§3 连续型随机变量 除了离散型随机变量之外，还有非离散型的随机变量，这些随机变量的取值已不再是有限个或可列个。在这类非离散型随机变量中，有一类常见而重要的类型，即所谓连续型随机变量。粗略地说，连续型随机变量可以在某特定区间内任何一点取值。例如某种树的高度；测量的误差；计算机的使用寿命等等都是连续型随机变量。对于连续型随机变量，不能一一列出它可能取值，因此不能像对离散型随机变量那样用它取各个可能值的概率来描述它的概率分布，而是要考虑该随机变量在某个区间上取值的概率，我们是用概率密度函数来研究连续型随机变量的。 一． 概率密度和连续型随机变量定义： 对于随机变量X ，如果存在非负可积函数 ()()f x x -∞<<+∞，使得对于任意实数， ,()a b a b <都有 {}()b a P a X b f x dx <<= ? ， 则称X 为连续型随机变量；称()f x 为X 的概率密度函数，简称概率密度或密度． 由定义可知，分布密度()f x 具有如下基本性质: （１）．()0()f x x ≥-∞<<+∞； （２）． ()()1f x dx P X +∞ -∞ =-∞<<+∞=? ． 这两条性质的几何意义是：概率分布密度曲线不在x 轴下方，且该曲线与x 轴所围的图形面积为1。性质(1)、(2)可以作为判定一个函数是否可以作为一个连续型随机变量的分布密度的条件。 对于连续型随机变量X 可以证明，它在某一点a 处取值的概率为零，即 对于任意实数a ，有()0P X a ==． 即研究X 在某一点处取值的概率是没有什么实际意义的。从而可知，研究X 在某区间上取值的概率时，该区间含不含端点，不影响概率值。即 (３)．对于任意实数， ,()a b a b <都有 {}{}{}{}()b a P a X b P a X b P a X b P a X b f x dx <<=≤<=<≤=≤≤=? 【例1】 设X 是连续型随机变量，已知X 的概率密度为 其中λ为正常数． 试 确定常数A ．
几种常用的连续型随机变量 给出一个新概念：广义概率密度函数。 设连续型随机变量ξ的概率密度函数为φ(x ), 那么任何与之成正比的函数f (x )∝φ(x ), 都叫做ξ的广义概率密度函数, 或者说, 一个函数f (x )是ξ的广义概率密度函数, 说明存在着一实数a , 使得 φ(x )=af (x ) (1) 而知道了广义概率密度函数, ξ的概率密度函数就可以根据性质1)(=?+∞ ∞ -dx x ?, 求出 将(1)式代入得: 1)()(??+∞ ∞ -+∞ ∞ -==dx x af dx x ? 则?∞+∞ -= dx x f a )(1 因此, 知道了广义概率密度函数就等于知道了一般的概率密度函数, 我们只需关心函数的形状就可以了解概率密度的性质了. 因此也不必关于那个常数是什么. 4.4 指数分布 指数分布的概率密度函数为 ?? ?>=-其它 )(x e x x λλ? 它的图形如下图所示: 它的期望和方差如下计算: () λ λ λ?ξλλλλλ1 1 )(0 =- =+-=-= = = ∞ +-∞+-∞ +-+∞ -+∞ -+∞ ∞ -????x x x x x e dx e xe e xd dx e x dx x x E
() 2 20 202 2 2 2 2 2)(|λξλ λ?ξλλλλ= = +-=-= = = ????∞+-∞+-+∞ -+∞ -+∞∞ -E dx xe e x e d x dx e x dx x x E x x x x 2 2 2 221 1 2 )(λ λ λ ξξξ= - = -=E E D 指数分布常用来作为各种"寿命"分布的近似. 4.5 Γ-分布 如果一个随机变量ξ只取正值, 且在正半轴的广义概率密度函数的形式是x 的某次方x k 乘上指数函数e -λx , 即 ?? ?>->>=-其它 ) 0,1(0)(λλk x e x x f x k 那么就称ξ服从Γ-分布了. 上式中之所以要求k >-1, λ>0, 是因为广义积分 ?? +∞ -+∞ ∞ -= )(dx e x dx x f x k λ 只有在这种条件下才收敛. 此外, 传统上为了方便起见, 用另一个常数r =k +1, 因此广义概率密度函数写为 ?? ?>>>=--其它 ) 0,0(0)(1λλr x e x x f x r 而真实的概率密度函数φ(x )=af (x ), 可以给出常数a 由下式计算: ?∞ +--= 11 dx e x a x r λ 这样, 计算的关键就是要计算广义积分 ?+∞ --0 1dx e x x r λ, 作代换t =λx , 则x =t /λ, dx =dt /λ, 则???+∞ --+∞ --+∞ --= ? ?? ? ?=0 101 011 1 dt e t dt e t dx e x t r r t r x r λ λ λλ, 问题就转成怎样计算广义积分? +∞ --0 1dt e t t r , 这个积分有一个参数r >0, 在r 为一些特定 的参数时, 如当r =1时, 上面的广义积分还是可以计算的, 但是当r 为任意的正实数时, 此广 义积分就没有一般的公式, 一般的原函数表达式. 在这种情况下数学家常用的办法就是定义一个新的函数. 比如说, 在中学学的三角函数就无法用一个加减乘除的公式表示, 因此就发明了sin , cos 这样的记号来代表三角函数. 同样, 上面的广义积分的取值只依赖于参数r , 每给定一个r 值就有一个积分值与之对应, 因此也可以定义一个函数, 叫Γ-函数, 定义为
