数学八年级下北师大版6.2平行四边形的判定(二)

E
∴ 四边形 MENF 是平行四边形. B
F NC
例4 如图，将▱ABCD 沿过点 A 的直线 l 折叠，使
点 D 落到 AB 边上的点 D′ 处，折痕 l 交 CD 边于点 E，
连接 BE．求证：四边形 BCED′ 是平行四边形.
证明：由题意得∠DAE = ∠D′AE，∠DEA = ∠D′EA，
=
16，
h
=
4，所以
S△ACE
=
1 2
AE·h
=
1 2
×5×4
=
10.
A
C
B
想一想
若垂线段改为夹在两条线段间的平行线段呢？它们是
否相等呢？ 如图，AB∥CD，AC∥BD，
AB
∴四边形 ABCD 为平行四边形 (平行四边形的定义判定)，
CD
再由平行四边形的性质易知，AC = BD .
结论：夹在两条平行线间的平行线段相等.
∠ACB =∠F，求证：四边形 ABED 为平行四边形． 证明：∵ BE = CF，
∴ BE + EC = CF + EC，即 BC = EF．
又∵ ∠B = ∠DEF，∠ACB = ∠F，
AD
∴ △ABC≌△DEF， ∴ AB = DE.
P
∵∠B = ∠DEF，
∴ AB∥DE．
BE
CF
∴四边形 ABED 是平行四边形．
在笔直的铁轨上，夹在两根铁轨之间的平行枕木
是否一样长？你能说明理由吗？与同伴交流.
a
A
B
枕木
铁 轨
实际问题
bC
D
几何问题
1 平行线之间的距离
例1 已知：如图，直线 a∥b，A，B 是直线 a 上任意

O
北师大版数学八年级下第六章第2节平行四边形的判定（2）
应用新知
例题：已知:如图,在□ ABCD中，点E 、F
在对角线AC上，并且AE=CF．
求证:四边形BFDE是平行四边形.
A
D
E
O
F
B
C
北师大版数学八年级下第六章第2节平行四边形的判定（2）
解题过程
连接BD，交AC于点O ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AO=CO,BO=DO 又∵AE=CF ∴AO-AE=CO-CF
A E
B
D FC
北师大版数学八年级下第六章第2节平行四边形的判定（2）
西安行知中学
A E
B
D FC
北师大版数学八年级下第六章第2节平行四边形的判定（2）
课堂小结
1.如何证明四边形为平行四边形？
①定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形. ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ④对角线互相平分的四边形是平行四边形.
求证：四边形ABCD是平行
O
四边形
北师大版数学八年级下第六章第2节平行四边形的判定（2）
判定定理： 对角线互相平分的四边形是平行四边形.
几何语言： ∵ OA=OC,OB=OD. ∴_四_边__形__A_B_C_D__是_平__行__四__边__形__ （对__角_线_互_相__平_分_的_四__边_形_是_平__行_四_边_形__)
北师大版数学八年级下第六章第2节平行四边形的判定（2）
课堂练习
1.在四边形ABCD中，已知AB∥CD，再添加一个
条件__AB_=_C_D__或 AD∥BC 使四边形ABCD是
平行四边形.

6.2.2平行四边形的判定
一、复习回顾
1、下列四边形是否是平行四边形？
A 110° ⑴
B 70°
110°
7.6㎝
⑵
A
4.8㎝
B
7.6㎝
D 定义 两组对边分别平行的四
C
边形是平行四边形
D
4.8㎝
判定
1
C
两组对边分别相等的四 边形是平行四边形
二、预习检测
1、对角线互相平分的四边形是平行四边形
2、平行间的距离：如果两条直线互相平行， 则其中一110° 条直线上任意一点到另一条直线
• (2)比较线段AC,BD的长短.
A
B
a
b
C
D
知识点2
• 如果两条直线平行,则其中一条直线上任意两点到另一 条直线的距离相等,这个距离称为平行线之间的距离.
• 平行线间的距离处处相等
A
B
a
bC
D
四、随堂练习
1.平行四边形 ABCD的对角线相交于点O，点
E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中
A
D 证明： 在四边形ABCD中
B
C
∠A+∠B+∠C+∠D=360° ∵∠A=∠C， ∠B=∠D
∴∠A+∠D=180° ∠A+∠B=180°
∴AB∥DC， AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形
• 例2:已知直线a b,过直线a上任意两点A,B分别向直
线b作垂线,交直线b于点C、点D.
• (1)线段AC,BD所在的直线有怎样的位置关系?
求证：四边形ABCD是平行四边形
证明：∵ AO = CO ，BO = DO ，∠1 = ∠2

B
1
4
AD＝CB, BD＝DB，
∴△ABD≌△CDB.
∴∠1＝∠2, ∠3＝∠4.
∴AB∥CD,
AD∥CB.
∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的定义）.
3
2
C
D
平行四边形的判定定理1：
A
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
D
O
几何语言描述：
在四边形ABCD中，
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
ACD及等边三角形ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF.
(1)求证：AC＝EF；
证明：(1) ∵在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC.
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AE＝AB，AB＝2AF.∴AF＝BC.
∵在Rt△AFE和Rt△BCA中，AE=BA，AF=BC，
AE＝DF.
求证：四边形BECF是平行四边形.
证明：∵ BE⊥AD，CF⊥AD， ∴ BE∥CF，
∵在△ABE和△DCF中，AB∥CD，
∴ ∠A＝∠D，
又∵AE＝DF，∠AEB＝∠DFC＝90°，
∴ △ABE≌△DCF(ASA)，
∴ BE＝CF.
又BE∥CF，
∴ 四边形BECF是平行四边形．
例2、如图，在四边形ABCD中，AB＝5，BC＝x－5，CD＝x－3，AD＝11－x
5.如图，在▱ABCD中，O是对角线BD的中点，过点O的一条直线分别与BC相交于
点E，与AD相交于点F. 连结AE，CF. 求证：四边形AECF是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，∴∠FDO=∠EBO.