高一数学人教A版必修2：4-2-3 直线与圆的方程的应用

4.1.2 圆的一般方程

知识导图

学法指导

1.准确把握圆的一般方程的结构形式，理解各个字母的意义；把握圆的一般方程与标准方程的互化；体会待定系数法求圆的一般方程的步骤．

2．明确求动点的轨迹及轨迹方程的步骤，弄清楚轨迹与轨迹方程的区别．

高考导航

1.圆心坐标及半径长的确定或与直线方程的综合是考查的热点，多以选择题、填空题的形式出现，分值5分．

2．考查动点的轨迹(方程)，各种题型均有可能出现，分值4～6分.

知识点一 圆的一般方程

1．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当D2＋E2－4F>0时，该方程叫作圆的一般方程．

2．圆的一般方程下的圆心和半径：

圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)表示的圆的圆心为－D2，－E2，半径长为D2＋E2－4F2.

知识点二 求动点的轨迹方程的方法

求动点的轨迹方程，就是根据题意建立动点的坐标(x，y)所满足的关系式，并把这个方程化成最简形式，如果题目中没有坐标系，那么就要先建立适当的直角坐标系． 求轨迹方程的一般步骤为：

圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F为常数)具有以下特点：

(1)x2，y2项的系数均为1；

(2)没有xy项；

(3)D2＋E2－4F>0.

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)方程x2＋y2＋x＋1＝0表示圆．( )

(2)方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆．( )

答案：(1)× (2)√

2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )

A．(2,3) B．(－2,3)

C．(－2，－3) D．(2，－3)

解析：D＝－4，E＝6，则圆心坐标为(2，－3)．

答案：D

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高中数学 4．2.1 直线与圆的位置关系

基础梳理

直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断如下表所示：

位置关系 相交 相切 相离

公共点个数 2个 1个 0个

判定方法

几何法：设圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2

dr

代数法：由

Ax＋By＋C＝0（x－a）2＋（y－b）2＝r2

消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0

练习1：直线x＋y＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是相交．

练习2：(1)直线x＋y＝0与圆x2＋y2＝2联立求解知其解为(1，－1)或(－1，1)，故直线与圆的位置关系为相交．

(2)直线x＋y＝2与圆x2＋y2＝2联立求解知其解为(1，1)．故直线与圆的位置关系为相切．

►思考应用

如何求直线被圆所截得的弦长？

解析：①应用圆中直角三角形：半径r，圆心到直线的距离d，弦长l打印版

高中数学 具有的关系：r2＝d2＋l22.

②利用弦长公式：设直线l：y＝kx＋b，与圆两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝1＋k2|x1－x2|＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2].

自测自评

1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(B)

A．相切 B．相交但直线不过圆心

C．直线过圆心 D．相离

解析：圆心(0，0)到直线的距离为|1|12＋12＝12<1，且(0，0)不在直线y＝x＋1上，故选B.

2．下列说法中正确的是(D)

A．若直线与圆有两个交点，则直线与圆相切

B．与半径垂直的直线与圆相切

C．过半径外端的直线与圆相切

D．过圆心且与切线垂直的直线过切点

解析：A为相交，B、C中的直线有无数条．

3．直线y＝x－1上的点到圆x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的最近距离为(C)

A．22 B.2－1

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高中数学 4.1.2 圆的一般方程

问题导学

一、圆的一般方程的定义

活动与探究1

判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．

迁移与应用

1．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是( )

A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0

C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0

2．下列方程能表示圆的是________．

(1)x2＋y2＋2x＋1＝0；(2)x2＋y2＋2ay－1＝0；

(3)x2＋y2＋20x＋121＝0；(4)x2＋y2＋2ax＝0．

3．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围及圆心坐标和半径．

形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：

(1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F＞0，则表示圆，否则不表示圆；

(2)将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方为

x＋D22＋y＋E22＝D2＋E2－4F4求解．

二、求圆的一般方程

活动与探究2

△ABC的三个顶点分别为A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)，求其外接圆的方程．

迁移与应用

求经过点C(－1,1)和D(1,3)且圆心在直线y＝x上的圆的一般方程．

用待定系数法求圆的方程：

(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r．

(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出参数D，E，F． 打印版

高中数学 三、求动点的轨迹方程

活动与探究3

已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半．

(1)求动点M的轨迹方程；

(2)若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．

迁移与应用

1．到两个点A(－1,2)，B(3，－4)的距离相等的点的轨迹方程是________．

《 直线与圆的位置关系》说课稿

王丽莎

尊敬的老师：

下午好！

今天我说课的课题是人教A版必修2第二章第二节《直线与圆的位置关系》。

我尝试利用新课标的理念来指导教学，对于本节课，我将以“教什么，怎么教，为什么这样教”为思路，从教材分析、目标分析、教法学法分析、教学过程分析和评价分析五个方面来谈谈我对教材的理解和教学的设计，敬请各位老师批评指正。

一、教材分析

地位和作用

学生在初中的学习中已经了解直线与圆的位置关系，并知道可以利用直线与圆的交点的个数以及圆心与直线的距离d与半径r的关系判断直线与圆的位置关系。但是，在初中学习时，利用圆心与直线的距离d与半径r的关系判断直线与圆的位置关系的方法却以结论性的形式呈现。在高一学习了解析几何后，要考虑的问题是如何掌握由直线和圆的方程判断直线与圆的位置关系的方法。解决问题的方法主要是几何法和代数法。其中几何法应该是在初中学习的基础上，结合高中所学的点到直线的距离公式求出圆心与直线的距离d后，比较与半径r的关系。从而作出判断，适可而止第引进用联立方程组转化为二次方程判别根的“纯代数判别法”，并与“几何法”欣赏比较，以决优劣，从而也深化了基本的“几何法”。含参数的问题、简单的弦的问题、切线问题等综合问题作为进一步的拓展提高或综合应用，也适度第引入课堂教学中，但以深化“判定直线与圆的位置关系”为目的，要控制难度。虽然学生学习解析几何了，但是把几何问题代数化无论是思维习惯还是具体转化方法，学生仍是似懂非懂，因此应不断强化，逐渐内化为学生的习惯和基本素质。

二、目标分析

（一）、教学目标

1、知识与技能

⑴在教师引导下，能将直线、圆的位置关系的实际问题坐标化，进一步培养学生“用数学”的意识

⑵能根据给定直线、圆的方程判断直线、圆的位置关系，通过观察、验证、推理与交流等数学活动，找到判断直线、圆的位置关系的一般方法；

⑶能利用直线、圆的位置关系解决有关的简单问题，提升学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力