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理论力学第四章摩擦问题

理论力学第四章摩擦问题

x F2max N1
F2max f N2
Pmax
sin cos
f cos f sin
Q
3、综上得出:要维持物体平衡时,力P的值应满足的条件是
:
sin f cos Q P sin f cos Q
cos f sin
cos f sin
例4-3 杆AB的A端置于光滑水平面上，AB与水平面夹角 为20°，杆重为P=50 KN。B处有摩擦。当杆在此处临界平衡时 ，试求B处摩擦角。
m f 从何而来？分析滚动摩擦，必须考 虑变形的影响。物体接触面上受力情况较复杂。
将这些力系向A点简化，得到一个主矢 FR 和一个主矩 m f ，主矢 FR 分解成支反力N和滑动摩擦力Ff （此处Ff
＜ F max ). 主矩 m f 称为滚动摩擦力偶矩， 简称为滚阻力偶。
N
G
F
O
AB
R
GG
F
OO
AB Ff Ff
解： 以AB为研究对象，画受 力图，N为B处的正压力。
Fx 0
N tgΦm. cosθ=N sinθ
tgΦm = tgθ
∴ Φm =θ=20°
x y
NA
FSmax m N
例4-4 * 已知： b , d , fs ,
不计凸轮与挺杆处摩擦，不计挺杆质量；
求：挺杆不被卡住之a 值。
解：取挺杆为研究对象，设挺杆处于卡住临界 状态。
F 0 X
FAx FBx 0
注意BC杆是二 力杆。
（休止角）沙堆滑塌、山体滑坡现象。
§4-3 考虑滑动摩擦时物体的平衡问题
仍为平衡问题，平衡方程可用，求解步骤与前面基本相同。 几个新特点 1 、画受力图时，必须考虑摩擦力； 2 、严格区分物体处于临界、非临界状态；

理论力学第五章 摩擦(Y)

理论力学第五章 摩擦(Y)

0 Fs Fs,max
——平衡
0 f
f Fs Fs ,max ——临界平衡状态 摩擦角 f —— 物体处于临界平衡状态时全反力与
法线之间的夹角。
tan f
Fs ,max FN
f s FN fs FN
摩擦角的正切等于静滑动摩擦系数——几何意义。
当物体平衡时（包括平衡的临界状态）全约束反力 的作用线一定在摩擦角之内
摩擦轮传动——将左边轴的转动传给右边的轴
摩擦的分类：
摩擦


滑动摩擦
滚动摩擦

静滑动摩擦 ——仅有相对运动趋势 动滑动摩擦 ——已有相对运动 静滚动摩擦 动滚动摩擦
干摩擦 ——由于接触表面之间没有液体时产生的摩擦。 湿摩擦 ——由于物体接触面之间有液体。
摩擦
一、滑动摩擦
研究滑动摩擦规律的实验：
MB 0
l sin 30 0 M P cos 30 0 FND l cos 30 0 0 FSD 2
3 P 3l
(1 FSD
FSD f s FND
3 2 3 M M min Pl 8
（1）当M较大时，BD杆逆时针转动。 分别以OA、 BD杆为研究对象， 画受力图。 l 0 FND l cos 30 P 0 对于OA杆： M O 0 2
Y 0
Fs,max f s FN
（库仑摩擦定律）
（2）最大静摩擦力的方向：沿接触处的公切线，与相对 滑动趋势反向；
Fs,max f s FN f s ——静滑动摩擦系数——静摩擦系数
与两接触物体表面情况（粗糙度，干湿度，温度等） 和材料有关，与两物体接触面的面积无关。

理论力学摩擦及习题课

理论力学摩擦及习题课
代入S1' S1
解得: S3 10 kN, S4 10 kN
Fx 0
S5
S
' 2
0
代入S2' S2后 解得 S5 7.66 kN
节点D旳另一种方程可用来校核计算成果
Fy 0 , P S3' 0
解得S '3 10 kN,
恰与S3相等,计算精确无误。
10
二、截面法 I
I
[例] 已知：如图，h，a，P 求：4，5，6杆旳内力。 解：①研究整体求支反力
Fx 0 X A 0
MB 0
Y 3a P 2a P a 0
YA P
② 选截面 I-I ，取左半部研究
A'
由mA 0 S 4h YA a 0
Fy 0 YA S5sin P0
S5 0
Fx 0
S6 S5 cos S4 X A 0
S6
Pa h
S
4
Pa h
11
阐明 ： 节点法：用于设计，计算全部杆内力 截面法：用于校核，计算部分杆内力
七、注意问题 力偶在坐标轴上投影不存在； 力偶矩M =常数，它与坐标轴、与取矩点旳选择无关。
28
八、例题分析 [例1] 已知:P=100N. AC=1.6m,BC=0.9m,CD=EC=1.2m,AD=2m
且AB水平, ED铅垂,BD垂直于斜面；
求 SBD ？ 和支座反力？
解： 研究整体, 画受力图, 列方程
(可用二力平衡原了解释)
Fmax 2 φmax
Rmax
摩擦角旳概念被广泛旳使用: (1) 摩擦系数旳测定
(2) 螺旋千斤顶旳自锁条件
19
(3) 沙堆成型旳过程
自锁实例：

