江西宜中学高三10月月考理数

南昌十中2024- 2025学年上学期第一次月考高三数学试题一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.1. 已知集合4,1P x y y x ⎧⎫==∈⎨⎬+⎩⎭N ， {}14Q x x =-≤≤，则P Q = （ ）A. {}1,2,4 B. {}0,1,3 C. {}03x x ≤≤ D. {}14x x -≤≤2. 若复数z 满足(1i)i z a +=-(其中i 是虚数单位，R a ∈)，则“||1z =”是“1a =”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 若向量()()1,2,1,2a b m =-=+，且()a b a +⊥ ，则m =（ ）A. −8 B. 8 C. −2 D. 24. 某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为34，在实验操作中结果为优秀的概率为23，则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（ ）A.712B.12C.512D.135. 函数()y f x =的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（ ）A. 112y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B. 112y f x ⎛⎫=--⎪⎝⎭C. ()42y f x =-D. ()42y f x =--6. 冰箱空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧量Q 呈指数函数型变化．当氟化物排放量维持在某种水平时，臭氧量满足关系式0.00250etQ Q -=⋅，其中0Q是臭氧的初始量，e 是自然对数的底数，t 是时间，以年为单位．若按照关系式0.00250e tQ Q -=⋅推算，经过0t 年臭氧量还保留初始量的四分之一，则0t 的值约为（ln 20.693≈）（ ）A. 584年B. 574年C. 564年D. 554年7. 已知数列{a n }满足24a =，对m ∀，*n ∈N ，都有m n m n a a a +=⋅，n T 为数列{a n }的前n 项乘积，若54T T <，则101T =（ ）A. 51512- B. 50502 C. 1012- D. 515128. 已知函数()22e 1xf x =-+，若不等式()12ln 2f ax f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭对()0,x ∀∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. (20,e ⎤⎦ B. (2,e ⎤-∞⎦C. 20,e⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、多选题：9. 已知变量x ，y 之间的线性回归方程为 0.710.3y x =-+，且变量x ，y 之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是（ ）A. 变量x ，y 之间呈现负相关关系B. 4m =C. 可以预测，当11x =时，y 约为2.6D. 由表格数据知，该回归直线必过点()9,410. 记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin 5sin ,1a B c A A bc b c +==++，ABC V 的面积为，则ABC V 的周长可能为（ ）A. 8B. 5+C. 9D. 5+11. 在圆锥PO 中，PO 为高，AB ，母线长为2，点C 为PA 的中点，圆锥底面上点M 在以AO 为直径的圆上（不含A O ､两点），点H 在PM 上，且PA OH ⊥，当点M 运动时，则（ ）A. 三棱锥M PAO -的外接球体积为定值B. 直线CH 与直线PA 不可能垂直C. 直线OA 与平面PAM 所成的角可能为60oD. 2AH HO +<三、填空题：12. 已知随机变量()2~2,3N ξ，若()()321P a P a ξξ<-=>+，则实数a 的值为________．13. 圆22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为______．14. 对于任意的,x y ∈R ，函数()f x 满足()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，函数()g x 满足()()()g x y g x g y +=.若()21f =-，()38g =，则()()2024g f =______.四、解答题：15. 在ABC V 中，角A ，B ，C a ，b ，c .已知sin cos 0b A a B -=.（1）求角B 的大小；（2）若c =，求tan A 的值.16. 某工厂生产一种零件，该零件的质量分为三种等级：一等品、二等品和次品.根据历史数据，该工厂生产一等品、二等品和次品的概率分别为0.7，0.2和0.1.现对一批刚生产出来的零件进行质量检测，检测方式分为两种：自动检测和人工抽检，自动检测能将一等品全部正确识别，但有5%的概率将二等品误判为次品，有15%的概率将二等品误判为一等品，也有10%的概率将次品误判为二等品.（1）求在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率（2）假设零件先经过自动检测，若判断为一等品，则进行人工抽检；若判断为二等品或次品，则直接淘汰.求人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品概率.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，122,P AD D PC CB BA AD CB =====∥，90CPD ABC ∠∠==︒，平面PCD ⊥平面,ABCD E 为PD中点．的（1）求证：PD ⊥平面PCA ；（2）点Q 在棱PA 上，CQ 与平面PDC，求平面PCD 与平面CDQ 夹角的余弦值．18. 已知点P 为圆 ():2²²4C x y -+=上任意一点， ()2,0,A -线段PA 垂直平分线交直线PC 于点M ，设点M 的轨迹为曲线H .（1）求曲线H 的方程;（2）若过点M 的直线l 与曲线H 的两条渐近线交于S ，T 两点，且M 为线段ST 的中点.(i)证明：直线l 与曲线H 有且仅有一个交点；(ii).19. 给出以下三个材料：①若函数()f x 可导，我们通常把导函数()f x '导数叫做()f x 的二阶导数，记作()f x ''.类似的，函数()f x 的二阶导数的导数叫做函数()f x 的三阶导数，记作()f x '''，函数()f x 的三阶导数的导数叫做函数()f x 的四阶导数……，一般地，函数()f x 的1n -阶导数的导数叫做函数()f x 的n 阶导数，记作()()()'1n n fx f x -⎡⎤=⎣⎦，4n ≥；②若*N n ∈，定义!(1)(2)321n n n n =⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯ ；③若函数()f x 在包含0x 的某个开区间(,)a b 上具有任意阶的导数，那么对于任意(),x a b ∈有()()()()()()()()20000000()1!2!!n nf x f x f xg x f x x x x x x x n =+-+-++-+''' ，我们将()g x 称为函数()f x 在点0x x =处的泰勒展开式.例如1()e xf x =在点0x =处的泰勒展开式为2111()12!n g x x x x n =+++++ 根据以上三段材料，完成下面题目：的的的（1）求出()cos f x x =在点0x =处的泰勒展开式()g x ；（2）用()cos f x x =在点0x =处泰勒展开式前三项计算cos 0.3的值，精确到小数点后4位；（3）现已知sin 111111ππ2π2πππx x x x x x x x n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，试求211n n ∞=∑的值.的南昌十中2024- 2025学年上学期第一次月考高三数学试题一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.1. 已知集合4,1P x y y x ⎧⎫==∈⎨⎬+⎩⎭N ， {}14Q x x =-≤≤，则P Q = （ ）A. {}1,2,4 B. {}0,1,3 C. {}03x x ≤≤ D. {}14x x -≤≤【答案】B 【解析】【分析】根据集合P ，知11x +=或2或4，从而得{}0,1,3P =，再结合集合的交集运算性质运算即可.【详解】由4,1P x y y x ⎧⎫==∈⎨⎬+⎩⎭N ，得11x +=或2或4，故{}0,1,3P =.因为{}14Q x x =-≤≤，所以P Q = {}0,1,3.故选：B.2. 若复数z 满足(1i)i z a +=-(其中i 是虚数单位，R a ∈)，则“||1z =”是“1a =”的（ ）A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由复数的运算结合模长公式求出a ，再由充分必要条件定义判断.【详解】由(1i)i z a +=-得，i (i)(1i)11i,||11i (1i)(1i)22a a a a z z ----+===-=++-2211122a a -+⎛⎫⎛⎫∴+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1a =或1a =-.故“||1z =”是“1a =”的必要不充分条件.故选：B3. 若向量()()1,2,1,2a b m =-=+，且()a b a +⊥ ，则m =（ ）A. −8B. 8C. −2D. 2【答案】B.