定态微扰理论回顾

ˆ H ˆ k H ˆ H 0 k
k 1

ˆ k H ˆ ) E (H 0 k n n n
k
( 0) (1) ( 2) (k) n n n 2 n k n
E n E (n0) E (n1) 2 E (n2) k E (nk )
(1) n k n ( 0 )* ˆ (0) H d k 1 n (0) k
E
(0) n
E
(0) k
E
( 2) n

( 0 )* n
ˆ ) ˆ ) (H ˆ ) (H (H (1) ( 0 )* ˆ (0) 1 kn 1 kn 1 nk ˆ H1 n d ( 0 ) H1 k d ( 0) (0) n (0) k n E n E k kn E n E k
0) ( 0 )* (1) ( 0 )* ˆ (1) b m (E (m E (n0 ) ) E (n2 ) mn E (n1) m n d m H 1 n d
现在来求能量的二级修正值。当m=n时，上式就变成
( 0 )* (1) ( 0 )* ˆ (1) 0 E (n2 ) E (n1) n n d n H1 n d
( 0) n (1) n (0) n
k
bm
k n
(E(0) n
ˆ ) (H ˆ ) ˆ ) (H ˆ ) (H (H 1 kn 1 mk 1 nn 1 mn 0) ( 0) 2 E (k0) )(E (n0) E (m ) (E(0) n Em )
(k) n E (nk ) 称为能量的k级校正。 称为波函数的k级校正，
假定级数对于λ=1是收敛的，并希望对于很小的微扰，只要取级数的 头几项，就能得到真实能量和波函数得很好近似。

支的发展具有重要意义。
理论的历史与发展
1 2
起源
非简并定态微扰理论起源于20世纪初的量子力学 发展初期，最初是为了解决原子结构和光谱问题。
发展
随着量子力学的发展，非简并定态微扰理论也不 断得到完善和发展，逐渐形成了完整的理论体系。
3
当前研究
目前，非简并定态微扰理论仍然是物理学研究的 重要领域之一，许多学者致力于该理论的进一步 发展和应用。
特性
该理论主要关注系统的能量本征 态，特别是当系统受到微小扰动 时，其能量本征态的变化情况。
理论的重要性
基础性
01
非简并定态微扰理论是量子力学的基本理论之一，对于理解微
观世界的本质和规律具有重要意义。
应用广泛
02
该理论在许多领域都有广泛的应用，如原子物理、分子物理、
固体物理等。
理论发展
03
非简并定态微扰理论的发展对于推动量子力学和其他物理学分
在原子物理中的应用
描述原子能级
非简并定态微扰理论可以用于描 述原子能级的分裂和跃迁，解释 原子光谱的精细结构。
计算原子辐射频率
通过非简并定态微扰理论，可以 计算出原子在不同能级间跃迁时 产生的辐射频率，从而推导出光 谱线的波长。
解释原子磁性
非简并定态微扰理论可以解释原 子的磁性，包括电子自旋磁矩和 轨道磁矩，以及原子磁矩的进动 等现象。
02 非简并定态微扰理论的基 本概念
定子在 不受外界作用力下的状态，其能量是 一定的。定态可以用波函数来描述， 波函数满足薛定谔方程。
微扰
微扰是一个小的外部作用，它可以改 变定态的能量和波函数。微扰可以分 为两类：简并微扰和非简并微扰。
微扰的分类
简并微扰

