2016-2017年考研数学二真题及答案
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2016考研数学二真题及答案
一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.
1.当+→0x 时,若)(ln x 21+α
,α
1
1)cos (x -均是比x 高阶的无穷小,则α的可能取值
范围是( )
(A )),(+∞2 (B )),(21 (C )),(121 (D )),(2
10
【详解】α
ααx x 221~)(ln +,是α阶无穷小,αα
α2
1
1
2
1
1x x ~
)cos (-是
α
2
阶无穷小,由题意可知⎪⎩⎪
⎨⎧>>121α
α
所以α的可能取值范围是),(21,应该选(B ). 2.下列曲线有渐近线的是
(A )x x y sin += (B )x x y sin +=2
(C )x
x y 1sin
+= (D )x x y 12
sin +=
【详解】对于x
x y 1sin +=,可知1=∞→x y x lim 且01
==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ,所以有斜渐
近线x y = 应该选(C )
3.设函数)(x f 具有二阶导数,x f x f x g )())(()(110+-=,则在],[10上( )
(A )当0≥)('x f 时,)()(x g x f ≥ (B )当0≥)('x f 时,)()(x g x f ≤ (C )当0≥'')(x f 时,)()(x g x f ≥ (D )当0≥'')(x f 时,)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法.
【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话,可以直接做出判断. 显然x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程.故当0≥'')(x f 时,曲线是凹的,也就是)()(x g x f ≤,应该选(D )
【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话,可令
x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=,则010==)()(F F ,且)(")("x f x F =,故当0≥'')(x f 时,曲线是凹的,从而010==≤)()()(F F x F ,即0≤-=)()()(x g x f x F ,也就是)()(x g x f ≤,应该选(D ) 4.曲线⎩⎨⎧++=+=1
472
2t t y t x ,
上对应于1=t 的点处的曲率半径是( )
(A)
5010(B)100
10 (C)1010 (D)105 【详解】 曲线在点))(,(x f x 处的曲率公式3
21)'("y y K +=
,曲率半径K
R 1
=
. 本题中422+==t dt dy t dt dx ,,所以t t t dx dy 21242+=+=,3222
122t
t t dx y d -=-
=,
对应于1=t 的点处13-==",'y y ,所以10
10113
2
=
+=
)
'("y y K ,曲率半径
10101
==
K
R . 应该选(C )
5.设函数x x f arctan )(=,若)(')(ξxf x f =,则=→2
2
x x ξlim
( )
(A)1 (B)
32 (C)21 (D)3
1 【详解】注意(1)2
11x
x f +=
)(',(2))(arctan ,33
310x o x x x x +-=→时. 由于)(')(ξxf x f =.所以可知x x x x f f arctan )()('==+=
211ξξ,2
2
)(arctan arctan x x x -=ξ,
31313
33
020
2
2
=+-
-=-=→→→x
x o x x x x x x
arx x x x x x )
()(lim )
(arctan tan lim
lim
ξ
. 6.设),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续,在D 的内部具有二阶连续偏导数,且满足
02≠∂∂∂y x u 及02222=∂∂+∂∂y
u
x u ,则( ). (A )),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上; (B )),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部;
(C )),(y x u 的最大值点在区域D 的内部,最小值点在区域D 的边界上;
(D )),(y x u 的最小值点在区域D 的内部,最大值点在区域D 的边界上.
【详解】),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续,所以),(y x u 在D 内必然有最大值和最小
值.并且如果在内部存在驻点),(00y x ,也就是
0=∂∂=∂∂y
u
x u ,在这个点处x y u y x u B y
u C x u A ∂∂∂=∂∂∂=∂∂=∂∂=222222,,,由条件,显然02
<-B AC ,显然),(y x u 不是
极值点,当然也不是最值点,所以),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上. 所以应该选(A ).
7.行列式
d
c d c b
a b a
00
00000等于 (A )2
)(bc ad - (B )2
)(bc ad -- (C )2222c b d a - (D )2
222c b d a +-
【详解】
200000000
00000000)(bc ad d
c b
a bc d c
b a ad d
c c b
a b d c d
b a a d
c d c b
a b a --=+-=+-=
应该选(B ).
8.设321ααα,, 是三维向量,则对任意的常数l k ,,向量31ααk +,32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的
(A )必要而非充分条件 (B )充分而非必要条件
(C )充分必要条件 (D ) 非充分非必要条件 【详解】若向量321ααα,,线性无关,则