2017届北师大版 变化率与导数、导数的计算 单元测试

第三章 §4一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知函数f (x )＝x e x 则f ′(2)等于( )A ．3e 2B ．2e 2C ．e 2D ．2ln 2解析： f ′(x )＝(x )′e x ＋x (e x )′＝e x ＋x e x ，∴f ′(2)＝e 2＋2e 2＝3e 2，故选A.答案： A2．设f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( )A.193 B ．163C.133 D ．103解析： f ′(x )＝3ax 2＋6x ，f ′(－1)＝3a －6＝4，所以a ＝103.答案： D3．若f (x )＝－2e x sin x ，则f ′(x )等于( )A ．－2e x cos xB ．－2e x sin xC ．2e x sin xD ．－2e x (sin x ＋cos x )解析： y ′＝－2(e x sin x )′＝－2[(e x )′sin x ＋e x (sin x )′]＝－2[e x sin x ＋e x cos x ]＝－2e x (sin x ＋cos x )．答案： D4．已知f (x )＝x 2＋2x ·2f ′(1)，则f ′(0)等于( )A ．0B ．－2C ．－4D ．－6解析： f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2，故得f ′(x )＝2x －4.∴f ′(0)＝－4.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．若函数f (x )＝x －sin x 2cos x 2的导数为g (x )，则函数g (x )的最小值为________． 解析： 由于f ′(x )＝(x －sin x 2cos x 2)′＝⎝⎛⎭⎫x －12sin x ′ ＝x ′－⎝⎛⎭⎫12sin x ′＝1－12cos x ， 所以g (x )＝1－12cos x ， 故函数g (x )的最小值等于12. 答案： 126．曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为________．解析： ∵f ′(x )＝(x e x ＋2x ＋1)′＝e x ＋x e x ＋2，∴f ′(0)＝3.∴函数f (x )在点(0,1)处的切线方程为y －1＝3x ，即y ＝3x ＋1.答案： y ＝3x ＋1三、解答题(每小题10分，共20分)7．求下列函数的导数：(1)y ＝x 2sin x； (2)y ＝x ＋3x 2＋3； (3)y ＝x sin x －2cos x. 解析： (1)y ′＝(x 2)′sin x －x 2(sin x )′sin 2x ＝2x sin x －x 2cos x sin 2x； (2)y ′＝1·(x 2＋3)－2x (x ＋3)(x 2＋3)2＝－x 2－6x ＋3(x 2＋3)2； (3)y ′＝(x sin x )′－(2cos x)′， ＝sin x ＋x cos x －(cos x )·2′－2(cos x )′cos 2x＝sin x ＋x cos x －2sin x cos 2x. 8．设定函数f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a ＞0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1,4.当a ＝3且曲线y ＝f (x )过原点时，求f (x )的解析式．解析： 由f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d 得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ，因为f ′(x )－9x ＝ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两个根分别为1,4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＋c －9＝016a ＋8b ＋c －36＝0(*)， 当a ＝3时，(*)式为⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c －6＝08b ＋c ＋12＝0， 解得b ＝－3，c ＝12，又因为曲线y ＝f (x )过原点，所以d ＝0，故f (x )＝x 3－3x 2＋12x . 尖子生题库☆☆☆9．(10分)(1)设f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )，求f ′(0)；(2)利用导数求和：S n ＝1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1(x ≠0且x ≠1，n ∈N ＋)． 解析： (1)令g (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )，则f (x )＝x ·g (x )，∴f ′(x )＝x ′·g (x )＋x ·g ′(x )＝g (x )＋x ·g ′(x )，∴f ′(0)＝g (0)＝1×2×3×4×…×n .(2)∵x ＋x 2＋x 3＋…＋x n＝x (1－x n )1－x (x ≠1且x ≠0)． 对上式两边求导，得：1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x n ＋11－x ′＝[1－(n ＋1)x n ](1－x )＋x －x n ＋1(1－x )2，∴S n ＝1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1 ＝1－(n ＋1)x n ＋nx n ＋1(1－x )2.。

第二章 变化率与导数单元检测(时间：45分钟，满分：100分)一、选择题(每题5分，共40分) 1．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为4π的点是( )． A ．(0,0)B ．(2,4)C ．11,416⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,24⎛⎫⎪⎝⎭2．f (x )＝3－x，则f ′(0)＝( )． A ．1 B ．log 3e C ．ln 3D ．－ln 33．曲线f (x )＝13x 3＋x 上点41,3⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )． A ．19B ．29C ．13D ．234．函数f (x )＝e xcos x 的图像在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( )． A ．0B ．4π C ．1 D ．2π 5．抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 上点(1,2)处的切线与其平行线bx ＋y ＋c ＝0间距离为( )．A ．4B ．2C ．2D6．若f (x )＝log 3(2x －1)，则f ′(3)＝( )． A ．23B ．2ln 3C ．23ln 3D ．25ln 37．曲线y ＝e －x－e x的切线的斜率的最大值为( )． A ．2 B ．0 C ．－2D ．－48．下列图像中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图像，则f (－1)等于( )．A ．13-B ．13C ．73D ．13-或73二、填空题(每题5分，共15分) 9．曲线f (x )＝2－12x 2与g (x )＝14x 3－2在交点处切线的夹角的正切值为__________． 10．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2，则函数y ＝f (x )的解析式为__________．11．函数f(x)＝mx2m＋n的导数为f′(x)＝4x3，则m＋n＝__________.三、解答题(每题15分，共45分)12．设f(x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x，试确定常数a，b，c，d，使得f′(x)＝x cos x.13．若函数y＝f(x)在区间(－a，a)(a＞0)内为偶函数且可导，试讨论y＝f′(x)在(－a，a)内的奇偶性．14．设直线l1与曲线y相切于点P，直线l2过点P且垂直于l1，若l2交x轴于Q，又作PK垂直于x轴于K，求KQ的长．参考答案1.答案：D 解析：y′＝(x2)′＝2x＝1，∴x＝12，y＝21124⎛⎫=⎪⎝⎭，∴点的坐标为11,24⎛⎫⎪⎝⎭.2.答案：D 解析：f′(x)＝(3－x)′＝3－x ln 3·(－x)′＝－3－x ln 3，∴f′(0)＝－30ln 3＝－ln3.3.答案：A 解析：f′(x)＝x2＋1，∴k＝f′(1)＝2，切线方程为y－43＝2(x－1)，即y＝2x－23.令x＝0，y＝23-，令y＝0，x＝13.∴S△＝1211 2339⨯⨯=.4.答案：B 解析：f′(x)＝(e x cos x)′＝(e x)′cos x＋e x(cos x)′＝e x cos x－e x sin x，∴k＝f′(0)＝e0cos 0－e0sin 0＝1，∴倾斜角为π4.5.答案：B 解析：由抛物线过点(1,2)，得b＋c＝1，又f′(1)＝2＋b，即2＋b＝－b，∴b＝－1，∴c＝2，故所求切线方程为x－y＋1＝0.∴两平行直线：x－y－2＝0和x－y＋1＝0之间的距离为d==6.答案：D 解析：f′(x)＝(log3(2x－1))′＝(21)2(21)ln3(21)ln3xx x'-=--，∴f′(3)＝25ln3.7.答案：B 解析：y′＝k＝－e－x－e x＝－(e－x＋e x)＝1eexx⎛⎫-+⎪⎝⎭≤-2，当且仅当1e x＝e x，即x＝0时，等号成立．8.答案：A 解析：f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝(x＋a)2－1，由a≠0知f′(x)的图像为第(3)个．因此f′(0)＝0，故a＝－1，∴f(－1)＝13 -.9.答案：1 解析：联立方程得x3＋2x2－16＝0，得交点(2,0)，而k1＝f′(2)＝－2，k2＝g′(2)＝3，∴由夹角公式得t an θ＝12121k k k k -+＝1.10. 答案：f (x )＝x 2＋2x ＋1 解析：设f (x )＝a (x －m )2，则f ′(x )＝2a (x －m )＝2ax －2am ＝2x ＋2，∴a ＝1，m ＝－1，∴f (x )＝(x ＋1)2＝x 2＋2x ＋1.11. 答案：3 解析：由于f ′(x )＝m (2m ＋n )x 2m ＋n －1＝4x 3，∴(2)4,21 3.m m n m n +=⎧⎨+-=⎩解得1,2,m n =⎧⎨=⎩∴m ＋n ＝3.12. 解：f ′(x )＝[(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ]′ ＝[(ax ＋b )sin x ]′＋[(cx ＋d )cos x ]′＝(ax ＋b )′sin x ＋(ax ＋b )(sin x )′＋(cx ＋d )′cos x ＋(cx ＋d )(cos x )′ ＝a sin x ＋(ax ＋b )cos x ＋c cos x －(cx ＋d )sin x ＝(a －cx －d )sin x ＋(ax ＋b ＋c )cos x ＝x cos x ，∴0,,a d cx ax b c x --=⎧⎨++=⎩∴a ＝d ＝1，b ＝c ＝0.13. 解：f ′(－x )＝0()()lim x f x x f x x ∆→-+∆--∆＝0()()lim x f x x f x x∆→-∆-∆＝0()()lim(1)x f x x f x x∆→-∆---∆＝－f ′(x )， ∴f ′(x )为奇函数．14. 解：设P (x 0，y 0)，则k 1＝f ′(x 0)由l 2和l 1垂直，故k 2＝-∴l 2的方程为y －y 0＝-x －x 0)． 令y Q ＝0，∴－y 0＝-x Q －x 0)，∴-x Q －x 0)，解得x Q ＝12＋x 0，易得x K ＝x 0， ∴|KQ |＝|x Q －x K |＝12.。

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（二) 变化率与导数(时间120分钟,满分150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.某质点沿直线运动的位移方程为f（x）＝－2x2＋1，那么该质点从x＝1到x＝2的平均速度为( )A.－4 B。