离散型随机变量及其分布列测试题 一、选择题： 1、如果X 是一个离散型随机变量，则假命题是( ) A. X 取每一个可能值的概率都是非负数； B. X 取所有可能值的概率之和为1； C. X 取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和； D . X 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和 2、甲乙两名篮球运动员轮流投篮直至某人投中为止，设每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他投篮结果的影响.设甲投篮的次数为ξ，若甲先投，则==)(k P ξ A.4.06.01 ?-k B.76.024.01 ?-k C.6.04.01 ?-k D.24.076.01 ?-k 3、设随机变量X 等可能取1、2、3...n 值，如果(4)0.4p X ≤=,则n 值为（ ） A. 4 B. 6 C . 10 D. 无法确定 4、投掷两枚骰子，所得点数之和记为X ，那么4X =表示的随机实验结果是（ ） A. 一枚是3点，一枚是1点 B. 两枚都是2点 C. 两枚都是4点 D . 一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点 5．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是3 10 的事件为( ) A ．恰有1只是坏的 B ．4只全是好的 C ．恰有2只是好的 D ．至多有2只是坏的 6. 如果n x x ??? ? ? -3223 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为 A.3 B .5 C.6 D.10 7.连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量a =(m,n)与向量b =(1,-1)的夹角为θ，则?? ? ? ?π∈θ2 0，的概 率是 A. 125 B.21 C .127 D.6 5 8.设随机变量ξ的分布列为)5,4,3,2,1(15)(===k k k P ξ，则)2 5 21(<<ξP 等于（ ） A.21 B.91 C. 61 D.5 1 9.一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为: A.4100 4 901C C - B.4 100 390 110490010C C C C C + C. 4100 110C C D. 4100 390110C C C . 10.位于坐标原点的一个质点P ，其移动规则是：质点每次移动一个单位，移动的方向向上或向右，并且向 上、向右移动的概率都是 2 1 ．质点P 移动5次后位于点（2，3）的概率是： A.5)2 1( B .525)21(C C.335)21(C D.5 3525)21(C C 11.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中 甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是 A. 0．216 B.0．36 C.0．432 D .0．648 5.把一枚质地不均匀．．．．． 的硬币连掷5次，若恰有一次正面向上的概率和恰有两次正面向上的概率相同（均不
江苏科技大学 毕业论文（设计） 题目：连续型随机变量在实际生活中的应用 姓名：顾苗 学号：1140503102 教学院：数理学院 专业班级：11级统计一班 指导教师：王康康 完成时间：2015年06月10日 二零一伍年六月
连续型随机变量在实际生活中的应用Continuous random variables applied in real life
江苏科技大学毕业设计（论文） 江苏科技大学 毕业设计（论文）任务书 学院名称：数理学院专业：统计学 学生姓名：顾苗学号：1140503102 指导教师：王康康职称：讲师
