年北师大版高一数学必修二第二单元测试试题

第二章综合测试一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.()()AB MB BO BC OM ++++化简后等于（）A .AM B .0C .0D .AC2.已知向量(3,4)OA =- ，(6,3)OB =- ，(2,1)OC m m =+ ，若 AB OC∥，则实数m 的值为（）A .15B .35-C .3-D .17-3.ABC △三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()()()b c b c a b a +-=-，则内角C 等于（）A .6πB .3πC .23πD .56π4.在ABC △中，1AB =，3AC =， 1AB AC ⋅=-，则ABC △的面积为（）A .12B .1CD .25.已知向量(,2)a x =，(2,)b y =，(2,4)c =-，且a c ∥，b c ⊥，则a b -=（）A .3B C D .6.如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得15BCD ∠=︒，30BDC ∠=︒，30CD =米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60︒，则塔高AB=（）A .B .米C .米D .7.已知点P 是ABC △的内心（三个内角平分线交点），外心（三条边的中垂线交点），重心（三条中线交点），垂心（三个高的交点）之一，且满足222AP BC AC AB ⋅=-，则点P 一定是ABC △的（）A .内心B .外心C .重心D .垂心8.如图，在等腰直角ABC △中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =（）A .3155AB AC + B .21 55AB AC + C .481515AB AC + D .841515AB AC +二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.设a ，b ，c 是任意的非零向量，则下列结论正确的是（）A .00a ⋅=B .()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅C .0a b a b⋅=⇒⊥D .22()()||||a b a b a b +⋅-=-10.点P 是ABC △所在平面内一点，满足|||2|0PB PC PB PC PA --+-=，则ABC △的形状不可能是（）A .钝角三角形B .直角三角形C .等腰三角形D .等边三角形11.已知向量(1,3)OA =- ，(2,1)OB =- ，(1,2)OC k k =+-，若ABC △中A 为钝角，则实数k 的值可以是（）A .1B .23-C .1-D .2-12.在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是（）A .在ABC △中，若AB ＞，则sin sin A B ＞B .在锐角ABC △中，不等式sin cos A B ＞恒成立C .在ABC △中，若cos cos a A b B =，则ABC △必是等腰直角三角形D .在ABC △中，若60B =︒，2b ac =，则ABC △必是等边三角形三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.设向量(3,0)a =-，(2,6)b =-，则b 在a 上的投影为________.14.已知向量a ，b 满足||1a =，b =()a a b ⊥+，则a 与b 夹角的大小是________.15.如图，在直角梯形ABCD 中，AB DC ∥，AD DC ⊥，2AD DC AB ==，E 为AD 的中点，若CA CE DB λμ=+，则λ=________，μ=________.（本题第一空2分，第二空3分）16.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3A π=，a =A 的平分线交边BC于点D ，其中AD =，则ABC S =△________.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知两个非零向量a 与b 不共线，2OA a b =- ，3OB a b =+ ，5OC ka b =+.（1）若20OA OB OC -+=，求k 的值；（2）若A ，B ，C 三点共线，求k 的值.18.已知向量(3,2)a =-，(2,1)b =，(3,1)c =-，t ∈R .（1）求a tb ＋的最小值及相应的t 值；（2）若a tb -与c 共线，求实数t .19.如图所示，在ABC △中，已知45B =︒，D 是BC 边上的一点，6AD =，AC =，4DC =.（1）求ADC ∠的大小；（2）求AB 的长.20.在①222b ac a c =＋＋，② cos sin a B b A =，③sin cos B B +=的问题中，并解决该问题.已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ________，3A π=，b =，求ABC △的面积.（已知562sin124π=）21.已知正方形ABCD ，E 、F 分别是CD 、AD 的中点，BE 、CF 交于点P ，连接AP ，用向量法证明：（1）BE CF ⊥；（2）AP AB =.22.在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量(2a a =，(,sin )b c C =，且a b ∥.（1）求角A ；（2）若2c ，且ABC △的面积为2，求AC 边上的中线BM 的大小.第二章综合测试答案解析一、1.【答案】D【解析】()()AB MB BO BC OM AB BO OM MB BC AC ++++=++++=.2.【答案】C【解析】因为(3,1)AB OB OA =-= ，又AB OC∥，所以()312m m ⨯+=，3m ∴=-.3.【答案】B【解析】由()()()b c b c a b a +-=-得222a b c ab +-=，即222122a b c ab +-=，1cos 2C ∴=，又0C π＜＜，3C π∴=.4.【答案】C【解析】||cos 13cos 1AB AC AB AC A A ⋅==⨯⨯=-，1cos 3A ⋅∴=-，sin 3A ∴⋅==，1sin 2ABC S AB AC A ∴=⋅⋅△，1221323=⨯⨯⨯，=5.【答案】B【解析】a c ∥，b c ⊥，440440x y --=⎧∴⎨-=⎩，11x y =-⎧∴⎨=⎩即(1,2)a =-，(2,1)b =(3,1)a b ∴-=-，||a b ∴-=6.【答案】D【解析】因为15BCD ∠=︒，30BDC ∠=︒，所以135CBD ∠=︒，在BCD △中，根据正弦定理可知sin sin CD BC CBD BDC =∠∠，即30 sin135sin 30BC︒=︒，解得BC =，因为在Rt ABC △中，tan 60ABBC︒==，所以AB ==（米）.7.【答案】B【解析】设BC 的中点为M ，222AP BC AC AB ⋅=- ，()()AP BC AC AB AC AB ∴⋅=-+ ，()2AP BC BC AC AB ∴⋅=⋅+ ，()20BC AC AB AP ∴⋅+-=，()BC AC AP AB AP ∴⋅-+- ，即()0BC PC PB ⋅+=，即 20BC PM ⋅=，∴点P 与BC 的中点连线与BC 垂直，即点P 一定是ABC △的外心.8.【答案】D【解析】设6BC =，则3AB AC ==，2BD DE EC ===，AD AE ==，101044cos 2105DAE +-∠==⨯，所以45AF AF AD AE ==，所以45AF AD = ，因为()1121 3333AD AB BC AB AC AB AB =+=+-=+所以42184 5331515AF AB AC AB AC ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭.二、9.【答案】CD【解析】00a ⋅= ，∴A 中结论错误；向量的数量积不满足结合律，∴B 中结论错误；当0a b ⋅=，a 与b 的夹角为90︒，即a b ⊥，∴C 中结论正确；D 中结论正确.10.【答案】ACD【解析】 P 是ABC △所在平面内一点，且|||2|0PB PC PB PC PA --+-=，||)()0CB PB PA PC PA ∴--+-= ∣∣，即||CB AB AC =+ ∣，即||||AB AC AB AC -=+，两边平方化简得 0AC AB ⋅=，AC AB ∴⊥ ，90A ∠∴=︒则ABC △一定是直角三角形.11.【答案】CD【解析】由已知(1,3),(2,1),(1,2)OA OB OC k k =-=-=+-，所以(1,2),(,1)AB AC k k ==+，因为A 为钝角，所以0AB AC ⋅＜，所以(1,2)(,1)0k k ⋅+＜，所以320k +＜，解得23k -＜，即实数k 应满足的条件23k -＜.12.【答案】ABD【解析】对于A ，在ABC △中，由正弦定理可得sin sin a bA B=，所以sin sin A B a b A B ⇔⇔＞＞＞，故A 正确；对于B ，在锐角ABC △中，A ，0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2A B π+＞，则022A B ππ-＞＞＞，所以sin sin cos 2A B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭＞，故B 正确；对于C ，在ABC △中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得sin 2sin 2A B ⋅=⋅，得到22A B =或22A B π=-，故A B =或2A B π=-，即ABC △是等腰三角形或直角三角形，故C 错误；对于D ，在ABC △中，若60B =︒，2b ac =，由余弦定理可得，2222cos b a c ac B =+-，所以22ac a c ac =+-，即()20a c -=，解得a c =，又60B =︒，所以ABC △必是等边三角形，故D 正确，故选ABD .三、13.【答案】2【解析】 cos ,a b b a a b ⋅= ，∴向量b 在a 方向的投影为cos ,2b b a b a a =⋅==.14.【答案】34π【解析】()a a b ⊥+ ，()0a a b ∴⋅+=，20a a b ∴+⋅=，2cos ,a b b a a a b ∴⋅==-，cos ,2a b ∴==-，又[]0a b π∈,,，∴故a 与b 的夹角为34π.15.【答案】65或25【解析】以D 为原点，DC 边所在直线为x 轴，DA 边所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，不妨设1AB =则D （0,0），C （2,0），A （0,2），B （1,2），E （0,1），(2,2),(2,1),(1,2)CA CE DB =-=-=，CA CE DB λμ=+，(2,2)(2,1)(1,2)λμ∴-=-+，2222λμλμ-+=-⎧∴⎨+=⎩，解得6525λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.16.【答案】【解析】由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得：222()3112b c bc b c bc +-=+-=，)11sin sin c22224ABC ACD ABD A A S S S b AD c AD b =+=⋅+⋅=+△△△，又1 sin 2ABC S bc A ==△，)33344bc b c∴=+，13b c bc ∴+=，()2131129bc bc ∴-=，解得：48bc =，48ABC S ∴==△.四、17.【答案】（1）()22235(3)0OA OB OC a b a b ka b k a -+=---++=+=，3k ∴=-，（2）由题意知4AB OB OA a b =-=-+，()26AC OC OA k a ba =-=-+ ，A ，B ，C 三点共线，∴设AC AB λ=，即()264k a b a b λλ-+=-+，264k λλ-=-⎧∴⎨=⎩，解得12k =.18.【答案】（1）(3,2),(2,1),(3,1)a b c =-==- ，()()()3,22,132,2a tb t t t ∴+=-+=-++，a tb ∴+===当且仅当45t =时取等号，即a tb -的最小值为755.（2）()()()3,22,132,2a tb t t t -=-+=--- ，又a tb -与c 共线，31c =-（，），()()()321230t t ∴--⨯---⨯=，解得35t =.19.【答案】（1）在ADC △中，6AD =，2AC =，4DC =，由余弦定理得2223616761cos 22642AD DC AC ADC AD DC ∠+-+-===-⨯⨯⨯⨯，又0180ADC ︒∠︒ ＜＜，120ADC ∴∠=︒.（2）由（1）知60ADB ∠=︒，在ABD △中，6AD =，45B =︒，60ADB ∠=︒，由正弦定理，得 sin sin AB AD ADB B =∠，6sin sin 22AD ADBAB B⨯∠∴==.20.【答案】若选择①222b a c +=+，由余弦定理22222cos 222a cb B ac ac +-===，因为0,B π∈（），所以4B π=，由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin 3 sin 22b Aa Bπ==因为34A B ππ==，所以53412C ππππ=--=，所以11sin 22ABC S ab C ==△，若选择②cos sin a B b A =，则sin cos sin sin A B B A =，因为sin 0A ≠，所以sin cos ,B B =，因为(0,)B π∈，所以4B π=，由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin 3 sin 22b Aa Bπ==因为,34A B ππ==，所以53412C ππππ=--=，所以113sin 2244ABC S ab C ===△，若选择③ sin cos B B +=，4B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin 14B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为(0,)B π∈，所以5 ,444B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以42B ππ+=，所以4B π=，由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin 3 sin 22b Aa Bπ==因为,34A B ππ==，所以53412C ππππ=--=，116233sin 2244ABC S ab C ++===△.21.【答案】如图，建立平面直角坐标系xOy ，其中A 为原点，不妨设2AB =，则A （0，0），B （2，0），C （2，2），E （1，2），F （0，1），（1）(1,2)(2,0)(1,2)BE OE OB =-=-=- (0,1)(2,2)(2,1)CF OF OC =-=-=-- ()()()12210BE CF ∴⋅=-⨯-+⨯-= BE CF ∴⊥ ，即BE CF ⊥，（2）设(,)P x y ，则(,1)FP x y =- ，(2,)BP x y =-，由（1）知(2,1)CF =-- ，(1,2)BE =- ，FP CF ∥，2(1)x y ∴-=--，即22x y =-，同理，由BP BE ∥，得24y x =-+，2224x y y x =-⎧∴⎨=-+⎩，解得6585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即68,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222268455AP AB ⎛⎫⎛⎫∴=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，AP AB ∴= ，即AP AB =.22.【答案】（1）因为a b ∥，(2a a =，(),sin b c C =，所以2sin a C =，由正弦定理得2sin sin A C C ⋅=，因为0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0C ≠，所以sin 2A =，因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=.（2）因为ABC △的面积为2，所以1sin 2bc A =，因为 2,3c A π==，所以3b =，在ABM △中，由余弦定理得2222331132cos 4222224BM AM AB AB AM A ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，所以BM =。

高一年级数学学科必修一（第二章）质量检测试卷 （斗鸡中学）一． 一、选择题：共10个小题，每小题6分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列判断正确的是（ ）A 函数22)(2--=x xx x f 是奇函数 B 函数()(1f x x =-是偶函数C 函数()f x x =+D 函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数2 若)(x f 是偶函数，其定义域为()+∞∞-,，且在[)+∞,0上是减函数，则)252()23(2++-a a f f 与的大小关系是（ ） A)23(-f >)252(2++a a f B )23(-f <)252(2++a a fC)23(-f ≥)252(2++a a f D )23(-f ≤)252(2++a a f3 已知5)2(22+-+=x a x y 在区间(4,)+∞上是增函数，则a 的范围是（ ）A 2a ≤-B 2a ≥-C 6-≥aD 6-≤a4 设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集是（ ）A {}|303x x x -<<>或B {}|303x x x <-<<或C {}|33x x x <->或D {}|3003x x x -<<<<或5 已知3()4f x ax bx =+-其中,a b 为常数，若(2)2f -=，则(2)f 的值等于( )A 2-B 4-C 6-D 10-6 已知函数()()0f x x a x a a =+--≠，()()()2200x x x h x x x x ⎧-+>⎪=⎨+≤⎪⎩，则()(),f x h x 的奇偶性依次为（ ）A 偶函数，奇函数 奇函数，偶函数C 偶函数，偶函数D 奇函数，奇函数7.若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ）A (],40-∞B [40,64]C (][),4064,-∞+∞UD [)64,+∞8 已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A 3a ≤-B 3a ≥-C 5a ≤D 3a ≥9. 下列四个命题：(1)函数f x ()在0x >时是增函数，0x <也是增函数，所以)(x f 是增函数；(2)若函数2()2f x ax bx =++与x 轴没有交点，则280b a -<且0a >；(3) 223y x x =--的递增区间为[)1,+∞；(4) 1y x =+和y =表示相等函数其中正确命题的个数是( )A 0B 1C 2D 310 某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程 在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ） 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，满分16分，请把答案填在题中横线上 1 设()f x 是R 上的奇函数，且当[)0,x ∈+∞时，()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =_____________________2 若函数()2f x a x b =-+在[)0,x ∈+∞上为增函数,则实数,a b 的取值范围是3 已知221)(x x x f +=，那么)41()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f ++++++＝_____4 若1()2ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上是增函数，则a的取值范围是____________三、解答题1 求下列函数的定义域（本小题共三小题，每小题4分，总分12分）（1）y = （2）11122--+-=x x x y（3）xx y ---=111112（本小题满分12分）判断一次函数,b kx y +=反比例函数x ky =，二次函数c bx ax y ++=2的 单调性3 判断下列函数的奇偶性（本小题满分12分）（1）()22f x x =+- （2）[][]()0,6,22,6f x x =∈--U4 （本小题满分12分）已知函数()f x 的定义域为()1,1-，且同时满足下列条件： （1）()f x 是奇函数； （2）()f x 在定义域上单调递减；（3）2(1)(1)0,f a f a -+-<求a 的取值范围5 （本小题满分12分）已知函数[]2()22,5,5f x x ax x =++∈-① 当1a =-时，求函数的最大值和最小值； ② 求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]5,5-上是单调函数6 （本小题满分14分）设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈ （1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值参考答案一选择题1C 2 C 3 B 4 D 5 D 6 .D 7 .C 8 . A 9. A 10.B 二填空题 1(1x 2 0a >且0b ≤ 372 4 1(,)2+∞三 解答题1 解：当0k >，y kx b =+解：（1）∵8083,30x x x +≥⎧-≤≤⎨-≥⎩得∴定义域为[]8,3-（2）∵222101011,110x x x x x x ⎧-≥⎪-≥=≠=-⎨⎪-≠⎩得且即∴定义域为{}1-（3）∵0111021101011x x x x x x x x x x ⎧⎪⎧⎪⎪-≠⎪<⎪⎪⎪⎪-≠≠-⎨⎨-⎪⎪⎪⎪≠-≠⎪⎪-⎩⎪-⎪-⎩得∴定义域为11,,022⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 2. ：当0k >，y kx b =+在R 是增函数，当0k <，y kx b =+在R 是减函数； 当0k >，ky x =在(,0),(0,)-∞+∞是减函数， 当0k <，ky x =在(,0),(0,)-∞+∞是增函数；当0a >，2y ax bx c =++在(,]2b a -∞-是减函数，在[,)2b a -+∞是增函数，当0a <，2y axbx c =++在(,]2b a -∞-是增函数，在[,)2b a -+∞是减函数3 解：（1）定义域为[)(]1,00,1-U ，则22x x +-=，()f x =∵()()f x f x -=-∴()f x =为奇函数（2）∵()()f x f x -=-且()()f x f x -=∴()f x 既是奇函数又是偶函数4 解：22(1)(1)(1)f a f a f a -<--=-，则2211111111a a a a -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪->-⎩,5 解：2(1)1,()22,a f x x x =-=-+对称轴min max 1,()(1)1,()(5)37x f x f f x f ===== ∴max m ()37,()1in f x f x ==（2）对称轴,x a =-当5a -≤-或5a -≥时，()f x []5,5-上单调 ∴5a ≥或5a ≤-6 解：（1）当0a =时，2()||1f x x x =++为偶函数， 当0a ≠时，2()||1f x x x a =+-+为非奇非偶函数； （2）当x a <时，2213()1(),24f x x x a x a =-++=-++ 当12a >时，min 13()()24f x f a ==+， 当12a ≤时，min ()f x 不存在；当x a ≥时，2213()1(),24f x x x a x a =+-+=+-+ 当12a >-时，2min ()()1f x f a a ==+， 当12a ≤-时，min 13()()24f x f a =-=-+。

