截面惯性矩(材料力学)

材料力学基本概念及计算公式材料力学是研究物质在外力作用下的力学性质和变形规律的学科，主要研究物质的力学性质，包括弹性、塑性、稳定性等。

下面将介绍材料力学的基本概念及计算公式。

1.弹性力学：(1) 弹性模量（Young’s modulus）：材料承受应力时的应变程度。

计算公式：E = σ / ε，其中 E 为弹性模量，σ 为应力，ε 为应变。

(2) 剪切模量（Shear modulus）：材料抵抗剪切变形的能力。

计算公式：G = τ/ γ，其中 G 为剪切模量，τ 为剪切应力，γ 为剪切应变。

(3) 泊松比（Poisson’s ratio）：材料在受力作用下沿一方向延伸时，在垂直方向上收缩的比例。

计算公式：ν = -ε_y / ε_x，其中ν 为泊松比，ε_x 为纵向应变，ε_y 为横向应变。

2.稳定性分析：(1) 屈曲载荷（Buckling load）：结构在受压作用下失去稳定性的临界载荷。

计算公式：F_cr = π²EI / L²，其中 F_cr 为屈曲载荷，E 为弹性模量，I 为截面惯性矩，L 为结构长度。

(2) 欧拉稳定性理论（Euler’s stability theory）：用于分析长杆（例如柱子）的稳定性。

计算公式：P_cr = π²EI / (KL)²，其中P_cr 为屈曲载荷，E 为弹性模量，I 为截面惯性矩，K 为杆件端部支撑系数，L 为杆件长度。

3.塑性力学：(1) 屈服点（yield point）：材料开始发生塑性变形的点，也是材料在加强阶段的上线。

计算公式：σ_y = F_y / A_0，其中σ_y 为屈服点应力，F_y 为屈服点力，A_0 为断面积。

(2) 韧性（toughness）：材料吸收能量的能力，一般由应力-应变曲线上的面积表示。

计算公式：T = ∫σ dε，其中 T 为韧性，σ 为应力，ε 为应变。

4.疲劳力学：(1) 疲劳极限（fatigue limit）：材料在循环应力作用下出现裂纹的最大应力。

材料力学—计算机计算惯性矩和抗弯截面系数方法1 在AutoCAD中绘制需要计算的截面图形或导入图形，如图1所示。

图12 创建面域面域创建的方式主要有两种：（1）reg命令。

输入reg并回车或在菜单栏点选“绘图”→“面域”，按提示选择需要计算的截面图形线条；右键或Enter键确定。

会建立两个面域（外围边框和内部边框）；（2）bo命令。

在命令行输入bo并回车或在菜单栏点选“绘图”→“边界”，弹出如图2所示“边界创建”对话框。

选择创建“对象类型”为“面域”，勾选“孤岛检测”，点击“拾取点”返回绘图界面，用十字光标拾取截面图形内部任意一点，右键或Enter键确定。

也会建立两个面域（外围边框和内部边框）。

图23 面域差集计算将建立的两个面域进行差集计算。

在命令行输入subtract并回车或在菜单栏点选“修改”→“实体编辑”→“差集”，按提示选择要从中减去的实体或面域（外围边框）并回车，再选择要减去的实体或面域（内部边框）并回车，会将两个面域合成一个整体面域。

4 查询计算（1）在命令行输入massprop 并回车或在菜单中选择“工具”→“查询”→“面积／质量特性”；（2）选择刚创建的面域并回车，弹出如图3所示的文本对话框；图3（3）得到截面面积=37.7mm2，截面形心坐标为（88.11，211.48）。

截面惯性矩、惯性积、主力矩。

5 对截面形心坐标轴的惯性矩、惯性半径、抗弯截面系数查询计算（1）从主力矩与质心的X-Y方向可以得出：I x=188.5mm4, I y=188.5mm4（2）利用刚得到的截面形心坐标为（88.11，211.48），命令行输入ucs→（88.11，211.48），将用户ucs 坐标原点移动到截面形心，如图4；图4（3）命令行输入massprop并回车，弹出如图5所示的文本对话框；图5（4）可得：截面对形心轴的惯性矩I x=188.5mm4、I y=188.5mm4，惯性积I xy=0（由图5可知，形心轴y 轴为截面图形的对称轴，所以截面图形对形心轴x、y轴的惯性积恒等于零）。

材料力学笔记一、截面对形心轴的轴惯性矩矩形、实心圆、空心圆、薄壁圆截面的轴惯性矩分别为（B.3-4）（B.3-5）（B.3-6）式中，d —实心圆直径和空心圆内径，D —空心圆外径，R 0—薄壁圆平均半径。

t —薄壁圆壁厚。

惯性矩I 量纲为长度的四次方（mm 4），恒为正。

二、截面抗弯刚度EI z和抗弯截面模量Wz（a ）上式代表距中性层为y 处的任一纵向“纤维”的正应变，式中的ρ对同一横截面来说是个常数， 所以正应变ε与y 成正比（上缩下伸），与z 无关。