所以右边,
ψn
( 0)
ˆ (1) − E (1) ) |ψ (0) >= 0 (H n n
能量的一级修正
E
(1) n
= ψn
n( Βιβλιοθήκη )(1)ˆ (1) | ψ (0) > H n
能量一级修正λ E
λE = ψ n
(1) n
( 0)
ˆ (1) |ψ (0) >= ψ ( 0) H ′ |ψ (0) > ˆ λH n n n
(2) (1) (0) (2) (1) (1) (2) (0) ˆ ˆ H (0) | ψ n > + H (1) | ψ n >= En | ψ n > + En | ψ n > + En | ψ n >
左乘
( ψn0)
E
(2) n
= ψ
∞ l =1
(0) n
H
(1)
(1) |ψ n >
(1) |ψn >= ∑al(1) |ψl(0) >( l ≠ n)
根据等式两边λ同幂次的系数应该相等， 根据等式两边λ同幂次的系数应该相等，可 得到如下一系列方程式: 得到如下一系列方程式:
λ :
0
ˆ (0)ψ (0) = E (0)ψ (0) H n n n ˆ (0) ψ (0) = E (0) ψ (0) H
n n n
(5.1-8)
ˆ (0) − E (0) )ψ (1) = −( H (1) − E (1) )ψ (0) ˆ λ : (H n n n n ˆ (0) − E (0) ) ψ (1) = −( H (1) − E (1) ) ψ (0) ˆ (H

§5.1 非简并定态微扰理论重点：微扰的条件，微扰能量二级修正的求解（一）基本方程假设体系的哈密顿算符H不显含时间，所以体系有确定的能量，而且可分为两部分：一部分是，表示体系未受微扰的哈密顿算符；另一部分是，是加于上的微扰(5.1-1)以和表示的本征函数与相应的本征值，对未受扰的体系，薛定谔方程（5.1-2）的解是已知的，对于被微扰的体系有（5.1-3a）即（5.1-3b）（5.1-4）并在最后运算结果令，利用（5.1-4），则（5.1-3b ）可写成（5.1-5）由于、E n 都和微扰有关，可把它们看作是表征微扰程度参数的函数，将它们展为的幂级数。

（5.1-6）（5.1-7）式中、依次是体系未受微扰时的能量和波函数，称为零级近似能量和零级近似波函数，和是能量和波函数的一级修正，等等。

将（5.1-6），（5.1-7）式代入（5.1-5）式中，得（5.1-8）空虚等式两边同次幂的系数应相等，由此得到下面一系列方程：（5.1-9）（5.1-10）（5.1-11）将省去，为此在（5.1-4）式中令，得出，故可把，把，理解为能量和波函数的一级修正。

（二）一级微扰（1）能量的一级修正为了求，以左乘（5.1-10）式两边，并对整个空间积分（5.1-12）注意是厄密算符，是实数，则上式左边（5.1-13）于是由（5.1-12）式，注意到的正交归一性，得到（5.1-14）即能量的一级修正值等于在态中的平均值。

（2）波函数的一级修正已知，由（5.1-10）式可求得。

为此我们将按的本征函数系展开（5.1-15）在上式中，若决定，便可求得。

为此，将上式代入（5.1-10）式，并注意，得以左乘上式两边后，对整个空间积分，并注意到的正交归一性：得到（5.1-16）令（5.1-17）称为微扰矩阵元，于是由（5.1-16）式可得（5.1-18）代入（5.1-15）式，得（5.1-19）上式求和号上角加撇表示求和时除去m=n的项。

定态微扰在实际问题中，薛定谔方程大多数是不能够精确求解的，因此要借助一些技巧来近似求解，如果我们能够把哈密顿量分解成两部分H? H?o H，并且H?o能够精确求解，且知其能量本征态方程为H o Ej EjEj，能量本征态并不简并，也就是说，不同的本征态对应着不同的能量，没有两个不同的能量本征态对应着相同的能量值，我们可以把H?'看作是对H?o能量本征值和本征态的一种微扰。

设H? E） E n E），E）是H?能量本征态，而E.为相应的本征值。

由于有H?0|EJ E n|Ej，因此H?o的所有的本征态｛EJ｝构成一组正交完备的基，体系的任何量子态均可以用这一组基来展开。

) n E n), n (.En )。

n由H? E) E n E”），H ?『可知(E n H?o) E n)旳E")（1）F面介绍微扰的思想，我们将的能量本征态E）和能量本征值En进行逐级展开设En)巳)1 |2(2)其中E n；，1,2；,…分别为零级，1级、2级，…E n E n a1 a2・・・・(3)其中E n.a i.a2,...，分别为零级，1级、2级，…将(2) (3)式分别代入(1)式得到(E n H?0 a i a2 ....)(E n) |1)2 ...)H?'(EJ 1 |2)...)(4)并令(4)式的同级相等，注意E n ?是零级，H?'是一级。