江苏科技大学毕业设计（论文） 毕业设计（论文）题目： 连续型随机变量在实际生活中的应用 一、毕业设计（论文）内容及要求（包括原始数据、技术要求、达到的指标和应做的实验等） 连续型随机变量在现实生活中有广泛的应用，许多物理过程和社会现象均可以由各种常见的随机过程来刻画。如泊松过程、正态过程、马氏过程等等，其应用非常广泛。在实际运用时，我们考虑它们在各种经济模型中的应用和计算，它们种类繁多，形式各异。具有很强的现实意义。 1、给出连续型随机变量的基本概念。 2、给出几种常见的连续型随机变量的理论意义。 3、给出几种常见的连续型随机变量在各种经济模型中的应用。 二、完成后应交的作业（包括各种说明书、图纸等） 1、至少6000字以上的论文 2、教师指定阅读的外文文献原文 3、指定外文文献的译文6000字以上
三、完成日期及进度 2015.2.25～2015.3.16 文献检索与资料收集； 2015.3.16～2015.4.12 文献阅读及撰写开题报告； 2015.4.12～2015.5.8 论文构思与内容； 2015.5.8～2015.5.24 撰写论文； 2015.5.24～2015.6.9 论文评阅及答辩。
离散型随机变量的分布列 问题导学 一、随机变量的概念 活动与探究1 判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由． (1)北京国际机场候机厅中2014年5月1日的旅客数量； (2)2014年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数； (3)2014年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间； (4)体积为1 000 cm3的球半径长． 迁移与应用 1．下列变量中，不是随机变量的是() A．2016年奥运会上中国取得的金牌数 B．每一年从地球上消失的动物种数 C．2008年奥运会上中国取得的金牌数 D．某人投篮6次投中的次数 2．将一枚均匀骰子掷两次，随机变量为() A．第一次出现的点数 B．第二次出现的点数 C．两次出现的点数之和 D．两次出现相同点的种数 在一次随机试验中，随机变量的取值实质是随机试验的结果所对应的数，且这个数所有可能的取值是预先知道的，但不知道究竟会出现哪一个值，这便是“随机”的本源． 二、离散型随机变量的判定 活动与探究2 指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由． (1)湖南矮寨大桥桥面一侧每隔30米有一路灯，将所有路灯进行编号，其中某一路灯的编号X； (2)在一次数学竞赛中，设一、二、三等奖，小明同学参加竞赛获得的奖次X； (3)一天内气温的变化值X； (4)丁俊辉在2012世锦赛中每局所得的分数X． 迁移与应用 1．下面给出四个随机变量： ①高速公路上某收费站在未来1小时内经过的车辆数X； ②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y； ③某网站未来1小时的点击量； ④某人一生中的身高X． 其中是离散型随机变量的序号为() A．①②B．③④C．①③D．②④ 2．下列随机变量中不是离散型随机变量的是__________． ①某地车展中，预订各类汽车的总人数X； ②北京故宫某周内每天接待的游客人数； ③正弦曲线上的点P到x轴的距离X；
第七讲 连续型随机变量（续）及 随机变量的函数的分布 3. 三种重要的连续型随机变量 （1）均匀分布 设连续型随机变量X 具有概率密度 )5.4(,, 0,,1 )(??? ??<<-=其它b x a a b x f 则称X 在区间(a,b)上服从均匀分布, 记为X~U(a,b). X 的分布函数为 )6.4(. , 1,, ,,0)(???? ???≥<≤--<=b x b x a a b a x a x x F （2）指数分布 设连续型随机变量X 的概率密度为 )7.4(, , 0,0,e 1)(/?????>=-其它x x f x θ θ 其中θ>0为常数, 则称X 服从参数为θ的指数分布. 容易得到X 的分布函数为 )8.4(. , 0,0,1)(/?? ?>-=-其它x e x F x θ 如X 服从指数分布, 则任给s,t>0, 有 第二章 随机变量及其分布 §4 连续型随机变量 及其概率密度 1 =2
