名校推荐江苏省南京师范大学附属中学高三数学一轮同步测试： 二倍角的三角函数第二课时 含答案

江苏专用高考数学一轮复习考点20二倍角公式与简单的三角恒等变换必刷题含解析1．（江苏省南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟考试）在∆ABC 中，若cos 2A ＋cos 2B ＋cos 2C ＜1，sinB，则(tan 2A ﹣2)sin2C 的最小值为_______．【答案】5 【解析】在∆ABC 中，由sinB，所以B ＝34π或4π，得cos 2B ＝12， 当B ＝34π，则C ＝4A π-，所以，cos 2A ＋cos 2C ＜12，即cos 2A ＋cos 2（4A π-）＜12， 化简得：21sin 2cos 02A A +<，因为04A π<<，所以sin2A ＞0，即21sin 2cos 02A A +<不成立.当B ＝4π，则C ＝34A π-，3sin 2sin(2)cos 22C A A π=-=- (tan 2A ﹣2)sin2C ＝222sin 2cos (cos 2)cos A A A A -⨯-＝2213cos (cos 2)cos AA A-⨯-＝13cos 2(cos 2)1+cos2A A A --⨯-＝2cos 23cos 21+cos2A AA+＝225(1cos 2)3(1cos 2)1+cos2A A A-+++＝23(1cos 2)51+cos2A A++-55≥= 当23(1cos 2)1+cos2A A =+，即cos 21A =-时取等号故答案为：5．2．（江苏省常熟市高三下学期期中考试）在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点横坐标为13-，则cos2α的值是__．【答案】79- 【解析】由三角函数的定义可得1cos 3α=-，27cos22cos 19αα=-=-．填79-． 3．（江苏省如东中学2019届高三年级第二次学情测试）已知倾斜角为的直线l 的斜率等于双曲线的离心率，则＝_______．【答案】 【解析】 双曲线的离心率，，因为为直线的倾斜角，所以∴＝sin=2sin=故答案为： .4．（江苏省清江中学2018届高三学情调研考试）函数 的最小正周期是________【答案】 【解析】 ∵函数∴函数的最小正周期为故答案为.5．（江苏省南通市2019届高三模拟练习卷四模）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对边的长，S 为ABC ∆的面积．若不等式22233kS b c a ≤+-恒成立，则实数k 的最大值为______．【答案】3【解析】在ABC ∆中，面积公式1sin 2S bc A =，余弦定理，代入22233kS b c a ≤+-， 有221sin 222cos 2k bc A b c bc A ⨯≤++，即22444cos sin b c bc A k bc A++≤恒成立，求出22444cos sin b c bc A bc A ++的最小值即可，而22444cos 8bc 4cos 84cos sin sin sin b c bc A bc A A bc A bc A A++++≥=，当且仅当b c =取等号， 令84cos sin Ay A+=，得：sin 84cos y A A =+，即sin 4cos 8y A A -=，)8A A =，令cos ϕϕ=)8A ϕ-=，即sin()A ϕ-=所以01≤，两边平方，得：26416y ≤+，解得：y ≥=22444cos sin b c bc Abc A++的最小值为k ≤故答案为：6．（江苏省扬州中学2019届高三4月考试）已知ABC ∆1,且满足431tan tan A B+=，则边AC 的最小值为_______.【答案】【解析】 ∵431tan tan A B +=，∴cos cos 431sin sin A BA B+=，∴4cosAsinB+3cosBsinA ＝sinAsinB ， ∴3cosAsinB+3cosBsinA ＝sinAsinB ﹣cosAsinB ，即3sin （A+B ）＝sinB （sinA ﹣cosA ），即3sinC ＝sinB （sinA ﹣cosA ）， ∴3c ＝b （sinA ﹣cosA ），即c (sin cos )3b A A -=，∵△ABC 的面积S ＝12bcsinA ＝2(sin cos )sin 6b A A A-＝26b （sin 2A ﹣cosAsinA ）＝212b （1﹣sin2A ﹣cos2A 1，∴b2＝12(21)12(21)1sin2cos212sin24A AAπ++=--⎛⎫-+⎪⎝⎭，∵3c＝b（sinA﹣cosA）＞0，且0＜A＜π，∴39A,2A+4444πππππ<<∴<<，∴当32A+42ππ=即A＝58π时，b2取得最小值12(21)12++＝12，∴b的最小值为23，即AC最小值为23．故答案为：23．7．（江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研二）如图，扇形的圆心角为90°，半径为1，点是圆弧上的动点，作点关于弦的对称点，则的取值范围为____．【答案】.【解析】以点O为坐标原点,以OA所在直线作x轴，以OB所在直线作y轴，建立直角坐标系.则A(1，0),B(0，1),直线AB的方程为x+y-1=0,设P，，所以PQ的中点，由题得所以=设，所以，所以=，所以当t=1时函数取最大值1，当t=时函数取最小值.故答案为：．8．（江苏省常州市2018届高三上学期武进区高中数学期中试卷）已知02x π<<，且1sin cos 5x x -=，则24sin cos cos x x x -的值为________．【答案】3925【解析】由题02x π<<，且1sin cos 5x x -=，，① 两边平方可得11225sinxcosx -=： ，解得24226sinxcosx = ， 2224721255sinx cosx sin x cos x sinxcosx ∴+=++=+= ，② ∴联立①，②解得： 4355sinx cosx ==， ， 22433394455525sinxcosx cos x ∴-=⨯⨯-=（）．故答案为39259．（江苏省南通市2019届高三适应性考试）在ABC ∆中，已知2AB =，2cos B =，4C π.（1）求BC 的长； （2）求sin(2)3A π+的值.【答案】（1）82BC =（2）24350- 【解析】（1）因为2cos 10B =，0B π<<， 所以22272sin 1cos 11010B B ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 在ABC ∆中，A B C π++=，所以()A B C π=-+， 于是sin sin(())sin()A B C B C π=-+=+722224sin cos cos sin 1021025B C B C =+=+=.在ABC ∆中，由正弦定理知sin sin BC ABA C=， 所以482sin sin 552AB BC A C =⨯=⨯=. （2）在ABC ∆中，A B C π++=，所以()A B C π=-+， 于是cos cos(())cos()A B C B C π=-+=-+227223(cos cos sin sin )1021025B C B C ⎛⎫=--=-⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，于是4324sin 22sin cos 25525A A A ==⨯⨯=， 2222347cos 2cos sin 5525A A A ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此，sin 2sin 2cos cos 2sin 333A A A πππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 24173247325225-⎛⎫=⨯+-⨯=⎪⎝⎭. 