－5C.－6 D。

－7【解析】错误!＝错误!＝错误!＝－6。

【答案】C2。

设曲线y＝ax2在点（1，a）处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝（)A。

1 B.错误!C。

－错误!D。

－1【解析】y′＝2ax,于是切线斜率k＝f′(1）＝2a，由题意知2a＝2,∴a＝1.【答案】A3。

下列各式正确的是( )A。

（sin α)′＝cos α（α为常数）B.（cos x)′＝sin xC。

(sin x)′＝cos xD.(x－5）′＝－错误!x－6【解析】由导数公式知选项A中（sin α）′＝0；选项B中（cos x）′＝－sin x；选项D中(x－5)′＝－5x－6。

【答案】C4。

设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x,则a等于（)A。

0 B。

1 C。

2 D。

3【解析】令f(x）＝ax－ln（x＋1)，则f′（x）＝a－1x＋1。

一、选择题1．若曲线2ln (0)y a x x a =+>的切线的倾斜角的取值范围是,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，则a =（ ） A ．124 B ．38C ．34D ．322．函数()()23103f x ax x x =->的图象存在与直线20x y -+=平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．[)1,+∞C ．(][),11,-∞-+∞D ．()(),11,-∞-+∞ 3．已知函数()0sin cos f x x x =+，()()'1f x f x =，()()'21f x f x =，…，()()'1n nf x f x +=，n N ∈，那么()2020f x =（ ）A ．cos sin x x -B ．sin cos x x -C ．sin cos x x +D ．sin cos x x --4．若函数231()(0)3f x ax x x =->的图象存在与直线20x y -+=平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞ B ．(],1-∞-C ．(][),11,-∞-+∞ D ．(](),11,-∞-+∞5．设函数的定义域为D ，若满足条件：存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称()f x 为“倍缩函数”．若函数()2xt f x e =+为“倍缩函数”，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(],1ln 2-∞-- B ．(),1ln2-∞--C ．[)1ln 2,++∞D ．()1ln 2,++∞6．已知函数()2bf x x ax =+的导数()23f x x '=+，则数列()()*12n f n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭N 的前n项和是（ ）A ．1nn +B ．()121n n -+C ．()22n n +D ．()()12nn n ++7．设点P 是曲线31y =+， (11)x -<<上的任意一点，P 点处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（ ） A ．2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．50,,26πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭D ．5,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭8．若过点()1,P m 可作两条不同直线与曲线段C ：22y x x =+ (12)x -≤≤相切，则m 的取值范围是（ ） A ．()1,3-B ．[]1,2-C ．[]2,3D ．[)2,39．已知函数21()ln f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则曲线()f x 在1x =-处切线方程为（） A ．230x y -+= B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．20x y ++=10．已知()21cos 4f x x x =+，f x 为f （x ）的导函数，则()y f x ='的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．若直线l 与函数()x f x e =和()ln 2g x x =+的图象都相切，则k =（ ） A ．2或eB ．1或eC ．0或1D ．e12．给出定义：若函数()f x 在D 上可导，即'()f x 存在，且导函数'()f x 在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数，记''()('())'f x f x =，若''()0f x <在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数．以下四个函数在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不是凸函数的是 （ ） A ．()sin cos f x x x =+ B ．()ln 2f x x x =- C ．3()21f x x x =-+-D ．()e x f x x -=-二、填空题13．如图，直线l 是曲线()y f x =在4x =处的切线，则(4)(4)f f '+=____________.14．已知函数()f x 的导函数为(x)f '，若32()(1)2f x x f x '=+-，则(1)f '的值为___. 15．设曲线1cosx y sinx +=在点π,12⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与直线x ay 10-+=平行，则实数a =______．16．若直线与曲线（是自然对数的底数）相切，则实数________.17．函数()22,1,,1x x ax x f x e x a x ⎧-<-⎪=⎨--≥-⎪⎩有3个不同零点，则实数a 的取值范围____18．已知函数ln ()(0)xf x x a ax=-≠在点(1,(1))f 处的切线1l 与在点(,())e f e 处的切线2l 互相垂直，则1l 与2l 的交点坐标为_____．19．曲线2x y x e =+在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为_______． 20．正弦曲线sin y x =上一点P ，正弦曲线以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是______.三、解答题21．已知函数()()x f x x k e =-，若1k =，求()f x 在1x =处的切线方程. 22．已知函数1()ln f x a x b x=++，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为21y x =+. （Ⅰ）求实数a 和b . （Ⅱ）求()f x 的最小值. 23．已知函数()()321453f x x ax ax a a R =+-+∈． ()1若曲线()y f x =存在两条垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围；()2若0a >且()()313g x f x x =-，()2x ax ϕ=+，当[]11,3x ∈-，[]01,3x ∈-时，不等式()()10x g x ϕ≥恒成立，求实数a 的取值范围． 24．已知函数311()32f x x =+．（1）求曲线()y f x =在点5(1,)6P 处的切线与x 轴和y 轴围成的三角形面积；（2）若过点(2,)a 可作三条不同直线与曲线()y f x =相切，求实数a 的取值范围 25．已知函数()(1)(1)x x f x x e a e =+--.（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为1，求实数a 的值； （2）当(0,)x ∈+∞时，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围. 26．已知函数()f x =()1ln e 1(ax x x +--a 为实数). (1)若e 1y x =--是曲线()f x 的一条切线,求a 的值; (2)当0e a <≤时,试判断函数()f x 的零点个数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】先求得2a y x x '=+≥=，根据曲线切线的倾斜角的取值范围是,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，得到k ≥.【详解】由题意，函数2ln (0)y a x x a =+>，可得2a y x x '=+≥=当且仅当2a x x=时，即x =时，等号成立，又由曲线2ln (0)y a x x a =+>的切线的倾斜角的取值范围是,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，可得切线的斜率的取值范围是k ≥=，解得38a =.故选：B. 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟练利用导数的几何意义求得切线的斜率，结合斜率与倾斜角的关系求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.2．B解析：B 【分析】求出导函数()'f x ，由()1f x '=有正数解求解即可． 【详解】2()2f x ax x '=-，由题意2()21f x ax x '=-=有正数解，∵0x >，∴211+1222x x a x x +==≥=，当且仅当1x =时等号成立，∴a 的取值范围是[1,)+∞． 故选：B ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查二次方程的根的分布问题，掌握导数的几何意义是解题基础，属于中档题．3．C解析：C 【分析】由题意，依次求出1234(),(),(),()f x f x f x f x ，观察所求的结果，归纳出周期性规律，求解即可 【详解】由题意得，()0sin cos f x x x =+，()10'()cos sin f x f x x x ==-， ()21'()sin cos f x f x x x ==--， ()32'()cos sin f x f x x x ==-+，()43()sin cos f x f x x x ==+，以此类推，可得()4()n n f x f x +=， 所以()20200()sin cos f x f x x x ==+， 故选：C. 【点睛】此题考查三角函数的导数，关键是通过求导计算分析其变化的规律，属于中档题.4．A解析：A 【分析】求出导函数()'f x ，由()1f x '=有正数解求解即可．【详解】2()2f x ax x '=-，由题意2()21f x ax x '=-=有正数解，∵0x >，∴2112x a x +=≥=，当且仅当1x =时等号成立， ∴a 的取值范围是[1,)+∞．故选：A ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查二次方程的分布问题，掌握导数的几何意义是解题基础．5．B解析：B 【分析】判处出()2xt f x e =+单调递增，可得2222a b t a e t b e ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，进而可得a ，b 为方程2x x t e -=的两个实根，进一步转化为函数1xy e =与22x t y -=有两个交点，求出斜率为12的切线方程为111ln 222y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，切线在y 轴上的截距为1ln 22+，只需1ln 222t +->即可. 【详解】因为函数()2xtf x e =+为“倍缩函数”， 所以存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，由于()2xt f x e =+单调递增，所以2222a b t ae t b e ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即a ，b 为方程2xx te -=的两个实根， 进一步转化为函数1xy e =与22x ty -=有两个交点， 不妨先求出与函数1xy e =相切且斜率为12的直线方程． 对于数1x y e =，求导得1x y e '=，令12xe =，解得1ln 2x =，112y =， 所以斜率为12的切线方程为111ln 222y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，该直线在y 轴上的截距为1ln 22+， 要使函数1xy e =与22x t y -=有两个交点，则1ln 222t +->，所以1ln 2t <--，故选：B ． 【点睛】本题是函数的新定义题目，考查了函数的单调性求值域、导数的几何意义求切线方程，属于中档题.6．C解析：C 【分析】利用导数求得a 、b 的值，然后利用裂项求和法可求得数列()()*12n f n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭N 的前n 项和. 【详解】()2b f x x ax =+，()21223b f x bx a x -'∴=+=+，则223b a =⎧⎨=⎩，得31a b =⎧⎨=⎩，()23f x x x ∴=+，()()()2111112321212f n n n n n n n ∴===-+++++++， 因此，数列()()*12n f n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭N 的前n 项和111111233412n S n n =-+-++-++()112222n n n =-=++.故选：C. 【点睛】本题考查利用导数求参数，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题7．A解析：A 【分析】求函数的导数，设出切点(,)P m n ，可得切线的斜率，由定义域得斜率的范围，由正切函数的性质，即可得到所求范围． 【详解】31y x =-+，(11)x -<<的导数为2y '=- 设(,)P m n ，可得切线的斜率为2tan 33k m α==-，(1m 1)-<< 即有3tan 0α-<， 可得2[3πα∈，)π． 故选：A ． 【点睛】本题考查导数的运用，求切线的斜率，考查直线的倾斜角的范围的求法，正确求导和运用导数的几何意义是解题的关键，属于基础题．8．D解析：D 【分析】设切点为()00,x y ，写出切线方程为200002(22)()y x x x x x --=+-，把(1,)m 代入，关于0x 的方程在[1,2]-上有两个不等实根，由方程根的分布知识可求解. 【详解】设切点为()00,x y ，22y x '=+,则切线方程为200002(22)()y x x x x x --=+-，(1,)P m 在切线上，可得()()220000221312m x x x x +--≤≤=-+=-+，函数2()(1)3h x x =--+(12)x -≤≤在[1,1]-上递增，在[1,2]上递减，max ()3h x =，又(1)1h -=-，(22)h =，∴如果0x 有两解，则23m ≤<.故选：D. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查方程根的分布问题。