【解析】【分析】运用向量的坐标运算，结合垂直的坐标结论计算即可.【详解】由题意得(),4a b m +=.因为()a b a +⊥ ，所以()80a b a m +⋅=-+=，即8m =.故选：B.4. 某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为34，在实验操作中结果为优秀的概率为23，则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（ ）A.712B.12C.512D.13【答案】C 【解析】【分析】根据独立事件的概率公式与互斥事件的概率加法公式可求概率.【详解】根据题意可得该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为：12315434312⨯+⨯=．故选：C .5. 函数()y f x =的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（ ）A. 112y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B. 112y f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭C. ()42y f x =-D. ()42y f x =--【答案】A 【解析】【分析】根据给定的函数图象，由(1)0f =推理排除CD ；由①中函数当1x >时，()0f x >分析判断得解.【详解】由图①知，(1)0f =，且当1x >时，()0f x >，由②知，图象过点(0,0)，且当0x <时，0y >，对于C ，当0x =时，(4)0y f =>，C 不可能；对于D ，当0x =时，(4)0y f =-<，D 不可能；对于A ，当0x =时，(1)0y f ==，而当0x <时，1112x ->，则1(1)02f x ->，A 可能；对于B ，当0x =时，(1)0y f =-=，而当0x <时，1112x ->，则1(1)02f x --<，B 不可能.故选：A6. 冰箱空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧量Q 呈指数函数型变化．当氟化物排放量维持在某种水平时，臭氧量满足关系式0.00250etQ Q -=⋅，其中0Q 是臭氧的初始量，e 是自然对数的底数，t 是时间，以年为单位．若按照关系式0.00250e tQ Q -=⋅推算，经过0t 年臭氧量还保留初始量的四分之一，则0t 的值约为（ln 20.693≈）（ ）A. 584年 B. 574年 C. 564年 D. 554年【答案】D 【解析】【分析】根据题意列出方程，指对数互化求解即可．【详解】由题意知，00.0025001e 4t Q Q Q -=⋅=，则00.00251e4t -=，解得()01400ln 4002ln 25544t =-=--≈年.故选：D ．7. 已知数列{a n }满足24a =，对m ∀，*n ∈N ，都有m n m n a a a +=⋅，n T 为数列{a n }的前n 项乘积，若54T T <，则101T =（ ）A. 51512- B. 50502 C. 1012- D. 51512【答案】A 【解析】【分析】依题意，先令1m =，可得11n na a a +=，再令1m n ==，结合54T T <，可得12a =-，进而判断出数列{a n }是以首项为12a =-，公比为2q =-等比数列，最后结合等比数列的通项公式即可求值.【详解】因为对m ∀，*n ∈N ，都有m n m n a a a +=⋅，的所以令1m =，有11n n a a a +=⋅，则有11n na a a +=，令1m n ==，有22111a a a a ==⋅，又因为24a =，所以12a =±，因为()()()6351234512212222114T a a a a a a a a a a a a a a a =⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅，()()424123412212214T a a a a a a a a a a a =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅，且54T T <，所以63421144a a ⋅<⋅，即1214a <，所以12a =-，则112n na a a +==-，所以数列{a n }是以首项为12a =-，公比为2q =-的等比数列，所以()()()210010112310010112310111111T a a a a a a q a qa q aq +++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅()()()110010010151512222+⨯=-⨯-=-，故选：A.8. 已知函数()22e 1xf x =-+，若不等式()12ln 2f ax f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭对()0,x ∀∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. (20,e ⎤⎦ B. (2,e ⎤-∞⎦C. 20,e⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】根据函数的性质()()2f x f x =--，原不等式可转化为()()2ln f ax f x ≥，利用函数单调性去掉“f ”，分离参数求最值即可.【详解】因为()()e 22e e 2222241111e exx x x xf x f x -+-=-+-=--=++++.则()()2f x f x =--．所以()()()22ln 2ln f ax f x f x ≥--=，易知()22e 1x f x =-+在R 上单调递增，所以有2ln ax x ≥，对()0,x ∀∈+∞恒成立，即ln 2a xx≥，设()ln xh x x=， 则()21ln xh x x-'=，则当()0,e x ∈时，()'0h x >，()h x 单调递增，当()e,x ∈+∞时，()'0h x <，()h x 单调递减，则()()1h x h e e≤=，所以有2e a ≥，即2,e a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭．故选：D二、多选题：9. 已知变量x ，y 之间的线性回归方程为 0.710.3y x =-+，且变量x ，y 之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是（ ）A. 变量x ，y 之间呈现负相关关系B. 4m =C. 可以预测，当11x =时，y 约为2.6 D. 由表格数据知，该回归直线必过点()9,4【答案】ACD 【解析】【分析】根据回归直线斜率知A 正确；利用回归直线必过样本中心点可构造方程求得m ，可知B 错误，D 正确；将11x =代入回归直线知C 正确.【详解】对于A ，由 0.710.3y x =-+，得0.7b=- ，故,x y 呈负相关关系，故A 正确；对于B ，68101294x +++==，6321144m m y ++++==，110.7910.34m +∴=-⨯+，解得5m =，故B 错误；对于C ，当11x =时，0.71110.3 2.6y =-⨯+=，故C 正确；对于D ，由5m =得4y =，回归直线必过点()x y ，即必过点()9,4，故D 正确.故选：ACD10. 记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin 5sin ,1a B c A A bc b c +==++，ABC V 的面积为，则ABC V 的周长可能为（ ）A. 8B. 5+C. 9D. 5+【答案】AB 【解析】【分析】由正弦定理得5b c +=，由三角形面积公式得sin A =，进而得出1cos 3A =±，再根据余弦定理求得3a =，即可求解．【详解】由正弦定理得5ab ac a +=，得5b c +=，则16bc b c =++=，由1sin 2ABC S bc A ==，得sin A =，所以1cos 3A ==±，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得22()22cos 9a b c bc bc A =+--=或17，所以3a =，所以ABC V 的周长为8或5+故选：AB ．11. 在圆锥PO 中，PO 为高，AB，母线长为2，点C 为PA 的中点，圆锥底面上点M 在以AO 为直径的圆上（不含A O ､两点），点H 在PM 上，且PA OH ⊥，当点M 运动时，则（ ）A. 三棱锥M PAO -的外接球体积为定值B. 直线CH 与直线PA 不可能垂直.C. 直线OA 与平面PAM 所成的角可能为60o D 2AH HO +<【答案】AD 【解析】【分析】由条件结合线面垂直判定定理证明AM ⊥平面POM ，由此证明AM PM ⊥，再证明点C 为三棱锥M PAO -的外接球球心，判断A ，证明PA ⊥平面OHC ，由此证明PA CH ⊥，判断B ；证明OH ⊥平面PAM ，由此可得OAH ∠为直线OA 与平面PAM 所成的角，解三角形求其正弦，判断C ，证明OH AH ⊥，解三角形求AH HO +，结合基本不等式求其范围，判断D.