最新人教版高中数学必修1第三章《用二分法求方程的近似解》同步训练

(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列的函数中，有零点但不能用二分法求零点近似值的是( ) ①y ＝3x 2－2x －5；②y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋1x ＋1x ≥0，x ＜0；③y ＝2x ＋1；④y ＝x 2－2x ＋3； ⑤y ＝12x 2＋4x ＋8.A ．①③B ．②⑤C ．③⑤D ．⑤解析： 要用二分法求零点的近似值必须满足以下两点：(1)函数在区间(a ，b )上连续无间断点；(2)函数图象必须在零点穿过x 轴，即该零点不能是二重零点．题中④没有零点，②是分段函数，但它不间断是连续的，③有间断点，在区间(－∞，0)上不间断，⑤有二重零点，故⑤符合题意． 答案： D2．用二分法求方程f (x )＝0在(1,2)内近似解的过程中得f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的根在区间( )A ．(1.25,1.5)B ．(1,1.25)C ．(1.5,2)D ．不能确定解析： 由题意知f (1.25)·f (1.5)<0，∴方程的根在区间(1.25,1.5)内，故选A. 答案： A3．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)＜0，f (0.5)＞0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________，以上横线上应填的内容为( )A ．(0,0.5)，f (0.25)B ．(0,1)，f (0.25)C ．(0.5,1)，f (0.75)D ．(0,0.5)，f (0.125)解析： 由f (0)·f (0.25)＜0，故其中一零点x 0∈(0,0.5)，第二次计算时取区间(0,0.5)的中点0.25，故第二次计算f (0.25)． 答案： A4．根据表中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为( )A.(－1,0) C ．(1,2)D ．(2,3)解析： 令f (x )＝e x －x －2，则 f (－1)＝0.37－1<0，f (0)＝1－2<0， f (1)＝2.72－3<0，f (2)＝7.39－4>0， f (3)＝20.09－5>0，∴f (1)·f (2)<0，故函数f (x )的零点位于区间(1,2)内，即方程e x －x －2＝0的一个根所在区间为(1,2)．故选C.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值的参考数据如下表：解析： 由于精确度是0.1，而|1.4375－1.375|＝0.0625<0.1，故取区间(1.375,1.4375)端点值1.375或1.4375作为方程近似解．答案： 1.4375(或1.375)6．设x 1，x 2，x 3依次是方程log 12x ＋2＝x ，log 2(x ＋2)＝－x ，2x ＋x ＝2的实根，则x 1，x 2，x 3的大小关系为________．解析： log 12x ＝x －2，在同一坐标系中，作出y ＝log 12x 与y ＝x －2的图象，如图(1)所示．由图象可知，两图象交点横坐标x 1>1.(1)同理，作出y＝log2(x＋3)与y＝－x的图象，如图(2)所示．由图形可知，两函数交点的横坐标x2<0.(2)作出y＝2x与y＝－x＋2的图象，如图(3)所示．由图形可知，两函数交点的横坐标0<x3<1.(3)综上可得，x2<x3<x1.答案：x2<x3<x1三、解答题(每小题10分，共20分)7．中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李咏给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖给选手，同时获得一枚商标．某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1 000元之间，选手开始报价：1 000元，主持人说：高了，紧接着报价900元，高了；700元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，猜中了．表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？解析：取价格区间[500,1 000]的中点750，如果主持人说低了，就再取[750,1 000]的中点875；否则取另一个区间[500,750]的中点；若遇到小数，则取整数，照这种方案，游戏过程猜价如下：750,875,812,843,859,851，经过6次可以猜中价格．8．证明方程6－3x＝2x在区间(1,2)内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确度0.1)．解析：设函数f(x)＝2x＋3x－6.∵f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，又∵f(x)是增函数，所以函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1,2)内有唯一的零点，则方程6－3x＝2x在区间(1,2)内有唯一一个实数解．设该解为x0，则x0∈(1,2)，取x1＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)·f(1.5)<0，∴x0∈(1,1.5)．取x2＝1.25，f(1.25)≈0.13>0，f(1)·f(1.25)<0，∴x0∈(1,1.25)．取x3＝1.125，f(1.125)≈－0.44<0，f(1.125)·f(1.25)<0.∴x0∈(1.125,1.25)．取x4＝1.187 5，f(1.187 5)≈－0.16<0，f(1.187 5)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.187 5,1.25)．∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1，∴可取x0＝1.25，则方程的一个实数解近似可取x0＝1.25.尖子生题库☆☆☆9．(10分)如果在一个风雨交加的夜里查找线路，从某水库闸房(设为A)到防洪指挥部(设为B)的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长，大约有200多根电线杆子呢！想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，算一算，要把故障可能发生的范围缩小到50 m～100 m左右，即一两根电线杆附近，要查多少次？解析：(1)如图所示，他首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，假设发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D查，这次若发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD段中点E来查，依次类推……(2)每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，因此只要7次就够了．。

4.5.2用二分法求方程的近似解一、单选题1．用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算f (0.64)<0，f (0.72)>0，f (0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为（ ） A ．0.9B ．0.7C ．0.5D ．0.42．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次计算，得f (0)<0，f (0.5)>0，第二次应计算f (x 1)，则x 1等于（ ） A ．1B ．－1C ．0.25D ．0.753．设函数3()48f x x x =+-，用二分法求方程3480x x +-=近似解的过程中，计算得到()10f <，()30f >，则方程的近似解落在区间（ ） A ．()1,1.5 B ．()1.5,2 C ．()2,2.5D ．()2.5,34．已知函数()22log 6f x x x =--，用二分法求()f x 的零点时，则其中一个零点的初始区间可以为（ ）A ．()1,2B ．()2,2.5C ．()2.5,3D ．()3,3.55．一种药在病人血液中的量保持1500mg 以上才有效，而低于500mg 病人就有危险．现给某病人注射了这种药2500mg ，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（ ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：1g20.301=，1g30.4771=，答案采取四舍五入精确到0.1h ） A ．2.3小时B ．3.5小时C ．5.6小时D ．8.8小时二、多选题6．用二分法求函数()232xf x x =+-在区间[]0,2上的零点近似值取区间中点1，则（ ） A ．下一个存在零点的区间为()0,1B ．下一个存在零点的区间为()1,2C ．要达到精确度1的要求，应该接着计算12f ⎛⎫⎪⎝⎭D ．要达到精确度1的要求，应该接着计算32f ⎛⎫ ⎪⎝⎭7．以下函数图象中，能用二分法求函数零点的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：A ．1.25B ．1.4375C ．1.40625D ．1.42199．下列函数中，有零点但不能用二分法求零点的近似值的是（ ）A ．y =2x+1B ．y =1010x x x x -+≥⎧⎨+<⎩，，，C ．y =12x 2+4x +8D ．y =|x |10．