10．（江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研）在△ABC 中，已知．（1）求内角B 的大小； （2）若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】 （1）在中，设的对边分别为，由正弦定理及得，，即，由余弦定理得，因为，所以.(2)因为在中，，所以所以，，而，所以.11．（江苏省盐城中学2018届高三考前热身2）已知向量，且共线，其中. （1）求的值；（2）若，，求的值.【答案】(1)-3.(2) .【解析】（1）∵，∴，即∴（2）由（1）知，又，∴，∴∴，即，∴，即又，∴.12．（江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研二）在△中，三个内角，，的对边分别为，设△的面积为，且.（1）求的大小；（2）设向量，，求的取值范围．【答案】(1).(2) .【解析】（1）由题意，有，则，所以．因为，所以，所以．又，所以．（2）由向量，，得．由（1）知，所以，所以．所以．所以． 所以．即取值范围是．13．（2017-2018学年度第一学期江苏省常州北郊华罗庚江阴高中三校联考）已知()1cos ,1a x ω=+-，()3,sin b x ω=，（ 0ω>），函数()f x a b =⋅，函数()f x 的最小正周期为2π．（1）求函数()f x 的表达式； （2）设0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()635f θ=，求cos θ的值．【答案】（1）()32sin 3f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（2）43310+． 【解析】（1）()f x a b =⋅ ()31cos sin x x ωω=+- = 32sin 3x πω⎛⎫-- ⎪⎝⎭因为函数()f x 的最小正周期为2π, 所以22ππω=, 解得1ω=.()32sin 3f x x π⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭(2) 由()635f θ=+, 得3sin 35πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ,336πππθ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭, 4cos 35πθ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭cos cos cos cos sin sin 333333ππππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭4133433525210+⎛⎫=⨯--⨯=⎪⎝⎭ 第（2）题另解：223{ 35sin cos 1sin πθθθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭+=， 2100cos 603cos 110θθ⇒-+= 334cos θ±⇒=． 因为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 0θ>，故334cos θ+=． 14．（江苏2018年全国普通高等学校招生统一考试）已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值． 【答案】（1）；（2）【解析】 （1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．。

3. 两角和与差的正弦1.已知54)4sin(,53)4sin(=-=+παπα，求αααtan ,cos ,sin 的值．2．求证： （1）B A BA B A tan tan cos cos )sin(+=+； 证明：因为B A B A B A sin cos cos sin )sin(+=+，除以分母B A cos cos ，立得。

（2）)]sin()[sin(21cos sin B A B A B A -++=；3．求2cos 10°－sin 20°sin 110°的值．4．已知24ππ<<<B A ，且54)sin(=+B A ，1312)cos(=-B A ，求A A A 2tan ,2sin ,2cos ．5．在△ABC 中，（1）已知1312cos ,54cos ==B A ，求C cos ；6．已知sin ⎝⎛⎭⎫34π＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<34π，求cos(α＋β)．7．（1）化简：3sin θ＋cos θ；（2）若等式3sin θ＋cos θ＝3m ＋14成立，求m 的取值范围.8. 设函数f (x )＝a →·b →，其中向量a →＝(m ，cos2x )，b →＝(1＋sin2x ，1)，x ∈R ，且函数y ＝f (x )的图象经过点（π4，2）.（1）求实数m 的值；（2）求f (x )的单调增区间.*9. 将函数f (x )＝3sin x －cos x 的图象向左平移m 个单位（m ＞0），若所得图象对应的函数为偶函数，求m 的最小值.[反思回顾]3. 两角和与差的正弦1.解：5422cos 22sin )4sin(,5322cos 22sin )4sin(=-=-=+=+ααπαααπα 故1027sin =α，102cos -=α，7tan -=α。

3.2《二倍角的三角函数》同步检测（2）一、填空题（每小题5分，共30分）1．设f （tan x ）=tan 2x ，则f （2）的值等于 .2．当tan ≠0时，tan 与sin α的值的符号 .3．已知tan(α＋)＝2，则2sin 2cos 1cos 2ααα-+的值为 . 4.1＋cos 100°－1－cos 100°等于 .5．函数f(x)＝2cos 2 2x ＋sin x 的最小正周期是________． 6．若tan θ=3，则sin 2θ-cos 2θ的值为________．二、解答题(共70分)7．（15分）求cosπ7cos 2π7cos 4π7的值.8. （20分）若x ∈[－π3，π4]，求函数y ＝2cos 21x +＋2tan x ＋1的最值及相应的x 的值．9．(20分)已知f(x)＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a ，a ∈R .(1)若f(x)有最大值为2，求实数a 的值；(2)求函数y ＝f(x)的单调区间．10.（15分）已知5πsin ,(,π)132αα=∈，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值答案一、填空题 1.43- 解析：由f （tan x ）=tan 2x = 22tan 1tan x x-可知， f （x ）= 221x x -，∴ f （2）= 22212⨯-= 43-. 2. 同号 解析：∵sin α＝2sin 2αcos 2α，tan 2α＝sin 2cos2αα，∴sin α与tan 2α同号．3. －16 解析：由tan(α＋π4)＝tan 11tan αα+-＝2得tan α＝13, 原式＝222sin cos cos 2cos αααα-＝tan α－12＝13－12＝－16. 4. －2sin 5° 解析：原式＝2cos 250°－2sin 250° ＝2(cos 50°－sin 50°)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos 50°－22sin 50° ＝2sin(45°－50°)＝－2sin 5°.5.2π 解析：化简得f (x )＝1＋2sin(x ＋π4)，∴T ＝2π1＝2π.6. 