式（a）即为横截面保持平面，只绕中性轴旋转的数学表达式，通常称为几何方面的关系式。

（b ）式（b ）表示横截面上正应力沿梁高度的变化规律，即物理方面的关系式。

由于式中ρ对同一横截面来说是个常数，均匀材料的弹性模量E 也是常数，所以横截面上任一点处的正应力与y 成正比（上压下拉） 。

显然中性轴上的正应力为零，而距中性轴愈远，正应力愈大，最大正应力σmax发生在距中性轴最远的上下边缘（图7.2-4）。

图7.2-4 弯曲正应力分布微内力对中性轴z之矩组成弯矩M，即（e）代入式（b ），并将常数从积分号中提出，得。

令，称为横截面对z轴的惯性矩，它只取决于横截面的形状和尺寸，其量纲是长度的四次方，此值很容易通过积分求出。

于是得出（7.2-1）上式确定了曲率的大小。

式中EIz称为截面抗弯刚度（stiffness in bending）。

到此为止，式（a）中的y和ρ已经确定。

联合式（b）及式（7.2-1），得出（7.2-2）上式即为对称弯曲正应力公式。

当y=ymax时，得出最大正应力公式，即（7.2-3）式中称为抗弯截面模量（section modulus in bending），其量纲是长度的三次方。

表7.2-I列出了简单截面的Iz 和Wz计算公式。

表中 =d/D，R为薄壁圆平均半径。

三、平行轴间惯性矩的移轴公式图B.3-3如图B.3-3所示，设y0、z为截面的一对形心轴，如果截面对形心轴的惯性矩为和，则截面对任一平行于它的轴y和z的惯性矩为：，（B.3-7）上式称为惯性轴的移轴公式或称平行轴定理（Parallel axis theorem）。

材料力学惯性矩公式在材料力学中，惯性矩是一个重要的物理量，它描述了物体对于转动的惯性特性。

在工程和科学领域中，我们经常需要计算和应用惯性矩，因此了解惯性矩的计算公式是非常重要的。

惯性矩的计算公式与物体的形状和质量分布有关。

对于不同形状的物体，我们需要使用不同的公式来计算其惯性矩。

下面，我将介绍一些常见形状的物体的惯性矩计算公式。

首先，我们来看一下关于直线轴的惯性矩计算公式。

对于质量分布均匀的直线轴，其惯性矩的计算公式为I=1/12ML^2，其中M为物体的质量，L为物体的长度。

这个公式适用于绕通过物体质心且与物体轴线平行的转动轴。

接下来，我们来看一下关于圆环的惯性矩计算公式。

对于半径为R、质量分布均匀的圆环，其惯性矩的计算公式为I=1/2MR^2，其中M为圆环的质量。

这个公式适用于绕通过圆环中心且与圆环轴线垂直的转动轴。

除了直线轴和圆环，对于其他形状的物体，我们也可以根据其几何形状和质量分布来推导出相应的惯性矩计算公式。

在工程实践中，我们经常会遇到需要计算复杂形状物体的惯性矩，这时候我们可以利用积分来进行计算。

除了单个物体的惯性矩计算，当多个物体组合在一起时，我们也需要考虑它们的复合惯性矩。

对于多个物体组合体的复合惯性矩计算，我们可以利用平行轴定理和垂直轴定理来简化计算过程。

在应用惯性矩计算公式时，我们需要注意保持单位的一致性，以及正确地考虑物体的质量分布情况。

在实际工程中，我们还需要考虑到材料的弹性模量、截面形状等因素，以便更准确地描述物体的转动特性。

总之，惯性矩是描述物体对于转动的惯性特性的重要物理量，其计算公式与物体的形状和质量分布有关。

在工程和科学领域中，我们经常需要计算和应用惯性矩，因此了解惯性矩的计算公式是非常重要的。

希望本文介绍的惯性矩计算公式能够对您有所帮助。

常见截面惯性矩和抗弯截面系数自动计算 简介本文档主要介绍：工程常见截面的截面惯性矩、抗弯截面系数，主要包括矩形、矩形管、圆形、圆管、椭圆、椭圆管、六边形、花键的截面惯性矩、抗弯截面系数公式及公式自动求值方法。