理论力学教程(第四章)

理论力学教程(第四章)

静滑动摩擦力的特点
1 方向：沿接触处的公切线，
与相对滑动趋势反向；
2 大小：
3
（库仑摩擦定律）
④静摩擦系数的测定方法(倾斜法)
两种材料做成物体
和可动平面测沿下面滑
动时的 。
p
F=mgsin =fmgcos
2)、动滑动摩擦
tg f
两物体接触表面有相对运动时,沿接触面产生的切向 阻力称为动滑动摩擦力。
1)、静滑动摩擦
① 定义 两相接触物体虽有相对运动趋势，但仍保持相对静止F时，
给接触面产生的切向阻力，称为静滑动摩擦力或简称静摩 擦力。
满足
0 F Fmax (最大静摩擦力)
当 F Fmax时,则物体处于临界平衡状态
F
P Fmax f N (库仑静摩擦定律)
若物体静止，则 F P
摩擦的现象和概念
在大学物理已经讲到什么是摩擦：当物体与另一物体 沿接触面的切线方向运动或有相对运动的趋势时，在两物 体的接触面之间有阻碍它们相对运动的作用力，这种力叫 摩擦力。接触面之间的这种现象或特性叫“摩擦”。这里 来作更深入的研究，首先来看它的分类：滑动摩擦和滚动 摩擦。
滑动摩擦：相对运动为滑动或具有滑动趋势时的摩擦。
第四章 摩擦
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料群：
引言
前几章我们把接触表面都看成是绝对光滑的，忽略了物体 之间的摩擦，事实上完全光滑的表面是不存在的，一般情况下 都存在有摩擦。 [例]

平衡必计摩擦 3
摩擦
☆§4–1 滑动摩擦 ☆§4–2 摩擦角和自锁现象 ☆§4–3 考虑摩擦时物体的平衡问题 ☆§4–4 滚动摩阻的概念
性质：当物体静止在支承面时，支承面的总反力的偏角

理论力学第4章 摩擦

理论力学第4章 摩擦
所以增大摩擦力的途径为：①加大正压力N, ②加大摩擦系数f
4
3、 特征： 大小：0 F Fmax （平衡范围）满足 X 0
静摩擦力特征：方向：与物体相对滑动趋势方向相反
定律：Fmax f N （ f 只与材料和表面情况有 关，与接触面积大小无关。）
二、动滑动摩擦力：（与静滑动摩擦力不同的是产生了滑动）
所以物体运动：此时
F '动 N f '100.11N
（物体已运动）
25
[练习2] 已知A块重500N，轮B重1000N，D轮无摩擦，E 点的摩擦系数fE=0.2，A点的摩擦系数fA=0.5。
求：使物体平衡时块C的重量Q=？ 解：① A不动（即i点不产
生 平移）求Q 由于
T 'F1 f AN1 0.5500250N
14
此力系向 A点简化
d'
滚阻力偶与主动力偶（Q,F）相平衡
①滚阻力偶M随主动力偶（Q , F）的增大而增大;
② 0 M Mmax
有个平衡范围;
滚动 摩擦 ③ M max 与滚子半径无关;
④滚动摩擦定律： M max d N，d 为滚动摩擦系数。
15
滚动摩擦系数 d 的说明：
①有长度量纲，单位一般用mm,cm； ②与滚子和支承面的材料的硬度和温度有关。
19
四、例题 [例1] 作出下列各物体
的受力图
20
[例2] 作出下列各物体的受力图
① P 最小维持平衡 ② P 最大维持平衡
状态受力图；
状态受力图
21
[例3] 构件1及2用楔块3联结，已知楔块与构件间的摩擦系数f=0.1,
求能自锁的倾斜角 。
解：研究楔块，受力如图