若函数()f x 的图像在R 上连续不断，且满足(0)0f <，(1)0f >，(2)0f >，则下列说法错误的是（ ） A ．()f x 在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点 B ．()f x 在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点 C ．()f x 在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点 D ．()f x 在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点三、填空题11．为了求函数()237x f x x =+-的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x 和函数()f x 的部分对应值，如下表所示：12．已知函数()322f x x x =--，()()120f f ⋅<，用二分法逐次计算时，若0x 是[]1,2的中点，则()0f x =________.四、解答题13．用二分法求24x x +=在[1]2，内的近似解(精确度为0.2).参考数据：14．判断函数()321f x x =-的零点个数，并用二分法求零点的近似值．(精确度0.1)15．为确定传染病的感染者，医学上可采用“二分检测方案”．假设待检测的总人数是2m （m 为正整数）．将这2m 个人的样本混合在一起做第1轮检测（检测1次），如果检测结果是阴性，可确定这些人都未感染；如果检测结果是阳性，可确定其中有感染者，则将这些人平均分成两组，每组12m -个人的样本混合在一起做第2轮检测，每组检测1次．依此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的组，而将每个结果为阳性的组再平均分成两组，做下一轮检测，直至确定所有的感染者． 例如，当待检测的总人数为8，且标记为“x ”的人是唯一感染者时，“二分检测方案”可用下图表示．从图中可以看出，需要经过4轮共n 次检测后，才能确定标记为“x ”的人是唯一感染者．（1）写出n 的值；（2）若待检测的总人数为8，采用“二分检测方案”，经过4轮共9次检测后确定了所有的感染者，写出感染者人数的所有可能值；（3）若待检测的总人数为102，且其中不超过2人感染，写出采用“二分检测方案”所需总检测次数的最大值．参考答案1．B 【分析】利用二分法求函数零点的近似值的条件及方法分析判断即得. 【详解】依题意，函数的零点在(0.68，0.72)内，四个选项中只有0.70.68,()0.72∈，且满足|0.72-0.68|<0.1， 所以所求的符合条件的近似值为0.7. 故选：B 2．C 【分析】根据二分法的原理，直接求解即可. 【详解】第一次计算，得f (0)<0，f (0.5)>0，可知零点在()0,0.5之间， 所以第二次计算f (x 1)，则x 1＝00.52+＝0.25. 故选：C 3．A 【分析】根据二分法求方程的近似解的过程，由条件先求得()20f >，再求32f ⎛⎫⎪⎝⎭的符号，只须找到满足()()0f a f b <即可【详解】取12x =，因为()24828260f =⨯+-=>，所以方程近似解()01,2x ∈， 取232x =，因为3273f 4870282⎛⎫=⨯+-=> ⎪⎝⎭，所以方程近似解031,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：A. 4．C 【分析】根据函数解析式，结合二次函数与对数函数单调性，分别判断ABD 都不正确，再结合零点存在性定理，即可得出结果. 【详解】因为函数()22log 6f x x x =--在()0,∞+上显然是连续函数，2yx 和2log 6y x =+在()0,∞+上都是增函数，当()1,2x ∈时，2222246log 16log 6x x <=<=+<+，所以()22log 60f x x x =--<在()1,2x ∈上恒成立； 当()2,2.5x ∈时，22222.5 6.257log 26log 6x x <=<=+<+，所以()22log 60f x x x =--<在()2,2.5x ∈上也恒成立；当()3,3.5x ∈时，222239log 3.56log 6x x >=>+>+，所以()22log 60f x x x =-->在()3,3.5x ∈上恒成立，又22(2.5) 2.5log 2.560f =--<，2(3)9log 360f =-->，根据函数零点存在性定理，可得()f x 的其中一个零点的初始区间可为()2.5,3. 故选：C. 【点睛】 方法点睛：判断零点所在区间的一般方法：先根据题中条件，判断函数在所给区间是连续函数，再由零点存在性定理，即可得出结果. 5．A 【分析】药在血液中以每小时20%的比例衰减，根据指数函数模型列方程或不等式求解． 【详解】设从现在起经过x 小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效． 则25000.81500x ⨯=，0.80.6x =，lg 0.8lg 0.6x =，lg 0.8lg 0.6x =，6lglg 0.6lg 2lg310.3010.4771110 2.38lg 0.83lg 2130.3011lg 10x +-+-====≈-⨯-．故选：A ． 6．AC 【分析】根据二分法求零点的步骤，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】因为()0020210f =+-=-<，()222620f =+->，()112320f =+->，所以()()010f f <，所以下一个存在零点的区间为()0,1，故A 正确，B 错误； 要达到精确度1的要求，应该接着计算12f ⎛⎫⎪⎝⎭，故C 正确，D 错误.故选：AC ． 7．ABC 【分析】根据利用二分法无法求不变号的零点问题确定选项. 【详解】D 选项虽然有零点，但是在零点左右两侧函数值符号都相同， 因此不能用二分法求零点，而A ，B ，C 选项符合利用二分法求函数零点的条件． 故选：ABC ． 【点睛】本题考查了零点判定定理的应用和二分法求解函数的零点．属于容易题. 8．BCD 【分析】由根的存在性定理判断根的较小区间，从而求近似解． 【详解】解：由表格可得，函数32()22f x x x x =+--的两点在(1.375,1.4375)之间， 符合条件的有BCD. 故选：BCD ． 9．CD 【分析】根据二分法定义，只有零点两侧函数值异号才可用二分法求近似值． 【详解】对于选项C ，y =12x 2+4x +8=12(x +4)2≥0，故不能用二分法求零点的近似值. 对于选项D ，y =|x |≥0，故不能用二分法求零点的近似值. 易知选项A ，B 有零点，且可用二分法求零点的近似值. 故选：CD ． 10．ABD 【分析】根据()f x 的图像在R 上连续不断，()00f <，()10f >，()20f >，结合零点存在定理，判断出在区间()0,1和()1,2上零点存在的情况，得到答案． 【详解】由题知()()010f f ⋅<，所以根据函数零点存在定理可得()f x 在区间()0,1上一定有零点， 又()()120f f ⋅>，无法判断()f x 在区间()1,2上是否有零点，在区间(1，2)上可能有零点． 故选：ABD ． 11．1.4 【分析】根据函数零点存在定理、用二分法求方程的近似解的相关知识，代值求解即可. 【详解】由题表知()()1.375 1.43750f f ⋅<，且1.4375 1.3750.06250.1-=<， 所以方程的一个近似解可取为1.4， 故答案为：1.4. 12． 1.625-. 【分析】先求出0x 的值，再代入解析式即可求解. 【详解】因为0x 是[]1,2的中点，所以0 1.5x =，所以()()30 1.5 1.52 1.52 1.625f x f ==-⨯-=-，故答案为： 1.625-. 13．1.375 【分析】本题直接用二分法求方程的近似解即可. 【详解】解：令()24xf x x =+-，则()12140f =+-<，()222240f =+->，∵24x x +=在[1]2，内的近似解可取为1.375. 14．0.75 【分析】首先由()()010f f ⋅<结合()f x 的单调性可知()f x 有且只有一个零点()00,1x ∈，再利用取区间中点的方法利用零点存在性定理将零点所在区间逐渐减半，直到满足精确度即可. 【详解】因为()321f x x =-，所以()010f =-<，()12110f =-=>因为()()010f f ⋅<，所以()f x 在区间()0,1内有零点，因为()321f x x =-在R 上为增函数，所以()f x 有且只有一个零点()00,1x ∈，取区间()0,1的中点10.5x =，()30.520.510.750f =⨯-=-<，所以()()0.510f f ⋅<，可得()00.5,1x ∈，取区间()0.5,1的中点20.75x =，()30.7520.7510.156250f =⨯-=-<，所以()()0.7510f f ⋅<，可得()00.75,1x ∈，取区间()0.75,1的中点30.875x =，()30.87520.87510.33980f =⨯-=>，所以()()0.750.8750f f ⋅<，可得()00.75,0.875x ∈，取区间()0.75,0.875的中点40.8125x =，()30.812520.812510.07280f =⨯-=>，所以()()0.750.81250f f ⋅<，可得()00.75,0.8125x ∈， 因为0.81250.750.06250.1-=<，所以()321f x x =-零点的近似值可取为0.75.15．（1）7n =；（2）感染者人数可能的取值为2，3，4；（3）39． 【分析】（1）由图可计算得到n的取值；（2）当经过4轮共9次检测后确定所有感染者，只需第3轮对两组都进行检查，由此所有可能的结果；（3）当所需检测次数最大时，需有2名感染者，并在第2轮检测时分居两组当中，从而将问题转化为待检测人数为92的组，每组1个感染者，共需的检测次数，由此可计算求得结果.【详解】（1）由题意知：第1轮需检测1次；第2轮需检测2次；第3轮需检测2次；第4轮需检测2次；12227∴=+++=；n（2）由（1）可知：若只有1个感染者，则只需7次检测即可；经过4轮共9次检测查出所有感染者，比只有1个感染者多2次检测，则只需第3轮时，对两组都都进行检查，即对最后4个人进行检查，可能结果如下图所示：∴感染者人数可能的取值为2，3，4.（3）若没有感染者，则只需1次检测即可；+⨯=次检测即可；若只有1个感染者，则只需121021若有2个感染者，若要检测次数最多，则第2轮检测时，2个感染者不位于同一组中；+⨯=次检测；∴此时两组共此时相当于两个待检测人数均为92的组，每组1个感染者，此时每组需要12919⨯=次检测；需21938∴若有2个感染者，且检测次数最多，共需38139+=次检测.综上所述：所需总检测次数的最大值为39.。

