直角三角形中成比例的线段

直角三角形的射影定理

田伟德

学习目标

知识与技能：掌握直角三角形中成比例的线段的性质，并能初步用它解决“直角三角形斜边上的高”图形中的计算和证明问题.

情感与价值观：培养特殊化研究问题的方法和方程、转化思想。

学习重难点

重点：直角三角形的射影定理的证明及应用；

难点：直角三角形的射影定理的证明。

学习过程

一、知能探究

1、什么是射影？

2、已知：如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于D.

(1)图中有几条线段?

(2)图中有几个锐角?数量有何关系?

(3)图中有几对相似三角形?可写出几组比例式?

(4)观察第(3)题的结果，有几个带有比例中项的比例式?如何用一句话概括叙述这几个比例

中项的表达式?

(5)由上可得到哪些等积式?

结论:射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．

ACBD

（二）直角三角形的射影定理

直角三角形斜边上的高是 比例中项；两直角边分别是

的比例中项。

请同学们自己写出已知条件并证明。

已知：

求证：

证明：

讨论：

用勾股定理能证明射影定理吗？写出你的想法.

例1 如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D．AD=2，DB=8,

求CD、AC和BC的长．

例2.如图，⊿ABC中，顶点C在AB边上的射影为D，且CD2=AD·BD．

求证：⊿ABC是直角三角形．

例3.在⊿ABC中，∠C=90°, CD是斜边AB上的高．已知CD=60，AD=25，求BD、AB、AC、BC的长．（直接运用射影定理．） ACBDa A D O B C

C

B A D b

例4.如图，已知线段a、b，求作线段a和b的比例中项．

中考专题20 相似三角形问题

一、比例

1．成比例线段(简称比例线段)：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dcba(或a：b=c：d)，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。如果作为比例内项的是两条相同的线段，即cbba或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项。

2．黄金分割：用一点P将一条线段AB分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比，则可得出这一比值等于0·618…。这种分割称为黄金分割，分割点P叫做线段AB的黄金分割点，较长线段叫做较短线段与全线段的比例中项。

3．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

4．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

5．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。

二、相似、相似三角形及其基本的理论

1. 相似：相同形状的图形叫相似图形。相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、大小无关。

2．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似多边形对应边的比叫做相似比。

3．三角形相似的判定方法

(1)定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

(2)平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，构成的三角形与原三角形相似。

(3)两个三角形相似的判定定理

判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。 判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。

第1页 共8页 22.1.4 平行线分线段成比例

教学目标

【知识与技能】

1.使学生在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理及其推论,并会灵活应用.

2.使学生掌握三角形一边的平行线的判定定理.

【过程与方法】

通过学习定理再次锻炼类比的数学思想,能把一个稍复杂的图形分成几个基本图形,通过应用锻炼识图能力和推理论证能力.

【情感、态度与价值观】

通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般,并能欣赏数学表达式的对称美,提高学习数学的兴趣.

重点难点

【重点】

平行线分线段成比例定理和推论及其应用.

【难点】

平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用.

教学过程

一、复习引入

教师多媒体课件出示:

1.求下列各式中x∶y的值.

第2页 共8页 (1)3x=7y; (2)y=x;(3)y∶x=4∶7.

2.已知x∶2=y∶3=z∶6,求(x+y-z)∶(4x+6y+z).

教师找两位学生分别板演1、2题,其余同学在下面做,教师巡视,然后集体订正.

二、共同探究,获取新知

师:平行于三角形一边的直线,在另外两边上截得的线段是怎样的呢?

生:……

教师多媒体课件出示:

已知:如图,过△ABC的AB边上任意一点D作直线DE平行于BC,交AC于点E,求证:=.

师:你能证明这个问题吗?

学生思考、讨论.

教师边操作边讲解:我们可以作辅助线,连接BE、CD,再过点E作AB上的垂线段h.

师:现在你能猜出可以转化为哪两个三角形的面积之比吗?

第3页 共8页 学生思考后回答:能,可以转化为△ADE和△BDE的面积之比.

师:你是怎样得到的呢?

生:△ADE的面积等于AD与h乘积的一半,△BDE的面积等于BD与h乘积一半,所以==.

师:你回答得太好了!我们要证的是=,我们把AD与DB的比转化为了两个三角形的面积之比.再证出什么就能得到结论了?

学生思考后回答:再证出=.

师:对,你们太聪明了!你怎么证明这个相等关系呢?

1

4.3共边比例定理及应用

共边比例定理

若线段PQ所在直线与线段AB所在直线相交于点M，则

QMPMsSQABPAB (4.3-1)

证明如图4-13，图形有四种情形：

对于图4-13(a)，由P作PE⊥直线AB于E，由Q作QF⊥直线AB于F，则由Rt△PEM ∽ Rt△QFM，有

QMPMQFPE

于是 QMPMQFPEQFABPEABssQABPAB2121

同理，可证得其他三种情况．

共边比例定理可以看作是同底三角形面积之比等于其高之比的推广．

例1 用共边比例定理证明塞瓦定理及其逆定理．

证明 仅证共点情形．如图4-14，在△ABC中，若AD、BE、CF相交于点P，则由共边比例定理，有

,.,,APBBPCAPCAPBBPCAPCssAECEssCDBDssBFAF

以上三式相乘，即得

.1.....APBBPCAPCAPBBPCAPCssssssEACECDBDFBAF

反之，若有 .1..EACEDCBDBFFA

记EACEDCBDFBAF,,设CF与BE交于P，AD与BE交于./P由共边比例定理，有

PBCPACCPAPELCPBCPEssssSSPBPE....

2

,1..FBAFEACECEFBAFCACE

BAPCAPCAPEAPBAPEAPssSSSsBPEP/1////.//∧

)1(1..BDDCECAEAEBDDCACAE

由已知有,1故,1于是BPEPPBPE//可见P与/P重合，即AD、BE、CF三线共点．

注 用共边比例定理也可证明梅涅劳斯定理，如图4-1，由BCAC//ABAACBABBAxAABAssABCBssCABAss////1,,三式相乘，即证．其逆定理的证明也类似于上例．