第3章 变化率与导数单元综合检测(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．下列各式正确的是( ) A. (sin a )′＝cos a (a 为常数) B. (cos x )′＝sin x C. (sin x )′＝cos x D. (x －5)′＝－15x －6解析：由导数公式知选项A 中(sin a )′＝0；选项B 中(cos x )′＝－sin x ；选项D 中(x－5)′＝－5x －6，只有C 正确． 答案：C 2．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A. y ＝2x ＋1 x C. y ＝－2x － 2解析：∵y x ＋－x ＋x ＋2＝x ＋＝2－1＋2＝2.1＝2(x ＋1)，即 1.x 0＋－f x 0－h( )B. －D. －h →0 h＝4lim h →0f x 0＋h －f x 0－3h4h＝4f ′(x 0)＝－12. 答案：D4. 设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线的倾斜角的取值范围为[0，π4]，则点P 的横坐标的取值范围为( )A. [－1，－12]B. [－1,0]C. [0,1]D. [12，1]解析：设点P 的坐标为(x 0，y 0)． ∵y ＝x 2＋2x ＋3，∴y ′＝2x ＋2.∵曲线在点P (x 0，y 0)处的切线的倾斜角的取值范围是[0，π4]，∴曲线在点P 处的切线的斜率k ∈[0,1]．∴0≤2x 0＋2≤1. ∴－1≤x 0≤－12.答案：A5. 函数y ＝1－ln x1＋ln x 的导数是( A. －2＋ln x 2＋ln x2C. －2x＋ln x2－x＋ln x2解析：y ＝(1－ln x1＋ln x )′x －－x＋ln＋ln x 2x＋ln x －－ln x1x＋ln x22x＋ln x2.答案：C某汽车启动阶段的路程函数为)，则t ＝2时，汽车的加A. 14 B. 4 C. 10D. 6解析：v (t )＝s ′(t )＝6t 2－10t, ∴a (t )＝v ′(t )＝12t －10. 当t ＝2时，a (2)＝14，即t ＝2时汽车的加速度为14. 答案：A7. 下列结论正确的个数为( ) (1)若f (x )＝sin2x ，则f ′(x )＝2cos2x ；(2)若f (x )＝13x，则f ′(x )＝－133x4；(3)若f (x )＝1x 2，则f ′(3)＝－227.A. 0B. 1C. 2D. 3解析：∵(sin2x )′＝(2sin x cos x )′＝(2sin x )′cos x ＋2sin x (cos x )′＝2cos2x ，∴(1)正确；∵(13x )′＝(x －13)′＝－13x －43＝－133x 4，∴(2)正确；∵f ′(x )＝(1x 2)′＝(x －2)′＝－2x －3＝－2x3，∴f ′(3)＝－233＝－227，∴(3)正确．答案：D8. 已知两条曲线y ＝x 2－1与y ＝1－x 3在x ＝x 0处的切线互相平行，则x 0的值为( ) A. 0 B. －23C. －32D. 0或－23解析：由题意，得两曲线在x ＝x 0处的切线的斜率相等，所以2x 0＝－3x 20，解得x 0＝0或－23.答案：D9. 若曲线y ＝h (x )在点P (a ，h (a ))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，那么( ) A. h ′(a )<0 B. h ′(a )>0 C. h ′(a )＝0 D. h ′(a )的符号不定解析：根据导数的几何意义，h ′(a )是切线的斜率， ∴h ′(a )＝－2<0. 答案：A10. 若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图像的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的图像是( )解析：∵f ′(x )＝2x ＋b ，∴排除选项B ，D. 又∵f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图像的顶点在第四象限， ∴－b2>0.∴b <0.故选A.答案：A11. 已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( )A. 1B. 3C. －4D. －8解析：如图所示，由已知可设P (4，y 1)，Q (－2，y 2)．－＝y 1＝8，y 2＝2，，x ，4，∴过点P 的切线为y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8. 又∵过点Q 的切线斜率为y ′| x ＝－2＝－2， ∴过点Q 的切线为y －2＝－2(x ＋2)， 即y ＝－2x －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －8，y ＝－2x －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－4.∴点A 的纵坐标为－4.答案：C12. 若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a 等于( )A. 64B. 32C. 16D. 8解析：∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －32，∴切线的斜率k ＝－12a －32，∴切线方程为y －a－12＝－12a －32(x －a )．令y ＝0，得x ＝3a .令x ＝0，得y ＝32a －12. 由题意，得a >0，∴12·3a ·32a －12＝18，故a ＝64.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13. 已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________. 解析：f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)． ∴f ′(1)＝－2.∴f ′(x )＝2x －4.∴f ′(0)＝－4. 答案：－414. 设函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)，若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，则ab 的值为________．解析：f ′(x )＝3x 2－3a ，∴f ′(2)＝12－3a . 由题意知12－3a ＝0，∴a ＝4.又切点在直线y ＝8上，∴f (2)＝8－6a ＋b ＝8. ∴b ＝24.∴ab ＝96. 答案：9615. 已知抛物线y ＝f (x )＝ax 2＋bx －7经过点(1,1)，过点(1,1)的抛物线的切线方程为4x －y －3＝0，则a ＝________，b ＝________.解析：∵抛物线y ＝ax 2＋bx －7经过点(1,1)， ∴1＝a ＋b －7，即a ＋b －8＝0.①又过点(1,1)的抛物线的切线方程为4x －y －3＝0， ∴切线的斜率为4.∵y ′＝f ′(x )＝2ax ＋b ， ∴f ′(1)＝2a ＋b ＝4，即2a ＋b －4＝0.② 由①②，解得a ＝－4，b ＝12. 答案：－4 1216. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________．解析：∵y ′＝3x 2－10，设切点P (x 0，y 0)(x 0<0，y 0<0)，则曲线C 在点P 处切线的斜率k ＝3x 20－10＝2，∴x 0＝－2.∴点P 的坐标为(－2,15)．答案：(－2,15)三、解答题(本大题共6小题，共70分)17. 一运动物体的位移s (单位：m)关于时间t (单位：s)的函数关系式为s (t )＝t 2，求s ′(2)，并说明它的意义．解：∵s (t )＝t 2，∴s ′(t )＝(t 2)′＝2t . ∴s ′(2)＝2×2＝4.s ′(2)＝4说明此运动物体在2 s 时刻的瞬时速度为4 m/s.18. 求过曲线y ＝f (x )＝cos x 上一点P (π3，12)，且与过这点的切线垂直的直线方程．解：∵y ＝f (x )＝cos x ，∴f ′(x )＝－sin x . ∴f ′(π3)＝－sin π3＝－32.∴过点P 2∴所求的直线方程为y －12＝23(－4x 2＋9x －6， 0＝18x 2－8x ＋9，(2)y ′＝(x 2sin x )′＝x 2′sin x －x 2sin x ′sin 2x＝2x sin x －x 2cos xsin 2x . (3)y ′＝(1－sin x1＋cos x )′＝1－sin x ′1＋cos x －1－sin x1＋cos x ′1＋cos x2＝－cos x －cos 2x ＋sin x －sin 2x＋cos x 2. ＝－1－cos x ＋sin x ＋cos x2. 20. 已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 在点(1,1)处的切线与直线y ＝12x ＋2垂直，求b ，c 的值．解：∵y ′＝2x ＋b ，∴抛物线在点(1,1)处的切线的斜率为k ＝f ′(1)＝2＋b . ∵抛物线的切线与直线y ＝12x ＋2垂直，∴(2＋b )×12＝－1，解得b ＝－4.把点(1,1)代入y ＝x 2－4x ＋c ，解得c ＝4. 故b ＝－4，c ＝4.21. 若直线y ＝kx 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，试求k 的值． 解：令y ＝f (x )＝x 3－3x 2＋2x ， ∴y ′＝f ′(x )＝3x 2－6x ＋2. ∴f ′(0)＝2.又直线与曲线都经过原点，则 ①若直线与曲线相切于原点，则k ＝2.②若直线与曲线相切于原点外另一点(x 0，y 0)(x ≠0)，则k ＝y 0x 0. 又点(x 0，y 0)在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上， ∴y 0＝x 30－3x 20＋2x 0.又∵y 0x 0＝k ，∴k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2. 又∵y ′＝3x 2－6x ＋2，∴k ＝3x 20－6x 0＋2. ∴x 20－3x 0＋2＝3x 20－6x 0＋2. ∴x 0＝0(舍去)或x 0＝32.∴k ＝(32)2－3×32＋2＝－14.综上所述，k ＝2或k ＝－14.22. 设函数f (x )＝|1－1x|，点P (x 0，y 0)(0<x 0<1)在曲线y ＝f (x )上，求曲线在点P 处的切线与x 轴和y 轴的正向所围成的三角形面积的表达式(用x 0表示)．解：当0<x <1时，y ＝f (x )＝|1－1x |＝1x－1，∴f ′(x 0)＝－1x 20，0<x 0<1.∴曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝－1x 20(x －x 0)，即y ＝－x x 20＋2－x 0x 0，∴切线与x 轴，y 轴正向的交点分别为(x 0(2－x 0)，0)和(0，1x 0(2－x 0))， 故所求三角形的面积表达式为12x 0(2－x 0)·1x 0(2－x 0)，即12(2－x 0)2.。