4.5.2用二分法求方程的近似解基础过关练题组一二分法的概念与对二分法求函数零点步骤的理解1.下列函数中不能用二分法求零点近似值的是()A.f(x)=3x-1B.f(x)=x3C.f(x)=|x|D.f(x)=ln x2.用二分法求函数f(x)在(a,b)内的唯一零点时,精确度为0.001,则结束计算的条件是()A.|a-b|<0.1B.|a-b|<0.001C.|a-b|>0.001D.|a-b|=0.0013.(2019湖南湘东五校高一上期末联考)下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点近似值的是()4.若函数f(x)在[a,b]上的图象为一条连续不断的曲线,且同时满足)>0,则()f(a)·f(b)<0,f(a)·f(a+b2]上有零点A.f(x)在[a,a+b2,b]上有零点B.f(x)在[a+b2]上无零点C.f(x)在[a,a+b2,b]上无零点D.f(x)在[a+b25.(2020吉林一中高一上期中)用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次经过计算f(0)<0,f(1)>0,则第二次应计算f()的值.题组二二分法求方程的近似解6.在用二分法求函数f(x)零点近似值时,第一次所取的区间是[-2,4],则第三次所取的区间可能是()A.[1,4]B.[-2,1]C.[-2,52] D.[-12,1]7.(2020湖南师大附中高一上期中)某同学求函数f(x)=ln x+2x-6的零点时,用计算器算得的部分函数值如表所示:x23 2.5 2.75 2.625 2.5625f(x)-1.3069 1.0986-0.0840.5120.2150.066则方程ln x+2x-6=0的近似解(精确度为0.1)可取为()A.2.52B.2.625C.2.47D.2.758.用二分法求函数f(x)=ln x+2x-6在区间(2,3)内的零点近似值(取端点值),至少经过次二分后精确度达到0.1()A.2B.3C.4D.59.(2020河南省实验中学高一上期中)在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时,将根锁定在区间(1,2)内,则下一步可以判断该根所在区间为.10.用二分法求2x+x=4在[1,2]内的近似解(精确度为0.2).参考数据如下表.x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.8752x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67题组三二分法思想的应用11.设a是函数f(x)=2x-lo g1x的零点,若x0>a,则f(x0)的值满足()2A.f(x0)=0B.f(x0)>0C.f(x0)<0D.以上都有可能12.在一个风雨交加的夜里,从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障,这是一条长为10km,大约有200根电线杆的线路,设计一个能迅速查出故障所在的方案,维修线路的工人师傅最多检测几次就能找出故障地点所在区域(精确到100m范围内)?13.已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,求证a>0,并利用二分法证明方程f(x)=0在区间[0,1]内有两个实数根.答案全解全析 基础过关练1.C 选项C,令|x|=0,得x=0,即函数f(x)=|x|存在零点,但当x>0时,f(x)>0;当x<0时,f(x)>0,所以f(x)=|x|的函数值非负,即函数f(x)=|x|有零点,但零点两侧的函数值同号,所以不能用二分法求零点的近似值.2.B 由二分法的步骤知当区间长度|b-a|小于精确度ε时,便可结束计算.3.D 根据二分法的原则,函数f(x)在区间[a,b]上的图象连续不断,且f(a)·f(b)<0,即函数的零点是变号零点,才能将区间[a,b]一分为二,逐步得到零点的近似值.对各图象分析可知,选项A,B,C 都符合条件,而选项D 不符合,由于零点左右两侧的函数值不变号,因此不能用二分法求函数零点的近似值,故选D.4.B 由f(a)·f(b)<0,f(a)·f (a+b 2)>0可知f (a+b 2)·f(b)<0,根据零点存在性定理可知f(x)在[a+b 2,b]上有零点.5.答案 0.5解析 由已知及二分法解题步骤可知,第二次应计算f (0+12)=f(0.5)的值.6.D ∵第一次所取的区间是[-2,4],∴第二次所取的区间可能为[-2,1],[1,4],∴第三次所取的区间可能为[-2,-12],[-12,1],[1,52],[52,4].7.A 由f(2)=-1.306 9<0,f(3)=1.098 6>0,得方程的近似解在(2,3)内,精确度为1;由f(2.5)=-0.084<0,得方程的近似解在(2.5,3)内,精确度为0.5;由f(2.75)=0.512>0,得方程的近似解在(2.5,2.75)内,精确度为0.25;由f(2.625)=0.215>0,得方程的近似解在(2.5,2.625)内,精确度为0.125;由f(2.562 5)=0.066>0,得方程的近似解在(2.5,2.562 5)内,精确度为0.062 5<0.1.因此可取区间[2.5,2.562 5]内的任意值作为方程的近似解,故选A.8.C 开区间(2,3)的长度等于1,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半,经过n 次操作后,区间长度变为12n ,故有12n ≤0.1,∴n ≥4,∴至少需要操作4次.故选C. 9.答案 (32,2)解析 设f(x)=x 3-2x-1,则f(1)=1-2-1=-2<0,f(2)=8-4-1=3>0. 取区间(1,2)的中点值32,则f (32)=(32)3-2×32-1=-58<0,故下一步可以判断该根所在区间为(32,2).10.解析 令f(x)=2x +x-4,则f(1)=2+1-4=-1<0, f(2)=22+2-4=2>0.区间 精确度 区间中点值x f(x )的值及符号 (1,2)|2-1|=1x =1.5f(x )=0.33>0(1,1.5)|1.5-1|=0.5x =1.25f(x )=-0.37<0(1.25,1.5)|1.5-1.25|=0.25x =1.375f(x )=-0.035<0(1.375,1.5)|1.5-1.375|=0.125∵|1.375-1.5|=0.125<0.2,∴2x +x=4在[1,2]内的近似解可取为1.375.11.B 画出y=2x 与y=lo g 12x 的图象(图略),可知当x 0>a 时,2x 0>lo g 12x 0,故f(x 0)>0.12.解析 如图所示.工人师傅首先从中点C 检测,用随身带的设备测试,发现AC 段正常,可见故障在BC 段;再从线段BC 的中点D 检测,发现BD 段正常,可见故障在CD 段;再从CD 段的中点E 检测……由此类推,每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半,可以算出经过n 次检测,所剩线路的长度为10 0002nm,则有10 0002n≤100,即2n ≥100,又26=64,27=128,故至多只要检测7次就能找到故障地点所在区域.13.证明 ∵f(1)>0,∴f(1)=3a+2b+c>0,即3(a+b+c)-b-2c>0. ∵a+b+c=0,∴a=-b-c,-b-2c>0,∴-b-c>c,即a>c. ∵f(0)>0,∴f(0)=c>0,∴a>0.取区间[0,1]的中点值12,则f (12)=34a+b+c=34a+(-a)=-14a<0.∵f(0)>0,f(1)>0,∴函数f(x)在区间(0,12)和(12,1)上各有一个零点.又f(x)为二次函数,最多有两个零点,∴f(x)=0在[0,1]内有两个实数根.。

§3.1.2 用二分法求方程的近似解※基础达标1．函数5()3f x x x =+-的实数解落在的区间是（ ）.A. [0，1]B. [1，2]C. [2，3]D. [3，4]2．设()338x f x x =+-, 用二分法求方程3380(1,2)x x x +-=∈在内近似解的过程中, 计算得到(1)0,(1.5)0,(1.25)0,f f f <>< 则方程的根落在区间（ ）.A.（1,1.25）B.（1.25,1.5）C.（1.5,2）D.不能确定3．如图所示，每个函数图象都有零点，但不能用二分法求图中函数零点的是（ ）4．（07年山东卷.文11）设函数3y x =与21()2x y -=的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是（ ）. A. (01)，B. (12)，C. (23)，D. (34)，5．已知函数()f x 的一个零点0(2,3)x ∈，在用二分法求精确度为0.01的0x 的一个值时，判断各区间中点的函数值的符号最多（ ）.A. 5次B. 6次C. 7次D. 8次6．用“二分法”求方程3250x x --=在区间[2，3]内的实根，取区间中点为0 2.5x =，那么下一个有根的区间是 .7．举出一个方程，但不能用“二分法”求出它的近似解 . ※能力提高 8．已知3()24f x x x =--+，求证此函数()f x 有且仅有一个零点，并求此零点的近似值（精确到0.1）. 9．某电器公司生产A 种型号的家庭电脑. 