第五章 工程力学摩擦li

第五章 工程力学摩擦li

F1max
sin f s cos P cos f s sin
PAG 15
Northeastern University
§4-3
考虑摩擦时物体的平衡问题
y
（二）下滑 (1)取物体为研究对象
(2) 受力分析
(3) 建坐标系，列平衡方程
' 0 Fx 0, F1 cos P sin Fmax
PAG 21
③ M max与滚子半径无关;
Northeastern University
§4-4
滚动摩阻的概念
4.滚动摩擦系数 的说明 ①有长度量纲，单位一般用mm,cm； ②与滚子和支承面的材料的硬度和温度有关; ③ 的物理意义见图示。
根据力线平移定理
R
' N
P F
A
R
Fs A
§4-1 2、状态
P
Fs
FN
滑动 摩擦实验
滑动摩擦 ①静止： （静摩擦力）
FT
Fs FT (FT Fs 不固定值)
②临界：（将滑未滑）（最大静摩擦力）
力 静摩擦因数
Fx 0, FT FS 0 FS FT
法线间夹角的最大值
tan f Fmax f s FN fs FN FN
Fmax Fs
摩擦角的正切=静摩擦系数
PAG 9
Northeastern University
§4-2
摩擦角和自锁现象
二、自锁现象
①如果作用于物体的主动力合力的作用线在摩擦 锥内，则不论这个力多大，物体总能平衡。
PAG 17
Northeastern University

理论力学：考虑摩擦时物体的平衡

理论力学：考虑摩擦时物体的平衡
不滑动的条件 m tan tanm f fmin tan
18
理论力学
三、滚动摩阻
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
刚体假设： 圆盘为刚体 地面为刚体
2020/12/9
F W
F W Fs
FN
19
理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
非刚体假设： 圆盘为非刚体 地面为非刚体
F
F
W
W
Fs
FN M f
fs min tan 300
17
理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
问题：长轴为 a，短轴为 b ，重为W的非均质椭圆盘，一端铅
垂吊起，另一端放在倾角为 的固定斜面上，圆盘长轴与水 平线的夹角为 ，若圆盘处于平衡，圆盘与斜面的静滑动摩擦
因数最小为多大？
T
F
W
2020/12/9
解：研究椭圆盘，受力分析
M A 0 : M f FR 0 M f FR
不滑动条件： Fs fFN F fW
不滚动条件： M f FN
FW
R
Fmax
min{ fW , W} R
21
理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
A
C
DF
W
B
FA
P
A
C
DF
W
B
Fs FB
2020/12/9
例：重为W长为L的均质梯子靠在光滑
2020/12/9
20
理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
例： 圆盘为W，半径为R，水平拉力为F，静滑动摩擦因数为 f 滚动摩擦阻力系数为 ，求维持平衡时最大拉力Fmax。
F W
F

理论力学(哈尔滨工业大学)课件9.2 滑动摩擦理论

理论力学(哈尔滨工业大学)课件9.2 滑动摩擦理论

P
与相对滑动方向反向；
大小： F d = f d F N
2、滑动摩擦理论
动滑动摩擦系数
无量纲,与材质、粗糙度、湿度、温度等 因素有关。此外还与相对滑动速度有关。
fd < f s
（对多数材料，通常情况下）
滑动摩擦和考虑摩擦的平衡问题
例1 物体重力P为1500N，放在倾角为θ=30°的斜面上，已知重物与斜面间
2、滑动摩擦理论
滑动摩擦和考虑摩擦的平衡问题
(1) 静滑动摩擦力和静滑动摩擦定律
∑ Fx = 0 FT − FS = 0 FS = FT
F
NFБайду номын сангаас
FS A
T
静滑动摩擦力的特点
P
方向：沿接触处的公切线，与相对滑动趋势反向；
大小：0 ≤ Fs ≤ Fmax
Fmax = fs FN （库仑摩擦定律）
静摩擦系数
的静滑动摩擦系数fS=0.2，动滑动摩擦系数fd =0.18，今在重物上作用一个向 右的水平力F=400N，试计算重物与斜面间的摩擦力。
2、滑动摩擦理论
解：取重物为研究对象，分析重物受力。
为了画出重物的摩擦力，需要知道其机械运动状态， y
假设重物处于平衡状态，并且有向上滑动的趋势，在
F
FN
x
此假设基础上分析物体的摩擦力。
无量纲,与材质、粗糙度、湿度、温度等因 素有关。
最大静滑动摩擦力：物体处于临界平衡状态时，所对应的摩擦力。它与 摩擦力的大小无关，只与物体所处的运动状态有关。
2、滑动摩擦理论
滑动摩擦和考虑摩擦的平衡问题
(2) 动滑动摩擦力和动滑动摩擦定律
动滑动摩擦力fd的特点
Fds A