一、选择题1．已知点(,0)A m -，(,0)B m ，R m ∈，若圆22:(3)(3)2C x y -+-=上存在点P ，满足PA PB ⊥，则m 最大值是（ ）A ．22B ．32C ．42D ．522．已知点()()2,0,2,0M N -，若圆()2226900x y x r r +-+-=>上存在点P (不同于,M N )，使得PM PN ⊥，则实数r 的取值范围是( )A ．()1,5B ．[]1,5C ．()1,3D ．[]1,33．已知直线10kx y k ---=和以()3,1M -，()3,2N 为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为（ ） A ．32k ≤B ．12k ≥-C ．1322k -≤≤ D ．12k ≤-或32k ≥ 4．函数sin cos y a x b x =-的一个对称中心为,04π⎛⎫⎪⎝⎭，则直线0ax by c 的倾斜角大小为（ ） A ．4π B ．3π C ．23π D ．34π 5．ABC 中，(1,5)A ，高BE ，CF 所在的直线方程分别为20x y -=，5100++=x y ，则BC 所在直线的方程是（ ）．A ．04=+y xB ．528x y -=C ．350x y +=D ．5328x y -=6．若直线l 过点(1,1)--和(2,5)，且点(1009,)b 在直线l 上，则b 的值为（ ） A ．2019B ．2018C ．2017D ．20167．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，PA AB =，E 为AP 的中点，则异面直线PC 与DE 所成的角的正弦值为（ ）．A ．25B 5C 15D 10 8．在底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥，PA AD =，则异面直线PB 与AC 所成的角为（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒9．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点，P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一点，若AP ∥平面BDEF ，则线段AP 长度的取值范围是（ ） A ．[322，5] B ．[5，22]C ．[324，6] D ．[6，22]10．一个底面为正三角形的棱柱的三视图如图所示，若在该棱柱内部放置一个球，则该球的最大体积为（ ）A ．6πB ．12πC ．43πD ．83π11．在下面四个正方体ABCD A B C D ''''-中，点M 、N 、P 均为所在棱的中点，过M 、N 、P 作正方体截面，则下列图形中，平面MNP 不与直线A C '垂直的是（ ）A ．B ．C ．D ．12．如图（1），Rt ABC ，1,3,2AC AB BC ===，D 为BC 的中点，沿AD 将ACD △折起到AC D '，使得C '在平面ABD 上的射影H 落在AB 上，如图（2），则以下结论正确的是（ ）A ．AC BD '⊥B ．AD BC '⊥ C ．BD C D ⊥' D ．AB C D ⊥'二、填空题13．已知直线1:220l x by ++=与直线2:210l x y -+=平行，则直线1l ，2l 之间的距离为__________.14．已知平面向量a ，b ，c ，满足1a =，2b =，3c =，01λ<<，若0b c ⋅=，则()1a b c λλ---所有取不到的值的集合为______．15．直线y kx =与函数2143y x x -=-+-的图象有且仅有一个交点，则k 的最小值是______.16．经过直线20x y -=与圆224240x y x y +-+-=的交点，且过点()1,0的圆的方程为______.17．已知点P 是直线l 上的一点，将直线l 绕点P 逆时针方向旋转角02παα⎛⎫<< ⎪⎝⎭，所得直线方程是20x y --=，若将它继续旋转2πα-角，所得直线方程是210x y +-=，则直线l 的方程是______.18．若直线()():1210l m x m y m -+--=与曲线()2:422C y x =--有公共点，则直线l 的斜率的最小值是_________.19．如图，点E 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点，点M 在线段1BD 上运动，则下列结论正确的有__________．①直线AD 与直线1C M 始终是异面直线 ②存在点M ，使得1B M AE ⊥ ③四面体EMAC 的体积为定值④当12D M MB =时，平面EAC ⊥平面MAC20．已知直三棱柱111ABC A B C -，90CAB ∠=︒，1222AA AB AC ===，则直线1A B 与侧面11B C CB 所成角的正弦值是______.21．在如图棱长为2的正方体中，点M 、N 在棱AB 、BC 上，且1AM BN ==，P 在棱1AA 上，α为过M 、N 、P 三点的平面，则下列说法正确的是__________．①存在无数个点P ，使面α与正方体的截面为五边形； ②当11A P =时，面α与正方体的截面面积为33；③只有一个点P ，使面α与正方体的截面为四边形；④当面α交棱1CC 于点H ，则PM 、HN 、1BB 三条直线交于一点．22．正四面体ABCD 棱长为2，AO ⊥平面BCD ，垂足为O ，设M 为线段AO 上一点，且90BMC ︒∠=则二面角M BC O --的余弦值为________．23．如图，正方形BCDE 的边长为a ，已知3AB BC =，将ABE △沿边BE 折起，折起后A 点在平面BCDE 上的射影为D 点，则翻折后的几何体中有如下描述：①AB 与DE 所成角的正切值是2；②//AB CE ；③B ACE V -体积是316a ；④平面ABC ⊥平面ADC ．其中正确的有______．（填写你认为正确的序号）24．如下图所示，三棱锥P ABC -外接球的半径为1，且PA 过球心，PAB △围绕棱PA 旋转60︒后恰好与PAC △重合.若3PB =，则三棱锥P ABC -的体积为_____________.三、解答题25．如图，在四棱锥M ABCD -中，四边形ABCD 为梯形，90ABC BAD ∠=∠=，//BC AD ，22AD AB BC ==（1）若E 为MA 中点，证明：BE //面MCD（2）若点M 在面ABCD 上投影在线段AC 上，1AB =，证明：CD ⊥面MAC . 26．如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，90DBA ∠=︒，2BA BD ==，10,,PA PD E F ==分别是棱,AD PC 的中点.（1）证明：//EF 平面PAB ；（2）若二面角P AD B --为60︒，求点B 到平面PAD 的距离. 27．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为菱形，且∠DAB =π3，AB =2，EF //AC ，EA =ED =3，BE =5.（1）求证：平面EAD ⊥平面ABCD ； （2）求三棱锥F -BCD 的体积.28．在四棱台1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，90ACD ∠=︒，26BC AC ==，1CD =，1AM CC ⊥，垂足为M .（1）证明：平面ABM ⊥平面11CDD C ； （2）若二面角B AM D --正弦值为217，求直线AC 与平面11CDD C 所成角的余弦.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】首先设点(),P x y ，利用0AP BP ⋅=，转化为m =m 的最大值. 【详解】由圆的方程可知，圆的圆心()3,3C ，设(),P x y 则(),AP x m y =+，(),BP x m y =-，()()20AP BP x m x m y ⋅=+-+=，即222m x y m =+⇒=m 的最大值就是圆上的点到原点的距离的最大值，即圆心到原点的距离加半径，即OC r +== 故选：C 【点睛】结论点睛：与圆的几何性质有关的最值，具体结论如下：（1）设O 为圆的圆心，半径为r ，圆外一点A 到圆上的距离的最小值为AO r -，最大值为AO r -；（2）过圆内一点的最长弦为圆的直径，最短弦是以该点为中点的弦；（3）记圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，直线与圆相离，则圆上的点到直线的最大距离为d r +，最小值为d r -；2．A解析：A 【分析】由题意可得两圆相交，而以MN 为直径的圆的方程为x 2+y 2=4，圆心距为3，由两圆相交的性质可得|r ﹣2|＜3＜|r+2|，由此求得r 的范围． 【详解】根据直径对的圆周角为90°，结合题意可得以MN 为直径的圆和圆 （x ﹣3）2+y 2=r 2有交点，显然两圆相切时不满足条件，故两圆相交．而以AB 为直径的圆的方程为x 2+y 2=4，两个圆的圆心距为3， 故|r ﹣2|＜3＜|r+2|，求得1＜r ＜5， 故选A ． 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，两圆相交的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．3．D解析：D 【分析】直线10kx y k ---=过定点()1,1P -，分别求出PM k 和PN k ，结合图形，可求出答案. 【详解】由题意，直线10kx y k ---=可化为()110k x y ---=，令1x =，得1y =-，即该直线过定点()1,1P -，111312PM k +==---，213312PN k +==-，所以当12k ≤-或32k ≥时，直线10kx y k ---=和以()3,1M -，()3,2N 为端点的线段相交. 故选：D. 【点睛】本题考查了直线系方程的应用，以及过两点的直线的斜率的求法，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．4．D解析：D 【分析】首先根据函数的对称性，得到(0)()02f f π+=，从而有a b =，再利用直线的斜率为1ak b =-=-，结合倾斜角的取值范围求得结果. 【详解】令()sin cos y f x a x b x ==- 因为函数sin cos y a x b x =-的一个对称中心为,04π⎛⎫⎪⎝⎭， 所以有(0)()02f f π+=，所以0b a -+=，即a b =，所以直线0ax by c 的斜率1ak b=-=-，设其倾斜角为(0)ααπ≤<， 所以有tan 1k α==-，所以34πα=， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关直线倾斜角的问题，涉及到的知识点有三角函数的对称性，根据直线方程求直线的倾斜角，属于简单题目.5．C解析：C 【分析】由垂直关系可得AB 和AC 的斜率，进而可得AB 和AC 的方程，分别解方程组可得B ，C 的坐标，进而可得方程. 【详解】解：∵两边AB ，AC 上的高线方程分别为5100++=x y 与20x y -=， ∴它们的斜率分别为15-，12，故AB 和AC 的斜率分别为5，2-， ∴AB 和AC 的方程分别为()551y x -=-，()521y x -=--， 整理为一般式可得50x y -=，270x y +-=联立方程组5020x y x y -=⎧⎨-=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，即()0,0B ，同理联立2705100x y x y +-=⎧⎨++=⎩，解得53x y =⎧⎨=-⎩，即()5,3C -，∴BC 所在直线的方程为3050y x --=-，即350x y +=. 故选：C. 【点睛】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，涉及直线的点斜式方程和斜率公式以及方程组的解法，属中档题.6．A解析：A 【分析】根据直线l 过点(1,1)--和(2,5)，由直线的两点式方程化简得21y x =+，然后将点(1009,)b 代入方程21y x =+，求解得出b 的值.【详解】解：因为直线l 过点(1,1)--和(2,5)， 由直线的两点式方程，得直线l 的方程为(1)(1)5(1)2(1)y x ----=----，化简得：21y x =+，由于点(1009,)b 在直线l 上，将点(1009,)b 代入方程21y x =+， 得210091b =⨯+， 解得：2019b =. 故选：A. 【点睛】本题考查直线的两点式方程的求法和应用，属于基础题.7．D解析：D 【分析】先取正方形的中心O ，连接OE ，由PC//OE 知OED ∠为异面直线PC 与DE 所成的角，再在OED 中求OED ∠的正弦即可. 【详解】连AC ，BD 相交于点O ，连OE 、BE ，因为E 为AP 的中点，O 为AC 的中点，有PC//OE ，可得OED ∠为异面直线PC 与DE 所成的角，不妨设正方形中，2AB =，则2PA =， 由PA ⊥平面ABCD ，可得,PA AB PA AD ⊥⊥，则145BE DE ==+=1122222OD BD ==⨯=因为BE DE =，O 为BD 的中点，所以90EOD ∠=︒，210sin 55OD OED DE ∠===． 故选：D. 【点睛】 方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.8．C解析：C 【分析】由已知可得PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，分别过P ，D 点作AD ，AP 的平行线 交于M ，连接CM ，AM ，因为PB ∥CM ，所以ACM 就是异面直线PB 与AC 所成的角,再求解即可. 【详解】由题意：底面ABCD 为正方形， 侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥， 面PAD面ABCD AD =，PA ⊥平面ABCD ，分别过P ，D 点作AD ，AP 的平行线交于M ， 连接CM ，AM ， ∵PM ∥AD ，AD ∥BC ， PM ＝AD ，AD ＝BC ． ∴ PBCM 是平行四边形， ∴ PB ∥CM ，所以∠ACM 就是异面直线PB 与AC 所成的角． 设PA ＝AB ＝a ， 在三角形ACM 中，2,2,2AM a AC a CM a ===，∴三角形ACM 是等边三角形．所以∠ACM 等于60°，即异面直线PB 与AC 所成的角为60°． 故选：C. 【点睛】思路点睛：先利用面面垂直得到PA ⊥平面ABCD ，分别过P ，D 点作AD ，AP 的平行线交于M ，连接CM ，AM ，得到∠ACM 就是异面直线PB 与AC 所成的角．9．A解析：A 【分析】分别取棱A 1B 1、A 1D 1的中点M 、N ，连接MN ，可证平面AMN ∥平面BDEF ，得P 点在线段MN 上．由此可判断当P 在MN 的中点时，AP 最小；当P 与M 或N 重合时，AP 最大．然后求解直角三角形得答案． 【详解】如图所示，分别取棱A 1B 1、A 1D 1的中点M 、N ，连接MN ，连接B 1D 1， ∵M 、N 、E 、F 为所在棱的中点，∴MN ∥B 1D 1，EF ∥B 1D 1， ∴MN ∥EF ，又MN ⊄平面BDEF ，EF ⊂平面BDEF ，∴MN ∥平面BDEF ； 连接NF ，由NF ∥A 1B 1，NF ＝A 1B 1，A 1B 1∥AB ，A 1B 1＝AB ， 可得NF ∥AB ，NF ＝AB ，则四边形ANFB 为平行四边形，则AN ∥FB ，而AN ⊄平面BDEF ，FB ⊂平面BDEF ，则AN ∥平面BDEF ． 又AN ∩NM ＝N ，∴平面AMN ∥平面BDEF ．又P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一点，且AP ∥平面BDEF ，∴P 点在线段MN 上． 在Rt △AA 1M 中，AM 222211215AA A M =+=+=，同理，在Rt △AA 1N 中，求得AN 5=，则△AMN 为等腰三角形．当P 在MN 的中点时，AP 最小为222322()2+=， 当P 与M 或N 重合时，AP 最大为5．∴线段AP 长度的取值范围是32,52⎡⎤⎢⎥⎣． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了空间中点、线、面间的距离问题，其中解答中通过构造平行平面寻找得到点P 的位置是解答的关键，意在考查空间想象能力与运算能力，属于中档试题.10．C解析：C 【分析】先由三视图计算底面正三角形内切圆的半径，内切圆的直径和三棱柱的高比较大小，确定球的半径的最大值，计算球的最大体积. 【详解】由三视图知该直三棱柱的高为4，底面正三角形的高为33半径为高的三分之一，即3r =，由于234<，所以该棱柱内部可放置球的半径的最大值为3，它的体积()343433V ππ==.故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的第一个关键是由三视图确定底面三角形的高是33，第二个关键是确定球的最大半径.11．A解析：A 【分析】利用线面垂直的判定定理可判断BCD 选项，利用假设法推出矛盾，可判断A 选项. 【详解】对于A 选项，连接B C '，假设A C '⊥平面MNP ，在正方体ABCD A B C D ''''-中，A B ''⊥平面BB C C ''，B C '⊂平面BB C C ''，A B B C '''∴⊥，所以，A B C ''为直角三角形，且A CB ''∠为锐角，因为M 、N 分别为BB '、BC 的中点，则//MN B C '，所以，MN 与A C '不垂直， 这与A C '⊥平面MNP 矛盾，故假设不成立，即A C '与平面MNP 不垂直；对于B 选项，连接B D ''、A C ''，如下图所示：因为四边形A B C D ''''为正方形，则A C B D ''''⊥，CC '⊥平面A B C D ''''，B D ''⊂平面A B C D ''''，CC B D '''∴⊥， A C CC C ''''=，B D ''∴⊥平面A CC ''，A C '⊂平面A CC ''，A CB D '''∴⊥，M 、P 分别为A B ''、A D ''的中点，则//MN B D ''，可得MP A C '⊥， 同理可证A C MN '⊥，MP MN M ⋂=，A C '∴⊥平面MNP ；对于C 选项，连接C D '、A N '、CN 、A P '、PC ，取A B ''的中点E ，连接C E '、PE ，因为四边形CC D D ''为正方形，则CD C D ''⊥，A D ''⊥平面CC D D ''，C D '⊂平面CC D D ''，C D A D '''∴⊥， CD A D D ''''=，C D '∴⊥平面A CD ''，A C '⊂平面A CD ''，A C C D ''∴⊥，M 、N 分别为DD '、C D ''的中点，//MN C D '∴，A C MN '∴⊥，在正方形A B C D ''''中，E 、N 分别为A B ''、C D ''的中点，//A E C N ''∴且A E C N ''=， 所以，四边形A EC N ''为平行四边形，所以，//A N C E ''且A N C E ''=， 同理可证四边形CC EP '为平行四边形，//C E CP '∴且C E CP '=， 所以，//A N CP '且A N CP '=，所以，四边形A PCN '为平行四边形， 易得A N CN '=，所以，四边形A PCN '为菱形，所以，A C PN '⊥，MN PN N =，A C '∴⊥平面MNP ；对于D 选项，连接AC 、BD ，因为四边形ABCD 为正方形，则AC BD ⊥，AA '⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，AA BD '∴⊥， AC AA A '⋂=，BD ∴⊥平面AA C '，A C '⊂平面AA C '，AC BD '∴⊥，M 、N 分别为CD 、BC 的中点，则//MN BD ，A C MN '∴⊥，同理可证A C MP '⊥，MN MP M ⋂=，A C '∴⊥平面MNP . 故选：A. 【点睛】方法点睛：证明线面垂直的方法： 一是线面垂直的判定定理； 二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等．12．C解析：C 【分析】设AH a =，则BH a =，由线面垂直的性质和勾股定理可求得DH a AH ==，由等腰三角形的性质可证得BD ⊥DH ，再根据线面垂直的判定和性质可得选项. 【详解】设AH a =，则BH a =，因为'C H ⊥面ABD ，AB 面ABD ，DH ⊂面ABD ，所以'C H ⊥AB ，'C H ⊥DH ，'C H ⊥DB ，又Rt ABC ，1,2AC AB BC ===，D 为BC 的中点，所以'1,6C D BD B DAB π==∠=∠=，所以在'Rt AC H 中，'C H ==Rt C HD ’中，()2'222'211DH C D C H a a =-=--=，所以DH a AH ==，所以6ADH DAB π∠=∠=，又23ADB π∠=，所以2HDB π∠=，所以BD ⊥DH ，又'C HDH H =，所以BD ⊥面'C DH ，又'C D ⊂面'C DH ，所以BD ⊥'C D ， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：在解决折叠问题时，关键在于得出折叠的前后中，线线、线面、面面之间的位置关系的不变和变化，以及其中的边的长度、角度中的不变量和变化的量.