正后的能量和波函数。

二、定态微扰论的适用条件定态微扰论在解决某些简洁系统的问题上非常有效，但也存在适用条件。

以下列举了几个定态微扰论适用的典型情况：1. 扰动哈密顿量V0足够小：当微小摄动V0的影响远小于主哈密顿量H0'本身时，定态微扰论才适用。

这要求扰动项V0在矩阵元上的取值较小。

2. 系统的本征态可展开为主哈密顿量H0'的本征态：对于复杂的系统，在微扰项V0下，系统的本征态是否仍然可以展开为主哈密顿量的本征态是定态微扰论能否适用的关键。

3. 系统的本征态具有简单的能级分布：当主哈密顿量的能级简单且能级的跃迁关系较少时，定态微扰论更容易求解。

三、特殊情况下的处理方法虽然定态微扰论在很多情况下都适用，但也有一些特殊的情况需要采用其他方法来求解。

以下是两种常见的特殊情况及对应的处理方法：1. 近简并情况：当扰动项引起系统出现能级近似相等的情况时，定态微扰论无法直接应用。

定态微扰论的基本思想

分为两种情况： （1） H不ˆ 显含 ，t 即定态问题，它又分为非简并和简并两种情况；
（2） H显ˆ 含 ，t 可用它的近似解讨论体系状态之间的跃迁问题及
光的发射和吸收等问题。
非简并微扰
能量和波函数的一级修正
En
E(0) n
Hnn
n
(0) n
m
/ Hm n
(0)
E(0) n
E(0(1) 2
E (1) 2.1
E (1) 2.2
E (1) 2.3
E (1) 2.4
3ea0 3ea0
0 0
E2
E2(0)
E2(1)
EE22((00)) E2(0)
3ea0 3ea0
E (0) 2
E (0) 2
3eEa0
E (0) 2
E (0) 2
3eEa0
E (0) 1
定态微扰论的基本思想
前面，利用薛定谔方程求解了一 简单的能量本征问题。例如：线性谐振 子、方势阱、氢原子问题等。实际上， 能用薛定谔方程严格求解的问题极为有 限，大多数问题无法严格求解，只能求 近似解。求近似解的方法很多，例如微 扰理论、变分法等。每一种方法都有它 的适用范围，其中应用最为广泛的是微 扰论.
简并微扰理论
假设En(0)是简并的，那末属于 H(0)的本征值 En(0) 有 k 个归 一化本征函数：| n1 >, | n 2 >, ......, | n k >
<n |n >=
于是我们就不知道在k个本征函数中究竟应取哪一个作为微扰 波函数的 0 级近似。所以在简并情况下，首先要解决的问题 是如何选取 0 级近似波函数的问题，然后才是求能量和波函 数的各级修正. 我们选取 0 级近似波函数|ψn(0)>的最好方法是将其表示成 k 个| n k >的线性组合，因为反正 0 级近似波函数要在| nk > ( =1, 2, ..., k )中挑选

第19讲 定态微扰论


(0) k
E(0) k
|
(0) k
的本征值Ek(0)和正交归
一本征态 k(0)已给出,即
(0 n
)
|
(0 k
)
nk
同时，能级不简并，则Ek 和 k可以表示为
Ek
E (0) k
E (1) k
E (2) k
;
E (i1) k
Ek(i) ;
| k
|
( k
0)
|
(1) k
|
(2) k
在下面的讨论中，要求
|
Hˆ
|
(0) k
＝0
用
得
E (1) k
( k
0)
|
Hˆ
|
(0) k
H kk
算符的 （4）
矩阵元
7
二、定态微扰论中能级的一般公式(4)
Ek(1)
( k
0)
|
Hˆ
|
( k
0)
H kk
（4）
(Hˆ 0
Ek(0
)
)
|
( k
2
)
(Ek(1)
Hˆ
)
|
(1) k
Ek(2)
|
( k
0)
(3)
用
(0) k
|
E (i1) k
Ek(i) ;
| k
|
(0) k
|
(1) k
|
( k
2)
所谓一级近似，是指
| k
|
(0) k
|
(1) k
，Ek
Ek(0)
Ek(1)
Ek(1)
(0) k
|