1996年平均每台电脑的成本5000元，并以纯利润2%标定出厂价. 1997年开始，公司更新设备、加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低. 2000年平均每台电脑出厂价仅是1996年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效率.（1）求2000年的每台电脑成本； （2）以1996年的生产成本为基数，用“二分法”求1996年至2000年生产成本平均每年降低的百分率（精确到0.01）.※探究创新10．已知函数2()22f x x x =+-. （1）如果函数2()(2)g x f x =-，求函数()g x 的解析式；（2）借助计算器，画出函数()g x 的图象； （3）求出函数()g x 的零点（精确到0.1）.第21练 §3.1.2 用二分法求方程的近似解【第21练】 1～5 BBCBC ； 6. [2，2.5]； 7. 22220x x ++=8. 解：易知函数3()24f x x x =--+在定义域R 上是减函数.3(1)121410f =--⨯+=>，3(2)222480f =--⨯+=-<，即(1)(2)0f f <， 说明函数()f x 在区间(1,2)内有零点，且仅有一个.设零点为00,(1,2)x x ∈则，取1 1.5,(1.5) 2.2750,(1.5)(2)0x f f f ==><，∴ 0(1.5,2)x ∈. 取2 1.75,(1.75) 4.8590,(1.5)(1.75)0x f f f ==-><，∴ 0(1.5,1.75)x ∈. 取3 1.625,(1.625) 3.5410,(1.5)(1.625)0x f f f ==-<<，∴ 0(1.5,1.625)x ∈. 取4 1.5625,(1.5625) 2.9400,(1.5)(1.5625)0x f f f ==-<<，∴ 0(1.5,1.5625)x ∈. ∵ 1.5 1.56250.06250.1-=<，∴ 可取0 1.6x =，则函数的零点为1.6.9. 解：（1）设2000年每台电脑的成本为p 元，则(150%)5000(120%)80%p +=+⨯，解得p =3200元.（2）设1996年至2000年平均每年降低的百分率为x ，根据题意得45000(1)3200(01)x x -=<<.令4()5000(1)3200(01)f x x x =--<<，作出对应值表： x 0 0.15 0.3 0.45 0.6 0.75 0.9 1.05f (x ) 1800 －590 －2000 －2742 －3072 －3180 －3200 －3200观察上表，可知零点在（0，0.15）内，取其中点为1x =0.075，且(0.075)460f ≈， 再取区间（0.075，0.15）的中点，2x =0.1125，且(0.1125)98f ≈-， 同理可取区间（0.075，0.1125），中点3x =0.103125，且(0.103125)0f >，依此类推（0.103125，0.1125），（0.103125，0.1078125），（0.10546875，0.1078125）内有零点.（0.10546875，0.1078125）内任一值的满足精确度0.01，且近似解为0.11. 10.（1） 24()22g x x x =+-； （2）图象如右图；（3）零点为 1.7±（过程略）.oxy2个。

3.1.2用二分法求方程的近似解1．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是()A．ε越大，零点的精确度越高B．ε越大，零点的精确度越低C．重复计算次数就是εD．重复计算次数与ε无关2．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间…()A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)C．(1.5,2) D．不能确定3．已知f(x)＝ax2＋bx，ab≠0，且f(x1)＝f(x2)＝2 009，则f(x1＋x2)＝__________.4．若函数f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为__________．(只填序号)①(－∞，1]②[1,2]③[2,3]④[3,4]⑤[4,5]⑥[5,6]⑦[6，＋∞)课堂巩固1．下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是()2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是()A．[－2,1] B．[－1,0] C．[0,1] D．[1,2]3．下图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是()A ．[－2.1，－1]B ．[4.1,5]C ．[1.9,2.3]D ．[5,6.1]4．下列是关于函数y ＝f(x)，x ∈[a ，b]的几个命题：①若x 0∈[a ，b]且满足f(x 0)＝0，则(x 0,0)是f(x)的一个零点；②若x 0是f(x)在[a ，b]上的零点，则可用二分法求x 0的近似值；③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点； ④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值．那么以上叙述中，正确的个数为( )A ．0B ．1C ．3D ．45．已知x 0是函数f(x)＝2x －log 13x 的零点，若0<x 1<x 0，则f(x 1)的值满足( ) A ．f(x 1)>0B ．f(x 1)<0C ．f(x 1)＝0D ．f(x 1)>0与f(x 1)<0均有可能6．若方程(12)x ＝x 的解为x 0，则x 0所在的区间为 ( )A ．(0.1,0.2)B ．(0.3,0.4)C ．(0.5,0.7)D ．(0.9,1)7．奇函数f(x)的定义域为R ，在(0，＋∞)上，f(x)为增函数．若－3是f(x)的一个零点，则f(x)另外的零点是__________．8．证明方程6－3x ＝2x 在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解．(精确度0.1)1．若一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0有一个正根和一个负根，则有( )A ．a<0B ．a>0C ．a<－1D ．a>12．方程0.9x －x ＝0的实数根的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．33．已知函数f(x)＝(x －a)(x －b)＋2(a<b)，并且α，β(α<β)是函数y ＝f(x)的两个零点，则实数a ，b ，α，β的大小关系是( )A ．a<α<β<bB ．α<a<b<βC ．α<a<β<bD ．a<α<b<β4．函数y ＝lnx ＋2x －6的零点一定位于如下哪个区间上．( )A ．(0,1)B ．(1，74) C ．(74，52) D ．(52，4) 5.利用计算器，列出自变量和函数值的对应关系如下表：那么方程2x ＝x 2的一个根位于下列哪个区间内( )A ．(0.6,1.0)B ．(1.4,1.8)C ．(1.8,2.2)D ．(2.6,3.0)6．已知偶函数y＝f(x)有四个零点，则方程f(x)＝0的所有实数根之和为__________．7．若奇函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的三个零点x1、x2、x3满足x1x2＋x2x3＋x1x3＝－2，则b ＋c＝__________.8．若关于x的方程3x2－5x＋a＝0的一个根在(－2,0)内，另一个根在(1,3)内，求a的取值范围．9．在一个风雨交加的夜晚，从水库闸房A到防洪指挥部B的电话线路发生了故障．这是一条长10 km的线路，如果沿着线路一小段一小段的查找，困难很多，因为每查一个点就要爬一次线杆，而10 km长的线路约有200根线杆！想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最为合理？10．试找出一个长度为1的区间，在这个区间上函数y＝x－13x＋2至少有一个零点．11．已知函数f(x)＝a x＋x－2x＋1(a>1)．(1)求证：f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；(2)若a＝3，求方程f(x)＝0的正根(精确度为0.1)．答案与解析3．1.2 用二分法求方程的近似解课前预习1．B 依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．2．B 根据根的存在性原理进行判断．3．0 由题意x 1、x 2是方程ax 2＋bx －2 009＝0的两个根，所以x 1＋x 2＝－b a，从而f(x 1＋x 2) ＝f(－b a )＝a(－b a )2＋b(－b a)＝0. 4．③④⑤课堂巩固1．B 因B 不是变号零点，故应选B.2．A 由于f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，故可以取区间[－2,1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算．3．B 用二分法只能求出变号零点的值，对于非变号零点，其值则不能使用二分法．4．A ∵①中x 0∈[a ，b]且f(x 0)＝0，∴x 0是f(x)的一个零点，而不是(x 0,0)，∴①错误；②∵函数f(x)不一定连续，∴②错误；③方程f(x)＝0的根一定是函数f(x)的零点，∴③错误；④用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，∴④也错误．5．B 在同一坐标系中作出函数y 1＝2x ，y 2＝log 13x 的图象，易知0<x 0<1，f(x 1)<0. 6．C 令f(x)＝(12)x －x ，f(1)＝12－1＝－12<0，f(0.5)＝(12)0.5－0.5＝12－14>0，f(0.7)＝(12)0.7－0.7<0， ∴f(x)的零点在区间(0.5,0.7)内．