P{X>s+t | X > s}=P{X > t} (4.9) 事实上 }. {e e e )(1)(1}{}{} {)} (){(}|{//)(t X P s F t s F s X P t s X P s X P s X t s X P s X t s X P t s t s >===-+-=>+>= >>?+>=>+>--+-θ θθ 性质(4.9)称为无记忆性. 指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用. （3）正态分布 设连续型随机变量X 的概率密度为 ) 10.4(,,e 21)(2 22)(∞<<-∞= -- x x f x σμσ π其中μ,σ(σ>0)为常数, 则称X 服从参数 为μ,σ的正态分布或高斯(Gauss)分布, 记为X~N(μ,2σ). 显然f(x)≥0, 下面来证明 1d )(=? +∞ ∞ -x x f 令t x =-σμ/)(, 得到 dx e dx e t x 2 2)(22 22121- ∞ +∞ --- ∞ +∞ -? ? = π σ πσμ . 1d 21d 21 ) 11.4(π 2d d e ,, d d ,d e 2 2)(20 2 22 /)(2 2 /2 2 22 222== ====? ??? ? ? ?∞ ∞ -- ∞ ∞ ---∞ - +∞∞-+∞ ∞ -+-∞∞ --x e x e r r I u t e I t I t x r u t t π σ πθσ μπ 于是 得转换为极坐标则有记f(x)具有的性质: f (x )的图形: 1.5 0.5
类型二、离散型随机变量的二项分布 例3. 一袋子中有大小相同的2个红球和3个黑球，从袋子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分。 （Ⅰ）若从袋子里一次随机取出3个球，求得4分的概率； （Ⅱ）若从袋子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸3次，求得分ξ的概率分布列。 【思路点拨】有放回地依次取3次，相当于三次独立重复试验，其得分ξ服从二项分布，故可用n 次独立重复试验的概率公式来计算，从而写出分布列。 【解析】（Ⅰ）设“一次取出3个球得4分”的事件记为A ，它表示取出的球中有1个红球和2个黑球的情况，则53)(35 2312==C C C A P （Ⅱ）由题意，ξ的可能取值为3．4．5．6。因为是有放回地取球，所以每次取到红球的概率为.5 3,52取到黑球的概率为 ξ∴的分布列为 【总结升华】 ①本题的关键是首先确定进行了三次独立重复试验，然后确定每次试验的结果相互独立，从而可知离散型随机变量ξ服从二项分布，然后运用n 次独立重复试验的概率公式计算。 ②注意n 次独立重复试验中，离散型随机变量X 服从二项分布，即(,)X B n p ，这里n 是独立重复 试验的次数，p 是每次试验中某事件发生的概率。 举一反三： 【变式1】某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布． 【答案】依题意，随机变量ξ～B (2，5%)．所以， P (ξ=0)=02C (95%)2=0.9025，P (ξ=1)=12C (5%)(95%)=0.095， P (2=ξ)=22C (5%) 2=0.0025． 因此，次品数ξ的概率分布是 【高清课堂：独立重复试验与二项分布409089 例题3】 【变式2】一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的
连续型随机变量的分布 (一)连续型随机变量及其概率密度函数 1.定义：对于随机变量X的分布函数F(X),若存在非负函数f(x),使 对于任意的实数x,有F(W(M，则称X为连续性随机变量，f(x)称 为X的概率密度函数，简称概率密度。 注：尺劝表示曲线下x左边的面积，曲线下的整个面积为 lo 2 .密度函数f(x)的性质：注：不是概率。 1)??f(x)M0?? 2)? j f(x)dx = \ 3)P{x, < X < x2} = ~f(x)(/x =F(x2) -F(Xj) 特别地，连续型随机变量在某一点的概率为零，即 P{X = x} = 0.(但{脸力并不一定是不可能事件) 因此PQWXWb)二P(a 注：iv)与离散型随机变量不同, 易知 高一数学离散型随机变量分布列经典例题23 耗用子弹数的分布列 例某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数的分布列．分析：确定取哪些值以及各值所代表的随机事件概率，分布列即获得．解：本题要求我们给出耗用子弹数的概率分布列．我们知道只有5发子弹，所以的取值只有1，2，3，4，5．当时，即；当时，要求第一次没射中，第二次射中，故；同理，时，要求前两次没有射中，第三次射中，；类似地，；第5次射击不同，只要前四次射不中，都要射第5发子弹，也不考虑是否射中，所以，所以耗用子弹数的分布列为： 0 1 2 3 0.9 0.09 0.009 0.0001 说明：搞清的含义，防止这步出错．时，可分两种情况：一是前4发都没射中，恰第5发射中，概率为0.14×0.9；二是这5发都没射中，概率为0.15，所以，．当然，还有一种算法：即．独立重复试验某事件发生偶数次的概率例如果在一次试验中，某事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，这件事A发生偶数次的概率为________．