3.3 连续型随机变量

cos x C
tan x C
cot x C
不定积分的基本公式
arcsin x C
arctan x C
sec x C
csc x C
练习：设随机变量X的概率密度函数为
2 1 x 2 , 1 x 1, f ( x ) 其它, 0,
2
即K 1 或 K 2 ,故事件“方程有实根”的概率 为
P({K 1} {K 2}) P( K 1) P( K 2)
1 3 0dx dx 5 5 2
1 5
2、指数分布(Index distribution )
定义2:设连续型随机变量X的概率密度函数为
三、几种重要的连续型随机变量
1、均匀分布(Uniform distribution)
定义1:设连续型随机变量X的概率密度函数为
1 , a x b, f ( x) b a 其他. 0,
则称X服从区间(a,b)上的均匀分布,记为 X ~ U (a, b).
x a, 0, xa 其分布函数为 F ( x) , a x b, b a x b. 1,
x0 0 2 Exe.1：设R.V.X的分布函数 F ( x) x 0 x 1 1 x 1 求概率密度函数。
0, x 0 x Exe.2：设R.V.X的分布函数 F (x) , 0 ≤ x T T 求概率密度函数。 1, T ≤ x
3. 概率密度函数与分布函数关系：※※
求常数 k。
练习1：设X为连续型R.V.，其密度函数为 1 2 x , 0 ≤ x 1, 2 f (x) 求常数a。 ax, 1 ≤ x 3, 0, 其他
练习2：设 X 是连续型R.V.，其密度函数为
3x, 0 x A， f (x) 求常数A。 其他. 0,
注：均匀分布的概率意义，如果X落在区间 (a,b)上的均匀分布，那么对于任意满足
a c cl b
P(c X c l )
c l

c
dx l ba ba
结论：X落在(a,b)中任意子区间的概率与该子区间 的长度成正比，而与该子区间的具体位置无关。
例3：设K在(0,5)上服从均匀分布,求方程
e x , f ( x) 0,
的指数分布，记为 X ~ E ( ).
x 0, x 0.
其中λ>0为常数,则称随机变量X服从参数为λ
1 e x , 其分布函数为 F ( x) 0,
x 0, x 0.
指数分布也被称为寿命分布，如电子元件 的寿命，电话通话的时间，随机服务系统 的服务时间等都可近似看作是服从指数分 布的。
求X的分布函数。
4.区间概率求解
[由密度函数求区间概率] ※
P(a X b) f ( x)dx F (b) F ( a)
a

b
P(X c)


c
f ( x)dx 1 F (c)
P(X d )


d
f ( x)dx F (d )
分布函数 F(x) 定义： F ( x) P X x 性质: 0≤F(x)≤1； 应用：※ F(-∞)=0 , F(+∞)=1。
描述随机变量
分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量
分布律
概率密度函数
pk xk x F ( x) P( X x) x f (t )dt
pk
分布律
f (t ) 概率密度函数
本节小结：
知识点与基本要求：
（1）理解连续型随机变量概率密度函数的概念、性质及其应 用（如确定密度函数中的参数；已知密度函数求分布函数或已 知分布函数求密度函数；求随机变量的区间概率）； （2）掌握连续型随机变量概率密度函数与分布函数间的关系 （例如确定分布函数中的参数；已知随机变量的分布律或密度 函数求分布函数；已知分布函数求分布律或密度函数）； （3）会利用概率密度函数计算随机变量在某区间内取值的概 率问题。
定义：函数 f (x) 在区间[a,b]上连续，
通常称函数
积分上限函数.
定理：若函数 f(x) 在区间[a,b]上连续, 则积分上限函数F(x) 在[a,b]上可导,且
注：连续型R.V.的分布函数是连续函数。
牛顿-莱布尼茨公式：
定积分的简单性质:
设 f(x)和g(x) 都是[a,b] 上的连续函数，k为常数.
4 x 2 4 Kx K 2 0
有实根的概率.
解:因为R.V.K~U(0,5),所以K的概率密度函数为:
1 , 0 k 5, f (k ) 5 0, 其他.
又方程 4 x 2 4 Kx K 2 0 有实根,当且仅当
(4K ) 4 4 ( K 2) 16( K 2)( K 1) 0
于是
当 x 2时,
x2 F ( x) P( X x) P( X 0) P(0 X x) 4
F ( x ) P( X x ) 1
故 X 的分布函数为
x 0, 0, 2 x F ( x ) , 0 x 2, 4 其图形为一连续曲线 1 , x 2 .
x 1,
由概率密度函数计算分布函数的方法 ①用概率密度函数取值非零的定义区间将整个x轴分成 若干个子区间；计算分布函数的方法。 ②利用积分对积分区间的可加性，就被积函数[概率密 度函数]分段积分。 熟练各种积分的计算是基础而重要的。
实例:一个靶子是半径为2m的圆盘,设击中靶上任 一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比, 并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离. 弹着点 1 求(1)X 的分布函数（ . 2）P ( X 1).
教学重点：连续型随机变量概率密度函数的概念、性 质及其应用，概率密度函数与分布函数间的关系。
基本初等函数的导数公式
基本初等函数的导数公式
不定积分的基本公式
C xC
1 1 x C ( 1) 1
ln | x | C
e C
x
a C ln a
x
不定积分的基本公式
sin x C
3. 概率密度函数与分布函数关系：※※
[1] 由分布函数求密度函数※
F ( x) f ( x)
注：对分布函数分区间求导，得密度函数 例3：设随机变量X的分布函数为
1 (1 x)e x , x 0 F ( x) x0 0, x xe , x 0, 求概率密度函数。 f ( x) F ( x) x 0. 0,
x
[积分公式]

