定态微扰

定态微扰在实际问题中，薛定谔方程大多数是不能够精确求解的，因此要借助一些技巧来近似求解，如果我们能够把哈密顿量分解成两部分H? H?o H，并且H?o能够精确求解，且知其能量本征态方程为H o Ej EjEj，能量本征态并不简并，也就是说，不同的本征态对应着不同的能量，没有两个不同的能量本征态对应着相同的能量值，我们可以把H?'看作是对H?o能量本征值和本征态的一种微扰。

设H? E） E n E），E）是H?能量本征态，而E.为相应的本征值。

由于有H?0|EJ E n|Ej，因此H?o的所有的本征态｛EJ｝构成一组正交完备的基，体系的任何量子态均可以用这一组基来展开。

) n E n), n (.En )。

n由H? E) E n E”），H ?『可知(E n H?o) E n)旳E")（1）F面介绍微扰的思想，我们将的能量本征态E）和能量本征值En进行逐级展开设En)巳)1 |2(2)其中E n；，1,2；,…分别为零级，1级、2级，…E n E n a1 a2・・・・(3)其中E n.a i.a2,...，分别为零级，1级、2级，…将(2) (3)式分别代入(1)式得到(E n H?0 a i a2 ....)(E n) |1)2 ...)H?'(EJ 1 |2)...)(4)并令(4)式的同级相等，注意E n ?是零级，H?'是一级。

规则是两项相乘等于其级相加，例如(E n H?o) En；』E n.分别为零级和1级，而(E n H o) 14 1分别为1级和2级。

于是有方程两边零级相等为：(E n Ro) Enl 0(5)方程两边1级相等为：(E n R o)|1)ajE n) H?' E n)(6)方程两边2级相等为(E n H?o)|2)a1 1)a2 巴)H?'|1)(7)由零级得到本征方程H?o Ej匕匕）用:；En左乘方程（6）两边得到（匕|侃H?o） 1（E g|E n）（巳|『|巳）这是能量的一级修正值，所以E'在一级修正下为用《E m （m n）左乘方程（6）两边得到求和符号中’的撇是表示不含m n。

V. 定态微扰论1．证明：非简并定态微扰中，基态的能量二级修正永为负。

答：已知，微扰论中，对能量为的态，能量二级修正如态为基态，最低，在上式的取和中，的任一项均有，故永为负。

For personal use only in study and research; not for commercial use2.证明：定态微扰论中，能量的一级近似是总哈密顿算符对零级波因数的平均值．答：设满足的正交归一化零级波函数以表出。

已知。

则正是能量一级近似.3. 能级简并没有解除的解是否必定是近似解？反之，近似解是否必定是能级简并的？For personal use only in study and research; not for commercial use答：能级简并与波方程的近似解这两个概念的意义是不同的，没有什么直接的关联．我们知道，能级简并主要是由于体系哈密顿量具有某种对称性．只要保持这种对称以那么即使是精确解，其能级也是简并的．如氢原子．如果对称性受到彻底破坏或部分破坏，那么—般说来，简并应当消除或部分消除．应用微扰法求解定态问题时，得到的解一般均是近似解．非简并态微扰的近似解，能级当然是非简并的．简并态微扰法中由于微扰的作用．不管能级简并是否能解除，或解除多少，得到的解一般也是近似解．4.一维谐振子，其能量算符为 (1)设此谐振子受到微扰作用(2)试求各能级的微扰修正（三级近似），并和精确解比较。

解：的本征函数、本征值记为。

如众所周知（3）在表象（以为基矢）中，的矩阵元中不等于0的类型为（4）因此，不等于0的微扰矩阵元有下列类型：（5）（6）按照非简并态能级三级微扰修正公式，能级的各级微扰修正为：（7）（8）（9）本题显然可以精确求解，因为令可以写成（10）和式（1）比较，差别在于，因此的本征值为（11）因为，将作二项式展开，即得：（12）和微扰论结果完全一致。