分析：发生事件A的次数，所以，其中的k取偶数0，2，4，…时，为二项式展开式的奇数项的和，由此入手，可获结论．解：由题，因为且取不同值时事件互斥，所以，．（因为，所以）说明：如何获得二项展开式中的偶数次的和？这需要抓住与展开式的特点：联系与区分，从而达到去除p奇次，留下p偶次的目的．根据分布列求随机变量组合的分布列 例已知随机变量的分布列为－2 －1 0 1 2 3 P 分别求出随机变量的分布列．解：由于对于不同的有不同的取值，即，所以的分布列为－1 0 1 P 对于的不同取值－2，2及－1，1，分别取相同的值4与1，即取4这个值的概率应是取－2与2值的概率与合并的结果，取1这个值的概率就是取－1与1值的概率与合并的结果，故的分布列为 0 1 4 9 P 连续型随机变量的分布 （一）连续型随机变量及其概率密度函数 1.定义：对于随机变量X 的分布函数F(X)，若存在非负函数f(x),使对于任意的实数x ，有()()x F x f t dt -∞ = ? ，则称X 为连续性随机变量，f(x)称 为X 的概率密度函数，简称概率密度。 注：F (x )表示曲线下x 左边的面积，曲线下的整个面积为1。 2 .密度函数f(x)的性质：注：f (x )不是概率。 1) f(x )≥0 2) ()1f x dx 3) 21 x 1 221x {x x } f (x)x (x )(x )P X d F F 特别地，连续型随机变量在某一点的概率为零，即{} 0. P X x （但{X =x }并不一定是不可能事件） 因此 P(a ≤X ≤b)= P(a 故得P （-1 连续型随机变量及其分布 知识要点 1．分布函数 随机变量的分布可以用其分布函数来表示，随机变量X 取值不大于实数x 的概率 ()P X x ≤称为随机变量X 的分布函数，记作()F x , 即 ()(),F x P X x x =≤-∞<<∞． 2．分布函数()F x 的性质 (1) 0()1;F x ≤≤ (２) ()F x 是非减函数，即当12x x <时，有12()()F x F x ≤； (3) ()0,()1lim lim x x F x F x →-∞ →+∞ ==; (4) ()F x 是右连续函数，即0()()lim x a F x F a →+=． 由已知随机变量X 的分布函数()F x ，可算得X 落在任意区间(,]a b 内的概率 ()()();P a X b F b F a <≤=- 也可以求得 ()()(0)P X a F a F a ==--． 3．联合分布函数 二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数规定为随机变量X 取值不大于x 实数的概率，同时随机变量Y 取值不大于实数y 的概率，并把联合分布函数记为(,)F x y ，即 (,)(,),,F x y P X x Y y x y =≤≤-∞<<+∞-∞<<+∞． 4．联合分布函数的性质 (1) 0(,)1F x y ≤≤； (2) (,)F x y 是变量x (固定y )或y (固定x )的非减函数； (3) (,)0,(,)0 lim lim x y F x y F x y →-∞ →-∞ ==， (,)0,(,)1 lim lim x x y y F x y F x y →-∞ →+∞→-∞ →+∞ ==； (4) (,)F x y 是变量x (固定y )或y (固定x )的右连续函数； (5) 121222211211(,)(,)(,)(,)(,)P x X x y Y y F x y F x y F x y F x y <≤<≤=--+． 5．连续型随机变量及其概率密度 设随机变量X 的分布函数为()F x ，如果存在一个非负函数()f x ，使得对于任一实数x ，有 ()()x F x f x dx -∞ =? 成立，则称X 为连续型随机变量，函数()f x 称为连续型随机变量X 的概率密度． 6．概率密度()f x 及连续型随机变量的性质 （１）()0;f x ≥ （２） ()1 f x dx +∞ -∞ =? ； §3 连续型随机变量 除了离散型随机变量之外，还有非离散型的随机变量，这些随机变量的取值已不再是有限个或可列个。在这类非离散型随机变量中，有一类常见而重要的类型，即所谓连续型随机变量。粗略地说，连续型随机变量可以在某特定区间内任何一点取值。例如某种树的高度；测量的误差；计算机的使用寿命等等都是连续型随机变量。对于连续型随机变量，不能一一列出它可能取值，因此不能像对离散型随机变量那样用它取各个可能值的概率来描述它的概率分布，而是要考虑该随机变量在某个区间上取值的概率，我们是用概率密度函数来研究连续型随机变量的。 一． 概率密度和连续型随机变量定义： 对于随机变量X ，如果存在非负可积函数 ()()f x x -∞<<+∞，使得对于任意实数， ,()a b a b <都有 {}()b a P a X b f x dx <<= ? ， 则称X 为连续型随机变量；称()f x 为X 的概率密度函数，简称概率密度或密度． 