规则是两项相乘等于其级相加，例如(E n H?o) En；』E n.分别为零级和1级，而(E n H o) 14 1分别为1级和2级。

于是有方程两边零级相等为：(E n Ro) Enl 0(5)方程两边1级相等为：(E n R o)|1)ajE n) H?' E n)(6)方程两边2级相等为(E n H?o)|2)a1 1)a2 巴)H?'|1)(7)由零级得到本征方程H?o Ej匕匕）用:；En左乘方程（6）两边得到（匕|侃H?o） 1（E g|E n）（巳|『|巳）这是能量的一级修正值，所以E'在一级修正下为用《E m （m n）左乘方程（6）两边得到求和符号中’的撇是表示不含m n。

简并和非简并定态微扰统一理论与能量二级
修正公式
1简单并和非简单并定态的微扰理论
微扰理论是物理上最重要的框架，用来研究量子多体系统的结构和性质。

简单和非简单并定态的微扰理论是用来描述不可能的多原子系统的极端的应用。

它们的重要性在于能够提供一条整合多种量子效应的清楚的理论框架。

2简单并和非简单并定态微扰统一理论
简单并和非简单并定态的微扰理论是一个统一理论，用来描述在量子多体系统中发生的各种效应。

它使用一般的有效势来说明系统的性质，并预测结果。

它也包含有第一性原理，基准状态，以及不同形式的高阶内部势。

简单并和非简单并定态的微扰理论通过集中许多低能量的可解象的状态而形成的，认为它能够获得较低的能量，而且也能够提供更精确的描述。

3能量二级修正公式
能量二级修正公式是根据简单并和非简单并定态微扰理论建立起来的公式。

它使用一系列数学符号来表示量子系统的位置和力应力，以及它们之间的关系。

它的核心是一种叫做单自由维度的方法，用来对多体系统的有效势进行无穷展开，从而发现能量级修正的效应。

经
过此种修正，结果可以优化到更高的能量水平，从而更好地描述多原子系统的性质。

4结论
简单并和非简单并定态的微扰理论和能量二级修正公式是用来描述量子多体系统的重要框架。

它们统一了许多量子效应，提供了较低的能量水平，以及更可靠的结果。

它们对于更好地描述和预测多体系统的性质至关重要。

，若 En(1) 的k个根都不相等，则一级微扰
可以将k度简并完全消除；若 En(1) 有几个重根，说明简并只 是部分被消除，必须进一步考虑能量的二级修正，才有可能 使能级完全分裂开来。
5.3 氢原子的一级Stark效应
将原子置于外电场中时，其谱线发生分裂的现象称Stark 效应 。
本节我们以简并态微扰论来讨论H原子Laman线系第一条 谱线的分裂。
H12 H 22
H1k H 2k
H k1
( H k 2 H kk En1)
0
(5)
这个行列式方程称为久期方程，解这个方程可以得到
(1) 能量一级修正 En(1) 的k个根 Enj
( j 1,2,3k )
( 0) (1) 因为 En En En
(6)
( ( ( ˆ ( ˆ ( ( En0) H ) n En ck k0) k n k n
(6)
用
(0)* n
左乘（6）式并积分就得到
( En0) H nn ck H nk En k n


上式左边为零，得
(1) ( H mi En mi )ci(0) 0, l 1,2k i 1 k
(3)
式中
H mi H ni d
* nm


(4)
ci( 0 ) 为未知量的一次齐次方程组，它 （3）式是以系数
有不全为零的解的条件是：
( H11 En1) H 21
0 0 0
( E20 )
3ea0 0 0
0
0
即
( ( ( E20) ) 2 [(E21) ) 2 (3ea0 ) 2 ] 0 (1 E21) 3ea0 (1 (1 E23) E24) 0 (0 E22 ) 3ea0