75 解析：sin 2θ-cos 2θ=22222sin cos sin cos sin cos θθθθθθ+-+=222tan tan 11tan θθθ+-+=75. 二、解答题7. 解：原式=ππ2π4π2sin cos cos cos 7777π2sin 7=2π2π4π2sin cos cos 777π4sin 7=4π4π2sin cos 77π8sin 7=8πsin 7π8sin 7=πsin 7π8sin 7-=18-. 8．解：y ＝2cos 21x +＋2tan x ＋1＝2222(sin cos )2cos x x x+＋2tan x ＋1 ＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1.∵x ∈[－π3，π4]，∴tan x ∈[－3，1]， 令tan x ＝t ，则有y ＝g(t)＝(t ＋1)2＋1,∴当t ＝tan x ＝－1，即x ＝－π4时，y min ＝1； 当t ＝tan x ＝1，即x ＝π4时，y max ＝5. 9. 解：(1)f(x)＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝2(32sin 2x ＋12cos 2x)＋1＋a ＝2sin(2x ＋π6)＋1＋a. 当2x ＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )时，f(x)取最大值， 解得x ＝π6＋k π(k ∈Z )时，f(x)取最大值3＋a .由3＋a ＝2，解得a ＝－1. (2)令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ， 即单调递增区间是πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )． 同理，可求得单调递减区间是π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z )． 10. 解：∵5sin ,(,π)132ααα=∈ ，∴12cos 13α==-， ∴sin 2α = 2sin αcos α = 169120-， cos 2α = 211912sin169α-=， tan 2α = 119120-.。

第24课二倍角的正弦、余弦与正切A.课时精练一、填空题1. （2018 马鞍山一检）若sin 2a= cos a, a€ [o, n，贝y tan 2a 的值是________32. （2017 山东卷）已知cosx= 4，那么cos2x= ________3. （2018 福州期末）若2sinx + cos 扌一x = 1,贝V cos2x = _____……sin2 a4. 右tan a= 3，则8. （2018 芜湖期末）若2cos2 e= . 3sin2e,则sin2e= _________cos（f+ e5.则sin2x的值为__________6.1 1式子2^^e+匚爲邛旺R）的最小值为7.若sin（n— o）=5,a€0,才，贝U sin2a—cos2^的值为L F * ■右sin解答题2 .,. 冗口^ 4 + sin a+ sin2 a砧/古9.已知0< a<，且Sin a=，求 2 的值.2 5 cos a+ cos2 a10.已知a€ 2，n，且sin a= -55.(1) 求sin n a的值;解答题求cos 2 a 的值.11.已知函数 f(x) = 2cos 2|—/3sin x.⑴求函数f(x)的最小正周期和值域; 的值.B.滚动小练1. (2017南京三模)已知函数f(x)是定义在R 上且周期为4的偶函数.当x € ［2 , 4］时, f(x) = log 4 |x — 3 |!，贝U fg 1= ________ .2. (2017苏北四市期末)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x > 0时，f(x) = 2x — 3, 则不等式f(x)<— 5的解集为 __________ .3. (2017南通调研改编)若函数f(x) = e x + x 2— mx 在点(1, f(1))处的切线斜率为 e + 1.(1)求实数m 的值；⑵ 求函数f(x)在区间［—1, 1］上的最大值. (2)若a 为第二象限角，且 COS 2a1 + cos。

3．2 二倍角的三角函数我们知道，两角和的正弦、余弦、正切公式与两角差的正弦、余弦、正切公式是可以互相化归的．当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢？二倍角公式又有何重要作用呢？基础巩固1．若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α等于( )A ．－79 B ．－13C.13 D.79答案：A2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )A ．－34 B.34C ．－43 D.43答案：B3．设f(sin x)＝cos 2x ，那么f ⎝⎛⎭⎫32等于________．答案：－124．sin α＝513，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin 2α＝________；tan 2α＝________.答案：－120169 －1201195．函数y ＝sin4x ＋cos4x 的最小正周期是________．答案：π2 6．函数y ＝12sin 2x ＋sin2x ，x ∈R 的值域是________．答案：⎣⎡⎦⎤－22＋12，22＋127．sin2π12－cos2π12等于________．答案：－328.tan 22.5°1－tan222.5°＝________.答案：12能力升级9．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin2α＋cos 2α＝14，则tan α＝() A.22 B.33C. 2D. 3解析：由已知得：cos2α＝14.∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2.∴cos α＝12，∴tan α＝ 3.答案：D10．求值：sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝________.解析：原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°＝23·2sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°24cos 6°＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6°＝116. 答案：116 11．(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)…(1＋tan 44°)(1＋tan 45°)＝________.解析：若α＋β＝π4，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝1， ∴tan α＋tan β＋tan α·tan β＝1，即(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.∴(1＋tan1°)(1＋tan2°)…(1＋tan44°)·2＝2×2×…×223个＝223.答案：22312．已知sin (2α－β)＝35，sin β＝－1213，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求sin α的值．解析：π<2α<2π，0<－β<π2. ∴π<2α－β<5π2，又sin(2α－β)＝35>0，∴2π<2α－β<5π2，∴cos(2α－β)＝45.∵－π2<β<0，sin β＝－1213， ∴cos β＝513，∴cos 2α＝cos[(2α－β)＋β)]＝45×513－35×⎝⎛⎭⎫－1213＝5665， ∴sin2α＝1－cos 2α2＝9130，∴sin α＝3130130.13．(2014·4月韶关模拟)已知函数f(x)＝23cos x ·sin x ＋2cos2x.(1)求f ⎝⎛⎭⎫4π3的值；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求f(x)的值域．解析：(1)f(x)＝23c os xsin x ＋2cos2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. ∴f ⎝⎛⎭⎫43π＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫8π3＋π6＝1＋2×12＝2. (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， ∴当x ＝π6时，f(x)max ＝3；当x ＝π2时，f(x)min ＝0.故f(x)的值域是[0,3]．。