【详解】连接,,,,,OM AM AH OC CM CH ，对于A ，易知⊥PO 平面AMB ，AM ⊂平面AMB ，所以AM PO ⊥，因为点M 在以AO 为直径的圆上（不含A 、O ），所以AM OM ⊥，OM PO O = ，OM ⊂平面POM ，PO ⊂平面POM ，所以AM ⊥平面POM ，又PM ⊂平面POM ，所以AM PM ⊥，又PO AO ⊥，C 为PA 的中点，2PA =，所以1CO CA CP CM ====，所以点C 为三棱锥M PAO -的外接球的球心，所以三棱锥M PAO -的外接球的半径为r =1，所以三棱锥M PAO -的外接球体积为定值，A 正确；由已知，PO AO ⊥，2PA =，AO =，所以PO AO ===，所以POA 为等腰直角三角形，连接OC ，又C 为PA 的中点，故PA OC ⊥，又PA OH ⊥，OH OC O ⋂=，OH ⊂平面OHC ，OC ⊂平面OHC ，则PA ⊥平面OHC ，又CH ⊂平面OHC ，所以PA CH ⊥，故B 错误；因为AM ⊥平面POM ，又OH ⊂平面POM ，所以AM OH ⊥，又PA OH ⊥，PA AM A = ，AM ⊂平面PAM ，PA ⊂平面PAM ，则OH ⊥平面PAM ，所以OA 在平面PAM 上的射影为AH ，所以OAH ∠为直线OA 与平面PAM 所成的角，设OMx =，则PM =OH PM OM PO ⋅=⋅，.所以OH =所以sin OH OAH OA ∠==，令60OAH ∠==，解得x =，即OM =OM OA <矛盾，C 错误；对于D 中，因为OH ⊥平面PAM ，AH ⊂平面PAM ，所以OH AH ⊥，又OH =，OA =所以AH ==，所以AH HO +==，0x <由基本不等式可得2222x +<x +<，所以2AH HO +<，D 正确. 故选：AD【点睛】关键点点睛：解决多面体的外接球问题的关键在于由条件确定其外接球的球心的位置，由此确定外接球的半径.三、填空题：12. 已知随机变量()2~2,3N ξ，若()()321P a P a ξξ<-=>+，则实数a 的值为________．【答案】2【解析】【分析】根据正态分布的对称性求解.【详解】由题意得，32122a a -++=⨯，解得2a =．故答案为：213. 圆22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为______．【答案】45##0.8【解析】【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A 及AF 的方程，从而可求原点到直线AF 的距离.【详解】圆22(1)25-+=x y 的圆心为()10F ,，故12p=即2p =，由()2221254x y y x⎧-+=⎪⎨=⎪⎩可得22240x x +-=，故4x =或6x =-（舍），故()4,4A ±，故直线()4:13AF y x =±-即4340x y --=或4340x y +-=，故原点到直线AF 的距离为4455d ==，故答案为：4514. 对于任意的,x y ∈R ，函数()f x 满足()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，函数()g x 满足()()()g x y g x g y +=.若()21f -，()38g =，则()()2024g f =______.【答案】2【解析】【分析】利用赋值法先判定()f x 的周期性，化()()()()20240g f g f =，再利用赋值法计算即可.【详解】令0y =，得()()()220f x f f x =，则()01f =或()0f x =（与()21f =-矛盾舍去）.令1x y ==，得()()()220210f f f +==⎡⎤⎣⎦，则()10f =，则()()110f x f x ++-=，则()()4f x f x +=，则()()202401f f ==.又因为()()()g x y g x g y +=，所以()()()()332118g g g g ⎡⎤===⎣⎦，则()12g =，从而()()()202412g f g ==.故答案为：2【点睛】思路点睛：抽象函数的性质问题通常用赋值法，通过巧妙赋值先判定()f x 的周期性，再利用赋值法计算函数值即可.四、解答题：15. 在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin cos 0b A a B -=.（1）求角B 的大小；（2）若c =，求tan A 的值.【答案】（1）π4B = （2）13【解析】【分析】（1）根据正弦定理，将边化为角，再根据三角函数公式，即可求解；（2）方法一：首先根据正弦定理将边化为角，再根据（1）的结果，转化为关于角A 的三角函数关系式，即可求解；方法二：将边的关系代入余弦定理，得到b =，再代入余弦定理求cos A ，即可求解.【小问1详解】由sin cos 0b A a B -=及正弦定理得，sin sin sin cos 0B A A B -=.因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠，则sin cos 0B B -=，即tan 1B =.因为B ∈(0,π)，所以π4B =.【小问2详解】方法一：由c =和正弦定理，得sin C A =，即3πsin 4A A ⎛⎫-=⎪⎝⎭.A A A+=A A =，则得1tan 3A =.方法二：根据余弦定理得22222222cos 85b a c ac B a a a =+-=+-=，则b =.222cos 02b c a A bc +-===>，则角A 是锐角，故sin A ==，则sin 1tan cos 3A A A ==.16. 某工厂生产一种零件，该零件的质量分为三种等级：一等品、二等品和次品.根据历史数据，该工厂生产一等品、二等品和次品的概率分别为0.7，0.2和0.1.现对一批刚生产出来的零件进行质量检测，检测方式分为两种：自动检测和人工抽检，自动检测能将一等品全部正确识别，但有5%的概率将二等品误判为次品，有15%的概率将二等品误判为一等品，也有10%的概率将次品误判为二等品.（1）求在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率（2）假设零件先经过自动检测，若判断为一等品，则进行人工抽检；若判断为二等品或次品，则直接淘汰.求人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率.【答案】（1）910（2）7073【解析】【分析】（1）先由互斥事件和的概率与条件概率计算()P B ，再由条件概率计算()P A B 即可；（2）根据条件概率公式求解即可.【小问1详解】设事件A 表示“零件是次品”，B 表示“自动检测判断零件为次品”，事件12,A A 分别表示零件是一等品、二等品，则()()()()()()()2211P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.10.90.20.050.700.1=⨯+⨯+⨯=，则()()()0.10.90.1P AB P A B P B ⨯==所以在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率为910.【小问2详解】设事件C 表示“零件需要进行人工抽检”，D 表示“人工抽检的零件为一等品”()0.70.20.150.73P C =+⨯=，()0.7P CD =，所以人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率为()()()0.7700.7373P CD P D C P C ===.17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，122,P AD D PC CB BA AD CB =====∥，90CPD ABC ∠∠==︒，平面PCD ⊥平面,ABCD E 为PD 中点．（1）求证：PD ⊥平面PCA ；（2）点Q 在棱PA 上，CQ 与平面PDC ，求平面PCD 与平面CDQ 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）应用面面垂直性质定理证明线面垂直；（2）先应用空间向量法计算线面角得出参数，再计算二面角即可.【小问1详解】由题意：2,90,BC AB ABC AC ==∠=︒∴==，同理CD =，又2224,,AD CD AC AD CD AC =∴+=∴⊥．而CD ==，即PC PD⊥又平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面,ABCD CD AC =⊂平面ABCD ，AC ∴⊥平面,PCD PD ⊂平面,PCD PD AC ∴⊥，又PC PD ⊥，且PC ⊂面,PCA AC ⊂面,,PCA PC AC C PD =∴⊥ 平面PCA ．【小问2详解】以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()0,0,0,,,C A D P，()(,,CD CP PA ∴===，设(01)PQ PA λλ=<<，有)))11CQ CP PA λλλ=+=-- ，取面PCD 的一个法向量()0,1,0m =，则1cos ,2CQ m λ===，故CQ = ．令(),,n x y z = 是平面CDQ 的一个法向量，则0n CD n CQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x z ⎧==令1y =，有()0,1,2n =-，则cos ,n m n m n m ⋅==，故平面PCD 与平面CDQ 18. 已知点P 为圆 ():2²²4C x y -+=上任意一点， ()2,0,A -线段PA 的垂直平分线交直线PC 于点M ，设点M 的轨迹为曲线H .（1）求曲线H 的方程;（2）若过点M 的直线l 与曲线H S ，T 两点，且M 为线段ST 的中点.(i)证明：直线l 与曲线H 有且仅有一个交点；(ii)求 21OS OT+的取值范围.【答案】（1）2213y x -=（2）( i )证明见解析，( ii) )+∞【解析】【分析】(1) 由双曲线的定义进行求解；(2) ( i ) 设001122(,),(,),(,)Mx y S x y T x y ，求出03ST x k y =，由直线l 与曲线H 方程进行求解；（ii）由12220034443OS OT x x x y ⋅===⨯=-，则2124OS OS OT OS +=+利用基本不等式求解．