§5.1 非简并定态微扰理论重点：微扰的条件，微扰能量二级修正的求解（一）基本方程假设体系的哈密顿算符H不显含时间，所以体系有确定的能量，而且可分为两部分：一部分是，表示体系未受微扰的哈密顿算符；另一部分是，是加于上的微扰(5.1-1)以和表示的本征函数与相应的本征值，对未受扰的体系，薛定谔方程（5.1-2）的解是已知的，对于被微扰的体系有（5.1-3a）即（5.1-3b）（5.1-4）并在最后运算结果令，利用（5.1-4），则（5.1-3b）可写成（5.1-5）、E n都和微扰有关，可把它们看作是表征微扰程度参数的函数，将它们展为由于的幂级数。

（5.1-6）（5.1-7）式中、依次是体系未受微扰时的能量和波函数，称为零级近似能量和零级近似波函数，和是能量和波函数的一级修正，等等。

将（5.1-6），（5.1-7）式代入（5.1-5）式中，得（5.1-8）同次幂的系数应相等，由此得到下面一系列方程：空虚等式两边（5.1-9）（5.1-10）（5.1-11）将省去，为此在（5.1-4）式中令，得出，故可把，把，理解为能量和波函数的一级修正。

（二）一级微扰（1）能量的一级修正为了求，以左乘（5.1-10）式两边，并对整个空间积分（5.1-12）注意是厄密算符，是实数，则上式左边（5.1-13）于是由（5.1-12）式，注意到的正交归一性，得到（5.1-14）即能量的一级修正值等于在态中的平均值。

（2）波函数的一级修正已知，由（5.1-10）式可求得。

为此我们将按的本征函数系展开（5.1-15）在上式中，若决定，便可求得。

为此，将上式代入（5.1-10）式，并注意，得以左乘上式两边后，对整个空间积分，并注意到的正交归一性：得到（5.1-16）令（5.1-17）称为微扰矩阵元，于是由（5.1-16）式可得（5.1-18）代入（5.1-15）式，得（5.1-19）上式求和号上角加撇表示求和时除去m=n的项。

根据等式两边λ同幂次的系数应该相等，可得到 如下一系列方程式:
0 : 1 : 2 :
ˆ (0) (0) E (0) (0) H n n n ˆ (0) (1) H ˆ (1) (0) E (0) (1) E (1) (0) H
n n n n n n
ˆ (0) (2) H ˆ (1) (1) E (0) (2) E (1) (1) E (2) (0) H n n n n n n n n
E
(1) n
(1) (0) (2) (0) ] ak k En n k 1
左乘ψm(0)* 并积分

k 1

(0) (0) (0) (0) ˆ (1) (0) [ Ek(0) En ]ak(2) m k d ak(1) m H k d k 1 (0) (0) (0) (0) En(1) ak(1) m k d En(2) m k d k 1
其中λ是很小的实数， 为了明显表示出微扰的微小程 表征微扰程度的参量。 ˆ H ˆ ( 1) 度，将其写为： H 因为 En 、 ψn 都与微扰有关，可以把它们看成是λ的 函数而将其展开成λ的幂级数：
(0) (1) (2) En En En 2 En
(0) (1) (2) n n n 2 n
考虑两 种情况
1. m = n
2. m ≠ n
(1) (1) (0) ˆ (1) (0) En H nn n H n d
(1) am
(1) H mn (0) (0) En Em
m n
(1) (0)* ˆ (1) (0) 其中 H mn m H n d 称为微扰矩阵元

定态微扰理论微扰理论是利用已得的无扰动精确解求出微扰问题的近似解。

假设对于某些势场，我们已经解出了定态薛定谔方程：从而可以得到一套完备的正交本征函数，0ψ，n对应的本征值为0E。

现在，我们在势中加入一个微小扰动。

n0'=+H H H我们期望可以找到新的本征函数和本征值：但是除非我们非常幸运，对于这个有些复杂的势场，一般我们是不可能精确求解薛定谔方程的,必须利用微扰理论来求近似解.能量的一级修正它说明能量的一级近似是微扰在非微扰态中的平均值。

