附录惯性矩与惯性积_图文

A
代入公式
xdA
ydA
xC
A
A
,
yC
A
A
，可得到截面的形心坐标与静矩间的
关系为
Sx AyC , S y AxC
若已知截面的静矩，则可由上式确定截面形心的位置；反之，
若已知截面形心位置，则可由上式求得截面的静矩。
由上式可以看出，若截面对某轴（例如x轴）的静矩为零 （Sx=0），则该轴一定通过此截面的形心（yC=0）。通过截面形心 的轴称为截面的形心轴。反之，截面对其形心轴的静矩一定为零。
截面形心C的坐标为
xC

A1xC1 A2 xC2 A1 A2

105000 175－ 22500 105000－22500
300
mm

140.9mm
yC

A1 yC1 A2 yC2 A1 A2

105000 150－ 22500 105000－22500
200
mm

136.4mm
目录
附录Ⅰ 截面的几何性质\静矩与形心 解法二。
将截面看作由大矩形减去三角 形组成的组合截面，被减去部分的 面积应取负值，这种方法称为负面 积法。矩形和三角形的面积及形心 C1、C2的坐标分别为
矩形 A1=105000mm2， xC1=175mm， yC1=150mm
三角形 A2=－22500mm2， xC2=300mm， yC2=200mm
分别用Sx和Sy表示，即
Sx
A ydA , Sy
xdA
A
目录
附录Ⅰ 截面的几何性质\静矩与形心
由定义知，静矩与所选坐标轴的位置有关，同一截面对不同坐 标轴有不同的静矩。静矩是一个代数量，其值可为正、为负、或为 零。静矩的单位为mm3或m3。

1、主惯性轴和主惯性矩：坐标旋转到= 0 时；恰好有
I x0 y0
(
Ix
Iy 2
sin 20
I xy
cos 20
)
0
与 0 对应的旋转轴x 0 y 0 称为主惯性轴；平面图形对主轴之惯性矩主惯性矩。
tg2 0
2I xcyc I xc I yc
主惯性矩：I x0 I x I y
I y0
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例 I-1-1 是确定下图的形心。
解 ： 组合图形，用正负面积法解之。
y
1、用正面积法求解，图形分割及坐标如图（a）
C1（0，0）
C2 C2（-35，60）
C1
x
x
xi Ai
x 1
A1
x 2
A2
A
A1 A2
3510110 20.3 10110 8010
图（a）
y 6010110 34.7 10110 8010
I x y2dA
A
I y x2dA
A
二、极惯性矩：是面积对极点的二次矩。 三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。
I P r 2dA I x I y A
I xy xydA A
！如果 x 或 y 是对称轴，则，Ix y =0
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§6-3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理 一、平行移轴定理：（与转动惯量的平行移轴定理类似）
2
(
Ix
2
Iy
)2
I
2 xy
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2、形心主轴和形心主惯性矩：主轴过形心时，称其为形心主轴。平面图形对形心主轴 之惯性矩，称为形心主惯性矩
2I
tg 2
xcyc

z,y 轴为形心轴
二、惯性半径：
I z Aiz2 iz
Iz A
I y Aiy2 iy
Iy A
三、简单图形的惯性积
1、定义：
y z dA
Izy zydA
o
y z
A
2、量纲：［长度］4。单位：m4、cm4、mm4。 3、惯性积是对轴而言。
4、惯性积的取值为正值、负值、零。
工程力学
5、极惯性矩：（对点而言）
ρ
y
I p
p 2dA
A
o
z
6、轴惯性矩与极惯性矩的关系：
I p
p 2 dA
A
( y2 z2 )dA
A
y2dA
A
z 2 dA
A
Iz
Iy
图形对任一相互垂直的坐标系的惯性矩之和恒等于此图 形对该两轴交点的极惯性矩。
7、简单图形惯性矩的计算
⑴ 圆形截面：
实心（直径D）—— I z
Iy
1 D4
64
y
c
z
z,y 轴为形心轴
⑵
空心（外径D，内径d）—— 矩形截面：
Iz
Iy
1 (D4
64 y
d4)
Iz
y2dA
A
h
2 h
2
y2bdy
1 bh3 12
I y
z 2dA
A
b
2 b
z
2hdz
2
1 hb3 12
h
bdy
c hdz
b
z
Iz
1 bh3 12
Iy
1 12
hb3
工程力学
惯性矩、惯性积
一、简单图形的惯性矩

惯性矩是一个物理量，通常被用作描述一个物体抵抗扭动，扭转的能力。

惯性矩的国际单位为(m^4)。

工程构件典型截面几何性质的计算2.1面积矩1．面积矩的定义图2-2.1任意截面的几何图形如图2-31所示为一任意截面的几何图形(以下简称图形)。

定义：积分和分别定义为该图形对z轴和y轴的面积矩或静矩，用符号S z和S y，来表示，如式(2—2.1)(2—2.1)面积矩的数值可正、可负，也可为零。

面积矩的量纲是长度的三次方，其常用单位为m3或mm3。

2．面积矩与形心平面图形的形心坐标公式如式(2—2.2)(2—2.2)或改写成，如式(2—2.3)(2—2.3)面积矩的几何意义：图形的形心相对于指定的坐标轴之间距离的远近程度。

图形形心相对于某一坐标距离愈远，对该轴的面积矩绝对值愈大。

图形对通过其形心的轴的面积矩等于零；反之，图形对某一轴的面积矩等于零，该轴一定通过图形形心。

3．组合截面面积矩和形心的计算组合截面对某一轴的面积矩等于其各简单图形对该轴面积矩的代数和。

如式(2—2.4)(2—2.4)式中，A和y i、z i分别代表各简单图形的面积和形心坐标。

组合平面图形的形心位置由式(2—2.5)确定。

(2—2.5)2.2极惯性矩、惯性矩和惯性积1．极惯性矩任意平面图形如图2-31所示，其面积为A。

定义：积分称为图形对O点的极惯性矩，用符号I P，表示，如式(2—2.6)(2—2.6)极惯性矩是相对于指定的点而言的，即同一图形对不同的点的极惯性矩一般是不同的。

极惯性矩恒为正，其量纲是长度的4次方，常用单位为m4或mm4。

(1)圆截面对其圆心的极惯性矩，如式(2—7)(2—2.7)(2)对于外径为D、内径为d的空心圆截面对圆心的极惯性矩，如式(2—2.8)(2—2.8)式中，d/D为空心圆截面内、外径的比值。

2．惯性矩在如图6-1所示中，定义积分，如式(2—2.9)(2—2.9)称为图形对z轴和y轴的惯性矩。

惯性矩是对一定的轴而言的，同一图形对不同的轴的惯性矩一般不同。