【小问1详解】M 为PA 的垂直平分线上一点, 则MP MA = ，则24MA MC MP MC AC -=-=<=∴点M 的轨迹为以,A C 为焦点的双曲线, 且22,2a c ==，故点M 的轨迹方程为22: 1.3y H x -=【小问2详解】( i ) 设001122(,),(,),(,)Mx y S x y T x y，双曲线的渐近线方程为：y =，如图所示：则11y =①，22y =②，①+②得，)1212y y x x +=- ， ①-②得，)1212y y x x -=+ ，=，得()121212123x x y y x x y y -+=+-由题可知MS MT =，则1201202,2x x x y y y +=+=，得()1200123x x y x y y -=-，即003ST x k y =，∴直线ST 的方程为()00003x y y x x y -=-，即22000033x x y y x y -=-，又∵点M 在曲线H 上，则220033x y =- ，得0033x x y y-=，将方程联立22001333y x x x y y ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩，得()222200003630y x x x x y -+--=，得22003630x x x x -+-=，由()()()2200Δ64330x x =-⨯-⨯-=，可知方程有且仅有一个解，得直线l 与曲线H 有且仅有一个交点. （ii ）由（i）联立0033y x x y y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，可得1x =，同理可得，2x =，则12220034443OS OT x x x y ⋅===⨯=-，故2124OS OS OT OS +=+≥当且仅当24OS OS =，即OS =. 故21OS OT+的取值范围为)+∞．【点睛】关键点点睛：第二问中的第2小问中，先要计算4OS OT ⋅=，再由基本不等式求解范围．19. 给出以下三个材料：①若函数()f x 可导，我们通常把导函数()f x '的导数叫做()f x 的二阶导数，记作()f x ''.类似的，函数()f x 的二阶导数的导数叫做函数()f x 的三阶导数，记作()f x '''，函数()f x 的三阶导数的导数叫做函数()f x 的四阶导数……，一般地，函数()f x 的1n -阶导数的导数叫做函数()f x 的n 阶导数，记作()()()'1n n f x f x -⎡⎤=⎣⎦，4n ≥；②若*N n ∈，定义!(1)(2)321n n n n =⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯ ；③若函数()f x 在包含0x 的某个开区间(,)a b 上具有任意阶的导数，那么对于任意(),x a b ∈有()()()()()()()()20000000()1!2!!n nf x f x f xg x f x x x x x x x n =+-+-++-+''' ，我们将()g x 称为函数()f x 在点0x x =处的泰勒展开式.例如1()e x f x =在点0x =处的泰勒展开式为2111()12!n g x x x x n =+++++ 根据以上三段材料，完成下面的题目：（1）求出()cos f x x =在点0x =处的泰勒展开式()g x ；（2）用()cos f x x =在点0x =处的泰勒展开式前三项计算cos 0.3的值，精确到小数点后4位；（3）现已知sin 111111ππ2π2πππx x x x x x x x n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，试求211n n∞=∑值.【答案】（1）2462(1)cos 162!4!(2)!!n nn x x x x x -=-+-+++（2）0.9553（3）2π6【解析】【分析】（1）利用n 阶泰勒展开式的定义，可求()g x ，（2）由（1）可求cos 0.3；（3）由（1）可得3521(1)sin 511!3!(2)!!n n x x x x n x ---=-+-+-++ ，进而可得24sin 15!3!x x x x =-++++ ，结合已知可得结论.【小问1详解】()cos f x x =，()sin f x x '=-，()''cos f x x =-，L ，所以(0)cos01f ==，(0)sin 00f '=-=，()''cos 01f x =-=-，L ，由()()()2201(1)cos 10001!2!!n nx x x x n --=+-+-++-+ 所以2462(1)cos 162!4!(2)!!n nn x x x x x -=-+-+++【小问2详解】由（1）可得2462240.30.30.3(1)0.30.30.3c !12!o (s 0.316!4!2)4!2!n n n -⨯=-+-+++≈-+ 10.0450.00033750.9553=-+=的【小问3详解】因为sin 111111ππ2π2πππx x x x x x x x n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222222111π4ππx x x n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭①，对2462(1)cos 162!4!(2)!!n nn x x x x x -=-+-+++ ，两边求导可得：3521(1)sin 511!3!(2)!!n n x x x x n x ---=-+-+-++ ，所以35121(1)sin 5!1!3!(21)!n n x x x x x n ---=-++-++ ，所以24122sin (1)15!3!(21)!n n n x x x x x ----=-++++ ②，比较①②中2x 的系数，可得：22222)11111(3!π1231n-=-++++ ，所以2222221111π361112n nn ∞==++++=∑ .【点睛】关键点睛：本题考查了导数中的新定义问题，关键是审题时明确n 阶泰勒展开式的具体定义；第三问关键在于用n 阶泰勒展开式表示sin x x .。

高三数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，不等式，函数与导数，三角函数，解三角形. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}(){}U 0,1,2,3,4,5,1,3,5U A B A B =∪=∩= ，则集合B =（ ） A.{}1,3,5 B.{}0,2,4 C.∅ D.{}0,1,2,3,4,5 2.225π5πsincos 1212−=（ ）A.12 C.12− D.3.已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()2f x y f x y f y +−−=，则()0f =（ ） A.0 B.1 C.2 D.1− 4.已知0,0x y >>，且121y x+=，则12x y +的最小值为（ ）A.2B.4C.6D.85.设函数()()2ln 1sin 1f x x x =+++，则曲线()y f x =在点()0,1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A.12 B.13 C.16 D.236.把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是C θ′ ，空气的温度是0C θ ，则min t 后该物体的温度C θ满足()400e t θθθθ−′=+−.若0,θθ′不变，在12min,min t t 后该物体的温度分别为12C,C θθ，且12θθ>，则下列结论正确的是（ ）A.12t t >B.12t t <C.若0θθ′>，则12t t >；若0θθ′<，则12t t <D.若0θθ′>，则12t t <；若0θθ′<，则12t t >7.已知log 1(,0n m m n >>且21,1),e m n m n ≠≠+=，则（ ） A.e (1)1m n −+< B.e (1)1m n −+> C.e ||1m n −< D.e ||1m n −>8.在ABC 中，4,6,90AB BC ABC ∠=== ，点P 在ABC 内部，且90,2BPC AP ∠== ，记ABP ∠α=，则tan2α=（ ）A.32 B.23 C.43 D.34二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知命题2:,p x x x x ∃∈−>R ；命题πππ:,π,cos sin 244q ααα∀∈−=+，则（ ） A.p 是真命题 B.p ¬是真命题 C.q 是真命题 D.q ¬是真命题10.已知函数()1cos f x x x=+，则（ ） A.()f x 为偶函数 B.()f x 的最大值为cos2 C.()f x 在()1,2上单调递减D.()f x 在()1,20上有6个零点 11.已知函数()3213f x x bx cx =++，下列结论正确的是（ ） A.若0x x =是()f x 的极小值点，则()f x 在()0,x ∞−上单调递减 B.若x b =是()f x 的极大值点，则0b <且0c <C.若3c =，且()f x 的极小值大于0，则b的取值范围为(2,−D.若3c b =−，且()f x 在[]0,3上的值域为[]0,9，则b 的取值范围为[]3,0−三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()()sin (0π)f x x ϕϕ=+< 的图象关于y 轴对称，则ϕ=__________. 13.已知函数()2,0,,01x ax x f x xx x +<= −+ 的最小值为1−，则a =__________. 14.