理论依据根据材料力学，抗弯截面系数W X 与截面惯性矩I X 的关系公式如下： 的距离离中性为，其中轴X最远点截面上W max maxy y I X X 。

下面一一列出前述各形状截面的公式和wxMaxima 计算机自动求值算式。

矩形矩形截面如下图所示。

平行于X 轴的矩形边长为b ，平行于Y 轴的矩形边长为h ，矩形截面相对于X 轴的截面惯性矩公式为:123bh I X = 其相对于X 轴的抗弯截面系数公式为:6212W 23max bh h bh y I X X === 下面为wxMaxima 计算机自动求值算式，将下面的内容复制进wxMaxima 软件的空白区域，将数值修改为与工程实际情况相符合的数值，然后点击菜单栏的“单元”→“对单元进行求值”,即可得到想要的结果：/*矩形的截面惯性矩和抗弯截面系数计算*//*设置软件输出结果为数值*/if numer#false then numer:true else numer:true;b:38;h:130;Ix:1/12*b*h^3;Wx:1/6*b*h^2;/*作用在截面上的弯矩*/M:109874;/*弯矩在截面上产生的应力*/σ:M/Wx;矩形管矩形管截面如下图所示。

平行于X 轴的内部矩形边长为b ，平行于Y 轴的内部矩形边长为h ，平行于X 轴的外部矩形边长为B ，平行于Y 轴的外地部矩形边长为H ，矩形管截面相对于X 轴的截面惯性矩公式为:1212-123333bh BH bh BH I X -== 其相对于X 轴的抗弯截面系数公式为:hbh BH h bh BH y I X X 6212W 3333max -=-== /*矩形管的截面惯性矩和抗弯截面系数计算*//*设置软件输出结果为数值*/if numer#false then numer:true else numer:true;b:38;h:130;Ix:(B*H^3-b*h^3)/12;Wx:(B*H^3-b*h^3)/6/H;/*作用在截面上的弯矩*/M:109874;/*弯矩在截面上产生的应力*/σ:M/Wx;圆形圆形截面如下图所示。

考研材料力学公式
考研材料力学公式较多，部分公式如下：
1. 横截面积AA矩形=bh。

2. A圆环=π 4 \fracπ44π(D2-d2)。

3. A薄壁圆环≈2πδ。

4. Sy=Azc为形心，可用Sy=Azc来计算静矩。

5. yc三角=h 3 \frac h33h为形心。

6. 惯性积Iyz= ∫AyzdA，可正可负，y、z轴相互垂直，若有一个是对称轴，则Iyz=0。

7. 惯性矩Iz= ∫Ay2dAIzC为形心主惯性矩，且Iz≥ Izc。

8. 极惯性矩Iρ= ∫Aρ2dAIρ= ∫A(y2+z2)dA = Iy+Iz。

9. 主惯性轴无主惯性轴为一对正交坐标轴，且截面对它们的惯性积为0。

10. 主惯性矩Iz截面图形对主惯性轴的惯性矩 iz= 由I = i2A所得，iz圆=d 4 \frac d44d。

11. 平行移轴公式Iz= Izc+ a2Aa为z轴到中性轴的距离，对惯性积也有
Iyz=Iyzc+abA 用于等截面圆轴。

12. 圆环截面惯性矩I z = 1 64 I_z=\frac{1}{64}Iz=641πD4(1-α4)。

如需更多考研材料力学公式，建议查阅考研教辅或咨询考研机构老师获取。

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惯性矩与转动惯量的区别在大学物理实验用共振法测量固体材料的杨氏模量的实验原理中，有涉及到惯性矩，若没有学过材料力学,可能会将此概念与普通力学中的转动惯量混淆。

现就本人的理解，将这两个概念作一对比，供初学者参考.惯性矩（截面的惯性矩的简称)：(英文area moment of inertia ）定义：梁的截面积对某坐标轴的距离（也叫惯性半径）的平方的乘积叫做对某轴的惯性矩。

单位是长度的四次方.梁的截面惯性矩越大，其强度和刚度越大,截面惯性矩是计算梁的挠度和转角的主要参数之一。

在材料力学中用于弯曲计算。

意义：是描述一个物体抵抗扭动、扭转能力的物理量。

是一个用于描述截面几何性质的量。

其中：惯性矩（截面惯性矩)：面积元素d A 与其至x 轴或y 轴距离平方的乘积y 2d A 或x 2d A ，分别称为该面积元素对于x 轴或y 轴的惯性矩或截面二次轴矩。

如对X 轴的惯性矩：极惯性矩（截面极惯性矩）：截面对任意一对互相垂直轴的惯性矩之和，等于截面对该二轴交点的极惯性矩.如图形对O 点的极惯性矩； ⎰=A p dA I 2ρ ρ 为面元d A 到O 点的距离。

截面惯性矩和极惯性矩的关系: 截面对任意一对互相垂直轴的惯性矩之和，等于截面对该二轴交点的极惯性矩：x y A A I I dA y x dA I +=+==⎰⎰)(222ρρ截面惯性矩：对某个轴而言；极惯性矩:对某个点而言。

惯性矩的国际单位为:m 4。

转动惯量：（也叫惯性矩)，英文是Moment of Inertia如对上图形O 点的转动惯量⎰=m dm I 2ρ d m 为质量元。

是用于描述物体转动惯性大小的物理量。

两者的区别:转动惯量Moment of Inertia ；截面惯量area moment of inertia;xyd Ax y ρO。