理论力学 第五章 桁架和摩擦

理论力学 第五章 桁架和摩擦

理想桁架 工程实际中计算桁架受力情况时，常 作如下简化： (1) 构成桁架的杆件都是直杆； (2) 杆件两端都用光滑铰链连接； (3) 所有外力（主动力及支座反力） 都作用在节点上； (4) 杆件自重略去不计。
这种桁架称为理想桁架。
平面桁架各杆内力
1.节点法 2.截面法
汇交力系 平面一般力系
已知平面桁架尺寸、载荷。求：各杆内力。
3 因 0 Fs Fmax ，问题的解有时在一个范围内．
考虑摩擦的平衡问题
(1)判断物体是否平衡，并求滑动摩擦力。
先假设物体处于平衡，根据平衡方程求出物体平衡时需 要的摩擦力以及相应接触面间的正压力。再根据摩擦定 律求出相应于正压力的最大静摩擦力并与之比较。若满
足F≤Fmax这一关系，说明物体接触面能提供足够的摩擦
当仅有滑动趋势时，产生的摩擦力，称为静滑动摩擦力
静滑动摩擦力性质
1)静滑动摩擦力FS 的方向与滑动趋势相反，大小由平衡
条件确定；
0≤FS ≤Fmax （物体平衡范围）
2)只有当物体处于将动未动的平衡临界状态时,静滑动摩
擦力FS 达到最大值，即 FS =Fmax=f FN
f — 静滑动摩擦系数；
FN— 法向反力（一般也由平衡条件决定）。
摩擦角和自锁现象
1 摩擦角
FRA ---全约束力
物体处于临界平衡状态时，全约束 力和法线间的夹角---摩擦角
tan f
Fmax FN

fs FN FN
fs
全约束力和法线间的夹角的正切等于静 滑动摩擦系数．
摩擦锥
0 f
2 自锁现象
摩擦自锁的实例
1.粗糙斜面。当 a<m时,
不论W多大，物块A均保持 平衡－－摩擦自锁。

清华大学本校用理论力学考虑摩擦的平衡问题PPT课件

清华大学本校用理论力学考虑摩擦的平衡问题PPT课件

解 第5章 列出沿斜面和垂直斜面方向的平衡方程
N P cos F P sin
又由于平衡时有 F N
tan tanm 平衡时 m ，即主动力P在摩擦锥内。 讨论：几何法
N
F
P
第5章
例2
上例中，若
，则主动力P落在锥外，物
m
体不平衡。需加一个水平力Q使物体平衡。
求Q的范围
力系简化与平衡问题
n
S
F
mN
Rn
➢ 受力图中多了摩擦力；另一方面，除静力
学平衡方程外还要补充方程：F N
➢ 所得结果是一个范围。
➢ 可求解不等式；也可在极限情况求解等式， 再根据物理意义确定范围。
第5章
例1
设一物块放在粗糙斜面上。斜面与物块间的
摩擦系数为m，问平衡时a满足什么条件？
力系简化与平衡问题
N
F
P
力系简化与平衡问题
物理方程：
FA N A, FB NB
l
b
2
力系简化与平衡问题
第5章
解法二
套 钩 在 全 反 力 RA 、 RB和主动力P三力作
用下平衡，三力必 汇交，其交点必须 位于阴影区中。
由三角形ACD得：
1 2
(b
d
tanm
)
(
d 2
lmin
)
tan m
lmin
b
2 tanm
b
2
平衡条件与工人体重无关？
cos sin
tan(
m
)
Q P
tan(
m
)
N
Q
F
P
解法二 第5章 设Q与P的合力为S，它与P的夹角为b，则