③当
x 1
x
时，
1 1 x
2 F ( x) f (t )dt 0dt 1 t 2 dt 0dt 1; 1 1
[积分：
1

1
1 1 t dt 12. 为单位圆面积一半。] 2
2
故分布函数为： 0,
x 1 1 2 F ( x) 1 x arcsin x , 1 x 1, 2 x 1. 1,
求X的分布函数。 解：概率密度函数f(x)在(-∞,+∞)上为分段函数,其分段 区间为(- ∞,-1],(-1,1],(1,+∞);而分布函数为累积概率和, 故应就x在上述不同区间上积分求F(x). ①当
x 1 时，F ( x) f (t )dt零概率事件与不可能事件是一回事吗？
注: 连续型随机变量取某一确定值的概率为零.
即，不可能事件与零概率事件的关系： A=Φ P(A)=0
同理：必然事件与1概率事件的关系与此相似。 因此,在计算连续型R.V.取值落在一个区间的概率时, 不分开区间或是闭区间,这与离散型R.V.是不同的.
P(a X b) P(a X b) P(a X b)=P(a X b)
广义积分的牛顿-莱布尼茨公式
例3续：设随机变量X的分布函数为
1 求区间概率(两种方法) P( X 1), P(1 X 2), P( X ). 2
解：由分布函数求区间概率公式得：
1 (1 x)e x , x 0, F ( x) x 0, 0,
P( X 1) F (1) 1 (1 1)e1 1 2e 1; P(1 X 2) F (2) F (1) 1 3e 2 ; 1 1 1 1 3 P( X ) 1 P( X ) 1 F ( ) 1 e 2 . 2 2 2 2
[2] 由密度函数求分布函数※
F ( x)


x
f (t )dt ( x )
注：当密度函数为分段函数时，由于分布函数是定 义在整个数轴上的函数，因此，在利用密度函数求 解分布函数时应分区间求解。 例3：设R.V.X的概率密度函数为
0, x 0或x 1 f ( x) 2 x, 0 x 1
性质1: 性质2: 性质3:积分可加性
二、概率密度函数的性质
由定义知,概率密度函数 f(x) 具有以下性质:
1.非负性：f ( x) 0( x );
2.归一性： f ( x)dx 1; [确定待定参数]※


例1：设随机变量X的概率密度函数为
0, x 0或x 1 f ( x) kx, 0 x 1
例1:某个电阻器的电阻R服从(900,1100)上的均匀
分布，求：(1)电阻R落在(950,1050)上的概率； (2)电阻R落在(850,1050)上的概率；
例2:设随机变量X服从区间(2,5)上的均匀分布， 现对X进行三次独立观测，求：(1)恰好有两次 观测值大于3的概率；(2)至少有两次观测值大 于3的概率。