波函数的一级近似，注意到只要无扰动能级是非简并的,上式的分母就不会为零(因为不存在系数m=n)。

但如果两个能态具有相同的能量，我们就会遇到一个大麻烦(分母将为零)；因此,就需要一个简并微扰理论，能量二级近似简倂微扰理论上节的讨论只适用于)0(nE 不是简并的情况.我们来讨论简并的情况,假设属于)0(∧H的本征值)0(nE 有k 个本征函数:k φφφ,...,,21k i E Hi n i ,...,2,1,)0()0(==∧φφ在这种情况下,首先遇到的问题是如何从这k 个φ中挑选出零级近似波函数.我们把零级近似波函数)0(nψ写成k 个φ的线性组合:iki incφψ∑==1)0()0(上式代入(5.1-9),有i ki iki i innnH ccEEHφφψ')(1)0(1)0()1()1()0()0(∑∑=∧=∧-=-以*lφ左乘上式两边,并对整个空间积分(左边由厄密性为零),得到k l c E H ili n ki li ,...,2,1,0)()0()1(1'==-∑=δ式中τφφd H Hi lli'*'∧⎰=上式是以系数)0(ic 为未知量的一次方程组, 写成矩阵形式为'''(0)(0)1112111'''(0)(0)(1)2122222'''(0)(0)12.........kk nk k kk k k H HH c c H H H c c E H HH c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭它有不全为零的解的条件是系数行列式为零,0................................)1(''2'1'2)1('22'21'1'12)1('11=---nkk k k k nk nE H H H H E H H H H E H (5.2-5)这个行列式方程称为久期方程,解这个方程可以得到能量一级修正)1(nE 的k 个根)1(nj E ),...2,1(k j =.因为)1()0(nnnE E E+=,若)1(nE 的k 个根都不相等,则一级微扰可以将k 度简并完全消除.若)1(nE 有几个重根,说明简并只是部分消除,必须进一步考虑能量的二级修正,才能使能级完全分裂开来.为了确定能量)1()0(njnjE EE +=所对应的零级近似波函数，可以把)1(njE 的值代入（5.2－3）式中解出一组)0(ic ，再代入（5.2－2）式即可。

1
• 再将 '
C
n
(1) n
n 带入上式，得到结果：
(
n
* k
C
n (1) n (1) n kn
(1) n
n )d ( k C * ) d 0
(1) n * n n n (1) n * n k
C ( )d C * ( C C * 0
ˆ 的本征方程为： • H 0
ˆ H ˆ ') E (H 0
ˆ H 0
微扰论的要求条件
ˆ ˆ 的本征 H • 0 的本征方程必须能够精确求解，或者 H 0 值 1 , 2 , , n 和本征函数1 , 2 ,, n , 为已
ˆ ' 称为微扰算符。 知。 H ' H nk 1 ˆ ' 很小的具体条件是： • （2）H k n * ˆ • 其中： '
ˆ E ' H H ' d H '
mk
(1) Cn
(1) Cm
' H mk k m
(m k ) (n k )
或
' H nk k n
(1) C • 还有 k 没有求出，这可由归一化条件求得：
• 如果只是求到一级近似，则 • 于是 的归一化条件为： (k ') * (k ')d 1
二、氦原子的基态能量
• 这一节的内容是作为一个例子来说明如何 利用无简并定态微扰论来计算氦原子基态 能量。 • 氦原子有两个电子，把坐标原点取在氦原 子核上（见书中P128图5－1），相当于氦 核不动。 • 具体求解步骤如下：
ˆ 表达式 1，写出 H