3.3 计算导数(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y ′＝－3x 4；②若y ＝3x ，则y ′＝133x ；③若f (x )＝sin α，则f ′(x )＝cos α；④若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝3.其中，正确的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【解析】 对于②y ＝3x ，y ′＝13x 13-1＝13x －23＝133x2，故②错；对于③f (x )＝sin α，为常数函数，∴f ′(x )＝0，故③错；①④都正确．【答案】 B2．曲线f (x )＝e x 在点A (0,1)处的切线斜率为( )A ．1B ．2C ．eD ．1e 【解析】 ∵f (x )＝e x ，∴f ′(x )＝e x ，∴f ′(0)＝1.即曲线f (x )＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率为1.【答案】 A3．已知曲线y ＝x 3在点(a ，b )处的切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则a 的值是( )A ．－1B ．±1C ．1D ．±3【解析】 由y ＝x 3知y ′＝3x 2，∴切线斜率k ＝y ′|x ＝a ＝3a 2.又切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直， ∴3a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1， ∴即a 2＝1，a ＝±1，故选B.【答案】 B4．已知f (x )＝log a x (a >1)的导函数是f ′(x )，记A ＝f ′(2)，B ＝f (3)－f (2)，C ＝f ′(3)，则( )2A ．A >B >CB ．A >C >B C ．B >A >CD ．C >B >A【解析】 记M (2，f (2))，N (3，f (3))，则由于B ＝f (3)－f (2)＝f －f3－2表示直线MN 的斜率，A ＝f ′(2)表示函数f (x )＝log a x 在点M 处的切线的斜率，C ＝f ′(3)表示函数f (x )＝log a x 在点N 处的切线的斜率．由f (x )的图像易得A >B >C .【答案】 A5．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( )A.1eB ．－1eC ．－eD ．e 【解析】 y ′＝e x ，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝kx 0y 0＝ex 0k ＝e x 0∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e.【答案】 D二、填空题6．若f (x )＝cos 2π3，则f ′(x )＝________. 【解析】 f (x )＝－12，∴f ′(x )＝0. 【答案】 07．(2016·安庆高二检测)曲线y ＝cos x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，22处的切线的倾斜角为________. 【解析】 y ′＝－sin x ，∴k ＝－sin π4＝－22. 设倾斜角为α，则tan α＝－22，α＝135°. 【答案】 135°8．设直线y ＝12x ＋b 是曲线f (x )＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b 的值为________． 【解析】 f ′(x )＝(ln x )′＝1x ，设切点坐标为(x 0，y 0)，由题意得1x 0＝12，则x 0＝2，3y 0＝ln 2，代入切线方程y ＝12x ＋b ，得b ＝ln 2－1.【答案】 ln 2－1三、解答题9．求与曲线y ＝3x 2在点P (8,4)处的切线垂直，且过点(4,8)的直线方程．【解】 ∵y ＝3x 2，∴y ′＝(3x 2)′＝(x 23)′＝23x -13. ∴k ＝f ′(8)＝23·8-13＝13. 即曲线在点P (8,4)处的切线的斜率为13. ∴适合条件的直线的斜率为－3.从而适合条件的直线方程为y －8＝－3(x －4)．即3x ＋y －20＝0. 10．若曲线f (x )＝x -12在点(a ，a -12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，求a 的值． 【解】 对函数f (x )＝x -12求导得f ′(x )＝－12x -32(x >0)，则曲线f (x )＝x -12在点(a ，a -12)处的切线l 的斜率k ＝f ′(a )＝－12a -32，由点斜式得切线的方程为y －a -12＝－12a -32 (x －a )，易求得直线l 与x 轴，y 轴的截距分别为3a ，32a -12，所以直线l 与两个坐标轴围成的三角形面积S ＝12×3a ×32a -12＝94a 12＝18，解得a ＝64. [能力提升]1．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，……，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 016(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x【解析】 f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ，f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，f 6(x )＝－sin x ，f 7(x )＝－cos x ，f 8(x )＝sin x ，…，故f n (x )以4为周期，4 ∴f 2 016(x )＝f 504×4(x )＝f 0(x )＝sin x .【答案】 A2．(2016·青岛高二检测)曲线y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在x ＝0处的切线方程是( ) A ．x ＋y ln 2－ln 2＝0B ．x ln 2＋y －1＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x ＋y －1＝0 【解析】 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ln 12＝－ln 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ′|x ＝0＝－ln 2，即切线的斜率为－ln 2.又切点为(0,1)，所以切线方程为y －1＝－ln 2×(x －0)，即x ln 2＋y －1＝0.选B.【答案】 B3．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为________．【解析】 y ′＝e x ，∴y ′|x ＝2＝e 2.∴切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，x ＝0时，y ＝－e 2；y ＝0时，x ＝1.∴S △＝12×1×e 2＝e 22. 【答案】 e 224．已知两条曲线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．【解】 不存在．理由如下：由于y ＝sin x ，y ＝cos x ，设两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)，所以两条曲线在P (x 0，y 0)处的切线斜率分别为k 1＝cos x 0，k 2＝－sin x 0. 若使两条切线互相垂直，必须有cos x 0·(－sin x 0)＝－1，即cos x 0·sin x 0＝1，也就是sin 2x 0＝2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直．。

阶段质量检测(三)变化率与导数[考试时间：90分钟试卷总分：120分]三题号一二总分15 16 17 18得分第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列求导运算正确的是()1 1 1A.(x＋x )′＝1＋B．(log2x)′＝x2 x ln 2C．(5x)′＝5x log5e D．(x2cos x)′＝2x sin x2．设函数y＝－3x＋2在区间[－4，－2]上的平均变化率为a，在区间[2,4]上的平均变化率为b，则下列结论中正确的是()A．a＞b B．a＜bC．a＝b D．不确定3．运动物体的位移s＝3t2－2t＋1，则此物体在t＝10时的瞬时速度为()A．281 B．58C．85 D．104．若曲线f(x)＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－11 45．曲线f(x)＝x＋x3在点处的切线和坐标轴围成的三角形的面积为()3 (1，3 )A．3 B．21 1C. D.3 96．曲线f(x)＝2x3－3x在点P处的切线斜率为3，则P点坐标为()A．(1，－1) B．(－1，－5)C．(－1,1) D．(1，－1)或(－1,1)7．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝()A．－2 B．2C．1 D．－48．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－3,3]表示的曲线过原点，且在点(1，f(1))和1点(－1，f(－1))处的切线斜率均为－2，则f(x)的奇偶性为()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数9．(江西高考)若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f ′(x)>0的解集为()A．(0，＋∞)B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－1,0)310．若点P在曲线y＝x3－3x2＋(3－3)x＋上移动，点P处的切线的倾斜角为α，则角4α的取值范围是()ππ2πA.[0，2)B.[0，2)∪[ ，π)32πππ2πC.[ ，π)D.[0，∪ 3 ]2) [ ，3 2答题栏题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)1 1 π11．设f(x)＝＋，则f′＝________.sin xcos x (3 )12．点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．13．设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数为f′(x)，若f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为____________________．114．已知f(x)＝x3－x2＋bx＋c的图像存在与直线y＝1平行的切线，则b的取值范围是2________________________________________________________________________．三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)t－115．(本小题满分12分)已知某运动着的物体的运动方程为s(t)＝＋2t2(路程单位：t2m，时间单位：s)，求s′(3)，并解释它的实际意义．216．(本小题满分12分)求满足下列条件的函数f(x)．(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；(2)f(x)是二次函数，且x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1.17．(本小题满分12分)已知两曲线f(x)＝x3＋ax和g(x)＝x2＋bx＋c都经过点P(1,2)，且在点P处有公切线，试求a，b，c的值．318．(本小题满分14分)已知直线l1为曲线f(x)＝x2＋x－2在点P(1,0)处的切线，l2为曲线的另一条切线，且l2⊥l1.(1)求直线l2的方程；(2)求直线l1，l2与x轴所围成的三角形的面积S.答案1 11．选B∵(x＋x)′＝1－；(5x)′＝5x ln 5；(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′x2＝2x·cos x－x2sin x，∴B选项正确．2．选C一次函数y＝kx＋b在区间[m，n]上的平均变化率都为常数k.∵y＝－3x＋2在区间[－4，－2]，[2,4]上的平均变化率都为常数－3，∴a＝b＝－3.3．选B t＝10时的瞬时速度即为t＝10时的导数值，s′＝6t－2.∴t＝10时，s′＝6×10－2＝58.44．选 A 由 f ′(x )＝2x ＋a ，得 f ′(0)＝a ＝1，将(0，b )代入切线方程得 b ＝1.45．选 D 由题意，f ′(x )＝1＋x 2，故切线的斜率为 k ＝f ′(1)＝2，又切线过点(1，3 )，∴4 2 1 2 切线方程为 y － ＝2(x －1)，即 y ＝2x － ，切线和 x 轴、y 轴交点为( ，0)，(0，－ )． 3 3 3 31 12 1故所求三角形的面积＝ × × ＝ . 2 3 3 96．选 D 设切点为(x 0，y 0)，则 6x 20－3＝3. ∴x 20＝1，则 x 0＝±1.当 x 0＝1时，y 0＝－1；x 0＝－1时，y 0＝1，故选 D. 7．选 D ∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， ∴令 x ＝1得，f ′(1)＝2＋2f ′(1)． ∴f ′(1)＝－2，即 f (x )＝x 2－4x . ∴f ′(x )＝2x －4， ∴f ′(0)＝－4.8．选 A ∵f (0)＝0，∴c ＝0，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 得Error!解得 a ＝0，b ＝－5，∴f (x )＝x 3－5x ，x ∈[－3,3]，f (x )为奇函数． 4 2x －2x ＋19．选 C 令 f ′(x )＝2x －2－ ＝ ＞0，xx利用穿针引线法可解得－1＜x ＜0或 x ＞2，又 x ＞0， 所以 x ＞2.10．选 B y ′＝3x 2－6x ＋3－ 3＝3(x －1)2－ 3≥－ 3，即 tan α≥－ 3，π2π所以 α∈[0， 2)∪[ ，π).311cos x sin x 11．解析：f ′(x )＝(cos x )′＝－＋， ＋ sin xsin 2x cos 2x1 3 － π2 22∴f ′(3)＝＋ ＝－ ＋2 . 3313(2 ) (2 )222答案：－ ＋2 33 12．解析：∵y ′＝3x 2－10，设切点 P (x 0，y 0)(x 0<0，y 0>0)，则曲线 C 在点 P 处切线的斜率 k ＝3x 20－10＝2，∴x 0＝－2.∴点P的坐标为(－2,15)．5。

