高中数学必修五 3.4 基本不等式 教学课件 PPT (4)

仅当两变量值相等时取最值.简记“和定积最大”.
均值不等式
如果 a, b 是正数，那么 ab a b
2
（当且仅当 a b 时取“=”）
应用均值不等式求最值的条件:
“一正”
“二定”
“三等”
a与b为正实数
积定和最小 和定积最大
若等号成立， a与b必须能
够相等
1
练习、已知正数x、y满足2x+y=1，求
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则 2（ x + y ）= 36 , x + y = 18
矩形菜园的面积为 xym2
得 xy 81
xy x y 2
=18/2=9
当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成 因立此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最 大，最大面积是81m2
结论2：两个正变量和为定值，则积有最大值，当且
解:设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元.根据题意,有:
z 150 4800 120(2 3x 2 3y) 3
240000 720(x y)
由容积为4800m3,可得:3xy=4800 ， 因此 xy=1600 由基本不等式与不等式的性质,可得
240000 720(x y) 240000 720 2 xy
语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
例2：（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形
菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用 篱笆最短。最短的篱笆是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则xy=100，篱笆的长为2（x+y）
mx . y xy x y 2 100, 2
当且仅当a=b时，等号成立。
所得不等式推广： 重要不等式

学家大会的会标，它是根据中国古代数
学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使
它看上去象一个风车，代表中国人民热
情好客.在这个图案中既有一些相等关系，
也有一些不等关系，
对这
些等与不等的关系，
我们作些相应研究.
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探究（一）:基本不等式的原理
思考1：将图中的“风车”
抽象成如图，在正方形
ABCD中有4个全等的直角
2
两边平方可得什么结论？它与不等式 a2＋b2≥2ab有什么内在联系？
( a + b)2 ³ ab 2
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思考2：在不等式a2＋b2≥2ab两边同加
上a2＋b2可得什么结论？所得不等式有
什么特色？ a 0
y ax2 bx c x1, x2 (x1 x2 )
a2 + b2 ³
2
(a + b)2 2
b
和
ab 分别为a，
2
b的算术平均数和几何平均数，如何用 文字语言表述基本不等式？
两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数.
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a+b
思2 考8：如图，在直角三角形ABC中，CD
为斜边上的高， CO为斜边上中线，你能
利用这个图形对基本不等式作出几何解
释吗？
C
A
O
DB
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探究（二）：基本不等式的变通 思考1：将基本不等式 a b ab
三角形.设直角三角形的
两a2b2 条直角边长为a，b那么 正方形ABCD和EFGH的边长 D
分别为多少？
A
F GE
C
H
a2 b2
|a－b |
B

������+������ 1 ������+������ , 当且仅当a=b 2 ������+������
时,等号成立.
(3)几何意义:弦长的一半不大于半径.如图所示,AC=a,CB=b,则 OD= 2 ,DC= ������������ = 2 ������������ , 则DC≤OD. (4)变形:ab≤
求最值的条件是“一正二定三相等”,具体如下: 一正:a,b 都是正实数,即所求最值的代数式中的各项必须都是正数,
1 否则就会得出错误的答案.例如,当 x<0 时,函数 f(x)=x+ ≥ ������ 1 5 所以函数f(x)的最小值是 2.由于 f(-2)=-2 + -2 = − 2 < 2, 1 那么显然这是一个错误的答案.其原因是当 x<0时, ������ < 0,
1 ������-1
=
+ 1 ≥ 2 (������-1)·
1 + 1=3.由此看来,当 ������-1
ab 与 a+b 没有
一个是定值时,通常要把所求最值的代数式采用配凑的方法化为和 或积为定值的形式.
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2
1 ������· ������
= 2,
不符合基本不等式中a,b 均为正数这个条件.因此,利用基本不等式求最 值时,首先确定所求最值的代数式中的各项是否都是正数.其实,当 x<0 时,-x>0,则 f(-x)=(-x) + -������ ≥ 2 (-������)· -������ = 2, 此时有f(x)≤-2.由此看 来,所求最值的代数式中的各项都是负数时,经过变形,先转化为各项都 是正数的代数式,再求最值.

2
3. 基本不等式变形公式
a b 2 ab
ab (a b)2 4
作业
1.预习课本第99页例1和例2 2.思考：基本不等式有什么作用？在利用基本 不等式时需要满足什么条件？
3.4基本不等式： ab a b
2
这是2002年在北京召开的第24届国际数学 家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的 弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风 车，代表中国人民热情好客.
D
a2 b2
b
G
F
A
a HE
探究1：
1、正方形ABCD的
面积S=＿a＿2＿＿＿b 2
C 2.四个直角三角形的
当 a 0,b 0 时， a b≥ ab , 当且仅当
a = b时，等号成立.
2
基本不等式的几何解释是什么？
如图, AB是圆的直径, O为圆心，
点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过
点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、 BD、OD.
A
ab ①如何用a, b表示OD? OD=___2___
x
等号成立的条件.
2.已知 0 x 1，求证：x(1 x) 1 ，并推导出式中等
4
号成立的条件.
小结：
1. 重要不等式
当 a, b R时，a2 b2 2ab，当且仅当 a b 时等号成立.
2. 基本不等式
当 a, b R时，a b ab ，当且仅当 a b 时等号成立.
面积和 S=＿2a＿b
３、S与 S有什么
样的不等关系？
B
S>S′ 即 a2 b2 2ab
问：那么它们有相等的情况吗？
D