定态微扰论的适用条件-回复题目：定态微扰论的适用条件导言：定态微扰论是量子力学中的一种重要方法，用来计算已知粒子的哈密顿量的微小改变对其能级和波函数的影响。

它在解决简洁系统的问题上表现出很大的优势，但在某些情况下并不适用。

本文将从定态微扰论的基本原理、适用条件以及特殊情况下的处理方法等方面进行论述。

一、定态微扰论的基本原理定态微扰论是建立在量子力学哈密顿量的微小改变下研究系统能级和波函数的一种近似方法。

其基本原理可以概括为以下步骤：1. 将整个系统的哈密顿量H0按照重要程度分解为H0=H0'+V0，其中H0'为系统的主要哈密顿量，V0为微小的扰动哈密顿量。

2. 先求解主要哈密顿量H0'的本征值问题，得到本征态和对应的能级。

3. 将微小扰动哈密顿量V0加入，并将其视为微小摄动。

4. 利用微扰展开将含有微小摄动的哈密顿量进行级数展开，然后利用叠加原理计算能量和波函数的修正。

5. 根据一定的截断条件对展开后的级数进行截断，得到一阶微扰项或更高阶微扰项，并计算修正后的能量和波函数。

二、定态微扰论的适用条件定态微扰论在解决某些简洁系统的问题上非常有效，但也存在适用条件。

以下列举了几个定态微扰论适用的典型情况：1. 扰动哈密顿量V0足够小：当微小摄动V0的影响远小于主哈密顿量H0'本身时，定态微扰论才适用。

这要求扰动项V0在矩阵元上的取值较小。

2. 系统的本征态可展开为主哈密顿量H0'的本征态：对于复杂的系统，在微扰项V0下，系统的本征态是否仍然可以展开为主哈密顿量的本征态是定态微扰论能否适用的关键。

3. 系统的本征态具有简单的能级分布：当主哈密顿量的能级简单且能级的跃迁关系较少时，定态微扰论更容易求解。

三、特殊情况下的处理方法虽然定态微扰论在很多情况下都适用，但也有一些特殊的情况需要采用其他方法来求解。

以下是两种常见的特殊情况及对应的处理方法：1. 近简并情况：当扰动项引起系统出现能级近似相等的情况时，定态微扰论无法直接应用。

(0) k
E(0) k
|
(0) k
的本征值Ek(0)和正交归
一本征态 k(0)已给出,即
(0 n
)
|
(0 k
)
nk
同时，能级不简并，则Ek 和 k可以表示为
Ek
E (0) k
E (1) k
E (2) k
;
E (i1) k
Ek(i) ;
| k
|
( k
0)
|
(1) k
|
(2) k
在下面的讨论中，要求
|
Hˆ
|
(0) k
＝0
用
得
E (1) k
( k
0)
|
Hˆ
|
(0) k
H kk
算符的 （4）
矩阵元
7
二、定态微扰论中能级的一般公式(4)
Ek(1)
( k
0)
|
Hˆ
|
( k
0)
H kk
（4）
(Hˆ 0
Ek(0
)
)
|
( k
2
)
(Ek(1)
Hˆ
)
|
(1) k
Ek(2)
|
( k
0)
(3)
用
(0) k
|
E (i1) k
Ek(i) ;
| k
|
(0) k
|
(1) k
|
( k
2)
所谓一级近似，是指
| k
|
(0) k
|
(1) k
，Ek
Ek(0)
Ek(1)
Ek(1)
(0) k
|

简并微扰理论应用举例
一、一阶Stark效应

氢原子的n相同但lm不同的态是简并的，如2s和2p态 简并。对V=-ezE，应用简并微扰理论，得微扰矩阵

其中

容易求出
，

能移与E成线性关系（一阶Stark效应），源于零 阶波函数有偶极矩 .
二、原子的精细结构：自旋轨道作用


类似氢的原子如碱金属, 外层电子所受势为非纯库仑 形式的中心势. 不同l 的能级分裂立, l 越大能量越高. 自旋轨道作用可定性地理解为：在电场中运动的电子 v v 感受到等效磁场
(0) j
P0 l (0) j
v j vi
j ( i )
kD

V k
(0)
1 (0) (0) k V li (0) (0) ED Ek

P1子空间对一阶态矢修正的贡献：

[P0|l(1)>+P1|l(1)>]即为完整的一阶态矢修正。 2阶能量修正：
(2) li

l
(0) i
0 D (1) n

(V=[<m(0)|V|m’(0)>])