一、选择题1．设函数的图象在点(t,f(t))处切线的斜率为k ,则函数k=g(t)的部分图象为（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知P 与Q 分别为函数260x y -+=与函数2ln 2y x =+ 的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为（ ）A ．65B 5C ．55D ．63．已知：函数()cos f x x x =，其导函数()cos sin f x x x x '=-.若函数()g x 的导函数()sin g x x x '=，且02g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()g π的值为（ ）A ．-1B ．1C ．1π-D ．1π+4．已知函数()0sin cos f x x x =+，()()'10f x f x =，()()'21f x f x =，…，()()'1n n f x f x +=，n N ∈，那么()2020f x =（ ）A ．cos sin x x -B ．sin cos x x -C ．sin cos x x +D ．sin cos x x --5．若直线l 与曲线yx 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A ．y =2x +1B ．y =2x +12 C ．y =12x +1 D ．y =12x +126．已知函数()2bf x x ax =+的导数()23f x x '=+，则数列()()*12n f n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭N 的前n项和是（ ） A ．1nn + B ．()121n n -+C ．()22nn +D ．()()12nn n ++7．已知函数2()2(0)f x x x a x =++<，点1122(,())(,())A x f x B x f x 、为函数()f x 图象上两点，且过A B 、两点的切线互相垂直，若12x x <，则21x x -的最小值为（ ） A ．1 B ．12C ．32D ．28．设曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c 垂直，则ab =（ ）A ．13 B ．13-C ．3D ．-39．已知函数1()1x e f x x -=+，则函数()f x 在1x =处的切线方程为（ ）A ．410x y -+=B ．410x y ++=C ．0x y -=D ．430x y -+=10．已知函数()1,0,3,0.x e a x f x x x x -⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩（a R ∈），若方程()20f x -=恰有3个不同的根，则a 的取值范围是( ) A ．(,0)-∞ B ．(,1)-∞ C ．(,0]-∞ D ．(,1]-∞11．若直线l 与函数()x f x e =和()ln 2g x x =+的图象都相切，则k =（ ） A ．2或e B ．1或e C ．0或1 D ．e 12．已知直线y ＝3x ﹣1与曲线y ＝ax +lnx 相切，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．曲线sin 2cos 1y x x =+-在点,02π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为_________．14．已知函数2()2ln f x x x =-，则()f x 在()()1,1f 处的切线方程_____________.15．已知函数()ln x ax f x x-=，若有且仅有一个整数k ，使()()20f k f k -⎤⎣⎦>⎡，则实数a 的取值范围是__________．16．若倾斜角为α的直线l 与曲线3y x =相切于点()1,1，则2cos sin2αα-的值为_____. 17．曲线y=sin2x 在点（0，0）处的切线方程为______．18．若直线y x b =+是曲线x y e =的一条切线，则实数b 的值是_____. 19．若函数()()3'2211f x x f x =++，则f(-1)=____.20．已知点P 在曲线41xy e =+（其中e 为自然对数的底数）上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则tan α的取值范围是________.三、解答题21．已知函数()ln f x x x a =+在0x x =处的切线方程为2y x e =-. （1）求实数a 及0x 的值; （2）若1()()kg x f x x x x=--有两个极值点,求实数k 的取值范围. 22．已知曲线31433y x =+ （1）求曲线在点(2,4)P 处的切线方程；（2）求曲线过点(2,4)P 的切线方程 23．设函数()()32xf x x e e =--.（1）求()f x 在1x =处的切线方程；（2）当1x ≥时，()(1)f x a x ≤-，求a 的取值范围. 24．已知函数3()2f x x x =+-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(2,8)处的切线方程；（Ⅱ）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标.25．已知函数()243f x ax ax b =-+，()()12,11f f '==。

(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数f(x)＝13，则f′(x)等于( ) A ．－33B ．0C.33D. 3解析：选B.因为f(x)＝13，所以f′(x)＝(13)′＝0. 2．已知某质点的运动规律为s ＝t 2＋3(s 的单位：m ，t 的单位：s)，则该质点在t ＝3 s 到t ＝(3＋Δt)s 这段时间内的平均速度为( )A ．(6＋Δt)m/sB ．(6＋Δt ＋9Δt )m/sC ．(3＋Δt)m/sD ．(9Δt＋Δt)m/s解析：选A.平均速度为Δs Δt ＝（3＋Δt ）2＋3－（32＋3）Δt＝(6＋Δt)m/s.3．设f(x)为可导函数，且满足lim x →0 f （1）－f （1－x ）2x ＝－1，则过曲线y ＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2解析：选D.k ＝f′(1)＝lim x →0 f （1－x ）－f （1）－x ＝2lim x→0f （1）－f （1－x ）2x＝－2.4．已知函数f(x)在x ＝1处的导数为3，则f(x)的解析式可能是( ) A ．f(x)＝(x －1)3＋3(x －1) B ．f(x)＝2(x －1) C ．f(x)＝2(x －1)2 D ．f(x)＝x －1解析：选A.利用排除法，分别对四个选项求导数f′(x)，再求f′(1)． 5．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D.12解析：选B.设切点坐标为(x 0，y 0)，且x 0＞0， 因为y′＝12x －3x ，所以k ＝12x 0－3x 0＝－12，所以x 0＝2.6．已知y ＝2x 3＋3x ＋cos x ，则y′等于( ) A ．6x 2＋x －23－sin xB ．6x 2＋x －23＋sin xC ．6x 2＋13x －23＋sin xD ．6x 2＋13x －23－sin x解析：选D.y ′＝(2x 3)′＋(x 13)′＋(cos x )′＝6x 2＋13x －23－sin x.7．给出定义：若函数f(x)在D 上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D 上也可导，则称函数f(x)在D 上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′.若f″(x)＜0在D 上恒成立，则称函数f(x)在D 上为凸函数，以下四个函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上不是凸函数的是( )A ．f(x)＝sin x ＋cos xB ．f(x)＝ln x －2xC ．f(x)＝－x 3＋2x －1 D ．f(x)＝xe x解析：选D.对A ，f ′(x)＝cos x －sin x ，f ″(x)＝－sin x －cos x ＜0⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜π2，故f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是凸函数；对B ，f ′(x)＝1x －2，f ″(x)＝－1x 2＜0⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜π2，故f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是凸函数；对C ，f ′(x)＝－3x 2＋2，f ″(x)＝－6x ＜0⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜π2，故f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是凸函数；对D ，f ′(x)＝e x ＋xe x ，f ″(x)＝e x ＋e x ＋xe x ＝e x(2＋x)＞0⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜π2，故f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上不是凸函数，选D.8．已知曲线C ：y ＝2x 2，点A(0，－2)及点B(3，a)，从点A 观察点B ，要实现不被曲线C 挡住，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．(－∞，4)C ．(10，＋∞)D ．(－∞，10)解析：选D.在曲线C ：y ＝2x 2上取一点D(x 0，2x 20)(x 0＞0)，因为y ＝2x 2， 所以y′＝4x ，所以y ＝2x 2在D 点处切线的斜率为4x 0，令2x 20＋2x 0＝4x 0，解得x 0＝1，此时D(1，2)，所以k AD ＝2－（－2）1－0＝4，所以直线AD 的方程为y ＝4x －2，要实现不被曲线C 挡住，则实数a ＜4×3－2＝10，即实数a 的取值范围是(－∞，10)．9．设a ＞0，f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f(x)在点P(x 0，f(x 0))处切线的倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则P 到曲线y ＝f(x)对称轴距离的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1aB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12aC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2a D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪b －12a解析：选B.因为过P(x 0，f(x 0))的切线的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，且a ＞0，P 在对称轴的右侧，所以P 到曲线y ＝f(x)对称轴x ＝－b 2a 的距离d ＝x 0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝x 0＋b 2a . 又因为f′(x 0)＝2ax 0＋b∈[0，1]， 所以x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－b 2a ，1－b 2a .所以d ＝x 0＋b 2a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12a .10．定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x 0叫做函数f(x)的“新驻点”，若函数g(x)＝2x ，h(x)＝ln x ，φ(x)＝x 3(x≠0)的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞c解析：选B.g ′(x)＝2，h ′(x)＝1x ，φ′(x)＝3x 2(x≠0)．解方程g(x)＝g′(x)，即2x ＝2，得x ＝1，即a ＝1；解方程h(x)＝h′(x)，即ln x ＝1x ，在同一坐标系中画出函数y ＝ln x ，y ＝1x 的图像(图略)，可得1＜x ＜e ，即1＜b ＜e ；解方程φ(x)＝φ′(x)，即x 3＝3x 2(x≠0)，得x ＝3，即c ＝3.所以c ＞b ＞a.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上) 11．已知a 为实数，f(x)＝(x 2－4)(x －a)，且f′(－1)＝0，则a ＝________． 解析：f(x)＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，f ′(x)＝3x 2－2ax －4， f ′(－1)＝3＋2a －4＝0，所以a ＝12.答案：1212．设f(x)＝e x ＋x ，若f′(x 0)＝2，则在点(x 0，y 0)处的切线方程为________．解析：f′(x)＝e x＋1，f ′(x 0)＝2，所以ex 0＋1＝2，所以x 0＝0，y 0＝e 0＋0＝1，所以切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0.答案：2x －y ＋1＝013．已知函数f(x)＝sin x －xcos x ，若存在x∈(0，π)，使得f′(x)＞λx 成立，则实数λ的取值范围是________．解析：f′(x)＝(sin x －xcos x)′＝(sin x )′－(xcos x )′＝cos x －(cos x －xsin x)＝xsin x ＞λx，因为x∈(0，π)，所以sin x ＞λ，因为sin x ∈(0，1]，所以λ＜1.答案：(－∞，1)14．抛物线y ＝x 2上到直线x ＋2y ＋4＝0距离最短的点的坐标为________．解析：y′＝2x ，设P(x 0，x 20)处的切线平行直线x ＋2y ＋4＝0，则点P 到直线x ＋2y ＋4＝0的距离最短，由抛物线y ＝x 2在点P(x 0，x 20)处的切线斜率为2x 0，则2x 0＝－12，解得x 0＝－14，y 0＝116，故所求点的坐标为(－14，116)．答案：(－14，116)15．对正整数n ，设曲线y ＝x n(1－x)在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和为________．解析：由y ＝x n(1－x)得y′＝nx n －1(1－x)＋x n(－1)，所以f′(2)＝－n·2n －1－2n.又因为切点为(2，－2n)． 所以切线方程为： y ＋2n＝－(n·2n －1＋2n)(x －2)．令x ＝0，得a n ＝(n ＋1)·2n. 则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的通项公式为a n ＝2n ，由等比数列前n 项和公式求得其和为2n ＋1－2. 答案：2n ＋1－2三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分)将石块投入平静的水面，使它产生同心圆波纹，若最外一圈波纹半径R 以4 m/s 的波速增加，求在3 s 末被扰动的水面面积的增长率．解：设被扰动水面面积为S ，时间为t(t≥0)， 所以S ＝πR 2＝π(4t)2＝16πt 2， 所以S′＝(16πt 2)′＝32πt ，所以当t ＝3时，水面面积的增长率为96π. 17．(本小题满分10分)求下列函数的导数． (1)f(x)＝ln(8x)； (2)y ＝x 3sin x 2cos x 2；(3)y ＝x 5＋x ＋sin xx 2. 解：(1)f(x)＝3ln 2＋ln x ， f ′(x)＝(3ln 2)′＋(ln x )′＝1x .(2)y ＝x 3sin x 2cos x 2＝12x 3sin x ，y ′＝12(x 3sin x )′＝12(3x 2sin x ＋x 3cos x)＝32x 2sin x ＋12x 3cos x. (3)y ＝x 5＋x ＋sin x x 2＝x 3＋x －32＋x －2sin x ， 所以y′＝(x 3)′＋(x －32)′＋(x －2sin x )′＝3x 2－32x －52－2x －3sin x ＋x －2cos x.18．(本小题满分10分)已知曲线C ：y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4. (1)求曲线C 在点(1，－4)处的切线方程；(2)对于(1)中的切线与曲线C 是否还有其他公共点？若有，求出公共点；若没有，请说明理由． 解：(1)y′＝12x 3－6x 2－18x ，所以当x ＝1时，y ′＝－12，所以在点(1，－4)处的切线的斜率为－12.所以所求的切线方程为y ＋4＝－12(x －1)，即y ＝－12x ＋8.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4，y ＝－12x ＋8，得3x 4－2x 3－9x 2＋12x －4＝0，即(x ＋2)(3x －2)(x －1)2＝0，所以x 1＝－2，x 2＝23，x 3＝1.所以除切点外，曲线和切线还有交点(－2，32)和⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0. 19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x. (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当a≥1时，求证：当x∈[1，e]时，f ′(x)≥0，其中e 为自然对数的底数．解：(1)当a ＝1时，f(x)＝x 2－3x ＋ln x ，f ′(x)＝2x －3＋1x ，因为f′(1)＝0，f(1)＝－2.所以切线方程是y ＝－2.(2)证明：函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x 的定义域是(0，＋∞)，f ′(x)＝2ax －(a ＋2)＋1x ，即f′(x)＝2ax 2－（a ＋2）x ＋1x ＝（2x －1）（ax －1）x ，当a≥1时，在x∈[1，e]上，2x －1＞0，ax －1≥0， 可得f′(x)≥0.20．(本小题满分13分)设函数f(x)＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，其中a ＞0.曲线y ＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y ＝1.(1)确定b ，c 的值；(2)设曲线y ＝f(x)在点(x 1，f(x 1))及(x 2，f(x 2))处的切线都过点(0，2)，证明：当x 1≠x 2时，f ′(x 1)≠f′(x 2)．解：(1)由f(x)＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，得f(0)＝c ，f ′(x)＝x 2－ax ＋b ，f ′(0)＝b.又由曲线y ＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y ＝1，得f(0)＝1，f ′(0)＝0. 故b ＝0，c ＝1.(2)证明：f(x)＝13x 3－a 2x 2＋1，f ′(x)＝x 2－ax ，由于点(t ，f(t))处的切线方程为y －f(t)＝f′(t)(x－t)，而点(0，2)在切线上，所以2－f(t)＝f′(t)(－t)，化简得23t 3－a 2t 2＋1＝0，即t 满足的方程为23t 3－a 2t 2＋1＝0.下面用反证法证明：假设f′(x 1)＝f′(x 2)，由于曲线y ＝f(x)在点(x 1，f(x 1))及(x 2，f(x 2))处的切线都过点(0，2)，则下列等式成立：⎩⎪⎨⎪⎧23x 31－a 2x 21＋1＝0，①23x 32－a2x 22＋1＝0，②x 21－ax 1＝x 22－ax 2.③由③，得x 1＋x 2＝a.由①－②，得x 21＋x 1x 2＋x 22＝34a 2.④又x 21＋x 1x 2＋x 22＝(x 1＋x 2)2－x 1x 2＝a 2－x 1(a －x 1)＝x 21－ax 1＋a 2＝(x 1－a 2)2＋34a 2≥34a 2，故由④得x 1＝a 2，此时x 2＝a2与x 1≠x 2矛盾，所以f′(x 1)≠f′(x 2)．。

