河南省天一大联考2019届高三阶段性测试(五)数学(理)试题(解析版)
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天一大联考2018-2019学年高中毕业班阶段性测试（五）
数学（理科）
一、选择题：本题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据集合交集求解即可.
【详解】集合中，，所以，所以.
故答案为：B.
【点睛】这个题目考查了集合的交集的概念以及对数函数的定义域问题，题目比较简单.
2.已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
分析：根据复数的运算，求得复数，再利用复数的表示，即可得到复数对应的点，得到答案．
详解：由题意，复数，则
所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于复平面内的第三象限，故选C．
点睛：本题主要考查了复数的四则运算及复数的表示，其中根据复数的四则运算求解复数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
3.设为数列的前项和，若，则（ ）
A. 27 B. 81 C. 93 D. 243
【答案】B
【解析】
【分析】
根据，可得，两式相减得，即，通过赋值法得到首
项，再由等比数列的通项公式得到结果.
【详解】根据，可得，两式相减得，即，当时，，解得，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以.
故答案为：B.
【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用.
4.函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将函数表达式化为，由函数奇偶性得到BC不正确，再由特殊值得到最终结果.
【详解】因为是奇函数排除，且当时，.
故答案为：A.
【点睛】这个题目考查了已知函数的解析式求函数的图像，常见的方法是，通过解析式得到函数的值域和定义域，进行排除，由解析式得到函数的奇偶性和轴对称性，或者中心对称性，进行排除，还可以代入特殊点，或者取极限.
5.如图是一个射击靶的示意图，其中每个圆环的宽度与中心圆的半径相等.某人朝靶上任意射击一次没有脱靶，设其命中10，9，8，7环的概率分别为，，，，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据圆的面积公式得到各个区域的面积，再由几何概型的公式得到相应的概率值.
【详解】若设中心圆的半径为，则由内到外的环数对应的区域面积依次为，
,则，，，，验证选项，可知只有选项D正确.
故答案为：D.
【点睛】本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．
6.某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为2的等腰直角三角形，侧视图是两直角边分别为2和1的直角三角形，俯视图为一矩形，则该多面体的外接球的表面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将几何体为一个三棱锥，放在长、宽、高分别为2，1，2的长方体中，此三棱锥和长方体的外接球是同一个，长方体的外接球的球心在体对角线的中点处，进而求得半径.
【详解】由三视图可得，该几何体为一个三棱锥，放在长、宽、高分别为2，1，2的长方体中，此三棱锥和长方体的外接球是同一个，长方体的外接球的球心在体对角线的中点处，易得其外接球的直径为，从而外接球的表面积为.
故答案为：C.
【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.
7.有5名学生需从数学建模、程序设计两门课中选择一门，且每门课至少有2名学生选择，则不同的选择方法共有（ ）
A. 10种 B. 12种 C. 15种 D. 20种
【答案】D
【解析】
【分析】
先将5人分为2组，一组3人，另一组2人，有种情况，再对2组全排列得到有种情况.
【详解】根据题意，先将5人分为2组，一组3人，另一组2人，有种情况，再将2组对应2门课程，有种情况，则不同的选择方法种数为.
故答案为：D.
【点睛】不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．
8.已知的图象如图所示，则函数的对称中心可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据图像得到振幅和 ，，进而得到，通过特殊点得到，令可得到对称中心.
【详解】由图可知，，，
所以.由，，得，
故.令，
得，则时，.
故答案为：D.
【点睛】确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法：(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝；(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝；(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝.
9.已知矩形的对角线长为4，若，则（ ）
A. -2 B. -3 C. -4 D. -5
【答案】B
【解析】
【分析】
根据图像特点得到：，展开根据向量的点积运算公式得到结果.
【详解】设为对角线和的中点，则，
.由，
得.因为，，
所以 .
故答案为：B.
【点睛】(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.;(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法;(3)向
量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.
10.已知抛物线：，定点，，点是抛物线上不同于顶点的动点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据图像分析得到当直线与抛物线相切时，最大，联立直线和抛物线，使得得到参数,进而得到结果.
【详解】作出抛物线，如图所示.
由图可知，当直线与抛物线相切时，最大.
设直线的方程为，联立
得.令，得，
此时，所以.
【点睛】在处理直线和圆锥曲线的位置关系时，往往先根据题意合理设出直线方程，再联立直线和圆锥曲线方程，但要注意“直线不存在斜率”的特殊情况，如本题中利用直线不存在斜率时探究其定点，给一般情形找到了目标.
11.设等差数列的公差不为0，其前项和为，若，，则（ ）
A. 0 B. 2 C. 2019 D. 4038
【答案】C
【解析】
【分析】
设设,可知函数的奇偶性和单调性，进而得到，由等差数列的性质得到结果.
【详解】设，
易知为上的奇函数且单调递增.
而，，
所以，，
.
故答案为：C.
【点睛】本题考查函数单调性和奇偶性的应用，以及等差数列的性质的应用，对于等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.
12.设是函数的导函数，若，且，，则下列选项中不一定正确的一项是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
原式等价于，可画出大致图像，得到A正确；由图像的变化趋势以及导函数的几何意义得到B正确；由割线的斜率的定义得到D正确，进而得到答案.
【详解】因为，所以在上单调递增.，恒有，即，
所以的图象是向上凸起的，如图所示.
所以，故A项正确；
因为反映了函数图象上各点处的切线的斜率，
由图象可知，随着的增大，的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小，
所以，故B项正确；
因为，
表示点与连线的斜率，
由图可知，故D正确；C项无法推出，
故答案为：C.
【点睛】这个题目考查了函数的凹凸性，以及导函数的几何意义，导函数的单调性能体现原函数的变化快慢，以及图像的凹凸性.
二、填空题：本题共4小题.
13.不等式组，表示的平面区域的面积为________．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据不等式组画出可行域，进而得到结果.
【详解】依据不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，
平面区域为，其中，，，所以.
故答案为：3.
【点睛】利用线性规划求最值的步骤：
(1)在平面直角坐标系内作出可行域．
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．
(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．
(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。
14.已知函数，则方程的实根个数为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
当时，将代入，得，因为可得到两曲线相切，有一个零点，又易知