已知函数()()sin 1f x x ϕ=++，若()()121f x f x −=，则12x x −的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ=+><的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在π,04− 上的值域.16.（15分）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且sin 1sin 1cos cos A B A B++=. （1）证明：A B =.（2）若D 是BC 的中点，求CAD ∠的最大值. 17.（15分）已知函数()e xf x a x =−. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()()e 10,0,,x a x f x a x∞−>∀∈+>−，求a 的取值范围.18.（17分）已知集合,A B 中的元素均为正整数，且,A B 满足：①对于任意,i j a a A ∈，若i j a a ≠，都有i j a a B ∈；②对于任意,m k b b B ∈，若m k b b <，都有kmb A b ∈. （1）已知集合{}1,2,4A =，求B ；（2）已知集合{}()2,4,8,8A t t =>，求t ；（3）若A 中有4个元素，证明：B 中恰有5个元素. 19.（17分）已知函数()()ln f x x x a x =++.（1）若()f x 是增函数，求a 的取值范围.（2）若()f x 有极小值，且极小值为m ，证明：1m . （3）若()0f x ，求a 的取值范围.高三数学试卷参考答案1.B (){}U U ,0,2,4A B B B ∩== .2.B225π5π5πsin cos cos 12126−=−3.A 令0y =，则()00f =.4.D11112224448x y x xy y x y xy+=++=+++= ，当且仅当14,121,xy xy y x= += 即2,14x y = = 时，等号成立.5.A ()22cos 1xf x x x =++′，则()01f ′=，即切线方程为1y x =+. 令0x =，则1y =，令0y =，则1=−，故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为12. 6.D 因为()1400e θθθθ−′=+−，所以004ln t θθθθ−=−−′.若0θθ′>，则()04ln f θθθθθ−′=−−是减函数，因为12θθ>，所以12t t <；若0θθ′<，则()04lnf θθθθθ−′=−−是增函数，因为12θθ>，所以12t t >.7.B 因为log 1(,0n m m n >>且0,0)m n ≠≠，所以1m n >>或01m n <<<.若0m n <<<1，则2m n +<，与2e m n +=矛盾，所以e1,11,(1)1m n m n m n >>−+>−+>.8.C 由题意可得BCP ABP ∠∠α==.在BCP 中，sin 6sin BP BC αα==.在ABP 中，2222cos AP AB BP AB BP α=+−⋅，即2436sin 162α+−×6sin 4cos αα⋅，化简得3cos24sin25αα+=，两边平方得229cos 216sin 2αα+ 24cos2sin225αα+=，则22229cos 216sin 224cos2sin225cos 2sin 2αααααα++=+，所以22916tan 224tan2251tan 2ααα++=+，解得4tan23α=.9.BC 因为0,0,2,0,x x x x x −=< 所以0x x − ，又20x ，所以2,x x x p − 是假命题， p ¬是真命题.由诱导公式可得πππ,π,cos sin 244ααα ∀∈−=+，所以q 是真命题， q ¬是假命题.10.AC 因为()()11cos cos f x x x f x x x−=−−=+=，所以()f x 为偶函数，A 正确.()f x 的最大值为1,B 错误.令函数()()1,g x x g x x =+在()1,2上单调递增，且当()1,2x ∈时，()g x 的值域为52,2. 因为函数cos y x =在52,2上单调递减，所以()f x 在()1,2上单调递减，C 正确. 当()1,20x ∈时，()g x 的值域为()2,20.05,6π20.057π<<，函数cos y x =在()2,20.05上有5个零点，所以()f x 在()1,20上有5个零点，D 错误.11.BCD 由三次函数的图象可知，若0x 是()f x 的极小值点，则极大值点在0x 的左侧，()f x 在()0,x ∞−上不单调，A 错误.()22f x x bx c =++′，若x b =是()f x 的极大值点，则()2220f b b b c =++=′，所以()()()2223,233c b f x x bx b x b x b ′=−=+−=+−.若()0,b f x =没有极值点.()0f x ′=的解为123,x b x b =−=.因为x b =是()f x 的极大值点，所以3b b <−，即20,30,b c b <=−<B 正确.若3c =，则()()32221133,2333f x x bx x x x bx f x x bx=++=++=++′.因为()f x的极小值大于0，所以()f x 只有一个零点，且()f x 的极大值点与极小值点均大于0，所以方程21303x bx ++=无实数根，且方程()2230f x x bx =++=′的2个实数根均大于0，所以2122Δ40,Δ412020,b b b =−< −> −>解得2b −<<，C 正确.若3c b =−，则()()()()32213,23,00,393f x x bx bx f x x bx b f f =+−=+−==′.令()0f x ′=，若2Δ4120b b =+ ，即()()30,0,b f x f x ′− 单调递增，符合题意.由2Δ4120b b =+>，解得3b <−或0b >，此时()0f x ′=的2个解为12x b x b =−=−.当0b >时，120,0x x <>，所以()f x 在()20,x 上单调递减，即当(0x ∈，)2x 时，()0f x <，不符合题意.当3b <−时，103x <<，所以()f x 在[]0,3上的最大值为()1f x ，且()()139f x f >=，不符合题意.综上，若3c b =−，且()f x 在[]0,3上的值域为[]0,9，则b 的取值范围为[]3,0−，D 正确.12.π2 因为函数()f x 的图象关于y 轴对称，所以ππ,2k k ϕ=+∈Z .又0πϕ< ，所以π2ϕ=. 13.2 当0x 时，11111x y x x =−=−>−++.因为()f x 的最小值为1−，所以函数2y x ax =+在(),0∞−上取得最小值1−，则20,21,4a a −< −=− 解得2a =. 14.π3 根据三角函数的周期性和对称性，不妨设12ππ0,,,022x x ϕϕ+∈+∈−.因为 ()()121f x f x −=，所以()()1212122sin sin 12cossin 22x x x xx x ϕϕϕ++−+−+==⋅，即121211sin2222cos 2x x x x ϕ−=++，所以12π26x x − ，即12π3x x − ，当且仅当12ππ,66x x ϕϕ+=+=−时，等号成立.15.解：（1）由图可得，2πππ2362T −，所以2ππT ω==. 结合0ω>，解得2ω=，则()()sin 2f x x ϕ=+. 由ππsin 2066f ϕ=×+=，结合图象可得π2π,3k k ϕ+=∈Z ，即π2π,3k k ϕ=−+∈Z . 因为π2ϕ<，所以π3ϕ=−，所以()πsin 23f x x=−.（2）因为π,04x∈−，所以π5ππ2,363x −∈−− ，所以()f x 在π,04− 上的值域为11,2−−.16.（1）证明：因为sin 1cos A A +=，所以222222sin cos sin cos 2222,cos sin cos sin 2222A A B B A A B B++ =−− 则sincossin cos 2222cos sin cos sin2222A A B BA AB B ++=−−. 则sincos cos sin 02222A B A B −=，即sin 022A B−=. 因为(),0,πA B ∈，所以022A B−=，即A B =. （2）解：2222224cos 22AC AC AD AC AD CD CAD AC AD AC AD∠+−+−==⋅⋅22334282AC AD AC AD AC AD AD AC +==+⋅ ，所以π6CAD ∠，当且仅当AD AC =. 故CAD ∠的最大值为π6. 17.解：（1）()e 1x f x a =−′. 当0a 时，()()0,f x f x ′<是减函数.当0a >时，()y f x =′是增函数.令()0f x ′=，解得ln x a =−. 当(),ln x a ∞∈−−时，()0f x ′<；当()()ln ,,0x a f x ∞∈−+>′. 所以()f x 在(),ln a ∞−−上单调递减，在()ln ,a ∞−+上单调递增.综上，当0a 时，()f x 是减函数；当0a >时，()f x 在(),ln a ∞−−上单调递减，在()ln ,a ∞−+上单调递增.（2）()e 1x f x a x −>−，即e 1e x xa x a x−−>−.令函数()1g x x x =−，则()e e e x x xg a a a−=−，所以()()e x g a g x >. 因为()g x 在()0,∞+上单调递增，所以e x a x >，即ex x a >. 令函数()()0e x x h x x =>，则()1e xxh x −=′. 当()0,1x ∈时，()0h x ′>；当()()1,,0x h x ∞∈+′<. 所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减， 所以()11()1,()e eh x h a h x ==>=极大值极大值. 