二、填空题13．【分析】利用直线平行与斜率之间的关系点到直线的距离公式即可得出【详解】解：因为直线与直线平行所以解得当时则故答案为：【点睛】熟练运用直线平行与斜率之间的关系点到直线的距离公式是解题关键【分析】利用直线平行与斜率之间的关系、点到直线的距离公式即可得出． 【详解】解：因为直线1:220l x by ++=与直线2:210l x y -+=平行， 所以22(1)b =⨯-，解得1b =-，当1b =-时，1:220l x y -+=，2:210l x y -+=，则d ==【点睛】熟练运用直线平行与斜率之间的关系、点到直线的距离公式，是解题关键．14．【分析】设由于则在线段上又在以为圆心1为半径的圆上问题转化为求线段上的点到圆上点的距离的最大值和最小值然后可得结论【详解】∵∴可取∵∴是单位圆上如图设由于则在线段上易得直线方程是即到线段的距离为斜边解析：,1(4,)⎛-∞-+∞ ⎝⎭ 【分析】()()11a b c a b c λλλλ⎡⎤---=-+-⎣⎦，设,,OA a OB b OC c ===，()1b c OP λλ+-=，由于01λ<<，则P 在线段BC 上，又A 在以O 为圆心，1为半径的圆O 上，问题转化为求线段BC 上的点P 到圆O 上点A 的距离的最大值和最小值，然后可得结论． 【详解】∵0b c ⋅=，2b =，3c =，∴可取(2,0)b OB ==，(0,3)c OC ==，a OA =，∵1a =，∴A 是单位圆O 上，如图，()()11a b c a b c λλλλ⎡⎤---=-+-⎣⎦，设()1b c OP λλ+-=，由于01λ<<，则P 在线段BC 上，()()11a b c a b c PA λλλλ⎡⎤---=-+-=⎣⎦，易得直线BC 方程是123x y+=即3260x y +-=，O 到线段BC 的距离为OBC 斜边BC 边上高，即2361323d ==+，∴min 61311PA d =-=-，又3OC =，∴min314PA=+=，∴PA 的取值范围是6131,413， ∴()1a b c λλ---所有取不到的值的集合为613,1(4,)13⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．故答案为：613,1(4,)⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查求向量模的取值范围，解题关键是取(2,0)b OB ==，(0,3)c OC ==，把所有向量的起点都移到原点，由几何意义得出动点所成轨迹，从而由几何意义得出模的范围，最后求其在实数集上的补集即可．15．【分析】利用函数图象考虑当直线与半圆仅有一个交点时的取值范围同时注意讨论直线与圆相切的情况由此求解出的范围并确定出最小值【详解】如图函数的图象是圆的上半部分结合图象可知当时即时直线与半圆只有一个交点解析：13【分析】利用函数图象，考虑当直线与半圆2143y x x --+-仅有一个交点时k 的取值范围，同时注意讨论直线与圆相切的情况，由此求解出k 的范围并确定出最小值. 【详解】如图函数2431y x x =-+-的图象是圆()()22211x y -+-=的上半部分， 结合图象可知，当10103010k --≤<--时，即113k ≤<时，直线与半圆只有一个交点；当直线与半圆相切时也仅有一个交点，则22111k k -=+，解得43k =或0k =（舍）， 综上可知：min 13k =. 故答案为：13.【点睛】本题考查根据直线与圆的交点个数求解参数值，着重考查了数形结合思想的运用，难度一般.解答此题时要注意函数2143y x x -=-+-表示的是半圆，不是一个整圆.16．【分析】根据题意设出过直线和圆的交点的圆系方程代入已知点坐标可求出的值即可确定所求圆的方程【详解】设过已知直线和圆的交点的圆系方程为：∵所求圆过点∴解得所以圆的方程为化简得故答案为：【点睛】本题主要 解析：2231240x y x y ++--=【分析】根据题意设出过直线和圆的交点的圆系方程，代入已知点坐标，可求出λ的值，即可确定所求圆的方程. 【详解】设过已知直线和圆的交点的圆系方程为：()2242420x y x y x y λ+-+-+-=∵所求圆过点()1,0 ∴70λ-+= 解得7λ=所以圆的方程为()22424720x y x y x y +-+-+-=，化简得2231240x y x y ++--=.故答案为：2231240x y x y ++--=. 【点睛】本题主要考查求解圆的方程，设出过已知直线和圆的交点的圆系方程是解本题的关键.17．【分析】求出点坐标由于直线与直线垂直得出直线的斜率为再由点斜式写出直线的方程【详解】由于直线可看成直线先绕点逆时针方向旋转角再继续旋转角得到则直线与直线垂直即直线的斜率为所以直线的方程为即故答案为： 解析：230x y --=【分析】求出点P 坐标，由于直线210x y +-=与直线l 垂直，得出直线l 的斜率为12，再由点斜式写出直线l 的方程. 【详解】()1,120210x x y P y -⎧⇒-⎨--=+⎩= 由于直线210x y +-=可看成直线l 先绕点P 逆时针方向旋转角α，再继续旋转2πα-角得到，则直线210x y +-=与直线l 垂直，即直线l 的斜率为12所以直线l 的方程为11(1)2y x +=-，即230x y --= 故答案为：230x y --= 【点睛】本题主要考查了求直线的方程，涉及了求直线的交点以及直线与直线的位置关系，属于中档题.18．【分析】将直线的方程化为可求出直线所过的定点坐标作出曲线的图象利用数形结合思想可得出当直线与曲线有公共点时直线的斜率的最小值【详解】将直线的方程化为由得则直线过定点将曲线的方程变形为曲线为圆的上半圆解析：15【分析】将直线l 的方程化为()()210m x y x y +--+=，可求出直线l 所过的定点坐标，作出曲线C 的图象，利用数形结合思想可得出当直线l 与曲线C 有公共点时，直线l 的斜率的最小值. 【详解】将直线l 的方程化为()()210m x y x y +--+=，由2100x y x y +-=⎧⎨+=⎩，得11x y =-⎧⎨=⎩. 则直线l 过定点()1,1P -，将曲线C 的方程变形为()()()222242x y y -+-=≥，曲线C 为圆()()22224x y -+-=的上半圆，如下图所示：由图象可知，当直线l 过点A 时，直线l 的斜率取最小值211415PA k -==+. 故答案为：15. 【点睛】 本题考查利用直线与圆的位置关系求直线斜率的最值，考查数形结合思想的应用，属于中等题.19．②③④【分析】取点为线段的中点可判断①建立空间直角坐标系假设存在点使得利用解出的值即可判断②；连接交于点证明线段到平面的距离为定值可判断③；求出点的坐标然后计算平面和平面的法向量即可判断④【详解】对解析：②③④.【分析】取点M 为线段1BD 的中点可判断①，建立空间直角坐标系假设存在点M ，使得1B M AE ⊥，利用()1110AE B M AE B B BD λ⋅=⋅+=解出λ的值即可判断②；连接AC 、BD 交于点1O ，证明11//EO BD ，线段1BD 到平面AEC 的距离为定值，可判断③；求出点M 的坐标，然后计算平面AEC 和平面MAC 的法向量，即可判断④.【详解】对于①：连接1AC 交1BD 于点O ，当点M 在O 点时直线AD 与直线1C M 相交，故①不正确，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则()0,0,0D ，()10,0,2D ，()2,0,0A ，()0,2,0C ，()0,0,1E ，()2,2,0B ，()12,2,2B ，对于②：()2,0,1AE =-，假设存在点M ，使得1B M AE ⊥，()()()1110,0,22,2,22,2,22B M B B BD λλλλλ=+=-+--=---，[]0,1λ∈， 所以14220AE B M λλ⋅=+-=，解得13λ=，所以当12D M MB =时1B M AE ⊥， 故②正确；对于③：连接AC 、BD 交于点1O ，因为点E 是棱1DD 的中点，此时11//EO BD ，故线段1BD 到平面AEC 的距离为定值，所以四面体EMAC 的体积为定值，故③正确； 对于④：当12D M MB =时，442,,333M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,0,1AE =-，()2,2,0AC =-，设平面AEC 的法向量为()111,,m x y z =，由111120220m AE x z m AC x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令12z =，可得11x =，11y =，可得()1,1,2m =，设平面MAC 的法向量为()222,,n x y z =，242,,333MA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由222222202420333n AC x y n MA x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--=⎪⎩解得:20y =，令 21x =可得22z =，所以1,1,1n ，因为1111120m n ⋅=⨯+⨯-⨯=，m n ⊥所以平面EAC ⊥平面MAC ，故④正确；故答案为：②③④.【点睛】方法点睛：证明面面垂直的方法（1）利用面面垂直的判定定理，先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另外一个平面内或与另外一个平面内的一条直线平行即可；（2）利用性质：//,αββγαγ⊥⇒⊥（客观题常用）；（3）面面垂直的定义（不常用）；（4）向量方法：证明两个平面的法向量垂直，即法向量数量积等于0.20．【分析】取中点连接证明平面可得为直线与侧面所成的角进而可得答案【详解】取中点连接直三棱柱中平面平面又又面平面在平面上的射影为故为直线与侧面所成的角中中中故答案为：【点睛】方法点睛：求直线与平面所成的 解析：10 【分析】取11B C 中点D ，连接1,A D BD ，证明1A D ⊥平面11B C CB ，可得1A BD ∠为直线1A B 与侧面11B C CB 所成的角，进而可得答案.【详解】取11B C 中点D ，连接1,A D BD ，直三棱柱中，1BB ⊥平面111A B C ，1A D ⊂平面111A B C ，11BB A D ∴⊥，又11111A B A C ==，111A D B C ∴⊥，又1111B C BB B =，111,B C BB ⊂面11BB C C ， 1A D ∴⊥平面11B C CB ，1A B ∴在平面11B C CB 上的射影为DB ，故1A BD ∠为直线1A B 与侧面11B C CB 所成的角，11Rt A B B 中，22211121125BB A B A B =+=+=111Rt B A C 中，1112212122B C AD =⨯==， 1Rt A BD ∴中，1112102sin 5A D A BD AB ∠===， 故答案为：1010. 【点睛】方法点睛：求直线与平面所成的角有两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可. 21．①②④【分析】让从开始逐渐向运动变化观察所得的截面从而可得正确的选项【详解】由题设可得为所在棱的中点当时如图（1）直线分别交与连接并延长于连接交于则与正方体的截面为五边形故①正确当如图（2）此时与正 解析：①②④【分析】让P 从A 开始逐渐向1A 运动变化，观察所得的截面，从而可得正确的选项．【详解】由题设可得,M N 为所在棱的中点.当203AP <<时，如图（1），直线MN 分别交,AD DC 与,T S ，连接TP 并延长1DD 于G ，连接GS 交1CC 于H ，则α与正方体的截面为五边形，故①正确.当11A P =，如图（2），此时α与正方体的截面为正六边形，其边长为2， 其面积为()2362=33⨯⨯，故B 正确.当,A P 重合或1,A P 重合时，如图（3），α与正方体的截面均为四边形，故③错误.如图（4），在平面α内，设PM HN S ⋂=，则S PM ∈，而PM ⊂平面11A B BA ，故S ∈平面11A B BA ，同理S ∈平面11C B BC ，故S ∈平面11A B BA ⋂平面111C B BC BB =即PM 、HN 、1BB 三条直线交于一点. 故答案为：①②④.【点睛】思路点睛：平面的性质有3个公理及其推理，注意各个公理的作用，其中公理2可用来证明三点共线或三线共点，公理3及其推理可用来证明点共面或线共面，作截面图时用利用公理2来处理.22．【分析】连接延长交于则是中点可得是二面角的平面角求出可得结论【详解】由已知是中心连接延长交于则是中点连接则而∴平面平面∴∴是二面角的平面角由对称性又由平面平面得∴故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考 解析：33【分析】连接DO 延长交BC 于E ，则E 是BC 中点，可得MEO ∠是二面角M BC O --的平面角．求出,ME OE 可得结论．【详解】由已知O 是BCD △中心，连接DO 延长交BC 于E ，则E 是BC 中点，连接AE ，则BC AE ⊥，BC DE ⊥，而AE DE E =，∴BC ⊥平面AED ，ME ⊂平面AED ，∴BC ME ⊥，∴MEO ∠是二面角M BC O --的平面角．2BC =，90BMC ︒∠=，由对称性2BM CM ==112ME BC ==，又113323323EO DE ==⨯⨯=， 由AO ⊥平面BCD ，EO ⊂平面BCD ，得AO EO ⊥， ∴3cos EO MEO ME ∠==． 故答案为：3．【点睛】关键点点睛：本题考查求二面角，解题关键是作出二面角的平面角．这可根据平面角的定义作出（并证明），然后在直角三角形中求角即得．注意一作二证三计算三个步骤． 23．①③④【分析】作出折叠后的几何体的直观图由题中条件得到是异面直线与所成的角求出其正切可判断①正确；根据线面垂直的的判定定理先证明平面可判断②错；根据等体积法由体积公式求出可判断③正确；根据面面垂直的解析：①③④【分析】作出折叠后的几何体的直观图，由题中条件，得到ABC ∠是异面直线AB 与DE 所成的角，求出其正切，可判断①正确；根据线面垂直的的判定定理，先证明CE ⊥平面ABD ，可判断②错；根据等体积法，由体积公式求出B ACE V -，可判断③正确；根据面面垂直的判定定理，可判断④正确.【详解】作出折叠后的几何体直观图如图所示：由题意，3AB a =，BE a =，∴2AE a =； ∴22AD AE DE a =-=，222AC CD AD a ∴=+=，∵//BC DE ，∴ABC ∠是异面直线AB 与DE 所成的角，在Rt ABC 中, tan 2AC ABC BC∠==①正确； 连结BD ，CE ，则CE BD ⊥，又AD ⊥平面BCDE ，CE ⊂平面BCDE ，∴CE AD ⊥，又BD AD D ，BD ⊂平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，∴CE ⊥平面ABD ，又AB 平面ABD ，∴CE AB ⊥.故②错误．三棱锥B ACE -的体积2311113326B ACE A BCE BCE V V S AD a a a --===⨯⨯=⋅⨯. 故③正确．∵AD ⊥平面BCDE ，BC ⊂平面BCDE ，∴BC AD ⊥，又BC CD ⊥，CD AD D =，CD ⊂平面ADC ，AD ⊂平面ADC ， ∴BC ⊥平面ADC ，∵BC ⊂平面ABC ，∴ABC ⊥平面ADC .故④正确.故答案为：①③④．【点睛】思路点睛：判断空间中线线、线面、面面位置关系时，一般根据相关概念，结合线面平行、垂直的判定定理及性质，以及面面平行、垂直的判定定理及性质，根据题中条件，进行判断或证明. 24．【分析】作于可证得平面得得等边三角形利用是球的直径得然后计算出再应用棱锥体积公式计算体积【详解】∵围绕棱旋转后恰好与重合∴作于连接则∴又过球心∴而∴同理由得平面∴故答案为：【点睛】易错点睛：本题考查 3 【分析】作BH PA ⊥于H ，可证得PA ⊥平面BCH ，得60BHC ∠=︒，得等边三角形BCH ，利用PA 是球的直径，得PB AB ⊥，然后计算出BH ，再应用棱锥体积公式计算体积．【详解】∵PAB △围绕棱PA 旋转60︒后恰好与PAC △重合，∴PAB PAC ≅△△，作BH PA ⊥于H ，连接CH ，则,CH PA CH BH ⊥=，60BHC ∠=︒，∴BC BH CH ==．又PA 过球心，∴PB AB ⊥，而2,3PA PB ==，∴1AB =，同理1AC =，31322PB AB BH PA ⋅⨯===，2233333BCH S BH ⎛⎫=⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭△， 由BH PA ⊥，CH PA ⊥，CHBH H =，得PA ⊥平面BCH ， ∴11333233P ABC BCH V S PA -=⋅=⨯⨯=△． 故答案为：3．【点睛】易错点睛：本题考查求棱锥的体积，解题关键是作BH PA ⊥于H ，利用旋转重合，得PA ⊥平面BCH ，这样只要计算出BCH 的面积，即可得体积，这样作图可以得出60BHC ∠=︒，为旋转所形成的二面角的平面角，这里容易出错在误认为旋转60︒，即为60CAB ∠=︒．旋转60︒是旋转形成的二面角为60︒．应用作出二面角的平面角．三、解答题25．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）取MD 中点为F ，连接EF ，CF ，四边形BCFE 为平行四边形，所以//BE CF ，利用线面平行的性质定理即可证明；（2）利用勾股定理证明AC CD ⊥，设点M 在面ABCD 上投影在线段AC 上设为点H ，再利用已知条件证明MH CD ⊥，利用线面垂直的判断定理即可证明.【详解】。

双基限时练(二十七)一、选择题1．圆x2＋y2＝1与x2＋y2－2x－2y＝0的位置关系是()A．相交B．相离C．内含D．外切解析圆心距d＝(1－0)2＋(1－0)2＝2<1＋2，且d>2－1，可知答案为A.答案A2．若x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0与x2＋y2＋2x－2y－2＝0相外切，则m的值为()A．－5 B．3C．－5或3 D．以上均不对解析x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0可化为(x－m)2＋(y＋2)2＝9，x2＋y2＋2x－2y－2＝0可化为(x＋1)2＋(y－1)2＝4，由题可知，(m＋1)2＋(－2－1)2＝3＋2，得m＝－5，或m＝3.答案C3．过两圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝13及(x＋2)2＋(y＋1)2＝9的交点的直线方程是()A．x＋y＋2＝0 B．x＋y－2＝0C．5x＋3y＋2＝0 D．5x＋3y－2＝0解析将两圆的方程相减．答案A4．两圆x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2－1＝0与x2＋y2＋2bx＋2by＋2b2－1＝0的公共弦长的最大值为()A．2 2 B．2C. 2 D ．1解析 两圆相交弦所在的直线方程为x ＋y ＋a ＋b ＝0， ∴弦长＝21－⎝⎛⎭⎪⎫a －b 22. ∴当a ＝b 时弦长最大，最大值为2. 答案 B5．若圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0关于直线x －y ＝1对称的圆的方程为x 2＋y 2＝1，则实数a 的值为( )A ．0B ．1C ．±2D ．2解析 x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－1，半径为|a |2，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧|a |2＝1，－1－0a2－0＝－1，得a ＝2.答案 D6．圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋10y ＋13＝0的公切线的条数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 两圆的圆心距d ＝(－2－2)2＋(2＋5)2＝65，半径r 1＝1，r 2＝4，∴d >r 1＋r 2，∴两圆相外离，故有4条公切线．答案 D 二、填空题7．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦的长为23，则a ＝________.解析 由题可知，两圆的公共弦所在的直线方程为y ＝1a ，圆心O 到直线的距离为1a ，则由弦长公式(3)2＋1a 2＝4，得a ＝1.答案 18．若(x ＋1)2＋y 2＝4与(x －a )2＋y 2＝1相交，则a 的取值范围是________．解析 由题可知(－1－a )2＋(0－0)2∈(2－1，2＋1)，得－4<a <－2，或0<a <2. 答案 －4<a <－2，或0<a <29．若圆x 2＋y 2＝4和圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0，①x 2＋y 2＝4，②①－②可得l 的方程为x －y ＋2＝0. 答案 x －y ＋2＝0 三、解答题10．已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0与圆C 2：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0相交于A ，B 两点．(1)求公共弦AB 所在的直线方程；(2)求圆心在直线y ＝－x 上，且经过A ，B 两点的圆的方程．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得x －2y ＋4＝0，所以公共弦AB 所在的直线方程为x －2y ＋4＝0.(2)设所求的圆的方程为x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＋λ(x 2＋y 2－2x ＋10y －24)＝0①整理得(1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2＋(2－2λ)x ＋(2＋10λ)y －8－24λ＝0，圆心⎝⎛⎭⎪⎫λ－11＋λ，－1＋5λ1＋λ，又圆心在y ＝－x 上， 即λ－11＋λ＝1＋5λ1＋λ，得λ＝－12. 代入①得x 2＋y 2＋6x －6y ＋8＝0.即所求的圆的方程为x 2＋y 2＋6x －6y ＋8＝0.11．求通过直线2x －y ＋3＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的交点，且面积最小的圆的方程．解 解法1：设所求的圆的方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＋λ(2x －y ＋3)＝0，配方得标准方程为(x ＋1＋λ)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2－λ22＝(1＋λ)2＋(4＋λ)24－3λ－1.∵r 2＝54λ2＋λ＋4＝54(λ＋25)2＋195，∴当λ＝－25时，半径r ＝ 195最小．∴所求面积最小的圆的方程为5x 2＋5y 2＋6x －18y －1＝0. 解法2：设直线与圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋3＝0，x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，消去y ，得5x 2＋6x －2＝0. ∴判别式Δ>0，AB 中点横坐标x 0＝x 1＋x 22＝－35，纵坐标y 0＝2x 0＋3＝95，即圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，95，半径r ＝12·|x 1－x 2|1＋22＝195，∴所求面积最小的圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝⎛⎭⎪⎫y －952＝195.12．已知圆C 1：x 2＋y 2－10x －10y ＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋6x ＋2y －40＝0相交于A ，B 两点，求公共弦AB 的长．解 解法1：由两圆方程相减，得公共弦AB 所在直线的方程为：4x ＋3y －10＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋3y －10＝0，x 2＋y 2－10x －10y ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2. 令A (－2,6)，B (4，－2)． 故|AB |＝(－2－4)2＋(6＋2)2＝10.解法2：同法1，先求出公共弦所在直线l 的方程为4x ＋3y －10＝0.过C 1作C 1D ⊥AB 于D ，如图，圆C 1的圆心C 1(5,5)，半径r 1＝52，则|C 1D |＝|20＋15－10|5＝5.∴|AB |＝2|AD |＝2C 1A 2－C 1D 2＝250－25＝10.思维探究13．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，C2：x2＋y2－4ax －2y＋4a2＝0(a>0)．试求a为何值时，两圆C1，C2：(1)相切；(2)相交；(3)相离？解对圆C1，C2的方程，经配方后可得：C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴C1(a,1)，r1＝4，C2(2a,1)，r2＝1，∴|C1C2|＝(a－2a)2＋(1－1)2＝a.(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切，当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．(2)当3<|C1C2|<5，即3<a<5时，两圆相交．(3)当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离．。