一、选择题1．已知函数32()2f x x x x =-+-，若过点()1,P t 可作曲线()y f x =的三条切线，则t 的取值范围是（ ） A ．1(0,)30B ．1(0,)29C ．1(0,)28D ．1(0,)272．已知函数()()xx af x e a R e=+∈，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为（ ） A ．2y x =- B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =3．已知函数()1f x xx=+，若()()1f x f x =，()()()1n n f x f f x +=，则曲线()7y f x =在点()()71,1f 处切线的斜率为（ ）A ．164-B ．149-C ．164D ．1494．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为（ ）A ．ln 2B ．1C ．1ln2-D ．1ln2+5．若关于x 的方程|x 2﹣4x |﹣kx ﹣k ＝0有四个不同的实数根，则实数k 的取值范围为（ ）A ．（0，6﹣B ．（﹣∞，6﹣C ．（0，D ．（6﹣6．已知函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．()0,eB ．()0,2eC ．(,)e +∞D ．(2,)e +∞7．已知：函数()cos f x x x =，其导函数()cos sin f x x x x '=-.若函数()g x 的导函数()sin g x x x '=，且02g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()g π的值为（ ）A ．-1B ．1C ．1π-D ．1π+8．函数()()23ln 0,f x x x bx a b a R =+-+>∈的图像在点()(),b f b 处的切线斜率的最小值是（ ）A B ．C ．2D ．9．已知函数()ln af x x x =+，直线3y x =-+与曲线()y f x =相切，则a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．已知函数()ln f x x =，若f x （） 在1x x = 和()212x x x x =≠ 处切线平行，则（ ）A ．2212512x x +>B ．12128x x <C ．1232x x +< D12> 11．曲线3215()433f x x x =--在点()3,(3)f 处的切线的倾斜角为( )． A ．－135°B ．135°C ．45°D ．45-12．若52345012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则0123452345a a a a a a +++++为（） A ．－233B ．10C ．20D ．233二、填空题13．设函数()()1xf x ex =+的图象在点()01，处的切线为y ax b =+，若方程x a b m -=有两个不等实根，则实数m 的取值范围是__________．14．若()()321111322f x f x x x '=-++，则曲线() y f x =在点()(1,)1f 处的切线方程是______________________．15．已知曲线1n y x +=在2x =处的切线与y 轴交点的织坐标为n a ，其中*n N ∈，则数列1{}2nn a +的前50项和的值为________. 16．设点P 是曲线2x y e x =+上任一点，则点P 到直线10x y --=的最小距离为__________．17．如果曲线4y x x =-在点P 处的切线垂直于直线13y x =-，那么点P 的坐标为___________．18．曲线()4ln 1f x x x =--在点()1,0P 处的切线方程是______.19．已知P 为直线1y x =+上的动点，Q 为函数()ln xf x x=图象上的动点，则PQ 的最小值为______．20．设函数()()321f x x a x ax =+-+为奇函数，则曲线()y f x =在点1x =处的切线方程为______________．三、解答题21．已知函数32()3f x x x x m =+-+，2()23g x x x -=+，若直线2y x a =-与函数()f x ，()g x 的图象均相切.（1）求实数,a m 的值；（2）当0m >时，求()()()F x f x g x =-在[]1,1-上的最值.22．记()f x '、()g x '分别为函数()f x 、()g x 的导函数.把同时满足()()00f x g x =和()()00f x g x ''=的0x 叫做()f x 与()g x 的“Q 点”.（1）求()2f x x =与()224g x x x =-+的“Q 点”；（2）若()212f x ax =+与()ln g x x =存在“Q 点”，求实数a 的值. 23．设函数()()224ln ,R.f x x ax x a =-∈（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若对任意[)()21,,0x f x x a ∈+∞+->恒成立,求实数a 的取值范围.24．已知函数()2xf x e x =-()1求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程;()2若函数()()g x f x a =-，[]1,1x ∈-恰有2个零点，求实数a 的取值范围25．已知函数()ln 1x af x x x=-- （I ）若()f x 在2x =处的切线的斜率为1ln2-，求a 的值； （Ⅱ）1x ∀>，不等式()11f x x >--恒成立，求整数a 的最大值. 26．已知函数()x f x e ax =-．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）当12x ≥时，设21()12g x x =+，若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】首先设过点P 的切线方程():1l y k x t =-+，切点()00,x y ，利用导数的几何意义列式，转化为320001254t x x x +=-+有三个解，通过设函数()32254g x x x x =-+，问题转化为1y t =+与()y g x =有三个交点，求t 的取值范围. 【详解】设过点P 的直线为():1l y k x t =-+，()2341f x x x '=-+-，设切点为()00,x y ，则()20032000034112x x k k x t x x x ⎧-+-=⎪⎨-+=-+-⎪⎩ ，得320001254t x x x +=-+有三个解， 令()32254g x x x x =-+，()()()261042132g x x x x x '=-+=--，当()0g x '>，得1x >或25x <，()0g x '<，得213x <<， 所以()g x 在2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()1,+∞单调递增，2,13⎛⎫⎪⎝⎭单调递减， 又228327g ⎛⎫=⎪⎝⎭，()11g =，()1g x t =+有三个解， 得281127t <+<，即1027t <<. 故选：D 【点睛】方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.2．C解析：C 【分析】由函数()f x 为奇函数，解得1a =-，得到1()xx f x e e=-，求得(0)f '，得到切线的斜率，进而可求解切线的方程. 【详解】由题意，因为函数()()xxa f x e a R e =+∈为奇函数，则()000a f e e =+=，解得1a =-，即1()xx f x e e =-，则1()x x f x e e +'=，所以1(0)2f e e '=+=，即2k =， 且当0x =时，01(0)0f e e =-=，即切点的坐标为(0,0)， 所以切线的方程为2y x =，故选C.【点睛】本题主要考查了利用导数求解在某点处的切线方程，其中熟记导数的几何意义求解切线的斜率，再利用直线的点斜式求解切线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．C解析：C 【分析】根据题意依次计算得()717xf x x=+，再根据导数的几何意义求解即可. 【详解】解：因为函数()1f x xx=+，若()()1f x f x =，()()()1n n f x f f x +=， 所以()11xf x x=+，()212x f x x =+，()313x f x x =+，…，()717x f x x =+，所以()()72117f x x '=+，所以()()721116417f '==+． 故()7y f x =在点()()71,1f 处切线的斜率为164. 故选：C. 【点睛】本题考查函数解析式的求解，导数的几何意义，考查运算能力，是中档题.4．D解析：D 【解析】由ln y x x =得'ln 1y x =+，设切点为()00,x y ，则0ln 1k x =+，000002ln y kx y x x =-⎧⎨=⎩，0002ln kx x x ∴-=，002ln k x x ∴=+，对比0ln 1k x =+，02x ∴=，ln 21k ∴=+，故选D.5．A解析：A 【分析】将方程根有四个根，转化为函数图象有四个交点，利用导数的几何意义，数形结合即可求得结果. 【详解】关于x 的方程|x 2﹣4x |﹣kx ﹣k ＝0有四个不同的实数根，即方程()241x x k x -=+有四个不同的实数根，不妨设()()()24,1f x x x g x k x =-=+，则只需()(),f x g x 有四个交点即可， 又()g x 表示斜率为k ，且过点()1,0-的直线. 画出()(),f x g x 的图象如下所示：数形结合可知，当直线()1y k x =+与()f x 在0x >时相切为临界情况. 设切点为(),m n ，显然()0,2m ∈ 又相切时，24,24y x x y x '=-+=-+，故可得242411n m mk m m m -+==-+=++，解得51m =， 则相切时斜率625k =-故要满足题意，只需(0,625k ∈-. 故选：A . 【点睛】本题考查由方程根的个数求参数范围，涉及导数的几何意义，属综合中档题.6．D解析：D 【分析】原问题等价于函数()x h x xe =与函数1()()2g x m x =-有两个不同的交点，求出两函数相切时的切线斜率，再结合函数特征，求出m 的取值范围即可. 【详解】解：函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，等价于()x h x xe =与1()()2g x m x =-有两个不同的交点，()g x 恒过点1(,0)2，设()g x 与()h x 相切时切点为(,)a a ae ，因为'()(1)x h x e x =+，所以切线斜率为(1)a e a +，则切线方程为(1)()a a y ae a e x a -=+-，当切线经过点1(,0)2时，解得1a =或12a =-（舍），此时切线斜率为2e ，由函数图像特征可知：函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，则实数m 的取值范围是(2,)e +∞. 故选：D. 【点睛】本题考查导数的综合应用，由函数零点求参数的取值范围，难度中等.7．