2017考研数学二真题答案
- 格式：pdf
- 大小：530.88 KB
- 文档页数：11
二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上.
（9）曲线
y
x
1
arcsin
2 x
的斜渐近线方程为_______。
【答案】 y x 2 。
4
【解析】
k
lim
x
x 1
arcsin x1
arcsin
2 x
x
2 ，则斜渐近线方程为
=
3
2a
，即
3
2a
1，可得
a
1 。
2 2
三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤.
x x tetdt
(15)(本题满分 10 分)求极限 lim 0
。
x0
x3
【解析】先对变上限积分 x x tet dt 作变量代换 u x t ，得 0
令 y 0 可得 3x2 3 0 ，故 x 1 。由极限的必要条件可知，函数的极值之梦能取在 x 1 与 x 1处，为了检验该点是否为极值点，下面来计算函数的二阶导数，对(1)式两边同时求导可得，
6x 6y y2 3y2 y 3y 0 ……(2) 当 x 1时， y 1，将 x 1, y 1, y 0 代入（2）式可得 y 2 ，故 y 1 1是函数的极大值。
y
x 1
yey
，
f
x,
y
yeydx xyey c(y) ，
f
y
xe y
xyey
c( y)
xe y
xyey ，即 c( y)
0
，即 c(y) c ， f 0,0 0 ，故 c 0 ，即 f xy, eyx
y。
（13） 10
dy 1y
tan x
x
dx
_______。
5
【答案】 ln(cos1) 。
计时开始后乙追上甲的时刻记为（ ）
（A）t0=10
（B）15＜t0＜20
（C）t0=25
（D）t0＞25
【答案】（C）
【 解 析 】 从 0 到 t0 时 刻 ， 甲 乙 的 位 移 分 别 为
t0 0
V1
(t
)dt
与
t0 0
V2
(t
)dt
要使乙追上甲，则有
t0 0
[V2
(t
)
V1
(t
)]dt
，由定积分的几何意义可知，
25
0 [V2 (t) V1(t)]dt 20 10 10 ，可知 t0 25
，故选（C）。
0 0 0 （7）设 A 为 3 阶矩阵， P = (1,2 ,3 ) 为可逆矩阵，使得 P 1 AP 0 1 0 ，则
0 0 2
A1 2 3 （ ）
（A）1 2
（B）2 23
lim(
n
xn
xn2 )
0
时，lim n
xn
0
【答案】（D）
（B）当mil( n
xn
)
x0n
时，lim n
xn
0
（D）当 lim( n
xnsin
)
x0n
时，lim n
xn
0
1
【解析】设
lim
n
xn
a
，则
lim sin
n
xn
sin
a
，可知当 sin
a
0
，也即
a
k
，k
0, 1, 2,
时，都有 lim sin n
进一步地：
d2y dx2
ex
f1
ex
d ( f1) dx
cos
xf2
sin
x
d ( f2) dx
ex f1 ex ( f11ex f12 sin x) cos xf2 sin x( f21ex f22 sin x)
ex f1 cos xf2 e2x f11 2ex sin xf21 sin2 xf22
0
0
0
0
f ( x) f ( 0) [f ( 0 ) f ( 1x) ] x ，2 x 1(1,0) 。因此 f (x)dx (2x 1)dx 0 ，从
1
1
1
而 f (x)dx 0 ，故选（B）。 1
（3）设数列xn 收敛，则（ ）
（A）当milnis n
0 xn
时，lim n
xn
0
（C））当
方程 (1) 的特解可以设为 y1 Ae2x ，方程 (2) 的特解可以设为 y2 xe2x (B cos 2x C sin 2x) ，由 解的叠加原理可知：方程 (1) 饿任意解和方程 (2) 的任意解之和即为原方程的解，则原方程的特解可
以设为 y2 Ae2x xe2x (B cos 2x C sin 2x) ，故选（C）。
lim(
n
xn
sin
xn
)
a
sin
a
，而要使
a
sin
a
0
只有
a
0
，故（D）正确。
（4）微分方程 y 4y 8y e2x (1 cos 2x) 的特解可设为 y* （ ）
（A） Ae2x e2x B cos 2x C sin 2x
（B） Axe2x e2x B cos 2x C sin 2x
2017 全国研究生入学考试考研数学二解析
本试卷满分 150，考试时间 180 分钟
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目 要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.