无简并定态微扰论课件


中可得，
6
用 左乘上式两边，再对整个空间积分，利用本征函数的 正交归一性化简，得
称为微扰矩阵元 （5）
7
当m=k时，即取 得到E的一级修正
时，
（5） ，于是从(5)式可
为求 ，现在求(4)式中各叠加系数。 当m≠k时，由(5)式可得叠加系数 或
还有 没有求出，可由归一化条件
求得.
8
此时，
于是归一化条件为
13
至此，
具体要求
此条件可保证 很小， 也很小。
级数
收敛很快，求到 和 已足够精确。
14
例：一维无限深势阱(0<x<a)中的粒子，受到微扰 的 作用，求基态能量的一级修正.
解：一维无限深势阱中，粒子能量的本征函数(无简并)为
对于基态，k=1，
15
基态能量的一级修正值为
16
例：设一体系的哈密顿量为
，其中
的实数. 求在二级近似下的能量本征值. 解：
微扰 作用后，两个能级能量的一级修正值分别为
17
二级修正值： 因此，在二级近似下，两个能级的能量分别为
18
作业题
1.设一含微扰体系的哈密顿量为
其中， 是对角化的，而 求能量的二级修正值. 2. 习题141页，第一题
19
2 近似方法的出发点 近似方法通常是从简单问题的精确解（解析解）出发， 来求较复杂问题的近似（解析）解。微扰论, 变分法, 绝热近似, 准经典近似等 3 近似解问题分为两类 1）体系 Hamilton 量不是时间的显函数——定态问题 ① 定态微扰论; ② 变分法. 2 ）体系 Hamilton 量显含时间 —— 状态之间的跃迁 问题 ① 与时间 t 有关的微扰理论
所以，体系受微扰后，其状态变化较小，
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左乘ψm (0) *再积分
?
? ?? ? ? a E ? E ] d (1) (0)
(1)
n
n
(0) n
? ? ? ? ? H? ? H? ? E ? E ? E (0) (2) n
(1) (1) n
(0) (2) nn
(1) (1) nn
(2) (0) nn
整理后得：
?[ H? (0)
?
?[
H?
(0)
?
?[
H?
(0)
?
? ? ?
E (0) n
]?
E (0) n
]?
E (0) n
?
? ?
???3 [
]?
? ?
??? 3
[
]?
? ?
? ?
? ?
??
??
根据等式两边λ同幂次的系数应该相等，可得到 如下一系列方程式 :
?0 : ?1 : ?2 :
? ? H? ? E (0) (0) n
(0) (0) nn
H? ? (0)
? (1)
n
H? ?(1)
(0) n
?
En(0)?
? ? E (1)
? ? H? ? E (0) (0) n
(0) (0) nn
H? ? H? (0) ? H? ?
另一部分 H' 是很小的（很小的物理意义将在下面讨 论）可以看作加于 H(0) 上的微小扰动，即 微扰。现 在的问题是如何求解微扰后 Hamilton 量 H 的本征 值和本征函数，即如何求解整个体系的 Schrodinger 方程：
微扰论利用已知的可精确求解的体系求待求解的体系。
可精确求解的体系叫做 未微扰体系 ，待求解的体系 叫做微扰体系 。假设体系 Hamilton 量不显含时间， 而且可分为两部分：
H? ? H? (0) ? H? ?
H(0) 所描写的体系是可以精确求解的，其本征值
E n (0) ，本征态 ψn(0) 满足如下本征方程：
H?? n ? En? n
当H' = 0 时， ψn= ψn (0), En = E n (0) ；
当 H' ≠ 0 时，引入微扰，使体系能级发生移动，由 E n (0) → E n ，状态由 ψn (0) →ψ n 。
微扰使能级发生移动，波函数发生变化。我们的目的
是，由原来的
?