3.2 二倍角的三角函数一、填空题1．2sin 222.5°－1＝________. 2.3－sin 70°2－cos 210°＝________. 3．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)＝________. 4．函数f (x )＝cos x －sin 2x －cos 2x ＋74的最大值是______． 5．若1－tan θ2＋tan θ＝1，则cos 2θ1＋sin 2θ＝________. 6．已知等腰三角形底角的正弦值为53，则顶角的正弦值是________． 7．如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，则sin θ2的值是________． 8．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝______. 二、解答题9．已知角α在第一象限且cos α＝35，求1＋2cos 2α－π4sin α＋π2的值． 10．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π2)，求α. 11．求值：(1)sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°；(2)sin 50°1＋3tan 10°－cos 20°cos 80°1－cos 20°. 三、探究与拓展12．化简：(1)cos π11cos 2π11cos 3π11cos 4π11cos 5π11； (2)cos x 2cos x 4cos x 8…cos x2n .答案 1．－22 2.2 3.－79 4．2 5．3 6.459 7．－155 8．3 9．解 ∵cos α＝35且α在第一象限， ∴sin α＝45. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725， sin 2α＝2sin αcos α＝2425， 原式＝1＋2cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145. 10．解 ∵sin 22α＋sin 2αcos α－(cos 2α＋1)＝0，∴4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0.∵α∈(0，π2)，∴2cos 2α>0. ∴2sin 2α＋sin α－1＝0.∴sin α＝12(sin α＝－1舍)．∴α＝π6. 11．解 (1)原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°＝sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°cos 6°＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6°＝116. (2)∵sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2sin 40°cos 10°＝1， cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 210°＝2sin 210°，∴sin 50°1＋3tan 10°－co s 20°cos 80°1－cos 20°＝1－cos 20°2sin 210°＝ 2. 12．解 (1)原式＝125sin π11·25sin π11·cos π11cos 2π11·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－8π11cos 4π11·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π＋16π11＝125sin π11·24sin 2π11cos 2π11cos 4π11·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos 8π11⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos 16π11 ＝125sin π11·23sin 4π11cos 4π11cos 8π11·cos 16π11 ＝125sin π11sin 32π11 ＝125sin π11sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π－π11 ＝sin π1125sin π11＝132. (2)原式＝12n sin x 2n ·2n sin x 2n ·cos x 2·cos x 4…cos x 2n ＝12n sin x 2n ·2n －1· ⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x2n ·cos x2n ·cos x 2cos x 4…·cos x 2n －1 ＝12n sin x 2n ·2n －1sin x 2n －1·cos x 2·cos x 4…cos x 2n －1 ＝sin x 2n sin x 2n .。

第24课 二倍角的三角函数[最新考纲]内容要求AB C 二倍角的正弦、余弦及正切√1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 2．二倍角公式的变形及逆用 (1)公式C 2α的变形： ①sin 2α＝12(1－cos 2α)；②cos 2α＝12(1＋cos 2α)．(2)公式的逆用：①1±sin 2α＝(sin α±cos α)2； ②sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对∀α∈R ，sin 2α＝2sin α均不成立．( ) (2)sin2π8－cos 2π8＝cos π4＝22.( ) (3)sin α＋cos α＝1＋sin 2α.( ) (4)等式1＋cos α＝2sin 2α2对∀α∈R 均成立．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．下列各式中值为32的是________．(填序号) ①2sin 15°cos 15°；②cos 215°－sin 215°；③2sin 215°－1；④sin 215°＋cos 215°. ② [2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝12，cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32，2sin 215°－1＝－cos 30°＝－32， sin 215°＋cos 215°＝1.]3．若sin α＝255，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan 2α＝________.