故a 的取值范围为1,e ∞ +.18.（1）解：由①可得2,4,8都是B 中的元素. 下面证明B 中除2,4,8外没有其他元素： 假设B 中还有其他元素，分两种情况：第一种情况，B 中最小的元素为1，显然81不是A 中的元素，不符合题意； 第二种情况，B 中最小的元素为2，设B 中除2,4,8外的元素为()2k k b b >， 因为2kb 是A 中的元素，所以k b 为4或8，而4，8也是B 中的元素， 所以B 中除2,4,8外没有其他元素. 综上，{}2,4,8B =.（2）解：由①可得，8,16,32,2,4,8t t t 都是B 中的元素. 显然84,82,162t t t <<<，由（2）可得，422,,8816t t t 是A 中的元素，即,,248t t t是A 中的元素. 因为842t t t t <<<，所以2,4,8842t t t===，解得16t =. （3）证明：设{}12341231,,,,A a a a a a a a a =<<<.由①可得，1224,a a a a 都是B 中的元素. 显然1224a a a a <，由②可得，2412a a a a 是A 中的元素，即41a a 是A 中的元素. 同理可得，科333412221112,,,,,a a a a a a a a a a a a 是A 中的元素. 若11a =，则31344122a a a a a a a a =>，所以3112a aa a 不可能是A 中的元素，不符合题意.若12a ，则32311a a a a a <<，所以321211,a a a a a a ==，即23213121,a a a a a a ===. 又因为44443211a a a a a a a <<<<，所以444123321,,a a a a a a a a a ===，即441a a =， 所以{}2341111,,,A a a a a =，此时{}3456711111,,,,a a a a a B ⊆.假设B 中还有其他元素，且该元素为k ， 若31k a<，由（2）可得71a A k∈，而7411a a k >，与{}2341111,,,A a a a a =矛盾.若31k a >，因为31k A a ∈，所以131,1,2,3,4i k a i a ==，则31,1,2,3,4i k a i+=， 即{}45671111,,,k a a a a ∈，所以B 中除3456711111,,,,a a a a a 外，没有其他元素.所以{}3456711111,,,,B a a a a a =，即B 中恰有5个元素. 19.（1）解：()ln 2a f x x x++′. 令函数()ln 2a g x x x++，则()2x a g x x −=′. 若0a >，则当()0,x a ∈时，()0g x ′<，当(),x a ∞∈+时，()0g x ′>，所以()g x 在()0,a 上单调递减，在(),a ∞+上单调递增，()min ()ln 3g x g a a ==+.因为()f x 是增函数，所以min ()0f x ′ ，即min ()0g x ，解得31ea . 若0a ，则()0g x ′>在()0,∞+上恒成立，所以()g x 在()0,∞+上单调递增.因为函数ln 2y x =+与函数a y x =−的图象有1个交点，所以存在0x ，使得00ln 20a x x ++=，即当()00,x x ∈时，()0g x <，当()0,x ∞+时，()0g x >，所以()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增，与题设不符.综上，a 的取值范围为31,e ∞ +. （2）证明：由（1）可得当31e a 时，()f x 是增函数，不存在极小值. 当310ea <<时，()()min ()0,g x g a g x =<在()0,a 上单调递减，所以()f x 在()0,a 上不存在极小值点. 因为()120g a =+>，所以()()11,1,0x a g x ∃∈=， 所以()f x 在()1,a x 上单调递减，在()1,x ∞+上单调递增.()()()()1()ln 2350f x f x f a a a a a a a a =<=++<+×−=−<极小值.当0a 时，由()1可得()()0000()ln f x f x x x a x ==++极小值.因为000ln 2a x x x =−−，所以()()200000000()ln 2ln ln f x x x x x x x x x =+−−=− 极小值 ]0ln 1x +−.令函数()2(ln )ln 1h x x x x =−+− ，则()()ln ln 3h x x x =−+′. 当()310,1,e x ∞∈∪+ 时，()0h x ′<，当31,1e x ∈时，()0h x ′>， 所以()h x 在()310,,1,e ∞+ 上单调递减，在31,1e 上单调递增. 当310,e x ∈ 时，2215ln 3,(ln )ln 1ln 024x x x x <−+−=+−>， 所以()2(ln )ln 10h x x x x =−+−< .因为()()11h x h ==极大值，所以()1h x ，所以()1f x 极小值 ，当且仅当01,2x a ==−时，等号成立. 综上，1m .（3）解：若333311120,330e e e e a f a a >=−+=−−<，不符合题意. 若0a ，要使得()0f x ，只需要()0f x 极小值 ，即()2000ln ln 10x x x −+−，所以()200ln ln 10x x +− 0ln x ，即0x . 000ln 2a x x x =−−，令函数()ln 2u x x x x =−−，则()ln 3u x x =−−′. 当31,e x ∞ ∈+时，()()0,u x u x ′<单调递减.因为31e >，所以()u x 在上单调递减.又u u ==所以()u x 在 上的值域为.故a 的取值范围为 .。

江西省10月份高三联考数学（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{1,2,3}A =，{},B x y x A y A =+∈∈，则A B = （）A ．{2}B ．{3}C ．{2,3}D ．{1,2,3}2．在复数范围内，方程49x =的解的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知双曲线22:1y C x m-=的离心率大于实轴长，则m 的取值范围是（）A ．(3,)+∞B ．)+∞C ．(0,3)D ．4．若220m n -≠，cos()2m αβ-=，cos()2n αβ+=，则tan tan αβ=（）A ．m n m n-+B ．m n m n+-C ．2m n m n -+D ．2m n m n+-5．函数2()(31)e xf x x =-的最小值为（）A ．433e--B ．133e 2--C ．0D ．24e--6．已知向量,,a b c ，满足1a = ，2b = ，3c = ，π,,3a b a b c 〈〉=〈+〉=，则a b + 在c 方向上的投影向量为（）A ．3cB ．143c C ．6c D ．76c 7．现有6个人计划在暑期前往江西省的南昌、九江、赣州、萍乡四个城市旅游，每人都要从这四个城市中选择一个城市，且每个城市都有人选择，则至少有2人选择南昌的选法种数为（）A ．420B ．660C ．720D ．12008．已知函数()f x 满足()()()22x yf x y f x f y +=+++，且(1)1f =，则(1000)f =（）A ．99922995+B ．99922996+C ．100022995+D ．100022996+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数()sin 2f x x =，2()cos 2g x x =，则（）A ．()f x 与()g x 的值域相同B ．()f x 与()g x 的最小正周期相同C ．曲线()y f x =与()y g x =有相同的对称轴D ．曲线()y f x =与()y g x =有相同的对称中心10．如图，现有一个底面直径为10cm ，高为25cm 的圆锥形容器，已知此刻容器内液体的高度为15cm ，忽略容器的厚度，则（）A ．此刻容器内液体的体积与容器的容积的比值为35B ．容器内液体倒去一半后，容器内液体的高度为cm2C ．当容器内液体的高度增加5cm 时，需要增加的液体的体积为3185πcm 3D ．当容器内沉入一个棱长为11．已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，过点F 且斜率为的直线与E 交于A ，B 两点，其中点A 在第一象限．若动点P 在E 的准线上，则（）A ．AP BP ⋅的最小值为0B ．当PAB △为等腰三角形时，点PC ．当PAB △的重心在x 轴上时，PAB △的面积为924D ．当PAB △为钝角三角形时，点P 的纵坐标的取值范围为,,84⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2f x x x =-+，则(2)f -=______．13．已知A ，B ，C ，D 四点都在球O 的球面上，且A ，B ，C 三点所在平面经过球心，AB =π3ACB ∠=，则点D 到平面ABC 的距离的最大值为______，球O 的表面积为______．14．若x ，y ，z 均为正数，且2(2)1x x y z +=，则83x yz 的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数321()43f x x ax x =+-．（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(3,(3))f 处的切线方程．（2）试问是否存在实数a ，使得()f x 在[]1,a 上单调递增？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．