一、选择题1．已知直线10ax by ++=与直线4350x y ++=平行，且10ax by ++=在y 轴上的截距为13，则+a b 的值为（ ） A ．7-B ．1-C ．1D ．72．已知圆22:(3)(4)4C x x -+-=和两点(,0)A m -，(,0)(0)B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的取值范围是（ ） A ．[5,9]B ．[4,8]C ．[3,7]D ．[2,6]3．已知圆1C ：22(1)(1)1x y -++=，圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则||||PN PM -的最大值是（ ）A ．2B ．4C ．7D ．94．已知12,F F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的两焦点，P 是椭圆上任意一点，过一焦点引12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则动点Q 的轨迹为（ ▲ ） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线5．直线l 经过()2,1A ，()23,B t ，(t ≤点，则直线l 倾斜角的取值范围是（ ） A ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．0,C ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πD ．30,,424πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦6．在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =+上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值是（ ） A ．43-B ．54-C ．35D ．53-7．已知AB 是平面α外的一条直线，则下列命题中真命题的个数是（ ） ①在α内存在无数多条直线与直线AB 平行； ②在α内存在无数多条直线与直线AB 垂直； ③在α内存在无数多条直线与直线AB 异面； ④一定存在过AB 且与α垂直的平面β. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．大摆锤是一种大型游乐设备(如图)，游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常大摆锤以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险，座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动.假设小明坐在点A 处，“大摆锤”启动后，主轴OB 在平面α内绕点O 左右摆动，平面α与水平地面垂直，OB 摆动的过程中，点A 在平面β内绕点B 作圆周运动，并且始终保持OB β⊥，B β∈.设4OB AB =，在“大摆锤”启动后，下列结论错误的是（ ）A ．点A 在某个定球面上运动；B ．β与水平地面所成锐角记为θ，直线OB 与水平地面所成角记为δ，则θδ+为定值；C ．可能在某个时刻，AB //α；D ．直线OA 与平面α所成角的正弦值的最大值为1717. 9．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，120224BAC AP AB AC ∠====，，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积是（ ） A ．18πB ．36πC ．40πD ．72π10．已知正三棱柱111ABC A B C -，的体积为163，底面积为43，则三棱柱111ABC A B C -的外接球表面积为（ ）A ．1123π B ．563π C ．2243π D ．28π11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．16π12．在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB =，1AD =，12AA =，点E 为11C D的中点，则二面角11B A B E --的余弦值为（ ） A ．3-B ．3-C ．3 D ．3 二、填空题13．已知直线1:220l x by ++=与直线2:210l x y -+=平行，则直线1l ，2l 之间的距离为__________.14．已知直线():0l x ay a R +=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的一条对称轴，过点()1,P a -的直线m 与圆C 交于,A B 两点，且AB 4=，则直线m 的斜率为____.15．已知点(1,0),(3,0)M N .若直线:0l x y m +-=上存在一点P 使得0PM PN ⋅=成立，则m 的取值范围是_____________.16．在平面直角坐标xOy 系中,设将椭圆()2222110y x a a a +=>-绕它的左焦点旋转一周所覆盖的区域为D ，P 为区域D 内的任一点，射线()02x y x =≥－上的点为Q ，若PQ 的最小值为a ，则实数a 的取值为_____．17．函数2291041y x x x =++-+的最小值为_________.18．已知A 是直角坐标平面内一定点，点(0,0)O ，若圆22()(–12)3x y -+=上任意一点M 到定点A 与点(0,0)O 的距离之比是一个定值λ，则这个定值λ的大小是________． 19．在边长为3的菱形ABCD 中，对角线3AC =，将三角形ABC 沿AC 折起，使得二面角B AC D --的大小为2π，则三棱锥B ACD -外接球的体积是_________________．20．如图所示，Rt A B C '''∆为水平放置的ABC ∆的直观图，其中AC B C ''''⊥，2B O O C ''''==，则ABC ∆的面积是________________.21．如图，在三棱台111ABC A B C -中，11190,4,22ACB AC BC A B CC ∠=︒====11AA B B ⊥平面ABC ，则该三棱台外接球的表面积为___________.22．二面角a αβ--的大小为135A AE a E α︒∈⊥，，，为垂足，,B BF a F β∈⊥，为垂足，2,31AE BF EF P ===，，是棱上动点，则AP PB +的最小值为_______． 23．已知扇形的面积为56π，圆心角为6π，则由该扇形围成的圆锥的外接球的表面积为_________．24．如图，已知正四面体P ABC -的棱长为2，动点M 在四面体侧面PAC 上运动，并且总保持MB PA ⊥，则动点M 的轨迹的长度为__________.三、解答题25．如图，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，11,2AB AA ==，点E 为1CC 中点，点F 为1BD 中点．（1）求异面直线1BD 与1CC 的距离；（2）求直线1BD 与平面BDE 所成角的正弦值； （3）求点F 到平面BDE 的距离．26．如图1，在梯形ABCD 中，//BC AD ，4=AD ，1BC =，45ADC ∠=︒，梯形的高为1，M 为AD 的中点，以BM 为折痕将ABM 折起，使点A 到达点N 的位置，且平面NBM ⊥平面BCDM ，连接NC ，ND ，如图2.（1）证明：平面NMC ⊥平面NCD ；（2）求图2中平面NBM 与平面NCD 所成锐二面角的余弦值. 27．如图，AB 是O 的直径，PA 垂直于O 所在的平面，C 是圆周上不同于A ，B 的一动点.（1）证明：BC ⊥面PAC ；（2）若PA =AC =1，AB =2，求直线PB 与平面PAC 所成角的正切值.28．在四棱台1111ABCD A BC D -中，1AA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，90ACD ∠=︒，26BC ==，1CD =，1AM CC ⊥，垂足为M .（1）证明：平面ABM ⊥平面11CDD C ； （2）若二面角B AM D --正弦值为217，求直线AC 与平面11CDD C 所成角的余弦.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【详解】分析：根据两条直线平行，得到,a b 的等量关系，根据直线在y 轴上的截距，可得b 所满足的等量关系式，联立方程组求得结果.详解：因为直线10ax by ++=与直线4350x y ++=平行， 所以43b a =，又直线10ax by ++=在y 轴上的截距为13， 所以1103b +=，解得3b =-，所以4a =-， 所以7a b +=-，故选A.点睛：该题考查的是有关直线的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有两条直线平行时系数所满足的条件，以及直线在y 轴上的截距的求法，根据题中的条件，列出相应的等量关系式，求得结果.2．C解析：C 【分析】设点P 的坐标为(),x y ，可得出点P 的轨迹方程为222x y m +=，进而可知圆222x y m +=与圆C 有公共点，可得出关于正数m 的不等式，由此可求得正数m 的取值范围. 【详解】设点P 的坐标为(),x y ，90APB ∠=，且坐标原点O 为AB 的中点，所以，12OP AB m ==，则点P 的轨迹方程为222x y m +=， 由题意可知，圆222x y m +=与圆C 有公共点，且圆心()3,4C ，半径为2 则22m OC m -≤≤+，即252m m -≤≤+，0m >，解得3m 7≤≤.因此，实数m 的取值范围是[]3,7. 故选：C. 【点睛】本题主要考查利用圆与圆的位置关系求参数的取值范围，解题的关键在于由90APB ∠=求得点P 的轨迹方程222x y m +=，进而将问题转化为圆222x y m +=与圆C 有公共点问题，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.3．D解析：D 【分析】求出P 点到两圆心的距离，圆1C ：22(1)(1)1x y -++=的圆心(11)E -，，圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=的圆心(45)F ，，由()PF R PE r +--为最大值．再求得E 关于x 轴的对应点E '，PF PE -＝PF PE '-FE '≤，由此可得最大值．【详解】圆1C ：22(1)(1)1x y -++=的圆心(11)E -，，半径为r =1， 圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=的圆心(45)F ，，半径是R =3， 要使||||PN PM -最大，需||PN 最大，且||PM 最小，||PN 最大值为3PF +，||PM 的最小值为1PE -，故||||PN PM -最大值是(3)(1)4PF PE PF PE +--=-+，(45)F ，关于x 轴的对称点(45)F '-，，5PF PE PF PE EF -=-≤='='，故4PF PE -+的最大值为549+=， 故选：D . 【点睛】结论点睛：设P 是圆C 外一点，圆C 半径为r ，则P 到圆上点的距离的最大值为PC r +，最小值为PC r -，直线PC 与圆的两个交点为最大值点和最小值点．4．A解析：A 【详解】不妨设过焦点1F 引12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，延长F 1Q 交F 2P 与M 点,连OQ ，则21211()=22OQ F M F P PF a ==+,所以动点Q 的轨迹为圆，选A. 5．A解析：A 【分析】求出斜率的取值范围，然后可得倾斜角的范围． 【详解】由已知直线的斜率为221132t k t -==--，∵t ≤≤11k -≤≤，记直线l 的倾斜角为θ,[)0,θπ∈，即1tan 1θ-≤≤，所以3[0,][,)44ππθπ∈． 故选：A ． 【点睛】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，直线的倾斜角的范围是[0,]π，斜率为正时，倾斜角为锐角，斜率为负时，倾斜角为钝角，因此一般要分类讨论．6．A解析：A 【分析】化圆C 的方程为22(4)1x y -+=，求出圆心与半径，由题意，只需22(4)4x y -+=与直线2y kx =+有公共点即可． 【详解】 解：圆C 的方程为228150x y x +-+=，整理得：22(4)1x y -+=，即圆C 是以(4,0)为圆心，1为半径的圆；又直线2y kx =+上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆22:(4)4C x y '-+=与直线2y kx =+有公共点即可．设圆心(4,0)C 到直线2y kx =+的距离为d ， 则2d =，即234k k -，403k ∴-． k ∴的最小值是43-． 故选：A ．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“22(4)4x y -+=与直线2y kx =+有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．7．C解析：C 【分析】根据线面平行，线面垂直，异面直线等有关结论和定义即可判断． 【详解】对于A ，若直线AB 与平面α相交，则在α内不存在直线与直线AB 平行，错误； 对于B ，若直线AB 与平面α相交且不垂直，设AB M α=，过平面α外直线AB 上一点P 作PC α⊥，垂足为C ，则在平面α内过点C 一定可以作一条直线CD ，使得CD CM ⊥，所以CD AB ⊥，而在平面α内，与直线CD 平行的直线有无数条，所以在α内存在无数多条直线与直线AB 垂直，若直线AB 与平面α垂直，显然在α内存在无数多条直线与直线AB 垂直，当直线AB 与平面α平行时，显然可知在α内存在无数多条直线与直线AB 垂直，正确；对于C ，若直线AB 与平面α相交，设AB M α=，根据异面直线的判定定理，在平面α内，不过点M 的直线与直线AB 异面，所以在α内存在无数多条直线与直线AB 异面，当直线AB 与平面α平行时，显然可知在α内存在无数多条直线与直线AB 异面，正确； 对于D ，若直线AB 与平面α相交且不垂直，设AB M α=，过平面α外直线AB 上一点P 作PC α⊥，垂足为C ，所以平面ABC 与平面α垂直，若直线AB 与平面α垂直，则过直线AB 的所有平面都与平面α垂直，当直线AB 与平面α平行时，在直线AB 上取一点P 作PC α⊥，垂足为C ，所以平面ABC 与平面α垂直，正确． 故真命题的个数是3个． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查线面平行，线面垂直，异面直线等有关结论和定义的理解和应用，熟记定义，定理和有关结论是解题的关键，属于中档题．8．C解析：C 【分析】利用已知条件确定OA 是定值，即得A 选项正确；作模型的简图，即得B 正确；依题意点B 在平面α内，不可能AB //α，得C 错误；设AB a ，结合题意知ABα⊥时，直线OA与平面α所成角最大，计算此时正弦值，即得D 正确.【详解】因为点A 在平面β内绕点B 作圆周运动，并且始终保持OB β⊥，所OA =又因为OB ，AB 为定值，所以OA 也是定值，所以点A 在某个定球面上运动，故A 正确；作出简图如下，OB l ⊥，所以2πδθ+=，故B 正确；因为B α∈，所以不可能有AB //α，故C 不正确； 设ABa ，则4OB a =，2217OA AB OB a =+=，当AB α⊥时，直线OA 与平面α所成角最大，此时直线OA 与平面α所成角的正弦值为1717a=，故D 正确. 故选:C. 【点睛】本题解题关键在于认真读题、通过直观想象，以实际问题为背景构建立体几何关系，再运用立体几何知识突破难点.9．D解析：D 【分析】先找出ABC 的外接圆的半径，然后取ABC 的外接圆的圆心N ，过N 作平面ABC 的垂线NG ，作PA 的中垂线，交NG 于O ，则O 是外接球球心， OA 为外接球半径，求解半径并求表面积即可. 【详解】如图所示，1204BAC AB AC ∠===，，取BC 中点M ，连接AM 并延长到N 使AM =MN ，则四边形ABNC 是两个等边三角形组成的菱形，AN =BN =CN ，点N 是ABC 的外接圆圆心，过N 作平面ABC 的垂线NG ，则球心一定在垂线NG 上，因为PA ⊥平面ABC ，则PA //NG ，PA 与NG 共面，在面内作PA 的中垂线，交NG 于O ，则O 是外接球球心，半径R =OA ，Rt AON 中，122ON AP ==4AN =，故()224232R =+2441872S R πππ==⨯=.【点睛】求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.本题就是采用这个方法.本题使用了定义法.10．A解析：A 【分析】由面积和体积可得三棱柱的底面边长和高，根据特征可知外接球的球心为上下底面中心连线的中点，再由勾股定理可得半径及球的表面积. 【详解】 依题意，1163443AA ==，而213sin 4324ABCS AB AC A AB =⨯⨯==， 解得4AB =，记ABC 的中心为О，111A B C △的中心为О1，则114O A O A ==， 取1OO 的中点D ，因为AO CO =，90AOD COD ∠=∠=，由勾股定理得AD CD =，同理可得111AD BD A D B D C D ====，所以正三棱柱的外接球的球心为即D ，AD 为外接球的半径， 由正弦定理得432sin 603AB AO ==， 故2221628433A O D D O A =+=+=， 故三棱柱111ABC A B C -的外接球表面积2281124433S R πππ==⨯=， 故选：A ．本题考查了正三棱柱外接球的表面积的求法，关键点是确定球心的位置和球的半径的长度，考查了学生的空间想象力和计算能力.11．C解析：C 【分析】由三视图还原出原几何体，确定其结构，再求出外接球的半径得球的表面积． 【详解】由三视图，知原几何体是一个四棱锥P ABCD -，如图，底面ABCD 是边长为1的正方形，PB ⊥底面ABCD ，由PB ⊥底面ABCD ，AD ⊂面ABCD ，得PB AD ⊥，又AD AB ⊥，AB PB B ⋂=，,AB PB ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，而PA ⊂平面PAB ，所以AD PA ⊥，同理DC PC ⊥，同样由PB ⊥底面ABCD 得PB BD ⊥，所以PD 中点O 到四棱锥各顶点距离相等，即为其外接球球心，PD 为球直径，222222PD PB BD PA AD AB =+=++=，∴外接球半径为12ADr ==， 表面积为2414S ππ=⨯=． 故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查由三视图还原几何体，考查棱锥的外接球表面积．解题关键是确定外接球的球心．棱锥的外接球球心在过各面外心（外接圆圆心）且与该面垂直的直线上．12．C解析：C 【分析】取11A B 的中点F ，过F 作1FG A B ⊥，垂足为G ，连EG ，可证EGF ∠为二面角11B A B E --的平面角，通过计算可得结果.【详解】取11A B 的中点F ，过F 作1FG A B ⊥，垂足为G ，连EG ，因为,E F 分别为1111,C D A B 的中点，所以11//EF A D ，在长方体1111ABCD A BC D -中，因为11A D ⊥平面11ABB A ，所以EF ⊥平面11ABB A ， 因为1A B ⊂平面11ABB A ，所以1EF A B ⊥，因为1FG A B ⊥，且FGEF F =，所以1A B ⊥平面EFG ，因为EG ⊂平面EFG ，所以1A B EG ⊥，所以EGF ∠为二面角11B A B E --的平面角， 因为12AB AA ==，所以14FA G π∠=，因为11A F =，所以12222FG A F ==， 在直角三角形EFG 中，221612EG EF FG =+=+=， 所以cos FGEGF EG ∠==2326=. 所以二面角11B A B E --3. 故选：C 【点睛】关键点点睛：根据二面角的定义作出其中一个平面角是解题关键.二、填空题13．