－43 [∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝255，∴cos α＝1－sin 2α＝55， ∴tan α＝2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43.] 4．(2017·某某模拟)若tan α＝3，则sin 2α1＋cos 2α＝________.3 [sin 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α2cos 2α＝tan α＝ 3.] 5．(教材改编)函数 f (x )＝3sin x ＋cos x 的最小值为________．－2 [函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的最小值是－2.]应用倍角公式求值(2017·某某模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.(1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值． [解] (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2， ∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3·sin π3＝12.(2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π. 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32.∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.[规律方法] 给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．如本题中⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝π2，从而先利用诱导公式变换函数名，进而逆用二倍角公式求值．[变式训练1] (2017·某某、某某二模)已知α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝55.(1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值. 【导学号：62172133】 [解] (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝255，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2.(2)因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝－35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2sinπ6＝43＋310.应用倍角公式化简(1)化简：sin 2α－2cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.(2)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .(1)22cos α[原式＝2sin αcos α－2cos 2α22sin α－cos α＝22cos α.](2)原式＝－2sin 2x cos 2x ＋122sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝121－sin 22x2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝12cos 22x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝12cos 2x .[规律方法]1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，最常见的是“切化弦”．(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．2．三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．[变式训练2] 化简sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin 2α＝________.12 [法一：原式＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π32＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π32－sin 2α ＝1－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－sin 2α＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 法二：令α＝0，则原式＝14＋14＝12.]三角变换的简单应用已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值. 【导学号：62172134】[解] (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.[规律方法] 1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．2．把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．[变式训练3] 已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性．[解](1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32.因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减．[思想与方法]1．三角函数的求值与化简要注意观察角、函数名称、式子结构之间的联系，然后进行变换．2．利用三角函数值求角要考虑角的X 围．3．与三角函数的图象与性质相结合的综合问题．借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后借助三角函数图象解决．[易错与防X]1．利用辅助角公式a sin x ＋b cos x 转化时，一定要严格对照和差公式，防止弄错辅助角．2．计算形如y ＝sin(ωx ＋φ)，x ∈[a ，b ]形式的函数最值时，不要将ωx ＋φ的X 围和x 的X 围混淆．课时分层训练(二十四)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于________．16 [因为cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16.]2．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________.【导学号：62172135】3 [∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α， ∴cos α＝－12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－－32＝ 3.]3．(2016·全国卷Ⅲ改编)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝________.45 [∵cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ. 