理论力学教学PPT摩擦教学课件PPT

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4
（2）临界平衡状态：
FS
Fmax
Fmax ：最大静摩擦力
静摩 擦力有一个范围：0 Fs Fmax
Fmax
有限约束力
实验表明：Fm
的大小与接触面上法向反力
ax
FN
的大小成正比，方向与物体相对滑动趋势的方向相反.
P
Fmax
A
FN
Fmax = fs FN f s ----- 静摩擦系数
静滑动摩擦定律 T
49.61N m MC 70.39 N m
40
例5-14 已知： 力 P 角 ，不计自重的 A , B 块间的
静摩擦系数为 f s ，其它接触处光滑；
求：使系统保持平衡的力 F的值.
41
解： 取整体 Fy 0 FNA P 0 FNA P
设力 F小于 F1时，楔块 A 向右运动， 取楔块 A ，F1 FNA tan( ) P tan( )
解得 Fs 866 N FN 4500 N d 0.171m
而 Fmax fs FN 1800 N
因 Fs Fmax , 木箱不会滑动；
又 d 0 , 木箱无翻倒趋势.
木箱平衡
（2）设木箱将要滑动时拉力为 F1 Fx 0 Fs F1 cos 0 Fy 0 FN P F1 sin 0
画两杆受力图.
(a)
(b)
38
对图 (a) ， M A 0 FN1 AB M A 0
对图 (b) ， M C 0 M C1 FN1 l sin 60o Fs1 l cos 60o 0 又 Fs1 Fs1 fs FN1 fs FN1
解得 MC1 70.39N m
设 M C M C2 时，系统有顺时针方向转动趋势，

理论力学—摩擦

理论力学—摩擦
角jf之内，则无论这个力怎样大，
物块必保持静止。这种现象称为 自锁现象。因为在这种情况下， 主 动 力 的 合 力 FR 与 法 线 间 的 夹
角q < jf，因此， FR和全约束反
力FRA必能满足二力平衡条件，
且q j < jf 。
jf
jf
FR
q
A
j
FRA
jf
4.2.2 自锁现象
(2) 如果全部主动力的合力
线的方位也随之改变；在临界状态下，FR的作用线将 画出一个以接触点A为顶点的锥面，称为摩擦锥。设物 块与支承面间沿任何方向的摩擦系数都相同，即摩擦
角都相等，则摩擦锥将是一个顶角为2jf的圆锥。
4.2.2 自锁现象
物块平衡时，静摩擦力不一定达到最大值，可在
零与最大值Fmax之间变化，所以全约束反力与法线间
同而引起的切向力。
滑动摩擦——由于物体间相对滑动或有相 ② 对滑动趋势引起的摩擦。
滚动摩擦——由于物体间相对滚动或有相 对滚动趋势引起的摩擦。
三、摩擦有害的一面和有利的一面
⑴ 有害的一面：它是机械的多余阻力，使机械发热，引起 零部件的磨损，从而消耗能量，降低效率和使用寿命。
⑵ 有利的一面：可利用其进行传动、制动、调速、联接、 夹卡物体等。另外，人类的生活也时时离不开摩擦。
解2：（几何法）
jm B C

当梯子处于向下滑动的临界平衡 RB
状态时，受力如图，显然 RARB ，
E
于是
P
A amin

aj j j j m RA m i2 n m C A 2 m E A C 2 2 E m
故 a应满足的条件是：

2
a22jm

理论力学完整ppt课件

理论力学完整ppt课件
理论力学
主讲 王卫东
可编辑课件PPT
1
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2
绪
论
一、理论力学的研究对象和内容 二、理论力学发展简史 三、学习理论力学的目的 四、理论力学的研究方法
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3
可编辑课件PPT
真汽 车 碰 撞 仿
4
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5
可编辑课件PPT
6
一、理论力学的研究对象和内容
理论力学——研究物体机械运动规律的科学。
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15
都江堰
岷江上的大型引水枢纽工程，也是现有世界上历史最长的无坝 引水工程。始建于公元前256～前251年。
可编辑课件PPT
16
赵州桥(安济桥)
591～599年，跨度37.4米,采用拱高只有7米的浅拱-敞肩拱，
敞肩拱的运用为世界桥梁史上的首创，并有“世界桥梁鼻祖”
的美誉。
可编辑课件PPT
3 随着科学技术的发展，交叉学科的地位也越来越 重要。力学与其它学科的渗透形成了生物力学、爆 炸力学、物理力学等边缘学科，这就需要我们有坚 实的理论力学基础。
4 培养分析问题、解决问题的方法。
可编辑课件PPT
24
四、理论力学的研究方法
是从实践出发，经过抽象化、综合、归纳、建立 公理，再应用数学演绎和逻辑推理而得到定理和结论， 形成理论体系，然后再通过实践来验证理论的正确性。
17
张衡与地动仪
东汉时期，中国发生地震的次数是比较多的，为了测定地
震方位，及时地挽救人民的生命财产，公元126年，张衡在第二
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
次担任太史令之后， 就注意掌握收集地震的情报和记录，经过
多年的潜心研究，终于在公元132年(东汉顺帝阳嘉元年)，发明

