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不规则平面形之静矩,重心,惯性矩及惯性积之新计算法
静矩，截面上所有点坐标值的代数和；静矩大小可能为正，也可能为负，其大小与坐标系位置有关。
静矩的量纲是长度的三次方。
可用于计算截面形心。
截面对某轴的静矩为零，则该轴必过形心，截面对一个坐标系的两个轴的静矩都为零，则该坐标系原点为形心。
过某点取坐标系，当截面对该坐标系的惯性积等于零时，这一对坐标系称为主惯性轴，简称主轴。
通过截面形心的主惯性轴称为形心主惯性轴，截面对该轴的惯性矩称为形心主惯性矩。
由平行移轴公式可知，截面对过形心主惯性轴的惯性矩是截面对所有坐标系惯性矩中最大和最小的两个惯性矩。
惯性矩：截面上所有点至坐标轴距离平方的和，可反映截面上的点相对于轴的分布情况。
惯性矩可用于计算纯弯曲变形杆截面上的正应力。
极惯性矩始终大于0，其大小与坐标系位置有关。
极惯性矩的量纲是长度的四次方。
截面上离轴心较远的点越多，截面对轴心的极惯性矩越大，截面抵抗扭转变形的能力越强。
惯性积，截面上所有点横纵坐标之积的和。
惯性积大小可能为正，也可能为负，其大小与坐标系有关。
惯性积的量纲是长度的四次方。
惯性矩、极惯性矩、惯性积的计算公式
中的被积函数都是二次项，因此统称为二阶矩；静矩计算公式中的被积分项是一次项，因此称为一阶矩。
惯性矩是一个物理量，通常被用作描述一个物体抵抗扭动，扭转的能力。
惯性矩的国际单位为(m^4)。
工程构件典型截面几何性质的计算2.1面积矩1．面积矩的定义图2-2.1任意截面的几何图形如图2-31所示为一任意截面的几何图形(以下简称图形)。
定义：积分和分别定义为该图形对z轴和y轴的面积矩或静矩，用符号S z和S y，来表示，如式(2—2.1)(2—2.1)面积矩的数值可正、可负，也可为零。
面积矩的量纲是长度的三次方，其常用单位为m3或mm3。
2．面积矩与形心平面图形的形心坐标公式如式(2—2.2)(2—2.2)或改写成，如式(2—2.3)(2—2.3)面积矩的几何意义：图形的形心相对于指定的坐标轴之间距离的远近程度。
图形形心相对于某一坐标距离愈远，对该轴的面积矩绝对值愈大。
图形对通过其形心的轴的面积矩等于零；反之，图形对某一轴的面积矩等于零，该轴一定通过图形形心。
3．组合截面面积矩和形心的计算组合截面对某一轴的面积矩等于其各简单图形对该轴面积矩的代数和。
如式(2—2.4)(2—2.4)式中，A和y i、z i分别代表各简单图形的面积和形心坐标。
组合平面图形的形心位置由式(2—2.5)确定。
(2—2.5)2.2极惯性矩、惯性矩和惯性积1．极惯性矩任意平面图形如图2-31所示，其面积为A。
定义：积分称为图形对O点的极惯性矩，用符号I P，表示，如式(2—2.6)(2—2.6)极惯性矩是相对于指定的点而言的，即同一图形对不同的点的极惯性矩一般是不同的。
极惯性矩恒为正，其量纲是长度的4次方，常用单位为m4或mm4。
(1)圆截面对其圆心的极惯性矩，如式(2—7)(2—2.7)(2)对于外径为D、内径为d的空心圆截面对圆心的极惯性矩，如式(2—2.8)(2—2.8)式中，d/D为空心圆截面内、外径的比值。
2．惯性矩在如图6-1所示中，定义积分，如式(2—2.9)(2—2.9)称为图形对z轴和y轴的惯性矩。
惯性矩是对一定的轴而言的，同一图形对不同的轴的惯性矩一般不同。
惯性矩就是一个物理量,通常被用作描述一个物体抵抗扭动,扭转得能力。
惯性矩得国际单位为(m^4)。
工程构件典型截面几何性质得计算2、1面积矩1.面积矩得定义图2-2、1任意截面得几何图形如图2-31所示为一任意截面得几何图形(以下简称图形)。
定义:积分与分别定义为该图形对z轴与y轴得面积矩或静矩,用符号S z与S y,来表示,如式(2—2、1)(2—2、1)面积矩得数值可正、可负,也可为零。
面积矩得量纲就是长度得三次方,其常用单位为m3或mm3。
2.面积矩与形心平面图形得形心坐标公式如式(2—2、2)(2—2、2)或改写成,如式(2—2、3)(2—2、3)面积矩得几何意义:图形得形心相对于指定得坐标轴之间距离得远近程度。
图形形心相对于某一坐标距离愈远,对该轴得面积矩绝对值愈大。
图形对通过其形心得轴得面积矩等于零;反之,图形对某一轴得面积矩等于零,该轴一定通过图形形心。
3.组合截面面积矩与形心得计算组合截面对某一轴得面积矩等于其各简单图形对该轴面积矩得代数与。
如式(2—2、4)(2—2、4)式中,A与y i、z i分别代表各简单图形得面积与形心坐标。
组合平面图形得形心位置由式(2—2、5)确定。
(2—2、5)2、2极惯性矩、惯性矩与惯性积1.极惯性矩任意平面图形如图2-31所示,其面积为A。
定义:积分称为图形对O点得极惯性矩,用符号I P,表示,如式(2—2、6)(2—2、6)极惯性矩就是相对于指定得点而言得,即同一图形对不同得点得极惯性矩一般就是不同得。
极惯性矩恒为正,其量纲就是长度得4次方,常用单位为m4或mm4。