由定义可知，分布密度()f x 具有如下基本性质: （１）．()0()f x x ≥-∞<<+∞； （２）． ()()1f x dx P X +∞ -∞ =-∞<<+∞=? ． 这两条性质的几何意义是：概率分布密度曲线不在x 轴下方，且该曲线与x 轴所围的图形面积为1。性质(1)、(2)可以作为判定一个函数是否可以作为一个连续型随机变量的分布密度的条件。 对于连续型随机变量X 可以证明，它在某一点a 处取值的概率为零，即 对于任意实数a ，有()0P X a ==． 即研究X 在某一点处取值的概率是没有什么实际意义的。从而可知，研究X 在某区间上取值的概率时，该区间含不含端点，不影响概率值。即 (３)．对于任意实数， ,()a b a b <都有 {}{}{}{}()b a P a X b P a X b P a X b P a X b f x dx <<=≤<=<≤=≤≤=? 【例1】 设X 是连续型随机变量，已知X 的概率密度为 其中λ为正常数． 试 确定常数A ． 连续型随机变量的生成: 1反函数法 采用概率积分变换原理,对于随机变量X的分布函数F(X)可以求其反函数，得: Xi=G(Ri) 其中,Ri为一个0-1区间内的均匀分布的随机变量. F(X)较简单时，求解较易，当F(X)较复杂时，需要用到较为复杂的变换技巧。 1.1平均分布: 例:已知炮弹对目标的方位角Fi在0-2*P内均匀分布，试用（0，1）均匀随机数变换，模拟弹着点方位角的抽样值Fi. 解: R=F(Fi)=Fi/2*PI 得Fi=G(R)=2*PI*R ,其中，R为0-1区间上的均匀分布的随机数. 程序略 1.2指数分布: 指数分布的分布函数为: x<0时,F(x)=0 ; x>=0,F(x)=1-exp(-lamda*x) 利用反函数法，可以求得: x=-lnR/lamda 2正态分布随机变量的生成: 正态分布在概率统计的理论及应用中占有重要地位，因此，能产生符合正态分布的随机变量就在模拟一类的工作中占有相当重要的地位。下面介绍两种方法。 2.1舍选法： 这种方法便捷而有效，且具有一定的代表性，其基本思路是: 在概率密度的函数图像的外围画一个大框，然后在这个框内部产生随机点（rx,ry），根据是否落在概率密度函数的下方，来决定是否要留下这个点。 经过一定的计算变行，符合二维的正态分布的随机变量的生成可按下面的方法进行： 1)产生位于0-1区间上的两个随机数r1和r2. 2)计算u=2*r1-1,v=2*r2-1及w=u^2+v^2 3)若w>1，则返回1) 4) x=u[(-lnw)/w]^(1/2) y=v[(-lnw)/w]^(1/2) 如果为(miu,sigma^2)正态分布,则按上述方法产生x后，x’=miu+sigma*x 由于采用基于乘同余法生成的0-1 上的随机数的正态分布随机数始终无法能过正态分布总体均值的假设检验。而采用C语言的库函数中的随机数生成函数rand()来产生0-1 上的随机数，效果较为理想。 关键程序段(funNorm返回一维的正态分布，而funNorm2则生成二维的随机分布): float funNorm(float miu,float sigma) { float r1,r2; float u,v,w; float x,y; do { r1=MyRnd(); r2=MyRnd(); u=2*r1-1; v=2*r2-1; w=u*u+v*v; }while(w>1); x=u*sqrt(((-log(w))/w)); y=v*sqrt(((-log(w))/w)); return miu+sigma*x; //also could return miu+sigma*y; } typedef struct 2.4 随机变量的产生方法 产生随机变量的方法有许多种，对于给定的随机变量，可根据其特点选择其中一种或几种方法。仿真对产生的随机变量首先是要求其准确性，即由某种方法产生的随机变量应准确的具有所要求的分布；其次是快速性要求，在离散事件仿真中，一次运行往往需要产生几万甚至几十万个随机变量，这样产生随机变量的速度将极大地影响仿真的效率。产生随机变量的方法主要有反变换法、舍选法、组合法、卷积法。 2.4.1 反变换法 反变换法是最常用且最直观的使用方法，它以概率积分变换定理为基础。 定理.设是连续且严格单调上升的分布函数，它的反函数存在，且记为)(1x F-，即x F= F x -)] [1. ( (1) 若随机变量x的分布函数()x F，则()()10 F x U ~， (2) 若随机变量)10( U x，则的分布函数为()x F ~， 设随机变量x的分布函数为()x F，为得到随机变量的抽样值，先产生在]10[，区间上均匀分布的独立随机变量u，由反分布函数)(1u F-得到的值即为所需要的随机变量x：)(1u F =。这种方法是对分布函数进行反变换，因而取名为反变换法。 