（1）若函数
f
(x)
1 cos ax
x,
x 0, 在 x 0 处连续，则（
2
3 x0 xex 1 ex 3
2
2 3
(16)(本题满分 10 分)设函数
f (u,v) 具有 2 阶连续偏导数，y
f (ex , cos x) ，求 dy dx
x0
，d 2 y dx2
。
x0
【解析】由复合函数求导法则，可得：
dy dx
f1ex
f2(sin x)
dy 故 dx
x0
f1(1,1)
sin t et sin t et cos t (1 et )3
d2y dx2
1。 8
t0
（11）
0
ln(1 x) (1 x)2
dx
_______。
【答案】1。
【解析】
0
ln(1 x) (1 x)2
dx
0
ln(1
x)d
1
1
x
1
ln(1 x)
1 x
0
0
1
1
x
2
y x2。
（10）设函数
y
y(x)
由参数方程
x y
t et sint
确定，则
d2y dx2
t0
_______。
【答案】 1 。 8
cos t sin t(1 et ) et cos t
【解析】dy dx
y(t) x(t)
cos t 1 et
d2y ，dx2
1 et 1 et
(1 et )2 1 et
xn
0
，故（A）错误。
lim(
n
xn
xn ) a
a ， 可 知 当 a
a 0 ， 也 即 a 0 或 者 a 1 时 ， 都 有
lim(
n
xn
xn ) 0 ，故（B）错误。
lim(
n
xn
xn2 )
a
a2
，可知当 a
a2
0 ，也即 a
0 或者 a
1
时，都有
lim(
n
xn
xn2 )
0 ，故
（C）错误。
【答案】（B）
【解析】由（E A）=0 可知 A 的特征值为 2,2,1。
3 r(2E A) 1。 A 可相似对角化，且 A
1 0 0
0
2
0
0 0 2
由 E B 0 可知 B 的特征值为 2,2,1。
3 r(2E B ) 2 。B 不可相似对角化，显然 C 可相似对角化，
A C 。且 B 不相似于 C。
故 d2y dx2
x0
f1(1,1)
f2(1,1)
f11(1,1)
n
(17) (本题满分 10 分)求 lim
k ln(1 k ) 。
n n k 1 2
n
【解析】由定积分的定义式可知
原 式 =
lim
n
1 n
n k 1
k n
ln
1
k n
1 x ln 1 x dx
0
，再由分部积分法可知：
1 x ln 1 x dx 1
x
2
f x, y 0 ，可知 f x, y 关于单调 y 递减，故 f 1,1 f 1,0 ，从而 f 0,1 f 1,0 ，故选
y
（D）。 （6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10(单位：m)处，图中实线表示甲的速度曲线 v=v1(t)(单
位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线 v=v2(t)(单位：m/s)，三块阴影部分的面积的数值依次为 10,20,3.
1 0 0
（8）已知矩阵 A 0 2 1 ， B 0 2 0 ， C 0 2 0 则（ ）
0 0 1
0 0 1
0 0 2
（A） A 与 C 相似， B 与 C 相似 （B） A 与 C 相似， B 与 C 不相似 （C） A 与 C 不相似， B 与 C 相似 （D） A 与 C 不相似， B 与 C 不相似
（9）曲线
y
x
1
arcsin
2 x
的斜渐近线方程为_______。
【答案】 y x 2 。
4
【解析】
k
lim
x
x 1
arcsin x1
arcsin
2 x
x
2 ，则斜渐近线方程为
=
3
2a
，即
3
2a
1，可得
a
1 。
2 2
三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤.
x x tetdt
(15)(本题满分 10 分)求极限 lim 0
。
x0
x3
【解析】先对变上限积分 x x tet dt 作变量代换 u x t ，得 0
令 y 0 可得 3x2 3 0 ，故 x 1 。由极限的必要条件可知，函数的极值之梦能取在 x 1 与 x 1处，为了检验该点是否为极值点，下面来计算函数的二阶导数，对(1)式两边同时求导可得，
6x 6y y2 3y2 y 3y 0 ……(2) 当 x 1时， y 1，将 x 1, y 1, y 0 代入（2）式可得 y 2 ，故 y 1 1是函数的极大值。
y
x 1
yey
，
f
x,
y
yeydx xyey c(y) ，
f
y
xe y
xyey
c( y)
xe y
xyey ，即 c( y)
0
，即 c(y) c ， f 0,0 0 ，故 c 0 ，即 f xy, eyx
y。
（13） 10
dy 1y
tan x
x
dx
_______。
5
【答案】 ln(cos1) 。
计时开始后乙追上甲的时刻记为（ ）
（A）t0=10
（B）15＜t0＜20
（C）t0=25
（D）t0＞25
【答案】（C）
【 解 析 】 从 0 到 t0 时 刻 ， 甲 乙 的 位 移 分 别 为
t0 0
V1
(t
)dt
与
t0 0
V2
(t
)dt
要使乙追上甲，则有
t0 0
[V2
(t
)
V1
(t
)]dt
，由定积分的几何意义可知，
25
0 [V2 (t) V1(t)]dt 20 10 10 ，可知 t0 25
，故选（C）。
0 0 0 （7）设 A 为 3 阶矩阵， P = (1,2 ,3 ) 为可逆矩阵，使得 P 1 AP 0 1 0 ，则
0 0 2
A1 2 3 （ ）
（A）1 2
（B）2 23
lim(
n
xn
xn2 )
0
时，lim n