关于摩擦角与自锁现象课件

关于摩擦角与自锁现象课件
3．摩擦锥 当物块的滑动趋势方向改变时，
全约束力作用线的方位也随之改变。 在临界状态下， FRA 的作用线将画出 一个以接触点 A为顶点的圆锥面，这 个圆锥面称为摩擦锥，如图 5-2 所示。
理论力学 5-2 摩擦角和自锁现象 图 5-2c
理论力学 5-2 摩擦角和自锁现象
设物块与支承面间沿任何方向的 摩擦因数都相同，即摩擦角都相等， 则摩擦锥将是一个顶角为 的圆锥。
3．利用摩擦角测定静摩擦因数 利用摩擦角的概念，可用简单的
试验方法，测定静摩擦因数，如图 54 所示。
理论力学 5-2 摩擦角和自锁现象 图5-4
理论力学 5-2 摩擦角和自锁现象
把要测定的两种材料分别做出斜 面或物块，把物块放在斜面上，并逐 渐从零起增大斜面的倾角 ，直到 物块刚开始下滑时为止。 这时的 角就是要测定的摩擦角 。
理论力学 5-2 摩擦角和自锁现象 图 5-2b
理论力学 5-2 摩擦角和自锁现象
全约束力与法线间的夹角的最大值 ，称为摩擦角， 由图5-2b 可得
（5-4）
理论力学 5-2 摩擦角和自锁现象
即：摩擦角的正切等于静摩擦因数。 摩擦角与摩擦因数一样，都是表
示材料表面性质的量。
理论力学 5-2 摩擦角和自锁现象
关于摩擦角与自锁现 象
17.01.2021
1
理论力学 5-2 摩擦角和自锁现象
一、 摩擦角 二、 自锁现象
理论力学 5-2 摩擦角和自锁现象
一、摩擦角
理论力学 5-2 摩擦角和自锁现象
1．支承面的全约束力 当有摩擦时，支承面对平衡物体
的约束力包含法向约束力FN和切向约 束力 Fs（即静摩擦力）。
理论力学 5-2 摩擦角和自锁现象

(PPT幻灯片版)理论力学课件

(PPT幻灯片版)理论力学课件

F1
刚体
大小相等 | F1 | = | F2 | 方 向相反 F1 =－F2 (矢量) 且 在同一直线上。
F2
说明：①对刚体来说，上面的条件是充要的； ②对变形体来说，上面的条件只是必要条件。
绳子
F2
平衡
F1
F2 不平衡
F1
F2
绳子
不平衡
F1
对多刚体不成立
理论力学
中南大学土木建筑学院
11
③二力构件：只在两个力作用下平衡的刚体叫二力构件。
中南大学土木建筑学院
57
[例] 画出下列各构件的受力图
D
F2
B
F1
A
FAy FBy FBx B
E
FAx
FCx
C
FCy F2
E
FB
FE
FD F3
G
F3 FC
G FCx
FBy
B
F1 二力构件
F1 二力杆
F2
F2
注意：二力构件是不计自重的。
公理3 加减平衡力系原理
在已知的任意力系上加上或减去任意一个平衡力系， 并不改变原力系对刚体的作用。
理论力学
中南大学土木建筑学院
12
推论1：力的可传性 作用于刚体上的力可沿其作用线移到同一刚体内的任一
点，而不改变该力对刚体的作用效应。
A F B 等效 A F F B F 等效 A F F B F
理论力学
中南大学土木建筑学院
46
理论力学
中南大学土木建筑学院
47
（3）止推轴承（圆锥轴承）
约束特点：止推轴承比径向轴承多一个轴向的位移限制。 约束力：比径向轴承多一个轴向的约束力，亦有三个正