C解析：C 【分析】求出函数()g x 的解析式，计算()g π的值即可. 【详解】由题意设()sin cos g x x x x c =-+，则()cos cos sin sin g x x x x x x x '=-+=，符合题意 故102g c π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，解得：1c =-， 故()sin cos 1g x x x x =--，()sin cos 11g πππππ=--=-， 故选：C ． 【点睛】本题考查了导数的运算法则以及导数 的计算，属于中档题.8．B解析：B 【分析】先求导,再将x b =代入,即()k f b '=,进而根据均值不等式求得最小值. 【详解】由题,()23232x bx f x x b x x-+'=+-=, 则函数()f x 的图像在点()(),b f b 处的切线斜率为()22233b b k f b b b b-+'===+,设()3g b b b =+≥当且仅当3b b=,即b =,所以()g b的最小值为即min k = 故选:B 【点睛】本题考查利用导数求函数图像某点处的切线斜率,考查利用均值不等式求最值.9．B解析：B 【分析】设切点为()00,x y ,利用导数的几何意义与()00,x y 在()ln af x x x=+与3y x =-+上联立求解即可. 【详解】设切点为()00,x y ,则()21'af x x x=-,又直线3y x =-+与曲线()y f x =相切故20000000113ln a x x y x a y x x ⎧-=-⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+⎪⎩,消去0y 有0000003ln 3ln a a x x x x x x -+=+⇒=-+-,代入第一个式子有 ()0000013ln 2ln 20x x x x x --+-=-⇒+-=.易得01x =.代入20011ax x -=-有2a =. 故选：B 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要根据在某点处导函数的值等于在该点处切线的斜率以及切点在切线方程与函数式上联立求解即可.属于中等题型.10．A解析：A 【分析】1211x x =-12=，则116≤，由x 1≠x 2，利用基本不等式求得x 12+x 22＞512． 【详解】 由f （x）=lnx ，得f ′（x）1x=（x ＞0），∴1211x x -=，2112x x x x -=12+=，∴12=≥116≤， ∴x 1x 2≥256， ∵x 1≠x 2，∴x 1x 2＞256．∴2212x x +＞2x 1x 2＝512．故选：A ． 【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．11．B解析：B 【解析】 【分析】利用导数求出切线的斜率()3f '，再根据斜率的值求出切线的倾斜角． 【详解】()3215433f x x x =--，()2103f x x x '∴=-，()21033313f '∴=-⨯=-，所以，所求切线的斜率为1-，因此，曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线的倾斜角为135，故选B ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查直线的倾斜角与斜率之间的关系，利用导数求切线的倾斜角，把握两个基本点；（1）切线的斜率等于导函数在切点处的导数值；（2）当倾斜角不为直角时，直线倾斜角的正切值等于直线的斜率．12．A解析：A 【解析】 【分析】对等式两边进行求导，当x ＝1时，求出a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5的值，再求出a 0的值，即可得出答案． 【详解】对等式两边进行求导，得：2×5（2x ﹣3）4＝a 1+2a 2x +3a 3x 2+4a 4x 3+5a 5x 4， 令x ＝1，得10＝a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5；又a 0＝（﹣3）5＝﹣243，∴a 0+a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5＝﹣243+10＝﹣233． 故选A ． 【点睛】本题考查了二项式定理与导数的综合应用问题，考查了赋值法求解二项展开式的系数和的方法，利用导数得出式子a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5是解题的关键．二、填空题13．【分析】首先由导数的几何意义可知切线的斜率将切点代入切线方程可得的值即可得有两个不等实根转化为与图象有两个不同的交点数形结合即可求解【详解】由可得在点处的切线斜率为所以将点代入可得所以方程即有两个不 解析：()0,1【分析】首先由导数的几何意义可知切线的斜率()0a k f '==，将切点()01，代入切线方程可得b的值，即可得21xm -=有两个不等实根，转化为21xy =-与y m =图象有两个不同的交点，数形结合即可求解. 【详解】 由()()1xf x ex =+可得()()()12x x x e x e x x e f =++=+'，在点()01，处的切线斜率为()0022k f e '===，所以2a =， 将点()01，代入y ax b =+可得1b =，所以方程xa b m -=即21xm -=有两个不等实根， 等价于21x y =-与y m =图象有两个不同的交点，作21xy =-的图象如图所示：由图知：若21xy =-与y m =图象有两个不同的交点则01m <<吗，故答案为：()0,1【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.14．【分析】求得函数的导数令求得得出函数的解析式再求得结合直线的点斜式方程即可求解【详解】由题意函数可得令可得解得所以可得所以曲线在点处的切线方程是即故答案为：【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求 解析：3310x y -+=【分析】求得函数的导数()()211f x f x x ''=-+，令1x =，求得()11f '=，得出函数的解析式，再求得()413f =，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由题意，函数()()321111322f x f x x x '=-++，可得()()211f x f x x ''=-+， 令1x =，可得()()21111f f =-'+'，解得()11f '=， 所以()32111322f x x x x =-++，可得()413f =， 所以曲线()y f x =在点()(1,)1f 处的切线方程是413y x -=-，即3310x y -+=. 故答案为：3310x y -+=. 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义，以及导数的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.15．【分析】求导得到根据切线公式得到切线方程故再计算前50项和得到答案【详解】则故故切线方程为：取得到前50项和为故答案为：【点睛】本题考查了切线方程通项公式数列求和意在考查学生的计算能力和综合应用能力 解析：1275-【分析】求导得到()()'1nf x n x =+，根据切线公式得到切线方程()()11222nn y n x +=+-+，故()12122n n n a n +=-++，12nn a n +=-，再计算前50项和得到答案. 【详解】()1n y f x x +==，则()()'1n f x n x =+，故()()'212n f n =+，()122n f +=故切线方程为：()()11222nn y n x +=+-+，取0x =，得到()12122n n n a n +=-++.()1112n n a n n +=-++=-，前50项和为()1505012752+-⨯=-.故答案为：1275-. 【点睛】本题考查了切线方程，通项公式，数列求和，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.16．【分析】过点作曲线的切线当切线与直线平行时点到该直线距离最小进而求解即可【详解】由题过点作曲线的切线则设点则当切线与直线平行时点到该直线距离最小则即所以点为则点到直线的最小距离为故答案为：【点睛】本【分析】过点P 作曲线2x y e x =+的切线,当切线与直线10x y --=平行时点P 到该直线距离最小,进而求解即可 【详解】由题,过点P 作曲线2x y e x =+的切线,则2xy e x '=+,设点()00,P x y ,则002xk e x =+,当切线与直线10x y --=平行时点P 到该直线距离最小,则0021xe x +=,即00x =,所以点P 为()0,1,则点P 到直线10x y --==,【点睛】本题考查导数的几何意义的应用,考查点到直线距离的最值问题,考查转化思想17．(10)【分析】先根据题意求出切线的斜率再求出函数的导数设利用导数和斜率求出将求出的代入求出【详解】解:曲线在点P 处的切线垂直于直线曲线在点P 处的切线的斜率函数的导数为设解得【点睛】本题主要考查了如解析：(1,0) 【分析】先根据题意求出切线的斜率k ,再求出函数4y x x =-的导数,设()00,P x y ,利用导数和斜率k 求出0x ,将求出的0x 代入4y x x =-,求出0y .【详解】 解:曲线4y x x =-在点P 处的切线垂直于直线13y x =-, ∴曲线4y x x =-在点P 处的切线的斜率3k =,函数4y x x =-的导数为341y x '=-,设()00,P x y ,30413x ∴-=,解得01x =, 40000y x x ∴=-=,(1,0)P ∴【点睛】本题主要考查了如何求切点的坐标，关键是对导数的几何意义的熟练掌握，属于基础题.18．【分析】求得的导数由导数的几何意义可得切线的斜率再由点斜式方程可得所求切线的方程【详解】在点处的切线方程即故答案为：【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及切线的方程的求法考查方程思想和运算能力属于基解析：.330x y --= 【分析】求得()4ln 1f x x x =--的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，再由点斜式方程可得所求切线的方程. 【详解】()4ln 1f x x x =--,31()4f x x x'∴=-, (1)3k f '∴==,()4ln 1f x x x ∴=--在点()1,0P 处的切线方程03(1)y x -=-,即330x y --=， 故答案为：330x y --= 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，以及切线的方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题.19．【分析】先求与直线平行且与相切的切线切点再根据点到直线距离公式求结果【详解】由题意的最小值为与直线平行且与相切的切线切点到直线的距离设切点为因为单调递增因此的最小值为故答案为：【点睛】本题考查导数几【分析】先求与直线1y x =+平行且与()ln xf x x=相切的切线切点，再根据点到直线距离公式求结果. 