人教新课标版数学高一- 人教A版必修二 4.2.3直线与圆的方程的应用

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高中数学 4.2.3 直线与圆的方程的应用

问题导学

一、直线与圆的方程的实际应用

活动与探究1

有一种大型商品，A，B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每千米的运费A地是B地的两倍，若A，B两地相距10千米，顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？

迁移与应用

一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70

km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？

利用直线与圆的方程解决实际问题的程序是：(1)认真审题，明确题意；(2)建立直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与圆的方程；(3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；(4)把代数结果还原为实际问题的解释．

二、坐标法在平面几何中的应用

活动与探究2

如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作一圆C与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆O交于E，F，且EF与CD相交于H．

求证：EF平分CD．

迁移与应用

AB为圆的定直径，CD为直径，过点D作AB的垂线DE，延长ED到P，使|PD|＝|AB|，求证：直线CP必过一定点．

坐标法解决几何问题，要先建立适当的坐标系，用坐标、方程表示出相应的几何元素，打印版

高中数学 如点、直线、圆等，将几何问题转化为代数问题来解决，通过代数的运算得到结果，分析结果的几何意义，得到几何结论．其中建立适当的坐标系是解题的关键，一般建系时要坚持如下原则：

①若有两条互相垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴；

②充分利用图形的对称性；

③让尽可能多的点落到坐标轴上，或关于坐标轴对称；

④关键点的坐标易于求得．

三、与圆有关的最值问题

活动与探究3

已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0．求：

(1)yx的最大值和最小值；

(2)y－x的最大值和最小值；

(3)x2＋y2的最大值和最小值．

迁移与应用

1．已知直线l：3x＋4y－1＝0，圆x2＋y2＋6x＋8＝0上的点到直线l的最小距离是__________，最大距离是__________．

2．实数x，y满足x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，求yx－4的最大值和最小值．

求与圆上的点的坐标有关的最值问题时，常常根据式子的结构特征，寻找它的几何意义，进而转化成与圆的性质有关的问题解决，其中构造斜率、截距、距离是最常用的方法．

当堂检测

1．过圆x2＋y2－8x－2y＋10＝0内一点M(3,0)的最长弦所在直线的方程是( )

A．2x－y－6＝0 B． 2x＋y－6＝0

C．x＋y－3＝0 D．x－y－3＝0

2．实数x，y满足x2＋y2－4y＋3＝0，则yx的取值范围是( )

A．[－3，3] B．(－∞，3)

C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3]∪[3，＋∞)

3．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为( ) 打印版

高中数学 A．0.5小时 B．1小时 C．1.5小时 D．2小时

4．直线l：x－2y－3＝0与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝9交于E，F两点，则△EOF(O是坐标原点)的面积为________．

5．如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的直径为________．

提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．

答案：

课前预习导学

【预习导引】

(1)适当 坐标和方程 代数 (2)代数问题 (3)代数运算结果

课堂合作探究

【问题导学】

活动与探究1 思路分析：建系，把实际问题转化为数学问题求解．

解：以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如图所示．

设A(－5,0)，则B(5,0)．

在坐标平面内任取一点P(x，y)，设从A地运货到P地的运费为2a元/千米，则从B地打印版

高中数学 运货到P地的运费为a元/千米．

若P地居民选择在A地购买此商品，则2a(x＋5)2＋y2＜a(x－5)2＋y2，整理得x＋2532＋y2＜2032．即点P在圆C：x＋2532＋y2＝2032的内部．

也就是说，圆C内的居民应在A地购物．

同理可推得圆C外的居民应在B地购物．

圆C上的居民可随意选择A，B两地之一购物．

迁移与应用 解：以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图所示)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2+y2=9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为1,74xy即4x+7y－28=0，圆心(0,0)到直线4x+7y－28=0的距离d=222828,6547半径r=3．∵d＞r，∴直线与圆相离，∴轮船不会受到台风的影响．

活动与探究2 思路分析：建立适当坐标系，设出圆O和圆C的方程，利用两圆相交求公共弦的方程，证明CD与EF的交点是线段CD的中点．

证明：以AB所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系．

如图，设|AB|=2r，D(a,0)， 打印版

高中数学 则|CD|=22ra，∴C(a，22ra)．∴圆O：x2＋y2＝r2，圆C：(x－a)2＋(y－r2－a2)2＝r2－a2．

两方程作差得直线EF的方程为2ax＋2r2－a2y＝r2＋a2．

令x＝a，得y＝12r2－a2，

∴Ha，12r2－a2，即H为CD的中点．∴EF平分CD．

迁移与应用 证明：以线段AB所在的直线为x轴，

以AB的中点为原点，建立直角坐标系，如图，设圆的方程为x2+y2=r2，直径AB位于x轴上，动直径为CD．

令C(x0，y0)，则D(－x0，－y0)，

∴P(－x0，－y0－2r)．

∴直线CP的方程为y－y0＝－y0－2r－y0－x0－x0(x－x0)，即(y0＋r)x－(y＋r)x0＝0．

∴直线CP过直线x＝0与直线y＋r＝0的交点(0，－r)，即直线CP过定点(0，－r)．

活动与探究3 思路分析：本题可将yx和y－x转化成与直线斜率、截距有关的问题，x2＋y2可看成是点(x，y)与点(0,0)距离的平方，然后结合图形求解．

解：(1)如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆． 打印版

高中数学

设yx＝k，即y＝kx，易知圆心(2,0)到y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．

由|2k－0|k2＋1＝3，解得k2＝3．

∴k＝3或k＝－3．

∴yx的最大值为3，最小值为－3．

(2)设y－x＝b，则y＝x＋b，由点到直线的距离公式，得|2－0＋b|2＝3，即b＝－2±6．

∴y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6．

(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点的距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43．

迁移与应用 1．1 3 解析：圆心到直线的距离加、减圆的半径，就是所求的最大值与最小值．∵圆的方程为(x＋3)2＋y2＝1，

∴|3×(－3)＋4×0－1|32＋42±1＝2±1．∴最小距离为1，最大距离为3．

2．解：原方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，表示以P(－1,2)为圆心，2为半径的圆．

设k＝yx－4，几何意义是：圆上点M(x，y)与点Q(4,0)连线的斜率． 打印版

高中数学

由图可知当直线MQ是圆的切线时，k取最大值与最小值．

设切线为y－0＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0．

圆心P到切线的距离|－k－2－4k|k2＋1＝2，化简为21k2＋20k＝0，解得k＝0或k＝－2021．

∴yx－4的最大值为0，最小值为－2021．

【当堂检测】

1．D 2．D 3．B

4．655

5．13米