5. 氢原子处于基态．沿z方向加一个均匀弱电场，视电场为微扰，求电场作用后的基态波函数(一级近似)．能级(二级近似)，平均电矩和电极化系数．(不考虑自旋．)解：加电场前，基态波函数为，（波尔半径）（1）满足能量方程（2）其中视外电场为微扰，微扰作势为（3）由于为偶宇称，为奇宇称，所以一级能量修正为0，(4)波函数的一级微扰修正满足方程（5）除了一个常系数外，即球谐函数，考虑到和都是球对称的，易知必可表示成(6)代入（5）式，并计及其中由式（5）可得满足的方程（7）为边界条件为处，。

定态微扰理论微扰理论是利用已得的无扰动精确解求出微扰问题的近似解。

假设对于某些势场，我们已经解出了定态薛定谔方程：从而可以得到一套完备的正交本征函数，0ψ，n对应的本征值为0E。

现在，我们在势中加入一个微小扰动。

n0'=+H H H我们期望可以找到新的本征函数和本征值：但是除非我们非常幸运，对于这个有些复杂的势场，一般我们是不可能精确求解薛定谔方程的,必须利用微扰理论来求近似解.能量的一级修正它说明能量的一级近似是微扰在非微扰态中的平均值。

波函数的一级近似，注意到只要无扰动能级是非简并的,上式的分母就不会为零(因为不存在系数m=n)。

但如果两个能态具有相同的能量，我们就会遇到一个大麻烦(分母将为零)；因此,就需要一个简并微扰理论，能量二级近似简倂微扰理论上节的讨论只适用于)0(nE 不是简并的情况.我们来讨论简并的情况,假设属于)0(∧H的本征值)0(nE 有k 个本征函数:k φφφ,...,,21k i E Hi n i ,...,2,1,)0()0(==∧φφ在这种情况下,首先遇到的问题是如何从这k 个φ中挑选出零级近似波函数.我们把零级近似波函数)0(nψ写成k 个φ的线性组合:iki incφψ∑==1)0()0(上式代入(5.1-9),有i ki iki i innnH ccEEHφφψ')(1)0(1)0()1()1()0()0(∑∑=∧=∧-=-以*lφ左乘上式两边,并对整个空间积分(左边由厄密性为零),得到k l c E H ili n ki li ,...,2,1,0)()0()1(1'==-∑=δ式中τφφd H Hi lli'*'∧⎰=上式是以系数)0(ic 为未知量的一次方程组, 写成矩阵形式为'''(0)(0)1112111'''(0)(0)(1)2122222'''(0)(0)12.........kk nk k kk k k H HH c c H H H c c E H HH c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭它有不全为零的解的条件是系数行列式为零,0................................)1(''2'1'2)1('22'21'1'12)1('11=---nkk k k k nk nE H H H H E H H H H E H (5.2-5)这个行列式方程称为久期方程,解这个方程可以得到能量一级修正)1(nE 的k 个根)1(nj E ),...2,1(k j =.因为)1()0(nnnE E E+=,若)1(nE 的k 个根都不相等,则一级微扰可以将k 度简并完全消除.若)1(nE 有几个重根,说明简并只是部分消除,必须进一步考虑能量的二级修正,才能使能级完全分裂开来.为了确定能量)1()0(njnjE EE +=所对应的零级近似波函数，可以把)1(njE 的值代入（5.2－3）式中解出一组)0(ic ，再代入（5.2－2）式即可。