x- 反变换法的原理可用图加以说明。 随机变量概率分布函数()x F 的取值范围为]10[，，现以在]10[，上均匀分布的独立随机变量作为()x F 的取值规律，则落在x ?内的样本个数的概率就是F ?；从而随机变量x 在区间x ?内出现的概率密度函数的平均值为x F ??；当x ?趋于0时，其概率密度函数就等于dx dF ，即符合原来给定的密度分布函数，满足正确性要求。 当x 是离散随机变量时，其反变换法的形式略有不同，原因在于离散随机变量的分布函数也是离散的，因而不能直接利用反函数来获得随机变量的抽样值。下面讨论这类随机变量的反变换法。 设离散随机变量x 对应于取值1x ，2x ，…，n x 的概率分别为 )()()(21n x p x p x p ，，，???，其中1)(0< 常见随机事件的概率与分布列示例 1、耗用子弹数的分布列 例 某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数ξ的分布列． 分析：确定ξ取哪些值以及各值所代表的随机事件概率，分布列即获得． 解：本题要求我们给出耗用子弹数ξ的概率分布列．我们知道只有5发子弹，所以ξ的取值只有1，2，3，4，5．当1=ξ时，即9.0)1(==ξP ；当2=ξ时，要求第一次没射中，第二次射中，故09.09.01.0)2(=?==ξP ；同理，3=ξ时，要求前两次没有射中，第三次射中，009.09.01.0)3(2=?==ξP ；类似地，0009.09.01.0)4(3=?==ξP ；第5次射击不同，只要前四次射不中，都要射第5发子弹，也不考虑是否射中，所以41.0)5(==ξP ，所以耗用子弹数ξ的分布列为： 说明：搞清5=ξ的含义，防止这步出错．5=ξ时，可分两种情况：一是前4发都没射中，恰第5发射中，概率为0.14×0.9；二是这5发都没射中，概率为0.15，所以， 5 41.09.01.0)5(+?==ξP ．当然， 5 =ξ还有一种算法：即 0001.0)0009.0009.009.09.0(1)5(=+++-==ξP ． 2、独立重复试验某事件发生偶数次的概率 例 如果在一次试验中，某事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，这件事A 发生偶数次的概率为________． 分 析 ： 发 生 事 件 A 的 次 数 () p n B ,~ξ，所以， ),,2,1,0,1(,)(n k p q q p C k p k n k k n =-===-ξ其中的k 取偶数0，2，4，…时，为二项式 n q p )(+ 展开式的奇数项的和，由此入手，可获结论． 连续型随机变量2-3 作者: 日期: 2 § 3连续型随机变量 除了离散型随机变量之外，还有非离散型的随机变量，这些随机变量的取值已不再是 有限个或可列个。在这类非离散型随机变量中，有一类常见而重要的类型，即所谓连续型 随机变量。粗略地说，连续型随机变量可以在某特定区间内任何一点取值。例如某种树的 高度；测量的误差；计算机的使用寿命等等都是连续型随机变量。对于连续型随机变量， 不能一一列出它可能取值，因此不能像对离散型随机变量那样用它取各个可能值的概率来 描述它的概率分布，而是要考虑该随机变量在某个区间上取值的概率，我们是用概率密度 函数来研究连续型随机变量的。 一. 概率密度和连续型随机变量定义： 对于随机变量 X ，如果存在非负可积函数 f(x) ( x )，使得对于任意实数， a,b(a b)都有 b P a X b f (x) dx , a 则称X 为连续型随机变量；称 f (x)为X 的概率密度函数，简称概率密度或密度. 由定义可知，分布密度 f (x)具有如下基本性质 (1) . f (x) 0 ( x )； (2) . f(x)dx P( X ) 这两条性质的几何意义是：概率分布密度曲线不在 x 轴下方，且该曲线与 x 轴所围的 图形面积为1。性质(1)、(2)可以作为判定一个函数是否可以作为一个连续型随机变量 的分布密度的条件。 对于连续型随机变量 X 可以证明，它在某一点 a 处取值的概率为零，即 对于任意实数a ，有P(X a) 0. 即研究X 在某一点处取值的概率是没有什么实际意义的。从而可知，研究 X 在某 区间上取值的概率时，该区间含不含端点，不影响概率值。即 其中为正常数.试确定常数A . 【例1】 (3 ) ?对于任意实数， a, b (a b)都有 P a X b P a X b P a P a X b b a f (x) dx 设X 是连续型随机变量，已知 X 的概率密度为 u 常用离散型随机变量的分布函数 (1) 离散型随机变量 [1] 概念：设X 是一个随机变量，如果X 的取值是有限个或者无 穷可列个，则称X 为离散型随机变量。其相应的概率 ()i i P X x p ==(12)i =、……称为X 的概率分布 [2] 性质： ? 