【分析】利用直线平行与斜率之间的关系点到直线的距离公式即可得出【详解】解：因为直线与直线平行所以解得当时则故答案为：【点睛】熟练运用直线平行与斜率之间的关系点到直线的距离公式是解题关键 5 【分析】利用直线平行与斜率之间的关系、点到直线的距离公式即可得出． 【详解】解：因为直线1:220l x by ++=与直线2:210l x y -+=平行， 所以22(1)b =⨯-，解得1b =-，当1b =-时，1:220l x y -+=，2:210l x y -+=，则d ==【点睛】熟练运用直线平行与斜率之间的关系、点到直线的距离公式，是解题关键．14．1【分析】由直线是圆的一条对称轴得到直线过圆心求得得到再根据得到点的直线必过圆心利用斜率公式即可求解【详解】由题意圆的圆心坐标半径为因为直线是圆的一条对称轴则直线过圆心即解得此时点又由直线与圆交于两解析：1 【分析】由直线l 是圆C 的一条对称轴，得到直线l 过圆心，求得2a =-，得到(1,2)P --，再根据4AB =，得到点P 的直线必过圆心(2,1)C ，利用斜率公式，即可求解.【详解】由题意，圆22:4210C x y x y +--+=的圆心坐标(2,1)C ，半径为2r，因为直线():0l x ay a R +=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的一条对称轴， 则直线l 过圆心(2,1)C ，即210a +⨯=，解得2a =-，此时点(1,2)P --， 又由直线m 与圆C 交于,A B 两点，且4AB =，可得过点P 的直线必过圆心(2,1)C ， 所以直线m 的斜率为1(2)12(1)k --==--.故答案为：1. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，合理转化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.15．【分析】根据可确定点轨迹为以为圆心为半径的圆利用直线与圆有交点可知由此构造不等式求得结果【详解】点轨迹是以为圆心为半径的圆上存在点与以为圆心为半径的圆有交点圆心到直线距离解得：即的取值范围为：故答案解析：[2【分析】根据PM PN ⊥可确定P 点轨迹为以()2,0为圆心，1为半径的圆，利用直线l 与圆有交点可知d r ≤，由此构造不等式求得结果. 【详解】0PM PN ⋅=，PM PN ∴⊥，P ∴点轨迹是以()2,0为圆心，1为半径的圆.:0l x y m +-=上存在点P ，l ∴与以()2,0为圆心，1为半径的圆有交点，∴圆心()2,0到直线l 距离1d =≤，解得：22m ≤≤即m 的取值范围为：2⎡⎣.故答案为：2⎡+⎣.【点睛】本题考查根据直线与圆的位置关系求解参数范围的问题；关键是能够根据平面向量数量积得到垂直关系，进而确定动点轨迹，从而将问题转化为直线与圆位置关系的求解问题.16．【分析】先确定轨迹再根据射线上点与圆的位置关系求最值即得结果【详解】所以为以为圆心为半径的圆及其内部设射线的端点为所以的最小值为故答案为：【点睛】本题考查动点轨迹以及点与圆位置关系考查数形结合思想以【分析】先确定D 轨迹，再根据射线上点与圆的位置关系求最值，即得结果. 【详解】2222222(1)1,111,y x c a a c a a =+∴=--=∴=-， 所以D 为以(1,0)F -为圆心，1a +为半径的圆及其内部， 设射线()02x y x =≥－的端点为(2,2)A ，所以PQ 的最小值为||(1),12,AF a a a a -+===【点睛】本题考查动点轨迹以及点与圆位置关系，考查数形结合思想以及基本分析求解能力，属中档题.17．【分析】将变形为设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点即可求出距离和的最小值；【详解】解：设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点连接则即为距离和的最小值故答案为：【点睛】本题考查【分析】将y y =，设()0,3A ，()5,4B ，(),0C x ，则y AC BC ==+即x 轴上的一动点C 到()0,3A ，()5,4B 的距离之和，作()0,3A 点关于x 轴的对称点()10,3A -，即可求出距离和的最小值； 【详解】解：()22222291041354y x x x x x =++-+=++-+，设()0,3A ，()5,4B ，(),0C x ，则()2222354y x x AC BC =++-+=+，即x 轴上的一动点(),0C x 到()0,3A ，()5,4B 的距离之和，作()0,3A 点关于x 轴的对称点()10,3A -，连接1BA ，则1BA 即为距离和的最小值，()22153474BA =+--=min 74y ∴=故答案为：74【点睛】本题考查平面直角坐标系上两点间的距离公式的应用，将军饮马问题，属于中档题.18．【分析】设按距离之比为定值求出点的轨迹方程它就是方程比较后可得【详解】设则整理得：易知方程化为已知圆的一般式方程为所以解得故答案为：【点睛】本题考查平面轨迹方程解题时由点到两点距离之比为常数求出的轨 15【分析】设(,)A m n ，(,)M x y ，按距离之比为定值求出M 点的轨迹方程，它就是方程22()(–12)3x y -+=，比较后可得λ．【详解】设(,)A m n ，(,)M x y，则MA MOλ==，整理得：222222(1)(1)220x y mx ny m n λλ-+---++=，易知210λ-≠，方程化为2222222220111m n m n x y x y λλλ++--+=---，已知圆22()(–12)3x y -+=的一般式方程为222420x y x y +--+=，所以2222222124121mn m n λλλ⎧=⎪-⎪⎪=⎨-⎪⎪+=⎪-⎩，解得25455m n λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩．【点睛】本题考查平面轨迹方程，解题时由M 点到,A O 两点距离之比为常数λ，求出M 的轨迹方程，它就是已知圆，比较系数可得结论．19．；【分析】分析菱形的特点结合其翻折的程度判断其外接球球心的位置放到相应三角形中利用勾股定理求得半径利用球的体积公式求得外接球的体积【详解】根据题意画出图形根据长为的菱形中对角线所以和都是正三角形又因； 【分析】分析菱形的特点，结合其翻折的程度，判断其外接球球心的位置，放到相应三角形中，利用勾股定理求得半径，利用球的体积公式求得外接球的体积. 【详解】根据题意，画出图形，3ABCD 中，对角线3AC = 所以ABC 和DBC △都是正三角形， 又因为二面角B AC D --的大小为2π， 所以分别从两个正三角形的中心做面的垂线，交于O ， 则O 是棱锥B ACD -外接球的球心，且11,2GD OG GE ===， 所以球的半径225R GD OG =+=， 所以其体积为3344555(3326V R ππ==⋅=， 故答案为：556π. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关几何体外接球的问题，解题思路如下： （1）根据题中所给的条件，判断菱形的特征，得到两个三角形的形状；（2）根据直二面角，得到两面垂直，近一倍可以确定其外接球的球心所在的位置； （3）利用勾股定理求得半径； （4）利用球的体积公式求得结果；（5）要熟知常见几何体的外接球的半径的求解方法.20．【分析】根据直观图和原图的之间的关系由直观图画法规则将还原为如图所示是一个等腰三角形直接求解其面积即可【详解】由直观图画法规则将还原为如图所示是一个等腰三角形则有所以故答案为：【点睛】关键点点睛：根 解析：82【分析】根据直观图和原图的之间的关系，由直观图画法规则将Rt A B C '''还原为ABC ，如图所示，ABC 是一个等腰三角形，直接求解其面积即可．【详解】由直观图画法规则将Rt A B C '''还原为ABC ，如图所示，ABC 是一个等腰三角形,则有2BO OC B O O C ''''====，242AO A O ''==所以114428222ABCSBC AO =⋅=⨯⨯=故答案为：82【点睛】关键点点睛：根据斜二测画法的规则，可得出三角形的直观图，并求出对应边长，根据面积公式求解．21．【分析】取与中点根据平面平面可知平面球心必在直线上设球心为D 则可求得球心恰好为点O 从而求得外接球的半径代入球的表面积公式计算【详解】在三棱台中可得都是等腰三角形四边形为等腰梯形即如图取与中点连接则可 解析：32π【分析】取AB 与11A B 中点,O O '，根据平面11AA B B ⊥平面ABC ，可知'⊥O O 平面ABC ，球心必在直线O O '上，设球心为D ，则()22221O D O O OC O D O C ''''-+=+，可求得球心恰好为点O ，从而求得外接球的半径R ，代入球的表面积公式计算. 【详解】在三棱台111ABC A B C -中，11190,4,22ACB AC BC A B CC ∠=︒====111,A A C C B B 都是等腰三角形，11112AC B C ==，四边形11A ABB 为等腰梯形即11AA BB =，如图，取AB 与11A B 中点,O O '，连接1,,CO OO C O ''，则可得122,2CO C O '=，O O AB '⊥，又平面11AA B B ⊥平面ABC ，两面交线为AB ，所以'⊥O O 平面ABC .因为OA OB OC ==,111O A O BO C '''==,面//ABC 面111A B C , 所以球心必在直线O O '上.所以在直角梯形1C O OC '中可求得6O O '=由题意可知，该三棱台外接球的外接球的球心必在直线O O '上，设球的半径为R ，球心为D ，则()22221O D O O OC O D O C ''''-+=+，得6O D '=O ，所以球的半径为2224(22)32ππ=.故答案为：32π【点睛】方法点睛：定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助面面垂直的性质，找到线面垂直，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.22．【分析】首先将二面角展平根据两点距离线段最短求最小值【详解】如图将二面角沿棱展成平角连结根据两点之间线段最短可知就是的最小值以为邻边作矩形由可知三点共线则故答案为：【点睛】思路点睛：本题考查立体几何 解析：26【分析】首先将二面角展平，根据两点距离线段最短，求AP PB +最小值. 【详解】如图，将二面角沿棱a 展成平角，连结AB ，根据两点之间线段最短，可知AB 就是AP PB +的最小值，以,AE EF 为邻边，作矩形AEFC ，由,CF a BF a ⊥⊥可知,,C F B 三点共线， 则()222213226AB AC BC =+=++=26【点睛】思路点睛：本题考查立体几何中的折线段和的最小值，一般都是沿交线展成平面，利用折线段中，两点间距离最短求解，本题与二面角的大小无关.23．【分析】由扇形的面积及圆心角可得扇形的半径再由扇形的弧长等于圆锥的底面周长可得底面半径再由外接球的半径与圆锥的高和底面半径的关系求出外接球的半径进而求出球的表面积【详解】设扇形的长为l 半径为R 则解得 解析：36π【分析】由扇形的面积及圆心角可得扇形的半径，再由扇形的弧长等于圆锥的底面周长可得底面半径，再由外接球的半径与圆锥的高和底面半径的关系求出外接球的半径，进而求出球的表面积.【详解】设扇形的长为l ，半径为R ，则22111656222S lR R R παπ===⨯=，解得30R =，扇形弧长l 为锥底面周长2r π，∴底面的半径5r =，∴圆锥的高为225R r -=．设外接球的半径为1R ，∴()222115(5)R R =-+，解得13R =， ∴该外接球的表面积为21436R ππ=，故答案为：36π.【点睛】本题考查扇形的弧长与圆锥的底面周长的关系及外接球的半径和圆锥的高及底面半径的关系，和球的表面积公式的应用，属于中档题. 24．【分析】取PA 的中点E 连接EBEC 推出PA ⊥平面BCE 故点M 的轨迹为线段CE 解出即可【详解】取PA 的中点E 连接EBEC 因为几何体是正四面体P ﹣ABC 所以BE ⊥PAEC ⊥PAEB∩EC ＝E ∴PA ⊥平面解析：3【分析】取PA 的中点E ，连接EB ，EC ，推出PA ⊥平面BCE ，故点M 的轨迹为线段CE ，解出即可．【详解】取PA 的中点E ，连接EB ，EC ，因为几何体是正四面体P ﹣ABC ，所以BE ⊥PA ，EC ⊥PA ，EB ∩EC ＝E ，∴PA ⊥平面BCE ，且动点M 在正四面体侧面PAC 上运动，总保持MB PA ⊥，∴点M 的轨迹为线段CE ，正四面体P ﹣ABC 的棱长为2，在等边三角形PAC 中求得CE ＝3232⨯=. 故答案为：3【点睛】本题考查了正四面体的性质和线面垂直与线线垂直的判定，判断轨迹是解题的关键，属于中档题．三、解答题25．（12；（3 【分析】（1）取BD 中点G ，连接GC ，FG ，根据线面垂直的判定定理及性质，先证明EF 为1BD 与1CC 的公垂线，再由题中数据，计算出EF 的长，即可得出结果；（2）连接1ED ，由（1）得到EF ⊥平面1BDD ，设1D 到平面BDE 的距离为d ，根据等体积法，由11E DBD D DBE V V --=求出d ，记直线1BD 与平面BDE 所成角为θ，由1sin d BD θ=即可得出结果； （3）由（2）得到1D 到平面BDE 的距离d ，根据题中条件，得到F 到平面BDE 的距离为2d ，即可得出结果. 【详解】 （1）在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，取BD 中点G ，连接GC ，FG ，∵F ，G 分别为1,BD BD 的中点，∴1//FG D D 且112FG D D =， 又1//CE D D ，112CE D D =，所以//FG CE 且FG CE =，则四边形EFGC 为平行四边形，又CE ⊥平面ABCD ，CG ⊂平面ABCD ，∴CE CG ⊥，∴四边形EFGC 为矩形，∴1EF CC ⊥，∵11//D D C C ，∴1EF DD ⊥，又CG BD ⊥，//EF CG ，BD ⊂平面1BDD ，1D D ⊂平面1BDD ，1BD D D D ⋂=， ∴EF ⊥平面1BDD ，又1BD ⊂平面1BDD ，∴1EF BD ⊥，∴EF 为1BD 与1CC 的公垂线，且1E CC ⊂，1F BD ⊂，∴异面直线1BD 与1CC 的距离为||2EF =． （2）在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，连接1ED ，则11E DBD D DBE V V --=，由（1）知EF ⊥平面1BDD ，设1D 到平面BDE 的距离为d ，∵12AA =，1AB =，∴BD BE ED ===EF =1BD =∴1122DBD S ==212DBE S =⨯=从而1DBE DBD S d S EF ⨯=⨯，∴2223233d⨯==， 记直线1BD 与平面BDE 所成角为θ，则12323sin 6d BD θ===， ∴直线1BD 与平面BDE 所成角的正弦值为23．（3）由（2）知，1D 到平面BDE 的距离23d =，∵F 是1BD 的中点，且B ∈平面BDE ，∴F 到平面BDE 的距离为32d =． 【点睛】方法点睛：立体几何体中空间角的求法：（1）定义法：根据空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）的定义，通过作辅助线，在几何体中作出空间角，再解对应三角形，即可得出结果；（2）空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法向量，通过计算向量夹角（两直线的方法向量夹角、直线的方向向量与平面的法向量夹角、两平面的法向量夹角）的余弦值，来求空间角即可.26．（1）证明见解析；（23 【分析】(1)用分析法：要证平面NMC ⊥平面NCD ，只需证明CD ⊥平面NMC ，只需CM CD ⊥和NM CD ⊥；。

第2章 解析几何初步 同步测试试卷（数学北师版必修2）一、选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确） 1.已知圆22:40C xy x +-=，l 是过点(3,0)P 的直线，则（ ）（ ）A.l 与C 相交B.l 与C 相切C.l 与C 相离D.以上三个选项均有可能2.设A ，B 为直线y x =与圆221xy += 的两个交点，则||AB =（ ）（ ）A.1D.23.圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为( )（ ）A.内切B.相交C.外切D.相离4.将圆平分的直线是( )（ ）A ．B ．C ．D ．5.过点(1,1)P 的直线，将圆形区域{}22(,)|4x y x y +≤分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（ ） （ ）A ．20x y +-=B ．10y -=C ．0x y -=D ．340x y +-=6.在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-= 与圆224x y +=相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于（ ）（ ）A．B．C.D.17.直线20x -=与圆224x y +=相交于,A B 两点，则弦AB 的长度等于( )A.B.D.18.对任意的实数，直线与圆222=+y x的位置关系一定是（ ）（ ）A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心 9.直线:和2l :互相垂直，则A.-3或-1B.3或１C.-3或１D.-1或311.过点A （2，3）且垂直于直线052=-+y x 的直线方程为 A.042=+-y x B.072=-+y x C.032=+-y xD.052=+-y x12.在空间直角坐标系中,点)1,0,1(A 与点)1,1,2(-B 之间的距离为（ ）A ．6B ． 6C ．3D ． 2二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.请将正确的答案填到横线上）13.直线l 过点)04(，且与圆25)2()1(22=-+-y x 交于B A 、两点，如果8=AB ，那么直线l 的方程为____________.14.直线ax ＋y ＋1＝0与连结A (2,3)，B (－3,2)的线段相交，则a 的取值范围是________． 15.已知两直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0与a 2x ＋b 2y ＋1＝0的交点是P (2,3)，则过两点Q 1(a 1，b 1)，Q 2(a 2，b 2)的直线方程是______________________．16.在长方体1111D C B A ABCD -中，若)3,0,5(),0,4,5(),0,0,5(),0,0,0(1A B A D ，则对角线1AC 的长为______________.三、计算题（本题共5小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案的不能得分.有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位）17.（12分）在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为228150x y x +-+=,若直线2y kx =-上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,求k 的最大值.18．（12分）若直线l 过点P (3,0)且与两条直线l 1：2x －y －2＝0，l 2：x ＋y ＋3＝0分别相交于两点A 、B ，且点P 平分线段AB ，求直线l 的方程．19．（15分）已知直线l：ay＝(3a－1)x－1.(1)求证：无论a为何值，直线l总过第三象限.(2)a取何值时，直线l不过第二象限？20.（15分）已知直线方程为(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0.(1)证明：直线恒过定点M；(2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A、B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．21.（16分）已知A(1,2，－1)，B(2,0,2)．(1)在x轴上求一点P，使|P A|＝|PB|；(2)在xOz平面内的点M到A点与到B点等距离，求M点的轨迹．第2章解析几何初步同步测试试卷（数学北师版必修2）答题纸得分：一、选择题二、填空题13． 14． 15. 16.三、计算题17.18.19.20.21.第2章 解析几何初步 同步测试试卷（数学北师版必修2）答案一、选择题1.A 解析： 22304330+-⨯=-<，所以点(3,0)P 在圆内部，故选A. 2.D 解析：直线y x =过圆221xy +=的圆心(0,0)C 则||AB =2.3.B 解析：两圆心之间的距离为()17)10(2222=-+--=d ，两圆的半径分别为3,221==r r ， 则d r r <=-112521=+<r r ，故两圆相交. 应选B.4.C 解析：圆心坐标为(1，2)，将圆平分的直线必经过圆心，故选C .5.A 解析：要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P 的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP 垂直即可.又已知点(1,1)P ，则1OP k =，故所求直线的斜率为-1.又所求直线过点(1,1)P ，故由点斜式得，所求直线的方程为()11y x -=--，即20+-=x y .故选A.6.B 解析：圆心到直线的距离为1d ==，所以弦AB 的长等于=.7.B 解析：圆心(0,0)，半径2r =，弦长 ||AB ==.8.C 解析：法一：圆心(0,0)C 到直线10kx y -+=的距离为11d r =<<=，且圆心(0,0)C 不在该直线上.法二：直线10kx y -+=恒过定点(0,1)，而该点在圆C 内，且圆心不在该直线上，故选C. 9.C 解析：若1=k ，直线3:1=x l ，52:2=y l ，满足两直线垂直.若1≠k ，直线21l l ，的斜率分别为321,121+-=-=k k k k k k ，由121-=⋅k k 得，3-=k ，综上1=k 或3-=k ， 10.C 解析：圆心坐标为C （－1，2），设弦AB 中点D （－2，3），由垂径定理有：CD ⊥AB ，32121CD k -==--+，所以AB k ＝1，直线的方程为：，即，所以选C.11.A 解析：法一：设所求直线方程为02=+-C y x ，将点A 代入得，062=+-C ，所以4=C ，所以直线方程为042=+-y x ，选A.法二：直线052=-+y x 的斜率为2-，设所求直线的斜率为k ，则21=k ，代入点斜式方程得直线方程为)2(213-=-x y ，整理得042=+-y x ，选A.12.A 解析：若),,(),,,(222111z y x B z y x A ，则212212212)()()(z z y y x x AB -+-+-=.二、填空题13.020125=--y x 或4=x解析：圆心坐标为)2,1(M ，半径5=r . 因为8=AB ，所以圆心到直线l 的距离34542222=-=-=r d .当直线斜率不存在时，即直线方程为4=x ，圆心到直线的距离为3满足条件，,所以4=x 成立.