定态微扰论的适用条件-回复定态微扰论是一种重要的量子力学近似方法，用于求解被微弱扰动影响的量子力学系统的能级和态。

它的适用条件如下：1. 系统处于定态：定态微扰论仅适用于系统在初始态和微扰作用下的定态情况。

如果系统在初始态和微扰作用下发生了能级跃迁或态的变化，定态微扰论就不再适用。

2. 微扰小：定态微扰论要求微扰作用相对于系统的哈密顿量来说是小的。

一般来说，微扰项的大小要远小于系统的能级间隔，以保证微扰对系统的影响较小。

3. 系统的能级简并度：定态微扰论通常适用于系统存在能级简并的情况。

能级简并是指系统存在多个具有相同能量的量子态。

这是因为微扰作用可以导致能级的分裂，从而使得简并态之间的能级差不再相同。

在满足以上条件的情况下，可以使用定态微扰论来计算系统的能级修正和态的变化。

下面将逐步回答关于定态微扰论适用条件的问题。

首先，定态微扰论适用于求解处于定态的系统。

对于处于定态的系统，其时间演化满足薛定谔方程，可以用定态波函数进行描述。

如果系统在初始态和微扰作用下发生了能级跃迁或态的变化，定态微扰论就不再适用。

其次，定态微扰论要求微扰作用相对于系统的哈密顿量来说是小的。

我们假设系统的哈密顿量为H0，微扰作用为V。

微扰的大小一般用微扰参数λ来表示，即V/（H0+V）。

在定态微扰论中，我们希望微扰对系统的影响较小，即λ≪1。

这样我们可以将系统的哈密顿量拆分为两部分：H0+V0和V，其中H0+V0作为未受微扰的哈密顿量，V作为微扰项。

可以通过H0+V0的解析求解方法来求解未受微扰的系统，并利用微扰项V计算能级的修正和态的变化。

最后，定态微扰论通常适用于系统存在能级简并的情况。

能级简并是指系统存在多个具有相同能量的量子态。

在无微扰作用时，这些量子态之间是完全简并的。

但是当微扰作用加入后，能级简并会被打破，简并态之间的能级差不再相同。

定态微扰论的目的就是计算能级简并态之间的能级修正，以及得到微扰后的简并态。

对于不存在能级简并的系统，定态微扰论通常不适用。

定态微扰论的适用条件-回复题目：定态微扰论的适用条件导言：定态微扰论是量子力学中的一种重要方法，用来计算已知粒子的哈密顿量的微小改变对其能级和波函数的影响。

它在解决简洁系统的问题上表现出很大的优势，但在某些情况下并不适用。

本文将从定态微扰论的基本原理、适用条件以及特殊情况下的处理方法等方面进行论述。

一、定态微扰论的基本原理定态微扰论是建立在量子力学哈密顿量的微小改变下研究系统能级和波函数的一种近似方法。

其基本原理可以概括为以下步骤：1. 将整个系统的哈密顿量H0按照重要程度分解为H0=H0'+V0，其中H0'为系统的主要哈密顿量，V0为微小的扰动哈密顿量。

2. 先求解主要哈密顿量H0'的本征值问题，得到本征态和对应的能级。

3. 将微小扰动哈密顿量V0加入，并将其视为微小摄动。

4. 利用微扰展开将含有微小摄动的哈密顿量进行级数展开，然后利用叠加原理计算能量和波函数的修正。

5. 根据一定的截断条件对展开后的级数进行截断，得到一阶微扰项或更高阶微扰项，并计算修正后的能量和波函数。

二、定态微扰论的适用条件定态微扰论在解决某些简洁系统的问题上非常有效，但也存在适用条件。

以下列举了几个定态微扰论适用的典型情况：1. 扰动哈密顿量V0足够小：当微小摄动V0的影响远小于主哈密顿量H0'本身时，定态微扰论才适用。

这要求扰动项V0在矩阵元上的取值较小。

2. 系统的本征态可展开为主哈密顿量H0'的本征态：对于复杂的系统，在微扰项V0下，系统的本征态是否仍然可以展开为主哈密顿量的本征态是定态微扰论能否适用的关键。

3. 系统的本征态具有简单的能级分布：当主哈密顿量的能级简单且能级的跃迁关系较少时，定态微扰论更容易求解。

三、特殊情况下的处理方法虽然定态微扰论在很多情况下都适用，但也有一些特殊的情况需要采用其他方法来求解。

以下是两种常见的特殊情况及对应的处理方法：1. 近简并情况：当扰动项引起系统出现能级近似相等的情况时，定态微扰论无法直接应用。