xn
0
【答案】（D）
（B）当mil( n
xn
)
x0n
时，lim n
xn
0
（D）当 lim( n
xnsin
)
x0n
时，lim n
xn
0
1
【解析】设
lim
n
xn
a
，则
lim sin
n
xn
sin
a
，可知当 sin
a
0
，也即
a
k
，k
0, 1, 2,
时，都有 lim sin n
进一步地：
d2y dx2
ex
f1
ex
d ( f1) dx
cos
xf2
sin
x
d ( f2) dx
ex f1 ex ( f11ex f12 sin x) cos xf2 sin x( f21ex f22 sin x)
ex f1 cos xf2 e2x f11 2ex sin xf21 sin2 xf22
0
0
0
0
f ( x) f ( 0) [f ( 0 ) f ( 1x) ] x ，2 x 1(1,0) 。因此 f (x)dx (2x 1)dx 0 ，从
1
1
1
而 f (x)dx 0 ，故选（B）。 1
（3）设数列xn 收敛，则（ ）
（A）当milnis n
0 xn
时，lim n
xn
0
（C））当
方程 (1) 的特解可以设为 y1 Ae2x ，方程 (2) 的特解可以设为 y2 xe2x (B cos 2x C sin 2x) ，由 解的叠加原理可知：方程 (1) 饿任意解和方程 (2) 的任意解之和即为原方程的解，则原方程的特解可
以设为 y2 Ae2x xe2x (B cos 2x C sin 2x) ，故选（C）。
lim(
n
xn
sin
xn
)
a
sin
a
，而要使
a
sin
a
0
只有
a
0
，故（D）正确。
（4）微分方程 y 4y 8y e2x (1 cos 2x) 的特解可设为 y* （ ）
（A） Ae2x e2x B cos 2x C sin 2x
（B） Axe2x e2x B cos 2x C sin 2x
2017 全国研究生入学考试考研数学二解析
本试卷满分 150，考试时间 180 分钟
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目 要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.
（1）若函数
f
(x)
1 cos ax
x,
x 0, 在 x 0 处连续，则（
2
3 x0 xex 1 ex 3
2
2 3
(16)(本题满分 10 分)设函数
f (u,v) 具有 2 阶连续偏导数，y
f (ex , cos x) ，求 dy dx
x0
，d 2 y dx2
。
x0
【解析】由复合函数求导法则，可得：
dy dx
f1ex
f2(sin x)
dy 故 dx
x0
f1(1,1)
sin t et sin t et cos t (1 et )3
d2y dx2
1。 8
t0
（11）
0
ln(1 x) (1 x)2
dx
_______。
【答案】1。
【解析】
0
ln(1 x) (1 x)2
dx
0
ln(1
x)d
1
1
x
1
ln(1 x)
1 x
0
0
1
1
x
2
y x2。
（10）设函数
y
y(x)
由参数方程
x y
t et sint
确定，则
d2y dx2
t0
_______。
【答案】 1 。 8
cos t sin t(1 et ) et cos t
【解析】dy dx
y(t) x(t)
cos t 1 et
d2y ，dx2
1 et 1 et
(1 et )2 1 et
xn
0
，故（A）错误。
lim(
n
xn
xn ) a
a ， 可 知 当 a
a 0 ， 也 即 a 0 或 者 a 1 时 ， 都 有
lim(
n
xn
xn ) 0 ，故（B）错误。
lim(
n
xn
xn2 )
a
a2
，可知当 a
a2
0 ，也即 a
0 或者 a
1
时，都有
lim(
n
xn
xn2 )
0 ，故
（C）错误。
【答案】（B）
【解析】由（E A）=0 可知 A 的特征值为 2,2,1。
3 r(2E A) 1。 A 可相似对角化，且 A
1 0 0
0
2
0
0 0 2
由 E B 0 可知 B 的特征值为 2,2,1。
3 r(2E B ) 2 。B 不可相似对角化，显然 C 可相似对角化，
A C 。且 B 不相似于 C。
故 d2y dx2
x0
f1(1,1)
f2(1,1)
f11(1,1)
n
(17) (本题满分 10 分)求 lim
k ln(1 k ) 。
n n k 1 2
n
【解析】由定积分的定义式可知
原 式 =
lim
n
1 n
n k 1
k n
ln
1
k n
1 x ln 1 x dx
0
，再由分部积分法可知：
1 x ln 1 x dx 1
x
2
f x, y 0 ，可知 f x, y 关于单调 y 递减，故 f 1,1 f 1,0 ，从而 f 0,1 f 1,0 ，故选
y
（D）。 （6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10(单位：m)处，图中实线表示甲的速度曲线 v=v1(t)(单
位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线 v=v2(t)(单位：m/s)，三块阴影部分的面积的数值依次为 10,20,3.
1 0 0
（8）已知矩阵 A 0 2 1 ， B 0 2 0 ， C 0 2 0 则（ ）
0 0 1
0 0 1
0 0 2
（A） A 与 C 相似， B 与 C 相似 （B） A 与 C 相似， B 与 C 不相似 （C） A 与 C 不相似， B 与 C 相似 （D） A 与 C 不相似， B 与 C 不相似