0i p ≥ ?11n i i p ==∑ ?分布函数()i i x x F x p == ∑ ?1{}()()i i i P X x F x F x -==- (2) 连续型随机变量 [1] 概念：如果对于随机变量的分布函数()F x ，存在非 负的函数 ()f x ，使得对于任意实数x ，均有： ()()x F x f x dx -∞= ? 则称X 为连续型随机变量，()f x 称为概率密度函 数或者密度函数。 [2] 连续型随机变量的密度函数的性质 ?()0f x ≥ ? ()1f x dx +∞ -∞=? ?{}()()()P a X b F b F a f x dx +∞ -∞<≤=-= ? ?若()f x 在x 点连续，则()()F x f x '= (3) 连续型随机变量和离散型随机变量的区别： [1] 由连续型随机变量的定义，连续型随机变量的定义域是 (),-∞+∞，对于任何x ，000 {}()()0P X x F x F x ==--=；而对于离散型随机变量的分布函数有有限个或可列个间 断点，其图形呈阶梯形。 [2] 概率密度()f x 一定非负，但是可以大于1，而离散型随 机变量的概率分布i p 不仅非负，而且一定不大于1. [3] 连续型随机变量的分布函数是连续函数，因此X 取任何给定值的概率都为0. [4] 对任意两个实数a b <，连续型随机变量X 在a 与b 之间 取值的概率与区间端点无关，即： {}{} {}{} ()() ()b a P a X b P a X b P a X b P a X b F b F a f x dx <<=≤≤=<≤=≤<=-=? 即：{}{}()P X b P X b F x <=≤= (4) 常用的离散型随机变量的分布函数： [1] 0-1分布： 如果离散型随机变量X 1{}k k P X k p q -== （ K=0、1） ()01p ≤≤ 称X 服从参数为p 的0-1分布。 [2] 二项分布： 如果离散型随机变量X 的概率分布为： {}k k n k n P X k C p q -== ()01k n =、 …… ()01p ≤≤ ()1q p =- 离散型随机变量及其分布 知识点一：离散型随机变量的相关概念； 随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示 离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。若ξ是随机变量，a b ηξ=+，其中a 、b 是常数，则η也是随机变量 连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出 离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量ξ可能取的值为12i x x x ??????、ξ取每一个值()1,2,i x i =???的概率为()i i P x p ξ==，则称表 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 知识点二：离散型随机变量分布列的两个性质； 任何随机事件发生的概率都满足:0()1P A ≤≤，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： (1) 01,2,i p i ≥=???，；12(2) 1P P ++ = 特别提醒：对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的 概率的和即1()()()k k k P x P x P x ξξξ+≥==+=+ 知识点二：两点分布： 若随机变量X 的分布列: 则称 X 的分布列为两点分布列. 特别提醒：(1)若随机变量X 的分布列为两点分布, 则称X 服从两点分布,而称P(X=1) 为成功率. (2)两点分布又称为0-1分布或伯努利分布 (3)两点分布列的应用十分广泛,如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是 否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等等；都可以用两点分布列来研究. 知识点三：超几何分布： 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则高一数学离散型随机变量分布列经典例题23
连续型随机变量的分布与例题讲解
连续型随机变量及其分布(精)
连续型随机变量
连续型随机变量的生成-Read
连续随机变量的产生方法
常见离散型随机变量分布列示例
连续型随机变量2-3
常用离散型和连续型随机变量
(王)选修2-3离散型随机变量及其分布列知识点
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