由此可得零阶态矢和一阶能移:


(1) li
l
(0) i
V l
(0) i
因采用使V对角化的|m(0)>组合,该方法不限于严格 简并情形. 将近简并能级并入D可使微扰展开快速 收敛。
1 P1VP0 看作 若微扰使简并完全消除,可将 P0VP1 E H 0 V

由于
HB ~ e B
2mec
, H LS ~ (1/137) e
2

第八章束缚定态的近似方法§8.1 非简并态的微扰论1, 基本方程组假定H可以划分为两部分：H和H'，0H为H的基本部分并且其定态问题可精确求解，称为参照系；而H'是妨碍H可精确求解的部分。

并且假定H'比H小，以致可将H'看作是对0H的一种小扰动，称为微扰项。

在此划分下, 定态方程成为(8.1) 这里上标“()0”表示未受H'扰动的参照系统的物理量。

按上面的假设，(){}0nE、(){0nψ（下面简记它为(){}0n）是已知的。

将系统H的态ψ相对于未受扰动的参照系态(){}0n（注意它们是完备的）作展开：(8.2) 代入(8.1)式中，得()()()()∑∑='+nnnnnnEcnHEc0两边乘以()0k，利用(){0n的正交归一性质，得(8.3)列出不同k值的方程就得到一个线性联立方程组。

方程组(8.3)中，未知数列是{}n c，未知本征值是E。

方程组(8.3)就是定态微扰论的基本方程组，它们是下面进行各阶微扰近似计算的出发点。

注意，至此还未做任何近似。

179180通常，微扰项H '中总含有一个小参量，以表示此项是一个微扰。

在下面进行逐阶近似时，为便于鉴别及合并含有这个小参量同一幂次的同阶近似，不失一般性，可设想对此小参量乘以无量纲数λ。

将H H H '+=0改写为()H H H '+=λλ0，在对λ的各阶近似展开完成之后，再令1=λ，予以还原。

预先把E 、n c 按微扰级别（即λ幂次）展开：(8.4)其中，()1E 和()1n c 含λ一次幂项，为一阶小量；()2E 和()2n c 含有2λ，为二阶小量。

它们分别表示微扰H '对()0E 和()0n c 的一阶和二阶修正，等等。

假定H '扰动之前，系统处于0H 的某个定态()(){00m ,E m 上，这里m是初态的序号，为给定值；加上H '后，系统的变化是：()m m E E →0 和 ()m m →0。

• 把上式左边n＝k的那一项从求和中分离出来，左 0 边可以写成两项，而且 k 得到
i
(1) 0 (1) Cn ( k n ) *kj d ' Cn ( k n ) *kj n d nk
• 上式可以很清楚地看到： • n=k时， k n k n 0 • n≠k时， ki 与 n 正交，所以整个等式的左边 为零。这样，等式的右边也应为零，得到：
C ,
(0) i 0 f i
1, 2, , f
(0) i
C ki ,
1, 2, , f
• 如果f个一级修正 E '互不相等，则E共有f个不相 等的一级近似能量
E k E '
1, 2,, f
• 可见当f个 E ' 不相等，则未受到微扰时的一个f度 简并的能级 E ，在都到微扰之后，分裂成了f个 不相等的能级 E ，并具有相应当f个零级近似波 函数。我们称 k 的f度简并完全消失。如果 k 中有一部分重根，则表明受到微扰后， k 分裂成 的能级少于f个，则 k 的简并只是部分消失。 • 对有简并的定态微扰论，通常只求到能量的一级 近似和波函数的零级近似。 • 下一讲我们举例说明有简并定态微扰论的应用。
1，零级近似波函数
• • • • • • •
ˆ 的，属于本征值 设无微扰时，能量算符 H 0 的本征函数有f个： k1 , k 2 , k 3 ,, kf , ˆ (i 1,2,, f ) 满足： H 0 ki k ki ˆ H ˆ H ˆ' 有微扰时，能量算符 H 0 ˆ E 本征方程为 H ˆ H ˆ ') E 或 (H 0 表示成级数形式：