16．（15分）贵妃杏是河南省灵宝市黄河沿岸地区的一种水果，其果实个大似鹅蛋，外表呈橙黄色，阳面有晕．贵妃杏口感甜美，肉质实心鲜嫩多汁，营养丰富，是河南省的知名特产之一．已知该地区某种植园成熟的贵妃杏（按个计算）的质量M （单位：克）服从正态分布()2,N μσ，且(96106)0.7P M ≤≤=，(9496)0.1P M ≤≤=．从该种植园成熟的贵妃杏中选取了10个，它们的质量（单位：克）为101，102，100，103，99，98，100，99，97，101，这10个贵妃杏的平均质量（单位：克）恰等于μ克．（1）求μ．（2）求(100104)P M <≤．（3）甲和乙都从该种植园成熟的贵妃杏中随机选取1个，若选取的贵妃杏的质量大于100克且不大于104克，则赠送1个贵妃杏；若选取的贵妃杏的质量大于104克，则赠送2个贵妃杏．记甲和乙获赠贵妃杏的总个数为X ，求X 的分布列与数学期望．17．（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,ABCD BC ∥平面,PAD BC AB ⊥．（1）证明：平面PAD ⊥平面PAB ．（2）若AD AB =，PA BC =，且异面直线PD 与BC 所成角的正切值为32，求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的正弦值．18．（17分）已知点()11,0F -，2(1,0)F ，动点M 满足12123MF MF F F +=，动点M 的轨迹为记为E ．（1）判断E 与圆22:8O x y +=的位置关系并说明理由．（2）若P 为E 上一点，且点P 到x 轴的距离(0,1)d ∈，求12PF F △内切圆的半径的取值范围．（3）若直线:(1)l y k x =-与E 交于C ，D 两点，1A ，2A 分别为E 的左、右顶点，设直线1AC 的斜率为()110k k ≠，直线2A D 的斜率为()220k k ≠，试问122212k k k k +是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．19．（17分）在n 个数码1，2，…，(,2)n n n ∈≥N 构成的一个排列12n j j j 中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序，这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为()12n j j j τ ，例如，(12)0τ=，(4132)4τ=．（1）比较()613245τ与(15432)τ的大小；（2）设数列{}n a 满足()211(22)(15432)2n n n na n a n n τ++-+=+，12a =，求{}n a 的通项公式；（3）设排列122(,5)n j j j n n ∈≥N 满足()211,2,,10,29,28,,2n n n n i j i i =+-=-- ，()11,12,,210n i j i i ==- ，()122n n b j j j τ= ，21020n n b c +=，证明：56n c c c +++≥ 3840(4)[(214)ln 2124]2402nn n --++-．江西省10月份高三联考数学参考答案1．C 依题意可得{2,3,4,5,6}B =，则{2,3}A B = ．2．D由49x =，得()()22330x x+-=，得x =或x =3．A由题意得2m >>，解得3m >．4．A 因为cos()cos cos sin sin 2m αβαβαβ-=+=，cos()cos cos sin sin 2n αβαβαβ+=-=，所以cos cos m n αβ=+，sin sin m n αβ=-，所以sin sin tan tan cos cos m nm nαβαβαβ-==+．5．B2()(61)e x f x x '=+，令()0f x '<，得16x <-，令()0f x '>，得16x >-，所以2()(31)e xf x x =-的最小值为11331131e e 622f --⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．6．C 因为1a = ，2b = ，3c = ，π,3a b 〈〉=，所以a b +=== a b + 在c 方向上的投影向量为()||||a b c c c c +⋅⋅=2π||||cos 3||926a b c c c c c +==⨯ ．7．B将6人分成4组，分配方案有两种：1，1，2，2和1，1，1，3．那么至少有2人选择南昌的选法种数为22133364263322C C C C A 110A 660A ⎛⎫+== ⎪⎝⎭．8．D令1y =，得(1)()(1)22()23x x f x f x f f x +=+++=++，则(1)()23xf x f x +-=+，则2999(2)(1)23,(3)(2)23,,(1000)(999)23f f f f f f -=+-=+-=+ ，将以上各式相加得()9992999212(1000)(1)22239993(10001)12f f --=++++⨯=+⨯-- 100022995=+，所以10001000(1000)22995(1)22996f f =++=+．9．ABC()sin 2[0,1]f x x =∈，1cos 4()[0,1]2xg x +=∈，则()f x 与()g x 的值域相同，A 正确．()f x与()g x 的最小正周期均为2ππ42=，B 正确．曲线()y f x =与()y g x =的对称轴方程均为π()4k x k =∈Z ，C 正确．曲线()y f x =没有对称中心，曲线()y g x =有对称中心，D错误．10．BCD 此刻容器内液体的体积与容器的容积的比值为3152725125⎛⎫= ⎪⎝⎭，A 错误．设容器内液体倒去一半后液体的高度为cm h ，则31152h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得2h =，B 正确．因为15103252⨯=，155104252+⨯=，所以当容器内液体的高度增加5cm 时，需要增加的液体的体积为π53⨯⨯()223185π3344cm 3+⨯+=，C 正的正方体铁块时，设容器内液体的高度为cm H，体积233π31546πcm 3V =⨯⨯+=，则346π45π15H ⎛⎫= ⎪⎝⎭，15H ===，D 正确．11．AC依题意可得(1,0)F ，直线AB的方程为1)y x =-，代入24y x =，消去y 得22520x x -+=，解得12x =，212x =，因为点A在第一象限，所以(2,A，1,2B ⎛ ⎝．E 的准线方程为1x =-，设(1,)P m -，则(3,AP m =--，3,2BP m ⎛=-+ ⎝，所以2294022AP BP m m ⎛⎫⋅=+--=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭ ，A 正确．当PAB △为等腰三角形时，要使得点P 的纵坐标最大，则AB AP =，即1222++=，且m >，解得2m +=，B 错误．PAB △的重心坐标为1212,33m ⎛⎫+- ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭，即1,23m ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，当PAB △的重心在x 轴上时，203m+=，得m PAB =△的面积为111224⎛⎫⨯+⨯=⎪⎝⎭，C 正确．当A ，B ，P三点共线时，m =-由0AP BP ⋅≥ ，得APB ∠为锐角或直角，当ABP ∠为直角或BAP ∠为直角时，0AB BP ⋅= 或0AB AP ⋅= ，得8m =-或4m =，当PAB △为钝角三角形时，点P 的纵坐标的取值范围为(,8⎛⎫-∞--- ⎪ ⎪⎝⎭,4⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，D 错误．12．－2因为(2)02022f =+=+=，所以(2)(2)2f f -=-=-．13．4；64π设球O 的半径为R ，由正弦定理得28sin ABR ACB==∠，则4R =，则点D 到平面ABC 的距离的最大值为4，球O 的表面积为24π64πR =．14．127（方法一）由2(2)1x x y z +=，得3221x z x yz +=，不妨令32a x z =，2b x yz =，0a >，0b >，则2834a b x yz =，且1a b +=，所以283(1)4a a x yz -=．令2(1)()(01)4a a f a a -=<<，则(23)()4a a f a -'=，令()0f a '>，得20,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令()0f a '<，得2,13a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以max 21()327f a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即83x yz 的最大值为127．（方法二）由2(2)1x x y z +=，得3321x z x z x yz ++=．由,,0)3a b c a b c ++≥>，得1≥则83127x yz ≤，当且仅当32x z x yz =，即x y =时，等号成立，故83x yz 的最大值为127．15．解：（1）当1a =-时，321()43f x x x x =--，则2()24f x x x '=--，所以(3)1f '=-，因为(3)12f =-，所以曲线()y f x =在点(3,(3))f 处的切线方程为12(3)y x +=--，即9y x =--（或90x y ++=）．（2）假设存在实数a ，使得()f x 在[]1,a 上单调递增，则2()240f x x ax '=+-≥对[1,]x a ∈恒成立，即22xa x ≥-对[1,]x a ∈恒成立．