若直线斜率存在，不妨设为k ，则直线方程)4(-=x k y ，即04=--k y kx ，圆心到直线的距离为313214222=++=+--=k k k k k d ，解得125=k ，所以直线方程为)4(125-=x y ，即020125=--y x .综上满足条件的直线方程为020125=--y x 或4=x .14.或解析：∵直线过定点，当直线处在直线与之间时，必与线段相交，故应满足或，即或.15.2x ＋3y ＋1＝0解析：由条件可得2a 1＋3b 1＋1＝0,2a 2＋3b 2＋1＝0，显然点(a 1，b 1)与(a 2，b 2)均在直线上． 16.25解析：1C 的坐标为），，（340，253452221=++=AC 或由已知可得该长方体从同一顶点出发的棱长分别为3，4，5.三、计算题17.解：因为圆C 的方程可化为:()2241x y -+=,所以圆C 的圆心为(4,0),半径为1. 由题意,直线2y kx =-上至少存在一点00(,2)A x kx -,以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点，所以存在,使得11AC ≤+成立,即min 2AC ≤. 因为min AC 即为点C 到直线2y kx =-,2≤,解得403k ≤≤. 所以k 的最大值是43. 18.解：设A (m,2m －2)，B (n ，－n －3)． ∵线段AB 的中点为P (3,0)，∴错误!∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝6，2m －n ＝5，∴⎩⎨⎧m ＝113，n ＝73.∴A (113，163).∴直线的斜率k ＝163－0113－3＝8，∴直线的方程为y －0＝8(x －3)，即8x －y －24＝0.19.(1)证明：由直线l ：ay ＝(3a －1)x －1，得a (3x －y )＋(－x －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y ＝0－x －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－3， 所以直线l 过定点(－1，－3)，因此直线总过第三象限． (2)解：直线不过第二象限，应有斜率k ＝3a －1a ≥0且－1a ≤0. ∴时直线l 不过第二象限．20.(1)证明：(2＋m )x ＋(1－2m )y ＋4－3m ＝0可化为(x －2y －3)m ＝－2x －y －4.由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －3＝0－2x －y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－2，∴直线必过定点(－1，－2)． (2)解：设直线的斜率为k ，则其方程为y ＋2＝k (x ＋1)，∴OA ＝2k －1，OB ＝k －2， S △AOB ＝12·|OA |·|OB |＝12|(2k －1)(k －2)|＝12|－(k －2)2k |.打印版本高中数学 ∵k <0，∴－k >0，∴S △AOB ＝12[－(k －2)2k ]＝12[4＋(－4k )＋(－k )]≥4.当且仅当－4k ＝－k ，即k ＝－2时取等号，∴△AOB 的面积最小值是4，直线的方程为y ＋2＝－2(x ＋1)，即y ＋2x ＋4＝0.21.解：(1)设，则由已知，得(a －1)2＋(－2)2＋12＝(a －2)2＋22，即a 2－2a ＋6＝a 2－4a ＋8.解得a ＝1.所以P 点的坐标为(1,0,0)．(2)设M (x,0，z )，则有(x －1)2＋(－2)2＋(z ＋1)2＝(x －2)2＋(z －2)2. 整理得，即.故M 点的轨迹是xOz 平面内的一条直线．。

章末综合测评(二) 解析几何初步(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．空间两点A(3，－2,5)，B(6,0，－1)之间的距离为()A．6B．7C．8 D．9【解析】|AB|＝(3－6)2＋(－2－0)2＋(5＋1)2＝7，故选B.【答案】 B2．过两点A(－2，m)，B(m,4)的直线倾斜角是45°，则m的值是()A．－1 B．3C．1 D．－3【解析】由k AB＝m－4－2－m＝tan 45°＝1，解得m＝1.【答案】 C3．过点(－1,3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为() A．x－2y＋7＝0 B．2x＋y－1＝0C．x－2y－5＝0 D．2x＋y－5＝0【解析】∵直线x－2y＋3＝0的斜率为12，∴所求直线的方程为y－3＝12(x＋1)，即x－2y＋7＝0.【答案】 A4．已知直线l1：ax－y－2＝0和直线l2：(a＋2)x－y＋1＝0互相垂直，则实数a的值为()A．－1 B．0C．1 D．2【解析】l1的斜率为a，l2的斜率为a＋2，∵l 1⊥l 2，∴a (a ＋2)＝－1， ∴a 2＋2a ＋1＝0即a ＝－1. 【答案】 A5．如图1，在正方体OABC -O 1A 1B 1C 1中，棱长为2，E 是B 1B 上的点，且|EB |＝2|EB 1|，则点E 的坐标为( )图1A ．(2,2,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，43 【解析】 ∵|EB |＝2|EB 1|，∴|EB |＝23|BB 1|＝43. 又E 在B 1B 上，∴E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，43.【答案】 D6．若以点C (－1,2)为圆心的圆与直线x －2y ＋3＝0没有公共点，则圆的半径r 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，255 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，355 C ．(0，5)D ．(0,25)【解析】 设圆心到直线的距离为d ，则d ＝|－1－4＋3|12＋(－2)2＝255.若直线与圆没有公共点，则0<r <255，故选A.【答案】 A7．已知直线l 1的方程为x ＋Ay ＋C ＝0，直线l 2的方程为2x －3y ＋4＝0，若l 1，l 2的交点在x 轴上，则C 的值为( )A ．2B ．－2C ．±2D ．与A 有关【解析】 在2x －3y ＋4＝0中，令y ＝0，得x ＝－2，即直线2x －3y ＋4＝0与x 轴的交点为(－2,0)．∵点(－2,0)在直线x ＋Ay ＋C ＝0上，∴－2＋A ×0＋C ＝0，∴C ＝2.【答案】 A8．若a ，b 满足a ＋2b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0必过定点( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－16 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－16 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，16 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，16 【解析】 令a ＝－1，b ＝1或a ＝1，b ＝0，得直线方程分别为－x ＋3y ＋1＝0，x ＋3y ＝0，其交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－16，此即为直线所过的定点．故选B. 【答案】 B9．已知平面内两点A (1,2)，B (3,1)到直线l 的距离分别是2， 5－2，则满足条件的直线l 的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 由题知满足题意的直线l 在线段AB 两侧各有1条，又因为|AB |＝ 5，所以还有1条为过线段AB 上的一点且与AB 垂直的直线，故共3条．【答案】 C10．若圆心在x 轴上，半径为5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆O 的方程是( )A ．(x －5)2＋y 2＝5B ．(x ＋5)2＋y 2＝5C ．(x －5)2＋y 2＝5D ．(x ＋5)2＋y 2＝5【解析】 设圆心O (a,0)，(a <0)，则5＝|a|1＋22，∴|a|＝5，∴a＝－5，∴圆O的方程为(x＋5)2＋y2＝5.【答案】 D11．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为()A. 3 B．2C. 6 D．2 3【解析】由题意得直线方程y＝3x，即3x－y＝0.圆方程x2＋(y－2)2＝4.圆心到直线的距离是d＝23＋1＝1，∴弦长|AB|＝24－1＝2 3.【答案】 D12．已知点P(x，y)是直线y＝22x－4上一动点，PM与PN是圆C：x2＋(y －1)2＝1的两条切线，M，N为切点，则四边形PMCN的最小面积为()【导学号：10690077】A.43 B.23C.53 D.56【解析】由题意知，圆C的圆心为C(0,1)，半径为1，故|PC|2＝|PN|2＋1.又S四边形PMCN＝2×12×|PN|×1＝|PN|，故当|PN|最小时，四边形PMCN的面积最小，此时|PC|最小，又|PC|的最小值即为点C到直线的距离d＝5(22)2＋1＝5 3，此时|PN|＝43，故四边形PMCN面积的最小值为43，故选A.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．两圆x2＋y2＝1，(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a＝________.【解析】由a2＋16＝6，得a＝±25；由a2＋16＝4，得a＝0.【答案】0，±2 514．经过点A(1,1)且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的直线方程为______．【解析】当直线过原点时，满足要求，此时直线方程为x－y＝0；当直线不过原点时，设直线方程为xa ＋ya＝1，由于点(1,1)在直线上，所以a＝2，此时直线方程为x＋y－2＝0.【答案】x－y＝0或x＋y－2＝015．已知点M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，则a2＋b2的最小值为________．【解析】a2＋b2的最小值为原点到直线3x＋4y＝15的距离d＝|0＋0－15|32＋42＝3.【答案】 316．若圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0的过点P(－1,0)的最大弦长为m，最小弦长为n，则m－n＝________.【解析】圆方程化为(x－2)2＋(y＋3)2＝25，∴圆心C为(2，－3)，∴过点P的最大弦长为直径10，当弦垂直于CP时弦长最短，|CP|＝32＋32＝32，∴最短弦长为225－(32)2＝27，即m＝10，n＝27，∴m－n＝10－27.【答案】10－27三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知直线l平行于直线3x＋4y－7＝0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．【解】设l：3x＋4y＋m＝0，当y＝0时，x＝－m 3；当x＝0时，y＝－m4.∵直线l与两坐标轴围成的三角形面积为24，∴12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m3·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m4＝24，∴m＝±24，∴直线l的方程为3x＋4y＋24＝0或3x＋4y－24＝0.18．(本小题满分12分)如图2所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．图2【解】以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，由中点坐标公式可得，D (1,1,0)，E (0,1,2)，F (1,0,0)， ∴|DE |＝(1－0)2＋(1－1)2＋(0－2)2＝5，|EF |＝(0－1)2＋(1－0)2＋(2－0)2＝ 6.19．(本小题满分12分)菱形ABCD 中，A (－4,7)，C (6，－5)，BC 边所在直线过点P (8，－1)．求：(1)AD 边所在直线的方程； (2)对角线BD 所在直线的方程．【解】 (1)k BC ＝2，∵AD ∥BC ，∴k AD ＝2， ∴直线AD 方程为y －7＝2(x ＋4)，即2x －y ＋15＝0.(2)k AC ＝－65，∵菱形对角线互相垂直，∴BD ⊥AC ，∴k BD ＝56，而AC 中点(1,1)，也是BD 的中点，∴直线BD 的方程为y －1＝56(x －1)，即5x －6y ＋1＝0.20．(本小题满分12分)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P (2,2)，过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点．(1)当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； (2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程．【解】 (1)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9的圆心为C (1,0)，因直线l 过点P 、C ，所以直线l 的斜率为2，直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(2)当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC ，直线l 的方程为 y －2＝－12(x －2)， 即x ＋2y －6＝0.21．(本小题满分12分)自点A (－3,3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，求光线l 所在直线的方程．【解】 如图所示，已知圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0关于x 轴对称的圆为C 1：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，其圆心C 1的坐标为(2，－2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C 1相切．设l 的方程为y －3＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3＋3k ＝0. 则|5k ＋5|1＋k2＝1，即12k 2＋25k ＋12＝0，∴k 1＝－43，k 2＝－34. 则l 的方程为4x ＋3y ＋3＝0或3x ＋4y －3＝0.22．(本小题满分12分)已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0与直线x ＋2y －3＝0相交于P ，Q 两点，O 为原点，若OP ⊥OQ ，求实数m 的值．【解】 设P ，Q 两点坐标为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，由OP ⊥OQ 可得x 1x 2＋y 1y 2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0，x ＋2y －3＝0，可得5y 2－20y ＋12＋m ＝0， ①所以y 1y 2＝12＋m5，y 1＋y 2＝4.又x 1x 2＝(3－2y 1)(3－2y 2)＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2 ＝9－24＋45(12＋m )，所以x 1x 2＋y 1y 2＝9－24＋45(12＋m )＋12＋m 5＝0，解得m＝3.将m＝3代入方程①，可得Δ＝202－4×5×15＝100>0，可知m＝3满足题意，即实数m的值为3.。

蕲春四中高一数学单元检测[第一章集合与简易逻辑] 说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.下列语句不是命题的有（）①x2－3=0 ②与一条直线相交的两直线平行吗？③3+1=5 ④5x－3＞6.A.①③④B.①②③C.①②④D.②③④本题考查命题的概念.【解析】可以判断真假的语句（包括式子）叫做命题.其中①④在不给定变量值之前，无法判定真假；②是问句，不涉及真假.【答案】C2.下列命题为简单命题的是（）A.5和10是20的约数B.正方形的对角线垂直平分C.6是无理数D.方程x2+x+2=0没有实数根本题考查简单命题的概念.【解析】不含逻辑联结词的命题叫做简单命题，A、B是p且q的形式，D是非p的形式.【答案】C3.若A、B是两个集合，则下列命题中真命题是（）A.如果A⊆B，那么A∩B=AB.如果A∩B=B，那么A⊆BC.如果A⊆B，那么A∪B=AD.如果A∪B=B，那么B⊆A本题考查真假命题及集合的交并.【解析】由图（1）可知：A正确，C，D不正确.由图（2）可知：B不正确.【答案】A4.如果命题“p或q”是真命题，“非p”是假命题，那么（）A.命题p一定是假命题B.命题q一定是假命题C.命题q一定是真命题D.命题q是真命题或者是假命题本题考查复合命题的真值表.【解析】由“非p”为假命题，可知p为真命题，可知p为真命题，所以不论q是真命题还是假命题，“p或q”都是真命题.【答案】D5.下列命题中真命题的个数是（）①对所有正数p,p为正数且p＜p②不存在实数x，使x＜4且x2+5x=24 ③存在实数x,使|x+1|≤1且x2＞4 ④对实数x，若x2－6x－7=0,则x2－6x－7≥0A.1B.2C.3D.4 本题主要考查真、假命题.【解析】 ①举反例：p =41时，41=21＞41 ②由x 2+5x =24,解得x =－8或x =3都小于4，∴存在 ③由⎩⎨⎧-<>≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧>≤+22024112x x x x x 或 ∴解集为∅ ④x 2－6x －7≥0为“p :x 2－6x －7＞0或q :x 2－6x －7=0”,“p 或q ”形式，且q 为真， ∴p 或q 为真，是一个真命题.【答案】 A6.一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是（ ）A.ab ＞0B.ab ＜0C.bc ＞0D.ac ＜0 本题考查韦达定理及充要条件.【解析】 ∵a ≠0,∴方程有一个正根和一个负根⇔x 1x 2=ac ＜0⇔ac ＜0. 【答案】 D7.在如图的电路图中，“开关A 的闭合”是“灯泡B 亮”的________条件（ ）A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要本题考查充要条件.【解析】 由“A 闭合”“B 亮”可知是B 亮的必要非充分条件.【答案】 B8.用反证法证明命题“a 、b ∈N *,ab 可被5整除，那么a ,b 中至少有一个能被5整除”，那么假设内容是（ ）A.a 、b 都能被5整除B.a 、b 都不能被5整除C.a 不能被5整除D.a 、b 有一个不能被5整除本题考查反证法，正确地作出反设（即否定结论）是正确运用反证法的前提.“至少有一个能”的否定形式是“一个也不能”，即“都不能”.【答案】 B9.设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，那么丁是甲的（ ）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件本题考查充要条件的判断，关于几个命题的充要条件的判断，可用符号“⇒”表示出几个命题间的关系，然后依据所求命题间是否存在推出关系来解答由题设知，甲乙丁，即甲丁【答案】 D10.设集合M ={x |x ＞2},P ={x |x ＜}3,那么“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件本题考查逻辑联结词的使用与充要条件的判断【解】 M ∩P ={x |2＜x ＜3},M ∪P ={x |x ＞2或x ＜3}=R【答案】 B第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11.分别用“p 或q ”，“p 且q ”，“非p ”填空（1）命题“3的值不超过2”是_________形式.（2）命题“方程(x -2)(x -3)=0的解是x =2或x =3”是_________形式.（3）命题“方程(x -2)2+(y -3)2=0的解是⎩⎨⎧==32y x ”是_________形式. 本题考查三种命题的判断.【答案】 （1）非p （2）p 或q （3）p 且q12.“a ≥5,且b ≥2”的否定是_________.本题考查命题的否定，“p 或q ”的否定是“p 且q ”，“p 且q ”的否定是“p 或q ”.【答案】 a ＜5或b ＜213.命题“若a ,b 都是偶数，则a +b 是偶数”的否命题是_________；命题：“若ab =0,则a 、b 中至少有一个为0”的否命题是_________.本题考查反证法的反设.“都是”的否定是“不都是”，“至少有一个”的否定是“一个也没有”.【答案】 若a 、b 不都是偶数，则a +b 不是偶数；若ab ≠0,则a 、b 都不为零.14.若命题p :{2}∈{2,3},q :{2}⊆{2,3}.则对复合命题的下述判断：正确的是_________（填上所有正确的序号）.①p 或q 为真；②p 或q 为假；③p 且q 为真；④p 且q 为假；⑤非p 为真；⑥非q 为假. 本题考查真值表.【解析】 由题可知p 为假，q 为真，∴p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为真，非q 为假.【答案】 ①④⑤⑥三、解答题（本大题共5小题，共54分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分10分）写出下面“p 或q ”“p 且q ”“非p ”“非q ”形式的复合命题，并判断真假.p ：7是21的约数；q ：7是26的约数.本题考查三种复合命题的构成及真值表.【解】 ①p 或q ：7是21的约数或是26的约数（真）.②p 且q ：7是21的约数且是26的约数（假）.③非p ：7不是21的约数（假）.④非q ：7不是26的约数（真）.16.（本小题满分12分）分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假.（1）矩形的对角线相等且互相平分；（2）正偶数不是质数.本题考查四种命题间的关系.【解】 （1）逆命题：若一个四边形的对角线相等且互相平分，则它是矩形（假命题）. 否命题：若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等或不互相平分（假命题）. 逆否命题：若一个四边形的对角线不相等或不互相平分，则它不是矩形（真命题）.（2）逆命题：如果一个正数不是质数，那么这个正数是正偶数（假命题）. 否命题：如果一个正数不是偶数，那么这个数是质数（假命题）.逆否命题：如果一个正数是质数，那么这个数不是偶数（假命题）.17.（本小题满分10分）已知p ，q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么（1）s 是q 的什么条件？（2）r 是q 的什么条件？（3）p 是q 的什么条件？本题考查充要条件、充分条件、必要条件.对于这类问题，将语言叙述符号化，画出它们的综合结构图，再给予判定.【解】 p 、q 、r 、s 的关系如图所示，由图可知【答案】 （1）s 是q 的充要条件 （2）r 是q 的充要条件（3）p 是q 的必要条件18.（本小题满分10分）已知A ：|5x -2|＞3;B ：5412-+x x ＞0, 则非A 是非B 的什么条件？并写出解答过程.本题考查充分必要条件.【解法一】 化简A ，B 得A ：{x |x ＜-51或x ＞}1,B ：{x |x ＜-5或x ＞}1 ∵A B 但B ⇒A .∴非B 非A ，但非A ⇒非B .∴非A 是非B 的充分不必要条件.【解法二】 化简A ，B 得A :{x |x ＜-51或x ＞1＝,B :{x |x ＜-5或x ＞1＝ ∴非A ：{x |-51≤x ≤1}，非B ：{x |-5≤x ≤1}. 由非A 非B .∴非A 是非B 的充分不必要条件.19.（本小题满分12分）若a ,b ,c 均为实数，且a =x 2-2y +2π,b =y 2-2z +3π,c =z -2x +6π,求证：a ,b ,c 中至少有一个大于0.本题考查反证法的使用，“至少有一个”的反面是“一个也没有”“大于”的反面是“小于或等于”.【证明】 假设a 、b 、c 都不大于0，即：a ≤0,b ≤0,c ≤0，则a +b +c ≤0但a +b +c =(x 2-2y +2π)+(y 2-2z +3π)+(z 2-2x +6π)=(x -1)2+(y -1)2+(z -1)2+(π-3)∵π＞3,且 （x -1）2+（y -1）2+(z -1)2≥0.对一切x ,y ，z ∈R 恒成立.∴必有a+b+c＞0,这与假设a+b+c≤0矛盾. ∴a,b,c中至少有一个大于0.。