7．0,3 ∵f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(0)＝0，f(3)＝－f(－3)＝0.又∵f(x)在x ∈(0，＋∞)上是增函数，∴x ＝3是x ∈(0，＋∞)上的唯一零点．8.解：证明：设函数f(x)＝2x ＋3x －6，因为f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，所以f(1)·f(2)<0.又因为f(x)在R 上连续且是增函数，所以函数f(x)在区间[1,2]内有唯一的零点．所以方程6－3x ＝2x 在区间[1,2]内有唯一一个实数解．设此解为x 0，则x 0∈[1,2]．取x 1＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)·f(1.5)<0.所以x 0∈(1,1.5)．取x 2＝1.25，f(1.25)≈0.128>0，f(1)·f(1.25)<0，所以x 0∈(1,1.25)．取x 3＝1.125，f(1.125)≈－0.44<0，f(1.125)·f(1.25)<0，所以x 0∈(1.125,1.25)．取x 4＝1.187 5，f(1.187 5)≈－0.16<0，f(1.187 5)·f(1.25)<0，所以x 0∈(1.187 5,1.25)．因为|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1，所以可取x 0＝1.187 5，即方程6－3x ＝2x 的实数解的近似值可取为1.187 5.点评：用二分法求函数零点的近似值x 0，要精确度为ε，即零点的近似值x 0与零点的真值α的误差不超过ε，零点近似值x 0的选取有以下方法：(1)若区间(a ，b)使|a －b|<ε，则因零点值α∈(a ，b)，所以a(或b)与真值α满足|a －α|<ε或|b －α|<ε.所以只需取零点近似值x 0＝a(或b)．(2)在区间[a n ，b n ]使|a n －b n |<2ε，取零点近似值x 0＝a n ＋b n 2，则|x 0－α|<12|a n －b n |<ε. 课后检测1．A 由题意得两根x 1x 2<0，即1a<0，即a<0. 2．B 设f(x)＝0.9x －x ，则它在x ∈(－∞，＋∞)上是减函数．∵f(0)＝0.90－0＝1>0，f(1)＝0.9－1＝－0.1<0，∴它在(0,1)上存在零点，同时，也是唯一的零点．3．A 函数g(x)＝(x －a)(x －b)的两个零点是a 、b.由于y ＝f(x)的图象可看作是由y ＝g(x)的图象向上平移2个单位而得到的，所以a<α<β<b.4．D 令f(x)＝lnx ＋2x －6，则f(2.5)＝ln2.5＋2×2.5－6＝ln2.5－1＝ln 2.5e<ln1＝0. 又f(4)＝ln4＋2×4－6＝ln4＋2>0，f(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以方程lnx ＋2x －6＝0的根必定在区间(2.5,4)内．5．C 设f(x)＝2x －x 2，根据列表有f(0.2)＝1.149－0.04>0，f(0.6)>0，f(1.0)>0，f(1.4)>0，f(1.8)>0，f(2.2)<0，f(2.6)<0，f(3.0)<0，f(3.4)<0.因此方程的一个根在区间(1.8，2.2)内．6．0 不妨设它的两个正零点分别为x 1，x 2.由f(－x)＝f(x)可知它的两个负零点分别是－x 1，－x 2，于是x 1＋x 2－x 1－x 2＝0.7．－2 ∵f(x)是奇函数，∴b ＝0.∴f(x)＝x 3＋cx.令f(x)＝0，得x 1＝0，x 2＝－－c ，x 3＝－c(c<0)．由x 1x 2＋x 2x 3＋x 3x 1＝－2得c ＝－2，∴b ＋c ＝－2.8．解：设f(x)＝3x 2－5x ＋a ，则f(x)为开口向上的抛物线(如图所示)．∵f(x)＝0的两根分别在区间(－2,0)，(1,3)内， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ f(－2)>0，f(0)<0，f(1)<0，f(3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3×(－2)2－5×(－2)＋a>0，a<0，3－5＋a<0，3×9－5×3＋a>0.解得－12<a<0.故所求a 的取值范围是{a|－12<a<0}．9．解：可以利用二分法的原理进行查找．首先从AB 的中点C 处开始，用随身带的话机通过向两端喊话进行测试，若AC 段正常，则断定故障在BC 段．再到BC 段中点D ，这次若发现BD 段正常，则断定故障在CD 段．再到CD 的中点E 去查，….这样每查一次，就可以把待查的线路的长度缩减一半，故经过7次查找，即可将故障范围缩小到50～100米之间，即一两根电线杆附近．10．解：函数f(x)＝x －13x ＋2的定义域为(－∞，－23)∪(－23，＋∞)．取区间[12，32]． ∵f(12)＝－17<0，f(32)＝113>0， ∴在区间[12，32]内函数f(x)至少有一个零点．∴[12，32]就是符合条件的一个区间． 11．解：(1)证明：任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1，且ax 1>0. ∴ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0.又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0，∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)>0. 于是f(x 2)－f(x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0.故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数． (2)由(1)知，当a ＝3时，f(x)＝3x ＋x －2x ＋1也在(－1，＋∞)上为增函数，故在(0，＋∞)上也单调递增．因此f(x)＝0的正根仅有一个，以下用二分法求这一正根．由于f(0)＝－1<0，f(1)＝52>0，∴取(0,1)为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表：由于|0.312 5－0.25|＝0.062 5<0.1，∴原方程的近似解可取为0.312 5.点评：求函数零点的近似值时，由于所选的初始区间不同，最后得到的结果可以不同，只要它们符合所给定的精确度，就是正确的．用二分法求方程的近似解可按下面的口诀进行记忆：函数连续值两端，相乘为负有零点，区间之内有一数，方程成立很显然．要求方程近似解，先看零点的区间，每次区间分为二，先后两端近零点．。

4.5.2 二分法求方程的近似解（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2022·全国·高一课时练习）用二分法求函数()3222f x x x x =+--的一个零点的近似值（误差不超过0.1）时，依次计算得到如下数据：12f ，()1.50.625f =，()1.250.984f =-，()1.3750.260f =-，关于下一步的说法正确的是（ ）A ．已经达到对误差的要求，可以取1.4作为近似值B ．已经达到对误差的要求，可以取1.375作为近似值C ．没有达到对误差的要求，应该接着计算()1.4375fD ．没有达到对误差的要求，应该接着计算()1.3125f2．（2022·全国·高一课时练习）若函数()31f x x x =--在区间[]1,1.5内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算，列表如下： x11.51.251.3751.3125()f x －1 0.875 －0.2969 0.2246 －0.05151则方程310x x --=的一个近似根（误差不超过0.05）为（ ） A ．1.375B ．1.34375C ．1.3125D ．1.253．（2022·全国·高一课时练习）关于用二分法求方程的近似解，下列说法正确的是（ ） A ．用二分法求方程的近似解一定可以得到()0f x =在[],a b 内的所有根 B ．用二分法求方程的近似解有可能得到()0f x =在[],a b 内的重根 C ．用二分法求方程的近似解有可能得出()0f x =在[],a b 内没有根 D ．用二分法求方程的近似解有可能得到()0f x =在[],a b 内的精确解4．（2022·全国·高一课时练习）若函数32()22f x x x x =+--的部分函数值如下，那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）可以是（ ）12f()1.50.625f =()1.250.984f ≈-()1.3750.260f ≈-()1.43750.162f ≈A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.55．（2022·江苏·南京师范大学附属中学江宁分校高一期中）用二分法研究函数()321f x x x =+-的零点时，第一次计算，得()00f <，()0.50f >，第二次应计算()1f x ，则1x 等于（ ） A ．1B ．1-C ．0.25D ．0.756．（2022·全国·高一课时练习）用二分法研究函数()5381f x x x =+-的零点时，第一次经过计算得()00f <，()0.50f >，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）A ．()0,0.5，()0.125fB ．()0,0.5，()0.375fC ．()0.5,1，()0.75fD ．()0,0.5，()0.25f7．（2022·全国·高一课时练习）下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题8．