当[1,]x a ∈时，22x y x =-为增函数，则max 22132122x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以32a ≥，又1a >，所以a 的取值范围为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．16．解：（1）1011021001039998100999710110010μ+++++++++==．（2）因为100μ=，所以(104106)(9496)0.1P M P M ≤≤=≤≤=，所以0.70.1(100104)0.32P M -<≤==．（3）设1人获赠贵妃杏的个数为Y ，则(0)0.5P Y ==，(1)0.3P Y ==，(2)0.2P Y ==．依题意可得X 的可能取值为0，1，2，3，4，(0)0.50.50.25P X ==⨯=，(1)0.50.320.3P X ==⨯⨯=2(2)0.30.50.220.29P X ==+⨯⨯=，(3)0.30.220.12,(4)0.20.20.04P X P X ==⨯⨯===⨯=则X 的分布列为X 01234P0.250.30.290.120.04所以()10.320.2930.1240.04 1.4E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．17．（1）证明：PA ⊥ 底面ABCD ，PA BC ∴⊥．BC AB ⊥ ，PA AB A = ，BC ∴⊥平面PAB .BC ∥ 平面PAD ，平面PAD 平面ABCD AD =，BC AD ∴∥，AD ∴⊥平面PAB ．又AD ⊂平面,PAD ∴平面PAD ⊥平面PAB .（2）解：BC AD ∥ ，∴直线PD 与直线BC 所成的角为PDA ∠．PA ⊥ 底面ABCD ，3,tan 2PA PA AD PDA AD ∴⊥∴∠==，即PA =32AD ．设AD 为2个单位长度，以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,2,0)A D ，(2,3,0)C ，(0,0,3)P ，(2,1,0)CD ∴=-- ，(0,2,3)DP =-设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z = ，则20,230,n CD x y n DP y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩取3x =-，则6,4y z ==，得(3,6,4)n =-．易知平面PAB 的一个法向量为(0,2,0)AD =，则cos ,AD 〈 66161||||261AD n n AD n ⋅〉===⨯．故平面PAB 与平面PCD 所成二面角的正弦值为56161．18．解：（1）因为12121236MF MF F F F F +==>，所以E 是以1F ，2F 为焦点，且长轴长为6的椭圆．设E 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，则26a =，可得3a =，又1c =，所以2228b a c =-=，联立22198x y +=与228x y +=，得0x =，2y =±，所以E 与圆22:8O x y +=相切．（2）12PF F △的周长1212628l PF PF F F =++=+=，12PF F △的面积121(0,1)2S F F d d =⋅=∈，所以12PF F △内切圆的半径2110,44S r d l ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，故12PF F △内切圆的半径的取值范围为10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭．（3）联立221, 98(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()()22228918980k x k x k +-+-=，易知0∆>，且21221889k x x k +=+，()21229889k x x k -=+．设()()1122,,C x y D x y ，则121212,33y yk k x x ==+-，所以()()()()()()1212112122212112123133331333y x k x x k x x x x k y x k x x x x x x -----+===+-+-+-．（方法一）由21221889k x x k +=+，()21229889k x x k-=+，得()121259x x x x =+-，所以()()1212112212121259332461593348122x x x x k x x k x x x x x x +---++-===+--+-+-．（方法二）因为()()12122121212232343x x x x x k k x x x x x -+++=-++-，所以()()()()()()22222222221222222222229898543895423289898998981838918434898989k k k k k x x k k k k k k k k k k x xk kk ---++-++++++==----+-+-++++2222221848218936962489k x k k x k--++==--++．所以1222121221125k k k k k k k k ==++，故122212k k k k +为定值，且定值为25．19．（1）解：在排列613245中，与6构成逆序的有5个，与3构成逆序的有1个，与1，2，4，5构成逆序的均有0个，所以(613245)516τ=+=；在排列15432中，与5构成逆序的有3个，与4构成逆序的有2个，与3构成逆序的有1个，与1，2构成逆序的均有0个，所以(15432)3216τ=++=．故(613245)(15432)ττ=．（2）解：由（1）知()211(22)62n n n na n a n n ++-+=+，所以()()12121(22)622n nn n na n a nn nn ++++-=++，即116(1)22n n n n a a n n ++-=+⋅．因为12a =，所以数列2n n a n ⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭是首项为1，公差为6的等差数列，所以16(1)652n n a n n n =+-=-⋅，则()2652n n a n n =-⋅．（3）证明：因为()211,2,,10,29,28,,2n n n n i j i i =+-=-- ，所以在排列122n j j j 中，排在前面的10个数依次为2n ，21n -，22n -，…，29n -，排在后面的10个数依次为10，9，8，…，1，所以()()1222122210(9810)n n n nj j j τ=-+-++-++++++ (220)10101010n -+++ 个所以()()2122210(9810)10220202210n n n n n n b =-+-++-++++++-=⨯- ，则210220n n n b c +==．设函数3840()4ln (32)f x x x x x =+-≥，则22223840443840(60)(64)()1x x x x f x x x x x --+-'=--==，当3264x ≤<时，()0f x '<，当64x >时，()0f x '>，所以min 3840()(64)644ln 6412424ln 264f x f ==+-=-，所以38404ln 12424ln 2x x x +-≥-，当且仅当64x =时，等号成立．取2(5)n x n =≥，则384024ln 212424ln 22n n n +-≥-，即384024ln 212424ln 2(5)2m n n n ≥-+-≥所以56561114ln 2(56)3840(12424ln 2)(4)222n n c c c n n ⎛⎫+++≥⨯+++-++++--⎪⎝⎭，即515611222(5)(4)ln 23840(12424ln 2)(4)112n n c c c n n n +-+++≥+--⨯+--- 3840(4)[(214)ln 2124]2402n n n =--++-．。

,
又
，则
，即
，因为
,所以
，则当
，即 时，
∵当 x∈（0,1)时， 1)上单调递增,y=f（x）是奇函数,
＞0，且函数在(0，
∴当 x∈（﹣1，0）时，f(x）＜0，且函数在（﹣1，
0）上单调递增
根据函数的周期性可知 y=f（x)在（1，2)内是单调
增函数，且 f（x）＜0
故选：A．
【点睛】
取得最大值
22．已知在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的方程为
y2 x2 1 ，以 O 为极点， x 轴非负半轴为极轴，取相同 16 4 的长度单位建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为
sin
3
3。
(1)求直线 l 的直角坐标方程和椭圆 C 的参数方程；
(2）设 M x, y 为椭圆 C 上任意一点，求 2 3x y 1
考查了分析问题，解决问题的能力，属于基础题．
根据函数在 x∈（0，1）时上的单调性和函数值的符号推
8．A
出在 x∈（﹣1，0)时的单调性和函数值符号,最后根据周
【解析】
期性可求出所求．
因为函数
【详解】 ∵f(x+1）=f（x﹣1), ∴f（x+2）=f（x）即 f（x)是周期为 2 的周期函数
的图象关于 轴对称，所以
，给出下列四
①存在实数 ，使得方程恰有 2 个不同实根；②存在
实数 ，使得方程恰有 4 个不同实根;
③存在实数 ，使得方程恰有 5 个不同实根；④存在
实数 ，使得方程恰有 8 个不同实根；
2
江西省临川第一中学 2019 届高三数学 10 月月考试卷 文（含解析）
其中假命题的个数是