又∵tan θ＝－13，∴cos 2θ＝1－191＋19＝45.]4．已知sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.－75[cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α.∵sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－45.∴原式＝－75.]5．(2017·某某模拟)已知sin(α－45°)＝－210且0°<α<90°，则cos 2α的值为________. 【导学号：62172136】725 [∵sin(α－45°)＝－210， ∴sin α－cos α＝－15，∴2sin αcos α＝2425，∴sin α＋cos α＝1＋sin 2α＝75，∴sin α＝35，cos α＝45.∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝725.]6．(2016·某某高考改编)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是________．π [法一：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝4⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x －12sin x＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.法二：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.]7．(2017·某某模拟)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝________. 【导学号：62172137】－78 [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－2α＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝－78.]8．化简2＋2cos 8＋21－sin 8＝________. －2sin 4 [2＋2cos 8＋21－sin 8 ＝21＋cos 8＋21－2sin 4cos 4＝2×2cos 24＋2sin 4－cos 42＝－2cos 4＋2(cos 4－sin 4)＝－2sin 4.] 9．(2017·某某模拟)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α的值为________．－1718 [∵3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，∴3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，∴3×2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α≠0，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，即sin α＋cos α＝26， ∴sin 2α＝－3436＝－1718.]10．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝______________.2－156[∵cos 4α－sin 4α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α＝23， 又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α∈(0，π)．∴sin 2α＝53. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝cos 2αcos π3－sin 2αsin π3 ＝12cos 2α－32sin 2α ＝12×23－32×53 ＝2－156.] 二、解答题11．(2017·某某期中)已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期； (2)若f (x )＝－1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2x 的值．[解](1)因为f (x )＝32sin 2x －1＋cos 2x 2＝32sin 2x －cos 2x 2－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )＝－1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＝－1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－12， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－12. 12．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ，x ∈R .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值； (2)若sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24. [解](1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 2π6＋sin π6cos π6 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋12×32＝3＋34. (2)因为f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋12sin 2x ＝12＋12(sin 2x ＋cos 2x )＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π4 ＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α. 又因为sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以cos α＝－45， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫12×35－32×45 ＝10＋32－4620. B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．函数f (x )＝3sin x 2cos x 2＋4cos 2x 2(x ∈R )的最大值等于________． 92 [由题意知f (x )＝32sin x ＋4×1＋cos x 2＝32sin x ＋2cos x ＋2≤94＋4＋2＝92.] 2．如图24­1，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－513，∠AOC ＝α.若|BC |＝1，则3cos 2α2－sin α2cos α2－32的值为________．图24­1 513 [由题意得|OB |＝|OC |＝|BC |＝1，从而△OBC 为等边三角形，∴sin ∠AOB ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513， ∴3cos 2α2－sin α2·cos α2－32＝3·1＋cos α2－sin α2－32＝－12sin α＋32cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513.] 3．