(完整版)理论力学---第四章摩擦

(完整版)理论力学---第四章摩擦

sin q cosq
fs cosq fs sinq
P
F
sin q cosq
fs cosq fs sinq
P
F1
22
第四章 摩擦
用几何法求解 解: 物块有向上滑动趋势时
F1max P tan(q )
23
第四章 摩擦
物块有向下滑动趋势时
F1min P tan(q )
P tan(q ) F P tan(q )
力偶矩的大小
A
M O
B
P
25
第四章 摩擦
已知：b , d , fs , 不计凸轮与挺杆处摩擦，不计挺杆质量；
求： 挺杆不被卡住之值. a
26
第四章 摩擦
解： 取挺杆，设挺杆处于刚好卡住位置.
Fx 0 FAN FBN 0
Fy 0 FA FB F 0 M A 0
FN
(a
d 2
)
FBd
利用三角公式与 tan fs ,
P sinq fs cosq F P sinq fs cosq
cosq fs sinq
cosq fs sinq
24
第四章 摩擦
无重杆OA AB.其中OA长度L与水平线的倾角
为q
AB 水平.将重为P的物块放在斜面上，斜面
倾角 大于接触面的摩擦角 f
问若想在OA 杆上加一主动力偶使物块静止 在斜面上,转向?
19
第四章 摩擦
已知： P ,q , fs .
求： 使物块静止，
水平推力
F的大小．
20
第四章 摩擦
解：
使物块有上滑趋势时，推力为
F1
画物块受力图
F 0, x
F1 cosq P sinq Fs1 0

理论力学第七章 摩擦

理论力学第七章 摩擦

补充方程：Fmax fs FN
再求F1的最小值。物体的受力如图（b）所示。
F1 sin W cos 0 FN sin f s cos fs FN F1min W 补充方程： Fmax cos f s sin
y
F F
x
0 0
0 F1 cos W sin Fmax
第七章 摩擦
7.1 摩擦力与摩擦角 一、摩擦力与摩擦角 本章主要分析刚体在考虑摩擦时的力学行为。
>>摩擦力与摩擦角
d
MO cos FR
Fx 0, F Fx 0
Fx F FN W
Fx F arctan F W N
Fy 0, W FN 0
态。在此情形下，摩擦力Fs沿斜面向下， 并达到最大值Fmax。物体共受4个力作用， 如图（a）所示。列平衡方程
>> 考虑摩擦时物体系统的平衡
F F
x y
0 0
F1 cos W sin Fmax 0 FN F1 sin W cos 0
sin f s cos F1max W cos f s sin
还可以看出，即使不增加外力F的大小，只要增加hf，d的数值
也可以增加，也有可能达到，进而可以使物体运动（翻倒）。
>>摩擦力与摩擦角
和d一样，角度也随着外力F的大小增加而增大。自然地， 随着外力F增大，物体达到滑动临界状态时，全约束反力与 公切面的法线夹角 也将达到最大值 m，该角度称为物体与 接触面之间的摩擦角。
(c)
求解可得：
FNB W cos 2 sin W cos Fs 2 sin
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F 0 F Q cos P sin 0 X
P
F 0 N Q sin P cos 0 Y
Q
X
物理条件 F f N
于是有
P sin Q cos f Q sin P cos
FN
解出 Q Psin f cos
cos f sin
综合得重物保持平衡的条件
Psin f cos Q Psin f cos
cos f sin
cos f sin
即 Psin f cos Q Psin f cos
考虑到 tan f
P tan( ) Q P tan( )
可以看出，Q 在一定取值范围内都可使重物保持
平衡。
长l 的梯子AB 一端靠垂直墙壁，一端搁在水平地板上。 设梯子与墙壁的接触完全光滑，梯子与地板之间存在摩擦， 静摩擦系数f ，梯子重量不计。有一重量为P 的人沿梯子向上 爬，如要保证梯子不滑倒，求梯子与墙壁之间的夹角 。
F FMAX
A
梯子不滑的条件
NA
宽a，高b的矩形柜放置在水平面上，柜重G，重心C在其几
何中心，柜与地面间的静摩擦因数是 fs，在柜的侧面施加水平向 右的力F，求能使柜不翻倒而滑动所需推力F 的值。
a
F
C
b
h
G
解: 取矩形柜为研究对象,受力分析如图。
1 .假设不翻倒但即将滑动，考虑临界平衡。
使物体保持平衡状态时的摩擦力F，
F FMAX
静滑动摩擦力F 的方向，总是与滑动的趋势方向相 反。即F 总是阻止滑动 发生。
2、动滑动摩擦力
如果两个相互接触的物体发生了相对滑动（有相对速度），在接 面上产生的阻碍滑动的力称为动滑动摩擦力。
与静滑动摩擦力类似，动滑动摩擦力与物体间的正压力成正比
F f N ——动滑动摩擦库仑定律
F——动滑动摩擦力，与滑动方向相反。
N——物体间接触正压力。
f ´——动滑动摩擦因数
一般地，
f f
当滑动速度不大时，f ´等于常数。
摩擦角与“自锁”
作用于物体上的力P 分解 为两个分量
Py P cos ——与约束力 N 平衡 Px P sin ——与摩擦力 F平衡
当 角逐渐增加时，Px 增加,F增加； Py
B
P
l
a
A
解：受力如图，设P至A 端的距离为a
平衡方程 F 0 X
NB F 0
NB B
F 0 Y
NA P 0
m 0 A
P a sin NB l cos 0
NB
a l
P tan
P l
物理条件 F f N A
a P tan f P a tan f
a
l
l
当a=l 时最危险 tan f tan
FMAX TK
P T
F
N
可见F的大小有一个确定的范围，在此范围内可以保持物体的平衡
0 F FMAX
实验证明：
静滑动摩擦力的最大值FMAX与接触面间的正压力N成正比
FMAX f N ——库仑静滑动摩擦定律
f ——静滑动摩擦因数。
静滑动摩擦因数与材料、接触面的粗糙度、温度等 因素有关；在一般情况下，与接触面的面积无关。可以 认为是常数。
考虑摩擦时力系的平衡
在外力作用下，两个相互接触的物体有相对滑动趋势时， 彼此总存在阻碍滑动发生的机械作用。称为滑动摩擦力。
滑动摩擦力分为两种：静滑动摩擦力和动滑动摩擦力
1、静滑动摩擦力
当T很小时，重物不会滑动， 表明摩擦力可以和T平衡，当T逐渐 增加，至某临界值TK ，物体由静止 进入运动，考虑和F的平衡关系， 有
Ⅰ
θ
Ⅱ
Ⅲ Ⅳ
解： 1. 取楔块为研究对象，受力分析如图。
列平衡方程
θ
y
FN2
F2
θ
O
F1
FN
1
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
Py
FMAX
Px
N
R
（2） Px FMAX即 时 自锁
这时，由于实际摩擦力F总小于最大摩擦力FMAX ， 物体永远保持静止平衡——自锁。
P
Py
P
Py
Px FMA
X
R
N
Px F
N
R
（3） Fx FMAX 即 时 不能平衡
这时即使P 值很小，也不能保证物体平衡。
P
Py
Px FMAX
N
R
考虑滑动摩擦的平衡问题
列平衡方程
y
Fx 0, F FA FB 0 (a)
F
C
G
A
FA

