人教版高中数学必修二4.2.3直线与圆的方程的应用(一)1

4.1.2 圆的一般方程

【学习目标】：1．在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件．

2．能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。

【学习重点】：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F．

【学习难点】：对圆的一般方程的认识、掌握和运用。

学习过程

复习引入

圆的标准方程：_______ ________，圆心_______ __半径____ _。

探究1：把圆的标准方程展开，并整理得：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0。取

222,2,2rbaFbEaD得022FEyDxyx这个方程是圆的方程．反过来给出一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？

基础知识

把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0配方得 。

1．当_______时，方程表示以__________为圆心,__________为半径的圆；

2．当_______时，方程只有实数解2Dx，2Ey，即只表示一个点_________;

3．当_______时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形

综上所述，方程022FEyDxyx表示的曲线不一定是圆只有当0422FED时，它表示的曲线才是圆，我们把形如022FEyDxyx的表示圆的方程称为圆的一般方程

圆的一般方程的特点：

① x2和y2的系数都为1. ② 没有xy这样的二次项．

③ 圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．

④ 与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

1 直线的倾斜角和斜率

3.1倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.

2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°.

3、直线的斜率:

一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα

⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;

⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.

由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.

4、 直线的斜率公式:

给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：

斜率公式: k=y2-y1/x2-x1

3.1.2两条直线的平行与垂直

1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即

注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2

2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即

基础卷

一．选择题：

1．下列命题中，正确的命题是

（A）直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα

（B）直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α

（C）任何一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率

（D）直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0或π

2．直线l1的倾斜角为30°，直线l2⊥l1，则直线l2的斜率为

（A）3 （B）－3 （C）33 （D）－33

第 1 页 共 11 页 人教版高中数学必修二教学讲义-直线与圆的方程的应用

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课 题 直线与圆的方程的应用复习

课 型 □ 预习课 □ 同步课 ■ 复习课 □ 习题课

授课日期及时段

教 学 内 容

直线与圆的方程的应用复习

【要点梳理】

知识点一、用直线与圆的方程解决实际问题的步骤

1．从实际问题中提炼几何图形；

2．建立直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面问题转化为代数问题；

3．通过代数运算，解决代数问题；

4．将结果“翻译”成几何结论并作答．

知识点二、用坐标方法解决几何问题的“三步曲”

用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆；然后对坐标和方程进行代数运算；最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”.

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题；

第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.

要点诠释：

坐标法的实质就是借助于点的坐标，运用解析工具(即有关公式)将平面图形的若干性质翻译成若干数量关系.在这里，代数是工具、是方法，这是笛卡儿解析几何的精髓所在.

知识点三、用坐标法解决几何问题时应注意以下几点

1．建立直角坐标系时不能随便，应在利于解题的原则下建立适当的直角坐标系；

2．在实际问题中，有些量具有一定的条件，转化成代数问题时要注意范围；

3．最后要把代数结果转化成几何结论．

【典型例题】

类型一：直线与圆的方程的实际应用 第 2 页 共 11 页 例1．有一种大型商品，A、B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A地是B地的两倍，若A、B两地相距10公里，顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？

1 高中数学 直线和圆的方程综合练习（1)苏教版必修2

一、填空题

1在直角坐标系中，直线330xy的倾斜角是 ．

2.直线l经过A（2，1）、B（1，m2）(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是 ．

3. 若圆2244100xyxy上至少有三个不同点到直线l:0axby的距离为22,则直线l的倾斜角的取值范围是 ．

4. 直线00abcbyax截圆522yx所得弦长等于4，则以|a|、|b|、|c|为边长的确定三角形一定是 ．

5. 已知直线1l的方程为yx，直线2l的方程为0axy（a为实数）．当直线1l与直线2l的夹角在（0，12）之间变动时，a的取值范围是 ．

6若直线1kxy与圆122yx相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°（其中O为原点），则k的值为 ．

7．如果点P在平面区域22020210xyxyy≥≤≥上，点Q在曲线22(2)1xy上，那么PQ的最小值为 ．

8．若曲线x2+y2+a2x+(1–a2)y–4=0关于直线y–x=0的对称曲线仍是其本身，则实数a= ．

9．已知圆22:1Cxy，点A（－2，0）及点B（2，a），从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围是 ．

10．在圆x2+y2＝5x内，过点)23,25(有n条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项a1，最大弦长为an，若公差]31,61[d，那么n的取值集合为 ．

11．点P（a，3）到直线0134yx的距离等于4，且在不等式032yx表示的平面区域内，则点P的坐标是 .

12．将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A(0，2)与点B(4，0)重合．若此时点C(7，3)与点D(m，n)重合，则m＋n的值是 ．