(0) n
求出微扰后的?
?
? ?
(1) n
?
a ? (1) (0)
k
k
k?1
?[ ?
H? (0)
?
En(0) ]?
(0) n
?
0
?[ ?
H? (0)
?
En(0) ]?
(1) n
?
?[
H? (1)
?
En(1) ]?
(0) n
?[ ?
H? (0)
? En(0) ]?
(2) n
?
?[
H? (1) ?
En(1) ]?
(1) n
?
第四章 定态微扰论
§1 引言 §2 非简并定态微扰理论
赣南师范学院物理系
§1 引 言
（一）近似方法的重要性
前几章介绍了量子力学的基本理论，使用这些 理论解决了一些简单问题。如： （1）一维无限深势阱问题； （2）线性谐振子问题； （3）氢原子问题。
这些问题都给出了问题的精确解析解。
然而，对于大量的实际物理问题， Schrodinger 方 程能有精确解的情况很少。通常体系的 Hamilton 量 是比较复杂的，往往不能精确求解。因此，在处理 复杂的实际问题时，量子力学求问题近似解的方法 （简称近似方法 ）就显得特别重要。
代入Schrodinger 方程得：
( H? (0)
?
? H? (1) )(?
(0) n
? ??
? ? ? ? (1)
2 (2)
n
n
)
?
(
E
(0) n
?
?
E (1) n
?
?
E 2 (2) n
?
)(?
(0) n
? ??
? ? ? (1)
2 (2)
n
n
?
)
乘开得：
? ?
??
H?(0)?
(0) n
?
[H?(0)?
En(2)?
(0) n
?
??
代回上面的第二式并计及第一式得：
?
? H? (0)
[
?
E (0) n
]
? ? a (1) k
(0) k
?
?[
H? (1)
?
E (1) n
]
(0) n
k ?1
?
?
? ? a E ? E ] (1)
(0)
(0)
[
k
k
n
(0) k
?
?[
H? (1)
?
E (1) n
]
(0) n
k ?1
n 的各阶近似表达式，
和由?
(0) n
近似求出 ?
n
的各阶近似表达式。
为了明显表示出微扰的微小程
度，将其写为： H? ? ? ? H? ( 1 )
其中 λ是很小的实数， 表征微扰程度的参量。
因为 En 、 ψn 都与微扰有关，可以把它们看成是 λ的 函数而将其展开成 λ的幂级数：
En
?
E (0) n
(1) n
?
H?(1?)
(0) n
]
?
? ? ?
? ?
??
En(0)?
(0) n
?
[ En(0)?
(1) n
?
En(1?)
n(0) ] ?
? ? ?
?
??
2
[
H?(0)?
(2) n
?
H?(1?)
n(1)]
?
? ??
??? 2
[ En(0)?
(2) n
?
En(1?)
(1) n
?
En(2)?
(0) n
]
（二）近似方法的出发点
近似方法通常是从简单问题的精确解（解析解） 出发，来求较复杂问题的近似（解析）解。
常用的近似方法有 微扰论、变分法等等
§2 非简并定态微扰理论
（一）微扰体系方程 （二）态矢和能量的一级修正 （三）能量的二阶修正 （四）微扰理论适用条件 （五）讨论 （六）实例
（一）微扰体系方程
（二）波函数和能量的一级修正
现在我们借助于未微扰体系的波函数 ψn (0) 和本征能量 E n (0)来导出扰动后的波函数 ψn和能量 En 的表达式。
(1)能量一级修正λE n (1)
根据力学量本征函数的完备性假定， H(0)的本征函数 ψn (0) 是完备的，任何波函数都可按其展开， ψn (1) 也 不例外。因此我们可以将波函数的一级修正展开为：
]?
(0) n
(1) n
(2) n
?0
?
? [ H? (1)
?
E
(1) n
]?
(0) n
?
? [ H? (1)
?
E
(1) n
]?
(1) n
?
E
(2) n
?
(0) n
?
??
上面的第一式就是 H(0)的本征方程，第二、三式分别 是ψn (1) 和ψn (2)所满足的方程，由此可解得能量和波函 数的第一、二级修正。
?
?
E
(1) n
?
?
E 2 (2) n
?
?
n
??
(0) n
? ??
(1) n
?
? 2?
(2) n
?
其中E n (0), λE n (1), λ2 E n (1), ... 分别是能量的 0 级近似， 能量的一级修正和二级修正等；
而ψn (0), λψ n (1), λ2 ψn (2), ... 分别是状态的 0 级近似，一级修正和二级修正等。