【详解】由题意，PQ 的最小值为与直线1y x =+平行且与()ln xf x x=相切的切线切点到直线1y x =+的距离，设切点为00(,)x y因为()22000221ln 1ln 1ln 1ln x x f x x x y x x x x --'=∴=∴+==+单调递增，01x ∴=因此PQln1|11|-+=【点睛】本题考查导数几何意义、点到直线距离公式，考查数形结合思想方法，属中档题.20．【分析】首先根据函数是奇函数求的值再利用导数的几何意义求切线方程【详解】是奇函数即即所以函数在处的切线方程为即故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义函数的性质重点考查计算能力属于基础题型 解析：420x y --=【分析】首先根据函数是奇函数，求a 的值，再利用导数的几何意义求切线方程. 【详解】()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-，即()()()()()323211x a x a x x a x ax -+--+-=----， 即1a =，()3f x x x ∴=+，()231f x x ='+ ()12f ∴=，()14f '=，所以函数在1x =处的切线方程为()241y x -=-， 即420x y --=. 故答案为：420x y --= 【点睛】本题考查导数的几何意义，函数的性质，重点考查计算能力，属于基础题型.三、解答题21．（1）1a =，2m =或20227m =-；（2）min ()1F x =，max ()1F x =-. 【分析】（1）由直线与二次函数相切，可由直线方程与二次函数关系式组成的方程组只有一个解，然后由判别式等于零可求出a 的值，再设出直线与函数32()3f x x x x m =+-+图像的切点坐标，由切点处的导函数值等于切线的斜率可求出切点坐标，从而可求出m 的值； （2）对函数()()()F x f x g x =-求导，使导函数为零，求出极值点，然后比较极值和端点处的函数值大小，可求出函数的最值. 【详解】（1）联立2223y x ay x x =-⎧⎨=-+⎩可得2430x x a -++=，164(3)0a ∆=-+=，1a设直线与()f x 的图象相切于点00(,)x y ，则2000()3232f x x x '=+-=，01x ∴=或05=3x -当01x =时，01y =，11312m m ∴+-+=⇒= 当05=3x -时，0133y =-，12525132025279327m m ∴-+++=-⇒=- 2m ∴=或20227m =-（2）由（1）2m =，3()1F x x x ∴=--，2()31F x x '∴=-令()0F x '≥则3x -≤≤-11x ≤≤；令()0F x '<则33x -<< ()F x ∴在1,⎛- ⎝⎭和⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎡⎢⎣⎦上单调递减 又(1)(1)1F F -==-，(139F -－＝，1⎝⎭min ()1F x F ∴==，max ()(1F x F == 【点睛】此题考查导数的几何意义，利用导数求最值，属于基础题. 22．（1）2；（2）212e . 【分析】（1）对()2f x x =与()224g x x x =-+进行求导，由()()00f x g x =和()()00f x g x ''=，结合新定义，即可求出()f x 与()g x 的“Q ”点；（2）对()212f x ax =+与()ln g x x =分别求导，根据新定义列式，求出a 的值. 【详解】（1）因为()()2,22f x g x x ''==-， 设0x 为函数()f x 与()g x 的一个“Q ”点.由()()00f x g x =且()()00f x g x ''=得20000224222x x x x ⎧=-+⎨=-⎩，解得02x =.所以函数()f x 与()g x 的“Q ”点是2. （2）因为()()12,f x ax g x x''==， 设0x 为函数()f x 与()g x 的一个“Q ”点.由()()00f x g x =且()()00f x g x ''=得200001ln 212ax x ax x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①②，由②得2012a x =代入①得0ln 1x =，所以0x e =. 所以2201122a x e ==. 【点睛】本题考查导数运算以及函数与方程问题，结合新定义，同时考查推理论证能力以及方程思想和数学运算素养.23．（1）220x y +-=；（2）(),1-∞. 【分析】（1）求出函数的导数，计算f （1），f′（1），由点斜式可求切线方程；（2）g （x ）=f （x ）+x 2﹣a ，求出函数的导数，通过讨论a 的范围，得到函数g （x ）的单调性，求出g （x ）的最小值，从而求出a 的范围即可． 【详解】解：（1）当1a =时, ()10f =,()()()44ln 24f x x x x =+'--,()'12,f =- 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()21,y x =-- 即220x y +-=.（2）设()()()[)22224ln ,1,,g x f x x a x ax x x a x =+-=-+-∈+∞则()()()()()44ln 2424ln 1,1,g x x a x x a x x a x x =-+-+=-+≥' 当1a ≤时, ()g x 在[)1,+∞上单调递增,所以,对任意1x ≥,有()()110g x g a ≥=->,所以 1.a <当1a >时, ()g x 在[)1,a 上单调递减,在(),a +∞上单调递增,所以()()()2min 12ln g x g a a a a ==--,由条件知, ()212ln 0a a a -->, 即()12ln 10.a a -->设()()12ln 1,1,h a a a a =-->则()12ln 0,1,h a aa =-'-所以()h a 在()1,+∞上单调递减,又()10h =, 所以()()10h a h <=与条件矛盾. 综上可知,实数a 的取值范围为(),1.-∞ 【点睛】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题． 24．(1) x+y-1=0. (2) 22ln 22a e -<≤-. 【分析】(1)求得f （x ）的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线方程；(2) 函数()()[],1,1g x f x a x =-∈-恰有2个零点转化为两个图象的交点个数问题，数形结合解题即可. 【详解】（1）因为()e 2xf x x =-，所以()e 2xf x '=-.所以()0 1.f '=- 又()01,f =所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1,y x -=- 即10x y +-=.（5分）（2）由题意得，()e 2xg x x a =--，所以()e 2xg x '=-.由()e 20xg x ='-=，解得ln2x =，故当1ln2x -≤<时，()0g x '<，()g x 在[)1,ln2-上单调递减； 当ln21x <≤时，()0g x '>，()g x 在(]ln2,1上单调递增. 所以()()min ln222ln2g x g a ==--. 又()11e +2g a --=-，()1e 2g a =--，若函数恰有两个零点，则()()()11e 20,1e 20,ln22220,g a g a g ln a -⎧-=+-≥⎪=--≥⎨⎪=--<⎩解得22ln2e 2a -<≤-.所以实数a 的取值范围为(]22ln2,e 2--. 【点睛】本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解. 25．（Ⅰ）2a =（Ⅱ）3 【分析】（Ⅰ）由题意得()12ln 21ln 224af '=-+=-,解之即得a 的值；（Ⅱ）不等式或化为()1ln 1x x a x +<-，设()()1ln 1x x h x x +=-，再利用导数研究函数h(x)的图像和性质得解. 【详解】解：（Ⅰ）()()221ln 1x xa x f x x x --'=+-， 由题意得()12ln 21ln 224af '=-+=-，则2a =. （Ⅱ）不等式或化为()1ln 1x x a x +<-.设()()1ln 1x x h x x +=-，()()2ln 21x x h x x --'=-． 设()ln 2g x x x =--，当1x >时，()1110x g x x x-'=-=>， 则()g x 在()1,+∞单调递增.又()31ln30g =-<，()42ln 40g =->，则()g x 在()3,4存在唯一零点0x 满足()000ln 20g x x x =--=.则当()01,x x ∈时，()h x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()h x 单调递增，则()()()00001ln 1x x h x h x x +≥=-.又因为00ln 20x x --=，则()()0000011x x h x x x -==-，因为()03,4x ∈，则()()03,4a h x <∈，则整数a 的最大值为3.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查函数的最值、单调性、零点问题的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于难题.26．（1）10x y +-=； （2）9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【解析】 【分析】（1）代入a 的值，求出函数的导数，求出切线斜率，从而求出切线方程即可； （2）问题转化为a ≤2112x e x x --，令h （x ）＝2112x e x x--，求出函数的导数判断函数的单调性，求出a 的范围即可． 【详解】（1)当2a =时，()()2,2xxf x e x f x e '=-=-，则函数()f x 在点()()0,0f 处的切线的斜率为()01f '=-.又()01f =，故函数()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为()110,y x -=-⨯-即10x y +-=.（2）由()()f x g x ≥可得2112xe ax x -≥+，即2112x ax e x ≤--. 因为12x ≥，所以2112x e x a x--≤. 令()2112x e x h x x --=，则()()221112x e x x h x x --+'=. 令()()21112xx e x x ϕ=--+则()()1x x x e ϕ'=-（8分）因为12x ≥，所以()0x ϕ'>，所以()x φ在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，则()1924h x h ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，所以94a ≤， 即实数a的取值范围9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了求切线方程的问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，属于中档题．。