FB x
B
FNA
FNB
Fy 0, FNA FNB G 0 (b)
补充方程
FA fs FNA , FB fs FNB
代入（a），（a）-（b）
联立求解得柜子开始滑动所需的最小推力
F Fmin1 Gfs
2.假设矩形柜不滑动但将绕 B 翻倒。
减小， N 随之减小，直至临界状态
Px Fmax
P
Py
F
Px
N
R
时物体保持平衡。这时，FMAX与 N 构成全反力 R 与 P 保持平衡。显然
tan Fmax f N f
NN
——称为摩擦角
由于 tan f 是常数， 可以改变，于是有下列状态：
（1） Px FMAX 即 时 临界平衡
P
列平衡方程
F
C
G
A
FA
FB x
B
FNA
FNB
MB 0,
G
a 2
F
h
FNA
a
0
柜不绕 B 翻倒条件：
FNA≥0
a
解得
F ≤ Ga
2h
F
当h=b时,使柜翻倒的最小推力为
C b
G
h
F
Fmin2
Ga 2b
柜体保持滑动而不翻到时,应满足
Fmin2 F Fmin1
即
Ga 2b
F
Gfs
a
F
C b
G
h
在坑道施工中，广泛采用各种利用摩擦锁紧装置—楔联结。 坑道支柱中的联结结构装置如图所示。它包括顶梁I，楔块II，用 于调节高度的螺旋III及底座IV。螺旋杆给楔块以向上的推力FN1。 已知楔块与上下支柱间的静摩擦因数均为fs（或摩擦角φf ）。求楔 块不致滑出所需顶角的大小。
斜面上放一重物，重量为P 。已知斜面的倾斜角为，重物与
斜面之间的摩擦系数为f ，摩擦角为 。当 > 时，试求使重物在
斜面上保持静止时水平力Q 的大小。
P Q
解：（1）当Q足够小时，因> ，重物在P 作用下有向下滑动的 趋势，摩擦力方向与X方向相同。
平衡方程
F 0 F Q cos P sin 0 X
P
F 0 N Q sin P cos 0 Y
Q
物理条件 F f N
于是有
X
F N
P sin Q cos f Q sin P cos
解出 Q Psin f cos
cos f sin
（2）当Q足够大时，使重物出现向上滑动的趋势，摩擦力方向 与 X 方向相反。
平衡方程