高中数学 4.2.3直线与圆的方程的应用学案 新人教A版必修2
- 格式：doc
- 大小：180.50 KB
- 文档页数：3
直线与圆的方程的应用
（1）利用“坐标法”解决问题的需要准备什么工作？
（2）如何建立直角坐标系，才能易于解决平面几何问题？
（3）你认为学好“坐标法”解决问题的关键是什么？
（4）建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有什么直接的影响呢？
例 图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度AB = 20m，拱高OP = 4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01m).
解析：建立图所示的直角坐标系，使圆心在y轴上.设圆心的坐标是(0，b)，圆的半径是r，那么圆的方程是x2 + (y – b)2 = r2.
下面确定b和r的值.因为P、B都在圆上，所以它们的坐标(0，4)，(10，0)都满足方程x2 + (y – b)2 = r2.于是，得到方程组
2222220(4),10(0)brbr解得
b = –10.5，r2 = 14.52所以，圆的方程是
x2 + (y + 10.5)2 = 14.52.把点P2的横坐标x = –2代入圆的方程，得
(–2)2 + (y + 10.5)2 = 14.52，取2210.514.5(2)y(P2的纵坐标y＞0平方根取正值).所以
2214.5(2)10.5y≈14.36 – 10.5
=3.86(m)
经典习题
例1 一圆形拱桥，现时的水面宽为22米，拱高为9米，一艘船高7.5米，船顶宽4米的船，能从桥下通过吗？
【解析】建立坐标系如图所示：
C(–11，0 )，D(11，0)，M(0，9) 可求得过C、D、M三点的圆的方程是22220101()()99xy
故A点坐标是(2，y1)，则22120101()()499y
得y1≈8.82，(取y1＞0)
∴y1＞7.5，因此船不能从桥下通过.
例2 设半径为3km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，A向东，B向北，A出村后不久改变前进方向，斜着沿切于村落圆周的方向前进，后来恰好与B相遇，设A、B两人的速度一定，其比为3:1，问A、B两人在何处相遇.
【解析】由题意以村中心为原点，正东方向为x轴的正方向，正北为y轴的正方向，建立直角坐标系，设A、B两人的速度分别的为3vkm/h，vkm/h，设A出发ah，在P处改变方向，又经过bh到达相遇点Q，则P(3av，0)Q (0，(a + b)v)，则
|PQ| = 3bv，|OP| = 3av，|OQ| = （a + b）v
在Rt△OPQ中|PQ|2 = |OP|2 + |OQ|2 得5a = 4b
0()30PQvabkav
∴34PQk
设直线PQ方程为34yxb
由PQ与圆x2 + y2 = 9相切，22|4|343b
解得154b
故A、B两人相遇在正北方离村落中心154km.
例3 有一种商品，A、B两地均有售且价格相同，但某居住地的居民从两地往回运时，每单位距离A地的运费是B地运费的3倍.已知A、B相距10km，问这个居民应如何选择A地或B地购买此种商品最合算？(仅从运费的多少来考虑)
【解析】以AB所在的直线为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系.
|AB| = 10，所以A(–5，0)，B(5，0) 设P(x，y)是区域分界线上的任一点，并设从B地运往P地的单位距离运费为a，即从B地运往P地的运费为|PB|·a，则运住A地的运费|PA|·3a
当运费相等时，就是|PB|·a = 3a·|PA| ，
即22223(5)(5)xyxy
整理得2222515()()44xy ①
所以在①表示的圆周上的居民可任意选择在A或B地购买，在圆内的居民应选择在A地购买，在圆外的居民应选择在B地购买.