一、选择题1．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ）A ．323B ．643C ．16D ．322．动圆M 与定圆22:40C x y x ++=相外切，且与直线:2l x =相切，则动圆M 的圆心(),x y 满足的方程为（ ）A ．212120y x -+=B ．212120y x +-=C ．280y x +=D ．280y x -=3．两圆22440x y x y ++-=和22280x y x ++-=相交于两点,M N ，则线段MN 的长为 A ．4B 355C 1255D 6554．圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0的公共弦的长为（ ） A 2B 3C ．22D ．325．已知圆1C ：221x y +=与圆2C ：()()22124x y -++=交于A 、B 两点，则线段AB 的垂直平分线方程为（ ）A ．210x y --=B ．20x y -=C ．20x y +=D ．210x y -+=6．若直线440(0,0)ax by a b --=>>被圆224240x y x y +-+-=截得的弦长为6，则4b aab+的最小值为（ ） A ．32+B ．322+C ．5D ．77．《九章算术》与《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》卷五商功篇中介绍了羡除（此处是指三面为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体）体积的求法.在如图所示的羡除中，平面ABDA '是铅垂面，下宽3m AA '=，上宽4m BD =，深3m ，平面BDEC 是水平面，末端宽5m CE =，无深，长6m （直线CE 到BD 的距离），则该羡除的体积为（ ）A ．324mB ．330mC ．336mD ．342m8．已知三棱锥A BCD -的各棱长都相等，E 为BC 中点，则异面直线AB 与DE 所成角的余弦值为（ ） A ．13 B ．3 C ．33 D ．1169．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，3BC =，沿BD 将矩形ABCD 折叠，连接AC ，所得三棱锥A BCD -正视图和俯视图如图，则三棱锥A BCD -中AC 长为（ ）A ．32B 3C ．102D ．210．设有直线m ，n ，l 和平面α，β，下列四个命题中，正确的是（ ） A ．若//,//m n αα，则//m n B ．若//,//,//l m αβαβ，则//l m C ．若,m αβα⊥⊂，则m β⊥D ．若,,m m αββα⊥⊥⊄，则//m α11．正三棱柱111ABC A B C -各棱长均为1，M 为1CC 的中点，则点1B 到面1A BM 的距离为（ ） A 2B ．22C ．12D 312．某三棱锥的三视图如图所示， 则该三棱锥的体积为（ ）A ．16B ．13C ．23D ．2二、填空题13．已知平面向量a ，b ，c ，满足1a =，2b =，3c =，01λ<<，若0b c ⋅=，则()1a b c λλ---所有取不到的值的集合为______．14．已知点(),P x y 是直线()300kx y k +-=≠上一动点，PA ，PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是1，则k 的值为__________.15．在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,3)M -的直线l 与圆223x y +=交于A ，B 两点，且2MB MA =，则直线l 的方程为________.16．光线从点()0,5P -出发，经直线210x y -+=反射后到达点()2,0Q ，则光线从P 反射到Q 的总行程为______.17．函数2291041y x x x +-+_________.18．过点1,12⎛⎫-⎪⎝⎭的直线l 满足原点到它的距离最大，则直线l 的一般式方程为___________.19．如图，在三棱锥P ABC -中，点B 在以AC 为直径的圆上运动，PA ⊥平面,ABC AD PB ⊥，垂足为,D DE PC ⊥，垂足为E ，若23,2PA AC ==，则三棱锥P ADE -体积的最大值是_________．20．张衡(78年~139年)是中国东汉时期伟大的天文学家､文学家､数学家､地理学家，他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五，已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A ，B ，若线段AB 的最小值为31-，利用张衡的结论可得该正方体的内切球的表面积为___________.21．已知H 是球O 的直径AB 上一点，:1:3AH HB =，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为__________.22．三棱锥P ABC -三条侧棱两两垂直，正四面体D ABC -与三棱锥相接且棱长为2，P 与D 在面ABC 异侧，则所成多面体外接球的体积是_________．23．已知一个圆锥内接于球O （圆锥的底面圆周及顶点均在同一球面上），圆锥的高是底面半径的3倍，圆锥的侧面积为910π，则球O 的表面积为________．24．在三棱锥-P ABC 中，侧面PBC 和底面ABC 都是边长为2的正三角形，若3PA =，则侧棱PA 与底面ABC 所成的角的大小是___________．三、解答题25．在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，平面PAB ⊥平面,ABCD PAB 为等腰直角三角形，,2PA PB AB ⊥=．（1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ；（2）设E 为CD 的中点，求点E 到平面PBC 的距离．26．如图，平行四边形ABCD 中，45DAB ∠=，PD ⊥平面ABCD ，PA BD ⊥，BD PD =，4AB =.（1）求证：平面PBC ⊥平面PBD ；（2）若点,M N 分别是,PA PC 的中点，求三棱锥P MBN -的体积.27．如图所示，在长方体1111ABCD A BC D -中，11,2AD AAAB ===，点E 是AB 的中点.（1）证明：1//BD 平面1A DE ； （2）证明：11D E A D ⊥；（3）求二面角1D EC D --的正切值.28．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，∠ADP =90°，PD =AD ，∠PDC =60°，E 为PD 中点.（1）求证：PB //平面ACE ： （2）求四棱锥E ABCD -的体积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【解析】几何体为一个三棱锥，高为4，底面为一个等腰直角三角形，直角边长为4，所以体积是2113244323⨯⨯⨯=，选A. 2．B解析：B 【分析】设M 点坐标为（x ，y ），C （﹣2，0），动圆的半径为r ，则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，MC=2+r ，d=r ，从而|MC|﹣d=2，由此能求出动圆圆心轨迹方程． 【详解】设M 点坐标为（x ，y ），C （﹣2，0），动圆的半径为r ， 则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，MC=2+r ，d=r ∴|MC|﹣d=22﹣x ）=2， 化简得： y 2＋12x －12＝0．∴动圆圆心轨迹方程为y 2＋12x －12＝0． 故选B ． 【点睛】本题考查动圆圆心轨迹方程的求法，考查直线方程、圆、两点间距离公式、两圆相外切、直线与圆相切等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．3．C解析：C 【分析】求出圆心和半径以及公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式，弦长公式，求得公共弦的长． 【详解】∵两圆为x 2+y 2+4x ﹣4y=0①，x 2+y 2+2x ﹣8=0，② ①﹣②可得：x ﹣2y+4=0．∴两圆的公共弦所在直线的方程是x ﹣2y+4=0，∵x 2+y 2+4x ﹣4y=0的圆心坐标为（﹣2，2），半径为∴圆心到公共弦的距离为=∴公共弦长==故答案为：C 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，考查两圆的公共弦长的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.4．C解析：C 【分析】两圆方程相减，得到公共弦所在的直线方程，然后利用其中一个圆，结合弦长公式求解. 【详解】因为圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0， 两式相减得20x y --=，即公共弦所在的直线方程. 圆C 1：x 2+y 2＝4，圆心到公共弦的距离为d =所以公共弦长为：l ==. 故选：C 【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5．C解析：C 【分析】先写出两圆的圆心的坐标，再求出两圆的连心线所在直线的方程即得解. 【详解】圆1C ：221x y +=的圆心坐标为(0,0)，圆2C ：()()22124x y -++=的圆心为(1,2)-，由题得线段AB 的垂直平分线就是两圆的连心线， 所以02201AB k +==--, 所以线段AB 的垂直平分线为02(0),20y x x y -=--∴+=. 所以线段AB 的垂直平分线为20x y +=. 故选：C 【点睛】方法点睛：求直线的方程常用的方法是：待定系数法，先定式，后定量.要根据已知条件灵活选择方法求解.6．B解析：B 【分析】由题意结合直线与圆的位置关系可得直线经过圆心即12ab +=，再由基本不等式即可得解. 【详解】由题得圆的方程可以化为22(2)(1)9x y -++=，所以圆心为(2,1)-，半径为3r =， 因为直线440(0,0)ax by a b --=>>被圆224240x y x y +-+-=截得的弦长为6， 所以直线经过圆心，所以2440a b +-=，即12ab +=， 所以44144332322222b a a b a b a b ab a b a b a b +⎛⎫⎛⎫=++=++≥+⋅=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当422,21a b =-=-时取等号， 所以4b aab+的最小值为322+. 故选：B. 【点睛】本题考查了直线与圆位置关系、基本不等式求最值的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.7．C解析：C 【分析】在BD ，CF 上分别取点B '，C '，使得3m BB CC ''==，连接A B ''，A C ''，B C ''，把几何体分割成一个三棱柱和一个四棱锥，然后由棱柱、棱锥体积公式计算． 【详解】如图，在BD ，CF 上分别取点B '，C '，使得3m BB CC ''==，连接A B ''，A C ''，B C ''，则三棱柱ABC A B C '''-是斜三棱柱，该羡除的体积V V=三棱柱ABC A B C '''-V+四棱锥A B DEC '''-()311123636336m 232+⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C ．【点睛】思路点睛：本题考查求空间几何体的体积，解题思路是观察几何体的结构特征，合理分割，将不规则几何体体积的计算转化为锥体、柱体体积的计算．考查了空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力．8．B解析：B 【分析】取AC 中点F ，连接,EF DF ，证明FED ∠是异面直线AB 与DE 所成角（或其补角），然后在三角形中求得其余弦值即可得． 【详解】取AC 中点F ，连接,EF DF ，∵E 是BC 中点，∴//EF AB ，12EF AB =， 则FED ∠是异面直线AB 与DE 所成角（或其补角）， 设1AB =，则12EF =，32DE DF ==， ∴在等腰三角形DEF 中，11324cos 3EFFED DE ∠===．所以异面直线AB 与DE 所成角的余弦值为36．故选：B ．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．9．C解析：C【分析】先由正视图、俯视图及题意还原三棱锥，过A 作AM ⊥BD 于点M ,连结MC ，把AC 放在直角三角形AMC 中解AC . 【详解】根据三棱锥A BCD -正视图和俯视图，还原后得到三棱锥的直观图如图示，由图可知：平面ABD ⊥平面CBD ，过A 作AM ⊥BD 于点M ,连结MC ,则AM ⊥平面CBD ， ∴△MCA 为直角三角形. 过C 作CN ⊥BD 于点N ,在直角三角形ABD 中，AB =1，AD 3∴222BD AB AD =+=所以∠ABD=60°，∠ADB=30°，则在直角三角形ABM 中，AB =1，∠ABM=60°，∴13,2BM AM ==同理，在直角三角形CBD 中，13,2DN CN ==. ∴MN =BD -BM -DN =112122--=, ∴222237()122CM CN MN =+=+= 在直角三角形AMC 中，22227310()22AC CM AM ⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭故选：C 【点睛】(1)根据三视图画直观图，可以按下面步骤进行：①、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图 ；②、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；③、画出整体，让后再根据三视图进行调整.(2)立体几何中求线段长度：①、把线段放在特殊三角形中，解三角形；②、用等体积法求线段.10．D解析：D 【分析】在A 中，m 与n 相交、平行或异面； 在B 中，l 与m 不一定平行，有可能相交； 在C 中，m ⊥β或m ∥β或m 与β相交；在D 中，由直线与平面垂直的性质与判定定理可得m ∥α．【详解】由直线m 、n ，和平面α、β，知： 对于A ，若m ∥α，n ∥α，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误；对于B ，若//,//,//l m αβαβ，l 与m 不一定平行，有可能相交，故B 错误； 对于C ，若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥β或m ∥β或m 与β相交，故C 错误；对于D ，若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则由直线与平面垂直的性质与判定定理得m ∥α，故D 正确．故选：D ． 【点睛】本题考查了命题真假的判断问题，考查了空间线线、线面、面面的位置关系的判定定理及推论的应用，体现符号语言与图形语言的相互转化，是中档题．11．B解析：B 【分析】 连接11A N B AB =，根据已知条件先证明11B A A B ⊥、1⊥MN AB ，再通过线面垂直的判定定理证明1AB ⊥平面1A BM ，由此确定出1B N 的长度即为点1B 到面1A BM 的距离，最后完成求解. 【详解】连接1B A 交1A B 于N ，连接11,,,,MB MN MB MA MA ，如图所示：因为11A ABB 为正方形，所以11B A A B ⊥， 又因为2211111514MB MC C B =+=+=221514MA MC CA =+=+， 所以1MB MA =且N 为1AB 中点，则MN 为等腰三角形1AMB 的中垂线， ∴1⊥MN AB 且1MNA B N =，∴1AB ⊥平面1A BM ，∴1B N 就是点1B 到截面1A BM 的距离， 又因为1111211222B N AB ==+=，所以点1B 到截面1A BM 的距离为22， 故选：B. 【点睛】方法点睛：求解平面外一点A 到平面α的距离的方法：（1）几何方法：通过线面垂直的证明，找到A 在平面α内的投影点A '，则AA '即为A 到平面α的距离；（2）向量方法：①建立合适空间直角坐标系，在平面α内取一点B ；②求解出AB 和平面α的法向量n ；③根据AB n d n⋅=即可求解出点A 到平面α的距离.12．C解析：C 【分析】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体，得到相应的三棱锥，之后利用椎体体积公式求得结果. 【详解】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体如图所示：该三棱锥满足底面BCD △是等腰三角形，且底边和底边上的高线都是2； 且侧棱AD ⊥底面BCD ，1AD =， 所以112=221=323V ⨯⨯⨯⨯， 故选：C. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关根据所给几何体三视图求几何体体积的问题，解题方法如下：（1）应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正），主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐），左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等），若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称； （2）根据三视图还原几何体； （3）利用椎体体积公式求解即可.二、填空题13．【分析】设由于则在线段上又在以为圆心1为半径的圆上问题转化为求线段上的点到圆上点的距离的最大值和最小值然后可得结论【详解】∵∴可取∵∴是单位圆上如图设由于则在线段上易得直线方程是即到线段的距离为斜边解析：613,1(4,)13⎛-∞-+∞ ⎝⎭【分析】()()11a b c a b c λλλλ⎡⎤---=-+-⎣⎦，设,,OA a OB b OC c ===，()1b c OP λλ+-=，由于01λ<<，则P 在线段BC 上，又A 在以O 为圆心，1为半径的圆O 上，问题转化为求线段BC 上的点P 到圆O 上点A 的距离的最大值和最小值，然后可得结论． 【详解】∵0b c ⋅=，2b =，3c =，∴可取(2,0)b OB ==，(0,3)c OC ==，a OA =，∵1a =，∴A 是单位圆O 上，如图，()()11a b c a b c λλλλ⎡⎤---=-+-⎣⎦，设()1b c OP λλ+-=，由于01λ<<，则P 在线段BC 上，()()11a b c a b c PA λλλλ⎡⎤---=-+-=⎣⎦，易得直线BC 方程是123x y+=即3260x y +-=，O 到线段BC 的距离为OBC 斜边BC 边上高，即236131323d ==+，∴min 61311PA d =-=-，又3OC =，∴min314PA=+=，∴PA 的取值范围是6131,413， ∴()1a b c λλ---所有取不到的值的集合为613,1(4,)⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭． 故答案为：613,1(4,)⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查求向量模的取值范围，解题关键是取(2,0)b OB ==，(0,3)c OC ==，把所有向量的起点都移到原点，由几何意义得出动点所成轨迹，从而由几何意义得出模的范围，最后求其在实数集上的补集即可．14．【分析】先求圆的半径四边形的最小面积是1转化为三角形的面积是求出切线长再求的距离也就是圆心到直线的距离可解的值【详解】解：圆的圆心半径是由圆的性质知：四边形的最小面积是1是切线长）圆心到直线的距离就 解析：±1【分析】先求圆的半径，四边形PACB 的最小面积是1，转化为三角形PBC 的面积是12，求出切线长，再求PC 的距离也就是圆心到直线的距离，可解k 的值． 【详解】解：圆22:20C x y y +-=的圆心(0,1)，半径是1r =，由圆的性质知：2PBC PACB S S ∆=四边形，四边形PACB 的最小面积是1， ()min 1122PBC rd S ∆==∴(d 是切线长） min 1d ∴=圆心到直线的距离就是PC 的最小值，2222111k+==+1k ∴=±故答案为：±1【点睛】本题考查直线和圆的方程的应用，点到直线的距离公式等知识，属于中档题．15．【分析】根据题意知点为的中点设再由得利用韦达定理建立方程解得即可【详解】由题知点为的中点设直线设将直线带入圆的方程得则由得即所以解得故直线方程为：故答案为：【点睛】本题考查直线和圆的位置关系属于基础题 解析：33y x =±-【分析】根据题意知，点A 为MB 的中点，设()11,A x y ，()22,B x y ，再由2MB MA =得122x x =，利用韦达定理建立方程，解得即可.