（2022·全国·高一课时练习）某同学用二分法求函数()237xf x x =+-的零点时，计算出如下结果：()1.50.33f ≈，()1.250.87f ≈-，()1.3750.28f ≈-，()1.43750.02f ≈，()1.406250.13f ≈-．下列说法正确的有（ ）A ．()f x 的零点在区间()1.375,1.40625内B ．()f x 的零点在区间()1.25,1.4375内C ．精确到0.1的近似值为1.4D ．精确到0.1的近似值为1.59．（2022·全国·高一课时练习）如图，函数()f x 的图像与x 轴交于()1,0M x ，()2,0N x ，()3,0P x ，()4,0Q x 四点，则能用二分法求出()f x 的零点近似值的是（ ）A ．1xB ．2xC ．3xD ．4x10．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，有零点且能用二分法求零点的近似值的是（ ） A ．23y x=- B ．1,01,0x x y x x -+≥⎧=⎨+<⎩C ．233y x x =-+D ．2y x =-11．（2022·湖北大学附属中学高一阶段练习）某同学用二分法求函数()237xf x x =+-的零点时，计算出如下结果：()1.50.33f =，()1.250.87f =-，()1.3750.26f =-，()1.43750.02f =，()1.40650.13f =-，()1.4220.05f =-，下列说法正确的有（ ）A ．精确到0.1的近似值为1.375B ．精确到0.01的近似值为1.4065C ．精确到0.1的近似值为1.4375D ．精确到0.1的近似值为1.25三、填空题12．（2022·全国·高一专题练习）根据下表，用二分法求函数3()31f x x x =-+在区间(1,2)上的零点的近似值（精确度0.1）是__________． f （1）=-1f （2）=3f （1.5）=-0.125 f （1.75）=1.109375f （1.625）=0.41601562f （1.5625）=0.1271972613．（2022·全国·高一课时练习）对于在区间[],a b 上图象连续不断且________的函数()y f x =，通过不断地把它零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做___________14．（2022·全国·高一专题练习）利用二分法求3()2f x x =-的零点时，第一次确定的区间是12（,），第二次确定的区间是___________.15．（2022·全国·高一专题练习）用二分法研究函数3()21f x x x =+-的零点，第一次经计算(0)0,(0.5)0f f <>，则第二次计算的()f x 的值为___．16．（2022·全国·高一专题练习）用二分法求函数()()ln 11f x x x =++-在区间[0,1]上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为______． 四、解答题17．（2022·全国·高一课时练习）已知函数2()281f x x x =--为R 上的连续函数，判断()f x 在()1,1-上是否存在零点？若存在，用二分法求出这个零点的近似值（精确到0.1）；若不存在，请说明理由．18．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()()20f x ax bx c a =++>，且()12a f =-．(1)求证：函数()f x 有两个不同的零点；(2)设1x ，2x 是函数()f x 的两个不同的零点，求12x x -的取值范围．【能力提升】一、单选题1．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中不能用二分法求零点近似值的是（ ） A ．f (x )＝3x －1 B ．f (x )＝x 3 C ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝ln x2．（2022·全国·高一课时练习）用二分法求函数()()ln 11f x x x =++-在区间()0,1内零点的近似值，要求误差不超过0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．83．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x 满足：对任意[]12,,x x a b ∈，都有()()12120f x f x x x ->-，且()()0f a b ⋅<.在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为[],,,,1,23a b b a b a a +⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，又2403a b f +-⎛⎫= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的零点为（ ）A ．12 B ．13 C ．14 D ．154．（2022·全国·高一课时练习）已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ）A ．1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,(0,22)2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(,0)(0,22)-∞D ．(,0)(22,)-∞+∞二、多选题5．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x 在区间()0,3上有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，若()00f >，()()()1230f f f <，则下列命题正确的是（ ） A ．函数()f x 的两个零点可以分别在区间0,1和1,2内 B ．函数()f x 的两个零点可以分别在区间1,2和()2,3内 C ．函数()f x 的两个零点可以分别在区间0,1和()2,3内 D ．函数()f x 的两个零点不可能同时在区间1,2内6．（2022·四川省内江市第六中学高一开学考试）（多选）某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1％，而这种溶液最初的杂质含量为2％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少13，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为（参考数据：lg 20.301≈，lg30.477≈） A ．6 B ．9 C ．8 D ．7三、填空题7．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高一阶段练习）已知函数()325f x x x =-+在[]2,1x ∈--上有零点，用二分法求零点的近似值（精确度小于0.1）时，至少需要进行______次函数值的计算.8．（2022·全国·高一专题练习）中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧(法号：一行)为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法——二次插值算法(又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年)：对于函数()y f x =在()123123,,x x x x x x <<处的函数值分别为()11y f x =，()22y f x =，()33y f x =，则在区间[]13,x x 上()f x 可以用二次函数()()()()111212f x y k x x k x x x x =+-+--来近似代替，其中21121y y k x x -=-，3232y y k x x -=-，1231k k k x x -=-．若令10x =，22x π=，3x π=，请依据上述算法，估算2sin5π的近似值是_______． 9．（2022·全国·高一专题练习）若函数()f x 的图象是连续的，且函数()f x 的唯一零点同在()0,4，()0,2，31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，53,42⎛⎫⎪⎝⎭内，则与()0f 符号不同的是______.（填写所有正确的序号） ①()4f ；②()2f ；③()1f ；④32f ⎛⎫⎪⎝⎭；⑤54f ⎛⎫ ⎪⎝⎭.四、解答题10．（2022·全国·高一专题练习）阅读材料求方程220x -=的近似根有很多种算法，下面给出两种常见算法： 方法一：设所求近似根与精确解的差的绝对值不超过0.005，算法： 第一步：令22f x x ．因为()10f <，()20f >，所以设11x =，22x =．第二步：令122x x m +=，判断()f m 是否为0．若是，则m 为所求； 若否，则继续判断()()1f x f m ⋅大于0还是小于0． 第三步：若()()10f x f m ⋅>，则1x m =；否则，令2x m =．第四步：判断120.005x x -<是否成立？若是，则12,x x 之间的任意值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二步．方法二：考虑220x -=的一种等价形式 变形如下：2x x =，∴2x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，∴122x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭这就可以形成一个迭代算法：给定0x根据1122k k k x x x +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0k =，1，2，…计算多次后可以得到一个近似值(1)2的近似值（结果保留4位有效数字），比较两种方法迭代速度的快慢； (2)50.001）．