(1)圆截面对其圆心得极惯性矩,如式(2—7)(2—2、7)(2)对于外径为D、内径为d得空心圆截面对圆心得极惯性矩,如式(2—2、8)(2—2、8)式中,d/D为空心圆截面内、外径得比值。
2.惯性矩在如图6-1所示中,定义积分,如式(2—2、9)(2—2、9)称为图形对z轴与y轴得惯性矩。
惯性矩及惯性积
在讨论物体的平面动力学时，需介绍对通过质心G且与运动平面垂直的轴之惯性矩I G。
在三维动力分析时，有时需计算六个惯性量。
这些项称为惯性矩及惯性积(moments and products of inertia)，其以特殊方式描述物体相对于一已确定方向及原点的坐标系统的质量分布。
惯性矩考虑下图所示的刚体，物体的微分元素dm对三坐标轴的任一轴的惯性矩(moment of inertia)可定义为：元素的质量和此元素到该轴的最短距离的平方之乘积。
例如，如图中所标示的，故dm对x轴的质量惯性矩为
物体的质量惯性矩I xx为上式对整个物体的质量积分。
因此，对各轴的惯性矩可写成
在此可看出惯性矩必为正的量，由于此量是质量dm与距离平方的乘积之和，而质量dm必为正。
惯性积微分元素dm相对于一组相互正交的两平面的惯性积(product of inertia)定义为：质量元素与至各平面的垂直(或最短)距离的乘积。
例如，相对于y-z及x-z平面，上图的质量元素的惯性积dI xy为
dI xy = xydm
同时注意dI yx = dI xy。
对整个质量积分，物体对各平面组合的惯性积可表示为
不像惯性矩必为正，惯性积可为正、负或零。
其结果是视其定义的两个坐标的符号而定，因其符号的变化是彼此独立的。
特殊情况，如质量对称于两正交平面之一或两者，则相对于此二平面的惯性积将为零，在此情况下，质量元素将成对出现于对称平面的两侧，其中一例的元素，惯性积为正，两另一例对应元素的惯性积为负，故其和为零。
这种例子如下图所示。
在第一种情况，图(a)，y-z平面为对称平面，故I xz = I xy =0，而I yz计算的结果将为正，因所有的质量元素均位于正y及z坐标。
对于图(b)所示的圆柱及坐标轴，x-z及y-z，平面均为对称平面，故I zx = I yz = I xy = 0。
平行轴与平行面定理求解物体惯性矩的积分技巧已于前面章节中讨论过。
同时也曾讨论过组合物体，即由简单形状所组合成的物体的惯性矩，并表列于后封面内页。
在这些情况，平行轴定理(parallel-axis theorem)常被用来计算，此定理于前面章节中导出，用来转移对通过质心G的轴的惯性矩至通过另一点的平行轴上。
此时，若G点在x, y, z轴上的坐标为x G, y G, z G，如下图，则用来计算对x, y, z轴的惯性矩的平行轴方程式为
物体或组合体的惯性积的计算方式和物体的惯性矩相同。
然而，此时的平行面定理就显得相当重要。
此定理是用来将物体对一组通过物体质心的三正交平面的惯性积转移至另一组通过O点的三个平行面上。
若平面间的垂直距离为x G, y G, z G，如下图，则平行面方程式可写成
这些方程式的推导和前面章节平行轴方程式相同。
惯性张量物体的惯性性质可由九个量完全描述其特性，其中有六个是彼此独立的。
这些量由定义，可写成
此数组称为惯性张量(inertia tensor)。
当此张量是对于不同原点O及不同坐标轴方向来计算，物体的惯性张量都有一组唯一的数值。
对于O及点我们可以找到唯一的一组坐标轴方向，使得物体对这些轴的惯性积均为零。
在此情况，此惯性张量称为"对角化"，可写成简单形式
此处I x = I xx，I y = I yy及I z= I zz称为物体的主惯性矩(principal moments of inertia)，这是对惯性主轴计算而得。
三个主惯性矩中，有一个是物体的最大惯性矩，另有一个是最小惯性矩。
在此将不讨论如何用数学方法来求惯性主轴的方向。
但有许多情况下的主轴可由观察即可获得。
根据前面惯性积的讨论我们可以注意到，当三相互正交的平面中有两个平面是物体的对称面，则物体对此坐标平面的所有惯性积为零，若坐标轴位于此二平面上，则此坐标轴即为惯性主轴。
例如，前图(b)所示的x, y, z轴即为圆柱在O点的惯性主轴。
对任意轴的惯性矩考虑下图所示的物体，并已对原点在O点的x, y, z轴求出惯性张量的九个元素。
现在若想求物体对Oa轴的惯性矩，Oa轴的方向由单位向量u a定义，则根据定义I Oa=∫b2dm，其中b是dm至Oa的垂直距离。
若dm的位置以r表示，则b = r sinθ即表示u a⨯r的大小。
故惯性矩可表为
若u a = u x i + u y j + u z k及r = x i + y j + z k，故u a⨯r = (u y z - u z y)i + (u z x - u x z)j + (u x y - u y x)k，代入后并进行点乘积，我们可将惯性矩写成
将物体的惯性矩及惯性积用符号取代，得
若物体的惯性张量是对x, y, z轴计算的，则对倾斜轴Oa的惯性矩可用上式来计算。
而计算前必先求出Oa轴的方向余弦u x, u y, u z，此三项乃分别是Oa轴与x, y, z轴间的夹角α, β, γ的余弦值。