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值． [解]∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝12－171＋12×17＝13＞0， ∴0＜α＜π2. 又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34＞0， ∴0＜2α＜π2， ∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1. ∵tan β＝－17＜0，∴π2＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－3π4. 4．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域． [解] (1)f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32. 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π.由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z . (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1， f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32. 故f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32.。

一、填空题1．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝ 【解析】依题意得cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π42＝12(cos α＋sin α)2＝12(1＋sin 2α)＝23. 2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝3．若tan α＝2tan π5，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝ 【解析】 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10＋π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5 ＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝sin αcos αcos π5＋sin π5sin αcos αcos π5－sin π5＝2·sin π5cos π5cos π5＋sin π52·sin π5cos π5cos π5－sin π5＝3sin π5sin π5＝3 4．已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，cos 2α＝725，则sin α＝ 【解析】由sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210得sin α－cos α＝75， ①由cos 2α＝725得cos 2α－sin 2α＝725， 所以(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)＝725， ② 由①②可得cos α＋sin α＝－15， ③ 由①③可得sin α＝35. 5．在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为6．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3·tan αtan β＝3，则α，β的大小关系是【解析】 ∵α为锐角，sin α－cos α＝16， ∴α>π4.又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3， ∴α＋β＝π3，又α>π4， ∴β<π4<α. 7．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－22sin 2x 的最小正周期是________． 【解析】∵f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x )＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 答案：π8．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝________. 【解析】∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23>0，∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin 2α＝1－cos 22α＝53，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α＝12×23－32×53＝2－156. 答案：2－1569．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝________. 【解析】由题意得tan α＋tan β＝－33<0，tan α·tan β＝4>0，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，且tan α<0，tan β<0，又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，故α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－2π3. 答案：－2π310．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝________.二、解答题11．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ，x ∈R. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值； (2)若sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24. 解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 2π6＋sin π6cos π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋12×32＝3＋34. (2)因为f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋12sin 2x＝12＋12(sin 2x ＋cos 2x )＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π4 ＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α. 因为sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以cos α＝－45， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋2212×35－32×45 ＝10＋32－4620. 12．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3. (1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．。