11．（2022·湖南·高一课时练习）用二分法求方程210x x +-=的根的近似值（误差不超过0.001）．12．（2022·湖南·高一课时练习）借助计算器或计算机，用二分法求方程310x x --=在区间[]1,2上的根的近似值（误差不超过0.001）．13．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()11xf x x-=+. (1)探究()f x 在()1,-+∞上的单调性，并用单调性的定义证明；(2)判断方程()()21log 2f x f x +=⎡⎤⎣⎦是否存在实根？若存在，设此根为0x ，请求出一个长度为18的区间(),a b ，使()0,x a b ∈；若不存在，请说明理由.（注：区间(),a b 的长度为b a -）14．（2022·全国·高一课时练习）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆．．．．O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC 和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．15．（2022·江西抚州·高一期末）水葫芦原产于巴西，1901年作为观赏植物引入中国. 现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾严重影响航道安全和水生动物生长. 某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过2个月其覆盖面积为218m ，经过3个月其覆盖面积为227m . 现水葫芦覆盖面积y （单位2m ）与经过时间()x x N ∈个月的关系有两个函数模型(0,1)=>>x y ka k a 与12(0)=+>y px q p 可供选择.23 1.732,lg 20.3010,lg 30.4771≈≈≈≈ ） （Ⅰ）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；（Ⅱ）求原先投放的水葫芦的面积并求约经过几个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍.11。

3．1．2用二分法求方程地近似解同步练习一、选择题1、若函数f(x)地图像是连续不断地，且f(x)>0，f(1)f(2)f(4)<0，则下列命题正确地是（）A、函数f(x)在区间（0，1）内有零点B、函数f(x)在区间（1，2）内有零点C、函数f(x)在区间（0，2）内有零点D、函数f(x)在区间（0，4）内有零点2、已知方程x=3-lgx，下列说法正确地是（）A、方程x=3-lgx地解在区间（0，1）内B、方程x=3-lgx 地解在区间（1，2）内C、方程x=3-lgx地解在区间（2，3）内D 、方程x=3-lgx 地解在区间（3，4）内3、下列方程在区间（0，1）存在实数解地是（ ）A 、230x x +-=B 、1102+=C 、1ln 02x x +=D 、2lg 0x x -=4、若方程0x ax a --=有两个解，则a 地取值范围是（ ） A 、(1,)+∞ B 、（0，1） C 、(0,)+∞ D 、φ5、方程3log 3x x +=地解所在区间是（ ）A 、（0，1）B 、（1，2）C 、（2，3）D (3,)+∞6、方程20.9021x x -=地实数解地个数是（ ）A 、0B 、1C 、2D 、37、方程3lg 0x x -=在区间（0，10）地实数解地个数是（）A、0B、1C、2D、3二、填空题8、方程210--=精确到0.1地一个正地近似解是x x___________。

9、方程20x--=在实数范围内地解有e x_________________。

10、给出方程210--=地一个解所在地区间x x______________。

11、方程3=精确到0.1地一个近似解是2x x___________________。

12、已知图像连续不断地函数y=(x)在区间（a，b）(b-a=0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确到0.0001)地近似值，那么区间(a，b)等分地次数至多是___________________。

习题详解教科书P 108习题3.1A 组1.A 、C2.由x 、f （x ）的对应值表可得f （2）·f （3）＜0，f （3）·f （4）＜0，f （4）·f （5）＜0. 又根据“如果函数y =f （x ）在区间［a ，b ］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f （a ）·f （b ）＜0，那么函数y =f （x ）在区间（a ，b ）内有零点.”可知函数f （x ）分别在区间（2，3），（3，4），（4，5）内有零点.3.原方程即（x +1）（x －2）（x －3）－1=0，令f （x ）=（x +1）（x －2）（x －3）－1，可算得f （－1）=－1，f （0）=5，于是f （－1）·f （0）＜0.所以这个方程在区间（－1，0）内有一个解.下面用二分法求方程（x +1）（x －2）（x －3）=1在区间（－1，0）内的近似解.取区间（－1，0）的中点x 1=－0.5，用计算器可算得f （－0.5）=3.375.因为f （－1）·f （－0.5）＜0，所以x 0∈（－1，－0.5）.再取（－1，－0.5）的中点x 2=－0.75，用计算器可算得f （－0.75）≈1.58.因为f （－1）·f （－0.75）＜0，所以x 0∈（－1，－0.75）.同理可得x 0∈（－1，－0.875），x 0∈（－0.9375，－0.875）.由于|（－0.875）－（－0.9375）|=0.0625＜0.1，此时区间（－0.9375，－0.875）的两个端点精确到0.1的近似值都是－0.9，所以原方程精确到0.1的近似解为－0.9.4.原方程即0.8x －1－ln x =0，令f （x ）=0.8x －1－ln x ，f （0）没有意义，用计算器得f （0.5）≈0.59，f （1）=－0.2.于是f （0.5）·f （1）＜0，所以这个方程在区间（0.5，1）内有一个解.下面用二分法求方程0.8x －1=ln x 在区间（0，1）内的近似解.取区间（0.5，1）的中点x 1=0.75，用计算器可算得f （0.75）≈0.13.因为f （0.75）·f （1）＜0，所以x 0∈（0.75，1）.再取（0.75，1）的中点x 2=0.875，用计算器可算得f （0.875）≈－0.04.因为f （0.875）·f （0.75）＜0，所以x 0∈（0.75，0.875）.同理可得x 0∈（0.8125，0.875），x 0∈（0.8125，0.84375）.由于|0.8125－0.84375|=0.03125＜0.1，此时区间（0.8125，0.84375）的两个端点精确到0.1的近似值都是0.8，所以原方程精确到0.1的近似解为0.8.5.由题设有f （2）≈－0.31＜0，f （3）≈0.43＞0，于是f （2）·f （3）＜0，所以函数f （x ）在区间（2，3）内有一个零点.下面用二分法求函数f （x ）=ln x －x2在区间（2，3）内的近似解. 取区间（2，3）的中点x 1=2.5，用计算器可算得f （2.5）≈0.12.因为f （2）·f （2.5）＜0，所以x 0∈（2，2.5）.再取（2，2.5）的中点x 2=2.25，用计算器可算得f （2.25）≈－0.08.因为f （2.25）·f （2.5）＜0，所以x 0∈（2.25，2.5）.同理可得x 0∈（2.25，2.375），x 0∈（2.3125，2.375），x 0∈（2.34375，2.375），x 0∈（2.34375，2.359375），x 0∈（2.34375，2.3515625），x 0∈（2.34375，2.34765625）.由于|2.34375－2.34765625|=0.00390625＜0.1，此时区间（2.34375，2.34765625）的两个端点精确到0.1的近似值都是2.3，所以函数在区间（2，3）内精确到0.1的零点约为2.3.6.（1）盒子的体积y以x为自变量的函数解析式为y=（15－2x）2x，其定义域为{x|0＜x＜7.5}.（2）如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么有方程（15－2x）2x=150.下面用二分法来求方程在（0，7.5）内的近似解.令f（x）=（15－2x）2x－150，函数图象如下所示：由图象可以看到，函数f（x）分别在区间（0，1）和（4，5）内各有一个零点，即方程（15－2x）2x=150分别在区间（0，1）和（4，5）内各有一个解.下面用二分法求方程的近似解.取区间（0，1）的中点x1=0.5，用计算器可算得f（0.5）=－52.因为f（0.5）·f（1）＜0，所以x0∈（0.5，1）.再取（0.5，1）的中点x2=0.75，用计算器可算得f（0.75）≈－13.31.因为f（0.75）·f（1）＜0，所以x0∈（0.75，1）.同理可得x0∈（0.75，0.875），x0∈（0.8125，0.875），x0∈（0.84375，0.875），x0∈（0.84375，0.859375），x0∈（0.84375，0.8515625），x0∈（0.84375，0.84765625）.由于|0.84375－0.84765625|=0.00390625＜0.1，此时区间（0.84375，0.84765625）的两个端点精确到0.1的近似值都是0.8，所以方程在（0，1）内精确到0.1的近似解为0.8.同理可得方程在区间（4，5）内精确到0.1的近似解为4.7.答：如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子时，截去的小正方形的边长大约是0.8 cm 或4.7 cm.教科书P109习题3.B组1.