【详解】由题知，点A 为MB 的中点，设直线:3l y kx =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，将直线带入圆的方程得()221660k x kx +-+=，则12261k x x k +=+，12261x x k ⋅=+，由2MB MA =，得122x x =，即2221k x k =+，1241kx k =+， 所以，21222246111k k x x k k k ⋅=⨯=+++，解得k =3y =-.故答案为：3y =-. 【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，属于基础题.16．【分析】计算出点关于直线的对称点的坐标则光线的总行程为利用两点间的距离公式可得出结果【详解】设点关于直线的对称点为则解得即点因此光线从反射到的总行程为故答案为：【点睛】本题考查光线反射的问题一般要求【分析】计算出点P 关于直线210x y -+=的对称点P '的坐标，则光线的总行程为P Q '，利用两点间的距离公式可得出结果. 【详解】设点P 关于直线210x y -+=的对称点为(),P a b '，则5102512b a b a -⎧-+=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，解得245135a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即点2413,55P ⎛⎫'-- ⎪⎝⎭， 因此，光线从P 反射到Q的总行程为P Q '==【点睛】本题考查光线反射的问题，一般要求出点关于直线的对称点，考查计算能力，属于中等题.17．【分析】将变形为设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点即可求出距离和的最小值；【详解】解：设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点连接则即为距离和的最小值故答案为：【点睛】本题考查【分析】将yy =，设()0,3A ，()5,4B ，(),0C x ，则()2222354y x x AC BC =++-+=+即x 轴上的一动点C 到()0,3A ，()5,4B 的距离之和，作()0,3A 点关于x 轴的对称点()10,3A -，即可求出距离和的最小值； 【详解】解：()22222291041354y x x x x x =++-+=++-+，设()0,3A ，()5,4B ，(),0C x ，则()2222354y x x AC BC =++-+=+，即x 轴上的一动点(),0C x 到()0,3A ，()5,4B 的距离之和，作()0,3A 点关于x 轴的对称点()10,3A -，连接1BA ，则1BA 即为距离和的最小值，()22153474BA =+--=min 74y ∴=故答案为：74【点睛】本题考查平面直角坐标系上两点间的距离公式的应用，将军饮马问题，属于中档题.18．【分析】过作于连接可得直角三角形中从而得到当时原点到直线的距离最大利用垂直求出的斜率从而得到的方程【详解】设点过坐标系原点作于连接则为原点到直线的距离在直角三角形中为斜边所以有所以当时原点到直线的距 解析：2450x y --=【分析】过O 作OB l ⊥于B ，连接OA ，可得直角三角形AOB 中OB OA <，从而得到当OA l ⊥时，原点O 到直线l 的距离最大，利用垂直，求出l 的斜率，从而得到l 的方程. 【详解】设点1,12A ⎛⎫-⎪⎝⎭，过坐标系原点O 作OB l ⊥于B ，连接OA ， 则OB 为原点O 到直线l 的距离， 在直角三角形AOB 中，OA 为斜边， 所以有OB OA <，所以当OA l ⊥时，原点O 到直线l 的距离最大， 而1212OA k -==-，所以12l k =， 所以l 的直线方程为11122y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 整理得：2450x y --=【点睛】本题考查根据点到直线的距离求斜率，点斜式写直线方程，属于简单题.19．【分析】由已知证明再由三角形相似列比例式可得证明利用基本不等式求得的最大值可得三棱锥体积的最大值【详解】由平面得又平面得又平面得而平面可得在中由得由得则由得又得即（当且仅当时等号成立）三棱锥体积的最解析：34【分析】由已知证明AE PC ⊥，再由三角形相似列比例式可得PE ，证明AD DE ⊥，利用基本不等式求得AD DE ⋅的最大值，可得三棱锥P ADE -体积的最大值． 【详解】由PA ⊥平面ABC ，得PA BC ⊥，又BC AB ⊥，PA AB A =，BC ∴⊥平面PAB ，得BC AD ⊥，又AD PB ⊥，PB BC B ⋂=， AD ∴⊥平面PBC ，得AD PC ⊥，而DE PC ⊥，AD DE D ⋂=，PC ∴⊥平面ADE ，可得AE PC ⊥．在Rt PAC △中，由2PA AC ==，得4PC =．由Rt PEA Rt PAC ∽，得PE PA PA PC =，则21234PA PE PC ===，由3PE =，PA =23AE =，又AD DE ⊥，2223AD DE AE ∴+==，得2232AD DE AD DE =+≥⋅， 即32AD DE⋅（当且仅当AD DE =时等号成立）， ∴三棱锥P ADE -体积的最大值是1111333323224AD DE PE ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=．故答案为：34． 【点睛】方法点睛：解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理．20．【分析】设正方体的棱长为正方体的内切球半径为正方体的外接球半径再由已知条件和球的表面积公式可得答案【详解】设正方体的棱长为正方体的内切球半径为正方体的外接球半径满足：则由题意知：则该正方体的内切球的解析：【分析】设正方体的棱长为a ，正方体的内切球半径为2a r =，正方体的外接球半径2R =，再由已知条件和球的表面积公式可得答案． 【详解】设正方体的棱长为a ，正方体的内切球半径为2a r =，正方体的外接球半径R 满足：22222a R a ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则R =.由题意知：12aR r -=-=，则2a =，R = 该正方体的内切球的表面积为4π，又因为圆周率的平方除以十六等于八分之五，即25168π=，所以π=所以内切球的表面积为故答案为：410 【点睛】关键点点睛：本题考查正方体的外接球和内切球问题，考查空间几何新定义，解决本题的关键点是利用正方体的外接球半径，内切球半径和正方体面对角线的一半组成勾股定理，得出正方体内切球半径，进而得出表面积，考查学生空间想象能力和计算能力，属于中档题．21．【分析】求出截面圆的半径设可得出从而可知球的半径为根据勾股定理求出的值可得出球的半径进而可求得球的表面积【详解】如下图所示设可得出则球的直径为球的半径为设截面圆的半径为可得由勾股定理可得即即所以球的 解析：163π【分析】求出截面圆H 的半径，设AH x =，可得出3HB x =，从而可知，球O 的半径为2x ，根据勾股定理求出x 的值，可得出球O 的半径，进而可求得球O 的表面积. 【详解】如下图所示，设AH x =，可得出3HB x =，则球O 的直径为4AB x =，球O 的半径为2x ，设截面圆H 的半径为r ，可得2r ππ=，1r ∴=，由勾股定理可得()2222OH r x +=，即()22214x AH x -+=，即2214x x +=，3x ∴=， 所以，球O 的半径为232x =O 的表面积为2231643S ππ=⨯=⎝⎭. 故答案为：163π. 【点睛】方法点睛：在求解有关球的截面圆的问题时，一般利用球的半径、截面圆的半径以及球心到截面圆的距离三者之间满足勾股定理来求解.22．【分析】根据几何体的几何关系可将几何体放在正方体中多面体的外接球和正方体的外接球是同一外接球由此可求外接球的体积【详解】如图所示并且两两互相垂直所以所以正四面体与三棱锥相接且棱长为所以如图所示将此多 解析：3π 【分析】 根据几何体的几何关系，可将几何体放在正方体中，多面体的外接球和正方体的外接球是同一外接球，由此可求外接球的体积.【详解】如图所示，AB AC BC ==，并且,,PA PB PC 两两互相垂直，所以222222PA PB PA PC PB PC +=+=+，所以PA PB PC ==，正四面体D ABC -与三棱锥相接且棱长为2，所以如图所示，将此多面体放在正方体中，多面体的外接球就是此正方体的外接球，并且棱长为1，正方体外接球的半径22221113R =++=，得3R =，则外接球的体积3433V R ππ==. 故答案为：3π2【点睛】关键点点睛：本题的关键点是根据多面体的几何关系可采用补体，转化为求正方体的外接球的体积，这样计算就容易了.23．【分析】设圆锥的底面半径为球的半径为根据勾股定理可得根据圆锥的侧面积公式可得再根据球的表面积公式可得结果【详解】设圆锥的底面半径为球的半径为则圆锥的高为则球心到圆锥的底面的距离为根据勾股定理可得化简 解析：100π【分析】设圆锥的底面半径为r ，球O 的半径为R ，根据勾股定理可得53R r =，根据圆锥的侧面积公式可得3,5r R ==，再根据球的表面积公式可得结果.【详解】设圆锥的底面半径为r ，球O 的半径为R ，则圆锥的高为3r ，则球心O 到圆锥的底面的距离为3r R -， 根据勾股定理可得()2223R r r R =+-，化简得53R r =， 因为圆锥的高为3r ，母线长为()22310r r r +=，所以圆锥的侧面积为21010r r r ππ⨯=，所以210910r ππ=，解得r =3，所以5353R =⨯=， 所以球O 的表面积为24425100R πππ=⨯=.故答案为：100π【点睛】关键点点睛：利用圆锥的侧面积公式和球的表面积公式求解是解题关键. 24．【分析】先画出直观图证明平面平面然后侧棱与底面ABC 所成的角即为根据题目中的数据算出即可【详解】如图作的中点连结因为侧面PBC 和底面ABC 都是边长为2的正三角形而为的中点所以又所以平面同时平面所以平 解析：o 60.【分析】先画出直观图，证明平面PAD ⊥平面ABC ，然后侧棱PA 与底面ABC 所成的角即为PAD ∠，根据题目中的数据算出即可.【详解】如图，作BC 的中点D ，连结AD 、PD因为侧面PBC 和底面ABC 都是边长为2的正三角形而D 为BC 的中点，所以BC PD ⊥，BC AD ⊥，又PD AD D ⋂=，所以BC ⊥平面PAD ，同时BC ⊂平面ABC所以平面PAD ⊥平面ABC ，所以PAD ∠即为侧棱PA 与底面ABC 所成的角由侧面PBC 和底面ABC 都是边长为2的正三角形得AD PD ==PA =所以PAD ∆为等边三角形，则=PAD ∠o 60即侧棱PA 与底面ABC 所成的角为o 60故答案为：o 60【点睛】本题主要考查空间直线与平面所成角的计算，较简单.三、解答题25．（1）证明见解析；（2）2. 【分析】（1）利用面面垂直的性质先证明出BC ⊥面PAB ，得到PA BC ⊥，再由PA PB ⊥，结合线面垂直的判定定理可知PA ⊥面PBC ，又PA ⊂面PAC ，然后证得平面PBC ⊥平面PAC ；（2）先计算三棱锥P BCE -的体积，然后再计算PBC 的面积，利用等体积法P BCE E PBC V V --=求解.【详解】解：（1）证明：∵面PAB ⊥面ABCD ，且平面PAB ⋂平面ABCD AB =，BC AB ⊥，BC ⊂面ABCDBC ∴⊥面PAB ，又PA ⊂面PABPA BC ∴⊥又因为由已知PA PB ⊥且PB BC B ⋂=，所以PA ⊥面PBC ，又PA ⊂面PAC∴面PAC ⊥面PBC .(2)PAB △中，PA PB =，取AB 的中点O ，连PO ，则PO AB ⊥∵面PAB ⊥面ABCD 且它们交于,AB PO ⊂面PABPO ∴⊥面ABCD 由11 33BCE E PBC P BCE PBC BCE PBCS POV V S h SPO h S --=⇒=⇒=，由已知可求得1PO =，1BCE S =，PBC S ，所以h =. 所以点E 到平面PBC .【点睛】（1）证明面面垂直的核心为证明线面垂直，要证明线面垂直只需郑敏面外的一条弦和面内的两条相交线垂直即可；（2）点到面的距离求解一般采用等体积法求解，也可采用空间向量法求解.26．（1）证明见解析；（2）223. 【分析】（1）可由PD BD ⊥，PA BD ⊥证得BD ⊥平面PAD ，故BD AD ⊥，再由BD BC ⊥和PD BC ⊥可得BC ⊥平面PBD ，从而面PBC ⊥面PBD（2）可利用1144P MBN B PMN B PAC P ABC V V V V ----===，进行转化求体积. 【详解】解：（1）因为PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥.又PA BD ⊥，PA PD P =，平面PD ⊂平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以BD ⊥平面PAD ，而AD ⊂平面PAD ，所以BD AD ⊥.在平行四边形ABCD 中，//AD BC ，所以BD BC ⊥.由PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥，而BD PD D =，PD ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，所以BC ⊥平面PBD . 又BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PBD .（2）由（1）可知，BD AD ⊥，而45DAB ∠=，则ADB △为等腰直角三角形，又4AB =，所以22PD BD AD ===，连接AC ，由点,M N 分别是,PA PC 的中点，所以PMN PAC 且12MN AC =， 所以14PMN PAC S S =，则1144P MBN B PMN B PAC P ABC V V V V ----===， 在平行四边形ABCD 中，1222242ABC ABD S S ==⨯⨯=， PD 为三棱锥P ABC -的高，所以1182422333P ABC ABC V S PD -=⨯=⨯⨯=， 所以三棱锥P MBN -的体积为12243P MBN P ABC V V --==. 【点睛】 求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．27．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2. 【分析】（1）连接1AD 交1A D 于点O ，连接EO ，易得1//OE BD，再利用线面平行的判定定理证明.（2）由长方体的特征得到1AB AD ⊥，再由11A D AD ⊥，利用线面垂直的判定定理证得1A D ⊥平面1AD E 即可.（3）易得CE DE ⊥，再由1D D ⊥平面,ABCD CE ⊂平面ABCD ，得到1CE D D ⊥，可得CE ⊥平面1D DE ，由1D ED ∠是二面角1D EC D --的平面角求解.【详解】（1）如图所示：连接1AD 交1A D 于点O ，连接EO ，则O 为1AD 的中点.∵E 是AB 的中点，∴1//OE BD又OE ⊂平面1A DE ，1BD ⊄平面1A DE ，∴1//BD 平面1A DE .（2）由题意可知，四边形11ADD A 是正方形，∴11A D AD ⊥.∵AB ⊥平面11ADD A ，1A D ⊂平面11ADD A ，∴1AB AD ⊥.∵AB 平面1AD E ，1AD ⊂平面1AD E ，1AB AD A =，∴1A D ⊥平面1AD E .又1D E ⊂平面1AD E ，∴11A D D E ⊥，即11D E A D ⊥.（3）在CED 中，2CD =，DE ==，CE == ∴CE DE ⊥∵1D D ⊥平面,ABCD CE ⊂平面ABCD ，∴1CE D D ⊥.∵1D D ⊂平面1D DE ，DE ⊂平面1D DE ，1D D DE D ⋂=，∴CE ⊥平面1D DE .又∵1D E ⊂平面1D DE ，∴1CE D E ⊥.∴1D ED ∠是二面角1D EC D --的平面角.在A 1D ED 中，∵190D DE ∠=︒，11=D D ，DE =∴11tan D D D ED DE ∠===，∴二面角1D EC D --的正切值为2. 【点睛】 方法点睛：几何法求线线角、线面角、二面角的常用方法：（1）求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．（2）线面角的求法，找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．（3）二面角的求法，二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法．注意利用等腰、等边三角形的性质．28．（1）证明见解析；（2 【分析】(1)证明线面平行，用线面平行的判定定理，在面ACE 内找一条直线与PB 平行；。

1．直线x ＝tan 60°的倾斜角为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．不存在解析：选B.直线x ＝tan 60°＝3垂直于x 轴，故其倾斜角为90°.2．过点P (－2,0)，斜率为3的直线方程是( )A ．y ＝3x －2B ．y ＝3x ＋2C ．y ＝3(x －2)D ．y ＝3(x ＋2)解析：选D.由直线的点斜式方程得y ＝3(x ＋2)，故选D.3．直线y ＝mx －3m ＋2(m ∈R )必过定点( )A ．(3,2)B ．(－3,2)C ．(－3，－2)D ．(3，－2)解析：选A.由y ＝mx －3m ＋2可得：y －2＝m (x －3)，此直线斜率为m ，过定点(3,2)，故选A.4．直线y ＝kx ＋b (k ＋b ＝0，k ≠0)的图像是( )解析：选B.法一：因为直线方程为y ＝kx ＋b ，且k ≠0，k ＋b ＝0，即k ＝－b ，所以令y＝0时，x ＝－b k＝1，所以直线过点(1,0)． 法二：已知k ＋b ＝0，所以k ＝－b ，代入直线方程，可得y ＝－bx ＋b ，即y ＝－b (x －1)．又k ≠0，所以k ≠0，所以直线过点(1,0)．5．直线l 的斜率为k ，在x 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是( )A ．y ＝kx ＋bB ．y ＝k (x －b )C ．y ＝k (x ＋b )D ．y ＝kx －b解析：选B.由于直线l 在x 轴上的截距为b ，所以直线l 过点(b,0)，利用点斜式可得：y －0＝k (x －b )，即y ＝k (x －b )，故选B.6．若k ＞0，b ＜0，则直线y ＝kx ＋b 必不过第____象限．解析：根据直线的斜率k ＞0，直线在y 轴上的截距b ＜0，可作出如图直线，可知直线过第一、三、四象限．答案：二7．直线l 经过点P (1,2)，且与直线2x ＋3y －9＝0在y 轴上的截距相等，则直线l 的方程为________．解析：直线2x ＋3y －9＝0在y 轴上的截距等于3，即直线l 经过点M (0,3)，故直线l 的斜率k ＝3－20－1＝－1，故直线l 的方程为y ＝－x ＋3，即x ＋y －3＝0. 答案：x ＋y －3＝08．(2013·亳州调研)下列四个结论：①方程k ＝y －2x ＋1与方程y －2＝k (x ＋1)可表示同一直线； ②直线l 过点P (x 1，y 1)，倾斜角为90°，则其方程是x ＝x 1；③直线l 过点P (x 1，y 1)，斜率为0，则其方程是y ＝y 1；④所有的直线都有点斜式和斜截式方程．正确的为________．(填序号)解析：方程k ＝y －2x ＋1表示的是除去(－1,2)的直线，而y －2＝k (x ＋1)则表示了完整直线，故①错误；过P (x 1，y 1)且倾斜角为90°的直线为x ＝x 1，过P (x 1，y 1)且斜率为0的直线为y ＝y 1，故②③正确；当直线的斜率不存在时，无法写出其点斜式和斜截式方程，故④错误．答案：②③9．求经过点A (－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程．解：设直线方程为y －4＝k (x ＋3)(k ≠0)．当x ＝0时，y ＝4＋3k ；当y ＝0时，x ＝－4k－3. 由已知得4＋3k －4k－3＝12，即3k 2－11k －4＝0. 解得k ＝4或k ＝－13. ∴直线的方程为y －4＝4(x ＋3)或y －4＝－13(x ＋3)． 即4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.10．直线l 的方程为x －2y ＋6＝0，求出直线l 的斜率以及它在x 轴、y 轴上的截距，并画出图形．解：将直线l 的方程化成斜截式为y ＝12x ＋3. 因此，直线l 的斜率k ＝12，它在y 轴上的截距是3. 在直线l 的方程x －2y ＋6＝0中，令y ＝0，得x ＝－6.即直线l 在x 轴上的截距是－6.由上面可得直线l 与x 轴、y 轴的交点分别为A (－6,0)、B (0,3)．如图，建立平面直角坐标系，过点A ，B 作直线，则得直线l 的图形．1．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)解析：选C.当x ＝0时，y ＝b 2；当y ＝0时，x ＝－b ，则三角形的面积S ＝12·|b 2|·|－b |＝b 24，由于S ≤1，所以b 24≤1，即b 2≤4，可得：－2≤b ≤2，当b ＝0时，直线与坐标轴构不成三角形，故选C.2．直线l 过点(－4，－1)，且横截距是纵截距的两倍，则直线l 的方程是________． 解析：设直线l 的方程为：y －(－1)＝k [x －(－4)](k ≠0)，即y ＝k (x ＋4)－1.当x ＝0时，y ＝4k －1.当y ＝0时，x ＝1k－4， 则有：1k －4＝2(4k －1)，解得：k ＝14或k ＝－12， ∴直线方程为y ＝14(x ＋4)－1或y ＝－12(x ＋4)－1， 即y ＝14x 或y ＝－12x －3. 答案：y ＝14x 或y ＝－12x －3 3．光线自点M (2,3)射到y 轴上的点N (0,1)后被y 轴反射，求反射光线所在直线的方程． 解：∵入射角等于反射角，入射光线经过点M 、N .且k MN ＝1，∴入射光线所在直线的倾斜角为45°.故反射光线所在直线的倾斜角为135°.因此斜率为－1，又反射光线过(0,1)点，故所求直线方程为y ＝－x ＋1.4．设k ，a 是实数，要使关于x 的方程|2x －1|＝k (x －a )＋a 对一切k ∈R 都有解，求实数a 的取值范围．解：在平面直角坐标系中分别画出y ＝|2x －1|和y ＝k (x －a )＋a 的图像，如图其中直线y ＝k (x －a )＋a 是过定点M (a ，a )，且斜率为k 的直线系，y ＝|2x －1|的图像是折线y ＝2x －1⎝⎛⎭⎫x ≥12和y ＝－2x ＋1⎝⎛⎭⎫x ＜12. 由图形的直观性可知：使原方程对于k 的一切值都有解的几何意义是直线y ＝k (x －a )＋a 绕点M (a ，a )旋转时，都与折线y ＝|2x －1|相交，点M (a ，a )必须位于过点⎝⎛⎭⎫12，0的两条射线上或射线上方．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2a －1，a ≥－2a ＋1， 解得13≤a ≤1. 故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，1.。