将系数代入求根公式x=a acb b24 2-±-，得x=22)1( 24)3(32⨯-⨯⨯--±=4173±，所以方程的两个解分别为x1=4173+，x2=4173-.下面用二分法求方程的近似解.取区间（1.775，1.8）和（－0.3，－0.275），令f（x）=2x2－3x－1在区间（1.775，1.8）内，用计算器可算得f（1.775）=－0.02375，f（1.8）=0.08.于是f（1.775）·f（1.8）＜0.所以，这个方程在区间（1.775，1.8）内有一个解.由于|1.8－1.775|=0.025＜0.1，此时区间（1.775，1.8）的两个端点精确到0.1的近似值都是1.8，所以方程在区间（1.775，1.8）内精确到0.1的近似解为1.8.同理可得，方程在区间（－0.3，－0.275）内精确到0.1的近似解为－0.3.所以方程精确到0.1的近似解分别是1.8和－0.3.2.原方程即x3－6x2－3x+5=0，令f（x）=x3－6x2－3x+5，函数图象如下所示.所以这个方程在（－2，0），（0，1），（6，7）内各有一个解.取区间（－2，0）的中点x1=－1，用计算器可算得f（－1）=1.因为f（－2）·f（－1）＜0，所以x0∈（－2，－1）.再取（－2，－1）的中点x2=－1.5，用计算器可算得f（－1.5）=－7.375.因为f（－1.5）·f（－1）＜0，所以x0∈（－1.5，－1）.同理可得x0∈（－1.25，－1），x0∈（－1.125，－1），x0∈（－1.125，－1.0625）.由于|（－1.0625）－（－1.125）|=0.0625＜0.1，此时区间（－1.125，－1.0625）的两个端点精确到0.1的近似值都是－1.1，所以原方程在区间（－2，0）内精确到0.1的近似解为－1.1.同理可得原方程在区间（0，1）内精确到0.1的近似解为0.7，在区间（6，7）内精确到0.1的近似解为6.3.3.（1）由题设有g（x）=2－［f（x）］2=2－（x2+3x+2）2=－x4－6x3－13x2－12x－2.（2）函数图象如下图所示.（3）由图象可知，函数g（x）在区间（－3，－2）和区间（－1，0）内各有一个零点.取区间（－3，－2）的中点x1=－2.5，用计算器可算得g（－2.5）=0.1875.因为g（－3）·g（－2.5）＜0，所以x0∈（－3，－2.5）.再取（－3，－2.5）的中点x2=－2.75，用计算器可算得g（－2.75）≈0.28.因为g（－3）·g（－2.75）＜0，所以x0∈（－3，－2.75）.同理可得x0∈（－2.875，－2.75），x0∈（－2.8125，－2.75）.由于|－2.75－（－2.8125）|=0.0625＜0.1，此时区间（－2.8125，－2.75）的两个端点精确到0.1的近似值都是－2.8，所以函数在区间（－4，－3）内精确到0.1的零点约为－3.5.同样可求得函数在区间（－1，0）内精确到0.1的零点约为－0.2.所以函数g（x）精确到0.1的零点约为－3.5或－0.2.4.设该基金会的平均年收益率为x，那么x；1年后，投资收益的一半为440×22年后，投资收益的一半为440（1+2x ）×2x ； ……50年后，投资收益的一半为440（1+2x ）49×2x ，由题意有440（1+2x ）49×2x =68. 用二分法解得x ≈0.0468.答：该基金会的年平均收益率约为6.48%.。

2021年高中数学新教材必修第一册4.5.2《用二分法求方程的近似解》课时练习（含答案）1、2021年新教材必修第一册4.5.2《用二分法求方程的近似解》课时练习一、选择题已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数及可以用二分法求解的个数分别为( )A.4,4B.3,4C.5,4D.4,3用二分法求函数f(x)=x3＋5的零点可以取的初始区间是( )A.[－2,1B.[－1,0]C.[0,1]D.[1,2]用二分法求如下图的函数f(x)的零点时，不行能求出的零点是( )A.x1B.x2C.x3D.x4以下函数不宜用二分法求零点的是( )A.f(x)=x3－1B.f(x)=lnx＋3C.f(x)=x2＋2、2x＋2D.f(x)=－x2＋4x－1用二分法争辩函数f(x)=x3＋3x －1的零点时，第一次经计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，其次次应计算________，以上横线上应填的内容为()A.(0,0.5)，f(0.25)B.(0,1)，f(0.25)C.(0.5,1)，f(0.75)D.(0,0.5)，f(0.125)若函数f(x)=x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)四周的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程x3＋x2－2x－2=0的一个近似解(精确度0.043、)为( )A.1.5B.1.25C.1.375D.1.4375n已知曲线y=()x与y=x的交点的横坐标是x0，则x0的取值范围是( )A.(0,)B.C.(,1)D.(1,2)若函数y=f(x)在区间(－2，2)上的图像是连续不断的曲线，且方程f(x)=0在(－2，2)上仅有一个实数根0，则f(－1)·f(1)的值( )A.大于0B.小于0C.无法推断D.等于零若函数y=f(x)在区间[a，b]上的图像不间断，则( )A.若f(a)·f(b)0，则f(x)在[a，b]上不存在零点B.若f(a)·f(b4、)0，则f(x)在[a，b]上至少有一个零点C.若f(x)在[a，b]上存在零点，则可用二分法求此零点的近似值 D.用二分法只能求出函数的正数的零点已知函数y=f(x)的零点在区间[0，1]内，欲使零点的近似值的精确度到达0.01，则用二分法取中点的次数的最小值为( )A.6B.7C.8D.9二、填空题在用二分法求方程f(x)=0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)0，f(0.75)0，f(0.6875)0，即得出方程的一个近似解为________.(精确度为0.1)已知函数5、f(x)=x3＋x2－2x－2，f(1)·f(2)0，用二分法逐次计算时，若x0是[1,2]的中点，则f(x0)=________.用二分法求方程x3－2x －5=0在区间[2，3]内的实根，取区间中点x0=2.5，那么下一个有根区间是________.已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，假如用二分法求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________.三、解答题用二分法求的近似值(精确度0.1).若在区间D上，函数g(x)的图像恒在函数f6、(x)图像的下方，则称函数g(x)的图像在区间D上被函数f(x)的图像掩盖，推断函数g(x)=2x2在区间(1，2)上能否被函数f(x)=2x ＋x的图像掩盖，并说明理由.n参考答案答案为：D；解析：由图象知函数f(x)与x轴有4个交点，因此零点个数为4，从左往右数第4个交点两侧不满足f(a)·f(b)＜0，因此不能用二分法求零点，而其余3个均可使用二分法求零点.答案为：A；解析：∵f(－2)=－3＜0，f(1)=6＞0，f(－2)·f(1)＜0，故可取[－2,1]作为初始区间，用二分法逐次计算.答案为：C；解析：由二分7、法的原理可知，x3不能用二分法求出，由于其左右两侧的函数值同负.答案为：C；解析：由于f(x)=x2＋2x＋2=(x＋)2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点.答案为：A 二分法要不断地取区间的中点值进行计算.由f(0)＜0，f(0.5)＞0知x0∈(0,0.5).再计算0与0.5的中点0.25的函数值，以推断x0的更精确位置.答案为：D；解析：由参考数据知，f(1.40625)≈－0.054，f(1.4375)≈0.162，即f(1.40625)·f(1.4375)0，且1.4375－1.4062 8、5=0.031250.04，所以方程的一个近似解可取为 1.4375，应选D.答案为：A；解析：设f(x)=x－x，则f(0)=10，f=－=－0，f(1)=－10，f(2)=2－20，明显有f(0)·f0.答案为：C答案为：B答案为：B解析：∵()6=0.015625，()7=0.0078125，∴至少要取7次中点，区间的长度才能到达精确度要求.答案为：0.6875解析：∵f(0.625)0，f(0.75)0，f(0.6875)0，∴方程的解在(0.9、6875,0.75)上，而|0.75－0.6875|0.1.∴方程的一个近似解为0.6875.答案为：0.625解析：由题意，x0=1.5，f(x0)=f(1.5)=0.625.n答案为：(2，2.5)解析：令f(x)=x3－2x－5，∵f(2)=－10，f(2.5)=5.6250，f(3)=160，∴f(2)·f(2.5)0.∴f(x)在(2，2.5)内有零点.答案为：4.解析：设等分的最少次数为n，则由＜0.01，得2n＞10，∴n的最小值为4.解：设x=，则x2=5，即x2 10、－5=0，令f(x)=x2－5.由于f(2.2)=－0.16＜0，f(2.4)=0.76＞0，所以f(2.2)·f(2.4)＜0，说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，取区间(2.2,2.4)的中点x1=2.3，则f(2.3)=0.29.由于f(2.2)·f(2.3)＜0，∴x0∈(2.2,2.3)，再取区间(2.2,2.3)的中点x2=2.25，f(2.25)=0.0625.由于f(2.2)·f(2.25)＜0，所以x0∈(2.2,2.25).由于|2.25－2.2|=0.05＜0.1，所以的近似值可取为211、.25.解：令F(x)=f(x)－g(x)=2x－2x2＋x，则有F(1)=1，F(2)=－2，∴F(1)·F(2)=－20.∴函数在区间(1，2)上确定有零点，即函数f(x)和g(x)的图像在(1，2)上确定有公共点.∴函数g(x)=2x2在区间(1，2)上不能被函数f(x)=2x＋x的图像掩盖.。